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N° d’ordre 2009 ISAL 0117 Année 2009
Thèse
Modélisation et Commande des Systèmes Physiques à
Topologie Variable : Application au Convertisseur
Multicellulaire.
Présentée devant
L’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon
Pour obtenir le grade de docteur
Ecole Doctorale EEA
Spécialité : Energie et Systèmes
Par
Mohamed Abdallah TRABELSI
Soutenue le 16 Décembre 2009 devant la commission d’examen
Jury
Jean BUISSON
Mohamed DJEMAI
Claire VALENTIN
Malek GHANES
Jean-Marie RETIF
Xavier BRUN
Xuefang LIN-SHI
Professeur
Professeur des universités
Professeur des universités
Maître de conférences
Professeur des universités
Maître de conférences
Professeur des universités
Rapporteur
Rapporteur
Examinatrice
Examinateur
Directeur de thèse
Codirecteur de thèse
Codirectrice de thèse
(membre invité du jury)
INSA Direction de la Recherche - Ecoles Doctorales – Quadriennal 2007-2010
SIGLE ECOLE DOCTORALE NOM ET COORDONNEES DU RESPONSABLE
CHIMIE
CHIMIE DE LYON
http://sakura.cpe.fr/ED206
M. Jean Marc LANCELIN
Insa : R. GOURDON
M. Jean Marc LANCELIN Université Claude Bernard Lyon 1
Bât CPE 43 bd du 11 novembre 1918 69622 VILLEURBANNE Cedex Tél : 04.72.43 13 95 Fax :
lancelin@hikari.cpe.fr
E.E.A.
ELECTRONIQUE,
ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE
http://www.insa-lyon.fr/eea
M. Alain NICOLAS
Insa : C. PLOSSU ede2a@insa-lyon.fr Secrétariat : M. LABOUNE AM. 64.43 – Fax : 64.54
M. Alain NICOLAS Ecole Centrale de Lyon Bâtiment H9
36 avenue Guy de Collongue 69134 ECULLY Tél : 04.72.18 60 97 Fax : 04 78 43 37 17 eea@ec-lyon.fr
Secrétariat : M.C. HAVGOUDOUKIAN
E2M2
EVOLUTION, ECOSYSTEME, MICROBIOLOGIE, MODELISATION
http://biomserv.univ-lyon1.fr/E2M2 M. Jean-Pierre FLANDROIS
Insa : H. CHARLES
M. Jean-Pierre FLANDROIS CNRS UMR 5558
Université Claude Bernard Lyon 1 Bât G. Mendel 43 bd du 11 novembre 1918 69622 VILLEURBANNE Cédex
Tél : 04.26 23 59 50 Fax 04 26 23 59 49 06 07 53 89 13 e2m2@biomserv.univ-lyon1.fr
EDISS
INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES-
SANTE
Sec : Safia Boudjema M. Didier REVEL
Insa : M. LAGARDE
M. Didier REVEL
Hôpital Cardiologique de Lyon
Bâtiment Central 28 Avenue Doyen Lépine 69500 BRON
Tél : 04.72.68 49 09 Fax :04 72 35 49 16 Didier.revel@creatis.uni-lyon1.fr
INFOMATHS
INFORMATIQUE ET MATHEMATIQUES
http://infomaths.univ-lyon1.fr M. Alain MILLE
Secrétariat : C. DAYEYAN
M. Alain MILLE Université Claude Bernard Lyon 1
LIRIS - INFOMATHS Bâtiment Nautibus 43 bd du 11 novembre 1918
69622 VILLEURBANNE Cedex Tél : 04.72. 44 82 94 Fax 04 72 43 13 10 infomaths@bat710.univ-lyon1.fr - alain.mille@liris.cnrs.fr
Matériaux
MATERIAUX DE LYON
M. Jean Marc PELLETIER
Secrétariat : C. BERNAVON 83.85
M. Jean Marc PELLETIER
INSA de Lyon MATEIS Bâtiment Blaise Pascal 7 avenue Jean Capelle
69621 VILLEURBANNE Cédex Tél : 04.72.43 83 18 Fax 04 72 43 85 28 Jean-marc.Pelletier@insa-lyon.fr
MEGA
MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE
CIVIL, ACOUSTIQUE
M. Jean Louis GUYADER
Secrétariat : M. LABOUNE PM : 71.70 –Fax : 87.12
M. Jean Louis GUYADER INSA de Lyon Laboratoire de Vibrations et Acoustique Bâtiment Antoine de Saint Exupéry
25 bis avenue Jean Capelle 69621 VILLEURBANNE Cedex Tél :04.72.18.71.70 Fax : 04 72 43 72 37
mega@lva.insa-lyon.fr
ScSo
ScSo*
M. OBADIA Lionel
Insa : J.Y. TOUSSAINT
M. OBADIA Lionel
Université Lyon 2 86 rue Pasteur 69365 LYON Cedex 07 Tél : 04.78.69.72.76 Fax : 04.37.28.04.48
Lionel.Obadia@univ-lyon2.fr
*ScSo : Histoire, Geographie, Aménagement, Urbanisme, Archéologie, Science politique, Sociologie,
Anthropologie
A mes parents pour ce qu’ils m’ont apporté et que je n’arrive pas à compter
A ma femme qui m’a toujours soutenu et encouragé aux moments opportuns
A mon frère et mes sœurs pour leurs intérêts envers mon travail
A tous ceux qui me sont chers
Remerciements
Une thèse a nécessité, trois ans de travail. Il est certain qu’on n’y arrive pas tout seul,
mais avec l’aide et le soutien des personnes qui m’ont entouré. J’écris alors ces
quelques paragraphes pour les remercier.
Je tiens tout d’abord à remercier Jean-Marie RETIF, directeur de cette thèse. Il a su
m’orienter dans ce monde de recherche et faire preuve de patience et compréhension
dans les moments difficiles. Je le remercie pour ses conseils et son soutien
inconditionnel durant toutes ses années. Il est pour beaucoup dans l’aboutissement de
ce travail. C’était toujours agréable de discuter avec lui de ces sujets scientifiques.
Ces remerciements s’adressent, également, à Xuefang LIN-SHI et Xavier BRUN, co-
encadrants de cette thèse pour leur disponibilité, leurs remarques, leurs critiques
constructives et leurs soutiens précieux aides lors de la rédaction de ce manuscrit.
Je tiens aussi à remercier M. Jean BUISSON, Professeur à l’Ecole Nationale Supérieure
d’Electricité (SUPELEC), ainsi que M. Mohamed DJEMAI, Professeur à l’Université de
Valenciennes et du Hainaut Cambrésis, pour avoir accepté d’être les rapporteurs de ce
travail, malgré la charge de travail qu’ils assument actuellement.
Je tiens, également, à remercier Claire VALENTIN, Professeur à l’Institut Universitaire
de Technologie B (IUTB), ainsi que Malek GHANES, Maître de Conférences à l’Ecole
Nationale Supérieure de l’Electronique et de ses Applications (ENSEA), pour avoir
accepté de participer au jury de cette thèse.
Je n’oublierai pas de remercier l’ensemble du personnel du laboratoire AMPERE , qui a
contribué à instaurer un environnement de travail très cordial.
Résumé
L’automatique est une science qui traite de la modélisation et la commande des systèmes dynamiques. Ces dernières
années ont été marquées par l’essor d’une communauté étudiante les systèmes dynamiques hybrides (SDH). Un
convertisseur statique (présentant un nombre fini de configurations) associé à une charge (procédé continu) est un
exemple de (SDH). Pour étudier le comportement dynamique de ces systèmes, il est nécessaire de mettre en
évidence l’aspect hybride (intéraction entre les variables continues et les variables discrètes) . Dans ce contexte,
nous présentons, dans le cadre de cette thèse, deux approches systématiques de modélisation, appliquées à un
convertisseur série associé à une charge, dans le but d’établir un modèle hybride, qui englobe les variables
continues et discrètes. La première approche est la méthode des graphes d’interconnexion des ports qui repose sur
des interprétations mathématiques des graphes linéaires, en vue d’établir une formulation Hamiltonienne paramétrée
en fonction des états des interrupteurs de puissance. La deuxième approche est l’approche à topologie variable des
Bond Graph commutés qui permet de modéliser les interrupteurs de puissance (éléments en commutation) par des
sources nulles suivant leurs états. Nous proposons, ensuite, deux lois de commande à aspect prédictif qui
déterminent directement les configurations du convertisseur qui permettent de poursuivre, le plus rapidement
possible, les références du courant dans la charge (objectif principal) et des tensions aux bornes des condensateurs.
Les contraintes de temps de calcul étant sévères (quelques dizaines de microsecondes), un modèle simplifié, validé
en simulation sur une période d’échantillonnage, est utilisé en temps réel. La première stratégie permet de prédire,
sur l’horizon d’une période d’échantillonnage, l’évolution du système pour chaque configuration et de sélectionner
celle qui minimise la distance entre l’état prédit et l’état de référence. Les résultats de simulation montrent l’intérêt
de cette stratégie par rapport à une commande classique. Cette stratégie est associée, ensuite, à un observateur
adaptatif dans le but d’estimer les tensions aux bornes des condensateurs. La deuxième méthode calcule directement
les rapports cycliques permettant d’atteindre la référence , en effectuant une inversion de la matrice de commande.
Les commandes proposées sont validées expérimentalement. Les résultats obtenus montrent l es performances et
l’efficacité de ces méthodes.
Abstract
Automatic control deals with modelling and control of dynamic systems. The Hybrid Dynamic System (HDS)
community has increased over last years. A static converter (having a finite number of configurations) associated to
a load (continuous process) is an example of HDS. To analyse the dynamic behaviour of such system, it is
necessary to emphasize and take into account the hybrid aspect. In this document, we propose two systematic
modelling approaches which are applied on a multicellular converter associated to a load. The aim of these
modelling approaches is to determine a model by taking into account both the discrete and the continuous variables.
The first approach is based on a mathematical representation of the dynamic network graph. With this method, we
synthesize a port-Hamiltonian representation parameterized by the discrete state of the switches. The second
approach is the switching Bond Graph with variable topology. This method allows modelling the switching
elements with null sources. Then we propose two predictive control laws which directly determine the
configurations of the converter to use in order to track as soon as possible the references of the continuous state
variables of the system. In this case, the real-time constraint is important (a few tens microseconds). This constraint
leads us to propose a simplified model which is validated in simulation over a sampling period. Having predicted
the behaviour of the system for each converter configuration, the first control method selects the converter
switching state which minimizes the Euclidian distance between the predicted state and the reference state. This
method is compared to a classic control approach by simulation. Then an interconnected adaptive observer based on
this control method is designed in order to estimate the capacitor voltages. The second control approac h calculates
directly the duty cycles of the discrete elements of the converter allowing to reach the reference state by inversing
the control matrix in the model. The experimental results confirm the effectiveness of the proposed approaches.
Sommaire
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon i
Table des matières
INTRODUCTION GENERALE ......................................................................................................... 1
CHAPITRE1 MODELISATION DES SYSTEMES DYNAMIQUES HYBRIDES (SDH)............. 5
1 INTRODUCTION AUX SDH ET SES DIFFERENTES CLASSES ............................................................. 7 2 APPROCHES DE MODELISATION DES SDH ................................................................................... 9
2.1 Introduction aux différentes méthodes de modélisation ...................................................... 9 2.2 Graphe d’interconnexion des ports ................................................................................. 12
2.2.1 Méthode d’arbre et coarbre .................................................................................................... 13 2.2.2 Méthode des matrices d’incidence paramétrées [VAL05] ......................................................... 19
2.3 Bond Graph commuté .................................................................................................... 23 2.3.1 Approche à topologie fixe ...................................................................................................... 24
2.3.1.1 Modèle à résistance variable .......................................................................................... 24 2.3.1.2 Modèle à transformateur ............................................................................................... 24
2.3.2 Approche à topologie variable ................................................................................................ 24 3 CONCLUSION ......................................................................................................................... 25
CHAPITRE2 BOND GRAPH COMMUTE: APPROCHE A TOPOLOGIE VARIABLE .......... 27
1 INTRODUCTION ...................................................................................................................... 29 2 MODELISATION EXPLICITE PAR MODE DE CONFIGURATION ......................................................... 29
2.1 Première configuration .................................................................................................. 29 2.1.1 Etablissement de la relation structurelle .................................................................................. 29 2.1.2 Détermination des éléments de la forme structurelle ................................................................ 31
2.2 Changement de configuration ......................................................................................... 34 3 MODELISATION IMPLICITE STANDARD [BUI96]......................................................................... 35
3.1 Formulation implicite de l’équation de structure de jonction ........................................... 36 3.2 Equation d’état de la configuration de référence ............................................................. 38 3.3 Détermination des configurations acceptables ................................................................ 39 3.4 Changement de configuration et conséquence sur la forme standard implicite .................. 40
4 MODELISATION EXPLICITE STANDARD...................................................................................... 41 4.1 Principe de la méthode .................................................................................................. 41 4.2 Application à l’onduleur monophasé débitant sur une charge RL ..................................... 41 4.3 Application à l’onduleur monophasé alimentant une MCC .............................................. 44
5 CONCLUSION ......................................................................................................................... 47
CHAPITRE3 COMMANDE PREDICTIVE DIRECTE D’UN ONDULEUR MONOPHASE ..... 49
1 INTRODUCTION ...................................................................................................................... 51 2 RAPPEL SUR LES APPROCHES DE COMMANDE DES CONVERTISSEURS MULTICELLULAIRES ............. 51
Sommaire
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon ii
3 COMMANDE MONOCOUP .......................................................................................................... 55 3.1 Principe de la méthode .................................................................................................. 55 3.2 Application : convertisseur à trois cellules de commutation débitant sur une charge RL ... 56
3.2.1 Modèle simplifié et domaine de validité .................................................................................. 58 3.2.1.1 Domaine de validité ...................................................................................................... 59 3.2.1.2 Utilisation du modèle simplifié ...................................................................................... 63
3.2.2 Stratégie de commande .......................................................................................................... 64 3.2.2.1 Choix des tensions de référence ..................................................................................... 65 3.2.2.2 Stratégie de choix ......................................................................................................... 71
3.2.3 Etude comparative en simulation avec une méthode de commande classique ............................. 72 3.2.4 Validation expérimentale ....................................................................................................... 77
3.2.4.1 Description du banc expérimental .................................................................................. 77 3.2.4.2 Résultats expérimentaux et interprétations ...................................................................... 79
3.3 Synthèse d’un observateur adaptatif basé sur la commande monocoup ............................. 85 3.3.1 Principe d’observation ........................................................................................................... 85 3.3.2 Observation des convertisseurs multicellulaires ....................................................................... 86 3.3.3 Conception de l’observateur adaptatif ..................................................................................... 88
3.3.3.1 Rappel sur l’observateur adaptatif [HAM90] [GHA10] ................................................... 88 3.3.3.2 Observateur adaptatif pour le convertisseur multicellulaire ............................................. 89
a) Conception de l’observateur .............................................................................................. 94 b) Analyse de convergence de l’observateur pour chacune des configurations ........................... 97 c) Observateur à temps discret ..............................................................................................101 d) Résultats de simulation .....................................................................................................103 e) Validation expérimentale ..................................................................................................105
3.4 Application : convertisseur à trois cellules de commutation alimentant une MCC ........... 110 3.4.1 Validation expérimentale ......................................................................................................113
3.4.1.1 Description du banc expérimental .................................................................................113 3.4.1.2 Résultats expérimentaux et interprétations .....................................................................115
4 COMMANDE A BASE D’INVERSION DE MODELE ........................................................................ 119 4.1 Principe de la commande ............................................................................................. 120 4.2 Application : convertisseur à trois cellules de commutations débitant sur une charge RL 121
4.2.1 Stratégie de commande .........................................................................................................121 4.2.2 Profils des commutations ......................................................................................................123 4.2.3 Normalisation des rapports cycliques .....................................................................................126 4.2.4 Résultats de simulation .........................................................................................................131
4.3 Validation expérimentale ............................................................................................. 132 4.3.1 Présentation du banc expérimental .........................................................................................133 4.3.2 Résultats expérimentaux et interprétations .............................................................................133
5 CONCLUSION ....................................................................................................................... 135
BILAN ET PERSPECTIVES ......................................................................................................... 139
BIBLIOGRAPHIE ......................................................................................................................... 145
ANNEXE A : MODELISATION EXPLICITE PAR MODE DE CONFIGURATION.................... 159
ANNEXE B : DEGRES DE LIBERTE DANS LE PLAN DES TENSIONS .................................... 163
ANNEXE C : RESULTATS DE SIMULATION CM ..................................................................... 167
Table des figures
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon iii
Table des figures
Fig. 1 Système électromécanique à commutation ............................................................ 11 Fig. 2 Système électropneumatique à commutation ......................................................... 12 Fig. 3 Convertisseur électronique à commutation ............................................................ 12 Fig. 4 Convertisseur à deux cellules de commutation ...................................................... 15 Fig. 5 Affectation des nœuds Vi et orientation des mailles ............................................... 16 Fig. 6 Graphe d’interconnexion de ports ......................................................................... 16 Fig. 7 Graphes primal et dual du convertisseur à 2 cellules de commutation .................... 20 Fig. 8 Bond Graph générique .......................................................................................... 23 Fig. 9 Représentation Bond Graph pour la configuration de référence choisie .................. 30 Fig. 10 Représentation Bond Graph de la nouvelle configuration..................................... 34 Fig. 11 Vue d’ensemble d’une représentation Bond Graph .............................................. 36 Fig. 12 Convertisseur à 3 cellules de commutation débitant sur une charge RL ................ 42 Fig. 13 Représentation Bond Graph du convertisseur à trois cellules de commutation ...... 42 Fig. 14 Convertisseur à 3 cellules de commutation alimentant une MCC ......................... 44 Fig. 15 Représentation Bond Graph d’une MCC ............................................................. 45 Fig. 16 Bond Graph du convertisseur à trois cellules alimentant une MCC ...................... 46 Fig. 17 Synoptique d’une commande classique ............................................................... 52 Fig. 18 Schéma de principe d’une commande prédictive à base de modèle [BOU96] ........ 55 Fig. 19 Schéma de principe de la commande monocoup .................................................. 56 Fig. 20 Evolution des tensions avec le modèle simplifié et le modèle discret ................... 59 Fig. 21 Erreur sur E1(V) en fonction de I(A) ................................................................... 60 Fig. 22 Erreur sur E2(V) en fonction de I(A) ................................................................... 60 Fig. 23 Erreur sur I(A) en fonction de I(A) ..................................................................... 61 Fig. 24 Exemple des directions possibles à un point de mesure donné ............................. 63 Fig. 25 Projection des 8 vecteurs d’évolution possibles sur le plan (E1, E2), I=1A ............ 64 Fig. 26 Enchaînement des actions dans l’algorithme de commande monocoup ................. 65 Fig. 27 Iso accroissement du courant de charge ............................................................... 67 Fig. 28 Evolution des tensions ........................................................................................ 68 Fig. 29 Délimitation du plan des tensions ....................................................................... 68 Fig. 30 Degrés de liberté pour les tensions de référence .................................................. 70 Fig. 31 Volume d’évolution des variables d’état autour d’un point de mesure .................. 72 Fig. 32 Synoptique de la commande avec MLI appliquée au convertisseur ...................... 73
Table des figures
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon iv
Fig. 33 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) avec MLI ................................... 74 Fig. 34 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) avec CM .................................... 74 Fig. 35 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) avec MLI ..................... 75 Fig. 36 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) avec CM ...................... 75 Fig. 37 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ............ 76 Fig. 38 Convertisseur à trois cellules de commutation utilisé ........................................... 78 Fig. 39 Charge RL ......................................................................................................... 78 Fig. 40 Interface de connexion de la carte d-Space dS1104 ............................................. 78 Fig. 41 Interface entre la carte d-Space et les drivers ...................................................... 79 Fig. 42 Schéma complet de la plate-forme expérimentale ................................................ 79 Fig. 43 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................... 80 Fig. 44 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) .................................... 81 Fig. 45 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................... 81 Fig. 46 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) .................................... 82 Fig. 47 Evolution des erreurs en fonction du facteur de pondération ................................ 82 Fig. 48 Evolution des erreurs en fonction du courant de charge ....................................... 83 Fig. 49 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ............ 83 Fig. 50 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) .................................................. 84 Fig. 51 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ............ 84 Fig. 52 Schéma de principe d’un observateur .................................................................. 86 Fig. 53 Convertisseur à 3 cellules de commutation avec charge liée à la masse ................. 87 Fig. 54 Schéma de principe d’un observateur appliqué au convertisseur série .................. 88 Fig. 55 1er cas : Charge de C1 (configuration U7)............................................................. 92 Fig. 56 2ème cas : Charge de C2 (configuration U5) .......................................................... 93 Fig. 57 3ème cas : Charge de C2 et décharge de C1 (configuration U6) ............................... 93 Fig. 58 4ème cas : Le courant ne parcoure aucun condensateur (configuration U1) ............. 94 Fig. 59 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................. 104 Fig. 60 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) (γ1= γ2=800) ............... 104 Fig. 61 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) (γ1= γ2=1500) ............. 105 Fig. 62 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ........... 105 Fig. 63 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................. 107 Fig. 64 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................... 107 Fig. 65 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ........... 108 Fig. 66 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................. 108 Fig. 67 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................... 109 Fig. 68 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ........... 110 Fig. 69 Schéma bloc de la MCC .................................................................................... 111 Fig. 70 Synoptique du système de simulation ................................................................. 112 Fig. 71 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................. 112 Fig. 72 Vitesse de rotation (tr/min) en fonction du temps (s) .......................................... 113 Fig. 73 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................... 113 Fig. 74 Machine à courant continu associée à sa charge ................................................. 114 Fig. 75 Schéma complet de la plate-forme expérimentale ............................................... 115 Fig. 76 Dissipation de l’énergie réinjectée à l’alimentation ............................................ 116 Fig. 77 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................. 116 Fig. 78 Vitesse de rotation (tr/min) en fonction du temps (s) .......................................... 117 Fig. 79 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................... 117
Table des figures
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon v
Fig. 80 Courant (A) en fonction du temps (s) ................................................................. 118 Fig. 81 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................... 118 Fig. 82 Évolution de la mesure par rapport à la référence (CM) ...................................... 119 Fig. 83 Évolution de la mesure par rapport à la référence (commande à base d’inversion de
modèle) ......................................................................................................................... 120 Fig. 84 Principe de la commande prédictive inverse ....................................................... 121 Fig. 85 Grandeurs de commande sur une période de modulation ..................................... 123 Fig. 86 Evolution des variables d’état avec des commandes centrées .............................. 124 Fig. 87 Evolution des variables d’état avec des commandes à gauche ............................. 125 Fig. 88 Evolution des variables d’état avec des commandes à droite ............................... 126 Fig. 89 Principe de normalisation des rapports cycliques ................................................ 128 Fig. 90 Evolution du courant en (A) .............................................................................. 128 Fig. 91 Evolution des tensions en (V) ............................................................................ 129 Fig. 92 Evolution des variables d’état dans l’espace à trois dimensions ........................... 129 Fig. 93 Synoptique de la commande prédictive par inversion de modèle ......................... 130 Fig. 94 Principe de commande par inversion de modèle ................................................. 130 Fig. 95 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................. 131 Fig. 96 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................... 132 Fig. 97 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ........... 132 Fig. 98 Interface de commande entre les sorties MLI et les drivers ................................. 133 Fig. 99 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................. 134 Fig. 100 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................. 134 Fig. 101 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ......... 135 Fig. 102 Représentation Bond Graph de la nouvelle configuration .................................. 159 Fig. 103 Représentation Bond Graph de la nouvelle configuration .................................. 161 Fig. 104 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................ 167 Fig. 105 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................. 168 Fig. 106 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................ 168 Fig. 107 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................. 169 Fig. 108 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................ 169 Fig. 109 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................. 170
Liste des tableaux
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon vii
Liste des tableaux
Tableau 1 Caractéristiques des différentes méthodes de modélisation appliquées ............. 48 Tableau 2 Evolution des tensions en fonction des commutations de l’onduleur (I > 0) ..... 57 Tableau 3 Erreurs moyennes sur les tensions en fonction des configurations .................... 62 Tableau 4 Erreurs moyennes sur le courant en fonction des configurations ...................... 62 Tableau 5 Variations des variables d’état ........................................................................ 66 Tableau 6 Evolution du courant en fonction du code couleur ........................................... 69 Tableau 7 Evolution des variables d’état en fonction des configurat ions .......................... 69 Tableau 8 Evolution des variables d’état en fonction des configurations .......................... 70 Tableau 9 Variation des erreurs moyennes en fonction de µ ........................................... 110 Tableau 10 Caractéristiques de la machine à courant continu ......................................... 114 Tableau 11 Variation des erreurs moyennes en fonction de µ ......................................... 119 Tableau 12 Variation du THDi en fonction de µ ............................................................. 170
Nomenclature
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon ix
Nomenclature
V : tension d'alimentation continue (convertisseur Buck)
Cond: condensateur (convertisseur Buck)
D: diode (convertisseur Buck)
Sw: interrupteur de puissance (convertisseur Buck)
E: tension d'alimentation continue (convertisseur à 3 cellules de commutation associé à une charge liée à
un point milieu)
E': tension d'alimentation continue (convertisseur à 3 cellules de commutation associé à une charge liée à
un point milieu)
E": tension d'alimentation continue (convertisseur à 3 cellules de commutation associé à une charge liée
à la masse)
C: condensateur (convertisseur à 2 cellules de commutation)
C1: condensateur de la deuxième cellule de commutation (convertisseur à 3 cellules de commutation)
C2: condensateur de la première cellule de commutation (convertisseur à 3 cellules de commutation)
E1: tension aux bornes du condensateur C1
E2: tension aux bornes du condensateur C2
R: résistance de la charge
L: inductance de la charge
I: courant de charge
ne: nombre de branches du graphe d’interconnexion de ports
net: nombre de branches de l’arbre
nec: nombre de branches du coarbre
nv: nombre de nœuds du graphe
q: charge du condensateur C
q1: charge du condensateur C1
q2: charge du condensateur C2
Φ: flux magnétique dans l’inductance L
IM(Gr): matrice d’incidence du graphe Gr (Incidence Matrix of Graph Gr)
IM(Gr*): matrice d’incidence du graphe Gr* (Incidence Matrix of Graph Gr*)
EΩ : force électromotrice induite (fem) de la machine à courant à continu (MCC)
k : constante de la MCC
Cem : couple électromagnétique de la MCC
U : tension aux bornes de connexion de l’induit de la MCC
Ω : vitesse de rotation angulaire du rotor de la MCC
f : coefficient du frottement visqueux
J : moment d’inertie de l’axe du rotor de la MCC
Cr : couple résistant appliqué sur l’arbre de la MCC
Ui: configuration du système en fonction des états des interrupteurs
Nomenclature
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon x
( 1, )iX k U : vecteur d’état calculé par le modèle discret pour la configuration Ui
( 1, )iX k U : vecteur d’état calculé par le modèle simplifié pour la configuration Ui
Te: période d’échantillonnage
p: nombre de cellules de commutation
1_Err E : erreur moyenne absolue entre les valeurs de consigne et les valeurs de mesure de E1
2_Err E : erreur moyenne absolue entre les valeurs de consigne et les valeurs de mesure de E2
1ErrE : erreur moyenne absolue entre les valeurs de E1 calculées avec le modèle simplifié et le modèle
discret
2ErrE : erreur moyenne absolue entre les valeurs de E2 calculées avec le modèle simplifié et le modèle
discret
ErrE1: erreur entre les valeurs de consigne et les valeurs de mesure de E1
ErrE2: erreur entre les valeurs de consigne et les valeurs de mesure de E2
THDi: taux de distorsion harmonique du courant
µ: facteur de pondération
γ1, γ2 : constantes définies positives pour régler le temps de convergence de l’observateur
Introduction générale
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 1
Introduction générale
L'automatique est une science pour l’ingénieur, qui traite essentiellement de l'étude du
comportement dynamique et de la commande des systèmes physiques. Ces systèmes
étaient généralement catalogués en deux grandes classes : les systèmes continus et les
systèmes à événements discrets.
Les systèmes continus sont des systèmes faisant intervenir des grandeurs
physiques dont les variations sont des fonctions de type f(t) avec t une variable
continue. Ces fonctions, évoluant dans un intervalle de nombres réels, peuvent être
identifiées par la vitesse ou le déplacement d’un mobile (vitesse d’une voiture), la
pression d’un gaz (pression de l’air), le débit d’un fluide (débit d’eau), la température
d’un système (température d’un four), le courant (courant traversant un circuit
inductif)…L’étude du comportement dynamique et la gestion de ces systèmes font
appel à des outils mathématiques tels que les fonctions de transfert, les équations
différentielles, les représentations graphiques (Bond Graph par exemple) et les
représentations d’état sous forme matricielle ou sous forme de fonctions non linéaires.
Les systèmes à événements discrets, notés SED, sont des systèmes dont les
variations des grandeurs physiques les caractérisant ne peuvent prendre qu’un nombre
fini de valeurs. Les éléments constitutifs de ces systèmes sont caractérisés par deux
états (Tout Ou Rien) gérés par l’algèbre de Boole. La gestion et la modélisation de ces
systèmes sont effectuées par le biais des méthodes états-transitions tels que les
graphes d’état, les réseaux de Petri et les GRAFCET.
