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1
CALCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL I
NOTAS DE AULAS
Universidade de Sao Paulo
Faculdade de Filosofia, Ciencias e Letras de Ribeirao
Preto
Departamento de Computacao e Matematica
Prof. Dr. Jair Silverio dos Santos
Contents
0.0.1 Progressao Geometrica e Juro Composto . . . . . . . . . . . . . . . . 50.0.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 FUNCOES 91.1 Relacao entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Grafico de Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Funcoes Lineares e Quadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Inequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.4 Funcao Modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.6 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.7 Metodo da Chave para Divisao de Numeros . . . . . . . . . . . . . . 201.2.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.9 Funcoes Pares e Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.10 Composicao de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.11 Oferta e Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.12 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.13 Funcao exponencial e funcao logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Funcoes Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Limite 352.0.2 Propriedades de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.0.3 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.0.4 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.0.5 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1 Teorema do Sanduiche e Limites Fundmentais . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.1.1 Primeiro Limite Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.1.2 Segundo Limite Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.1.3 Problema dos Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.1.4 Limites Infinitos no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2 Assntotas Verticais e Horizontais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3 CONTINUIDADE 71
3
4 CONTENTS
4 DERIVADAS 734.0.1 Funcao Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.0.2 Propriedades da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.0.3 Derivada do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.0.4 Derivada do Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.0.5 Derivada da Funcao Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.0.6 Derivada da Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.0.7 Derivada da Funcao Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1 Aplicacoes da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.1.1 Reta Tangente ao Grafico de uma Funcao . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.2 Extremos de Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.3 Valor Crtico e Ponto Crtico de uma Funcao . . . . . . . . . . . . . . 894.1.4 Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.1.5 Classificacao de pontos Crticos de uma funcao . . . . . . . . . . . . . 904.1.6 Derivada da Funcao Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.1.7 Concavidade do Grafico de uma Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . 964.1.8 Teorema do Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.1.9 Regra de LHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.1.10 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.1.11 Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5 INTEGRAL 1115.1 Calculo de Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1.1 Propridades da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.1.2 Teorema do Valor Medio Para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2 Teorema Fundamental do Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.2.1 Funcao Primitiva e Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2.2 Integral por Substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2.3 Integracao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.2.4 Fracoes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.3 Integral Impropria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.4 Referencias Bibliograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
CONTENTS 5
0.0.1 Progressao Geometrica e Juro Composto
A taxa de crescimento i de uma grandeza que passa do valor a (a R) para o valor b (b R)e dada por
i =b aa
.
Veja que a taxa de crescimento de uma grandeza que passa de 4 para 5 e igual a i =5 44
=
0, 25.
Exemplo 1 Suponha que uma populacao aumenta 2% ao ano. Entao, a quantidade deindivduos Pn desta populacao no ano n (n-esimo ano) sera igual a quantidade de indivduosPn1 desta populacao do ano anterior mais o aumento de populacao, que e igual a 2% dePn1, isto e
Pn = Pn1 + (0, 02)Pn1 = (1 + 0, 02)Pn1 = 1, 02Pn1.
Veja que a quantidade de indivduos desta populacao em um determinado ano, digamos n-esimo ano, e proporcional a quantidade de indivduos desta populacao no ano subsequenteou (n 1)-esimo ano e a constante de proporcionalidade e 1, 02. Observe que a taxa decrescimento da grandeza quantidade de indivduos desta populacao e dada por
i =Pn Pn1
Pn1=
1, 02Pn1 Pn1Pn1
= 0, 02.
Exemplo 2 Suponha que uma bomba de succao retira de um vasilhame, em cada intervalode tempo, 3% do material existente neste vasilhame. Entao, a quantidade de material Gnexistente no vasilhame apos n succoes (n-esima succao ) sera igual a quantidade de materialGn1 que estava contida no vasilhame apos a succao anterior, menos o decrecimo de maretialcausado por uma succao, que e igual a 3% de Gn1, isto e
Gn = Gn1 (0, 03)Gn1 = (1 0, 03)Gn1 = 0, 97Gn1.
VALOR PRESENTE
Veja que se um indivduo contrai uma dvida hoje de G0 unidades de moeda e eleresgata em parcelas mensais esta dvida a taxa previamente combinada de 3% ao mes(desconto), entao a dvida deste indivduo apos o perodo de um mes, ou seja, no messeguinte sera G1, que e dado por
G1 = G0 0, 003G0 = 0, 97G0.
6 CONTENTS
A quantidade G1 que resta da dvida ainda nao resgatada e denominada Valor Pre-sente da dvida. Veja que a taxa de desconto e dada por
i =G1 G0
G0= 0, 03.
Se P0 unidades de moeda foi investido, a um ano atras, com taxa de atualizacao docapital de 100r por cento ao ano, ao atualizar quantidade de moeda ao final do primeiroano, teremos o valor dada por
P1 = P (um ano) = P0 + rP0 = (1 + r)P0.
Ao final do segundo ano a quantidade atualizada de moeda ser dada por
P2 = P (dois anos) = P0(1 + r) + rP0(1 + r) = (1 + r)2P0.
Ao final de t anos a quantidade atualizada de moeda ser dada por
P (t) = (1 + r)tP0.
Note que o juro no iesimo perodo (rPi1) compoe o capital do (i 1)esimo (Pi1)e forma a quantidade Pi = (1 + r)Pi1. Observe que em cada perodo e valida a regra
Pi Pi1Pi1
= r.
Se a composicao fosse semestral teramos r2como taxa de juros e ao final de t anos
o capital P0 composto com a taxa semestral de juros seria dado por P (t anos ) =
P (dois t semestres) = (1 +r
2)2tP0. Neste caso os juros so compostos duas vezes ao
ano.
Se os juros compuser o capital m vezes ao ano teramos rm
como taxa de juros e ao
final de t anos o capital P0 composto com a taxar
mde juros seria dado por
P (t anos) = P (mt perodos) = (1 +r
m)mtP0 (ver [1] pp251, [6]). (0.0.1)
Uma pergunta pertinente : Qual quantidade X de unidades moeda teremos que inve-stir no instante atual, para que ao final de t anos tenhamos Y unidades moeda, se os juroscompuserem o capital X m-vezes ao ano, a taxa de juros 100r%? (see [6])
Como vimos acima se o capital X for investido taxa de juros 100r%, e os juros com-puserem o capital m-vezes ao ano, ao final de t anos a o capital atualizado ser dado por
Y = X(1 +r
m)mt. (0.0.2)
Portanto,
CONTENTS 7
X = Y (1 +r
m)mt
e denominado Valor Presente disponvel em um tempo t anos, no futuro e o valor
(1 +r
m)mt
e denominado fator de desconto (ver em Laurence & Blume [9] e Chiang [1]).
Exemplo 3 Um homem investe em uma carteira P0 = 5000, 00u.m. a 4% de juros ao ano.Qual sera o valor atualizado com os juros se quantidade de moeda P0 permanecer aplicada,sem retidadas, por 10 anos? Quanto este homem teria que aplicar a 4% de juros ao anopara que ao final de quatro anos ele tivesse disponvel 1200.00u.m.?
Resolucao Veja que em (0.0.1),r
m= 0.4 e mt = 10. Portanto,
P (10) = (1 + 0, 04)105000 = 7.401, 22u.m.
Para responder a segunda pergunta, veja que em (0.0.2) temos Y = 1.200,r
m= 0.4 e
mt = 10. Entao
X = 1200(1 + 0.04)10 = 810, 677.
Exemplo 4 Ao se tomar hoje, por empestimo, 150, 00u.m. a uma taxa de juros de 12% aomes, qual sera o valor corrigido com juros tres meses depois? Quanto deveria ser investidoa taxa de juros de 12% ao mes para que ao final de cinco meses o valor presente fosse 250, 00u.m.?
Resolucao Veja que P0 = 150, a taxa anual de juros e m12
100= 0, 12m. Entao
r
m= 0, 12 e mt = 3, Como m = 12 teremos r = 1, 44 e t =
1
4= 0.25. Assim, segue de
(0.0.1) que
P (0.25) = (1 + 0, 12)3150 = 210, 74.
Vamos responder a segunda pergunta: veja em (0.0.2) que Y = 250,r
m= 0, 12 e mt = 5.
Entao
X = 250(1 + 0.12)5 = 141, 85
8 CONTENTS
0.0.2 Exerccios
(i) Suponha que a taxa de juros e 7% ao ano. Se for investido 72 unidades de moeda, quale o valor um vez ao ano, atualizado um dois anos depois.
(ii) Suponha que a taxa de juros e 7% ao ano. Se for investido 72 unidades de moeda, quale o valor duas vezes ao ano, atualizado um ano depois (ver [6]).
(iii) Suponha que o capital investido sera atualizado uma vez ao ano. Quanto deve serinvestido hoje taxa de juros e 5% ao ano para se ter atualizado dois anos depois 127unidades de moeda (ver [6]) ?
(iv) Suponha que o capital investido sera atualizado tres vezes ao ano. Quanto deve serinvestido hoje taxa de juros e 5% ao ano para se ter atualizado dois anos depois 127unidades de moeda (ver [6])?
Chapter 1
FUNCOES
1.1 Relacao entre conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B ao conjunto
A B = {(x, y) par ordenado tal que x A e y B}.
Note que A = B entao (x, y) = (y, x) se e somente se x = y.
Definicao 1 Chama-se relacao entre dois conjuntos A e B qualquer subconjunto do produtocartesiano de A por B.
Exemplo 5 Se A = {1, 2} e B = {a,1}, R0 = (o conjunto vazio), R1 = {(1, a); (2; a)}e R2 = {(1,1) ; (1, a)} sao relacoes entre A e B.
ResolucaoComo
A B = {(1, a) ; (1,1) ; (2, a) ; (2,1)},
segue da Definicao 1 que uma relacao entre A e B e qualquer um dos subconjuntos de AB.Mas R0, R1 e R2 sao subconjuntos de A B e assim, elas sao relacoes entre A e B.
O conjunto vavio dado por e uma destas relacoes. Aqui, nenhum elemento de A estaassociado a qualquer elemento de B.
Considere a relacao {(1, a); (2; a)} entre A e B. Veja que esta relacao entre A e B econstante, todos elementos de A estao associados a um unico elemento de B.
Tome a relacao {(1,1) ; (1, a)}. Veja que nesta relacao um elemento de A estaassociado dois elementos de B e o outro elemento de A nao tem seu correspondente emB.
9
10 CHAPTER 1. FUNCOES
Definicao 2 Dados dois conjuntos A e B, chama-se funcao de A em B a qualquer relacaoentre A e B que a cada elemento do conjunto A assosia um unico elemento em B. Indica-seesta funcao por f : A B.
Dizemos que f esta definida em A e toma valores em B.
Ao conjunto A denomina-se Domnio de f (Dm(f)).
Ao conjunto B denomina-se Contradomnio de f .
Ao conjunto Im(f) = {y B tais que existe x A que satisfaz f(x) = y}denomina-se a imagem da funcao f .
Nosso principal interesse sao as funcoes definidas e subconjuntos dos numeros reais etomando valores reais; isto e, os conjuntos A e B serao subconjutos do conjunto dos numerosreais.
1.1.1 Exerccios
(i) Considere os conjuntos A = {, a} e B = {, }, calcule o produto cartesiano de Apor B, todas as relacoes possveis e indique aquelas relacoes que sao funcoes.
Dados S = {1, 3, 5} e P = {m,n}. Calcule o produto cartesiano de S por P , todas asrelacoes possveis e indique aquelas relacoes que sao funcoes.
(ii) Considere o conjunto RR que aqui sera denotado por R2. Valha-se da definicao decoordenadas cartesianas e desenhe cada um dos conjuntos abaixo:
a- A1 = {(x, y) R2 tal que x+ 2y = 4, 2 < x 2}.b- A2 = {(x, y) R2 tal que x+ 2y < 4, 2 < x 2, y > 0}.c- A3 = {(x, y) R2 tal que x+ 2y 4, 2 < x 2, y 0}.d- B3 = {(x, y) R2 tal que x y 0, 2 < x 2}.e- B3 = {(x, y) R2 tal que x y 0, 2 < x 2}.
Lembrete Sejam x, y e z numeros reais positivos e m, n numeros inteiros naonegativos. Entao
(i) xmxn = xm+n.
(ii) (xm)n = xmn.
(iii) (xyz)n = xnynzn.
(iv)(xy
)m=
xm
ym.
1.2. GRAFICO DE FUNCAO 11
(v) xm =1
xm.
