Sergio Yansen Núñez

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Aplicaciones de Integrales dobles y triples

Actividad 1

Plantee la(s) integral(es) para calcular la masa de un cuerpo cuya densidad es de su"%

distancia al eje y su volumen está encerrado por las superficies:D

B � C � ÐD � "!Ñ œ "!# # # #

con 9B � C œ D D Ÿ# # #

con B � C œ "!D D   !# # #

D œ * ß D œ !

En coordenadas cilíndricas en orden , .D.<. .<.D.) )

Actividad 2

Plantee la(s) integral(es) para calcular la masa del cuerpo limitado por:

B � C � D œ *# # #

D œ B � C# #

D œ B � C# # #

D œ $ÐB � C Ñ# # #

con .C   !

Sabiendo que la densidad en cada punto es proporcional a la distancia delT œ ÐBß Cß DÑpunto al origen.T

Use coordenadas esféricas.

Actividad 3

Plantee en coordenadas cilíndricas, la(s) integral(es) para calcular la masa de la región Vencerrada por las superficies , ; si la densidad en cada punto esD œ + � C D œ #B � C# # # #

proporcional a la distancia al eje .D

Sergio Yansen Núñez

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Actividad 4

Calcule el momento polar de inercia de la región del plano limitada por ,BC B � C œ "# #

B � C œ * BC œ # BC œ %# # , , suponiendo la densidad unitaria.

Actividad 5

Determine el centro de masa de la región limitada por la superficie , y losV D œ % � B#

planos , , , , suponiendo que la densidad es constante igual a .B œ ! C œ ! C œ ' D œ ! 5

Actividad 6

a) Determine el centro de masa de la región homogénea limitada por dosVsuperficies dadas en coordenadas esféricas: superiormente por e3 œ +inferiormente por , donde y son constantes. Suponga que la densidad es9 ! !œ +5.

b) Mediante coordenadas esféricas, plantee la(s) integrale(s) que permita(n) calcularla masa de suponiendo que la densidad del casquete esférico, que correponde aVla parte superior de , es , y en la parte limitada por el cono, que corresponde aV 5"la parte inferior de , es con . Considere 2 y .V 5 5 Á 5 + œ œ# " # 9 1

%

Actividad 7

Consideremos el sólido de densidad uniforme acotado por y los planos5 B � C œ '# #

D œ ! D œ * y . Calcule el momento de inercia respecto del eje .B

Actividad 8

Determine el centroide de un sólido de densidad constante igual a , el cual está limitado5por , , y .B œ C B œ D D œ ! B œ "#

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Actividad 9

Una bola unitaria consiste en dos semibolas pegadas. Una semibola tiene la densidadconstante y la otra bola tiene una densidad constante $ $" #Þ

a) Determine las coordenadas del centro de masa.

b) Escriba la integral que permite calcular el momento de inercia de la bola unitaria,cuando rota en torno al eje .^

c) Sea , paralelo al eje , el eje de rotación perpendicular al plano de unión de lasP ^dos semibolas, tal que .P � F96+ Á F

De acuerdo a la expresión obtenida en (b), ¿qué distancia de al eje ,P ^

corresponde al momento de inercia minimal y qué distancia de al eje ,P ^corresponde al momento de inercia maximal?

Actividad 10

Consideremos un sólido que contiene un cubo de arista igual a 1 y de densidad igual a 1,y un cilindro de radio , de longitud 2 y de densidad 2, que atraviesaV � "

#perpendicularmente el cubo y cuyo eje pasa por dos caras opuestas y por su centro. Este sistema gira alrededor del eje del cilindro con velocidad angular .A Si la Eergía Cinética está dada por la fórmula , donde es la velocidad angularI œ AMA#

#

e es el momento de Inercia, se pide:M Plantear la(s) integral(es) que permitan calcular la Energía Cinética del sistema. Debeusar coordenadas cilíndricas en el orden ..D.<.)