Toutefois, cette répartition en deux classes de systèmes a été jugée
incomplète au début des années 1980 avec la naissance d’une nouvelle classe des
systèmes physiques, les systèmes dynamiques hybrides (SDH). La naissance de cette
classe est provoquée par l’existence de nombreux ensembles industriels comportant
des éléments ou des dynamiques des deux types décrits précédemment. Certains
systèmes électropneumatiques sont un bon exemple de cette classe. L’asservissement
de position d’une charge liée à un vérin électropneumatique piloté par des
distributeurs TOR peut être vu comme un système dynamique hybride. En effet si la
Introduction générale
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 2
dynamique des distributeurs est très rapide devant la dynamique du système à piloter,
le modèle de représentation comportera des phénomènes continus, d’une part,
(évolution des pressions dans les chambres du vérin, positionnement de la masse) et
des phénomènes discrets d’autre part (commutation des électro-distributeurs). Les
systèmes électroniques de puissance peuvent aussi être modélisés par une partie
continue, représentée par les courants et les tensions et une partie discrète
correspondante aux différents états des interrupteurs de puissances (fermé - ouvert).
Donc un SDH peut être défini comme un système comportant des évolutions continues
et des phénomènes discrets qui leur sont liés.
Il est, ainsi nécessaire d’élaborer et de mettre au point des techniques pour
l’étude du comportement dynamique de ces systèmes et pour la synthèse des lois de
commandes pour contrôler les évolutions des variables mises en jeu. Ces techniques
présentent souvent un degré de complexité élevé, dû à l’interaction des dynamiques de
natures différentes.
Dans ce contexte, le travail effectué dans le cadre de cette thèse a été axé,
principalement, autour de ces deux aspects de l’automatique des SDH : la
modélisation et la commande. Un grand intérêt a été consacré à l’étude des grandes
approches de modélisation dédiées aux SDH. L’objectif est de mettre en évidence
l’aspect hybride de ces systèmes particuliers , en recherchant des modèles d’état
englobant les variables continues et les variables discrètes, interagissant dans le
fonctionnement du système. Le second objectif de ces travaux concerne l’élaboration
des lois de commande conduisant à satisfaire les évolutions désirées des variables
d’état et permettant de résoudre les problèmes de complexités dues à la gestion des
signaux de natures différentes.
Ces études ont été menées sur un système électronique de puissance, dont la
topologie a été imaginée par Meynard au début des années 90 [MEY91]. Il s’agit de la
structure multicellulaire [PRI95] [CAR96], qui nécessite l’imbrication des cellules de
commutations, afin de répartir la tension totale sur les cellules de commutations et
limiter les contraintes en tensions subies par les composants semi-conducteurs,
associées à une charge. Cette structure est composée de n cellules de commutations
(les états des interrupteurs de puissance constituent la partie discrète du système)
séparées deux par deux par des condensateurs dits à potentiels flottants, dont les
tensions aux bornes (variables continues) doivent être maîtrisées et maintenues à des
niveaux bien définis, pour assurer le bon fonctionnement de l'ensemble du système.
L’intérêt de l’utilisation de cette structure réside dans l’obtention de plusieurs niveaux
de tensions aux bornes de la charge, d’où l’appellation multiniveaux, ce qui permet
d’avoir une meilleure qualité spectrale de la tension découpée (l’augmentation du
nombre de niveaux intermédiaires permet de diminuer l’amplitude de chaque front de
la tension de sortie et par conséquent de diminuer l’amplitude des raies harmoniques ).
Introduction générale
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 3
Dans un premier temps, le premier chapitre propose une présentation générale
des systèmes dynamiques hybrides et ses différentes classes, ainsi que les différentes
méthodes de modélisation de ces systèmes. Dans cette partie, le système étudié est
défini comme une des classes des systèmes dynamiques hybrides, en l’occurrence un
système physique à topologie variable. Ensuite, deux méthodes de modélisation, à
base des graphes d’interconnexion des ports, sont appliquées à un convertisseur série à
deux cellules de commutation associé à une charge RL, dans le but de trouver une
représentation Hamiltonienne à port paramétrée. Cette représentation décrit le
comportement dynamique des variables continues en fonction des paramètres discrets
mis en jeu (états des interrupteurs de puissance). Enfin, une présentation de la
méthode des Bond Graph commutés est exposée, en mettant l’accent sur la différence
entre la topologie fixe (généralement nommée topologie invariante) et la topologie
variable de cette méthode graphique.
Le deuxième chapitre propose une application détaillée de l’approche à
topologie variable des Bond Graph commutés au système 1, puis à un convertisseur à
trois cellules de commutation associé dans un premier temps à une charge passive de
type RL, puis alimentant, dans un second temps, une machine à courant continu.
Généralement les Bond Graph sont utilisés pour modéliser les systèmes physiques
continus. Mais cette méthode s’adapte parfaitement à la représentation des
convertisseurs statiques, lorsqu’on modélise les composants semi-conducteurs par des
sources d’effort et de flux nuls. Donc le système physique étudié, dont la topologie
d’interconnexion varie, sera vu comme un système continu avec des éléments de
commutations. Le but est de trouver une méthode systématique qui permet de
représenter le système sous la forme d’un modèle d’état dit hybride. Ce modèle
comporte les variables continues et les variables discrètes interagissant dans le
fonctionnement du système.
Le troisième chapitre, après un rappel sur les méthodes de commande des
convertisseurs multicellulaires, présente deux approches de commandes qui sont
comparées, en simulation, à une commande classique de type Proportionnel Intégral
(PI), associée à une Modulation à Largeur d’Impulsions (MLI) intersective. L’objectif
principal des approches de commande proposées est d’asservir le courant à charge,
tout en gardant, au mieux, les tensions aux bornes des capacités à potentiels flottants
autour des valeurs de référence. La première méthode est une technique prédictive
directe qui calcule, pour un état mesuré, les différentes évolutions possibles relatives
aux différentes configurations. Ensuite, l’algorithme de commande sélectionne la
configuration qui permet de se rapprocher, au maximum, de l’état de référence et
l’applique au système, pendant la prochaine période d’échantillonnage (une seule
configuration est appliquée durant une période d’échantillonnage, d’où l’appellation
de commande monocoup). Cette stratégie de commande a été ensuite utilisée, en
Introduction générale
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 4
associant une technique adaptative d’observation des tensions aux bornes des
condensateurs, à partir de la mesure du courant de charge et de la tension
d’alimentation du bus continu. Enfin, cette stratégie de commande a été appliquée au
convertisseur à trois cellules de commutation alimentant une machine à courant
continu. La deuxième loi de commande présentée, est une technique, dont le principe
est de calculer directement les rapports cycliques permettant au système d’atteindre un
état de référence, en se basant sur l’inversion de la matrice de commande. Ceci est
possible, suite à l’écriture d’un modèle d’état sous une forme affine de la commande.
Ces lois de commande, ainsi que l’observateur basé sur la commande
monocoup, sont testés en simulation et validées sur un banc expérimental .
En conclusion, un bilan de ces travaux de thèse est présenté, ainsi que les
perspectives de ce travail.
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1
Mohamed TRABELSI / Thèse en Automatique / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 5
Chapitre1 Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides (SDH)
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 7
1 Introduction aux SDH et ses différentes classes
Généralement, le terme « hybride » est employé lorsqu’un système ou un phénomène
est constitué de deux composantes de natures différentes.
Un système continu, par définition, est un système dont l’évolution de ses
variables est continue en fonction du temps. Ces variables prennent un nombre infini
de valeurs. L’évolution de ces systèmes est modélisée, dans les cas classiques, d’une
part, par des équations différentielles, par des fonctions de transfert ou par des
matrices, s’il s’agit d’un système linéaire et d’autre part par les équations aux dérivées
partielles (EDP).
Un système à évènements discrets, contrairement à un système continu, prend
un nombre fini de valeurs ou d’états. Ces états représentent les modes de
fonctionnement du système. Le passage d’un mode de fonctionnement ou d’une
configuration à une autre constitue une séquence d’évènements. Ces systèmes sont
généralement modélisés par des réseaux de Petri, des automates à états ou par des
GRAFCET.
Les Systèmes Dynamiques Hybrides (SDH) sont des systèmes dynamiques
faisant intervenir, explicitement et simultanément, des phénomènes continus et
événementiels. Un SDH peut être défini, aussi, comme :
Définition 1 : un système dynamique qui comporte plusieurs dynamiques de natures
différentes [MAN01].
Par exemple, dans le cas d’un réacteur, la dynamique d’une vanne , qui peut
être de type Tout Ou Rien, est différente des dynamiques continues du débit, de la
concentration ou de la température d’un produit
Définition 2 : un système incluant des dynamiques lentes et rapides qui peuvent être
observées comme une succession de modes de fonctionnement [VAN00].
Dans la pratique, les systèmes, incluant ces dynamiques, sont connus sous le
nom des systèmes aux perturbations singulières. Les moteurs électriques, incluant une
dynamique rapide (dynamique électrique) et une dynamique lente (dynamique
mécanique), sont des exemples pour ces systèmes.
Définition 3 : un système influencé par des événements qui provoquent des
commutations entre différents modes d’évolution continue des variables réelles.
Dans les systèmes à commutations (électronique de puissance), un
franchissement de seuil d’une diode ou la commande d’un interrupteur de puissance
peut provoquer des commutations entre les modes d’évolution continue des variables
réelles d’une charge donnée.
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 8
Ces SDH sont très présents dans la nature et sous plusieurs formes et aspects.
Cependant, il est possible de distinguer plusieurs classes des SDH. Parmi ces classes,
celles les plus citées dans la littérature sont:
Systèmes à saut : la notion des systèmes à saut a été introduite la première fois au début
des années quatre vingt. Ces systèmes étaient plutôt connus sous le nom des systèmes
hybrides. Ces systèmes sont considérés comme des systèmes physiques dont la
dynamique peut être modifiée ou influencée par des événements externes (non
contrôlables). Cette classe de SDH est caractérisée par une interaction entre la
dynamique ponctuelle et aléatoire appelée saut (associée à une variable discrète) et la
dynamique continue du système [ALL98a] [VID02]. Parmi les exemples les plus
rencontrés dans la littérature, citons, d’une part, celui d'un avion de chasse effectuant
diverses manœuvres et d’autre part l’étude du trafic routier sur une autoroute, qui peut
aussi être considéré comme un système à saut, les sauts, dans ce cas étant provoqués
par un accident d’une voiture, par exemple (dynamique ponctuelle et aléatoire).
Systèmes affines par morceaux : une grande partie des SDH peut être représentée par
les systèmes affines par morceaux (Piecewise Affine systems ou PWA) [BEM00]
[JOH03]. Ces systèmes sont aussi caractérisés par un état continu, régi par un système
dynamique linéaire par morceaux et un état discret, régi par des transitions de type
invariant. Ces systèmes ont la particularité de partager l’espace d’état en un nombre fini
de régions et d’associer à chaque partie une dynamique affine différente [NEC04].
Systèmes à modèle mixte dynamique et logique ou (MLD ou Mixed Logical Dynamical
systems) [BEM99]: ce sont des systèmes qui englobent des entrées, des sorties et des
états mixtes.
Ces notions de PWA et MLD sont utilisées pour la modélisation des systèmes
dynamiques hybrides. Elles sont considérées comme des représentations ou des
formulations particulières des SDH. De plus, pour une formulation MLD, il a été
prouvé, dans [HEE01], qu’il existe toujours une représentation PWA équivalente. Ces
formulations ont été appliquées à un convertisseur DC/DC abaisseur de tension dans
[PAP04]
Systèmes physiques à topologie variable : ce sont des SDH, dont la topologie
d’interconnexion des éléments varie. Ces systèmes peuvent être aussi appelés multi-
modes [BRO84] [GEE96] ou systèmes commutés [LIB99] [LIB03]. Un des exemples
illustratifs de ces systèmes est le convertisseur de puissance. La topologie
d’interconnexion du convertisseur varie, selon les états des interrupteurs de puissance
présents dans la structure.
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 9
2 Approches de modélisation des SDH
2.1 Introduction aux différentes méthodes de modélisation
La modélisation des systèmes dynamiques hybrides est un thème de recherche qui a
été abordé par plusieurs communautés scientifiques, de domaines d’intérêts très
différents. Mais, les automaticiens restent les plus intéressés par la modélisation de
ces systèmes particuliers, dans le but de synthétiser un modèle englobant tout les
modes de fonctionnement du système. Les deux communautés « automatique des
systèmes continus et des systèmes discrets », ont été amenées à collaborer étroitement
pour modéliser l’aspect continu et discret des SDH. En effet, trois grandes approches,
qui dépendent des origines scientifiques des auteurs, se sont mises en évidence pour
modéliser les SDH et ses différentes sous-classes [ZAY01] :
Approche continu / discret : c’est une approche basée sur des extensions des méthodes
de modélisation des systèmes continus. Dans cette approche, le SDH est vu comme un
système continu qui présente des discontinuités. Ces discontinuités sont provoquées par
le changement d’état des éléments de commutations. Parmi les méthodes qui
représentent les SDH sous cet angle, on cite :
La modélisation par équations différentielles. La dynamique continue est modélisée
par les équations différentielles, tandis que la dynamique discrète est représentée par
les équations aux différences [QUE94].
La modélisation par Bond Graph commutés. Cette méthode repose sur les Bond
Graph, méthode graphique pour modéliser les systèmes continus, pour modéliser les
systèmes physiques contenant des éléments de commutation. Cependant, deux
grandes approches de modélisation peuvent être distinguées : une appelée à
topologie invariante, qui permet de modéliser les éléments de commutation, en
utilisant des transformateurs modulés [DAU89], des résistances variables [CAS90],
l’autre approche, appelée à topologie variable, utilise des sources nulles, pour
modéliser les éléments en commutation [BUI93b] [STR94]. Ces deux approches ont
été appliquées, successivement, à un hacheur dans [DAU00].
La modélisation par formulation Hamiltonienne. Cette méthode repose sur une
approche graphique, les graphes d’interconnexion des ports, pour modéliser les SDH
[VAL06] [VAL07]. Cette approche a été appliquée dans [VAL06] à un
convertisseur DC/DC abaisseur de tension (Buck), en utilisant la notion des matrices
d’incidences. Elle sera appliquée, dans la section suivante, à un convertisseur série à
2 cellules de commutation, associé à une charge passive de type RL.
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 10
Approche discret / continu : cette approche repose sur les méthodes de modélisation des
Systèmes à Evènements Discrets (SED). La dynamique continue sera modélisée par un
ensemble fini de paramètres discrets. Parmi ces méthodes, citons l’existence des réseaux
de Petri hybrides [LEB91] [ALL92] [ALL98b]. Cette méthode a été appliquée, pour la
modélisation simultanée de flux des pièces, dans un atelier de fabrication et sur l’état
opérationnel des machines qui le composent [LEB92]. Cette technique a été,
également, utilisée pour la modélisation d’un système de ravitaillement d’eau dans
[BIT03]. Le débit d’eau représente la dynamique continue du système et le basculement
d’un état à un autre (partie discrète) est provoqué par l’actionnement de deux sources
d’eau différentes. De plus, une analogie avec ce système a été effectuée pour modéliser
un système de communication en réseau.
Approche mixte : cette approche repose sur la combinaison des deux grandes approches
précédemment décrites. Chaque aspect est alors décrit, sous sa forme classique, en
associant les équations algèbro-différentielles aux modèles SED. Parmi ces méthodes
qui abordent les SDH avec cette vision on cite :
La modélisation par automates hybrides. Il s’agit d’une extension de la modélisation
par les automates à états finis. Cette méthode consiste à combiner un modèle SED
avec les équations algèbro-différentielles associées à ses états discrets [ZAY01].
Tout automate hybride sera ainsi caractérisé par un état global, défini par une paire
d’états en interaction représentant la dynamique continue et la dynamique discrète
[LYG03]. En fait, un changement de l’état discret peut provoquer un changement
d’évolution de l’état continu et une atteinte d’une valeur seuil de cet état peut induire
un changement d’état discret. Cette technique a été appliquée sur un système de
fontaines à deux bassins dans [BER04]. L’état discret est représenté par l’arrêt ou la
mise ne marche d’une pompe et l’état continu par l’évolution des niveaux d’eau dans
les deux bassins.
La modélisation par les réseaux de Petri mixtes. Cette méthode repose sur la
modélisation par des réseaux de Petri, associés à des équations différentielles, pour
synchroniser l’aspect continu et discret du SDH [VIB97] [VAL99]. Cette stratégie
de modélisation a été appliquée dans [VAL02] à un processus chimique automatisé.
Le modèle unifié de Branicky : dans cette approche, l’intégration de la dynamique
discrète à la dynamique continue est faite par le biais des fonctions de transition
modélisant les sauts autonomes et les sauts commandés [BRA93]. Cette approche a
été appliquée aux systèmes physiques avec des commutateurs ou des relais.
L’objectif de nos travaux est d’expliciter les modèles continus pour une
classe importante de systèmes dynamiques hybrides : les systèmes physiques avec
éléments de commutation. Ces éléments sont présents dans diverses applications,
telles qu’en électromécanique (embrayage), hydraulique (vanne tout-ou-rien), mais
surtout dans le domaine du Génie Electrique (diodes, transistors, thyristors), en
particulier, dans les dispositifs d’électronique de puissance. Suivant les cas, ces
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 11
composants sont totalement commandés (transistors), partiellement commandés
(thyristors) ou non commandés (diodes). Le changement de l’état d’un élément de
commutation provoque un basculement d’une configuration à une autre du système.
Ainsi, pour tout système de ce type, il existe Nm configurations possibles, avec N le
nombre d’états possibles pour chaque élément et m le nombre d’éléments de
commutation.
En électromécanique, le système, donné par la Fig. 1, peut être considéré
comme un système physique à topologie variable. Le système est composé de deux
moteurs continus couplés, par un embrayage. Deux états peuvent alors être identifiés
(21). Les deux moteurs sont couplés si le système est embrayé, ou découplés, si le
système est débrayé. Dans ce cas, ils sont considérés comme deux systèmes
indépendants. Ainsi, l’aspect topologie variable du système est identifié. Cet aspect
dépend de la valeur ou de l’état discret de l’embrayage.
En électropneumatique, le système, représenté par la Fig. 2, est composé d’un
vérin déplaçant une charge et piloté par deux électro-distributeurs. Il peut être
considéré comme un système commuté. Les électro-distributeurs peuvent être
considérés comme des éléments de commutation. Suivant leur état (les trois états
possibles pour chaque électro-distributeur sont l’admission, l’échappement et le
repos), le système change de configuration. Ainsi, neuf configurations sont possibles
(32).
Les circuits électroniques convertisseurs de puissance sont aussi d’excellents
exemples pour les systèmes multi-modes, parce qu’ils ont une structure variable. Le
changement de mode de fonctionnement peut être provoqué par une commande
externe (commande sur l’interrupteur Sw) ou par un franchissement de seuil
(franchissement de seuil de la diode D). Il s’agit d’un changement de mode autonome.
Le simple convertisseur Buck (abaisseur de tension) (Fig. 3) peut résumer ce
fonctionnement. Le changement d’état des éléments de commutations offre au système
22 configurations possibles Cependant, la topologie d’interconnexion des éléments
change, suivant le mode de fonctionnement. Ces modes de fonctionnement peuvent ne
pas être réalisables physiquement ou acceptables, c’est le cas lorsque les deux
éléments en commutation sont tous les deux fermés ou ouverts.
Moteur1 Moteur2
Embrayage
Fig. 1 Système électromécanique à commutation
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 12
Fig. 2 Système électropneumatique à commutation
D
Sw L
Cond RE
Éléments de
commutation
Fig. 3 Convertisseur électronique à commutation
Dans la suite de nos travaux, nous allons nous intéresser à la modélisation
d’un convertisseur multiniveaux monophasé alimentant un processus continu par deux
méthodes de l’approche continu / discret. Les méthodes de graphes d’interconnexion
de ports et des Bond Graph commutés seront exposées pour la modélisation de ces
systèmes. La première méthode est généralement utilisée pour les simples
convertisseurs statiques de type « Buck » ou « Boost ». Dans ce qui suit, elle sera
appliquée au convertisseur série à trois cellules de commutations. Quant à la méthode
des Bond Graph commutés, elle sera détaillée et développée par une nouvelle
approche qui permet de remédier aux calculs fastidieux des relations structurelles
entre les différents éléments constitutifs du Bond Graph.
2.2 Graphe d’interconnexion des ports
C’est une méthode graphique qui permet de modéliser les systèmes physiques d’une
façon générale et, en particulier, les systèmes en commutation. Le principe de la
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 13
méthode repose sur l’utilisation des théories des graphes linéaires qui seront
interprétés sous forme de représentations mathématiques.
2.2.1 Méthode d’arbre et coarbre
Le principe de cette méthode est de représenter un système ou un circuit par un graphe
appelé graphe d’interconnexion de ports noté G = (V, E) où V est un ensemble non
vide de nv nœuds et E un ensemble de ne couples d’éléments de V appelés branches.
Ces branches seront orientées selon une convention de signe à poser. Chaque branche
représente le port d’interconnexion d’un élément , sans tenir compte de sa nature,
auquel on associe la paire ( ), ( )pf t pe t de variables de puissance (respectivement les
variables flux et effort). Ce graphe peut être défini par les notions suivantes :
Arbre : sous graphe formé par n n 1et v branches contenant tous les nœuds du graphe
mais pas de chemins fermés. Cet arbre est choisi de manière à contenir toutes les
sources de tensions et les condensateurs du système.
Coarbre : sous graphe composé par n n n 1ec e v branches du graphe qui n’ont pas
été incluses dans l’arbre.
Cycle fondamental : cycle orienté, associé à un arbre et composé d’une seule branche du
coarbre et tant qu’il soit nécessaire de l’arbre. L’orientation positive est celle de la
branche du coarbre.
Cocycle fondamental : cocycle orienté, associé à un arbre et composé d’une seule
branche de celui-ci et tant qu’il soit nécessaire du coarbre. L’orientation positive est
celle de la branche de l’arbre. Dans notre cas, il n’y a aucun cocycle déterminé.
Le graphe d’interconnexion peut être, ensuite, représenté mathématiquement
de plusieurs manières différentes. Le choix de la méthode de représenta tion dépendra,
essentiellement, du type et de l’objectif de l’application. Une représentation
matricielle sera plus naturelle.
Parmi ces représentations matricielles, les notions de matrice fondamentale
des cycles et de matrice fondamentale des cocycles qui mènent à une représentation
minimale du système sont les plus citées. Ces matrices, utilisées pour écrire les lois de
Kirchhoff, sont définies de la manière suivante :
Matrice fondamentale des cycles notée B : matrice de dimension ( )ec en n qui
représente les relations de connectivité entre les cycles et les branches du graphe.
Chaque ligne représente un cycle et chaque colonne représente une branche du graphe.
Si la branche en question appartient au cycle, on mettra 1, si elle est orientée dans le
même sens que la branche du coarbre constitutive du cycle, ou -1, si elle est dans le sens
inverse. Si elle n’est pas incluse dans le cycle, on mettra 0.
Matrice fondamentale des cocycles notée Q : représente les liens entre les cocycles et
les nœuds du graphe. Cette matrice peut être déduite directement à partir de la matrice
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 14
fondamentale des cycles en identifiant la matrice Qc de dimension ( )et ecn n formée
par les colonnes associées aux branches du coarbre.
Ces matrices établissent les relations entre les variables de puissance
associées aux branches du graphe d’interconnexion. Ces relations correspondent aux
lois de Kirchhoff. Les relations entre les courants sont données par la matrice
fondamentale des cocycles (Q), alors que les relations entre les tensions sont données
par la matrice fondamentale des cycles (B).
Si on applique les lois de Kirchhoff sur les cycles fondamentaux et les
cocycles fondamentaux, on obtient :
0 0. 00. 0 0 0
c fte ettf fc ec
c
tc
c
I Q pB p pQ p p pQ I
B Q Iavec
Q I Q
(1)
avec I une matrice identité, pet et pft les vecteurs de dimension net
respectivement des variables effort et flux des branches contenues dans l’arbre. On
note aussi pec et pfc les vecteurs de dimension nec respectivement des variables effort et
flux des branches contenues dans le coarbre.
Cette relation permet d’en déduire la représentation entrée/sortie suivante
appelée structure de Dirac:
ct
c
0 -Q
Q 0 ft et
fcec
p ppp
(2)
A partir de cette relation, les différents modèles d’états explicites,
correspondant aux différents modes de fonctionnement, peuvent être définis en faisant
les simplifications nécessaires engendrées par l’annulation des tensions ou des
courants au niveau des éléments en commutation. Ainsi, le modèle obtenu pour
chaque configuration peut être écrit sous la forme d’une représentation d’un système
Hamiltonien à port avec dissipation [DAL98]. Ce système est défini sur n par une
matrice de structure J , antisymétrique, de dimension ( )n n qui représente
l’interconnexion directe entre les éléments de stockage d’énergie, une matrice
symétrique positive R , qui représente l’interconnexion entre les éléments de stockage
d’énergie par l’intermédiaire des éléments qui dissipent de l’énergie, une fonction
Hamiltonienne : nH , qui représente l’énergie totale stockée dans le système, une
matrice d’entrée g de dimension ( )n m et une équation dynamique de l’état noté
x donnée par:
.
( ) .H
x J R g Ex
(3)
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1
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Cette méthode a été toujours appliquée sur de simples convertisseurs de
puissance de type « Buck » et « Boost ». Dans cette partie, la méthode sera appliquée
au système donné par la Fig. 4. Ce système est composé de sept nœuds et neuf dipôles
(Fig. 5). L’orientation des courants et des tensions est choisie selon la convention
récepteur. Son graphe d’interconnexion de ports est donné par la Fig. 6.
E
L
Q2 Q1
Q’2 Q’1
u2 u1
I
E’R
CUc
Fig. 4 Convertisseur à deux cellules de commutation
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1
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V7
E
L
Q2 Q1
Q’2 Q’1
u2 u1
E’R
C
V2
V1
V4
V3
V5
V6
Uc
UR
UL
UQ1UQ2
UQ’2 UQ’1
iQ’2 iQ’1
iR
iL
iC
iQ2 iQ1
iE’
iE
Fig. 5 Affectation des nœuds Vi et orientation des mailles
V2
V3
V6
V1
V5
e1
e2
e9
e4
e3
V4V7
e8
e5
e6
e7
Fig. 6 Graphe d’interconnexion de ports
A partir de ce graphe, nous identifions :
Arbre : 7 -1 6v et vn et n n . L’arbre choisi ici est : 1 2 3 5 6 4e e e e e e .
Coarbre : 9 7 3e v ecn et n n . Donc le coarbre trouvé est 7 8 9e e e .
Cycle fondamental : 1 2 3 5 6 7 1 2 3 4 8 9 5 3 , ,e e e e e e e e e e e e e e
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1
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Cocycle fondamental : les cocycles sont déduits à partir des cycles fondamentaux.
Matrice fondamentale des cycles : nous identifions trois cycles et neufs branches. Cette
matrice est donnée par :
-1 1 1 0 -1 1 1 0 0
1 -1 -1 1 0 0 0 1 0
0 0 -1 0 1 0 0 0 1
T
cQ
B (4)
Matrice fondamentale des cocycles : elle est donnée par :
1 0 0 0 0 0 1 -1 0
0 1 0 0 0 0 -1 1 0
0 0 1 0 0 0 -1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 -1 0
0 0 0 0 1 0 1 0 -1
0 0 0 0 0 1 -1 0 0
cQ
Q (5)
La représentation entrée/sortie de la structure de Dirac du système considéré
peut être donc donnée par :
2 2
'
'1 '1
'2 '2
1 1
0 0 0 0 0 0 -1 1 0
0 0 0 0 0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 0 1 -1 -1
'0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 -1 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0 0
1 -1 -1 0 1 -1 0 0 0
-1 1 1 -1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 -1 0 0 0 0
E
Q Q
C C
E
Q Q
R R
L L
Q Q
Q Q
i E
i U
i U
i E
i U
i U
U i
U i
U i
(6)
Si on pose u1 la commande de l’interrupteur Q1 et u2 la commande de
l’interrupteur Q2 (ui=1 si Qi est fermé et ui=0 si Qi est ouvert avec i= 1,2), la
formulation Hamiltonienne, correspondant à la configuration 1 2 1u u , est donnée
par :
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1
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0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
.
.
q
q EC
R E'
L
(7)
Cette formulation peut être étendue à une formulation Hamiltonienne Hybride
pour modéliser les systèmes physiques à commutations. Puisque le système considéré
est un système physique à topologie variable, il peut être représenté sous la forme
suivante :
.
( ( ) ( )) ( ). :H
x J u R u g u E avec u discretx
(8)
Pour ce faire, l’idée est d’exprimer les variables de puissance dans les
interrupteurs en fonction des variables de puissance des éléments de stockage et des
entrées à partir de la représentation entrée/sortie de la structure de Dirac donnée par
(6). Ceci est possible en passant par les équations constitutives des interrupteurs. Si on
pose 2 10, 1u u , on aura les relations suivantes :
'22
1 '1
'2 2
'11
0
0
0 '0
Q LQq
Q Q Cq
Q Q CQ
Q L
ii
U U
U U E Ei
i
(9)
Si on passe à la configuration 1 20, 1u u , on aura la nouvelle relation donnée
par (10).