(vi)xm
xn= xmn.
(vii) xmn = n
xm.
OBSERVACAO: Se x R for nao nulo entao x0 = 1. Seja a R e a = 0, entaox0 = xaa =
xa
xax =0= 1.
1.2 Grafico de Funcao
Definicao 3 Dada f : A B funcao, chama-se Grafico de f ao conjunto G(f) = {(x, y) A B tal que y = f(x)}.
1.2.1 Funcoes Lineares e Quadraticas
(i) Vamos denominar funcao lineares aquelas cujo grafico e uma reta, ou seja f : R Rdadas por f(x) = ax+ b, onde a R. Se a = 0, f e uma funcao constante.
Veja se (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)) sao pontos no grafico de f . Ainda,
f(x2) f(x1)x2 x1
= tg() = a > 0, (1.2.1)
que e o coeficiente angular da reta G(f). Se em (1.2.1) a for negativo o grafico de ftem forma
12 CHAPTER 1. FUNCOES
(ii) Se a, b e c sao numeros reais, considere a funcao quadratica f : R R dada por
f(x) = ax2 + bx+ c, a = 0. (1.2.2)
Queremos resolver a equacao f(x) = 0. Como em (1.2.2) a = 0 podemos somar em
ambos os membrosb2
4ae escrevermos
a[x2+2
( b2a
)x+
b2
4a2
]=
b2
4ac, ou seja a
(x+
b
2
)2=
b2 4ac4a
, entao(x+
b
2
)2=
b2 4ac4a2
.
que e equivalente a
(x+
b
2a
b2 4ac2a
)(x+
b
2a+
b2 4ac2a
)= 0
Portanto,
x0 =b+
b2 4ac2a
e x1 =b
b2 4ac2a
(1.2.3)
sao as razes da equacao (1.2.2). Alem disso, em (1.2.3), x0 e x1 serao numeros reaisse e somente se = b2 4ac for um numero real nao negativo, ( 0).
Exemplo 6 Seja f(x) = x2 4x+ 1. Vamos resolver a equacao f(x) = 0.
Resolucao Veja que a = c = 1 e b = 4. Entao = (4)2 4 = 12. Segue de (1.2.3)que as razes de f(x) = 0 sao x0 = 2
3 e x0 = 2 +
3.
Como exemplo tome f : [0, 2] R dada por f(x) = x2.
-oxO
oy
x...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... f(x)
(x, f(x))
6
Figura 1
1.2. GRAFICO DE FUNCAO 13
1.2.2 Exerccios
(i) Lei de Pareto de Distribuicao de Renda (ver em Laurence & Blume [9]) OEconomista Vilfredo Pareto propoe a seguinte lei de distribuicao de renda: Se N for onumero de indivduos de uma dada populacao A de tamanho m, cuja a renda e igualou superior a x, entao
N(x) =m
xb(1.2.4)
onde b e um parametro da populacao cujo valor poderia ser aproximado por 32. Neste
caso N seria dado por
N(x) =m
x32
(1.2.5)
Um indivduo e considerado milionario se sua renda excede x0 = 106 Unidades deMoeda (u.m.).
Responda as perguntas abaixo: Suponha que em uma populacao de 216.1010indivduos valha a lei de Pareto. Quantos indivduos sao coniderados milionarios?Resp: 2160. Quantos indivduos tem renda superior a 3.660 u.m.? Resp: 216.107.Quantos indivduos tem renda inferior a 3.600 u.m.? Qual e a menor renda das oitentapessoas que tem as rendas mais altas? Resp. 9.106 u.m.
(ii) Suponha que valha a lei de Pareto, que em (1.2.4), b =5
3e m = 16.1012.
Responda as perguntas abaixo: Quantos indivduos tem renda inferior a 8.000u.m.. Resp: 5.106. Quantos indivduos tem renda superior a 125.000 u.m., mas inferiora 106u.m.? Resp: 49.600. Qual e a menor renda das cinquenta pessoas que possuemmaiores rendas? Resp. 8.106 u.m.
(iii) Suponha que valha a lei de Pareto, que em (1.2.4), b =3
2e m = 8.108.
Responda as perguntas abaixo: Quantos indivduos tem renda superior a 1.600u.m.. Quantos indivduos tem renda superior a 1.600 u.m., mas inferior a 3.600u.m.?. Qual e a renda mais baixa das oitocentas pessoas que possuem as rendas mais altas?
a- Se o domnio da funcao f(x) = 5 + 3x for {x R, tais que 1 x 4},determine a imagem de f .
b- Se o domnio da funcao f(x) = 5 3x2 for {x R, tais que 1 x 4},determine a imagem de f .
Os exerccios acima sugerem a ideia de desigualdades.
1.2.3 Inequacoes
Definicao 4 Dada f : A R B R uma funcao. Uma equacao e expressao da formaf(x) = 0, onde x A. Uma inequacao e uma expressao com uma das formas f(x) > 0, ouf(x) 0, ou f(x) < 0, ou f(x) 0, onde x A.
14 CHAPTER 1. FUNCOES
Note que as desigualdades nos informam qual e o sinal da funcao f Se multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um numero real posi-
tivo, esta desigualdade matem-se com o mesmo sentido.Veja que 2x x3 > x2 2 e equivalente a (x2 + 1)[2x x3] > (x2 + 1)[x2 2], porque
x2 + 1 e positivo para todo numero real x .
Se multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um numero negativoesta desigualdade troca o seu sentido.
Veja que 2x x3 > x2 2 e equivalente a (x2 1)[2x x3] > (x2 1)[x2 2]; somentese x2 1 for positivo ou zero. Se x2 1 for negativo ou seja se x (2; 2) (intrevalo), entao(x2 1)[2x x3] < (x2 1)[x2 2].
1.2.4 Funcao Modulo
Definicao 5 O modulo de um numero real x e dado por
|x| ={
x; se x 0,x; se x < 0.
Temos |x| < m, se e somente se m < x < m. Ainda, |x| m, se e somente sem x m.
Temos |x| > m, se e somente se x < m ou x > m. Analogamente ao caso anterior,|x| m, se e somente se m x ou x m.
Exemplo 7 Se f : R R for dada por f(x) = |x|, o grafico de f esta dado na figuraabaixo:
Observacao 1 Da definicao de modulo de um numero real segue quex2 = |x|.
Exemplo 8 Seja f : R R dada por f(x) = |x2 + 4x 5|.
Veja que o grafico de f esta esbocado na figura acima. Para compreender o grafico acimatemos que resolver as inequacoes gerada pela definicao da funcao modulo, ou seja
f(x) =
{x2 + 4x 5; se x2 + 4x 5 0,(x2 + 4x 5); se x2 + 4x 5 < 0.
Veremos facil que se F1 = {x R ( < x 5 ou 1 x < } e F2 = {x R (5 5.
Resolucao Da definicao 5 vemos que a desigualdade do exemplo (5.1.1) e equivalente a
3x+ 2 > 5 ou 3x+ 2 < 5.
Neste caso, e conveniente resolver cada uma desas desigualdades em separado e depois con-struir o conjunto solucao. Vemos facilmente que se x resolve a primeira inequacao, entao
x > 1. Analogamente, se x resolve a segunda inequacao entao x < 73. Portanto, conjunto
solucao que procuramos e dado por
S = {x R, tal que < x < 73
ou 1 < x < }.
Como encontrar o conjunto dos numeros reias tais que |x 4| > |3x 2| ?
1.2. GRAFICO DE FUNCAO 17
Pela Observacao 1 temos |x 4| =(x 4)2 e |3x 2| =
(3x 2)2. Portanto, a
desigualdade em () e equivalente a(x 4)2 >
(3x 2)2; ou seja (x 4)2 > (3x 2)2.
Alguns calculos nos mostram que nosso problema e equivalente a 2x2 x 3 < 0. Para en-contrar o conjunto solucao para esta ultima desigualdade devemos encontrar o discriminanteda equacao 2x2 x 3 = 0 (ver (1.2.3)) que e dado por = 1 + 24 = 25 e as suas razessao dadas por;
x0 =b
2a=
(1)25
4= 1 e x1 =
b+
2a=
(1) +25
4=
3
2.
Mas, 2x2 x 3 = 2(x x0)(x x1) = (x+ 1)(x 3). Queremos que (x+ 21)(x 3) sejanegativo. Portanto, o conjunto solucao que procuramos e dado por
S = {x R, tal que 1 < x < 32}.
Valha-se das propriedades anteriores, resolva em R as igualdades, desigualdades e de-screva geometricamente o conjunto solucao de cada uma delas:
1.2.5 Exerccios
1 Um fabricante produz canetas ao custo de 10 u.m. (unidades de moeda) por unidade.Estima-se que, se cada caneta for vendida por x u.m., os consumidores compraraoaproximadamente 80x canetas por mes. Expresse o lucro mensal do fabricante comofuncao do preco devenda de cada caneta. Construa o grafico desta funcao e calculeo preco p0 para o qual o lucro mensal e o maior possvel (Veja que o lucro e dado peloproduto do numero de canetas vendidas pelo lucro por caneta).
Duas propriedades esperadas para um mercado qualquer:
A quantidade de produto ofertada aumenta se o preco deste aumentar. Isto nos dizque as variaveis ofertada e preco estao de alguma forma relacionadas.
A quantidade de produto demandada diminui se o preco deste aumentar. Isto nosdiz que as variaveis demandada e preco estao de alguma forma relacionadas
2 Dez relogios de pulso sao vendidos quando o seu preco for 80 u.m.; 20 destes relogiosserao vendidos quando o preco for 60 u.m. Suponha que a demanda por este tipo derelogio seja uma funcao linear do seu preco neste mercado. Qual e a equacao dedemanda para este produto? Faca o grafico desta funcao.
3 Quando o preco for de 50 u.m., cinquenta maquinas fotograficas de um determinadotipo estarao disponveis no mercado; quando o 75 u.m., cem maquinas fotograficasde um determinado tipo estarao disponveis no mesmo mercado (produto em oferta).Suponha que a oferta deste tipo de maquina seja uma funcao linear do seu preco nestemercado. Qual e a equacao de oferta para este produto? Faca o grafico desta funcao.
18 CHAPTER 1. FUNCOES
4 Resolva as equacoes e inequacoes e represente graficamente o conjunto solucao de cadaitem.
(a) x 2 < 18 3x. S = {x R tal que < x < 5};(b) 4 < 2 3x 17. S = {x R tal que 5 x < 2};
(c)3x 1x+ 2
5. S = {x R tal que 112
x < 2};
(d) x2 81. S = {x R tal que 9 x 9};(e) x2 x 0. S = {x R tal que 0 < x < 1};(f) Se f(x) = |5x+ 2|+ 3, resolva f(x) = 0; S = ; Faca o grafico de f(x).
(g) Se f(x) = |2x 1| |4x+ 3|, resolva f(x) = 0: S = {2,13}. Faca o grafico de
f(x).
(h) Se f(x) = |x 5| 1 + 2x, resolva f(x) = 0; S = {4}. Faca o grafico de f(x).
(i)3x+ 82x 3
= 4, S = { 411
, 4};
(j) |2x 1| > |x+ 2|. S = (,13) (3,);
(k) 1 < |x+ 2| < 4. S = {x R tal que 6 < x < 3 ou 1 < x < 2};
(k) |3x+ 7| > 2. S = {x R tal que < x < 3 ou 53< x < };
(l) |x 3| 2. S = {x R tal que 1 x 5}.
5 (a) 4x 6 < 11; (b) 7 2x > 3; (c) |x+ 4| < 7; Resp. {x R; 11 < x < 3};
(d) |3x 4| 2; Resp. {x R; 23 x 2}; (e) |2x 5| > 3;
Resp. {x R, < x < 1 ou 4 < x < };
(f) |x + 4| |2x 6|; Resp R {x R, 23< x < 10}; (g) | 2x + 9| |4x|;
Resp {x R, 92 x 3
2}. (h) 2 4x x2 0; (i) 4x 1
x 1;
(j) x(3x 1) 4; (k) 2x2 x 3x2 1
x; (l) (x+ 1)(2x 3) > 2; (m)2x+ 3
5
< 2;(n)
7 3x2
1; (o) |x 10| < 0, 3; (p) 3x2 + 5x 2 < 0;(q) 2x2 9x+ 7 < 0; (r) 1
x2< 100; (s) 1 < 3 7x
4 6; (t) 3
x 9>
2
x+ 2
(u) (x 1)2(x 2)(x+ 1)3 > 0 (v) (x 1)2(x 2)(x+ 1)3
x(x2 + 1)(x2 1)< 0.