Actividad 11

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Resolución

1.

$ÐBß Cß DÑ œ B � C œ <" "% %È # #

Intersecciones:

œB � C œ D Ê D œ ! ” D œ "!

B � C � ÐD � "!Ñ œ "!

# # #

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�B � C œ "!D Ê D œ ! ” D œ

B � C � ÐD � "!Ñ œ "!

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2.

, donde es una constante.$ 3ÐBß Cß DÑ œ 5 B � C � D œ 5 5È # # #

Intersecciones:

�B � C � D œ * Ê D œ

D œ $ÐB � C Ñ

# # #

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È#(#

�B � C � D œ * Ê D œ

D œ B � C

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œ D œ B � C Ê D œ ! ” D œ "

D œ B � C

# #

# # #

œ D œ B � C Ê D œ ! ” D œ $

D œ $ÐB � C Ñ

# #

# # #

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�B � C � D œ * Ê D œ

D œ B � C

# # #

# #

�"� $(#

È

D œ $ÐB � C Ñ Ê œ# # # 9

1'

con 9# œ - œ+<--9=Ð Ñ-$ #�"� $(È

7 œ 5 =/8 . . .' ' '! !

+<--9=Ð Ñ11'

-$ $ $3 9 3 9 )

� 5 =/8 . . .'! +<--9=Ð Ñ

1' '-$

%

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=/8#1

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$3 9 3 9 )

con - œ �"� $(#

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3.

, donde es una constante.$ÐBß Cß DÑ œ 5 B � C œ 5< 5È # #

D œ + � C œ + � < =/8 Ð Ñ# # # # # )

D œ #B � C œ #< -9= Ð Ñ � < =/8 Ð Ñ œ < Ð-9= Ð Ñ � "Ñ# # # # # # # #) ) )

Sea la masa del sólido.7

Mediante simetría:

7 œ % 5< .D.<.' ' '! < Ð-9= Ð Ñ�"Ñ

Ð Ñ1#

+

#

!È

# # )

)+ �< =/8 ## # #

)

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4. M œ ÐB � C Ñ.E9 V# #' '

Considerando la siguiente transformación:

? œ B � C# #

@ œ BC

`Ð?ß@Ñ`ÐBßCÑ œ œ #ÐB � C Ñ

#B � #CC Bº º # #

¹ ¹ ¹ ¹`ÐBßCÑ `ÐBßCÑ`Ð?ß@Ñ #ÐB �C Ñ `Ð?ß@Ñ #

" "œ Ê ÐB � C Ñ œ# ## #

M œ ÐB � C Ñ.E œ .@.? œ )9 V# #' ' ' '

" # #* % "

El momento polar es .)

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5.

Sea la masa total.Q

Q œ 5.D.C.B œ $#5' ' '! ! !

# ' %�B#

B œ œ' ' '! ! !

# ' %�B#

5B.D.C.B $%Q

C œ œ $' ' '! ! !

# ' %�B#

5C.D.C.BQ

D œ œ' ' '! ! !

# ' %�B#

5D.D.C.B )&Q

Las coordenadas del centro de masa son: Š ‹$ )% &ß $ß

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6. a)

Sea la masa de .Q V

Q œ 5 =/8Ð Ñ . . . œ Ð" � -9=Ð ÑÑ' ' '! ! ! $# + # + 51 ! 1

3 9 3 9 ) !#$

Por simetría, B œ C œ !

+D œ œ +Ð" -9=Ð ÑÑ' ' '! ! !# + $ #1 !

5 -9=Ð Ñ=/8Ð Ñ . . . =/8 Ð Ñ

Ð"�-9=Ð ÑÑ

3 9 9 3 9 ) !

!Q

1

1

+ 5%

%

# + 5$

$

œ $) !