2
1
'2
'1
0
0
0
0
Q
Q
Q
Q
U
i
i
U
(10)
La relation (11) donne la liaison entre (9) et (10), moyennant les variables
discrètes u1 et u2. Cette relation est valable pour toutes les configurations du système.
'2 2
'1 1
2 2
1 1
(1 )
.
(1 )( ' )
.
Q Lq
Q Cq
Q C
Q L
i u
U u
U u E E
i u
(11)
Ensuite, en remplaçant (11) dans (6) et en utilisant l’équation constitutive de
la résistance R, on obtient la formulation Hamiltonienne paramétrée suivante :
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1
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2 1
1 2 2 2
( ) ( ) ( )
0 0 0
1
.
.
J u R u g u
H
x
q
u uq EC
u u -R u u E'
L
(12)
Ainsi, les interrupteurs ne représentent pas des entrées/sorties pour le système
mais ils servent à paramétrer le modèle d’état standard. Cette méthode présentée dans
[MAG03] a permis d’obtenir un modèle d’état explicite standard pour tous les modes
de fonctionnement du système considéré. Ce système est une application intéressante
pour cette méthode.
2.2.2 Méthode des matrices d’incidence paramétrées [VAL05]
Dans ce paragraphe, une autre méthode de représentation mathématique du graphe
d’interconnexion de ports sous forme de matrices d’incidence paramétrées est
exposée. Cette formulation est appliquée au système à topologie variable donné par la
Fig. 4. Ce système présente des variations dans son interconnexion qui dépendent des
états des interrupteurs.
Objectif : méthode systématique pour obtenir une forme d’état implicite et
paramétrée par des variables discrètes, caractérisant toutes les configurations du
système physique à commutations.
L’idée est de procéder à la mise en équations sous forme de matrice
d’incidence, en mettant en évidence la notion de déconnexion-reconnexion associée à
la fermeture ou l’ouverture d’un interrupteur . Cette notion est traduite par des
matrices paramétrées en fonction des états de chaque interrupteur. Ces matrices
permettront, par la suite, de définir une matrice de transformation du graphe par
rapport à une configuration de référence qui doit être choisie en considérant que tous
les interrupteurs du système sont ouverts.
Cette méthode sera définie, en s’inspirant du principe de dualité ou de
symétrie entre les concepts effort-flux. En effet, à chaque élément, possédant des
propriétés en effort (respectivement en flux), est associé un autre élément possédant
les mêmes propriétés en flux (respectivement en effort) par le biais d’une relation de
bijection. Cette relation est traduite par l’association d’un nouveau graphe appelé dual
au graphe précédemment défini. Cependant, chaque cycle du graphe dual correspond à
un cocycle du graphe primal et vice versa. Ces graphes (Fig. 7) sont définis donc de la
façon suivante :
Notion du graphe primal: c’est un graphe G = (V, E) dessiné sur un plan (en trait plein)
de telle façon que ses branches ne se croisent qu’au niveau des nœuds.
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1
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Notion du graphe dual: si le graphe G = (V, E) est planaire, on peut toujours lui associer
un graphe dual G* = (V*, E*) (en pointillés) où V* remplace une face définie par le
graphe primal et E* une branche qui relie deux nœuds du graphe dual.
V2 V4
V3V5 V6
V7
V1
eu1
eu2
e1 e3
e5
e4 eu’1
eu’2
e2
V1*
V4*
V3*V2*
e5*eu2*
e3*
eu1*
e4*
e2*
eu’1*
eu’2*
Fig. 7 Graphes primal et dual du convertisseur à 2 cellules de commutation
Il faut, maintenant, définir les notions de matrice d’incidence du graphe de
référence noté rG , de matrice de déconnexion-reconnexion du graphe dynamique noté
uG et de matrice de transformation. Le graphe de référence est associé à la
configuration de référence et ne contient pas les branches modélisant les interrupteurs
qui seront considérées comme virtuelles. Le graphe dynamique est un graphe complet
qui contient celles-ci. Ces branches sont illustrées par de traits fins sur le graphe
donné par la Fig. 7.
Matrice d’incidence : c’est une matrice de dimension ( )v en n (avec nv le nombre de
nœuds et ne le nombre de branches) où chaque ligne de la matrice correspond à un nœud
et indique les branches qui y sont connectées. On mettra un 1 si le nœud iv est un point
de départ pour la branche en question ou -1 s’il est le point d’arrivée. Si la branche n’est
pas connectée à ce point, on mettra 0. En l’occurrence, chaque colonne de la matrice
représente une branche qui relie deux nœuds différents. Fatalement, une colonne ne peut
contenir que deux éléments non nuls. Cette définition est illustrée par la relation
suivante :
-1 ( , )
( ) 1 ( , ) 1,...., 1,....,
0
Gj k i i k
Gj i k i k v e
si e v v avec v v
IM Gr si e v v avec v v i n et j n
sinon
(13)
Ainsi, les matrices d’incidence relatives aux graphes primal et dual sont
illustrées respectivement par les relations (14) et (15).
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-1 1 -1 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 1 0
( ) 0 -1 0 0 0
0 0 0 -1 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 -1
IM Gr (14)
1 0 -1 0 -1
-1 -1 0 1 0( *)
0 1 1 0 1
0 0 0 -1 0
IM Gr (15)
Matrice de déconnexion-reconnexion : c’est une matrice notée ( , )kDR u kM G u de
dimension ( )v vn n (avec nv le nombre de nœuds et ne le nombre de branches) qui
dépend de l’état ku de l’interrupteur kQ avec 1,..., Qk n . Elle est définie par la
relation (16).
,
= ,
( , ) = ,.
0
k
k k
k u j i
DR u k i j k u j
u si e v v
M G u u si i j et e v
sinon
(16)
Cette matrice représente l’opération de déconnexion-reconnexion traduite par
le changement d’état d’un interrupteur donné. Cependant, il y aura autant de matrices
que d’interrupteurs. Les éléments de cette matrice seront tous nuls , sauf deux
composantes au niveau des deux lignes qui représentent les nœuds de départ et
d’arrivée de la branche modélisant l’interrupteur en question. Dans notre cas, la
matrice de déconnexion-reconnexion associée à l’interrupteur 2Q est donnée par :
2
2
2
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 - 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
DR
u
u
M (17)
Ainsi, toutes les matrices de déconnexion-reconnexion seront déterminées de
la même façon.
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1
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Matrice de transformation : c’est une matrice qui dépend de ku et qui représente la
transformation du graphe de la configuration de référence noté rG à un graphe uG dans
une autre configuration donnée par l’état des interrupteurs.
1 1
( )( ) ( )( )
( , ) ( , ) ( , ) Q Q
i k j
Tk u nv DRk u k QT
n n
nv T u DR u k T ui k j k
M G u I M G u si k n
I M G u M G u M G u sinon (18)
La matrice de transformation totale sera le produit des matrices de
transformation relatives aux différents interrupteurs. Elle est définie par :
1( , ) ( , )
Q
k
n
T u T uk
M G u M G u (19)
La matrice d’incidence paramétrée du graphe primal est alors donnée par la
relation suivante :
1 2 2 1
1 2
2 2 1
2 2 1
2 1 1 1
-1 1 -1 0 0
1- 0 0 (1- ) 0
0 0 0 (1 )(1 ) 0
( )( ) ( )( ). ( ) 0 -1 0 -1 (1 )(1- )
0 0 0 - (1- )
0 0
0 0 1 0 -1
u T u r
u u u u
u u
IM G u M G u IM G = u u u
u u u
u u u u
(20)
De la même manière on peut déterminer la matrice d’incidence paramétrée du
graphe dual.
2 2 2 1 2
2 2 2 1 2
2 2 2 1
0 - ( -1) -
0 -1 -1 (1- ) -1( *)( )
- 1- 1 - 1
0 0 0 0 0
u u u u u
u u u u uIM Gu u
u u u u (21)
Ensuite, la structure de Dirac correspondante est donnée par :
( )( ) 00
0 ( *)( ) IM Gu u
pf peIM Gu u
(22)
T T. .
' ; 'q
f E E R e RL Cavec p i i i q p E E u
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Cette représentation est appelée structure de Dirac hybride paramétrée. C’est
une représentation globale non minimale du système physique considéré. Cette
représentation devient minimale par mode de fonctionnement. A chaque commutation,
un modèle d’état explicite peut être déterminé en remplaçant les états des interrupteurs
dans la structure par leurs valeurs.
Ces deux méthodes partent donc du principe de représenter le système
physique à commutations par un ou des graphes qui seront interprétés
mathématiquement par des méthodes différentes qui conduisent :
soit à une représentation minimale explicite paramétrée en fonction des états des
interrupteurs, pour l’ensemble des configurations pour lesquelles c’est possible,
soit à une représentation non minimale paramétrée pour toutes les configurations,
dont la dimension et les vecteurs pe et pf sont communs. Pour chaque mode de
fonctionnement, une représentation minimale est obtenue en éliminant les équations
redondantes.
2.3 Bond Graph commuté
Généralement, le formalisme Bond Graph est utilisé pour modéliser les systèmes
physiques continus [DAU00] [KAR90]. Il s’agit d’une représentation graphique
[PAY61], indépendante du domaine d’application pour être un support de
communication entre des spécialistes de disciplines différentes, qui permet de
modéliser le système physique en se basant sur les considérations énergétiques. Cette
approche de modélisation est de plus en plus utilisée pour représenter les SDH et ses
différentes classes, en l’occurrence les systèmes physiques à topologie variable. D’où
l’appellation de Bond Graph commuté pour désigner la modélisation par Bond Graph
des systèmes en commutation [KAR85]. Ainsi, tout système physique à topologie
variable peut être modélisé par le Bond Graph générique donné par la Fig. 8.
Structure de jonction
(0,1,MTF,MGY)R
I
C
Sw
Se,Sf
Fig. 8 Bond Graph générique
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2.3.1 Approche à topologie fixe
Dans cette approche, les éléments en commutation sont modélisés, soit par des
résistances variables, soit par des transformateurs. L’équation d’état du système reste
inchangée, quelque soit la configuration du système. Il s’agit d’une équation d’état
unique à paramètres variables. A chaque commutation, il n’y a que les lois
caractéristiques des éléments en commutation qui changent [MOS97].
2.3.1.1 Modèle à résistance variable
Pour ce modèle, l’élément en commutation a une caractéristique double qui dépend de
l’état de l’élément à chaque commutation. Il est modélisé par une résistance variable
qui passe instantanément d’une très faible valeur (considérée comme nulle) , lorsque
l’interrupteur est fermé, à une très grande valeur (considérée comme infinie), lorsqu’il
passe à l’état ouvert [CAS90]. Cependant, deux types de causalité peuvent être définis
pour cet élément : la causalité résistance ou source d’effort, traduite par la relation
e Rf et la causalité conductance ou source de flux traduite par la relation 1f eR
.
2.3.1.2 Modèle à transformateur
Dans ce modèle, l’interrupteur est représenté par une résistance de valeur inchangée R
associée avec un transformateur de rapport m qui change à la commutation [DAU89].
Comme le modèle précédent, deux causalités différentes sont envisageables : une
causalité source d’effort, traduite par la relation 2e m Rf et une causalité source de
flux, traduite par 2
1f em R
.
Ces deux modèles ont l’avantage de conduire à un modèle d’état unique ,
quelle soit la configuration choisie des éléments en commutation. Toutefois, leur
inconvénient réside dans les difficultés numériques qu’ils peuvent poser en simulation
et dans le fait qu’ils ne permettent pas de modéliser les interrupteurs idéaux.
2.3.2 Approche à topologie variable
Dans cette approche, l’interrupteur est considéré comme une source. Toutefois, la
causalité de l’interrupteur change selon son état. Ce changement peut provoquer un
changement au niveau des équations d’état et de leur ordre. Pour éviter ce changement
d’ordre, les chercheurs ont pensé à associer, à l’interrupteur modélisé par une source
d’effort ou de flux, une résistance [ASH89], pour permettre aux éléments de stockage
de garder leur causalité intégrale et donc ne pas changer l’ordre du système . Dans le
chapitre suivant, nous allons nous intéresser à l’application de cette approche à un
système électronique de puissance, en l’occurrence un convertisseur statique.
Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1
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3 Conclusion
Dans ce chapitre, après un rappel sur les systèmes dynamiques hybrides (SDH) et ses
différentes classes, deux grandes approches de modélisation ont été exposées. Ce sont
deux approches formelles qui reposent sur une démarche systématique, permettant de
synthétiser un modèle paramétré en fonction des états des éléments en commutation.
Pour la méthode des graphes d’interconnexion des ports, ce modèle est, soit explicite
standard paramétré, soit implicite standard paramétré et qui devient explicite par mode
de fonctionnement. En ce qui concerne la méthode des Bond Graph commutés, il faut
bien noter que la topologie de l’approche utilisée est différente de la topologie du
système physique considéré qui est, dans notre cas, à topologie variable. L’approche à
topologie fixe permet de modéliser le système avec un seul modèle à topologie
invariante, en utilisant des éléments qui caractérisent le changement d’une
configuration à une autre (la valeur de la résistance change d’un mode de
fonctionnement à un autre), d’où l’appellation de topologie fixe. La deuxième
approche, est détaillée dans le chapitre suivant.
Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2
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Chapitre2 Bond Graph commuté: approche à topologie variable
Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2
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1 Introduction
Dans ce chapitre, différentes méthodes de l’approche des Bond Graph commutés à
topologie variable seront présentés. Elles permettent d’analyser et modéliser les SDH
par les formalismes Bond Graph, en représentant les éléments en commutation, qui
modifient la topologie du système, par des sources d’efforts ou de flux nuls, selon le
mode de fonctionnement du système [STR94].
Cette approche sera appliquée, respectivement sur le convertisseur à deux
cellules de commutation donné par la Fig. 4, le convertisseur à trois cellules de
commutation, débitant sur une charge passive RL (Fig. 12) et sur le même
convertisseur, alimentant une machine à courant continu (Fig. 14). Pour chaque mode
de fonctionnement, le modèle Bond Graph correspondant est tout d’abord donné, puis
le modèle sera calculé à partir des relations liant les différents composants du modèle.
2 Modélisation explicite par mode de configuration
Cette méthode sera appliquée sur le convertisseur à deux cellules de commutation
donné par la Fig. 4.
2.1 Première configuration
Dans la suite, on notera 0,1ju , l’état des interrupteurs jQ . Lorsque l’interrupteur
Qj est fermé 1ju , dans le cas où l’ interrupteur jQ est ouvert 0ju .
2.1.1 Etablissement de la relation structurelle
Pour la configuration 1 2 1u u , le Bond Graph du système est donné par la Fig. 9.
On note que les interrupteurs Q2 et Q1 sont modélisés par des sources
d’efforts nuls (état fermé) alors que les interrupteurs Q’2 et Q’1 sont modélisés par des
sources de flux nuls (état ouvert). Dans la suite, on va identifier les différents
éléments qui vont nous permettre de modéliser le système étudié.
Pour ce faire, on note [BUI93a] :
Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2
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1Se:EE
1 5O
101
Q2:1 Q1:1
1Se:E'3
O11
16
E'
Q'2:0 Q'1:0
1
7
8
C:C 0
15
14
1
R:R
I:L
16
17
18
2
4
9
12
13
Fig. 9 Représentation Bond Graph pour la configuration de référence choisie
Pour les éléments de stockage :
18
9
pX
i q ; vecteur d’état composé des variables d’énergie en causalité intégrale
(moment généralisé noté p dans les éléments I et le déplacement généralisé noté q
dans les éléments C).
18
9
fZ
i e; vecteur d’état complémentaire composé des variables de puissance (flux
f dans les éléments I et l’effort e dans les éléments C).
18
9
.
i
eX
f
La relation .Z F Xi i
décrit les composants de stockage d’énergie. Dans notre cas,
cette relation est décrite par : 18 18
9 9
1 0
.1
0 C
f pL
e q
Pour les éléments dissipatifs :
17 inD f et 17outD e représentent respectivement les variables en entrée et en
sortie des éléments R.
Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2
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.out inD d D . Dans notre cas, cette relation est décrite par : 17 17.e R f
Pour l’entrée :
'
EU
E ; vecteur composé des sources du système physique.
Pour les cellules de commutation :
2
12
4
13
outm
e
eS
f
f
: vecteur composé des variables des sources d’effort ou de flux nuls.
La méthode consiste à exprimer i
in
X
Den fonction de
i
outoutm
ZD
SU
. Pour obtenir le modèle
d’état, on peut identifier les matrices d’état et de commande à partir de la forme
structurelle suivante :
11 12 13 13
21 22 23 23
.
.
i
out
outm
in
Z
DS S T SX
S S T S SDU
(23)
Avec 13
23
TT
T une matrice qui dépend de l’état des interrupteurs.
2.1.2 Détermination des éléments de la forme structurelle
L’étape suivante est donc de déterminer les éléments de la forme structurelle.
Généralement, ces éléments sont déduits à partir des équations mathématiques liant les
variables d’entrée et de sortie. Ce travail est à refaire pour chaque mode de
fonctionnement du système physique. Pour remédier à ces calculs fastidieux, l’idée est
de chercher un moyen plus rapide pour retrouver la forme structurelle à chaque
commutation, pour pouvoir identifier les matrices d’état et de commande à partir des
matrices de jonctions calculées. Pour ce faire, une nouvelle approche a été développée
dans cette thèse [TRA08a], dont le principe est d’établir, entre deux éléments reliés
par un chemin causal, les relations effort-effort et flux-flux de la manière suivante :
Relation entre source et élément de stockage :
Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2
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Si on raisonne sur la variable effort : on part de la source vers l’élément en question
et on compte le nombre de changements n1 de sens de la causalité par rapport au
sens du transfert de puissance (sens des demi-flèches) sur les jonctions 1.
Si on raisonne sur la variable flux : on part de la source vers l’élément en question et
on compte le nombre de changements n2 de sens de la causalité par rapport au sens
du transfert de puissance (sens des demi-flèches) sur les jonctions 0.
1 2( 1) et ( 1)n ne E f I (24)
Relation entre les éléments de stockage :
Si on raisonne sur la variable effort : on part de l’élément C vers l’élément I et on
compte le nombre de changements n3 de sens de la causalité par rapport au sens du
transfert de puissance sur les jonctions 1.
3( 1)n
I Ce e (25)
Si on raisonne sur la variable flux : on part de l’élément I vers l’élément C et on
compte le nombre de changements n4 de sens de la causalité par rapport au sens du
transfert de puissance sur les jonctions 0.
4( 1)n
C If f (26)
Relation entre l’élément de stockage C et l’élément résistif R:
Si on raisonne sur la variable effort : on part de l’élément C vers l’élément R et on
compte le nombre de changements n5 de sens de la causalité par rapport au sens du
transfert de puissance sur les jonctions 1.
5( 1)n
R Ce e (27)
Si on raisonne sur la variable flux : on part de l’élément R vers l’élément C et on
compte le nombre de changements n6 de sens de la causalité par rapport au sens du
transfert de puissance sur les jonctions 0.
6( 1)n
C Rf f (28)
Relation entre l’élément de stockage I et l’élément résistif R:
Si on raisonne sur la variable effort : on part de l’élément R vers l’élément I et on
compte le nombre de changements n7 de sens de la causalité par rapport au sens du
transfert de puissance sur les jonctions 1.
7( 1)n
I Re e (29)
Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2
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Si on raisonne sur la variable flux : on part de l’élément I vers l’élément R et on
compte le nombre de changements n8 de sens de la causalité par rapport au sens du
transfert de puissance sur les jonctions 0.
8( 1)n
R If f (30)
Ainsi, on peut déterminer les éléments Sij de la relation structurelle. Dans
notre cas, on trouve la relation suivante :
18
9
17
18 2
9 12
17 4
13
0 0 -1 1 1 0 0 1 0
0 0 0 0 0 -1 1 0 0 .
1 0 0 0 0 0 0 0 0
'
f
e
e
e e
f e
f f
f
E
E
(31)
.
11 12 13 13
21 22 23 23
out
i i out m
outin i out m
X S Z S D T S S U
D S Z S D T S S U
(32)
Si on remplace iZ par . iF X dans (32) et on utilise .out inD d D pour exprimer
outD en fonction deout
m, et X S U , on aura un modèle d’état sous la forme suivante :
outi i out mX AX BU B S (33)
Avec : 1
11 12 21 22 13 12 23. . . . , . , . . .A S S K d S F K I d S B S S K d S
Donc on aura :
1 00; ; 0
0 00 0
outout m
R
A B B SL
Donc pour cette configuration, en permutant l’ordre des variables d’état, on
aura le modèle d’état explicite suivant :
0 00 0
1 00
.
.
q q ER
E'-L
(34)
Ce modèle peut être exprimé sous forme de la formulation Hamiltonienne
hybride donnée par (8) avec 1 2 1u u .
Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2
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2.2 Changement de configuration
Pour la configuration 1 21, 0u u , le Bond Graph du système est donné par la Fig.
10.
On note que les interrupteurs Q1 et Q’2 sont modélisés par des sources
d’efforts nuls (état fermé), alors que les interrupteurs Q2 et Q’1 sont modélisés par des
sources de flux nuls (état ouvert). Le seul champ, qui présente des modifications par
rapport à la première configuration, est le champ outmS . Le nouveau vecteur est défini
par :
2
12
4
13
outm
f
eS
e
f
1Se:E O 1
Q2:0 Q1:1
1Se:E' O 1
Q'2=1 Q'1=0
1 C:C 0 1
R:R
I:L
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1516
17
18
Fig. 10 Représentation Bond Graph de la nouvelle configuration
Pour cette configuration, la relation structurelle est donnée par :
Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2
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18
9
17
18 2
9 12
17 4
13
0 1 -1 0 1 1 0 0 -1
-1 0 0 1 0 0 1 0 0 .
1 0 0 0 0 0 0 0 0
'
f
e
e
e f
f e
f e
f
E
E
(35)
En appliquant la même démarche pour cette configuration, on obtient le
modèle d’état suivant :
10
0 0
1 0 1
.
.
-q q EL
R - E'-
C L
(36)
Ainsi, tous les modèles d’états relatifs aux différentes configurations peuvent
être déterminés (voir Annexe A). Ceci présente un inconvénient majeur pour cette
méthode surtout lorsque le nombre de modes de fonctionnement est grand
(convertisseurs série à plusieurs cellules de commutation). Dans la suite on va
s’intéresser à une approche des Bond Graph commutés qui permet d’éviter ces calculs
fastidieux.
3 Modélisation implicite standard [BUI96]
Dans cette partie, le travail de modélisation consiste à rechercher une forme implicite
qui englobe tous les modes de fonctionnement du système et d’en déduire l’équation
d’état, suivant la configuration du circuit électrique en commutation. Cette méthode
est basée sur les changements de causalités des éléments de stockages d’énergie, les
interrupteurs et les éléments dissipatifs. Donc, on peut tolérer le passage de certains
éléments de stockage de la causalité intégrale à la causalité dérivée . Mais dans le cas
des convertisseurs statiques, les éléments de stockage d’énergie seront toujours en
causalité intégrale, indépendamment de la configuration du système. En effet, partant
du principe que la configuration de référence doit maximiser les éléments de stockage
en causalité intégrale, tout mode de fonctionnement peut être considéré comme une
configuration de référence.
Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2
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3.1 Formulation implicite de l’équation de structure de jonction
Les éléments constitutifs d’une représentation Bond Graph générale d’un circuit
électrique peuvent être regroupés en cinq ensembles appelés champs conformément à
la Fig. 11. Ce sont :
Un champ d’éléments produisant l’énergie et constitué des sources d’effort ou de flux
(Se et Sf).
Un champ d’éléments stockant l’énergie et constitué des éléments capacitifs C et
inductifs I (représentée par les deux blocs : Causalité intégrale et causalité dérivée).
Un champ d’éléments dissipant de l’énergie et constitué des éléments résistifs R.
Un champ d’éléments de commutation constitué des interrupteurs Sw.
Un champ d’éléments répartissant l’énergie et constitué des jonctions de type 0 ou 1,
ainsi que des éléments de type transformateur ou gyrateur modulés (MTF et MGY) ou
non (TF et GY). Ce champ est appelé structure de jonction.
Fig. 11 Vue d’ensemble d’une représentation Bond Graph
Avec, pour les circuits électriques :
Xi : vecteur composé des variables d’énergie dans les éléments en causalité intégrale (le
flux magnétique dans les éléments I et la charge pour les éléments C).
Zi : vecteur composé des variables de puissance conjugués (tension pour les éléments C
et courant pour les éléments I).
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Xd : vecteur composé des variables d’énergie dans les éléments en causalité dérivée.
Zd : vecteur composé des variables de puissance conjuguées.
Di et Do représentent les variables de puissance sortant et rentrant dans le champ R.
U : vecteur composé des variables imposées par les sources.
V : vecteur composé par les autres variables de puissance de telle sorte que VTU
représente la puissance fournie par les sources.
Ti : composé des variables imposée par les interrupteurs dans la configuration choisie :
les flux quand ils sont ouverts et les efforts quand ils sont fermés.
To : composé des autres variables de puissance dans les interrupteurs : les efforts quand
ils sont ouverts et les flux quand ils sont fermés.
A chaque commutation, les variables imposées par les interrupteurs changent.
Ce changement provoque le changement de causalité, pour certains éléments, mais pas
pour les éléments de stockage, dans le cas des convertisseurs statiques, comme il a été
déjà mentionné.
Les interrupteurs étant dans une configuration donnée, chaque sortie de la
jonction .
( , , , )i d o oX Z D T peut s’écrire en fonction de toutes les entrées.
( , , , )d i i iX Z D T .
Ces relations peuvent être regroupées dans l’équation implicite suivante:
11 13 14 1512.
12 24 25
.
13 33 34 35
24 14 34 44 45
0 0 0
0 0 00 0
0 0 0 0
0 0 0
i
dT
ii
oT
idT T T o
ZS S S SI S Z
DS I S SXD
S S I S S TXTS S S S I SU
(37)
Cette équation est appelée forme standard implicite. La relation liant le
vecteur d’entrée au vecteur de sortie peut contenir des matrices identités, nulles ou
quelconques. Ces dernières sont composées de 0, ±1 et des coefficients des gyrateurs
et des transformateurs.
La matrice identité de la première ligne permet de définir le vecteur.
iX , celle
de la deuxième ligne définit Zd, celle de la troisième Do et celle de la quatrième To.
Ainsi cette équation peut être simplifiée, vu que les composantes des éléments en
causalité dérivée sont toutes nulles, et écrite de la manière suivante :
.
11 13 14 15
13 33 34 35
14 34 44 45
ii
iTo
iT To
ZS S S SX
DD S S S S
TT S S S S
U
(38)
On note que cette équation est algébriquement correcte pour toutes les
configurations du système en commutation. Cette relation sera différente d’un mode
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de fonctionnement à un autre et elle permettra de déduire le modèle d’état explicite
pour chaque configuration.
En se référant à la représentation Bond Graph donné par la Fig. 9 et en
considérant la configuration 1 2 1u u comme configuration de référence, on définit :
2 2
18 18 4 417 17
9 9 12 12
13 13
; ; ; ; ; ;'
i o i o
e f
p f f e EXi Zi D e D f T T U
q e e f E
f e
Les éléments Sij sont déduits en appliquant la méthode définie précédemment.
Donc, on obtient la relation suivante :
18
9
17
2
4
12
13
0 0 -1 1 0 1 0 1 0
0 0 0 0 -1 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 -1 0 0 0 0
0 -1 0 1 0 0 0 1 1
1 0 0
e
f
f
f
e
f
e
18
9
17
2
4
12
130 0 0 -1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0
'
f
e
e
e
f
e
f
E
E
(39)
3.2 Equation d’état de la configuration de référence
Pour trouver l’équation d’état de la configuration de référence, on définit la relation
constitutive du champ R et la relation constitutive des champs I et C (stockage).
La relation constitutive du champ R (éléments résistifs) s’écrit :
.i oD d D
Avec d une matrice diagonale positive qui représente la relation entrée/sortie
du champ R.
Dans un cas linéaire, la loi constitutive pour les champs de stockage I et C
s’écrit :
.ii i
Td dd
F FZ X
Z XF F (40)
Avec F une matrice symétrique positive.
En effectuant les simplifications nécessaires, on peut déduire l’équation
suivante pour la configuration de référence choisie :
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.
15 13 3512
.2512 12
133
11 13 13
0 0
Avec ( )
( )
i i i
T T Tdi d
d
T
KF KF X S S HSI S XU
X SS F F S F FX
H d I dS
K S S HS
(41)
Vu que tous les éléments de stockage sont en causalité intégrale, l’équation
d’état peut être écrite sous la forme suivante :
.
15 13 35. ( )i iXi K F X S S HS U (42)
Pour le convertisseur à deux cellules de commutations, le modèle d’état pour
la configuration de référence choisie est donné par :
.
.
0 0 0 0
1 0 '0
q q ER
EL
(43)
Donc, on retrouve le modèle d’état obtenu par la première méthode pour la
même configuration de référence.
3.3 Détermination des configurations acceptables
Partant de la configuration de référence qui peut être choisie d’une façon aléatoire, il
est nécessaire de vérifier pour chaque commutation, si la nouvelle configuration est
physiquement réalisable. En général, dans un système, toutes les configurations ne
sont pas acceptables. Certaines ne respectent pas les lois de Kirchhoff. Pour vérifier
cette acceptabilité, il faut tout d’abord définir une matrice des états des interrupteurs
qui changera à chaque commutation. Ensuite, un test de rang permettra de conclure
quant à l’acceptabilité de la configuration.