(i) Faca o grafico de f(x) quando:
1.2. GRAFICO DE FUNCAO 19
f(x) = x2 + x + 1; Desenhe no plano cartesiano o conjunto S = {(x, y) R2 tal que 0 f(x) x 1} para 2 < x 2.
f(x) = x2 + x 2; Desenhe no plano cartesiano o conjunto S = {(x, y) R2 tal que 0 f(x) x+ 1} para 3 < x 5.
1.2.6 Polinomios
Definicao 6 Sejam ar, ar1, , a0 numeros reais. Um polinomio e uma funcao q : R Rdada por q(x) = arx
r + ar1xr1 + + a0. Se ar for nao nulo diremos que o grau de q e r
e indicamos por q = r.
Seja q(x) um polinomio. Suponhamos que o grau de q = r. Sabemos que o polinomioq pode ser decomposto em fatores da forma{
x x, x R;x2 + x+ , 2 4 < 0; , , R, (ver(1.2.3)).
o valor x e denominado raiz real de q. Cada fator da forma x2+x+ com a propriedade2 4 < 0 nao tem raiz real.
Suponha que q tenha apenas razes reais. Sejam n N e x0, x1, , xn as razes deq (n r). Ha que se lembrar que cada uma destas razes tem sua multiplicidade. Entaosuponha que s0, s1, , sn N, indica respectivamente as multiplicidades das razes dopolinomio q. Entao s0 + s1 + + sn = q.
Exemplo 12 Seja q(x) = x2 3x+ 2 = (x 1)(x 2).
x0 = 1, s0 = 1,x1 = 2, s1 = 1s0 + s1 = q = 2.
Exemplo 13 Seja q(x) = (x+ 1)2(x 2)3.
x0 = 1, s0 = 2,x1 = 2, s1 = 3s0 + s1 = q = 5.
Suponhamos que q : R R seja dado pela expressao q(x) = arxr + ar1xr1 + + a0com ar = 0 e que todas as suas razes sejam reais. Entao podemos escrever
q(x) = ar(x x0)s0(x x1)s1 (x xn)sn . (1.2.9)
e s0 + s1 + + sn = q = r.Ve-se facilmente que se alguma raiz de q tiver multiplicidade maior que um, algum si
sera nulo, e o fator correspondente x xi nao aparecera na expressao (1.2.9).
20 CHAPTER 1. FUNCOES
1.2.7 Metodo da Chave para Divisao de Numeros
Veja que se p(x) = x 5 e g(x) = x 13 5 13 , podemos realizar a divisao de p(x) por g(x) pelometodo da chave e obtermos resto zero. Considere o esquema abaixo com suas instrucoes:
Note que multiplicacao da primeira parcela do quociente pelo divisor nos da xx 23a 13 .Subtraia x x 235 13 do dividendo.
A multiplicacao da segunda parcela do quociente pelo divisor nos da x 235 13 x 135 23 .Sutraia-a do dividendo.
Amultiplicacao da ultima parcela do dividendo pelo divisor nos da x 135 235. Subtaria-ado dividendo e voce obtera resto ZERO.
x 5 x 13 5 13
x+ x 235 13 x 23 + x 135 13 + 5 23x
235
13 5
x 235 13 + x 135 23
x235
13 5
x 235 13 + 50 + 0
Portanto,
x 5 = (x 13 5 13 )[x 23 + x 135 13 + 5 23 ]
ou seja,
x 5x
13 5 13
x =5= x
23 + x
135
13 + 5
23 .
Com este algortmo podemos escreve
x13 5 13x 5
x =5=
1
x23 + x
135
13 + 5
23
. (1.2.10)
1.2.8 Exerccios
(i) Sejam p(x) e q(x) polinomios dados abaixo. Calcule o resto da divisao de p(x) porq(x) (use o metodo da chave).
p(x) = x3 2x2 + 1 e q(x) = x2 + 1; p(x) = x4 x3 e q(x) = x2 4x+ 2.
(ii) Sejam f(x) e g(x) funcoes dados abaixo. Calcule o resto da divisao de f(x) por g(x)(use o metodo da chave).
1.2. GRAFICO DE FUNCAO 21
f(x) = x 2 e g(x) = 3x 3
2;
f(x) = x 3 e g(x) = 3x 3
3 ,
f(x) = x 5 e g(x) = 4x 4
5;
f(x) = x+ 3 e g(x) = 3x+ 3
3.
f(x) = x a e g(x) = 3x 3
a;
f(x) = x a e g(x) = 3x 3
a ,
f(x) = x b e g(x) = 4x 4
b;
f(x) = x+ b e g(x) = 5x+ 5
b.
Em cada um dos casos acima escreva a fracao analoga a fracao em (1.2.10).
(iii) - Dadas as funcoes abaixo, calcule g(x) =f(x) f(a)
x apara x = a, onde a e um numero
real que esta no domnio da funcao f . Em cada um dos casos acima escreva a fracaoanaloga a fracao em (1.2.10).
f(x) = x2 + 3 , f(x) = x2 x+ 1 ,
f(x) = x 13
f(x) = x 14
f(x) = x 15
f(x) = sin(x) f(x) = cos(x), (compare os cinco primeiros tens com o exerccio anterior).
(iv) Seja a um numero real fixo, calcule g(h) =f(a+ h) f(a)
hpara cada uma das funcoes
abaixo. Em cada um dos casos acima escreva a fracao analoga a fracao em (1.2.10).
f(x) = x2 + 3, f(x) = x2 x+ 1,
f(x) = x 13
f(x) = x 14
f(x) = x 15 , f(x) = sin(x) f(x) = cos(x), (compare os com o exerccio anterior).
22 CHAPTER 1. FUNCOES
1.2.9 Funcoes Pares e Impares
Uma funcao y = f(x) e uma (i) funcao par de x se f(x) = f(x), (ii) funcao mparde x se f(x) = f(x). Verifique se as funcoes abaixo sao pares ou mpares.
(i) f(x) = x2,
(ii) f(x) = x3 + x, (iv) f(x) = x2 + x3,
(iii) f(x) = x3 + x+ 1,
(iv) f(x) = x2 + 1
(v) f(x) = |x|
(vi) f(x) = |x 1|. Esboce os grafico de cada uma das funcoes dos tens (i) e (vi); (vii) e(iii) e compare-os.
1.2.10 Composicao de Funcoes
Definicao 7 Dadas f : A B e g : C D duas funcoes. Se Im(f) Dom(g) entaopodemos definir uma outra funcao h : A D tal que h(x) = g(f(x). A funcao h edenominada composicao de g por f ,. Denotaremos esta composicao por g f .
Note que se h(x) = 3x2 4x+ 7, podemos dizer que h e uma composicao de funcoes.
As funcoes envolvidas sao g(x) = 3x e f(x) = x2 4x+ 7.
(i) Determinar o domnio das seguintes funcoes e escreva a funcao h como composicao deduas outras funcoes:
h(x) = 1x 4
,
h(x) =x2 + 2x 3,
h(x) =
x
x2 + 1,
h(x) = 3
x
x2 + 1,
h(x) = 4
x2 3x+ 5x 4
.
(ii) Calcule, quando for possvel, a composicao de f por g e de g por f nos casos abaixo ede o domnio de f , g, f g e g f
1.2. GRAFICO DE FUNCAO 23
f(s) = s2 + 2s+ 1 e g(x) = 2x2 5; f(s) =
x e g(x) = x2 + 1,
f(s) = |s2 + 3| e g(x) = x2 + 1
x 1.
f(s) = sin(x2 + 1) e g(x) = 3x
(iii) Calcule f(g(x)), g(f(x)), h(f(g(x))), verifique que f g = g f , de o domnio de f , ge h, onde estas funcoes estao dadas abaixo e :
f(x) =x2 + 1
x 1, h(x) =
x, g(x) = x2 3x+ 2.g(x) = 1 x2, h(x) = x2 + 6x 16.
Exemplo 14 Tome A um conjunto qualquer e f : A A dada por f(x) = x.
Note que f(f(x)) = f(x) = x. A inversa de f e ela mesma (uma funcao Nacisista). Estae uma razao muito forte para que f seja nomeada FUNCAO IDENTIDADE.
Definicao 8 Dadas f : A B e g : F G funcoes, Suponhamos que
Im(f) Dm(g) e Im(g) Dm(f)
Segue da Definicao 7 que pode ser definidas as funcoes f g : F B e g f : A G dadaspor
g f(x) = g(f(x)) para todo x A e f g(y) = f(g(y)) para todo y F.
Se
g f(x) = g(f(x)) = x para todo x A e f g(y) = f(g(y)) = y para todo y F,
dizemos que g e a funcao inversa da funcao f .
No caso em que f : A B e satisfaz uma condicao especial, isto e que exista umafuncao g : B A tal que
f(g(y) = y e g(f(x) = x,
dizemos que a func ao g e a Funcao Inversa da funcao f . Denotamos g por f1. O exemplomais simples que ilustra tal situacao e o seguinte:
Exemplo 15 Tome R o conjunto dos numeros reais e f : R R dada por f(x) = ax + b,com a = 0.
24 CHAPTER 1. FUNCOES
Note que g : R R dada por g(y) = 1a(y b) satisfaz f(g(y)) = a
(1a(y b)
)+ b =
[y b] + b = y e g(f(x) = 1a[(ax+ b) b] = x
ExerccioEm cada um dos tens abaixo determine a funcao f1 inversa. Faca os graficos da funcao
e de sua inversa, primeiro no pesmo plano e depois em planos separados.
(i) f(x) = 3x+ 4, (ii) f(x) =1
x a, a R (iii) f(x) = x+ a
x a, a R.
Funcao Injetora Uma funcao f : A B e injetora se para todo x, y A tal quef(x) = f(y), implicar que x = y.
Como exemplo tome f : R R dada por f(x) = ax+ b, com a e b numeros reais, sendoa = 0.Vamos mostrar que f e injetora.
Se x, y R sao tais que f(x) = f(y), entao ax + b = ay + b. Ou seja, ax = ay. Comoa = 0, temos que x = y. Portanto, f e injetora.
Funcao Sobrejetora Uma funcao f : A B e sobrejetora se Im(f) = B.
Funcao Bijetora Uma funcao f : A B e Bijetora se ela for injetora e sobrejetora.
Teorema 1 Uma funcao f : A B e Invertvel se e somente se ela for bijetora.
Exemplo 16 Seja f : Z N dada por
f(n) =
n
2, se n for par,
n 12
1, se n for mpar.
E facil ver que f e uma bijecao.
A quantidade demandada por um produto no mercado onde p e o nvel de preco desteproduto, e uma funcao do preco, isto e, D : [0,) [0,) e dada por D(p).
A quantidade ofertada ao mercado de produto com preco p e uma funcao do preco,isto e, S : [0,) [0,) e dada por S(p).
1.2.11 Oferta e Demanda
Em um mercadode bens, tem-se quantidade ofertada de bens e a quantidade demandadade bens ao nvel de preco p. Entao tem-se D,S : [0,) [0,) forem a funcao demanda(D) ao preco p e a funcao oferta ao preco p, estas funcoes serao lineares se existiremnumeros reais 0, 1, 0, 1 tais que
1.2. GRAFICO DE FUNCAO 25
(a) D(p) = 0 + 1p 0(b) S(p) = 0 + 1p 0.
(1.2.11)
Veja que nao ha oferta nem demanda negativa. Diz-se que um mercado atua em O EQUILIBRIO ECONOMICO se existir um
nvel de preco p0 que faz a funcao a oferta calculada em p0 assumir o mesmo valor que afuncao demanda neste ponto, isto e D(p0) = S(p0). Neste caso diz-se que p0 e nvel depreco de equilbrio para este mercado .
Em linguagem costumeiramente usada em economia, para (1.2.11a) , p e denominadaVariavel Exogena e D Variavel Endogena . Analogamente, para (1.2.11b) , p e denominadaVariavel Exogena e S Variavel Endogena
Duas propriedades esperadas para um mercado qualquer: A quantidade de produto demandada diminui se o preco deste aumentar 1 > 0 em
(1.2.11a). A quantidade de produto ofertada aumenta se o preco deste aumentar, 1 > 0 em
(1.2.11b).Veja em 1.2.11 as curvas de demanda e oferta sao retas. Nao podemos esperar que as
curvas de demanda e ofertas sejam retas. Nos grafico abaixo que as curvas O e D sao curvasde Oferta e Demanda, respectivamente, nao sao retas . Veja a interpretacao Economica da
regioes delimitadas pelas duas curva, uma que contem o segmentoab e a outra contem o
segmentocd (ver [1, 9]).