Las coordenadas del centro de masa son: +Š ‹!ß !ß +Ð" -9=Ð ÑÑ$) !

b) Intersección: � ÈÈB � C � D œ % Ê D œ #

D œ B � C

# # #

# #

D œ # Ê -9=Ð Ñ œ # Ê œÈ È3 9 3È#

-9=Ð Ñ9

Q œ 5 =/8Ð Ñ . . . � 5 =/8Ð Ñ . . .' ' ' ' ' '! !# #

! ! !1 1

1 1

9

9% %#

-9=Ð Ñ

#-9=Ð Ñ

È

È2

" ## #3 9 3 9 ) 3 9 3 9 )

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7.

M œ ÐC � D Ñ .ZB V# #' ' ' 5

.œ Ð< =/8 Ð Ñ � D Ñ<.D.<. œ "&$*5 ) ) 51' ' '! ! !# ' *1 È

# # #

El momento de inercia respecto del eje es .B "&$*51

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8.

Sea la masa del sólido7

7 œ 5.D.B.C œ' ' '�" C ! &" " B %5

#

Por simetría, C œ !

B œ œ' ' '�" C !" " B

# 5B.D.B.C

7&(

B œ œ' ' '�" C !" " B

# 5D.D.B.C

7&"%

Por tanto, el centroide es Š ‹& &( "%ß !ß

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9. a)

Sea la masa del cuerpo , Q Q œ Ð � Ñ#$1

$ $" #

Por simetría, se tiene que el centro de masa es ÐBß Cß DÑ œ !ß !ߊ ‹QQBC

Q œ D .Z � D .ZBC "V V' ' ' ' ' '

" ##

$ $

Q œ DÐ � Ñ.ZBC "V' ' '

"#

$ $

Q œ Ð � Ñ -9=Ð Ñ=/8Ð Ñ. . . œ Ð � ÑBC " "! !

# "

!$$ $ 3 9 9 3 9 ) $ $

# #' ' '1

1

# 1%

D œQQ )Ð � Ñ

$Ð � ÑBC " #

" #œ

$ $

$ $

Por tanto, ÐBß Cß DÑ œ !ß !ߌ �$Ð � Ñ

)Ð � Ñ

$ $

$ $

" #

" #

b) M œ < .<.D. � < .<.D.D " #! ! ! ! �" !

# " "�D # ! "�D# #' ' ' ' ' '1 1È È# #

$ ) $ )

c) Teorema de los ejes paralelosSea una recta que pasa por el centro de masa de un cuerpo de masa , y seaP 7-Þ7

P P 2 una recta paralela a y a unidades de ella. El teorema de los ejes paralelos-Þ7

dice que los momentos de inercia e del cuerpo respecto a y M M P P-Þ7 P -Þ7 satisfacen la ecuación: M œ M �72P -Þ7

#

En este caso: M œ M �Q2P D#

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El momento de inercia minimal se obtiene para (ver figura)2 œ !

El momento de inercia maximal se obtiene para (ver figura)2 œ "

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10.

Sea la parte que queda del cubo al ser extraido el cilindro (ver figura)V"

Sea la región determinada por el cilindro.V#

M œ B � C .Z � # B � C .Z œ M � #MD #V V# # # #' ' ' ' ' 'a b a b

" #1

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Sea la región del plano como muestra la figura sombreada:V$

M œ B � C .B.C œ ) B � C .B.C" V V# # # #' ' ' 'a b a b

$ %

donde es la región del plano como muestra la figura sombreada:V%

M œ ) < .<." ! V$' '1 )%

"

#-9=a b)

M œ B � C œ # B � C .B.C# V V# # # #' ' ' ' 'a b a b

# &

donde es es la región del plano como muestra la figura sombreada:V&

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M œ # < .<.# ! !

# V $' '1 )

¾ I œ œ M AD#

#

donde M œ ) < .<. � < .<.D ! V$ $

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#-9=a b) )4 1

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11.

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dzdrdrkrrIa b

rabz ⋅⋅= ∫ ∫ ∫

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−= ∫ ∫542

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−= 0542 π

15

5 πbkaI z =