La matrice des états des interrupteurs est définie en établissant la relation
entre les nouveaux vecteurs Ti’ et To’ après chaque changement de mode en fonction
de Ti et To. Cette relation est définie par :
'
'
i i
o o
T TI
T TI (44)
On définit comme une matrice carrée diagonale SW SWn nR Ses éléments
diagonaux valent 1 si l’interrupteur correspondant a commuté 0 sinon.
Si k est le nombre d’interrupteurs ayant commuté, la nouvelle configuration
peut aussi être définie par SWk nR , issue de par suppression de toutes ses lignes
nulles. Donc on aura :
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T
TI
(45)
Une fois la matrice est définie, une configuration n’est considérée
acceptable que si et seulement si :
kSSSrangTTT))(( 443414
Ce test de rang permet aussi de préciser les éléments qui vont changer de
causalité. Si rang de 44TS k , la causalité n’est modifiée que pour les
interrupteurs. Si rang de 44TS k mais rang de 34 44( ( ))T TS S k , alors la
causalité d’éléments R change également. Dans les autres cas, certains éléments de
stockage perdent leur causalité intégrale.
Ce principe va être appliquée pour tester l’acceptabilité de la configuration
choisie dans la section 1.2 ( 1 21, 0u u ). Pour cette configuration, on note la
commutation des interrupteurs Q2 et Q’2. Donc, la matrice des états des interrupteurs
sera définie par :
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(46)
Cette configuration est acceptable puisque 14 34 44( ( )) 2T T Trang S S S
qui est le nombre des interrupteurs qui ont commuté.
3.4 Changement de configuration et conséquence sur la forme
standard implicite
Pour chaque commutation, les interrupteurs changent de causalité. Ce changement se
répercute sur les autres éléments du Bond Graph. Pour les convertisseurs statiques, ce
changement de causalité n’est présent qu’au niveau des jonctions, des éléments
résistifs, des transformateurs et des gyrateurs. Donc, les éléments Sij, constitutifs de
l’équation d’état, vont changer en fonction des nouveaux vecteurs. Ces matrices
peuvent être déduites directement, en utilisant la matrice des états des interrupteurs
qui correspond à la nouvelle configuration, à partir des équations suivantes :
1 1 111 11 14 14 13 13 14 34 15 15 14 45
1 133 33 34 34 35 35 34 45
1 144 44
( ) ; ( ) ; ( )
( ) ; ( )
( ) ( )
T T
T
T T
S S S S S S S S S S S S
S S S S S S S S
I I S S
(47)
Si on applique ces équations pour la configuration 1 21, 0u u , on trouve le
modèle d’état explicite suivant :
Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2
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10
0 0
1 0 1
.
.
-q q EL
R - E'-
C L
(48)
Ceci rejoint le résultat obtenu dans (36). Ainsi, on peut déterminer les
différents modèles explicites correspondants aux différents modes de fonctionnement
du système étudié.
4 Modélisation explicite standard
4.1 Principe de la méthode
Le principe de cette méthode est de définir une équation d’état standard qui permet
d’expliciter un modèle d’état hybride. Le terme hybride signifie que les matrices
d’état et de commande sont exprimées en fonction de la commande des éléments en
commutation.
4.2 Application à l’onduleur monophasé débitant sur une charge RL
Cette méthode sera appliquée sur le convertisseur à trois cellules de commutation
débitant sur une charge RL (Fig. 12).
La première étape consiste à choisir une configuration de référence qui
maximise les éléments de stockage en causalité intégrale. La configuration choisie est
telle que les interrupteurs Q3, Q2 et Q1 sont ouverts. La représentation Bond Graph,
correspondant à cette configuration, est donnée par la Fig. 13.
Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2
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E
R
L
E2
Q3
E1
Q2 Q1
Q’3 Q’2 Q’1
u3 u2 u1
I
E’
C2 C1
Fig. 12 Convertisseur à 3 cellules de commutation débitant sur une charge RL
1Se:E1
O 1
Q3:0 Q2:0
1Se:E' O 13
Q'3=1 Q'2=1
1
Ic
C:C2 0
23
24
1
R
I:L
25
I
26I
I 27
1
Q1:0
1
Q'1=1
C:C1
O
O
1
2
5 10 14 19
12 21
7
9
8
6
4
11 15 20
18
16
17
13 22
Fig. 13 Représentation Bond Graph du convertisseur à trois cellules de commutation
Ensuite, il faut déterminer les vecteurs en entrée et en sortie de la structure de
jonction. Ces vecteurs sont donnés par :
2 2
4 427 27
12 129 9 26 26
13 1318 18
21 21
22 22
; ; ; ; ; ; '
i i i o o i
e f
f ep f
e f EX q Z e D e D f T T U
f e Eq e
e f
f e
Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2
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L’étape suivante consiste à déterminer la relation liant les vecteurs d’entrée
aux vecteurs de sortie de la structure de jonction. Cette relation est donnée par:
0 0 0 -1 0 1 0 1 0 1 0 -1
0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 -1
1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0
0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0
0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
e27
f9
f18
f26
e2
=f4
e12
f13
e21
f22
f27
e9
e18
e26
f2
e4
f12
e13
f21
e22
E
E'
(49)
L’originalité de l’idée proposée dans cette partie, est de pouvoir déterminer
un modèle d’état explicite standard englobant toutes les configurations du système. Ce
modèle est déduit à partir d’une équation d’état calculée en fonction des données de la
configuration de référence et de la matrice des états des interrupteurs. En effet, il faut
exprimer cette équation d’état en fonction des commandes appliquées sur les éléments
en commutation. Pour ce faire, l’idée est d’exprimer la matrice des états des
interrupteurs, en fonction de ces commandes. Habituellement, un élément diagonal de
cette matrice prend un 1, si l’élément correspondant a commuté, ou 0, sinon. Donc,
pour l’exemple du convertisseur à trois cellules de commutation, si on prend comme
configuration de référence 1 2 3 0u u u , on peut mettre directement la commande
appliquée sur les interrupteurs au niveau des éléments diagonaux de la matrice. En
conséquence, lorsqu’un interrupteur commute, l’élément prend un 1 qui correspond à
la commande appliquée sur cet élément de commutation. Donc pour cette
configuration de référence, la matrice est définie comme suit :
3
3
2
2
1
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
u
u
u
u
u
u
(50)
Ensuite, l’équation d’état sera écrite en fonction de cette matrice de la
manière suivante :
.
15 13 35. ( ( ) ( ) ( ))i iXi K F X S S HS U (51)
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Cette équation est valable pour toutes les configurations du système. Pour
chaque mode de fonctionnement, il suffit de remplacer les commandes ju appliquées
sur les interrupteurs par leurs valeurs pour trouver le modèle d’état correspondant. A
partir de cette équation, on peut donc déduire le modèle d’état explicite standard
suivant :
2 1
11
3 22 2
3 32 31 2
1 2
0 0
0 0
0 0 0 0
1'
-.
L
. -= +
L. ---
-
u u
Eu uq q
Eu u
u uu u R
C C L
(52)
Ce modèle englobe les variables continues et discrètes du système. Il
représente l’aspect hybride du système considéré .
4.3 Application à l’onduleur monophasé alimentant une MCC
Dans cette partie, la modélisation explicite standard sera appliquée au convertisseur à
trois cellules de commutation, alimentant une MCC donné par la Fig. 14.
E
R
LE2
Q3
E1
Q2 Q1
Q’3 Q’2 Q’1
u3 u2 u1
I
E’
kΩ
C2
Fig. 14 Convertisseur à 3 cellules de commutation alimentant une MCC
La MCC sera ensuite utilisée en fonctionnement moteur et sera alimentée par
la tension de sortie du convertisseur. Les équations caractéristiques de la machine à
courant continu, pour ce fonctionnement, sont données par :
Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2
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..
. .
.
E kCem k I
dIU R I L E
dtd
J Cem f Crdt
(53)
Généralement, la représentation Bond Graph d’une machine à courant continu
est donnée par la Fig. 15.
Pour le moteur considéré, la constante de temps mécanique (J/f) est de l’ordre
de 175ms alors que la constante de temps électrique (L/R) est de l’ordre de 10ms.
Donc la dynamique du courant est très rapide par rapport à celle de la vitesse dans le
régime transitoire et la séparation des modes mécaniques et électriques est possible.
Par conséquent, on peut considérer que la vitesse du moteur varie peu sur un pas de
calcul. Pour cette raison, la vitesse du moteur sera considérée comme constante sur
une période.
Ainsi, lors de la modélisation, on va considérer que l’équilibre mécanique est
établi et on ne prendra pas compte de l’inertie J et du frottement f. La vitesse du
moteur sera considérée comme une entrée et elle sera présentée par une source de
flux. Le modèle Bond Graph de l’ensemble convertisseur-moteur est donné par la Fig.
16.
Se:U 1
R:R
I:L
Se:CrGy
k
R:f
I:J
1U E Cem Cr
I I ΩΩ
Ω
Fig. 15 Représentation Bond Graph d’une MCC
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1Se:E
2
1 5 O 10 1
Q3:1 Q2:1
1Se:E'
4
O 13 6 11
Q'3:0 Q'2:0
1
7
8
C:C2
12
O
1
O 1
1
Q'1:0
C:C1
Q1:1
O 1
R:R
I:L
9
13
14
15
16
171
18
19
20
22
24
23
25
26
27
21
Sf:ΩGy:k
Fig. 16 Bond Graph du convertisseur à trois cellules alimentant une MCC
Cette représentation permet de définir les vecteurs suivants :
2 2
4 427 27
12 129 9 26 26
13 1318 18
21 21
22 22
; ; ; ; ; ; 'i i i o o i
e f
f ep f E
e fX q Z e D e D f T T U E
f eq e
e f
f e
L’étape suivante consiste à définir les relations entre les vecteurs d’entrée de
la structure de jonction et les vecteurs de sortie. Ces relations sont donnée par :
0 0 0 0 -
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -1 1 1 1 0 -1
0 1 -1 0
0 0 1 -1
1 0 0 0
1 0 0 1 0 0 -1 -1
1 -1 0 0
-1 1 0 0 1 0 0 0
1 0 -1 0
0 -1 0 0 0 1 0 0
1 0 0 -1
27 kf9
f18
f26
e2=
f4
e12
f13
e21
f22
e
27
9
18
26
2
4
12
13
21
220
0
'
f
e
e
e
f
e
f
e
f
e
E
E
(54)
Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 47
Cette relation permettra de déterminer, à partir de l’équation d’état
paramétrée en fonction de la matrice des interrupteurs, le modèle d’état explicite
standard suivant :
2 1
11
3 22 2
3 32 31 2
1 2
0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 '
1
-.
L
. -= +
L.
---
u u
qEq
u uq q E
u u ku uu u R
C C L
(55)
5 Conclusion
L’approche présentée dans ce chapitre est applicable aux dispositifs composés d’un
système continu commandé par un modulateur d’énergie possédant un nombre fini de
configurations. Ces configurations sont déterminées, selon l’état des éléments en
commutation du modulateur. Dans le cas des convertisseurs statiques, ces éléments
sont composés de diodes, transistors et de thyristors. Dans le contexte du formalisme
Bond Graph exposé, ces éléments sont modélisés par des sources nulles. A chaque
mode de fonctionnement, ces sources changent de causalité et ce changement se
répercute sur la causalité des autres éléments constitutifs de la représentat ion Bond
Graph. Selon les méthodes, ces changements peuvent alors avoir des répercussions sur
l’équation d’état du système.
Dans ce contexte, la première méthode exposée permet de définir une
équation d’état pour chaque mode de fonctionnement. Ceci représente un
inconvénient, puisqu’on est obligé d’établir un Bond Graph pour chaque configuration
et de refaire les calculs pour chaque représentation. Dans le cas des convertisseurs
multicellulaires à n cellules de commutation, il existe 2n configurations possibles, ce
qui rend cette méthode peu utilisable pour ces structures.
La deuxième méthode propose une forme standard implicite calculée
formellement après une mise en équations tenant en compte de la causalité affectée
pour une configuration appelée configuration de référence. Cette configuration est
choisie pour qu’elle maximise le nombre d’éléments de stockage en causalité
intégrale. A partir de cette forme standard, l’équation d’état paramétrée est calculée à
chaque commutation, en fonction d’une matrice des états des interrupteurs définie,
pour en déduire le modèle d’état explicite correspondant.
La troisième méthode proposée présente une extension de la méthode de
formalisation standard implicite. L’idée proposée est de paramétrer la matrice des
états des interrupteurs directement en fonction de la commande appliquée aux bornes
des éléments en commutation. Ceci permet d’avoir une équation d’état paramétrée
standard et par conséquence un modèle explicite standard paramétrée en fonction de la
Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 48
commande appliquée aux interrupteurs, ce qui reflète la nature hybride du système
considéré.
Les avantages et les inconvénients de chaque méthode sont résumés par le
tableau suivant :
Avantages Inconvénients
Modélisation
explicite par mode Simple Un Bond Graph par
configuration
Longue
Modélisation
implicite standard Un seul Bond Graph
Forme implicite standard
Un modèle pour chaque
configuration
Calculs complexes
Modélisation
explicite standard Un seul Bond Graph
Modèle explicite standard
Calculs complexes
Tableau 1 Caractéristiques des différentes méthodes de modélisation appliquées
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 49
Chapitre3 Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 51
1 Introduction
Le chapitre précédent a traité de la modélisation des SDH par la méthode des Bond
Graph commutés. Cette méthode a été appliquée sur un convertisseur multiniveaux
associé à une charge passive de type RL, puis alimentant un moteur à courant continu.
Dans ce chapitre, le but est de proposer des lois de commande permettant le contrôle
de ces dispositifs.
Tout d’abord, un tour d’horizon des commandes les plus utilisées pour le
contrôle des convertisseurs multicellulaires est effectué. Ensuite, après un rappel sur
les principales approches de la commande prédictive, deux techniques de commande à
aspect prédictif sont proposées et détaillées, en l’occurrence une commande
monocoup et une commande à base d’inversion de modèle. La première technique est
comparée, en simulation, avec une commande classique de type PI faisant appel à une
stratégie de MLI intersective. Elle est ensuite associée à un observateur adaptatif
interconnecté pour l’estimation des tensions aux bornes des condensateurs. Ces deux
lois de commandes sont testées en simulation et validées sur un banc expérimental.
2 Rappel sur les approches de commande des convertisseurs multicellulaires
Comme nous l’avons évoqué dans les paragraphes précédents, les convertisseurs
multicellulaires constituent une classe particulière des SDH. Pour commander ces
systèmes, les automaticiens se sont basés sur les approches développées pour les
systèmes continus et les systèmes à événements discrets.
Les commandes les plus classiques pour contrôler les convertisseurs
multicellulaires demeurent les commandes faisant appel à la modulation à largeur
d’impulsions (MLI) [BHA96]. Dans ces approches, le signal modulant est donné par
un correcteur et les ordres de commande des composants de puissance (interrupteurs)
sont produits par une stratégie de modulation de largeur d’impulsions (Fig. 17). Ces
ordres de commande sont générés par l’intersection entre une porteuse triangulaire et
le signal modulant dans le cas d’une MLI intersective. Le signal de commande change
donc d'état à chaque intersection de la porteuse et de la modulante.
D’autres approches de commande ont été proposées en considérant les
valeurs des rapports cycliques comme grandeurs de commande des convertisseurs.
Parmi ces méthodes, deux approches de commande découplante [GAT97] [TAC98],
qui reposent donc sur des modèles aux valeurs moyennes, dont le principe est de
découpler les grandeurs d’entrée (rapports cycliques) et les grandeurs de sortie
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 52
(variables d’état) afin de limiter l’influence de la variation d’une entrée à la variation
d’une seule variable d’état. La première approche est une commande découplante avec
retour d’état linéaire [TAC98]. L’autre approche est une commande découplante non
linéaire [GAT97]. Les deux approches partent sur le même principe de découplage,
mais une linéarisation autour d’un point de fonctionnement est nécessaire pour la
première méthode. Cette méthode représente un inconvénient majeur dans le cas où le
courant à la sortie du convertisseur est alternatif (fonctionnement en onduleur). Dans
ce cas, le domaine de validité de l’approximation linéaire sera restreint. Pour la
deuxième méthode, aucune linéarisation autour d’un point de fonctionnement n’est
faite. En effet, le principe est de trouver des matrices de découplage qui permettent le
découplage total entre les entrées et les sorties dans le cas d’un système carré. Le
problème qui peut être rencontré avec ce type de commande, est que ces matrices de
découplage sont en fonction de l’état et peuvent alors présenter des problèmes de
singularité lors de l’inversion dans le cas où les variables d’états s’annulent (courant
de charge lors d’un fonctionnement onduleur).
CorrecteurModulateur de
Puissance
Système
continu
Ordres de
commande
Grandeur de
sortie
Consigne Stratégie de
commutation:
MLI
Signal
modulant
Fig. 17 Synoptique d’une commande classique
Différents algorithmes de commande optimale ont été aussi proposés pour
contrôler les SDH. Par définition, la commande optimale est une commande qui
minimise un critère de choix donné. D’une façon plus concrète, optimiser une
trajectoire revient à chercher le chemin le plus court entre un point de départ (état du
système à un instant donné) et un point d’arrivée correspondant à une référence
imposée. Dans ce sens, différents algorithmes ont été proposés, en se basant sur la
résolution de l’équation d’Hamilton-Jacobi-Bellman, dans le but de synthétiser une
trajectoire optimale de commande des SDH [BRA95]. D’autres travaux ont été menés
pour étendre le principe du maximum de Pontryagin [PON64], proposé par des
chercheurs russes, aux SDH pour traiter des problématiques de l’optimalité temporelle
et de l’optimalité quadratique [RIE99]. Des travaux plus récents ont traité du
problème de la commande optimale pour une classe des systèmes commutés affines à
fonctionnement cyclique. La commande proposée est de type retour d’état et elle a été
illustrée sur un convertisseur à quatre niveaux de tension [PAT08a].
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 53
Par ailleurs, une approche de commande stabilisante a été appliquée sur des
convertisseurs de puissance avec des éléments de commutation [BUI05]. Cette
méthode est basée sur une fonction de Lyapunov, déduite du modèle physique, qui
permet de définir des séquences de commutation assurant la stabilisation du système
considéré autour d’une référence donnée. Une deuxième approche de commande
passive PBC (Passivity Based Control) a été exposée dans [COR05]. Cette technique,
connue comme une méthode continue efficace pour le contrôle des systèmes
physiques commutés, requiert la connaissance d’un modèle moyen. Ce modèle est
déterminé par l’intermédiaire des équations d’états, déduites à partir de la
représentation Bond Graph du système, qui vont être mises sous forme d’une
formulation Hamiltonienne à ports. Ensuite, la méthode consiste à calculer les
rapports cycliques, en fonction des variables d’état et des paramètres du système, qui
permettent d’annuler l’écart entre la consigne et la mesure. Ces deux approches ont
été comparées avec une troisième technique de commande prédictive utilisant des
procédures d’optimisation [POT05] [DEF08] dans [BAJ07] et appliquées au
convertisseur à trois cellules de commutation associé à une charge passive de type RL.
D’autres techniques de commandes par mode de glissement ont été proposées
dans [PIN00] pour la commande des convertisseurs multicellulaires.
Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser à une technique de commande
prédictive. La commande prédictive est l’une des commandes les plus utilisées dans le
milieu industriel derrière les commandes classiques de type PID. L’idée directrice
étant de prédire ou d’anticiper le comportement ou l’état futur du système, au moins
sur un certain horizon, en s’appuyant sur un modèle dynamique. Cette idée a pour
objectif de minimiser l’écart entre une trajectoire à poursuivre ou une référence
donnée au préalable et l’estimation de l’état futur du sys tème, sur un horizon fini
appelé horizon de prédiction, en tenant compte de l’état actuel du système étudié (Fig.
18). Le résultat de la prédiction sera un vecteur de commande ou une séquence dont le
premier élément est injecté au système. Durant l’intervalle de temps suivan t, une
nouvelle séquence est calculée et l’ancienne séquence sera donc décalée. Ainsi, la
commande prédictive est également appelée commande à horizon glissant ou fuyant
[BOU96]. La première génération de la commande prédictive a été appliquée dans le
milieu industriel en 1978 [RIC78] sous la nomination de MPHC (Model Predictive
Heuristic Control). Le principe de cette technique est de poursuivre une référence
mais sans tenir compte des contraintes d’exploitation du système considéré. A partir
de cette technique, qui représente la base des techniques des commandes prédictives,
d’autres stratégies permettant la prise en compte des contraintes sur les entrées et les
sorties du système sont apparues à partir des années 80 comme la commande
prédictive généralisée connue sous le nom de GPC (Generalized Predictive Control)
[CLA87] et la commande prédictive fonctionnelle nommée PFC (Predictive
Functional Control) [RIC87] [RIC93]. Ces deux techniques se réunissent dans la
philosophie de ralliement de la sortie du processus vers une référence dans le futur. Ce
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 54
principe repose sur l’utilisation d’un modèle numérique (modèle interne) qui va
permettre de calculer la sortie prédite. Ensuite, la minimisation d’un critère
quadratique d’erreur entre la sortie souhaitée et la sortie prédite va permettre au
régulateur prédictif de synthétiser une séquence de commande dont le premier élément
sera appliqué au processus. Cependant, la différence entre les deux méthodes réside
dans la mise en œuvre de cette philosophie. Par exemple, le critère quadratique à
minimiser dans le cas de GPC comprend un terme sur l’erreur entre la sortie prédite et
la sortie souhaitée calculée sur un horizon de prédiction de la sortie, et un autre terme
sur l’incrémentation de la commande. On peut aussi noter l’utilisation d’un facteur de
pondération qui permet de donner plus ou moins du poids de la commande par rapport
à la sortie dans le cas d’introduction de contraintes sur la commande . En revanche,
avec le technique PFC, il s’agit d’un critère quadratique de l’erreur entre la sortie
prédite et la sortie mesurée à des instants bien déterminés définis par les points de
coïncidence. Cette notion de points de coïncidence remplace la notion d’horizon de
prédiction de la technique GPC. Il est à noter que l’inconvénient principal de ces
techniques est le fait qu’ils demandent un temps calcul assez important même si
plusieurs opérations peuvent être effectuées hors ligne, comme lorsqu’il faut
déterminer le modèle numérique par identification. C’est pour cette raison que ces
techniques sont généralement appliquées dans le domaine de génie des procédés ou le
temps de calcul peut durer des secondes.
Toutefois, d’autres techniques de commande prédictive sont utilisées, souvent
pour le contrôle des systèmes électroniques de puissance. Elles ont été appliquées
pour la commande des moteurs [LIN07a], en tenant compte de la nature hybride du
modèle. Elles ont été aussi appliquées à une machine à induction, alimentée par un
convertisseur matriciel [VAR08].
Cette diversité dans les champs applicatifs part d’un principe unique du
phénomène de prédiction. Ce principe s’articule autour de quatre axes principaux
communs à toutes les approches :
La première étape consiste à trouver un modèle permettant de prédire le comportement
du système. Ce modèle est généralement dynamique (tient compte des variables
continues et discrètes du système électronique de puissance).
Minimisation d’un critère de choix sur un horizon fini. Ce critère est généralement une
fonction quadratique des erreurs entre la consigne ou la trajectoire de référence et la
sortie prédite.
Définition d’une séquence de commandes optimale à appliquer sur le système. Cette
étape n’est valable que si l’approche de commande adoptée nécessite plusieurs
configurations sur un pas de calcul ou un horizon fini.
Application de la première commande calculée à la prochaine période d’échantillonnage
et réitération des étapes précédentes.
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 55
Régulateur Processus
Modèle
w:référence
+-
Régulateur
prédictif à
base de
modèle
Perturbations
u y:sorties mesurées
y
Sorties prédites
Fig. 18 Schéma de principe d’une commande prédictive à base de modèle [BOU96]
Cette commande présente des performances dynamiques intéressantes. Elle a
été appliquée récemment sur les convertisseurs multicellulaires [PAT08b]. Dans la
suite du chapitre, deux approches de commandes prédictives directes seront exposées
et appliquées sur un convertisseur multiniveaux à trois cellules de commutation
débitant sur une charge. Cette appellation de commande prédictive directe est due au
fait qu’une unique commande est toujours appliquée pour un écart donné en tre la
référence et la mesure. Ceci n’est pas toujours le cas des commandes classiques où on
peut avoir une multitude de solutions pour la commande pour une seule erreur entre la
mesure et la consigne.
3 Commande monocoup
Dans cette partie, une approche de commande à aspect prédictif est présentée. Dans la
suite du manuscrit, cette commande est appelée commande monocoup (CM). Cette
appellation est due au fait que, durant une période, une seule configuration est
appliquée au convertisseur, quel que soit l’écart entre la référence et la mesure.
3.1 Principe de la méthode
Le principe de la commande monocoup proposée est illustré par la Fig. 19. Cette
technique de commande a été utilisée dans [HOL99] pour la régulation et le suivi de
trajectoire. Elle peut être aussi appelée commande hybride [LIN07b]. L’aspect
hybride réside dans le fait que l’on ne dissocie plus le modulateur de puissance et le
système lors de la modélisation; on modélise l’ensemble modulateur de puissance -
système à commander. C'est-à-dire que la modélisation comporte à la fois des
variables continues et discrètes. Cette combinaison est illustrée par le modèle donné
en (52).
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 56
Ce type de modélisation peut être réalisé sur plusieurs systèmes physiques
qui peuvent être considérés comme des SDH. Parmi ces systèmes, on peut citer :
Système relais – four :
Modulateur de puissance : relais à deux états
Système à commander : four électrique
Système distributeur – vérin pneumatique :
Modulateur de puissance : distributeur
Système à commander : vérin pneumatique
Système onduleur triphasé – moteur asynchrone triphasé
Modulateur de puissance : onduleur
Système à commander : moteur asynchrone
Commande
prédictive
directe
Modulateur de
puissance
Système
continu
Nombre fini de
configurations possibles
Système
dynamique
Hybride (SDH)
Grandeur de
sortie
Consigne
Fig. 19 Schéma de principe de la commande monocoup
Dans notre cas, l’actionneur correspond à l’onduleur multiniveau à trois
cellules de commutation et le système continu à commander est représenté par une
charge RL passive dans un premier temps et par le moteur à courant continu (MCC)
dans un deuxième temps.
3.2 Application : convertisseur à trois cellules de commutation débitant sur une charge RL
Le système considéré est celui donné par (Fig. 12).
Les interrupteurs (Q1, Q’1), (Q2, Q’2), et (Q3, Q’3) sont commandés en opposition. Sur
un même bras, si Qi est fermé, Q’i est ouvert et réciproquement. La commande des
interrupteurs associé à chaque cellule de commutation (Qj, Q’j) est noté
0,1 , 1,2,3ju j . Lorsque 1ju , l’interrupteur en haut de la cellule j est fermé et
celui qui est en bas sera ouvert et réciproquement. Lors du changement d’état d’un bras
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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de l’onduleur, il est impératif d’appliquer un temps mort de quelques centaines de
nanosecondes, durant lesquelles les deux interrupteurs Qi et Q’i sont ouverts, afin
d’éviter tout court-circuit. Ce temps mort est déporté de l’unité de calcul sur une
interface réalisée par un circuit FPGA.
Les condensateurs C1 et C2 sont des condensateurs polypropylènes.
L’alimentation continue est assurée par deux sources de tension continue reliées par un
point milieu.
Les diodes en antiparallèle sur les interrupteurs permettent le passage de courants
inverses.
Condition de fonctionnement: lorsque la condition donnée par (56) n’est pas respectée,
des courants inverses apparaissent au sein de la structure. Ils se rebouclent par
l’intermédiaire des diodes montées en antiparallèle sur les commutateurs de puissance.
1 20 'E E E E (56)
Les commandes uj déterminent les différents états de l’onduleur de manière à
avoir des niveaux de tension en sortie dépendant des valeurs de E1 et E2. Les 8
configurations possibles du convertisseur sont notées ( , ,..., )1 8iU t i . Chaque
configuration conduit à la charge, la décharge ou le maintien des tensions aux bornes
des condensateurs C1 et C2. Le tableau ci-dessous montre les sens de variations des
tensions E1 et E2 en fonction des huit configurations possibles de l’onduleur, pour un
courant I>0.
Les signes +/- correspondent respectivement à des dérivées positives ou
négatives des tensions E1 et E2. Le symbole 0 correspond à une dérivée nulle.
u3 u2 u1 C1 C2 .
1E .
2E
U1 0
0 0 Rien Rien 0 0
U2 0
0 1 Décharge
Rien
- 0
U3 0
1 0 Charge Décharge
+ -
U4 0
1 1 Rien Décharge 0 -
U5 1
0 0 Rien Charge 0 +
U6 1
0 1 Décharge Charge - +
U7 1
1 0 Charge
Rien
+ 0
U8 1
1 1 Rien Rien 0 0
Tableau 2 Evolution des tensions en fonction des commutations de l’onduleur (I > 0)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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L’ensemble convertisseur-charge est modélisé par un modèle englobant les
variables continues et discrètes. Ce modèle va être déduit du modèle donné par (52) en
remplaçant les variables de flux et de charge par les variables de tension et de courant.