Na Figura abaixo podemos observar interpretacao das regioes hachuradas. veja as jus-tificativas em [1, 9].
26 CHAPTER 1. FUNCOES
1.2.12 Exerccios
(i) Suponha que em um mercado a quantidade produto tem nvel de preco p. Com estenvel de preco a oferta e dada por S(p) = ap+3 e a demanda e D(p) = bp+17,ondea e b sao constantes positivas.
Encontre nvel de precop0 para que o mercado atue em equilbrio. Encontre os valores de p para que a oferta seja maior que a demanda. Encontre os valores de p para que a oferta seja menor que a demanda.
Calcule D(p0 + 3)D(p0)3
eS(p0 + 3) S(p0)
3. Interprete os numeros que voce
calculou.
Calcule D(p0 + q)D(p0)q
eS(p0 + q) S(p0)
q. Interprete os numeros que voce
calculou.
Defina a funcao E : [0,) R dada por E(p) = D(p) S(p). Qual o nome quevoce dariapara esta funcao ?
Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a funcao E epositiva.
Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a funcao E enegativa.
Calcule E(p0 + 3) E(p0)3
(ii) Suponha que em um mercado a quantidade produto tem nvel de preco p. Com estenvel de preco a oferta e dada por S(p) = ap2+3 e a demanda e D(p) = bp2+17,ondea e b sao constantes positivas. Encontre o intervalo de definicao para D e S para queestas funcoes representem a Demanda e Oferta de um produto em algum mercado.
Encontre nvel de preco p0 para que o mercado atue em equilbrio. Encontre os valores de p para que a oferta seja maior que a demanda. Encontre os valores de p para que a oferta seja menor que a demanda.
Calcule D(p0 + 3)D(p0)3
eS(p0 + 3) S(p0)
3. Interprete os numeros que voce
calculou.
Calcule D(p0 + q)D(p0)q
eS(p0 + q) S(p0)
q. Interprete os numeros que voce
calculou.
Defina a funcao E : [0,) R dada por E(p) = D(p) S(p). Qual o nome quevoce dariapara esta funcao ?
Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a funcao E epositiva.
1.2. GRAFICO DE FUNCAO 27
Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a funcao E enegativa.
Calcule E(p0 + 3) E(p0)3
1.2.13 Funcao exponencial e funcao logartmica
Dados um numero real a positivo, chama-se funcao exponencial de a a relacao f : R Rdada por f(x) = ax.
Note que f toma qualquer numero real mas produz apenas numeros reais positivos.
Note que f(x+ y) = f(x)f(y) para todo x R.
Note que f(x y) = f(x)f(y)
para todo x R.
Ainda, f(0) = f(1 + (1)) = f(1)f(1) = a1a1 = aa= 1.
Funcao Logartmica
Definicao 9 Dados a, b R positivos. Se a = 1, chama-se logartmo de b na base a umnumero real y tal que ay = b.
Se g : (0,) R for uma funcao dada g(x) = logax, diremos que g e a Funcao
Logartmica. Ainda Como ja vimos, se f : R (0,), for dada por f(x) = ax, teremos
(i) f(g(y) = aloga y = y.(ii) g(f(x)) = logaa
x = x.
Pela Definicao 8, vemos que a funcao exponencial e a inversa da funcao logartmica.
Propriedades
1 : loga(xy) = log
ax+ loga y.
2 : logaa = 1 e log
a1 = 0.
3: loga(x1) = log
ax.
4 : loga(xy) = y log
ax.
NOTACAO : logab = y ay = b.
A figura abaixo mostra o grafico da funcao esponencial f a funcao logartimica g (uma
28 CHAPTER 1. FUNCOES
inversa da outra) para o caso onde a > 1.
Exemplo 17 Suponha que uma certa quantidade de Moeda, digamos P0, e investida emuma carteira de poupanca a uma taxa de r juros que compoe o capital inicial ao fim deum determinado perodo fixo de tempo, digamos trinta dias. Se nao houver retiradas, Qualquantidade de capital presente apos n > 1 perodos ?
Resolucao Note que ao fim do primeiro perodo o capital P1 e P0 composto com aparcela de juros rP0,o que nos da P1 = P0 + rP0 = P0(1 + r) .
Como nao ha retiradas, ao fim do segundo perodo o capital P2 e composto da seguinteforma P2 = P2 + rP2 = P0(1 + r) + rP0(1 + r) = P0[1 + 2r + r
2] = P0(1 + r)2.
Analogamente, P3 = P2 + rP2 = P0(1 + r)2 + rP0(1 + r)2 = P0(1 + r)3 Portanto, Pn = P0(1 + r)n.Veja que temos a seguinte funcao exponencial: f : N N tal que f(n) = P0(1 + r)n. Se
tomarmos a = 1 + r, teremos f(n) = P0an que e a quantidade de capital presente apos n
perodos.
Lembrete sen (u+ v) = sen u cos v + senu cos v e cos(u+ v) = cosu cos v senusen v
O
A
G
X
B
6
-
Lembrete Se, na circunferencia trigonometrica abaixo, x R for a medida do arcoBX, teremos as coordenadas retangulares do ponto X dadas por (cos(x), sen (x)). Veja que
1.3. FUNCOES LIMITADAS 29
o comprimento do segmento GX e o cos x e o comprimento do segmento AX e o sen x.Entao, como o triangulo OGX e um triangulo retangulo cuja hipotenusa tem comprimentoum, segue do Teorema de Pitagoras que
cos2 x+ sen 2x = 1.
Se permitimrmos que x percorra o conjunto dos numeros reais, teremos as funcoes sen , cos :R [1; 1].Como se sabe
(i) sen (a+ b) = sen a cos b+ sen b cos a, e (ii) cos(a+ b) = cos a cos b sen asen b.(1.2.12)
Se a = b, segue de (1.2.12i) que
sen 2a = 2sen a cos b, (1.2.13)
e de (1.2.12ii) segue que
cos 2a = cos2 a sen 2a. (1.2.14)
Substituindo sen 2a = 1 cos2 a em (1.2.14), teremos
cos2 a =cos 2a+ 1
2. (1.2.15)
Substituindo cos2 a = 1 sen 2a em (1.2.14), teremos
sen 2a =1 cos 2a
2. (1.2.16)
Como cosx e uma funcao par, cos x = cos(x) e sen x e uma funcao mpar,sen x = sen (x). Entao
(i) sen (a b) = sen a cos(b) + sen (b) cos a, sen (a b) = sen a cos b sen b cos a,e
(ii) cos(a b) = cos a cos(b) sen a sen (b), cos(a b) = cos a cos b+ sen a sen b.(1.2.17)
1.3 Funcoes Limitadas
Definicao 10 Dada f : A R B R, dizemos que f e limitada em A se existirem Me N numeros reais tais que M f(x) N para todo x A.
Observacao 2 Se f : A R B R for tal que M < f(x) < N , entao |f(x)| max{|M |, |N |}. Neste caso M e um limitante inferior para f(x) e N a um limitante superiorpara f(x).
30 CHAPTER 1. FUNCOES
Observacao 3 Sejam f, h, g : R R forem dadas por f(x) = 1, h(x) = cos(1x
)e
g(x) = 1, teremos f(x) h(x) g(x) para todo x R. Veja na Figura a seguir o graficoda funcao h.
Como vemos a informacao de limitacao da funcao h nao nos assegura um comportamentosem oscilacoes para o conjunto Imagem da funcao h.
Exemplo 18 Seja f : R R dada por f(x) = x|x|+ 1
. Mostre que M = 1 e limitante
inferior de f e N = 1 e limitante superior de f .
Resolucao Veja que x1 + |x|
= |x|1 + |x|
1, por que na fracao |x|1 + |x|
, o numerador e
menor que o denominador para todo x R. Por definicao de modulo 1 x1 + |x|
1.
Portanto, M = 1 e limitante inferior de f e N = 1 e limitante superior de f . Veja aindaque
f(x) =
x
x+ 1se x 0,
x
x+ 1se x < 0.
Exemplo 19 Seja f : RSn R, onde Sn = {
2+n, com n Z} dada por f(x) = senx
cos x.
Vemos facilmente que f nao e limitada. Veja figura abaixo.
DISTANCIAS
Se f : A R B R e uma funcao, entao tem-se x A e y = f(x) B. Se x0 A efixado, entao f(x0) B e podemos perguntar
Se Dist(x, x0) < 2, entao podemos afirmar que Dis(f(x), f(x0) e menor que 3?
Ha alguma relacao entre Dist(x, x0) e Dis(f(x), f(x0))?
1.3. FUNCOES LIMITADAS 31
Veja que na figura (abaixo) se tomarmos f(x) = x2 para 2 x 2, teremos queDist(x, 0) < 2 e Dist(f(x), 0) < 4. Mas e a relacao entre Dist(x, 2) e Dis(f(x), f(0))? Noteque
Dis(f(x), f(0)) = |f(x) f(0)| = |x2| = |(x 0)(x 0)| =
|(x 0)||(x 0)| = Dist(x, 0) Dist(x, 0) < 22 = 4.
-oxO
oy
4
(x, f(x))
2 2
6
Figura
Veja que na figura se tomarmos f(x) = x2 para 2 x 2, teremos queDist(x, 0) < 1e Dist(f(x), 0) < 4. Mas e a relacao entre Dist(x, 2) e Dis(f(x), f(0))? Note que
Dis(f(x), f(0)) = |f(x) f(0)| = |x2| = |(x 0)(x 0)| =
|(x 0)||(x 0)| = Dist(x, 0) Dist(x, 0) < 12 = 1.
32 CHAPTER 1. FUNCOES
a) Suponha que f : R R, dada por f(x) = 3x4. Seja x R, tal que Dist(x,1) < 2.Vamos encontrar limites superior e inferior para Dist(f(x),7).Resolucao Veja que Dist(f(x),7) = |f(x) (7)| = |3x 4 + 7| = |3x + 3| =|3(x + 1)| = 3Dist(x,1) < 6. Portanto, um limitante inferior para Dist(f(x),7) eM = 6 e um limitante superior para Dist(f(x),7) e N = 6. Veja que ha relacaoentre Dist(x, x0) e Dis(f(x), f(x0)).
b) Suponha que f : R R, dada por f(x) = 3x1. Seja x R, tal que Dist(x,1) < 4.Vamos encontrar limites superior e inferior para Dist(f(x),4).Resolucao Veja que Dist(f(x),4) = |f(x) (4)| = |3x 1 (4)| = |3x+ 3| =|3(x + 1)| = 3Dist(x,1). Assim, Dist(f(x),1) = 3Dist(x,1) < 12. Portanto,um limitante inferior para Dist(f(x),7) e M = 12 e um limitante superior paraDist(f(x),7) e N = 12.
Exemplo 20 Suponha que f : R R e dada por f(x) = (x+ 2)(x 1). Seja x R,tal que Dist(x,1) < 2. Entao como f(x) = (x + 2)(x 1) e se Dist(x,1) < 2,entao |x+ 1| < 2 e assim, 2 < x+ 1 < 2.
Vemos que se somamos um em ambos os membros teremos 1 < x + 2 < 3 e |x +2|max{2, | 1|} = 2 (veja Obeservacao 2).
Em seguida se subtrairmos dois, teremos 3 < x 1 < 0, o que nos da |x 1| 0 tal que Dist(f(x),6) Dist(x, 4).
Exerccio 4 Seja x R encontre limitantes inferior e superior para H(x) = x1 + x2
Exerccio 5 Seja x [7, 9] encontre limitantes inferior e superior para H(x) = xsen (x)
34 CHAPTER 1. FUNCOES
Exerccio 6 Encontre limitantes inferior e superior para (x) = x2x2 se : [4, 10] R (siga os passos do Exemplo 20).
Exerccio 7 Encontre limitantes inferior e superior para (x) = x2x2 se : [4, 5] R(siga os passos do Exemplo 20).
Exerccio 8 Uma companhia de televisao a cabo estima que com x milhares de assinantes,R o faturamento e C os custos mensais (em milhares de unidades de moeda) sao dados por
(a)
{R(x) = 32x 21
10x2,
C(x) = 195 + 12x.(b)
{R(x) = 32x 21
10x2,
C(x) = 275 + 12x.
Encontre os valores de x (numeros de assinantes) para os quais o faturamento e igual aocusto.Resp (a) 11030 ; 84210 Resp (b) 16667; 78571.
Veja que faturamento e custo sao funcoes R,C : [0, 1007
] R. Esboce o grafio da funcaolucro. Determine a funcao lucro. Faca o grafico das funcoes faturamento e custo no mesmo plano cartesiano e determine aregiao de lucro e regiao de perdas. Encontre limitantes inferior e superior para as funcoes, faturamento, custo e lucro.
Chapter 2
Limite
(i) Considere a funcao f(x) = 3x 5 para x R. Seja x0 = 2 e L = 1.Pergunta Quao proximo de x0 = 2 devemos tomar valores x para que a imagemcada um destes valores x pela funcao f que e f(x), esteja a uma distancia menor queum de L = 1 ?
Organizaremos nossa busca em duas etapas.
Primeiro Observemos a segunda parte da pergunta (a imagem de x pela funcao fdada por f(x) deve ficar a uma distancia menor que um de L = 1). Em linguagemMATEMATICA, o que queremos e resolver, para x = x0, a inequacao
Dist(f(x), 2) = |3x 5 1| < 1 = |3(x 2)| < 1, ou seja, Dist(f(x), 2) = 3Dist(x, 2)
para todo x R, e assim, 13< x 2 < 1
3. Entao
5
6< x 0 de L = 1 (siga ospassos do Exemplo 20) ?
(v) Considere a funcao f(x) = 2x2 + x 3 para x R . Seja x0 = 1 e L = 0. siga ospassos do exemplo anterior e responda a seguinte pergunta (siga os passos do Exemplo20).
Pergunta Quao proximo de x0 = 1, devemos tomar x para que a imagem deste xpela funcao f , f(x) fique a uma distancia menor que 1
2de L = 2 (siga os passos do
Exemplo 20).
Pergunta Dado > 0, quao proximo de x0 = 2, devemos tomar x para que aimagem deste x pela funcao f , f(x) fique a uma distancia menor que > 0 de L = 2(siga os passos do Exemplo 20) ?
Ponto de Acumulacao
Dado um subconjunto de numeros reais A (A R), um numero real x0 e ponto deacumulacao de A se qualquer intervalo aberto J contendo x0, tambem contem infinitospontos de A.
Exemplo 23 Seja A = { xn R tal que xn =1
n} e x0 = 0.
Note que, x0 = 0 e ponto de acumulacao de A e x0 nao e elemento de A.
Exemplo 24 Seja A = { x R tal que 1 x 2 }.
Note que, qualquer ponto de A e ponto de acumulacao de A.
37
Exemplo 25 Seja A = { x R tal que 1 < x 2 }.
Note que, qualquer ponto de A e ponto de acumulacao de A. Ainda, x0 = 1 nao eelemento de A, mas tambem e ponto de acumulacao de A.
Definicao 11 Dada f : A R R e x0 um ponto de acumulacao de A, dizemos queo limite de f(x) quando x se aproxima de x0 e um numero real L, se dado (epsilon)numero real positivo ( > 0), existir R positivo ( > 0) tal que se x estiver auma distancia de x0 menor que , a imagem deste x por f que e f(x), estaraa uma distancia de menor que de L.
Em linguagem Matematica, escervemos limxx0
f(x) = L.
Exemplo 26 Considere f : R R, dada por a funcao f(x) = 3x 2, para x R.Mostre que lim
x23x 2 = 4.
Resolucao Vamos seguir os passos dos tnes (a) e (b), anterior ao Exemplo 20 eposteriormente a Definicao 11. Observe que x0 = 2 e L = 4. Dado > 0, vamoscalcular a distancia de f(x) ate 4. Isto e,
Dist(f(x), 4) = |f(x) 4| = |3x 2 4| = |3x 6| = |3(x 2)| = 3|x 2|. (2.0.1)
Veja que Dist(f(x), 4) = 3Dist(x, 2) para todo x R. Ainda, note que, se a distanciade x a 2 for menor que =
3, teremos Dist(x, 2) = |x 2| <
3e a imagem deste x
pela funcao f , que e dada por f(x) estara a uma distancia menor que de L = 4. Vejaas contas abaixo:
Dist(f(x), 4) = |f(x) 4| = 3|x 2| = 3Dist(x, 2) < 3( 3
)= .
Portanto, limx2
3x 2 = 4.
Teorema 2 Dadas f, g : A R R duas funcoes e x0 um ponto de acumulacao deA. Suponhamos que
(i) f(x) = g(x) para todo x em A, que seja diferente de x0.(ii) lim
xx0g(x) = g(x0).
Entao o limite de f(x) quando x se aproxima de x0 tambem e L. Isto e, limxx0
f(x) =
g(x0).
38 CHAPTER 2. LIMITE
Exemplo 27 Tomemos f : R R dada por f(x) = x2 4x 2
. Vamos calcular limx2
x2 4x 2
.
Resolucao
Note que, o numerador e o denominador da fracao envolvida na expresao de f(x) saopolinomios de graus diferentes. Entao ha a possibilidade de realizarmos a divisao deum polinomio pelo outro. Neste caso teremos
f(x) =(x 2)(x+ 2)
x 2x =2= x+ 2.
Tome g : R R, dada por g(x) = x + 2. Note que, g e f satisfazem a hipotese (i)do Teorema 2, ou seja f(x) = g(x) para x = 2. Veja que nao podemos calcular f(2). O limite de g(x) quando x se aproxima de x0 = 2 e 4. Em linguagem Matematicalimx2
x+ 2 = 4. A seguir usaremos a Definicao 11 e provaremos esta ultima afirmacao.
Dado > 0, tome = . Como em (2.0.1) vamos calcular a distancia de g(x) ateL = 4.
|g(x) 4| = |x+ 2 4| = |x 2|.
Veja que, se x estiver a uma distancia menor que de 2 (|x 2| < ), a imagemdeste x pela funcao g que e dada por g(x), estara a uma distancia menor que de 4(|g(x) 4| < ). Entao, a Definicao 11 nos garante que lim
x2g(x) = lim
x2x + 2 = 4.
Agora a segunda hipotese do Teorema 2 esta satisfeita. Portanto, o Teorema 2 nos
asegura que limx
x2 4x 2
= 4 = g(2).
Observacao 4 Dizemos que o limite limxx0
f(x) existe se ele for um numero real.
Exemplo 28 Seja a funcao for dada por
f(x) =
{x2 se x = 2,0 se x = 2.
(2.0.2)
Mostre que limx2
f(x) = 4
Resolucao Seja > 0. Devemos encontrar > 0 tal que se
Dist(x, 2) < , entao Dist(f(x), 4) < .
Vamos calcular a distancia de f(x) a 4.
39
Dist(f(x), 4) = |f(x) 4| = |x2 4| = |(x+ 2)(x 2)| =
|x+ 2||x 2| = |x+ 2|Dist(x, 2)(2.0.3)
Vemos que em (2.0.3) Dist(f(x), 4) e o produto do fator |x+ 2| pela Dist(x, 2), o quefaz entender que o fator |x+ 2| deve ser estudado com detalhes. Queremos saber quale o tamanho do fator |x + 2| quando x estiver perto de 2. Vamos supor que x naose afasta de 2 mais que uma unidade, isto e Dist(x, 2) < 1 (a distancia de x ate 2 emenor que um).
Dist(x, 2) = |x 2| < 1 implica que 1 < x 2 < 1, entao 1 < x < 3,
Somando 2 em ambos os membros da ultima desigualdade teremos 3 < x+2 < 5. Vejaque conseguimos uma limitacao para o fator |x+2| se tomarmos valores x que nao seafastam de 2 mais que uma unidade. Neste caso, se voltarmos em (2.0.3) e veremosque
Dist(f(x), 4) < 5Dist(x, 2), sempre que x
for escohido tal que Dist(x, 2) < 1.(2.0.4)
Agora, dado > 0 tomemos = min{1, 5}. Observe que se Dist(x, 2) < , entao
Dist(x, 2) < 1 e assim, ao tomarmos valores x que nao se afastam de 2 mais queuma unidade, (2.0.4) sera verdadeiro. Mas, Dist(x, 2) < tambem nos faz ver que
Dist(x, 2) 0, tomamos = min{1, 5} e se
Dist(x, 2) < , entao Dist(f(x), 4) < , ou seja limx2
x2 = 4.
Observacao 5 Note que no exemplo 28, limx2
x2 = 4, mas a imagem de x0 = 2 pela
funcao f e zero (f(2) = 0) .
40 CHAPTER 2. LIMITE
2.0.2 Propriedades de Limite
Teorema 3 Seja f : A R R funcao e x0 ponto de acumulacao de A. Se existir olimite lim
xx0f(x) ele e unico.
Prova Como por hipotese o limite limxx0
f(x) existe, entao existe um numero real L tal
que limxx0
f(x) = L. Suponha (por absurdo) que existe M R tal que limxx0
f(x) = M .
Vamos mostrar que M e igual a L. Ou seja que a diferenca LM e zero. Da Definicao11, segue que dado > 0, existem 1 > 0 e 2 > 0 tal que
|f(x) L| < 2, se |x x0| < 1 e |f(x)M | 0, seja = |m|
. Como antes, vamos calcular
a distancia de f(x) ate o numero real f(x0) = mx0 + n,
|f(x) f(x0)| = |mx+ n (mx0 + n)| = |m(x x0)| = |m||x x0|.
Veja que, se x estiver a uma distancia menor que
|m|de x0, isto e se
|x x0| 0 que satisfaca a definicao 11.
(vi) (i) limx3
x2 9x+ 3
= 6. (ii) limx3
x2 9x 3
= 6. (iii) limx2
7x+ 5 = 17
(vii) (Leithold vol I, Exc 2.5 p 73 / resp. A 65) Encontre o valor do limite e conforme ocaso indique os teoremas usados.
(i) limx2
(x2 + 2x 1) (ii) limx2
x2 52x3 + 6
(iii) limy2
y3 + 8
y + 2(vi) lim
x3
x2 + 5x+ 6
x2 x 12
(v) limr1
8r + 1
r + 3(vi) lim
y3
y2 9
2y2 + 7y + 3(vii) lim
x0
x+ 2
2
x(Racionalize o
numerador) (viii) limh0
h+ 1 1
h(ix) lim
x3
2x3 5x2 2x 34x3 13x2 + 4x 3
Respostas ( 7, 122, 12, 1
7, 3
2, 1
5
30, 1
4
2, 1
3, 11
17).
43
(viii) Suponha que limx0
f(x) = 1, limx0
g(x) = 5, limx1
h(x) = 5, limx1
p(x) = 1 e limx1
r(x) = 2.Especifique as regras (Teoremas) que estao sendo utilizadas para efetuar os calculos doseguinte limete:
(i) limx0
2f(x) g(x)[f(x) + 7]
23
=7
4(ii) lim
x1
5h(x)
p(x)[4 r(x)]=
5
6(iii) lim
x0f(x)g(x) = 5
(iv) limx0
f(x)
[f(x) g(x)] 23(v) lim
x0x2f(x) g(x)[f(x) + 7]
23
(vi) limx1
(x2 1)
5h(x)
p(x)[4 r(x)]= 0
(vii) limh0
h+ 3
3
h(viii) lim
t0
24 tt
(ix) limh 3
2
8t3 274t2 9
(ix) Em cada item abaixo calcule limxa
f(x) f(a)x a
; a R, a = 0.
(i) f(x) = 3x, R.
1
33a2
; (ii) f(x) = 4x, R.
1
44a3
; (iii) f(x) = 5x, R.
1
55a4
;
(iv) f(x) = x2, R. 2a3; (v) f(x) = x3, R. 3a4; (vi) f(x) = |x a|,tome a = 5, a = 2 e a = 6.
(x) a Verifique que se f(x) = x2 + 5x 3, entao limx2
f(x) = f(2)
b Verifique que se g(x) =x2 4x 2
, entao limx2
g(x) = 4; mas que g(2) nao esta definida.
c Dada a funcao f , em cada um dos casos, verifique se limx3
f(x) = f(3)
f(x) =
{x2 9, se x = 34, x = 3.
f(x) =
{x29x+3
, se x = 34, x = 3.
(xi) Uma lata fechada de estanho, de volume fixado V , deve ter a forma de um clindro reto,encontre o volume e a area deste cilindro como funcao apenas de r e depois apenas deh respectivamente.