En choisissant les deux tensions des condensateurs et le courant de charge comme
variables d’état notés 1 2( ) ( ) ( ) ( )T
X t E t E t I t et les états des interrupteurs comme
variables de commande notés 3 2 1( ) T
iU t u u u , le modèle d’état est donné par :
2 1
1 13 2
1 2
3 32 31 2
0 0 0 0
0 0 0 0
1
( )
( )
( )
'
1i
i2
i
-
-= +
----
u u
CE (t,U ) E t
u uE (t,U ) E t
CI tI(t,U ) u uu uu u R E E
L LL L L
(57)
Le modèle de ce système hybride donné par (57) peut être exprimé par :
.
( , ) ( ). ( ) ( )i i iX t U A U X t B U (58)
Pour une configuration Ui donnée, les matrices A et B sont constantes. La
solution générale de l’équation d’état continue est donnée par :
0 0
( , )( )
( , ) ( , ) ( , ). . ( )
( , )
e
e i
i e
T
i e i i i
T UA U T
e i
X t U T U X U d B U
Avec T U e
Donc le modèle d’état discret pour des commandes constantes durant un pas
de calcul peut être donné par :
( 1, ) ( , ). ( ) ( , ). ( )i e i e i iX k U T U X k T U B U (59)
3.2.1 Modèle simplifié et domaine de validité
Comme la contrainte de calcul en temps réel est importante pour le système étudié, la
recherche d’un modèle simplifié s’impose.
En choisissant une période d’échantillonnage assez petite, la rectitude des
trajectoires dans l’espace d’état peut être vérifiée . Avec cette hypothèse, les 8 états
possibles à l’instant ( 1)k peuvent être approximés par le modèle simplifié donné
par :
.
( ) = ( ) + ( ).1, ,i i eX k U X k X t U T (60)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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3.2.1.1 Domaine de validité
Dans le but de valider le modèle simplifié utilisé, une étude en simulation a été menée
en comparant le modèle discret donné par (59) développé par l’approximation de
Taylor à l’ordre 5 et le modèle simplifié utilisé illustré par (60). La simulation a été
effectuée (Fig. 20), pour la configuration U3 et un courant de 0.5A, en utilisant les
paramètres suivants :
1 2( ') 300 , 33 , 33 , 50 , 100eE E V C C F R L mH T s (61)
Il est à noter que la trajectoire sur la période Te, dans le plan (E1, E2), partant
du point de mesure 1( ) 100E k V et 2 ( ) 200E k V , demeure pratiquement rectiligne et
le module de l’accroissement de l’état est proportionnel au temps d’application. En
revanche, le point d’arrivée, calculé à partir du modèle simplifié, est différent de celui
obtenu par le modèle discret. Cette erreur varie en fonction du courant de charge.
Donc pour valider le modèle simplifié, un calcul d’erreurs sur les différentes
variables d’état est effectué en faisant varier le courant de charge.
100 100.2 100.4 100.6 100.8 101 101.2 101.4 101.6198.4
198.6
198.8
199
199.2
199.4
199.6
199.8
200
E1
E2
modèle exact
modèle simplifié
Fig. 20 Evolution des tensions avec le modèle simplifié et le modèle discret
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 60
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
I
Err
eur
sur
E1
U3
7U
U6
U2
U4
U1 U
8
U5
Fig. 21 Erreur sur E1(V) en fonction de I(A)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
I
Err
eur
sur
E2
U3
U4
U1 U
8
U2 7
U
U6
U5
Fig. 22 Erreur sur E2(V) en fonction de I(A)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 61
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
I
Err
eur
sur
I
U6
U3
7U
U5U
2
U1
U4
U8
Fig. 23 Erreur sur I(A) en fonction de I(A)
Pour un courant de 0.5A et en sélectionnant la configuration U3, l’erreur sur
la tension E1 peut être identifiée par la Fig. 20 et la Fig. 21 et elle vaut (0.2V).
Toutefois, dans ces mêmes conditions, l’erreur sur la tension E2 peut être calculée par
la Fig. 20 et la Fig. 22 et elle est de (-0.2V).
Nous pouvons noter aussi que ces erreurs sont proportionnelles à la variation
du courant. Cette proportionnalité peut être démontrée en analysant les expressions
algébriques des modèles simplifié et discret. Nous allons prendre l’exemple de la
valeur estimée de E1, à juste titre, calculée par les deux modèles. On note 1( , )e iUT la
première ligne de la matrice ( , )e iUT et 1( , )e iUT la première ligne de la matrice
( , )e iUT .
Les expressions sont données par :
1 1 1( 1, ) = ( , ). ( ) + ( , ). ( )i e i e i ik U U T U UE T X k B (62)
.
1 1 1( 1, ) ( ) ( ).i i eU UE k + E k E T (63)
En appliquant par exemple la configuration U3, on obtient les expressions
suivantes:
1 3 1 2 1 3 31, ( )e( U ) = ( ), ( ))+ + ( U ). UE k + β(E k E k δ.I(k) T , B (64)
1 3 11
( 1, ) ( ) . ( )eUT
E k + E k I kC
(65)
Il est à noter que β et δ sont des constantes qui dépendent de l’ordre de
développement de série de Taylor de 3( )( , ) eA U T
e 3T U e . Cette expansion doit être
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suffisamment développée pour permettre de se rapprocher au maximum du modèle
réel. Pendant la simulation, cette expansion est développée à l’ordre 5. Dans ce cas la
valeur du coefficient δ sera différente de la constante calculée par le modèle
simplifiée qui est égale à Te/C1. Par conséquent, le coefficient de courant ne sera
pas nul dans l’expression de l’erreur sur E1 (66) et l’erreur sera proportionnelle au
courant de charge.
1 3 1 3 1 3
1 1 2 1 3 30
constante
1
( )
= ( ( ), ( )) - ( ).
( ) ( 1, ) +1,
( ) , ) . ( )
e
e
U U U
U U
ErrE E k + E k
E k E k E k Ψ T B( I k
avecC
(66)
Ainsi, pour conclure sur la validité du modèle simplifié, les erreurs moyennes
des variables d’état sont calculées (somme des valeurs absolues des erreurs divisée par
le nombre des erreurs). Les erreurs moyennes sur les tensions sont données par :
1ErrE (V) 2ErrE (V)
U2 0.4002 0
U3 0.4075 0.4075
U4 0 0.1495
U5 0 0.4002
U6 0.1557 0.1557
U7 0.1495 0
Tableau 3 Erreurs moyennes sur les tensions en fonction des configurations
Les erreurs moyennes sur le courant de charge sont données par :
ErrI (A)
U1 0.0150
U2 0.0015
U3 0.0064
U4 0.0052
U5 0.0015
U6 0.0126
U7 0.0052
U8 0.0045
Tableau 4 Erreurs moyennes sur le courant en fonction des configurations
D’après ces tableaux, le modèle simplifié peut être validé et adopté dans
l’algorithme de commande.
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3.2.1.2 Utilisation du modèle simplifié
Pour un état mesuré X(k), en utilisant la relation (60), les 8 directions possibles dans
l’espace d’état à l’instant ( 1)k peuvent être déterminées. Un exemple de ces
directions est donné par la Fig. 24.
Pour les configurations 1U et 8U , les tensions aux bornes des capacités sont
constantes et seul le courant varie au niveau de la charge.
Pour les configurations de 2U à 7U , le courant de charge traverse une ou
deux capacités.
Donc, pour un état de commutation donné, c’est toujours le même
condensateur qui se charge et/ou qui se décharge. Par conséquent, l’orientation de s
vecteurs sur le plan (E1, E2) ne change pas (Fig. 25). Cette remarque conduit à ce que
l’amplitude des vecteurs varie linéairement avec la valeur du courant I; E1 et E2
varient beaucoup, pour des valeurs de courant élevées et peu, pour des valeurs de
courant faibles. Ceci s’explique physiquement : il transite plus de charges dans les
capacités à fort courant qu’à faible courant , pour un horizon de calcul constant.
102
103
104
105
106
107
187
188
189
190
191
192
193
194
7
8
9
10
E1 (Volt)
E2 (Volt)
I (A
) O
U8
U1U2
U6
U5
U3
U4
U7
Fig. 24 Exemple des directions possibles à un point de mesure donné
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97 98 99 100 101 102 103197
198
199
200
201
202
203
U1
U8
U7
U5U
6
U2
U4 U
3
Fig. 25 Projection des 8 vecteurs d’évolution possibles sur le plan (E1, E2), I=1A
Cette amplitude peut être calculée par :
1. .i
i
E I tC
(67)
3.2.2 Stratégie de commande
La stratégie de commande monocoup présentée repose sur trois étapes essentielles. En
fait, vu l’aspect prédictif de cette stratégie, ces étapes son t inspirées du principe de la
commande prédictive déjà présenté au début de ce chapitre. Ainsi, durant chaque
période d’échantillonnage, l’algorithme de commande procède comme suit :
Mesure des tensions des capacités 1( )E k , 2 ( )E k et du courant de charge ( )I k .
Prédiction du vecteur d’état
1 2( 1, ) ( 1, ) ( 1, ) ( 1, )T
i i i iU U U UX k E k E k I k pour les 8 configurations
possibles en utilisant la relation (60).
Choix de la configuration minimisant la distance euclidienne entre ( 1, )iUX k et
1 2
T
c c ccX E E I .
Application de la configuration sélectionnée à la prochaine période d’échantillonnage.
Cet enchaînement d’actions est donné par :
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( )1, iX k U+ɶ
Fig. 26 Enchaînement des actions dans l’algorithme de commande monocoup
3.2.2.1 Choix des tensions de référence
Dans le cas classique, la combinaison 1 2( ') /3, 2( ') /3c cE E E E E E= + = + est choisie comme référence pour les tensions des capacités dans le but de répartir également les tensions aux bornes des cellules de commutation. Ce choix mène à quatre niveaux de tension à la sortie du convertisseur. Pour augmenter ce nombre, qui
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ne peut en aucun cas être supérieur à huit, plusieurs travaux ont démontré qu’il suffit
de choisir d’autres tensions de référence pour les condensateurs [KOU02]. Le choix
des tensions de référence dépendra essentiellement du type de l’application et des
objectifs fixés. Cependant, les références permettant d’obtenir quatre niveaux de
tension en sortie du convertisseur sont considérées dans les applications de commande
des moteurs [HUA06].
Dans le cas du système considéré, une étude a été menée dans le but de
trouver les tensions de référence qui offrent au système le maximum de degrés de
liberté [TRA08b]. Un degré de liberté est défini comme la possibilité d’augmentation
ou de diminution de la valeur d’une variable d’état.
Tout d’abord, les évolutions des différentes variables d’état doivent être
étudiées à partir du modèle (57). Ces évolutions sont données par le Tableau 5.
Le but de la commande étant d’asservir le courant de charge tout en
maintenant le plus possible constantes les tensions aux bornes des condensateurs, il
est important de choisir une référence qui permet le plus de degrés de liberté pour ce
courant. L’idée est donc d’analyser les sens de variations de courant dans le plan des
tensions pour un courant de 1A (Fig. 27) en se référant au Tableau 5.
Configuration
.
1E .
2E .
I
U1 0 0 (E E') 2.R.I
2.L
U2 1
IC
0 12.E (E E') 2.R.I
2L
U3 1
IC
2
IC
1 2(E E') 2.E 2.E 2.R.I
2L
U4 0 2
IC
2(E E') 2.E 2.R.I
2L
U5 0 2
IC
2(E E') 2.E 2.R.I
2L
U6 1
IC
2
IC
1 2(E E') 2.E 2.E 2.R.I
2L
U7 1
IC
0 1(E E') 2.E 2.R.I
2L
U8 0 0 (E E') 2.R.I
2.L
Tableau 5 Variations des variables d’état
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U2=001
E2
E1
0 100 200 3000
100
200
300U3=010
E2
E1
0 100 200 3000
100
200
300U4=011
E2
E1
0 100 200 3000
100
200
300
U5=100
E2
E1
0 100 200 3000
100
200
300U6=101
E2
E1
0 100 200 3000
100
200
300U7=110
E2
E1
0 100 200 3000
100
200
300
+_
+
_
_
_ _
_
+
+
++
zone interdite zone interdite zone interdite
zone interdite zone interdite zone interdite
Fig. 27 Iso accroissement du courant de charge
Sur la Fig. 27, les configurations U1 et U8 ne sont pas représentées parce que
les tensions sont constantes. La condition de fonctionnement précédemment définie
par (56) est représentée par le domaine appelé zone interdite. Les segments en bleu
délimitent les deux domaines de variations du courant de charge (équations
algébriques obtenues en posant .
0I données par Tableau 5). Cependant, les zones
indiquées par le signe (+) représentent une variation positive du courant tandis que
celles marquées par le signe (-) représentent une variation négative. A partir de la Fig.
27, on cherche à superposer les figures qui permettent d’avoir des variations de
tensions dans le même sens. Par exemple, pour avoir une variation positive de la
tension E2, le Tableau 5 montre qu’il faut superposer les figures d’iso-accroissement
de courant de la configuration U5 et celle de la configuration U6. Ces évolutions sont
données par la Fig. 28.
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0 100 200 3000
100
200
300
E1
DeltaE2>0
E2
0 100 200 3000
100
200
300
E1
DeltaE2<0
E2
0 100 200 3000
100
200
300
E1
DeltaE1<0
E2
0 100 200 3000
100
200
300
E1
DeltaE1>0
E2
U5U6
U4
U3
U2 U6
U7 U3
Fig. 28 Evolution des tensions
E2
E1
0 50 100 150 200 250 3000
50
100
150
200
250
300
zone interdite1
2 3 4
5 6 7 8
109
Fig. 29 Délimitation du plan des tensions
Les zones indiquées en rouge signifient que les deux configurations
permettent d’augmenter la valeur de courant. Celles en vert signalent que les deux
configurations assurent une diminution du courant. Celles en bleu indiquent qu’une
configuration permet d’accroître le courant tandis que l’autre le fait décroître. La
concaténation de ces zones nous permet d’identifier sur la Fig. 29 dix zones sur le
plan des tensions.
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Maintenant, nous allons définir les degrés de liberté de chaque zone de la Fig.
29. Pour ce faire, la logique suivante est à suivre.
Tout d’abord, nous notons Ei+ (i=1,2) la direction qui illustre un
accroissement de la tension Ei et Ei- celle qui représente une diminution de Ei.
L’augmentation du courant quant à elle est notée par I+ et la diminution est notée par
I-. Ensuite, nous définissons pour chaque direction les configurations permettant
l’évolution du courant dans un sens donné en fonction du code couleur défini
précédemment. Cette évolution est donnée par le tableau suivant :
I+ I- I+ I- I+ I- I+ I-
Rouge
(R) U5U6 . U3U4 . U6U2 . U3U7 .
Bleu
(B) U6 U5 U4 U3 U6 U2 U7 U3
Vert
(V) . U5U6 . U3U4 . U6U2 . U3U7
E2+ E2
- E1- E1
+
Tableau 6 Evolution du courant en fonction du code couleur
Maintenant, nous prenons des exemples de ces zones et nous déterminons les
degrés de liberté possibles pour chaque zone.
Zone 10 : VE2+ + RE2
- + RE1+ + VE1
- = U5U6+U3U4+U3U7+U6U2.
Pour cette zone, l’évolution des variables d’état en fonction des
configurations est donnée par :
U5U6 U3U4 U3U7 U6U2
E1-
E2+
I-
E1+
E2-
I+
E1+
E2-
I+
E1-
E2+
I-
Tableau 7 Evolution des variables d’état en fonction des configurations
Donc pour cette partie du plan des tensions, seuls deux degrés de liberté sont
possibles.
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Zone 7 : BE2+ + BE2
- + BE1+ + BE1
- = U5+U6+U3+U4+U3+U7+U6+U2.
Pour cette zone, l’évolution des variables d’état en fonction des
configurations est donnée par :
U6 U5 U4 U3 U3 U7 U6 U2
E1-
E2+
I+
E2+
I-
E2-
I+
E1+
E2-
I-
E1+
E2-
I-
E1+
I+
E1-
E2+
I+
E1-
I-
Tableau 8 Evolution des variables d’état en fonction des configurations
Donc six degrés de liberté peuvent être identifiés pour cette zone du plan des
tensions.
Ainsi, nous identifions les degrés de liberté de chaque zone du domaine
physique des tensions aux bornes des condensateurs (voir Annexe B). Ces degrés sont
donnés par la Fig. 30.
Par conséquent, le meilleur choix des tensions de référence aux bornes des
condensateurs est celui qui maximise les degrés de liberté. Donc, en toute évidence,
pour une tension d’alimentation ' 300E E V , il faut prendre
1 2( /3 100 , 2( /3 200c cE E + E') V E E + E') V comme tensions de référence qui
permet d’avoir six degrés de liberté.
E2
E1
0 50 100 150 200 250 3000
50
100
150
200
250
300
zone interdite4°
4° 5° 3°
4° 5° 6° 4° 2°
3°
Fig. 30 Degrés de liberté pour les tensions de référence
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3.2.2.2 Stratégie de choix
A chaque période d’échantillonnage, l’algorithme de commande calcule la distance
entre le point de référence et le point atteignable pour chaque configuration. La
configuration qui correspond à la distance minimale est sélectionnée. Cette distance
est calculée en fonction de l’écart entre les va leurs de courant mesuré et désiré et en
fonction de l’écart entre les tensions des condensateurs mesurées et celles de
référence. Donc, vu que les valeurs des composantes sont très différentes (des
centaines de Volt pour les tensions et quelques Ampère pour le courant), l’algorithme
de commande a tendance à privilégier les tensions des condensateurs (il choisit la
configuration qui permet de réduire, au maximum l’écart entres les valeurs mesurées
et celles de référence des tensions des condensateurs), alors que l’objectif principal est
d’asservir le courant dans la charge.
Pour remédier à cette contrainte, les variables d’état seront normées. Pour
effectuer cette normalisation, il est indispensable de calculer les variations maximales
que subissent les variables d’état sur un pas de calcul. Ces accroissements sont donnés
par :
1max 2max max1 2
2. 2. '. , . , .e e e
I I E EE T E T I T
C C L (68)
Ces excursions, autour d’un point de mesure ( )X k donné, forment un
parallélépipède (Fig. 31) dont la hauteur est définie par les configurations U1 et U8 qui
assurent la variation maximale du courant de charge.
La commande à l’instant k sera définie par la configuration assurant le
minimum de la distance Euclidienne dans l’espace d’état normalisé entre le point de
consigne et les extrémités des vecteurs correspondant aux 8 configurations du
convertisseur.
2 2 21 1 2 2
1max 2max max
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
.
c i c i c ii
E E U E E U I I Udist
E E I (69)
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E1 E2
deltaE1max
deltaE2max
deltaImax
I
Fig. 31 Volume d’évolution des variables d’état autour d’un point de mesure
On note µ un paramètre de réglage qui permet de pondérer entre la poursuite
de courant et le maintien des tensions aux bornes des condensateurs. En fait, les
variables d’état sont liées et l’évolution d’une variable dépend de la variation des
autres composantes du vecteur d’état. Donc si on donne plus de liberté à la poursuite
des tensions, la poursuite de courant sera meilleure. Une amélioration de la poursuite
des tensions E1 et E2 provoque plus d’oscillations sur le courant de charge. Donc il
faut trouver un compromis pour ajuster la valeur du facteur de pondération µ de façon
à réduire les oscillations sur le courant (objectif principal) tout en assurant une
évolution raisonnable des tensions. Cette valeur est déterminée expérimentalement et
sera maintenue constante, durant l’exécution de l’algorithme. Quand µ est petit, la
priorité est donnée à la poursuite de courant. Si µ augmente, la priorité est donnée à la
poursuite des tensions.
3.2.3 Etude comparative en simulation avec une méthode de commande
classique
Afin de montrer les avantages de la méthode proposée de commande monocoup, une
étude comparative en simulation a été effectuée avec une méthode classique de
commande de type (PI) avec une stratégie de MLI intersective.
Généralement, la stratégie MLI consiste à comparer une modulante à une
porteuse triangulaire. Cette approche de modulation nécessite autant de porteuses
triangulaires que des cellules de commutation à commander. Les trois grandeurs de
commande, dans le cas du convertisseur série à trois cellules de commutations, sont
donc générées en comparant directement un signal modulant sinusoïdal avec trois
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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porteuses triangulaires déphasées entre elles d’un tiers de la période de modulation.
Ces déphasages entre les porteuses conduisent à avoir un courant moyen nul au niveau
des condensateurs ce qui permettra de maintenir les références des tensions aux bornes
de celles-ci.
Le signal modulant est généré à la sortie d’un correcteur de type PI et il
permet d’asservir le courant au niveau de la charge.
Les simulations ont été effectuées pour les deux types de commande à
comparer avec : 1 2 33 , 33 , 50 ,( ') 300C C F R L mH E E V . Les tensions de
références aux bornes des condensateurs ont été fixées à
1 2( ') /3, 2( ') /3c cE E E E E E avec une référence de courant sinusoïdale
d’amplitude 3A et de fréquence 50Hz. Pour la stratégie MLI, la période de modulation
est fixée à 1ms avec une période de calcul de 10 s. Pour la commande monocoup, la
période d’échantillonnage a été fixée à 70 s et un facteur de pondération égal à 0.1.
Correcteur
PI
I
MLI
intersective
#
I
E
R
LE2
Q3
E1
Q2 Q1
Q’3 Q’2 Q’1
I
E’
Fig. 32 Synoptique de la commande avec MLI appliquée au convertisseur
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
I
Ic
Fig. 33 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) avec MLI
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
I
I#
Fig. 34 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) avec CM
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0480
90
100
110
120
E1
E1c
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04180
190
200
210
220
E2
E2c
Fig. 35 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) avec MLI
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0480
90
100
110
120E1
E1#
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04180
190
200
210
220E2
E2#
Fig. 36 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) avec CM
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0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
Vo
Fig. 37 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s)
On note le déphasage entre la référence et la mesure de courant avec la
commande PI associée à une stratégie de MLI intersective (Fig. 33). Ce déphasage est
dû à l’action du correcteur PI qui induit un retard de phase. De plus, il est à noter que
le taux de distorsion harmonique du courant (THDi) est de 0.93% avec la commande
classique alors qu’il est de 0.53% avec la commande monocoup. On note aussi une
erreur de 10V sur les tensions aux bornes des condensateurs avec la méthode
classique (Fig. 35) alors qu’elle est de 4V pour la commande monocoup (Fig. 36).
Les niveaux de tension obtenus aux bornes de la charge obtenus par les deux
méthodes sont donnés par la Fig. 37. Chaque front montant ou descendant de la
tension de sortie est d’une amplitude égale à E/p avec p le nombre de cellules de
commutation du convertisseur. Dans notre cas, p=3, on peut distinguer quatre niveaux
de tension différents (E+E’)/2, (E+E’)/6, -(E+E’)/6, -(E+E’)/2.
Pour réaliser de manière expérimentale une commande faisant appel à une
stratégie de MLI, deux solutions sont possibles. La première solution, entièrement
analogique, consiste à utiliser trois comparateurs entre le signal modulant et les
porteuses triangulaires. La deuxième solution consiste à utiliser un signal modulant
numérique. Les trois porteuses triangulaires sont générées par trois compteurs-
décompteurs cadencés par une horloge. La précision sur l'amplitude et le déphasage
des porteuses est alors bien meilleure que dans le cas d’une réalisation analogique. Par
ailleurs, vu que la comparaison numérique entre les porteuses triangulaires et le signal
modulant nécessite une fréquence d'échantillonnage très élevée de ce dernier (100
KHz dans le cas de la commande à base de MLI présentée dans ce paragraphe), elle
sera effectuée à l'intérieur d'un FPGA, par exemple. Cependant, cette méthode de
comparaison peut induire un problème de coût.
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 77
Pour ces deux solutions, des temps morts doivent être obligatoirement
introduits au niveau des signaux de commande afin d’éviter les courts -circuits des
sources de tensions dans le cas de fermeture des deux interrupteurs d’une cellule de
commutation.
3.2.4 Validation expérimentale
3.2.4.1 Description du banc expérimental
Le convertisseur utilisé (Fig. 38) comprend trois cellules de commutations qui
contiennent chacune les deux MOSFET et les deux diodes. Deux drivers sont utilisés
pour commander les transistors de chaque bras. Les condensateurs à potentiels
flottants sont de 33μF chacun alors que la charge est composée d’une résistance de
33Ω et d’une inductance d’une valeur de 50mH. Le bus continu est alimenté par deux
sources de tensions Xantrex réglée chacune à 150V.
Pour tous les résultats expérimentaux présentés dans ce document, les calculs
sont effectués à l’aide d’une carte d-Space dS1104. Elle inclut un processeur PPC
603e cadencé à 250MHz ainsi qu’un processeur esclave TMS320F240 à 20MHz. Les
algorithmes présentés ont été codés en langage C. Les durées d’exécution des
algorithmes sont mesurées grâce aux commandes RTLIB_TIC_START() et
RTLIB_TIC_READ() inclues dans les bibliothèques fournies par d-Space.
Le logiciel ControlDesk est utilisé comme panneau de contrôle, afin de
visualiser des valeurs mesurées ou calculées (courant de charge, tensions aux bornes
des condensateurs, tension au niveau de la charge, états des interrupteurs, rapports
cycliques…) et d’imposer des consignes (références pour le courant et les tensions aux
bornes des condensateurs).
La période d’échantillonnage a été fixée à 70μs pour un temps de calcul de la
commande de 32μs.
A chaque période de calcul, une interruption est déclenchée permettant à la
loi de commande de déterminer l’état de commutation 3 2 1
TU t u u u à
appliquer en fonction de l’état mesuré et du point de consigne à suivre. Les sorties
utilisées sur la carte d-Space sont les sorties numériques. Ces sorties vont piloter une
carte FPGA (Fig. 41) qui permet de gérer les temps morts et de faire la liaison au
moyen des fibres optiques avec les drivers.
Les fibres optiques sont utilisées afin de réaliser une isolation galvanique
entre la partie commande et la partie puissance. Le schéma global de la maquette
expérimentale est donné par Fig. 42.
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 78
Fig. 38 Convertisseur à trois cellules de commutation utilisé
Fig. 39 Charge RL
Fig. 40 Interface de connexion de la carte d-Space dS1104
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 79
Fig. 41 Interface entre la carte d-Space et les drivers
Fig. 42 Schéma complet de la plate-forme expérimentale
3.2.4.2 Résultats expérimentaux et interprétations
Plusieurs tests ont été effectués pour montrer l’influence du facteur de pondération µ.
La valeur de ce facteur est fixée en ligne. Un premier essai a été effectué, pour une
consigne de courant sinusoïdal d’amplitude 3A et de fréquence 50Hz, avec une valeur
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 80
de µ fixée à 0.3. Durant cet essai, on peut noter une poursuite de la consigne de
courant avec une erreur moyenne de 48mA (Fig. 43), alors que les tensions des
références des condensateurs sont maintenues avec des erreurs moyennes de 1.4V sur
E1 et 1.3V sur E2 (Fig. 44)
Un deuxième test a été effectué avec la même consigne de courant, en
diminuant la valeur µ qui sera fixée à 0.1. Ce test a révélé une poursuite de courant
avec une erreur moyenne de 46mA (Fig. 45) alors que les tensions aux bornes des
condensateurs sont maintenues autour des valeurs de référence avec des erreurs
moyennes de 1.52V sur E1 et 1.4V sur E2 (Fig. 46). Ainsi, plusieurs essais ont été
effectués afin de trouver un compromis permettant d’assurer la poursuite convenable
des trois variables d’état.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Ic
I
Fig. 43 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 81
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0490
95
100
105
110
E1c
E1
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04190
195
200
205
210
E2c
E2
Fig. 44 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Ic
I
Fig. 45 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 82
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0490
95
100
105
110
E1c
E1
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04190
195
200
205
210
E2c
E2
Fig. 46 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)
Cette influence du facteur de pondération µ sur les différentes d’état peut être
illustrée par la Fig. 47. Il est à remarquer que l’erreur moyenne sur le courant de
charge varie peu en fonction de µ (15mA), ce qui explique la bonne stabilité de
courant pour différentes valeurs de µ.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
0,1 0,2 0,4 0,5 0,6 0,7
mu
Err
eu
rs m
oy
en
ne
s (
V)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
Err
eu
r m
oy
en
ne
(A
)
E1
E2
I
Fig. 47 Evolution des erreurs en fonction du facteur de pondération
Il est à noter aussi que les erreurs sur les tensions aux bornes des
condensateurs sont dépendantes du courant de charge. En effet, pour une valeur du
facteur de pondération fixée, plus que le courant circulant dans la charge est grand
plus que les erreurs sur ces tensions sont importantes (Fig. 48).
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 83
Les niveaux de tension aux bornes de la charge sont donnés par la Fig. 49. On
peut distinguer quatre niveaux de tension différents (E+E’)/2, (E+E’)/6, -(E+E’)/6, -
(E+E’)/2.
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4- 1 0
0
1 0
e r r e u r E 1
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4- 1 0
0
1 0
e r r e u r E 2
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4- 0 . 5
0
0 . 5
e r r e u r I
1( )ErrE V
2 ( )ErrE V
( )ErrI A
( )I A
Fig. 48 Evolution des erreurs en fonction du courant de charge
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-150
-100
-50
0
50
100
150
Vao
Fig. 49 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s)
Le dernier essai a été effectué en appliquant une consigne de courant en
créneau d’amplitude avec 2.5A. La mesure de courant de charge atteint la référence
avec un temps de réponse lié à la constante de temps L/R (Fig. 50). Cette mesure
oscille en régime permanent autour de la référence avec une erreur moyenne de 70mA.