(xii) Como sabemos o volume e a area de qualquer cone reto sao funcoes do seu raio r eda sua altura h. Um cone reto deve ser inscrito em uma esfera de raio conhecido a0.Enconter a area e o volume deste cone como funcao apenas de r e depois de h
(xiii) Como sabemos a area de um retangulo e uma funcao de seus lados, digamos x e y.Considere apenas os retangulos que tem mesmo permetro p0, e obtenha a area destesretangulos como funcao de apenas um de seus lados.
(xiv) Como sabemos o volume e a area de qualquer cilindro reto sao funcoes do seu raio r eda sua altura h. De a expressao de cada uma destas funcoes. Considere um cilindroreto de raio r e altura h inscrito em uma esfera de raio fixo a. De o volume e a areada deste cilindro em funcao apenas de h e a, e depois em funcao de r e a.
44 CHAPTER 2. LIMITE
(xv) A equacao ax2 + 2x 1 = 0, com a R uma constante, apresenta duas razes sea > 1, uma positiva e a outra negativa.
r+(a) =1 +
1 + a
ae r(a) =
11 + a
a.
(a) O que acontece a r+(a) quando a 0 ? Quando a 1+ ?(a) O que acontece a r(a) quando a 0 ? Quando a 1+ ?Fundamente suas conclusoes tracando os graficos de r+(a) e r(a) em funcao de a.Descreva o que voce observa.
Teorema 6 Dada f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A, suponhaque lim
xx0f(x) = L R. Entao para todo numero inteiro positivo n tem-se lim
xx0[f(x)]n = Ln.
Veja que limx3
x5 = 35.
2.0.3 Limites Laterais
Definicao 12 Dada f : A R R funcao e x0 ponto de acumulacao de A. Suponha exister > 0 tal que o intervalo aberto (x0 r, x0) e subconjunto de A. Dizemos que o limite def(x) quando x se aproxima de x0 pela esquerda de x0 e L, se dado > 0, existir > 0 talque para todo x < x0 e dist(x, x0) < tivermos dist(f(x), L) < .
Notacao limxx0
f(x) = L.
-oxO
oy
(x, f(x))
1
1
1 +
= (
x
...
...
.........
6
Figura 1
Exemplo 33 Seja
f(x) =
{1, se x > 0,
1, se x 0,
45
Note que, x0 = 0 e L = 1, entao dado > 0, o intervalo (0 , 0) e subconjuntodo domnio de f . Note ainda que, se tomarmos = , veremos que, se x (, 0) entaodist(x, 0) < ou seja |x| < , e dist(f(x), 0) = | 1 + 1| = 0 < |x| < .
Definicao 13 Dada f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponha existe r > 0 tal que o intervalo aberto (x0, x0+ r) e subconjunto de A. Dizemos queo limite de f(x) quando x se aproxima de x0 pela direita de x0 e L se dado > 0, existir > 0 tal que para todo x > x0 e dist(x, x0) < tivermos dist(f(x), L) < .
Notacao limxx+0
f(x) = L.
Exemplo 34 Seja f(x) =
{1, se x > 0,
1, se x 0,
-oxO
oy
(x, f(x))
1 +
1
=
f(1) = 1
)x
...
...
...
...
...
6
Figura 2
Note que, x0 = 0 e L = 1. Dado > 0 que o intervalo (0, ) e subconjunto do domnio def . Note ainda que, se tomarmos = , veremos que se x (0, ) = (0, ) entao dist(x, 0) < ,ou seja |x| < , e dis(f(x), 0) = |1 1| = 0 < |x| = x < .
Teorema 7 Dada f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A. O limitede f(x) quando x se aproxima de x0 existe se e somente se os limites laterais existirem e foremiguais; ou seja lim
xx0f(x) = L R se e somente se lim
xx0f(x) = L R; lim
xx+0f(x) = M R
e L = M .
Segue do Teorema 7 nos diz que se f for a funcao dada no exemplo 34 entao o limx0
f(x)
nao existe.
Exemplo 35 Seja f : [4; 6] R funcao cujo grafico esta dado abaixo:
Veja que limx1
f(x) = 4 e limx1+
f(x) = 2. Do Teorema 7 segue que limx1
f(x) nao existe.
46 CHAPTER 2. LIMITE
2.0.4 Limites no Infinito
Definicao 14 Dada f : (a,) R uma funcao. Dizemos que o limite de f(x) quando xse aproxima do infinito e L se dado > 0, existir N R positivo tal que, para cada x > Ntem-se dist(f(x), L) < .
-oxO
b+
b N x
f(x)
oy
(x,
bx2
(x a)2)
y = b
x = a
6
Figura 3
Exemplo 36 Seja f : R {0} R dada por
f(x) =1
xentao temos lim
xf(x) = 0.
Observe que L = 0. Dado > 0, tome N0 N (numero natural) tal que1
N0< . Note
que se x > N0 entao 0 0, tome M0 Z ( inteiro negativo ) tal que1
|M0|< .
Note que se x < M0 entao 0 0 tome M =
1r
1r
> 0. Veja que
M r =
e que se x > M entao xr > M r e assim,
xr M , f(x) < . Portanto, segue da Definicao 14 que limx
xr= 0.
As as outras da prova partes deste Teorema sera omitida. O leitor pode encontra-la emalgum dos livros citados na bibliografia desta disciplina.
Exemplo 38 Seja f : (0,) R funcao cujo grafico aparece esbocado na fugura abaixo.Podemos ver que lim
xf(x) = L.
Veja que dad > 0 existe M > 0 tal que se x > M entao f(x) ( L; + L).
Exemplo 39 Seja f : R {0} R dada por
f(x) =1
x2.
Veja que neste exemplo temos r = 2 e = = 1. Entao pelo Teorema 8, temos
limx
1
x2= 0 e lim
x
1
x2= 0.
Exemplo 40 Dada f(x) =4x 35x+ 5
. Calcule limx
f(x).
Note que4x 35x+ 7
=4 3
x
5 + 7x
para todo x R nao nulo. Ainda, pelo Teorema 8, limx
3
x= 0.
Analogamente, limx
7
x= 0. Portanto, podemos nos valer do Teorema 5(C) para ver que
limx
4x 35x+ 7
= limx
(4 3
x
)(5 + 7
x
) = limx(4 3
x
)limx
(5 +
7
x
) = 45.
49
2.0.5 Limites Infinitos
Definicao 16 Seja f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que existe r > 0 tal que x (x0 r, x0) A. Dizemos que o limite de f(x)quando x aproxima-se, pela esquerda, de x0 e infinto se dado N0 N existe > 0 tal quepara cada x (x0 , x0) tivermos f(x) > N0.
Notacao limxx0
f(x) = .
-
6
x0
oxO
oy
(x
f(x)
...
...
...
...
...
...
...
...
... N0
(x, f(x))
x0
6
Figura 5
Definicao 17 Seja f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que existe r > 0 tal que x (x0 r, x0) A. Dizemos que o limite de f(x)quando x aproxima-se, pela esquerda, de x0 e menos infinto se dado N1 N, N1 < 0, existe > 0 tal que para cada x (x0 , x0) tivermos f(x) < N1.
Notacao limxx0
f(x) = .
Teorema 9 Sejam f, g : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponha que
limxx0
g(x) = 0 e limxx0
f(x) = R, com > 0 (2.0.10)
(i) Se existir > 0, tal que para todo x (x0, x0), tem-se g(x) > 0, entao limxx0
f(x)
g(x)=
.
50 CHAPTER 2. LIMITE
(ii) Se existir > 0, tal que para todo x (x0, x0), tem-se g(x) < 0, entao limxx0
f(x)
g(x)=
.
Definicao 18 Seja f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que existe r > 0 tal que x (x0, x0 + r) A. Dizemos que o limite de f(x)quando x aproxima-se, pela direita, de x0 e menos infinto se dado M1 Z, M1 < 0, existir > 0 tal que para cada x (x0, x0 + ) tivermos f(x) < M.
Notacao limxx+0
f(x) = .
Definicao 19 Seja f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que existe r > 0 tal que x (x0, x0 + r) A. Dizemos que o limite de f(x)quando x aproxima-se, pela direita, de x0 e infinto se dado M0 N, existir > 0 tal quepara cada x (x0, x0 + ) tivermos f(x) > M0.
Notacao limxx+0
f(x) = .
Teorema 10 Sejam f, g : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponha que
limxx+0
g(x) = 0 e limxx+0
f(x) = R, com > 0 (2.0.11)
(i) Se existir > 0, tal que para todo x (x0, x0+), tem-se g(x) > 0, entao limxx+0
f(x)
g(x)=
.
(ii) Se existir > 0, tal que para todo x (x0, x0+), tem-se g(x) < 0, entao limxx+0
f(x)
g(x)=
.
Exemplo 41 Seja h : (5; 5) R dada por h(x) = x2 + 2
x2 4se x = 2 e x = 2. Calcule
limx2
x2 + 2
x2 4e lim
x2+
x2 + 2
x2 4.
Resolucao Veja que o sinal de x2 4 e dado por
-oxO-2 2
+ + + + + + + + + +
51
(i) Defina f(x) = x2 + 2 e f(x) = x2 4. Note que limx2
g(x) = 0 e limx2
f(x) = 6 > 0
(ver (2.0.11)). Ainda, se 0 < < 1 e x (2, 2+ ), g(x) > 0, isto e, a imagem de cadaum destes valores x pela funcao g, que e dado por g(x), e um numero real positivo(ver figura acima)). Entao, podemos nos valer do primeiro item do Teorema 10 para
obtermos limx2+
x2 + 2
(x2 4)= .
(ii) Defina f(x) = x2 + 2 e g(x) = x2 4. Note agora que limx2+
g(x) = 0 e limx2+
f(x) =
6 > 0 (ver (2.0.10)). Ainda, se 0 < < 1 e x (2 , 2), g(x) < 0, isto e, a imagemde cada um destes valores x pela funcao g, que e dado por g(x), e um numero realnegativo (ver figura acima ). Entao, podemos nos valer do primeiro item do Teorema
16 para obtermos limx2
x2 + 2
(x2 4)= .
Teorema 11 Sejam f ; g : A R R funcoes e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que
(i) limxx+0
g(x) = L R e limxx+0
f(x) = .
Entao(i) lim
xx+0g(x)f(x) = se L > 0.
(ii) limxx+0
g(x)f(x) = se L < 0.
Teorema 12 Sejam f ; g : A R R funcao e x0 um ponto de acumulacao de A. Supon-hamos que
(i) limxx0
g(x) = L R e limxx0
f(x) = .
Entao(i) lim
xx0g(x)f(x) = se L > 0.
(ii) limxx0
g(x)f(x) = se L < 0.
Teorema 13 Sejam f ; g : A R R funcoes e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que
(i) limxx0
f(x) = 0.
(ii) Existe M > 0 tal que |g(x)| < M.
Entao, limxx0
g(x)f(x) = 0
52 CHAPTER 2. LIMITE
Exemplo 42 Seja h : A R R dada por h(x) = x7 sen ( 1x). Calcule lim
x0h(x).
Resolucao Nos podemos usar o Teorema 13 para calcular este limite. Veja que h(x) =f(x)g(x) onde f(x) = x7 e g(x) = sen ( 1
x). Ainda lim
x0f(x) = lim
x0x = 0 e |g(x)| = |sen ( 1
x)|
1. Pelo Teorema 13 limx70
h(x) = limx0
x sen (1
x) = 0.
Exemplo 43 Seja h : A R R dada por h(x) = x2 + 3x+ 4
3x2 + 15x 12. Calcule lim
x4h(x).
Resolucao Vamos denominar por g(x) = x2 + 3x + 4 e f(x) = 3x2 + 15x 12. Vejaque x0 = 4 e raiz de g(x). Entao por divisao de polinomios obtemos g(x) = 3(x 32)(x4)e assim o sinal de g(x) e dado por.
-oxO3
24
+ + + + + + +
Tambem vemos que para calcular o limx4
h(x) teremos que calcular limx4
h(x) e limx4+
h(x).
Vamos calcular prmeiro limx4
h(x). Como limx4
f(x) = limx4
x2 + 3x+ 4 = 32 > 0 e existe
> 0 tal que se 4 < x < 4 tem-se f(x) > 0 (veja figura acima), segue do Teorema 6i
que limx4
f(x) = limx4
x2 + 3x+ 4
3x2 + 15x 12= .