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 84
Les niveaux de tension de la charge sont donnés par Fig. 51. On peut toujours
distinguer les quatre niveaux atteints par la tension aux bornes de la charge. Il est
aussi à noter que les niveaux (E+E’)/2, -(E+E’)/2 sont atteints lorsque le courant de
consigne bascule sur l’une de ses valeurs limites. Ce phénomène correspond à la
sélection des configurations U1 et U8 qui permettent de varier le courant sans toucher
aux tensions aux bornes des condensateurs.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-3
-2
-1
0
1
2
3
Ic
I
Fig. 50 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
Vao
Fig. 51 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 85
3.3 Synthèse d’un observateur adaptatif basé sur la commande monocoup
L’implémentation numérique de la technique de commande monocoup présentée
nécessite les mesures de la tension d’entrée du convertisseur, des tensions aux bornes
des condensateurs à potentiels flottants et du courant qui circule dans la charge liée au
convertisseur considéré.
Cependant, la mesure la plus délicate à effectuer est celle des tensions
flottantes. Les capteurs utilisés mesurent la différence de potentiel aux bornes des
condensateurs. Ensuite, la grandeur de sortie est conditionnée et numérisée par un
convertisseur analogique/numérique. Ceci peut engendrer des contraintes
technologiques ou de coût qui peuvent être importants, si le nombre de cellules de
commutation du convertisseur augmente. Mais la connaissance de l’évolution de ces
grandeurs reste une information capitale pour élaborer les lois de commande.
Donc l’idée développée dans ce chapitre est de reconstruire l’évolution de ces
tensions flottantes par l’utilisation d’un observateur. Ce travail d’observation a été
effectué en collaboration avec Malek GHANES et Jean-Pierre BARBOT, chercheurs à
ECS (Equipe Commande de Systèmes) de l’ENSEA (Ecole Nationale Supérieure de
l’Electronique et de ses Applications).
3.3.1 Principe d’observation
Un observateur est un système bouclé qui permet de reconstruire en temps réel l'état à
partir des grandeurs de commandes appliquées sur le système et des mesures possibles
d'autres grandeurs (Fig. 52).
L’action d’observation nécessite la connaissance de deux informations
essentielles. La première information réside dans les grandeurs de commande
appliquées au système et la deuxième information est constituée de l’erreur entre les
grandeurs observées (variables d’état) et leurs mesures réelles. Cependant, on peut
souvent distinguer deux modules différents dans un observateur (Fig. 52). Le premier
module permet d'estimer les grandeurs d'états en fonction des grandeurs de commande
appliquées au système en se servant du modèle du système. Le deuxième module,
nommé gain d'observation, sert pour la mesure de l'erreur entre les grandeurs réelles
du système et celles reproduites par le modèle. Cette erreur sera d’une importance
primordiale pour la détermination du gain d’observateur afin de pouvoir injecter dans
le premier module les informations et les conditions nécessaires à la convergence du
modèle vers le système réel.
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 86
Commande Système
Observateur
Grandeurs
mesurées
Grandeurs
observées
+
-
X
XConsigne
Gain
d’observation
Fig. 52 Schéma de principe d’un observateur
Actuellement, la théorie de l’observation d’état a atteint une grande maturité
dans les domaines des systèmes continus et des systèmes à événements discrets. En
revanche, beaucoup de points et de problématiques méritent d’être traités sur le
concept de l’observabilité et de la synthèse d’observateurs de l’état discret conjoint à
l’état continu.
En effet, les premiers travaux ayant comme objectif la caractérisation de
l’observabilité des systèmes dynamiques hybrides ont été publiés dans [EZZ89].
Depuis, plusieurs travaux ont été réalisés dans le but de concevoir des observateurs
pour ces systèmes [BAL02]. Ces systèmes, bien particuliers, qui font intervenir des
phénomènes continus et événementiels, suscitent un traitement spécial pour réaliser
des observateurs qui tiennent compte de la nature hybride de ces systèmes et de la
différence de dynamiques entre les différentes variables interagissant dans le système.
Cependant, les chercheurs se sont intéressés à plusieurs classes de SDH. Des travaux
ont traité de la problématique d’observation des systèmes commutés [DAA03]
[DAA04]. Alessandri s’est intéressé particulièrement aux systèmes linéaires
commutés à temps discret par la conception des observateurs pour ces systèmes dans
[ALE03] et par l’application du principe d’observation de Luenberger dans [ALE05]
D’autres chercheurs ont collaboré pour la conception d’un observateur pour les
systèmes linéaires par morceaux [BIR06a]. Des travaux de recherches doctorales ont
fait le point sur les théories d’observabilité et de synthèse d’observateurs pour trois
classes de SDH, à savoir les systèmes linéaires à saut, les systèmes affines par
morceaux et les systèmes linéaires à commutation [BIR06b].
3.3.2 Observation des convertisseurs multicellulaires
Pour les convertisseurs multicellulaires, l’action d’observation consiste généralement
à observer en temps réel les tensions des condensateurs à potentie ls flottants à partir
de la mesure du courant de charge et de la tension d’alimentation du bus continu. Le
contrôle de ces tensions est très important parce que d’une part il conditionne la survie
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 87
du convertisseur en garantissant une répartition équilibrée des contraintes en tensions
pour éviter les surtensions aux bornes des semi-conducteurs de puissance de chaque
cellule de commutation, d’autre part il améliore la qualité spectrale de la tension à la
sortie du convertisseur. Ce contrôle nécessite donc la connaissance de ces tensions aux
bornes des condensateurs.
Plusieurs travaux ont été réalisés dans le but d’observer ces tensions. Deux
observateurs non linéaires discrets ont été exposés dans [BEN01] en l’occurrence un
observateur déterministe de Luenberger et un filtre de Kalman récursif. Une autre
technique d’observation à modes glissants a été présentée dans [BEN08].
Dans ce contexte, un observateur adaptatif interconnecté basé sur la
commande monocoup sera présenté et appliqué à un convertisseur série à trois cellules
de commutation, associé à une charge passive de type RL liée à la masse (Fig. 53). Le
schéma de principe de l’observateur appliqué sera donné par la Fig. 54.
E’’
R
LE2
Q3
E1
Q2 Q1
Q’3 Q’2 Q’1
u3 u2 u1
I
Fig. 53 Convertisseur à 3 cellules de commutation avec charge liée à la masse
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 88
E’’
R
LE2
Q3
E1
Q2 Q1
Q’3 Q’2 Q’1
u3 u2 u1
I
Gain d’observation
Modèle du système
Algorithme de
commande
Consignes
u3 u2 u1
I observé
I mesuré
Injection des
variables observées
Observateur
Fig. 54 Schéma de principe d’un observateur appliqué au convertisseur série
3.3.3 Conception de l’observateur adaptatif
3.3.3.1 Rappel sur l’observateur adaptatif [HAM90] [GHA10]
Soit le système affine en l’état suivant :
.
( ) ( ( )) ( ) ( ( ), ( )):( ) ( )
SAx t A u t x t g u t y t
y t Cx t (70)
On note nx l’état du système,
mu la commande et py la sortie.
La matrice A est dépendante de la commande u et la fonction g(u(t), y(t)) est une
injection entrée-sortie.
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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Si l’entrée u est persistante, dans le sens qu’il existe 0, , 0 0T et t et tel
que pour toute condition initiale x0 on a :
0 0, ,( , ) ( , )
t TT Tu x u x
t
I t C C t d I (71)
avec Φu,x0 la matrice de transition du système :
.
( )
x A u x
y Cx (72)
Alors un observateur exponentiel pour le système affine est donné par :
.1
.
ˆ ˆ ˆ( ) ( ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( ( ) ( ))
: ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) 2
ˆ ˆ( ) ( )
T
T TSA
x t A u t x t g u t y t P C y t y t
O P t P t A u t P t P t A u t C C
y t Cx t
(73)
On note que γ doit être positif constant et suffisamment large tel que pour
toute matrice symétrique positive P(0), la condition suivante est vérifiée :
0 0 0 0, 0, 0 : , ( )t t t I P t I (74)
Pour prouver la convergence exponentielle de l’observateur, on considère
l’erreur d’estimation ˆ( ) ( ) ( )t x t x t . Sa dynamique est donnée par :
.1( ( ( )) ) ( )TA u t P C C t (75)
Considérons maintenant la fonction candidate de Lyapunov
( ( )) ( ) ( )TV t t P t , sa dérivée tout au long de la dynamique d’erreur est donnée par :
.
( ( )) ( ( ))V t V t (76)
Alors on peut conclure que l’observateur considéré converge
exponentiellement.
3.3.3.2 Observateur adaptatif pour le convertisseur multicellulaire
Tout d’abord, il faut étudier l’observabilité du système considéré [BEJ10]. Pour ce
faire, on va se référer au modèle d’état donné par (57) qui va être adapté à la structure
du convertisseur donnée par la Fig. 53 de la façon suivante :
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 90
1
1 11
22 2 1 2 1 2 3 2
2
1 2 3
1
2
0 0
0 0
0
0 ,
''
0 0 1
.
.= +
.
- --
r
E CE
rE E avec r u u r u u
CI E
I r r R uL
L L L
E
I E
I
(77)
Ce modèle peut être alors écrit sous la forme :
.
3( ) ( )X A r X G uy CX
(78)
Pour les différentes configurations, les condensateurs ne sont pas toujours
parcourus par le courant de charge. Le courant peut passer par un ou deux
condensateurs comme il peut ne parcourir aucun condensateur dans le cas où les
interrupteurs du haut de chaque cellule sont tous fermés ou tous ouverts. Donc,
certaines configurations posent un problème d’observabilité du système étudié. Ceci
peut être prouvé en effectuant le test de rang [HER77] suivant, dans les cas où, au
moins, un condensateur est parcouru par le courant de charge:
2
( ( )) 2 3
( ( ) )
T
T
T
C
rang CA q
CA q
(79)
Dans le cas où les tensions aux bornes des condensateurs restent constantes et
seul le courant de charge varie (configurations U1 et U8), le rang de la matrice
d’observabilité défini par (79) sera égal à 1 (r1=r2=0) et il ne sera pas possible
d’observer ces tensions à partir de la mesure du courant de charge et du calcul de ses
dérivées.
Donc le convertisseur n’est pas observable pour n’importe quelle
configuration de commandes. Cependant, afin d’étudier les conditions pour lesquelles
les tensions aux bornes des condensateurs sont observables à partir de la mesure de
courant de charge, il faut analyser le fonctionnement du convertisseur pour les
différentes configurations possibles.
1er cas : r1=1, r2=0
Pour cette configuration, le courant parcourt le condensateur C1 dans le sens de la
charge (Fig. 55).
Donc la tension E1 va varier, alors que la tension E2 reste constante (80).
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 91
.
1
1
.
2
.
1
( )
( ) 0
1 ''( ) ( ) ( )
IE t
C
E t
R EI t I t E t
L L L
(80)
Donc la variable E1 est observable en mesurant le courant de charge et en
calculant sa dérivée alors que la tension E2 ne l’est pas.
2ème cas : r1=0, r2=1
Pour ce mode de fonctionnement, le courant parcoure le condensateur C2 en le
chargeant (Fig. 56).
Cette charge va provoquer la variation de la tension E2 alors que la tension E1
reste constante (81).
.
1
.
2
2
.
2
( ) 0
( )
1 ''( ) ( ) ( )
E t
IE t
C
R EI t I t E t
L L L
(81)
Donc en mesurant le courant de charge, la variable E2 est observable alors
que la tension E1 ne l’est pas.
3ème cas : r1= -1, r2= 1
Pour cette configuration, le courant parcoure les deux condensateurs en provocant la
charge de C2 et la décharge de C1 (Fig. 57).
Cette configuration va provoquer l’augmentation de la tension E2 alors que la
tension E1 va diminuer (82).
.
1
1
.
2
2
.
1 2
( )
( )
1 ''( ) ( ) ( ( ) ( ))
IE t
C
IE t
C
R EI t I t E t E t
L L L
(82)
Dans ce cas, seule la quantité E1-E2 est observable à partir de la mesure du
courant de charge et du calcul de sa dérivée.
4ème cas : r1= r2= 0
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 92
Pour cette configuration, le courant ne parcoure aucun condensateur (Fig. 58). Ainsi,
les deux tensions E1 et E2 restent constantes (83)
.
1
.
2
.
( ) 0
( ) 0
''( ) ( )
E t
E t
R EI t I t
L L
(83)
Dans ce cas, aucune des tensions aux bornes des condensateurs n’est
observable.
Ainsi on peut déterminer l’observabilité des tensions aux bornes des
condensateurs pour les différentes configurations [BEJ10]
E’’
R
LE2
Q3E
1Q2 Q1
Q’3 Q’2 Q’1
u3 u2 u1
I
Fig. 55 1er cas : Charge de C1 (configuration U7)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 93
E’’
R
LE2
Q3
E1
Q2 Q1
Q’3 Q’2 Q’1
u3 u2 u1
I
Fig. 56 2ème cas : Charge de C2 (configuration U5)
E’’
R
LE2
Q3
E1
Q2 Q1
Q’3 Q’2 Q’1
u3 u2 u1
I
Fig. 57 3ème cas : Charge de C2 et décharge de C1 (configuration U6)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 94
E’’
R
LE2
Q3
E1
Q2 Q1
Q’3 Q’2 Q’1
u3 u2 u1
I
Fig. 58 4ème cas : Le courant ne parcoure aucun condensateur (configuration U1)
En résumé, pour n’importe quelle configuration active (le courant de charge
parcoure au moins un condensateur) du système considéré, seule la quantité r1E1+r2E2
est observable.
a) Conception de l’observateur
Après l’analyse du fonctionnement du système pour différentes configurations, on
peut conclure que, sur une période d’échantillonnage, les deux tensions ne sont pas
observables en même temps. Pour que ça soit le cas, il faut raisonner, au moins, sur
deux périodes d’échantillonnage. Il n’est pas possible donc de construire un
observateur adaptatif sur la base du modèle du convertisseur donné par (77).
Pour remédier à ce problème, l’idée est de considérer deux modèles affines
d’ordre 2 interconnectés et construire l’observateur sur la base de ces modèles. Ceci
va nous ramener à écrire le modèle du système de la façon suivante :
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 95
.
1 11
.1 2
1 3 2
.
2 22
.2 1
2 3 1
( )
( ) ( )''( ) ( )
( )
( ) ( )''( ) ( )
IE t r
C
E t E tR EI t r I t u r
L L L LI
E t rC
E t E tR EI t r I t u r
L L L L
(84)
Cependant, pour ces deux systèmes, on peut distinguer deux vecteurs d’états
notés X1(t) et X2(t) et la forme affine compacte du convertisseur à trois cellules de
commutations sera donnée par :
(3)
.
1 1 1 1 1 2 2
.
2 2 2 2 2 1 1
( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , )
: ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , )
( ) ( ), 1,2
H
i
X t A r X t B r u y H r X
X t A r X t B r u y H r X
y t CX t i
(85)
2 12 11 2 2 2 1 1
3
0( )
0 0
( , ) , ( , )0 0
''
( , , )
1 0
ii
i
i
i
ii
IX
E
r
A r L
E Er ravec H r X H r XL L
R EI u
L LB r u y
Ir
C
C
Pour construire l’observateur sur la base de ces modèles, il faut vérifier les
conditions suivantes :
La première étape consiste à vérifier que les entrées qi sont régulièrement
persistantes [BES99] [GHA10] pour le système donné par (85). Si une entrée est
régulièrement persistante, elle permet d’exciter suffisamment le système pour obtenir
les informations nécessaires à la reconstruction des variables non mesurées à l’aide de
l’observateur conçu. Ce nouveau concept de persistance régulière pour les systèmes
dynamiques hybrides est équivalent à la notion d’observabilité Z(TN) [KAN09].
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 96
Cette notion de Z(TN) observabilité a été définie dans [BEN09] comme suit :
Considérons la classe de systèmes hybrides suivante :
( , , ), ,( , , )
nx f t x q q Q xy h t x q
(86)
où x est l’état continu, q est présenté par la séquence de commande prenant
uniquement des valeurs discrètes. Q est un ensemble fini, les fonctions f et h sont deux
champs de vecteurs suffisamment dérivables. Pour cette classe de système, la notion
d’observabilité est fortement liée à la séquence de commande q, nous avons alors
besoin de définir la notion suivante :
La fonction z=Z(t,x,u) est Z(TN) observable le long de la trajectoire de temps
hybride TN si pour toutes les trajectoires (t,xi(t),ui(t)), (i=1,2) définies dans l’intervalle
de temps [tini,tend], l’égalité h1(t,x1,u1)= h2(t,x2,u2) implique Z(t,x1)=Z(t,x2).
La deuxième étape revient à vérifier que les fonctions H1(q2,X2) et H2(q1,X1)
sont globalement Lipschitz par rapport à X2 et X1 respectivement. Cette condition est
vérifiée car ces deux fonctions sont linéaires.
L’observateur sera ensuite donné par:
(3)
.1
1 1 1 1 1 2 2 1 1
.
1 1 1 1 1 1 1 1
.1
2 2 2 2 2 1 1 2 2
.
2 2 2 2 2 2 2 2
ˆ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , ) ( )
( ) ( ) 2
:ˆ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , ) ( )
( ) ( ) 2
ˆ ( )
T
T T
TH
T T
i
Z t A r Z t B r u y H r Z r P C y y
P r P A r P P A r C C
OZ t A r Z t B r u y H r Z r P C y y
P r P A r P P A r C C
y CZ t
(87)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 97
2 12 11 2 2 2 1 1
3
1 2
ˆ
ˆ
0( )
0 0
ˆ ˆ( , ) , ( , )
0 0
''
( , , )
1, 0, 0
0
i
i
i
i
i
ii
T
IZ
E
r
A r L
r rE EH r Z H r Zavec L L
R EI u
L LB r u y
Ir
C
C
On note 11
TP C et 12
TP C les gains de l’observateur des deux systèmes
interconnectés (P1 et P2 sont deux matrices définies symétriques positives [GHA10]).
Ces gains sont multipliés par |r1| et |r2| comme le montre (87).
Remarque1
Donc, dans le cas où r1=0 (respectivement r2=0), la tension E1
(respectivement E2) est constante et par conséquence inobservable, l’observateur est
figé et fonctionne en estimateur (sans gains de correction).
Remarque2
Dans le cas où r1=r2=0, les deux tensions aux bornes des condensateurs sont
constantes et par conséquent non observables et les estimations de ces tensions
demeurent constantes, durant l’application de ces configurations (U1 et U8). Dans ce
cas, les deux entrées ne sont pas persistantes.
b) Analyse de convergence de l’observateur pour chacune des configurations
On considère e1=X1-Z1et e2=X2-Z2 les erreurs d’estimation entre le modèle du système
donné par (85) et l’observateur défini par (87).
Leurs dynamiques sont données par :
.1
1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2
.1
2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1
( ) ( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , )
T
T
e A r r P C C e H r X H r Z
e A r r P C C e H r X H r Z
(88)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 98
2 2 21 2 2 1 2 2
1 1 12 1 1 2 1 1
ˆ( , ) ( , )
0
ˆ( , ) ( , )
0
r E EH r X H r Z
Lavec
r E EH r X H r Z
L
Proposition : soit une séquence d’intervalle t0….tN. Pour une séquence de commande
[Q0….QN] régulièrement persistante avec QN la valeur de Q=[r1,r2] dans l’intervalle de
temps [tN tN+1], l’observateur interconnecté donné par (87) est un observateur adaptatif
hybride du modèle interconnecté du convertisseur à 3 cellules de commutation donné
par (85) pour γ1 et γ2 positifs et suffisamment grands.
Preuve : pour chaque période d’échantillonnage [ti ti+1], il existe une séquence d’entrée
Qi=[r1,r2].
On considère la fonction de Lyapunov candidate suivante :
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2T TV r e Pe r e P e r V r V (89)
Hypothèse : pour chaque période d’échantillonnage, il faut vérifier que le temps de
convergence de l’observateur est plus petit que le temps de séjour dans un état donné.
1ère période d’échantillonnage : r1=1, r2=0
Dans cette première période d’échantillonnage, seule la tension E1 est observable.
Donc on reconstruit uniquement E1 et E2 reste constante. La fonction de Lyapunov
candidate sera donc donnée par :
1 1 1 1TV e Pe V (90)
Sa dynamique sur cette période sera donnée par :
.
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1T T TV e Pe e Pe e Pe V (91)
La solution de V1 est donnée par :
1 0( )1 1 1( ) ( (0))
t tV t V e e (92)
Ensuite, puisque q1 est persistante, il sera facile de prouver que :
1 0( )1 1 1 0( ) ( )
t te t K e t e (93)
Donc pour γ1 suffisamment grand, il existe ti < τi < ti+1 tel que :
1( ) , ie t t (94)
où est une petite erreur (acceptable) après convergence.
Puisque q est constante durant une période d’échantillonnage, τi doit être plus
petite que ti+1. D’après (93), ce temps de convergence τi est donné par :
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 99
1 1 0
11
( )i i i i
log K e t logt t t (95)
D’où en choisissant γ1 suffisamment grand, on peut vérifier que τi< ti+1
(hypothèse vérifiée).
Donc pendant cette période, la convergence exponentielle de la dynamique de
l’erreur d’estimation est prouvée. On doit choisir γ1 suffisamment grand pour faire
converger la tension E1 alors que la tension E2 reste constante puisque le courant ne
traverse pas le condensateur C2.
2ème période d’échantillonnage : r1=0, r2=1
Durant cette période, on ne peut observer que la tension E2 puisque le courant ne
traverse que le condensateur C2 et par la suite la tension E1 reste constante. La
fonction de Lyapunov candidate sera donc exprimée par :
2 2 2 2TV e P e V (96)
Sa dynamique sur cette période sera donnée par :
.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2T T TV e P e e P e e P e V (97)
La solution de V2 est donnée par :
2 0( )2 2 2( ) ( (0))
t tV t V e e (98)
Ensuite, puisque q2 est persistante, il sera facile de prouver que :
2 0( )2 2 2 0( ) ( )
t te t K e t e (99)
Donc pour γ2 suffisamment large, il existe ti < τi < ti+1 tel que :
2 ( ) , ie t t
(100)
où δ est une petite erreur (acceptable) après convergence.
Puisque q est constante durant une période d’échantillonnage, τi doit être plus
petite que ti+1. D’après (99), ce temps de convergence τi est donné par :
2 2 0
12
( )i i i i
log K e t logt t t (101)
D’où en choisissant γ2 suffisamment grand, on peut vérifier que τi< ti+1
(hypothèse vérifiée).
La convergence exponentielle de la dynamique de l’erreur d’estimation est
prouvée encore une fois et γ2 doit être choisi suffisamment grand pour faire converger
la tension E2 alors que la tension E1 ne varie pas puisque le courant ne traverse pas le
condensateur C1.
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 100
3ème période d’échantillonnage : r1=-1, r2=1
Durant cette période, on ne peut estimer que la somme des deux tensions. La fonction
de Lyapunov candidate sera donnée par :
1 1 1 2 2 2 1 2T TV e Pe e P e V V (102)
Sa dynamique sur cette période sera donnée par :
.
1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 12 [ ( , ) ( , )] 2 [ ( , ) ( , )]T TV V V e P H r X H r Z e P H r X H r Z (103)
En raisonnant sur les normes et en tenant compte du fait que les fonctions Hi
sont globalement Lipschitz linéaires, on peut écrire :
1( , ) ( , ) , 1,2, 1,2, i j j i j j jH r X H r Z K e avec K i j i j
L (104)
Il en découle :
.
1 1 2 2 1 22 'V V V K e e (105)
1 2 ' ( )avec K K K K
Maintenant, on considère les inégalités suivantes :
2 2 2 2
min max( ) ( ) , 1,2i i
Ti i i i i i i i iP P
P e e P e avec e e Pe i (106)
avec λmin(Pi) et λmax(Pi) sont respectivement les valeurs propres minimales et
maximales de Pi.
En écrivant la relation (105) avec les termes des fonctions V1 et V2, il s’en
suit :
1.
min 1 max 11 1 2 2 1 2 1 2
2min 2 max 2
2 '
( ) ( )2( )
2 '
( ) ( )
K
P PV V V V V avec
K
P P
(107)
Ensuite en utilisant l’inégalité suivante :
1 2 1 2
1, 0,1
2 2V V V V (108)
On obtient alors :
.1 2
1 1 1 2 1 2 2 2
( )( )V V V V V (109)
Finalement, on définit :
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 101
1 1 1 2
1 22 2
( ) 0
( )0
(110)
Il s’en suit:
.
1 2 1 2( ) min( , )V V V V avec (111)
Selon (111) et en suivant la même procédure dans (94) et (100), il existe un
temps τi> ti tel que :
1 2 1( ) ( ) , ie t e t t t (112)
où ∆ est une petite erreur (acceptable) après convergence.
Ainsi, γ1et γ2 doivent être choisis suffisamment grands pour vérifier
l’hypothèse sur le temps de convergence τi< ti+1.
La convergence exponentielle de la dynamique de l’erreur d’estimation est
prouvée encore une fois et γ1 et γ2 doivent être choisi suffisamment grand pour faire
converger les tensions E1 et E2. Comme cela était indiqué lors de l’analyse de
fonctionnement du système, durant cette configuration, seule la somme des deux
tensions est observable.
4ème période d’échantillonnage : r1=r2=0
Durant cette période, les deux tensions aux bornes des condensateurs ne sont pas
observables puisque le courant de charge ne passe par aucun condensateur. Donc les
tensions aux bornes des condensateurs restent constantes et l’observateur reste figé.
Donc après deux périodes d’échantillonnage (configurations actives), les
deux tensions aux bornes des condensateurs sont estimées à partir de la mesure du
courant de charge.
c) Observateur à temps discret
Pour implémenter l’observateur adaptatif conçu (87) sur un banc expérimental, nous
avons opté pour l’utilisation d’une représentation en temps discret de l’observateur.
Sachant que les entrées r1 et r2 sont constantes durant une période
d’échantillonnage, les fonctions A(r1), A(r2) et B(r,y) sont aussi constantes durant une
période. Toutefois, les matrices H1(r2,Z2) et H2(r1,Z1) sont variables en fonction de Z2
et Z1. Si on suppose que ces matrices varient peu en fonction de Z2 et Z1, les équations
de l’observateur interconnecté discrétisées avec une approximation de Taylor à l’ordre
2 avec une période d’échantillonnage Te fixe seront données par :
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 102
11 1 1 1 1 2 2 1 1 1
12 2 2 2 2 1 1 2 2 2
ˆ(( 1) ) ( ) [ ( , ) ( , )] ( ) ( ( ) ( ))
ˆ(( 1) ) ( ) [ ( , ) ( , )] ( ) ( ( ) ( ))
ˆ( ) ( )
Te e e e e
Te e e e e
e i e
Z k T F Z kT G B r y H r Z G r P kT C y kT y kT
Z k T F Z kT G B r y H r Z G r P kT C y kT y kT
y kT CZ kT
(113)
2( ) 2
2 3( ) 2
0
( )* ( ) *2
( * ( )* ( ) * )2 6
ˆ( )
ˆ
i e
e
i
A r T ei i e i
TA r s e e
i e i i
i e
i
TF e I A r T A r
T Tavec G e dsB I T A r A r B
IZ kT
E
Pour discrétiser les matrices 1P et 2P , on a procédé comme suit. On pose une
matrice symétrique P1 de la façon suivante :
11 121
12 22
a aP
a a (114)
On considère maintenant le vecteur 1 11 12 22
Tw a a a constitué des
composants de la matrice P1 définie symétrique positive. En se référant à (87), la
dérivée par rapport au temps de w1 est donnée par :
1 11 1P Pw A w B (115)
1
1
11
1
1 11
1
11
( 2 ) 2 0
( )
0 2
2 0 0
P
T
P
rR
L C
r rRA
L L Cavec
r
L
B
Donc la représentation en temps discret de 1P est donnée par :
1 11 1
11 121 1
1 12 221 1
(( 1) ) ( )
(( 1) ) (( 1) )(( 1) )
(( 1) ) (( 1) )
e w e w
e ee
e e
w k T F w kT G
w k T w k TP k T
w k T w k T
(116)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 103
1
1 1 1
1
1 1 1 1 1
22
2 32
0
* *2
( * * * )2 6
P e
e
P
A T ew P e P
TA s e e
w P e P P P
TF e I A T A
avecT T
G e dsB I T A A B
On procède de la même manière pour donner la représentation en temps
discret de 2P .
2 22 2
11 122 2
2 12 222 2
(( 1) ) ( )
(( 1) ) (( 1) )(( 1) )
(( 1) ) (( 1) )
e w e w
e ee
e e
w k T F w kT G
w k T w k TP k T
w k T w k T
(117)
2
2
2
2 2 2
2
2 2 2 2 2
22
2
2 22
2
22
22
2 32
0
( 2 ) 2 0
( )
0 2
2 0 0
* *2
( * * * )2 6
P e
e
P
P
T
P
A T ew P e P
TA s e e
w P e P P P
rR
L C
r rRA
L L C
r
Lavec
B
TF e I A T A
T TG e dsB I T A A B
d) Résultats de simulation
Les simulations ont été effectuées avec :
1 2 33 , 33 , 50 , '' 120C C F R L mH E V . Les tensions de références aux bornes
des condensateurs ont été fixées à 1 2/3, 2 /3c cE E E E avec une référence de
courant sinusoïdale d’amplitude 0.7A avec une composante continue de 1.1A et de
fréquence 50Hz. Les valeurs de γ1 et γ2 ont été fixés à 800 chacun pour un premier test
puis à 1500 chacun lors d’un deuxième test pour mettre en évidence leur influence sur
le temps de convergence de l’observateur. La valeur du facteur de pondération a été
fixée à 0.3.