Calcular agora limx4+
h(x). Como limx4
f(x) = limx4
x2 + 3x + 4 = 32 > 0 e existe > 0
tal que se 4 < x < 4 + tem-se f(x) < 0 (veja figura acima), segue do Teorema 6ii que
limx4+
f(x) = limx4+
x2 + 3x+ 4
3x2 + 15x 12= . Podemos afirma que nao existe nenhum dos
limites limx4
f(x), limx4+
f(x) e limx4
f(x).
Exemplo 44 Calcule (a ) limx3+
x2 + x+ 2
x2 2x 3e ( b ) lim
x3
x2 + x+ 2
x2 2x 3.
Note que, limx3
g(x) = limx3
x2 + x + 2 = 14 = L > 0 e limx3
f(x) = limx3
x2 2x 3 = 0.Ainda, f(x) = (x 3)(x+ 1) e o sinal de f(x) aparece na figura abaixo:
-1 3
+ + + + + +)3 + x
(a) Veja na figura que, se > 0 e x (3 ; 3 + ) a imagem de x por f que e dada por f(x),e positiva. Como lim
x3g(x) = lim
x3x2 + x+ 2 = 14 = L > 0, Teorema 6(iii) nos faz concluir
53
limx3+
x2 + x+ 2
x2 2x 3= .
(b) Veja tambem na figura que, se > 0 e x (3 ; 3) a imagem de x por f que e dadapor f(x), e negativa. Como lim
x3g(x) = lim
x3x2 + x+ 2 = 14 = L > 0, a parte Teorema 6(ii)
nos faz concluir
limx3+
x2 + x+ 2
x2 2x 3= .
EXERCICIOS
(i) Calcule os limites, (i) limx4+
x
x 4; (ii) lim
h2+
h+ 2
h2 4; (iii) lim
t2+
t+ 2
t2 4;
(iv) limx0
3 + x2
x(v) lim
x3+
x2 9x 3
; ( Resp. , , , , ).
(vi) limx0
3 + x2
x; (vii) lim
x0
3 + x2
x; (viii) lim
h3
h2
9 h2(ix) lim
x
5x2 + 8x 33x2 + 3
;
R 53. (x) lim
x
5x2 + 8x 33x2 + 3
; R 53. (xi) lim
x
2x2 37x+ 4
; R . (xi)
limx
4x3 + 7x2x2 3x 10
; R .
Encontre os limites a seguir. (i) limh+
2h2 + 1
5h2 2; (ii) lim
x+
x2 + 4
3x3 6; (iii)
limy+
y3 + 4
y + 4; (iv) lim
x
4x3 + 2x2 68x3 + x+ 2
; (v) limx+
x2 + 1 x.
(Resp. 25, 0, 0, 1
2, 1).
(vi) limx
x2 2x+ 57x3 + x+ 1
(vii) limx
x2 + 4
x+ 4(viii) lim
x
3x4 7x2 + 22x4 + 1
.
(ii) Investigue a continuidade das funcoes a seguir, e indique os pontos de descontinuidadeem cada item:
(a) f(x) =
2x+ 1, < x 1;x2 3x 4, 1 < x 2;x+ 1, 2 < x < 5.
(b) g(x) =
x2 + 1, < x < 1;x2 3x 4, 1 x 2;x+ 1, 2 < x < .
(c) f(x) =
2x+ 1, < x 2;log2(x+ 1), 2 < x 2;1
x; x > 2.
(d) g(x) =
2x+2, < x < 0;x2 4x 5, 1 x 2;2x+ 1, 2 < x < .
54 CHAPTER 2. LIMITE
(e) f(x) =
{1
x
sin(x)
xx = 0;
0, x = 0,(f) g(x) =
x2 16x+ 4
, x = 4;
8, x = 4.Obs : Note que a composicao de funcoes contnuas e uma funcao contnua.
(iii) (a) Calcule limx3
5
x2 3. (b) Calcule lim
x3
5
(x2 3)2.
(c) Calcule limx3
5x
x2 3. (d) Calcule lim
x3
x3 + 3
(x2 3)2.
(e) Calcule limx2
x3 8x2 4
. (f) Calcule limx2
x3 + 8
x2 4.
(iv) Investige a continuidade das funcoes f(x) e g(x) nos pontos x0, x1 e x2 indicados,
quando1
xo x0 = 2, x1 = 1, x2 = 0 para f(x) e x0 = 1, x1 = 2, x2 = 0 para g(x) e
f(x) =
x3 8
x2 4, se x = 2;
3, se x = 2.g(x) =
x2 + 1, se < x < 1;x2 3x 4, se 1 x 2;x+ 1, se 2 < x < .
(v) Calcule cada um dos limites laterais em cada uma das razes do denominador de f ,limx
f(x) e limx
f(x) quando :
(a) f(x) =x+ 5
x 3(b) f(x) =
2x6 + 5
x3 x2 + x+ 3(c) f(x) =
x2 + 5
x2 3(d) f(x) =
x+ 5
x(e) f(x) =
x+ 1
x2 + 3x+ 2(f) f(x) =
4x3 + 2x2 68x3 + x+ 2
.
b - Calcule (i) limx0
sin 10x
sin 7x; (ii) lim
x0
1 cos xx2
; (iii) limh0
sin(x+ h) sin xh
;
(iv) limh0
cos(x+ h) cosxh
(vi) Determine valor de para que a funcao f seja limxx0
f(x) = f(x0).
f(x) =
x3 8
x2 4, se x = 2;
, se x = 2.f(x) =
{sin 10x
sin 7x, se x = 0,
, se x = 0.
(vii) Em cada item abaixo calcule f (x) = limxa
f(x) f(a)x a
; a R, a = 0.
(i) f(x) = 3x, R. f (x) =
1
33a2
; (ii) f(x) = 4x, R. f (x) =
1
44a3
; (iii)
f(x) = 5x, R. f (x) =
1
55a4
; (iv) f(x) = x2, R. f (x) = 2a3; (v) f(x) = x3,
55
R. f (x) = 3a4; (vi) f(x) = |x 5|, tome a = 5, a = 2 e a = 6. Em cada um dostens anteriores, encontre os valores a Dm(f) tais que f (a) = 0, f (a) < 0, f (a) > 0e que f (a) nao exista.
(viii) Resolva as questoes abaixo verifique se a afirmacao e falsa ou verdadeira.
(i) Verifique se limx0
3 sin(x3 + )
2(x2 1)=
3
2, (ii) Verifique se lim
x3
x2 10x 39x2 + 2x 3
= 4,
(iii) Verifique se limx
4x2 10x 39x2 + 2x 3
= 4, (iv) Verifique se limx5
4x2 100x 5
= 40,
(v) Verifique se limx3
x2 + 2x 15x2 + 4x+ 3
= 1, (vi ) Verifique se limx
x2
2sin(
4
x2) = 2.
56 CHAPTER 2. LIMITE
2.1 Teorema do Sanduiche e Limites Fundmentais
Teorema 14 Dadas f, g, h : A R funcoes e x0 ponto de acumulacao de A.(i) Suponha existe > 0 tal que para cada x (x0 ; x0 + ) tem-se f(x) h(x) g(x).(ii) Suponha que lim
xx0f(x) = L e lim
xx0g(x) = L, onde L e um numero real.
Entao limxx0
h(x) = L.
Exemplo 45 Seja h : A R R funcao dada por h(x) = x sen (1x), e x0 = 0. Calcule
limx0
h(x).
Note que, x x sen (1x) x, enta tome f(x) = x e g(x) = x e teremos f(x) h(x)
g(x) para todo x R. Como limx0x = 0 = limx0 x, o Teorema 14 nos garante quelimx0 sen (
1
x) = 0.
2.1.1 Primeiro Limite Fundamental
Provemos que limx0
senx
x= 1.
Consideremos o arco de circunferencia de raio um AOC na Figura abaixo. Consideretambem o setor circular AOC e os triangulos BOC e AOG cujas as areas sao representasdaspor s, B e G respectivamente.
2.1. TEOREMA DO SANDUICHE E LIMITES FUNDMENTAIS 57
O A
G
C
B
6
-
E facil ver que B s G. Vamos denotar a medida do arco AC por x, e observarque a medida dos segmentos de reta OA, OB, BC, e AG sao um, cosx, sen x e
sen x
cosxrespectivamente. Com estes valores em mentevemos que estas areas satisfazem
1
2(sen x cosx) x
2 1
2
senx
cos xou seja sen x cos x x sen x
cos x.
Invertendo todas as fracoes teremos
1
sen x cos x 1
x cosx
sen x.
Multiplicando todos os membros das inequacoes acima por senx (veja que sen x > 0) teremos
1
cos x sen x
x cos x.
Agora estamos em condicoes de nos valer do Teorema 14 com as funcoes f(x) =1
cos x,
g(x) = cos x e h(x) =senx
x. Como lim
x0+f(x) = lim
x0+
1
cos x= 1 e lim
x0+g(x) = lim
x0+cosx = 1,
o Teorema 14 nos asegura que
limx0+
h(x) = limx0+
sen x
x= 1.
58 CHAPTER 2. LIMITE
Note que todos os calculos acima podem ser desenvolvidos para x proximo de zero, mas pelaesquerda de zero, o que nos faz ver que
limx0
h(x) = limx0
sen x
x= 1.
Como os limites pela esquerda e pela direita de zero existem e sao iguais, teremos
limx0
sen x
x= 1.
Observacao 6 Veja que a hipotese limxa
f(x) = limxa
g(x) do Teorema 14 nao pode ser suprim-
ida, porque se f, h, g : R R forem dadas por f(x) = 1, h(x) = cos(1x
)e g(x) = 1,
teremos a hipotese f(x) h(x) f(x) do Teorema 14 satisfeita. Como limxa
f(x) = 1,limxa
g(x) = 1 e limxa
f(x) = limxa
g(x), a hipotese limxa
f(x) = limxa
g(x) do Teorema 14 nao esta
satisfeita. Veja na Figura a seguir o grafico da funcao h. E facil ver que a Definicao 11nao vale para o limite lim
x0f(x).
Exemplo 46 Vamos calcular limx0
1 cosx
.
Veja que a fracao dentro do limite pode ser escrita como
1 cosx
=1 cos
x 1 + cos x1 + cos x
=1 cos2 xx[1 + cos x]
=sen x
x sen x 1
[1 + cos x].
Veja que limx0
sen x
x= 1 (limite fundamental), lim
x0senx = 0 e lim
x0
1
1 + cos x= 1. Entao
temos
limx0
1 cosx
= limx0
sen x
x senx 1
[1 + cos x]= 1 0 1 = 0.
2.1. TEOREMA DO SANDUICHE E LIMITES FUNDMENTAIS 59
Exemplo 47 Seja h : R R dada por h(x) = x2 cos 1x. Calcule lim
xox2 cos
1
x
Resolucao Tome f, g : R R dadas por f(x) = x2 e g(x)x2 e veja que f(x) h(x) g(x) para todo x R (ver figura 2.1.1). Ainda lim
xof(x) = Limxo x2 = lim
xox2 lim
xog(x).
Segue do Teorema 14 que limxo
h(x) = limxo
x2 cos1
x= 0.
Exemplo 48 Seja h : R R dada por h(x) = x2 cos 1x. Calcule lim
xox2 cos
1
x
Resolucao Tome f, g : R R dadas por f(x) = x2 e g(x)x2 e veja que f(x) h(x) g(x) para todo x R (ver figura 2.1.1). Ainda lim
xof(x) = Limxo x2 = lim
xox2 lim
xog(x).
Segue do Teorema 14 que limxo
h(x) = limxo
x2 cos1
x= 0.
Exerccio 9 (i) Calcule (i) limx0
sen 3x
x; (ii) lim
x0
sen x
x; (iii) lim
x0
sen 3x
sen 5x; (iv)
limx0
sen 211x
5x.
(ii) Tome f(x) = cos x e calcule limh0
f(a+ h) f(a)h
(iii) (i) Calcule limx1
senx
x 1. (ii) lim
x0
sen 17x
sen x;
(iv) a - Calcule limx
2x2 x 3x3 2x2 x+ 2
.
b - Seja f : R R dada por f(x) = x 15 . Se a for um numero real fixo nao nulo,
calculef(x) f(a)
x a. Em seguida calcule lim
xa(ax)
15f(x) f(a)
x a.
60 CHAPTER 2. LIMITE
(v) Calcule os limites abaixo :
(i) limx0
53 + x2
x3; (ii) lim
x1
2x2 x 3x3 2x2 x+ 2
; (use o item (i) exerccio 3).