Le courant de charge est estimé avec une erreur moyenne entre la mesure et
l’estimation de 19mA (Fig. 59).
Les tensions aux mesurées aux bornes des condensateurs et estimées sont
données par (Fig. 60 et Fig. 61) pour des valeurs de (γ1,γ2) différentes.
Les niveaux de tension aux bornes de la charge sont donnés par Fig. 62.
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 104
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
I
Ic
Iest
Fig. 59 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
10
20
30
40
50
E1
E1c
E1est
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
20
40
60
80
E2
E2c
E2est
Fig. 60 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) (γ1= γ2=800)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
10
20
30
40
50
E1
E1c
E1est
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
20
40
60
80
E2
E2c
E2est
Fig. 61 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) (γ1= γ2=1500)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90tension de sortie Vo
Fig. 62 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s)
e) Validation expérimentale
L’étude expérimentale de l’observateur interconnecté basé sur la commande
monocoup a été menée sur le convertisseur illustré par la Fig. 38 avec deux
condensateurs à potentiels flottants (C1=C2=33μF) associé à une charge passive de
type RL (R=33Ω, L=50mH, L/R=1.5ms). Le bus continu est alimenté par une source
de tension Xantrex réglée à 120V ( '' 120E V ). L’algorithme de l’ensemble
commande-observateur a été implémenté en langage C et les calculs sont toujours
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 106
effectués à l’aide d’une carte d-Space dS1104. Le temps de calcul de l’ensemble
commande-observateur a été de 120μs. Cette nette augmentation par rapport au temps
de calcul de la commande monocoup (32μs) est due au calcul en temps réel des
matrices de discrétisation. Pour remédier à ce problème, nous avons procédé à un
calcul formel hors ligne de ces matrices et le temps de calcul de l’ensemble
commande-observateur a été réduit à 58μs (le temps de calcul de l’observateur a passé
de 88μs à 26μs). Ainsi, la période d’échantillonnage a été fixée à 85μs.
Comme lors des résultats expérimentaux de la commande monocoup, une
amélioration de la poursuite des valeurs désirées des tensions aux bornes des
condensateurs à potentiels flottants conduit à des oscillations plus importantes au
niveau du suivi de courant qui circule dans la charge. Pour améliorer cette poursuite,
on est contraint de diminuer la performance du suivi des tensions.
Plusieurs tests ont été effectués dans ce sens afin de pouvoir trouver un
compromis pour garder des suivis convenables. Ces tests ont permis de fixer la valeur
du facteur de pondération μ à 0.3.
Pour satisfaire les conditions de convergence de l’observateur conçu, les
paramètres γ1 et γ2 ont été fixés à 1500 chacun.
Les tests expérimentaux ont été effectués en considérant deux consignes de
courant de charge différentes.
Cas 1 : courant sinusoïdal
Dans ce cas, une consigne de courant sinusoïdal d’amplitude 0.8A avec une
composante continue de 1A et de fréquence 50Hz a été appliquée (Fig. 63). Le courant
de charge est estimé avec une erreur moyenne entre la mesure et l’estimation de
29mA.
Les tensions aux bornes des condensateurs à potentiels flottants sont estimées
avec des erreurs moyennes entre la mesure et l’estimation de 1.54V sur E1 et 1.39V sur
E2 (Fig. 64).
Les niveaux de tensions à la sortie du convertisseur sont donnés par la Fig.
65. On peut remarquer que seulement trois niveaux de tensions sont distinguables
alors que normalement en considérant les valeurs de références des tensions aux
bornes des condensateurs prises lors de ce test expérimental, cette structure permet
d’en avoir quatre niveaux de tensions à la sortie du convertisseur. Ceci est du au fait
que la consigne de courant n’est pas suffisamment grande , donc elle peut être atteinte
sans que la configuration U8 (qui présente une dynamique de courant plus importante
que les autres configurations) ne soit appliquée.
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 107
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Ic
I
Iest
Fig. 63 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.0730
35
40
45
50
E1c
E1est
E1
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.0770
75
80
85
90
E2c
E2est
E2
Fig. 64 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Vao
Fig. 65 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s)
Cas 1 : courant en créneaux
Lors de ce test, une consigne de courant en créneaux d’amplitude 0.8A avec
une composante continue de 1A et de fréquence 50Hz a été appliquée.
Il est à remarquer que le courant de charge mesuré et celui estimé atteignent
la consigne de courant en régime permanent après un retard de 1.5ms et avec une
erreur moyenne entre la mesure et l’estimation de 37mA (Fig. 66).
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Ic
I
Iest
Fig. 66 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)
Les tensions estimées aux bornes des condensateurs (Fig. 67) sont très
similaires à celles illustrées dans le premier cas et ils gardent presque les mêmes
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 109
performances dynamiques, avec des erreurs moyennes entre la mesure et l’estimation
de 1.27V sur E1 et 1.18V sur E2.
Cependant, quatre niveaux de tensions peuvent être distingués (Fig. 68) à la
sortie du convertisseur à 3 cellules de commutation. Le niveau de tension E qui
manquait, dans le premier cas, est cette fois distinguable. Ceci est dù à un saut
instantané de courant d’une valeur de 0.2A à une valeur de 1.8A. Ce saut ne peut être
assuré que lorsque la configuration U8 est sélectionnée et par conséquent le courant au
niveau de la charge augmente sans passer par les condensateurs.
On note aussi que le temps de montée de courant est plus petit que celui de la
descente. Ceci est dù au fait que le convertisseur est en roue libre pendant le temps de
descente.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.0730
35
40
45
50
E1c
E1est
E1
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.0770
75
80
85
90
E2c
E2est
E2
Fig. 67 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 110
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07-20
0
20
40
60
80
100
120
Vao
temps (s)
(V)
Fig. 68 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s)
Cette variation des erreurs moyennes entre la mesure et l’estimation pour
chaque consigne est résumée par :
I sinusoïdal I en créneaux
1_ _Err est E (V) 1.54 1.27
2_ _Err est E (V) 1.39 1.18
_ _Err est I (A) 0.029 0.037
Tableau 9 Variation des erreurs moyennes en fonction de µ
3.4 Application : convertisseur à trois cellules de commutation alimentant une MCC
L’approche de commande monocoup, présentée précédemment a été appliquée sur le
convertisseur à trois cellules de commutations alimentant un moteur à courant continu
(Fig. 14). Cette commande repose donc sur le modèle d’état hybride de l’ensemble
convertisseur-moteur donné par :
2 1
1 11
3 22 2
23 3
2 31 2
1
0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 '
-.
. -= +
.- -k
--- L L L
L
u u
E CEE
u uE E E
CI u u
I u uu u R
L L
(118)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 111
L’objectif de la commande est toujours d’assurer l’asservissement de courant
et le maintien des tensions aux bornes des condensateurs autour de leurs valeurs de
référence. Au cours de la simulation, la constante de temps mécanique de la machine
(J/f) a été prise en compte pour calculer la vitesse de rotation du moteur à partir de la
valeur de couple. Donc dans la suite on va distinguer deux modèles différents de
l’ensemble convertisseur-machine. Un modèle de commande donné en (118) qui ne
prend pas en compte le mode mécanique de la machine à courant continu et un modèle
de simulation qui tiendra en comptes les deux modes mécaniques et électriques de la
MCC.
Les équations caractéristiques de la machine à courant continu, pour un
fonctionnement moteur, sont données par.
..
. .
.
E kCem k I
dIU R I L E
dtd
J Cem fdt
(119)
Avec k la constante de proportionnalité entre la f.e.m induite et la vitesse de
rotation du moteur qui dépend des paramètres de construction de la machine.
Ces équations peuvent être illustrées par le schéma bloc donné par la Fig. 69.
Donc on peut bien distinguer les deux modes mécanique et électrique de la
machine à courant continu. Vu que le mode électrique de la machine à courant continu
est pris en compte dans le modèle donné par (118), la synoptique du système de
simulation sera donnée par la Fig. 70.
Les tests de simulation ont été effectués en injectant une consigne de courant
nominal (10.5A) avec une valeur du facteur de pondération fixée à 0.1. Dans ces
conditions, le courant de mesure au niveau de la charge suit la consigne avec une
erreur moyenne de 0.33A (Fig. 71). Les tensions aux bornes des condensateurs sont
maintenues autour des références avec une erreur moyenne de 3.4V sur E1 et de 3V sur
E2 (Fig. 73).
k1
R+Lp
1
f+Jp
k
+
-
U
E
I Cem
Fig. 69 Schéma bloc de la MCC
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 112
Commande
prédictive directe
Modèle de
commande
k1
f+Jp
Cem
E1#
E2#
I#
E1
E2
I
Modèle de simulation
k
E
u2
u1
u3
Fig. 70 Synoptique du système de simulation
La vitesse de rotation du moteur atteint en régime permanent la valeur
nominale avec une constante de temps mécanique de 175ms (Fig. 72).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
I
I#
Fig. 71 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 113
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
500
1000
1500
2000
2500vitesse de rotation omega
Fig. 72 Vitesse de rotation (tr/min) en fonction du temps (s)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 170
80
90
100
110
E1
E1#
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1160
170
180
190
200
E2
E2#
Fig. 73 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)
3.4.1 Validation expérimentale
3.4.1.1 Description du banc expérimental
Le convertisseur utilisé est celui donné par la Fig. 38. Le bus continu est alimenté par
deux sources de tension continue Xantrex réglée à 135V chacune.
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 114
La maquette d’essais (Fig. 74) se compose d’une machine à courant continu
de marque Parvex de 1.4kW (caractéristiques données par Tableau 10) accouplée à une
machine synchrone à aimants permanents de marque Leroy Somer de 1.6kW. La MCC
est commandée par le convertisseur à trois cellules de commutations. La MSAP sert
de charge, elle débite dans un pont de diodes connecté à une résistance de dissipation.
Fig. 74 Machine à courant continu associée à sa charge
Courant nominal(A) 10.5
Tension nominale(V) 134
Vitesse nominale
(tr/min)
2400
K(Nm/A) 0.49
R(Ω) 0.49
L(H) 4.3 10-3
J(kg.m2) 350 10-5
Tableau 10 Caractéristiques de la machine à courant continu
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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A chaque période de calcul, une interruption est déclenchée permettant à la
loi de commande de déterminer l’état de commutation 3 2 1
TU t u u u à
appliquer en fonction de l’état mesuré et du point de consigne à suivre. Les sorties
utilisées sur la carte d-Space sont toujours les sorties numériques.
Le schéma global de la maquette expérimentale est donné par Fig. 75.
La mesure de vitesse de rotation des machines a été effectuée, en utilisant un
codeur incrémental 4096 points placé en bout d’arbre de la machine synchrone à
aimants permanents qui permet de mesurer la position du rotor.
Gestion des temps
morts et interface
fibres optiques
Carte d-Space
dS1104
Ordinateur
Logiciel ControlDesk
Drivers
MCC
Mes
ure
de
vit
esse
MSAP
Mesures du courant
et des tensions
Convertisseur
Fig. 75 Schéma complet de la plate-forme expérimentale
3.4.1.2 Résultats expérimentaux et interprétations
L’essai expérimental a été effectué en considérant une consigne de courant constante
(Fig. 77). Pour des contraintes expérimentales, cette consigne de courant ne peut pas
atteindre la valeur de courant nominal qui est de 10.5A. En fait, le problème réside
dans la réversibilité de l’alimentation du bus continu (alimentation Xantrex). Durant
l’étude expérimentale, on a été contraints à brancher des résistances en parallèle avec
l’une des sources d’alimentation afin de dissiper l’énergie qu’envoie le système sur la
source (Fig. 76).
Cependant, la valeur maximale de consigne de courant qui permet d’assurer
un fonctionnement normal du système était de l’ordre de 6.5A (Fig. 77). Dans ces
conditions, la MCC tourne à une vitesse qui avoisine 1000tr/min (Fig. 78).
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 116
Pour une valeur du facteur de pondération fixée à 0.3, le courant oscille
autour de cette valeur de consigne avec une erreur moyenne de 0.75A et les références
des tensions sont maintenues avec une erreur moyenne de 1.92V sur E1 et 2.39V sur E2
(Fig. 79).
Courant alternatif
Redressement
Fig. 76 Dissipation de l’énergie réinjectée à l’alimentation
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ic
I
Fig. 77 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040
500
1000
1500
Vitesse
Fig. 78 Vitesse de rotation (tr/min) en fonction du temps (s)
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0470
80
90
100
110
E1c
E1
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04160
170
180
190
200
E2c
E2
Fig. 79 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)
Un deuxième test a été effectué avec la même consigne de courant en
diminuant la valeur de µ à 0.1 dans le but d’améliorer la poursuite de courant qui
représente l’objectif principal de cette application . Plusieurs essais ont été effectués
afin de trouver un compromis permettant d’assurer des poursuites acceptables des
trois variables d’état. Avec la nouvelle valeur de µ, une amélioration de la poursuite
de courant est notée (Fig. 80) avec une erreur moyenne de 0.62A alors qu’une
remarquable détérioration est notée pour le maintien des références de tensions aux
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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bornes des condensateurs avec des erreurs moyennes de 4.55V sur E1et 4.84V sur E2
(Fig. 81)
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ic
I
Fig. 80 Courant (A) en fonction du temps (s)
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0470
80
90
100
110
E1c
E1
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04160
170
180
190
200
E2c
E2
Fig. 81 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)
Cette influence du facteur de pondération µ sur les différentes poursuites des
variables d’état peut être résumée par :
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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µ=0.3 µ=0.1
1_Err E (V) 1.92 4.55
2_Err E (V) 2.39 4.84
_Err I (A) 0.75 0.62
Tableau 11 Variation des erreurs moyennes en fonction de µ
4 Commande à base d’inversion de modèle
Dans l’approche de la commande monocoup précédemment exposée, l’algorithme de
commande détermine, à chaque pas de calcul, le point d’arrivée pour chaque
configuration à partir d’un point de mesure . Ensuite il choisit la configuration qui
permet de se rapprocher le plus d’un point de référence donné dans l’espace d’état à
trois dimensions. Cette configuration sera, par la suite, appliquée au prochain pas de
calcul.
Cependant, cette approche de commande ne permet pas d’atteindre
parfaitement un point de référence donné sur chaque période d’échantillonnage (Fig.
82). D’autre part, ce type de commande implique des périodes de commutations
variables qui peuvent conduisent à des oscillations indésirables. Par conséquent, l’idée
qui sera développée dans cette partie sera de trouver une loi de commande qui permet
d’atteindre exactement la consigne à chaque instant de calcul avec une fréquence de
commutation fixe.
0 Te 2Te 3Te 4Te
MesureRéférence
Fig. 82 Évolution de la mesure par rapport à la référence (CM)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 120
4.1 Principe de la commande
Le principe de cette approche de commande (Fig. 84) est de déterminer les valeurs des
rapports cycliques qui permettent d’annuler l’écart entre la consigne et la mesure (Fig.
83).
Mesure
Référence
0 Te 2Te 3Te
ρ1
ρ2
ρ3
Fig. 83 Évolution de la mesure par rapport à la référence (commande à base d’inversion de modèle)
D’une façon plus explicite, pour toute condition initiale des variables d’état,
il est possible de trouver une séquence de commande à longueur finie qui permet au
système d’atteindre l’état désiré. Ce principe est donné généralement sous le nom de
« Deadbeat control ». Cette approche a été utilisée pour déterminer les tensions
appliquées à la charge permettant d’atteindre les consignes de courant. Ensuite, une
stratégie de modulation est utilisée pour traduire ce vecteur de tensions en
configurations de l’onduleur. Ce principe a été appliqué pour une machine
asynchrone à aimants permanents [MOO03].
Le terme « Deadbeat controllability » est utilisé pour définir la faisabilité de
cette stratégie sur une période finie.
La technique de commande présentée dans cette partie repose sur un modèle
d’état affine en la commande (120).
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 121
.
. .X A X B X U D (120)
A partir de ce modèle, les rapports cycliques peuvent être déterminés en
effectuant une opération d’inversion sur la matrice de commande et ils seront donnés
par :
.1U B X X AX D (121)
Commande
inverse
Modulateur de
puissance
Système
continu
Système
dynamique
Hybride (SDH)
Grandeur de
sortie
Consigne
Interface
de
commande
Rapports
cycliques
Nombre fini de
configurations
possibles
Fig. 84 Principe de la commande prédictive inverse
Il est à noter que le passage entre (120) et (121) n’est possible qu’après une
vérification de la condition de non singularité de la matrice de commande.
4.2 Application : convertisseur à trois cellules de commutations débitant sur une charge RL
L’approche de commande inverse est appliquée sur le convertisseur à trois cellules de
commutation donné par la Fig. 53. Le modèle simplifié correspondant est donné par :
2 1
11
3 22
2
2 31 2 3
0 0
( ) = ( ) + 0 0
( ) ( )
0( )( ) ( )
1 ( ) 0 .
( ) ''( ) ( )( ) ( ) ( )
e +
-
u k u k
CE k
u k u kX k X k E k T
CI k E
u k u ku k u k R u kL
L L L
(122)
4.2.1 Stratégie de commande
Pour la structure considérée, l’objectif de la loi de commande est d’asservir le
courant de charge. L’algorithme de commande doit donc déterminer à chaque pas de
calcul les rapports cycliques permettant d’atteindre un état de référence. Pour
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 122
déterminer ces grandeurs, on va considérer un modèle prédictif valide pour une
commande définie par sa moyenne.
On note ( )R k la valeur moyenne calculée entre les instants d’échantillonnage
(k) et (k+1) de la grandeur fonction du temps ( )R t donnée par :
( 1)1( ) ( )
e
e
k T
kTe
R k R t dtT
(123)
On peut donc considérer que la valeur moyenne d’un état d’interrupteur ui(t)
est égale au rapport cyclique noté ρi(k) (i=1,2,3).
Ainsi, on peut écrire les équations différentielles reliant les variables d’état
aux valeurs des rapports cycliques. Par conséquent, le modèle simplifié donné par
(122) peut être écrit sous la forme suivante :
2 1
11
3 22
2
2 31 2 3
0 0
( ) = ( ) + 0 0
( ) ( )
0( )( ) ( )
1 ( ) 0 .
( ) ''( ) ( )( ) ( ) ( )
e +
-
k k
CE k
k kX k X k E k T
CI k E
k kk k R kL
L L L
(124)
En écrivant (124) sous la forme d’un modèle affine en la commande et en se
référant au modèle donné par (120), on obtient le modèle suivant :
1 11 1
2 22 2
3
1 2 1 2
( ) = ( ) +
( ) ( )0
0 0 0 ( ) ( )( ) ( )
1 0 0 0 ( ) . 0 ( )
( ) ( )0 0 ( ) ( ) ( ) '' ( )
( ( ))
e
I k I k
C CE k k
I k I kX k X k E k T k
C CR I k k
E k E k E k E E kL X(k)
L L LA
B X k
.
( )
eT
U k
(125)
U(k) représente le vecteur d’entrée regroupant les valeurs des rapports
cycliques des trois cellules de commutation. A est une matrice à coefficients constants
et B(X) est une matrice dont les coefficients dépendent à la fois des composantes du
vecteur d’état et de la tension d’alimentation E du bus continu.
L’objectif est de déterminer les rapports cycliques qui permettent d’atteindre
l’état de référence cX à l’instant (k+1). Donc cet état de référence doit être égal à
l’état du système à l’instant (k+1). Ainsi, le vecteur d’entrée qui regroupe les rapports
cycliques est donné, lorsque la matrice B(X) est inversible (pour des valeurs de
courant de charge non nulles), par :
1 1( ) ( ) ( ( 1) ( )) ( )
e
U k B X k X k X k AX kT
(126)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 123
4.2.2 Profils des commutations
Afin de valider le modèle donné par (124), l’idée est de comparer, sur une période
d’échantillonnage, le vecteur d’état X(k+1) calculé à partir de (124) et celui calculé
par (122). Pour ce faire, une stratégie de modulation va être appliquée aux rapports
cycliques calculés afin d’obtenir les états des interrupteurs des trois cellules de
commutations pour chaque période. Cependant, trois cas peuvent se présenter. Les
profils de commutations peuvent être centrés, à gauche ou à droite sur une période de
modulation. Par exemple, pour 3 2 10.25, 0.5 et 0.75 , ces profils sont donnés
par la Fig. 85.
Ces trois cas ont été étudiés en simulation. Pour chaque profil, on compare
les variations du courant de charge et des tensions aux bornes des condensateurs avec
celles obtenues avec l’application directe des rapports cycliques sur le modèle de
l’ensemble convertisseur-charge (Fig. 86 à Fig. 88). Les courbes en rouge
correspondent à l’évolution des variables d’état donnée par (124) et celles en bleu
représentent leurs évolutions calculées à partir de (122) avec les trois profils de
commutation.
Tmod
Tmod
Tmod
1
0
1
0
1
0
u3 u3 u3
u2u2u2
u1 u1 u1
Tmod Tmod
TmodTmod
Tmod Tmod
Impulsions
centrés
Impulsions à
gauche
Impulsions à
droite
U1 U2 U4 U8 U4 U2 U1 U8 U4 U2 U1 U1 U2 U4 U8
Fig. 85 Grandeurs de commande sur une période de modulation
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 124
0 1 2 3 4 5 6 7
x 10-5
39.96
39.98
40
E1
E1centre
0 1 2 3 4 5 6 7
x 10-5
79.97
79.98
79.99
80
E2
E2centre
0 1 2 3 4 5 6 7
x 10-5
0
0.05
0.1
I
Icentre
0 1 2 3 4 5 6 7
x 10-5
0
1
2
u3
u2
u1
Fig. 86 Evolution des variables d’état avec des commandes centrées
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 125
0 1 2 3 4 5 6 7
x 10-5
39.92
39.94
39.96
39.98
40
E1
E1gauche
0 1 2 3 4 5 6 7
x 10-5
79.97
79.98
79.99
80
E2
E2gauche
0 1 2 3 4 5 6 7
x 10-5
0
0.05
0.1
I
Igauche
0 1 2 3 4 5 6 7
x 10-5
0
1
2
u3
u2
u1
Fig. 87 Evolution des variables d’état avec des commandes à gauche
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 126
0 1 2 3 4 5 6 7
x 10-5
39.96
39.98
40
E1
E1droite
0 1 2 3 4 5 6 7
x 10-5
79.97
79.98
79.99
80
E2
E2droite
0 1 2 3 4 5 6 7
x 10-5
0
0.05
0.1
I
Idroite
0 1 2 3 4 5 6 7
x 10-5
0
1
2
u3
u2
u1
Fig. 88 Evolution des variables d’état avec des commandes à droite
Il est à remarquer que les trois profils permettent au courant de charge de
rejoindre la valeur obtenue avec le modèle (124), alors que seules les impulsions
centrées permettent aux tensions aux bornes des condensateurs de rejoindre les valeurs
calculées par le même modèle.
Ceci peut être expliqué par le fait que seul le courant varie linéairement sur
une période de modulation. Donc pour n’importe quelle position des rapports
cycliques, le modèle considéré est prédictif pour le courant de charge.
Par contre, pour les tensions données par l’intégrale du courant, l’évolution
n’est pas linéaire et le modèle ne sera prédictif , pour ces tensions, que si les
impulsions sont centrées.
Par conséquent, cette stratégie centrée sera ensuite adoptée pour la générat ion
des profils de commutations.
4.2.3 Normalisation des rapports cycliques
Le problème majeur rencontré en simulation réside dans la détermination des
rapports cycliques permettant d’annuler l’écart entre la mesure et le vecteur de
consigne. Ces rapports doivent satisfaire la condition ( ) 0 1 , 1,2,3i k i . Cette
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 127
condition est vérifiée si la distance entre le point de référence et le point de mesure est
dans un intervalle bien précis.
Comme cela a été évoqué dans l’équation (68) de la section de la commande
monocoup, les variations des variables d’état dépendent de la période
d’échantillonnage. Cependant, les variations maximales que subissent les variables
d’état entre deux instants d’échantillonnage peuvent ne pas être suffisantes pour
atteindre le point objectif. Dans ce cas, l’algorithme de commande va calculer les
rapports qui vont permettre d’atteindre le point de référence et ces rapports cycliques
ne seront plus compris entre 0 et 1 ce qui n’est pas réalisable physiquement.
Pour remédier à ce problème, deux solutions s’imposent. Soit on applique
deux rampes de consignes lentes pour les tensions aux bornes des condensateurs en
respectant les variations maximales possibles de ces tensions sur une période
d’échantillonnage, soit on cherche une stratégie de normalisation des rapports
cycliques. Dans le cadre de cette thèse, la deuxième solution a été choisie et appliquée
lors de l’implémentation expérimentale. Cette stratégie de normalisation doit assurer
une évolution des variables d’état vers leurs valeurs de référence tout en respectant la
condition posée sur les rapports cycliques.
Cette stratégie (Fig. 89) consiste à effectuer des tests sur les valeurs des
rapports cycliques et d’appliquer des opérations mathématiques pour que les rapports
soient dans le domaine physique défini par ( ) 0 1 , 1,2,3i k i . Cette technique a
été testée en simulation afin de juger de sa validité. La simulation consiste à
comparer, pour des valeurs de référence données, l’évolution des variables d’état avec
ou sans application de la stratégie de normalisation. Le test a été effectué avec les
conditions suivantes : 1 2 33 , 33 , 50 , '' 120 , 200modC C F R L mH E V T s .
Ce test de simulation montre que la normalisation des rapports cycliques
permet, d’une part, à partir d’un point de mesure donné, au courant de charge
d’évoluer dans le même sens de son évolution normale (sans application de stratégie
de normalisation sur les rapports cycliques) (Fig. 90), et d’autre part aux tensions aux
bornes des condensateurs d’évoluer dans la même direction et dans le même sens,
dans le plan des tensions, de leurs évolutions normales et de se rapprocher des valeurs
de références (Fig. 91) tout en garantissant la satisfaction de la condition sur ces
rapports. Par contre, dans plan d’état à trois dimensions, le vecteur d’état calculé avec
la stratégie de normalisation n’évolue pas dans la même direction de celui calculé sans
appliquer la normalisation des rapports cycliques (Fig. 92).
Toutefois, l’écart entre la mesure et la référence est lié à la période
d’échantillonnage. Plus cette période est grande plus les valeurs de mesure des
variables d’état se rapprochent de leurs valeurs de référence vu que le taux
d’accroissement de ces variables est proportionnel à la période d’échantillonnage.
Cette stratégie de normalisation sera testée, par la suite, en simulation afin de pouvoir
l’appliquer lors de l’implémentation de cette loi de commande à base d’inversion de
modèle.
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 128
( )U k
( ) 0
1,2,3i k
i
ρ >=
max( ( ))U k
max( ( )) 1U k <
( )( )
max( ( ))i
ik
kU k
ρρ =
min( ( ))U k
( ) ( ) min( ( ))i ik k U kρ ρ= −
( )U k
Fig. 89 Principe de normalisation des rapports cycliques
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.688
0.69
0.692
0.694
0.696
0.698
0.7
0.702
I
sans normalisation
avec normalisation
Fig. 90 Evolution du courant en (A)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 129
40 40.5 41 41.5 42 42.5 43 43.5 44 44.5 4575
75.5
76
76.5
77
77.5
78
78.5
79
79.5
80
E1
E2
avec normalisation
sans normalisation
Fig. 91 Evolution des tensions en (V)
4041
4243
4445
74
76
78
800.685
0.69
0.695
0.7
E1E2
I
X(k+1) avec
normalisation
X(k)
X(k+1) sans
normalisation
Fig. 92 Evolution des variables d’état dans l’espace à trois dimensions
La synoptique complète de cette stratégie de commande à base d’inversion de
modèle est donnée donc par la Fig. 93.
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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Fig. 93 Synoptique de la commande prédictive par inversion de modèle
Ainsi, les différentes étapes de l’algorithme de commande peuvent être résumées par :
Mesurer E1(k), E2(k), I(k)
Calculer B(X(k))
Calculer les rapports
cycliques
( )i kρ
Appliquer les
configurations Ui à
l’instant (k+1)
Moduler les rapports
cycliques (profil centré)
( ) [0 1]i kρ ∈
Normaliser les rapports
cycliques
Non
Oui
Fig. 94 Principe de commande par inversion de modèle
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 131
4.2.4 Résultats de simulation
Les tests de simulation ont été effectués avec les conditions suivantes :
1 2 33 , 33 , 50 , '' 120 , 70modC C F R L mH E V T s . Les références des
tensions aux bornes des condensateurs ont été fixées à ''/3E pour E1 et 2 ''/ 3E pour E2.
Pour contourner le problème de singularité de la matrice de commande, la
consigne de courant appliquée doit assurer des valeurs non nulles. Une consigne de
courant sinusoïdal d’amplitude 0.6A avec une composante continue de 0.8A et de
fréquence 50Hz (Fig. 95) a été appliquée.
Par ailleurs, un autre problème a été rencontré lors du test de simulation. En
fait, une fois les références des tensions sont atteintes par les mesures, l’objectif de
courant peut être atteint en appliquant les configurations U1 et U8 qui permettent de
varier le courant au niveau de la charge sans toucher aux tensions aux bornes des
condensateurs. Dans ce cas, le convertisseur considéré revient à un onduleur à deux
niveaux de tensions aux bornes de la charge.
Donc, pour conserver les propriétés du convertisseur multiniveau, l’idée est
de rajouter des signaux de bruit sur les tensions mesurées et par conséquence d’assurer
des charges et des décharges sur les condensateurs (Fig. 96). Ainsi, le courant au
niveau de la charge suit la référence (Fig. 95) avec une erreur moyenne de 9.8mA et un
THDi de 0.02%. Trois niveaux de tensions sont distingués au niveau de la charge (Fig.
97). Le quatrième niveau de tension possible ''E n’est atteint que lorsqu’on augmente
la consigne de courant.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040
0.5
1
1.5
I
Ic
Fig. 95 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 132
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0438
39
40
41
42
E1
E1c
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0478
79
80
81
82
E2
E2c
Fig. 96 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90tension de sortie Vo
Fig. 97 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s)
4.3 Validation expérimentale
L’étude expérimentale a été menée pour le convertisseur illustré par la Fig. 53.
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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4.3.1 Présentation du banc expérimental
Le convertisseur utilisé est celui donné par la Fig. 38. Le bus continu est alimenté par
une source de tension Xantrex réglée à 120V.
L’algorithme de commande proposé est implémenté en langage C sur la carte
d-Space d-S1104. La période d’échantillonnage a été fixée à 70μs. A chaque période
de calcul, une interruption est déclenchée permettant à la loi de commande de
déterminer les rapports cycliques à appliquer en fonction de l’état mesuré et des
valeurs de référence à suivre. Par la suite, la stratégie de normalisation (résultats
satisfaisants en simulation) sera appliquée à ces rapports. Enfin , la mise en œuvre des
profils de commutations est assurée grâce aux sorties MLI de la carte d-Space. Ces
sorties vont piloter une carte de commande (Fig. 98) qui permet de commander les
drivers à partir des fibres optiques.
Fig. 98 Interface de commande entre les sorties MLI et les drivers
4.3.2 Résultats expérimentaux et interprétations
L’essai expérimental a été effectué, en considérant une consigne de courant sinusoïdal
(Fig. 99) avec les mêmes caractéristiques que celle appliquée lors de la simulation. Le
courant mesuré suit la consigne avec une erreur moyenne de 11mA. Il est à noter
qu’une mesure de précaution supplémentaire a été prise dans l’algorithme de
commande qui consiste à rajouter des constantes très petites (de l’ordre de 10 -6) sur les
composantes de courant de la matrice de commande. Cette mesure permet d’assurer la
non singularité de cette matrice. Dans ces conditions, les références des tensions sont
maintenues autour des valeurs de référence avec des erreurs moyennes de 0.21V sur E1
et 0.13V sur E2 (Fig. 100).
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 134
Les niveaux de tension aux bornes de la charge sont donnés par la Fig. 101.
Chaque front montant ou descendant de la tension de sortie est d’une amplitude égale
à ''/ 3E . Il est à noter que ces niveaux sont atteints sans une intervention sur les
références des tensions aux bornes des condensateurs vu qu’il y a toujours des
perturbations sur ces tensions qui empêchent un fonctionnement à deux niveaux de
tensions.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040
0.5
1
1.5
Ic
I
Fig. 99 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0438
39
40
41
42
E1c
E1
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0478
79
80
81
82
E2c
E2
Fig. 100 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Vao
Fig. 101 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s)
5 Conclusion
Dans ce chapitre, deux approches de commande à aspect prédictif ont été présentées ,
dans le but de contrôler deux dispositifs à topologie variable composés d’un processus
continu (charge passive de type RL puis une machine à courant continu) associé à un
modulateur de puissance (convertisseur série à trois cellules de commutation) ayant un
nombre fini de configurations.
Après une introduction aux différents aspects des commandes utilisées pour
contrôler les convertisseurs multicellulaires, les différentes étapes des deux approches
utilisées ont été exposées.
Le principe de la commande monocoup est le suivant : pour chaque période
de calcul, l’évolution dans l’espace d’état pour les différentes configurations possibles
du système est prédite, à partir d’un modèle simplifié hybride qui a été validé en
simulation. Ensuite, un critère de choix minimisant la distance entre le point de
mesure et le point de référence permet de sélectionner la configuration qui sera
appliquée durant la prochaine période d’échantillonnage. Cette approche a été
implémentée sur un banc expérimental pour commander un convertisseur à trois
cellules de commutation lié à une charge passive de type RL après avoir effectué une
étude comparative en simulation avec une commande PI classique associée à une
stratégie de MLI intersective. Cette étude a révélé une meilleure poursuite du courant
de charge (objectif principal) avec un THDi de 0.53% pour la CM contre un THDi de
0.93% pour la commande classique. Cette commande PI faisant appel à la stratégie
MLI pose un problème d’implémentation numérique (fréquence d’échantillonnage très
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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élevée du signal modulant). Par la suite, une technique adaptative d’observation a été
appliquée sur le système considéré en se basant sur la stratégie de CM, dont le
principe est de reconstruire les tensions aux bornes des condensateurs à partir des
mesures de courant de charge et de la tension d’alimentation du bus continu. Cette
technique a été testée en simulation puis validée sur le banc expérimental et elle a
présenté des erreurs moyennes d’estimation inférieures à 2V pour deux consignes de
courant différentes. Enfin, la stratégie monocoup a été utilisée pour contrôler le
convertisseur série alimentant une MCC. Ce contrôle a été aussi testé en simulation et
validé sur le banc expérimental. Toutefois, tous les tests effectués avec cette stratégie
ont montré l’utilité du facteur de pondération, constante introduite dans la fonction
coût, pour améliorer le suivi de courant qui est l’objectif principal dans les
applications considérées,
Pour la deuxième méthode de commande prédictive inverse présentée, aucune
sélection de configuration n’est faite. Ceci permet d’éviter de calculer les différentes
évolutions possibles du vecteur d’état (risque d’explosion combinatoire quand le
nombre de configurations augmente comme dans le cas de 512 configurations possible
pour le convertisseur triphasé). Les rapports cycliques sont déterminés directement en
fonction de l’écart entre l’état mesuré et l’état de référence. Ceci est possible en
reformulant le modèle d’état considéré avec la stratégie monocoup et en le présentant
sous forme d’un modèle, affine en la commande, qui permet de calculer l’état du
système en fonction des rapports cycliques. Toutefois, l’écart entre la mesure et la
référence peut nécessiter l’application des rapports cycliques non réalisables
physiquement (état de référence trop loin de l’état mesuré) . Pour remédier à ce
problème, une normalisation du vecteur de commande a été proposée. Ensuite, ces
rapports cycliques sont appliqués suivant un profil de modulation précis qui garantit
que le modèle d’état soit prédictif pour les différentes variables d’état. Les tests de
simulation sont venus par la suite pour prouver l’intérêt de cette normalisation pour
assurer les suites désirées. En effet, la mesure de courant de charge a présenté un suivi
de la consigne appliquée avec un THDi de 0.02% pour cette technique de commande
contre un THDi de 1.59% pour la commande monocoup avec une valeur de µ de 0.1
(voir résultats pour la commande monocoup avec différentes valeurs de µ en Annexe
C).
Donc l’avantage principal de cette méthode est le fait qu’elle calcule
directement les rapports cycliques qui permettront d’atteindre la référence. Une fois
cet objectif atteint, le convertisseur considéré bascule sur une structure à deux niveaux
de tensions. Ceci est dù au fait que les références des tensions sont constantes alors
que le courant de consigne varie en fonction du temps. Pour garder l’aspect
multiniveau, les résultats expérimentaux ont permis de quantifier le bruit sur les
tensions aux bornes des condensateurs qui assure des actions de charge et de décharge
de ces condensateurs. Ce taux d’oscillation des tensions permet ainsi de régler le taux
d’ondulation du courant plus facilement. Ce réglage se faisait, dans le cadre de la
Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3
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commande monocoup, par le biais du facteur de pondération dont la valeur varie
suivant la poursuite désirée.
Bilan et perspectives
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 139
Bilan et perspectives
Le travail présenté dans ce mémoire constitue une étude d’une classe des systèmes
dynamiques hybrides. Cette étude s’est intéressée , principalement, à la modélisation et
la commande d’un système physique à topologie variable , sous classe des SDH. Le
système en question est un convertisseur multicellulaire à potentiels flottants, dont la
caractéristique principale est la délivrance de plusieurs niveaux de tensions à sa sortie
en fonction des potentiels aux bornes des condensateurs qui séparent les cellules de
commutation. Pour ce convertisseur, la topologie d’interconnexion entre ses différents
constituants varie en fonction des états des interrupteurs de puissances présents sur
chaque bras de la structure. Le deuxième volet de l’étude a traité de la problématique
d’observation des tensions aux bornes des condensateurs à potentiels flottants
Dans la communauté automaticienne, les systèmes dynamiques hybrides
suscitent un intérêt de plus en plus grandissant. Cet intérêt est provoqué par
l’existence de nombreux systèmes physiques dans lesquels les deux aspects continu et
discret interagissent. Toutefois, ces systèmes bien particuliers nécessitent un
traitement bien spécifique. Dans ce contexte, après une présentation générale des
systèmes dynamiques hybrides et de ses principales classes, le premier chapitre a
porté sur la présentation de deux méthodes de modélisation des SDH. Il s’agissait de
la modélisation par graphes d’interconnexion et celle par la méthode des Bond Graph
commutés. Ces deux méthodes graphiques, de topologies différentes, se réunissent sur
le principe de synthétiser un modèle d’état dit hybride qui englobe les variables
continues et discrètes qui interagissent dans le système. La première méthode,
modélisation par graphes d’interconnexion des ports, est basée sur l’utilisation des
théories des graphes linéaires qui seront, par la suite, illustrés par des représentations
mathématiques qui mèneront à l’élaboration du modèle du système étudié. Cette
méthode a été utilisée en appliquant deux notions différentes, une appelée notion
d’arbre et coarbre qui permet d’obtenir un modèle explicite paramétré qui représente
tous les modes de fonctionnement du système, et une deuxième par matrices
Bilan et perspectives
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 140
d’incidences paramétrées qui mène à une représentation paramétrée dite structure de
Dirac qui est non minimale et qui le devient en remplaçant les états des interrupteurs
dans la structure par leurs valeurs. La deuxième méthode de modélisation présentée
dans ce chapitre a été celle des Bond Graph commutés. Cette partie a constitué une
brève introduction à la méthode et ces deux approches à topologie fixe et à topologie
variable.
Le deuxième chapitre est venu pour appliquer l’approche à topologie variable
des Bond Graph commutés aux systèmes considérés dans cette thèse, à savoir le
convertisseur série à trois cellules de commutation qui a été associé à une charge
passive de type RL en premier temps puis alimentant une machine à courant cont inu
en deuxième temps. Comme dans le premier chapitre, l’application de cette méthode a
été illustrée par deux démarches différentes. La première technique, appelée
modélisation explicite par mode de configuration, utilise le formalisme Bond Graph
dans lequel les éléments de commutation sont représentés par des sources d’effort ou
de flux selon l’état de l’interrupteur de puissance en question. Cette technique, comme
son nom l’indique, permet d’établir un modèle explicite non paramétré par mode de
fonctionnement. La deuxième technique présentée dans cette partie a été celle appelée
modélisation implicite standard. Cette démarche part du même principe de
représentation des éléments en commutation et mène à une forme standard implicite.
A partir de cette forme, l’équation d’état paramétrée peut être calculée à chaque
commutation pour en déduire le modèle d’état explicite correspondant . Donc cette
méthode ne permet pas, elle aussi, d’avoir un modèle d’état explicite paramétré en
fonction des états des éléments de commutation. Pour remédier à cette imperfection,
une extension de cette méthode a été présentée à la fin du chapitre. Le résultat est un
modèle dit hybride qui englobe les variables continues et celles discrètes qui
caractérisent le système étudié.
En se référant à ce modèle dit hybride, deux approches de commandes
prédictives directes ont été exposées et détaillées dans le troisième chapitre. Après un
rappel sur les approches de commandes des convertisseurs multicellulaires les plus
utilisées, une première méthode à aspect prédictif, en l’occurrence la commande
monocoup, a été présentée. Pour des raisons de contraintes temps réel, cette technique
de commande a reposé sur un modèle simplifié qui a été validé en simulation en le
comparant au modèle discret. Le principe de cette technique est de prédire pour
chaque période d’échantillonnage, l’évolution des variables d’état, dans l’espace à
trois dimensions, pour les différents modes de fonctionnement possibles du
convertisseur considéré. Ensuite, en fixant un critère de choix, l’algorithme de
commande sélectionne la configuration qui minimise la distance entre le point prédit
et le point de référence. Enfin, la configuration sélectionnée sera appliquée pendant la
prochaine période d’échantillonnage. Cette technique , appliquée sur le convertisseur à
Bilan et perspectives
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 141
trois cellules de commutation associé à une charge RL a été comparée en simulation
avec une méthode classique de commande PI faisant appel à une stratégie MLI puis
elle a été testée sur un banc expérimental. Les résultats expérimentaux exposés sont
venus pour confirmer l’utilité de la normalisation des variables d’état et de
l’introduction de la notion du facteur de pondération dans la fonction coût à
minimiser. Toutefois, l’implémentation numérique de cette approche de commande a
nécessité l’utilisation d’un certain nombre de capteurs , afin de contrôler l’évolution
des différentes variables d’état. Parmi ces capteurs, deux capteurs ont été utilisés afin
d’effectuer le contrôle des tensions aux bornes des condensateurs à potentiels
flottants. Ce contrôle, primordial pour conditionner la survie du convertisseur, peut
être très coûteux, si le nombre de cellules de commutation augmente. Donc pour
remédier à ce problème, un observateur adaptatif interconnecté, basé sur la stratégie
de commande monocoup développée, permet l’observation de ces tensions à partir de
la mesure du courant qui circule dans la charge et de la mesure de la tension
d’alimentation du bus continu, a été conçu et appliqué au système considéré (travail
effectué en collaboration avec les chercheurs de l’équipe ECS de l’ENSEA). Un
premier travail a consisté à analyser l’observabilité de ces tensions pour les différentes
configurations possibles du système. Puis, la conception de l’observateur en temps
continu a été exposée. Ensuite, après avoir analysé la convergence des valeurs
estimées vers leurs valeurs de mesure, les équations de l’observateur ont été
discrétisés pour respecter les contraintes temps réels imposées lors de
l’implémentation numérique. Enfin, l’observateur a été validé sur un banc
expérimental. De plus le convertisseur à trois cellules alimentant une MCC a constitué
une dernière application de la commande monocoup dans ce chapitre.
Une autre technique de commande à base d’inversion de modèle a été
également exposée et appliquée au convertisseur à trois cellules de commutation
associé à une charge RL. L’application de cette stratégie a nécessité la recherche d’un
modèle d’état affine en la commande qui va permettre, après avoir effectué un test de
non singularité de la matrice de commande, d’exprimer les rapports cycliques en
fonction de la distance à parcourir pendant une période d’échantillonnage entre la
mesure et la consigne. Donc, contrairement à la commande monocoup, plusieurs
configurations peuvent être appliquées durant une période d’échantillonnage. Pour
remédier au problème de saturation de la grandeur de commande, une normalisation
de ces rapports a été proposée et effectuée, avant d’appliquer la stratégie de
modulation adéquate qui permet d’atteindre l’objectif à chaque période . Les résultats
de simulation sont venus, par la suite, montrer l’intérêt de cette commande par rapport
à la commande monocoup, pour mieux suivre la consigne de courant de charge. Cette
technique a été par la suite validée sur le banc expérimental et elle a montré de bonnes
performances dynamiques.
Bilan et perspectives
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 142
Donc au cours de cette thèse, on s’est intéressé aux méthodes de
modélisation, à l’élaboration des lois de commande et au traitement de la
problématique d’observation d’un système physique baptisé à topologie variable.
Toutefois, plusieurs idées et travaux de recherche peuvent venir compléter ce
travail.
Pour la modélisation, une mise en œuvre logicielle peut être envisagée, afin
de mettre en valeur et d’automatiser l’idée, développée dans le cadre de cette thèse, de
déterminer les éléments de la forme structurelle. Cette mise en œuvre peut être
effectuée sur des logiciels de simulation qui utilisent l’outil Bond Graph comme MS1
et 20Sim, en introduisant l’ensemble des règles décrites dans le chapitre2
(Détermination des éléments de la forme structurelle). Le développement à effectuer
devra permettre au logiciel d’établir les liens entre les variables mises en jeu , après
avoir effectué des tests de faisabilité (existence de chemin causal entre deux
variables).
Dans le volet de la commande, la commande à base d’inversion de modèle
peut être appliquée au convertisseur alimentant la machine à courant continu . Cette
stratégie de commande pourrait être aussi envisagée pour une application à un
onduleur triphasé alimentant une machine synchrone à aimants permanents, par
exemple, dans le but de piloter le couple du moteur. Dans ce cas, il y a 8 variables
d’état à gérer à chaque période d’échantillonnage (6 tensions aux bornes des
condensateurs et deux courants dans le repère diphasé) en fonction de 9 états des
interrupteurs de puissance présents dans la structure. En s’appuyant sur le principe de
la méthode, la première étape consiste à mettre le modèle d’état sous une forme affine
en la commande. Donc la matrice de commande sera une matrice rectangulaire ce qui
posera une contrainte sur l’inversibilité de cette matrice. L’ajout d’une heuristique
dans le modèle d’état peut être une piste à explorer pour résoudre ce problème.
Toutefois, cette application peut présenter un grand intérêt par rapport à l’application
d’une commande monocoup au même système (il y a 512 configurations à explorer
avant de sélectionner celle qui doit être appliquée pour se rapprocher de l’état de
référence dans le cas de la commande monocoup).
Par ailleurs, la recherche d’une autre stratégie de normalisation des rappor ts
cycliques, qui permet d’assurer une évolution des vecteurs d’état (calculés avec
normalisation et sans normalisation) dans la même direction, peut améliorer les
performances de cette stratégie de commande.
En ce qui concerne l’observation, une perspective envisagée, à court terme,
consiste à démontrer la convergence globale commande-observateur. De plus, l’idée
développée dans ce mémoire peut être étendue à la reconstruction de la vitesse en
présence de la force électromotrice induite dans le cas où le convertisseur alimente
une machine à courant continu. Cette estimation sera réalisable à partir de la mesure
du courant continu et de la tension d’alimentation du bus continu . Une autre
perspective, qui peut être envisageable, réside dans l’adaptation de l’observateur
Bilan et perspectives
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 143
adaptatif interconnecté synthétisé à la commande prédictive à base d’inversion de
modèle.
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Annexes
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 157
Annexes
Annexe A
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 159
Annexe A : modélisation explicite par mode de configuration
Configuration : 1 20, 1u u
Pour cette configuration, le Bond Graph du système est donné par la Fig. 102.
1Se:E O 1
Q2:1 Q1:0
1Se:E' O 1
Q'2=0 Q'1=1
1 C:C 0 1
R:R
I:L
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Fig. 102 Représentation Bond Graph de la nouvelle configuration
On note que les interrupteurs Q2 et Q’1 sont modélisés par des sources
d’efforts nuls (état fermé) alors que les interrupteurs Q1 et Q’2 sont modélisés par des
sources de flux nuls (état ouvert). Le seul champ qui présente des modifications par
rapport à la première configuration est le champ outmS . Le nouveau vecteur est défini
par :
Annexe A
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 160
2
4
12
13
outm
e
fS
f
e
Pour cette configuration, la relation structurelle est donnée par :
18
9
17
18 2
9 4
17 12
13
0 -1 -1 1 0 0 1 1 0
1 0 0 0 -1 -1 0 0 0 .
1 0 0 0 0 0 0 0 0
'
f
e
e
e e
f f
f f
e
E
E
(127)
En appliquant la même démarche pour cette configuration, on obtient le
modèle d’état suivant :
10
0 0
1 1 0
.
.
q q EL
R E'- -C L
(128)
Configuration : 1 20, 0u u
Pour cette configuration, le Bond Graph du système est donné par la Fig. 103.
Annexe A
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 161
1Se:E O 1
Q2:0 Q1:0
1Se:E' O 1
Q'2=1 Q'1=1
1 C:C 0 1
R:R
I:L
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Fig. 103 Représentation Bond Graph de la nouvelle configuration
On note que les interrupteurs Q’2 et Q’1 sont modélisés par des sources
d’efforts nuls (état fermé) alors que les interrupteurs Q1 et Q2 sont modélisés par des
sources de flux nuls (état ouvert). Le seul champ qui présente des modifications par
rapport à la première configuration est le champ outmS . Le nouveau vecteur est défini
par :
2
4
12
13
outm
f
eS
f
e
Pour cette configuration, la relation structurelle est donnée par :
18
9
17
18 2
9 4
17 12
13
0 0 -1 0 1 0 1 0 -1
0 0 0 1 0 -1 0 0 0 .
1 0 0 0 0 0 0 0 0
'
f
e
e
e f
f e
f f
e
E
E
(129)
En appliquant la même démarche pour cette configuration, on obtient le
modèle d’état suivant :
Annexe A
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 162
0 00 0
0 10
.
.
q q ER
- E'-L
(130)
Annexe B
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 163
Annexe B : degrés de liberté dans le plan des tensions
Zone 1 : 1 2 2 1 6 2 6 5 4 3 3 7U URE BE BE VE U U U U U U
U6U2 U6 5U 4U U3 3 7U U
E1-
E2+
I+
E1-
E2+
I+
E2+
I-
E2-
I+
E1+
E2-
I-
E1+
E2-
I-
Zone 2 : 2 2 1 1 6 5 3 4 6 2 3 7BE VE BE VE U U U U U U U U
6U 5U U3U4 U6 2U U3U7
E1-
E2+
I+
E2+
I-
E1+
E2-
I-
E1-
E2+
I+
E1-
I-
E1+
E2-
I-
Zone 3 : 2 2 1 1 6 5 4 3 2 6 3 7BE BE BE VE U U U U U U U U
U6 U5 U4 U3 U2 U6 U3U7
E1-
E2+
I+
E2+
I-
E2-
I+
E1+
E2-
I-
E1-
I-
E1-
E2+
I+
E1+
E2-
I-
Annexe B
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 164
Zone 4 : 2 2 1 1 5 6 4 3 6 2 3 7VE BE VE VE U U U U U U U U
5 6U U 4U 3U U6U2 U3U7
E1-
E2+
I-
E2-
I+
E1+
E2-
I-
E1-
E2+
I-
E1+
E2-
I-
Zone 5 : 2 2 1 1 5 6 3 4 6 2 7 3RE VE BE BE U U U U U U U U
5 6U U U3U4 U6 2U 7U 3U
E1-
E2+
I+
E1+
E2-
I-
E1-
E2+
I+
E1-
I-
E1+
I+
E1+
E2-
I-
Zone 6 : 2 2 1 1 6 5 3 4 6 2 7 3BE VE BE BE U U U U U U U U
6U 5U 3 4U U U6 2U 7U U3
E1-
E2+
I+
E2+
I-
E1+
E2-
I-
E1-
E2+
I+
E1-
I-
E1+
I+
E1+
E2-
I-
Zone 7 : 2 2 1 1 6 5 4 3 6 2 7 3BE BE BE BE U U U U U U U U
6U 5U 4U 3U U6 2U 7U U3
E1-
E2+
I+
E2+
I-
E2-
I+
E1+
E2-
I-
E1-
E2+
I+
E1-
I-
E1+
I+
E1+
E2-
I-
Zone 8 : 2 2 1 1 5 6 4 3 6 2 7 3VE BE VE BE U U U U U U U U
5 6U U 4U 3U U6U2 7U U3
E1-
E2+
I-
E2-
I+
E1+
E2-
I-
E1-
E2+
I-
E1+
I+
E1+
E2-
I-
Annexe B
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 165
Zone 9 : 2 2 1 1 5 6 3 4 6 2 7 3VE VE VE BE U U U U U U U U
5 6U U 3 4U U U6U2 7U U3
E1-
E2+
I-
E1+
E2-
I-
E1-
E2+
I-
E1+
I+
E1+
E2-
I-
Zone 10 : 2 2 1 1 5 6 3 4 6 2 7 3VE RE VE RE U U U U U U U U
U5U6 U3U4 U3U7 U6U2
E1-
E2+
I-
E1+
E2-
I+
E1+
E2-
I+
E1-
E2+
I-
Annexe C
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 167
Annexe C : résultats de simulation CM
Une consigne de courant sinusoïdal d’amplitude 0.6A avec une composante continue de
0.8A et de fréquence 50Hz a été appliquée alors que les références des tensions sont
fixées à ''/3E pour E1 et 2 ''/3E pour E2. Plusieurs tests ont été effectués pour des
valeurs de µ différentes.
1ère test : µ =0.1
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040
0.5
1
1.5
I
I#
Fig. 104 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)
Annexe C
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 168
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0430
35
40
45
50
E1
E1#
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0470
75
80
85
90
E2
E2#
Fig. 105 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)
2ème test : µ =0.3
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040
0.5
1
1.5
I
I#
Fig. 106 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)
Annexe C
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 169
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0430
35
40
45
50
E1
E1#
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0470
75
80
85
90
E2
E2#
Fig. 107 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)
3ème test : µ =0.5
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040
0.5
1
1.5
I
I#
Fig. 108 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)
Annexe C
Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 170
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0430
35
40
45
50
E1
E1#
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0470
75
80
85
90
E2
E2#
Fig. 109 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)
THDi
µ =0.1 1.59
µ =0.3 1.63
µ =0.5 1.83
Tableau 12 Variation du THDi en fonction de µ
FOLIO ADMINISTRATIF
THESE SOUTENUE DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES
DE LYON
NOM : TRABELSI DATE de SOUTENANCE : 16 Décembre 2009
(avec précision du nom de jeune fille, le cas échéant)
Prénoms : Mohamed Abdallah TITRE : MODELISATION ET COMMANDE DES SYSTEMES PHYSIQUES A TOPOLOGIE VARIABLE : APPLICATION AU CONVERTISSEUR MULTICELLULAIRE
NATURE : DOCTORAT Numéro d'ordre : 2009 ISAL 0117
Ecole doctorale : EEA Spécialité : Energie et Systèmes Cote B.I.U. - Lyon : et bis CLASSE :
RESUME : L’automatique est une science qui traite de la modélisation et la commande des systèmes dynamiques. Ces dernières années ont été marquées par l’essor d’une communauté étudiante les systèmes dynamiques hybrides (SDH). Un convertisseur statique (présentant un nombre fini de configurations) associé à une charge (procédé continu) est un exemple de (SDH). Pour étudier le comportement dynamique de ces systèmes, il est nécessaire de mettre en évidence l’aspect hybride (interaction entre les variables continues et les variables discrètes). Dans ce contexte, nous présentons dans le cadre de cette thèse, deux approches systématiques de modélisation, appliquées à un convertisseur série associé à une charge, dans le but d’établir un modèle hybride qui englobe les variables continues et discrètes. La première approche est la méthode des graphes d’interconnexion des ports qui repose sur des interprétations mathématiques des graphes linéaires en vue d’établir une formulation Hamiltonienne paramétrée en fonction des états des interrupteurs de puissance. La deuxième approche est l’approche à topologie variable des Bond Graph commutés qui permet de modéliser les interrupteurs de puissance (éléments en commutation) par des sources nulles suivant leurs états. Nous proposons ensuite deux lois de commande à aspect prédictif qui déterminent directement les configurations du convertisseur qui permettent de poursuivre, le plus rapidement possible, les références du courant dans la charge (objectif principal) et des tensions aux bornes des condensateurs. Les contraintes de temps de calcul étant sévères (quelques dizaines de microsecondes), un modèle simplifié, validé en simulation sur une période d’échantillonnage, est utilisé en temps réel. La première stratégie permet de prédire sur l’horizon d’une période d’échantillonnage l’évolution du système pour chaque configuration et de sélectionner celle qui minimise la distance entre l’état prédit et l’état de référence. Les résultats de simulation montrent l’intérêt de cette stratégie par rapport à une commande classique. Cette stratégie est associée ensuite à un observateur adaptatif dans le but d’estimer les tensions aux bornes des condensateurs. La deuxième méthode calcule directement les rapports cycliques permettant d’atteindre la référence en effectuant une inversion de la matrice de commande. Les commandes proposées sont validées expérimentalement. Les résultats
obtenus montrent les performances et l’efficacité de ces méthodes. MOTS-CLES : Systèmes dynamiques hybrides, systèmes physiques à topologie variable, graphes d’interconnexion de ports, Bond Graph commutés, commande prédictive directe, observateur adaptatif interconnecté. Laboratoire (s) de recherche : AMPERE UMR CNRS 5005 Directeur de thèse: Jean-Marie RETIF Président de jury : Jean BUISSON Composition du jury : Jean BUISSON, Mohamed DJEMAI, Claire VALENTIN, Malek GHANES, Jean-Marie RETIF, Xavier BRUN, Xuefang LIN-SHI.