(vi) Encontre em R o conjunto solucao para as inequacoes abaixo :
(a)2x2 x 3
x3 2x2 x+ 2 0; (b) 3
9 x 2
x+ 2;
(c) Seja f : A R R dada por f(x) =
|2x 1| |x+ 1|. Descreva o conjuntoA.
(vii) a Calcule as assntotas horizontais e verticais de f(x) =x2 4x3 + 8
,
b Como sabemos da definicao de limite que limx2
x2+2x 1 = 7 se dado > 0 existir > 0 tal que, se dist(x; 2) < , entao dist(f(x), 7) < . Dado = 104, encontrealgum > 0 adequado que satisfaca a definicao de limite.
2.1.2 Segundo Limite Fundamental
Primeiramente vamos mostrar que se n for um numero natural maior que dois entao[1 +
1
n
]n 2 se n 2.
Usando o binomio de Newton, vemos facilmente que[1 +
1
n
]n=
ni=0
(n
i
)1ni
( 1n
)i=
(n
0
)1n0
( 1n
)0+
(n
1
)1n1
( 1n
)1+
ni=2
(n
i
)1ni
( 1n
)i,
mas veja que 1n0( 1n
)0= 1 =
(n
1
)1n1
( 1n
)1. Entao 1n0
( 1n
)0+
(n
1
)1n1
( 1n
)1= 1+1 = 2,
ainda note que ni=2
(n
i
)1ni
( 1n
)i> 0,
pois todas as suas parcelas sao positivas. Portanto, se n 2 teremos[1 +
1
n
]n 2.
Proposicao 1 Se e for o numero irracional neperiano cujo valor aproximado e 2, 718281828459...,entao
2.1. TEOREMA DO SANDUICHE E LIMITES FUNDMENTAIS 61
limt+
[1 +
1
t
]t= e = lim
t
[1 +
1
t
]t.
A prova da Proposicao 1 envolve o conceito de Series de numericas e sera omitida,mas faremos alumas observacoes sobre este assunto. Faca t N, (t assumir apenas numerosNaturais). Neste caso e facil ver que
Vamos provar que
lims0
[1 + s
]1s = e.
(2.1.12)
Fazendo t =1
s, teremos que s + se t 0+, entao
lims0+
[1 + s
]1s = lim
t
[1 +
1
t
]t Prop 1= e.
Ainda teremos que s se t 0, entao
lims0
[1 + s
]1s = lim
t
[1 +
1
t
]t Prop= e.
Como os limites laterais sao iguais, teremos
lims0
[1 + s
]1s = e.
2.1.3 Problema dos Juros Compostos
Suponha que voce investiu um quantidade P0 de capital a uma taxa de juros de 6% aoano. Entao uma conta simples mostra que ao final do primeiro perodo, o Principal P (valoratualizado), sera dado por:
62 CHAPTER 2. LIMITE
P = P0(1 + 0.06) se o juro for composto anualmente ao capital inicial P0.
P = P0
(1 +
0.06
2
)2se o juro for composto semestralmente ao capital inicial P0.
P = P0
(1 +
0.06
3
)3se o juro for composto quadrimestralmente ao capital inicial P0.
P = P0
(1 +
0.06
4
)4se o juro for composto trimestralmente ao capital inicial P0.
......
......
......
P = P0
(1 +
0.06
12
)12se o juro for composto mensalmente ao capital inicial P0.
(2.1.13)Pode-se ver facilmente que se a taxa anual de juros for um numero real r, 0 < r < 1, e oPrincipal for composto m vezes ao ano (m N), ao final de n anos (n N) sera dado por:
Pn(m) = P0
[(1 +
r
m
)m]n(2.1.14)
Entao, Principal e uma funcao que relaciona o conjunto dos numeros naturais com o conjuntodo numeros reais sob a luz da igualdade (2.1.14). Observe que no sentido acima a acumulacaode capital, em verdade, e uma maneira de dois conjuntos N e R trocarem informacoes deacordo com a expressao (2.1.14).Podemos ver facilmente que[(
1 +r
m
)m]n=
[(1 +
r
m
)rmr]n
=(1 +
r
m
)mr]nr
(2.1.15)
Entao,
limm
Pn(m) = P0 limm
[(1 +
r
m
)m]n= P0 lim
m
[(1 +
r
m
)rmr]n
=
P0 limm
[(1 +
r
m
)mr]nr
= P0
[lim
m
(1 +
r
m
)mr]nr
= P0ern
(2.1.16)
Apos n anos se o Principal for corrigido infinitas vezes a cada ano, teremos
P (n) = P0ern. Substituindo n por t teremos P (t) = P0e
rt. (2.1.17)
Portanto, ao findar um perodo de tempo t a quantidade de capital P0, quando compostainstantaneamente ou continuamente a uma taxa de juros r por cento ao ano, sera dada por
P (t) = P0ert. (2.1.18)
Exemplo 49 Quanto tempo sera necessario para que Q0 = 1, 00 unidades de moeda dobreo valor nominal quando aplicado em uma carteira a taxa de juros 4% ao nao?
Resolucao Segue de (2.1.18) que P (t) = P0e0,04t ou seja queremos saber para qual
valor t0 teremos P (t0) = 2P0. Isto e P0e0,04t0 = 2P0. O valor de t0 deve satisfazer e
0,04t0 = 2.
2.1. TEOREMA DO SANDUICHE E LIMITES FUNDMENTAIS 63
Calculando o logartmo m neperiano em amos os membros teremos. 0, 04t0 = ln 2. Umcalculo relativamente simples nos mostra que t0 = 17 anos e quatro meses, aproximadamente.
Sabemos da teoria de limite que dadas f, g : [a, b] R tais que f e uma funcao contnuaem g(x0) [a, b] e existe lim
xx0g(x) = L R, enao lim
xx0f(g(x)) = f
(limxx0
g(x))= f(L). Note
que este resultado e util para se calcular o limite abaixo:
limx0
ln[1 + x
]1x = ln
[limx0
(1 + x
)1x]= ln e = 1.
(2.1.19)
Proposicao 2 Seja a R tal que 0 < a = 1, entao
limx0
ax 1x
= ln a.
Prova : Fazendo t = ax 1, teremos ax = t + 1. Calculando Logaritmo Nepariano emambos os membros teremos
ln ax = ln(t+ 1), entao x ln a = ln(t+ 1), portanto x =ln(t+ 1)
ln a.
E facil ver que se x 0 (x = 0) entao t 0 (t = 0), Assim teremos
limx0
ax 1x
= limx0
t
ln(t+ 1)
ln a
= ln a limx0
1
ln(t+ 1)
t
= ln a.limx0
1
limx0
ln(t+ 1)
t
ver(10)= ln a
Exerccios
Use a teoria acima e calcule os limites abaixo:
(a) limx0
ax bx
xa, b R tal que 0 < a, b = 1, (b) lim
n
(1 +
1
n
)n+5.
(c) limx
(1 +
2
x
)x, ( d) lim
x
( xx+ 1
)x, (5) lim
n
(2n+ 32n+ 1
)n.
Outros Exerccios.Calcule
(a) limx0
sin(9x)
x, (b) lim
x0
sin(10x)
sin(9x), (c) lim
x0
1 cosxx2
, (d) (1) limx0
sin3 x2
x3.
EXERCICIOS
(i) Quanto tempo sera necessario ara que Q0 = 1, 00 unidades de moeda dobre o valornominal quando aplicada em uma carteira a uma taxa de juros 5% ao nao? Rep.13, 86 anos.
64 CHAPTER 2. LIMITE
(ii) Quanto tempo sera necessario ara que Q0 unidades de moeda dobre o valor nominalquando aplicada em uma carteira a taxa de juros 3% ao nao?
(iii) Quanto tempo sera necessario ara que Q0 unidades de moeda dobre o valor nominalquando aplicada em uma carteira a taxa de juros 7% ao nao?
(iv) Qual sera a taxa r de juros ao ano, para que Q0 unidades de moeda aplicada em umacarteira dobre o seu valor nominal em 12 meses? Rep. r = 5.78%.
2.1.4 Limites Infinitos no Infinito
Definicao 20 Dada f : (a,) R, dizemos que f o limite de f quando x aproxima-se doinfinito e infinito se dado M > 0 existe N0 > 0 tal que se
x > N0, entao f(x) > M. Notacao limx
f(x) = .
-oxO
oy
(x...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... f(x)
M
(x, f(x))
N0
6
Figura 1
Exemplo 50 Seja f : [1,) R dada por f(x) = x2. Mostremos que limx
f(x) = .
Resolucao : Dado um numero realM > 1, tomeN0 =M . Veja que se x > N0 =
M
entao x2 > (N0)2 = M . Isto no diz que f(x) > M .
Definicao 21 Dada f : (, b) R, dizemos que f o limite de f quando x aproxima-sedo menos infinito e infinito se dado M > 0 existe N < 0 tal que se
x < N, entao f(x) > M. Notacao limx
f(x) = .
2.1. TEOREMA DO SANDUICHE E LIMITES FUNDMENTAIS 65
Definicao 22 Dada f : (a,) R, dizemos que f o limite de f quando x aproxima-se doinfinito e menos infinito se dado M < 0 existe N > 0 tal que se
x > N, entao f(x) < M. Notacao limx
f(x) = .
Definicao 23 Dada f : (, b) R, dizemos que f o limite de f quando x aproxima-sedo menos infinito e menos infinito se dado M < 0 existe N < 0 tal que se
x < N, entao f(x) < M. Notacao limx
f(x) = .
Exemplo 51 Mostre que limx
xn = .
Resolucao Dado M > 0 tome N0 =nM . Veva que se x > N0 entao x
n > Nn0 =( nM)n = M . Portanto f(x) > M .
Exemplo 52 Mostre que limx
xn = se n for par.
Resolucao Dado M < 0 tome N0 = n
|M |. Veja que se x < N0 entao xn < Nn0 =( n
|M |)n = |M |. Mas como M < 0, |M | = M . Assim xn < (M) = M . Portantof(x) < M .
Teorema 15 Sejam f ; g : A R R funcoes. Suponhamos que existe a R tal que ointervalo [a,) A e que
(i) limx
g(x) = L R e limx
f(x) = .
Entao(i) lim
xg(x)f(x) = se L > 0.
(ii) limx
g(x)f(x) = se L < 0.
Teorema 16 Sejam f ; g : A R R funcoes. Suponhamos que existe b R tal que ointervalo (; b] A e que
(i) limx
g(x) = L R e limx
f(x) = .
Entao(i) lim
xg(x)f(x) = se L > 0.
(ii) limx
g(x)f(x) = se L < 0.
Exemplo 53 Seja p : R R um polinomio dado por p(x) = anxn + an1xn1 + a1x + a0com an = 0. Mostre que
{limx
p(x) = se an > 0,limx
p(x) = se an < 0.
{lim
xp(x) = se an > 0 e n par
limx
p(x) = se an > 0 e n mpar.
66 CHAPTER 2. LIMITE
Resolucao Da definicao de limite segue que limx
an = an. Para provar a primeira parte
vamos usar os Exemplos 51 e 52 e o Teorema 15. Veja que p(x) = xn(an +
an1x
+an2x2
+
+ a1xn1
+a0
xn+1
). Segue do Teorema 8 que
limx
an1x
= 0, limx
an2x2
= 0, . . . limx
a1xn1
= 0, limx
a0xn+1
= 0, (2.1.20)
Entao limx
[an+
an1x
+an2x2
+ + a1xn1
+a0
xn+1
]= an. No Teroema 15 escolha f(x) = x
n
e g(x) = an +an1x
+an2x2
+ + a1xn1
+a0
xn+1. Do Exemplo 52 segue que lim
xxn = .
De (2.1.20) segue que limx
g(x) = 0 = L. Portanto, segue da primeira parte do Teorema 15
que limx
xn(an +
an1x
+an2x2
+ + a1xn1
+a0
xn+1
)= se an > 0 e da segunda parte do
Teoerema 15 segue que limx
xn(an +
an1x
+an2x2
+ + a1xn1
+a0
xn+1
)= se an < 0.
A segunda parte da prova e deixada para o leitor.
2.2 Assntotas Verticais e Horizontais
Definicao 24 Seja a um numero real qualquer. A reta x = a e uma Assntota Verticalao grafico da funcao f : A R R se uma das quatro condicoes abaixo estiver satisfeita.(i) lim
xaf(x) = . (ii) lim
xaf(x) = ; (iii) lim
xa+f(x) = ; (vi) lim
xaf(x) = .
-
6x0
oxO
oy
(x
...
...
...
...
...
...
...
...
... N0
(x, f(x)