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APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO NA MODELAGEM DE
TESTES DE PRESSÃO EM POÇOS DE PETRÓLEO
Conrado Keidel
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa
de Pós-graduação em Engenharia Civil, COPPE,
da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Mestre em Engenharia Civil.
Orientadores: José Antonio Fontes Santiago
José Claudio de Faria Telles
Rio de Janeiro
Março de 2011
APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO NA MODELAGEM DE
TESTES DE PRESSÃO EM POÇOS DE PETRÓLEO
Conrado Keidel
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ
COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM
ENGENHARIA CIVIL.
Examinada por:
________________________________________________
Prof. José Antonio Fontes Santiago, D.Sc.
________________________________________________
Prof. José Claudio de Faria Telles, Ph.D.
________________________________________________
Prof. Alvaro Marcello Marco Peres, Ph.D.
________________________________________________
Prof. Ricardo Alexandre Passos Chaves, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
MARÇO DE 2011
iii
Keidel, Conrado
Aplicação do Método dos Elementos de Contorno na
Modelagem de Testes de Pressão em Poços de Petróleo/
Conrado Keidel. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2011.
XV, 137 p.: il.; 29,7 cm.
Orientadores: José Antonio Fontes Santiago
José Claudio de Faria Telles
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Civil, 2011.
Referencias Bibliográficas: p. 125-127.
1. Método dos Elementos de Contorno. 2. Testes de
Pressão em Poços de Petróleo. 3. Espaço de Laplace. 4.
Algoritmo de Stehfest. I. Santiago, José Antonio Fontes et al.
II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa
de Engenharia Civil. III. Título.
iv
À memória de meu querido pai, Carlos,
Ao vigor de meu querido filho, Gustavo.
v
Agradecimentos
À minha mãe, Selene. Às minhas irmãs, Gisela e Lívia.
À minha esposa, Renata e sua família de origem.
Ao Antonio Carlos Decnop Coelho e, por extensão, à PETROBRAS, por terem me
concedido um período de reflexão jamais experimentado anteriormente.
À COPPE e todo seu corpo docente, pelos ensinamentos transmitidos. Em especial, aos
orientadores de dissertação, por terem me fornecido de bandeja um conhecimento por mim tão
almejado.
Ao orientador acadêmico e professor Álvaro Coutinho.
Aos colegas de jornada, especialmente aos excepcionais Edivaldo Fontes Jr. e Marlúcio
Barbosa.
Aos colegas de Laboratório de Mecânica Computacional (LAMEC). Principalmente, ao
Cleberson Dors.
vi
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.).
APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO NA MODELAGEM DE
TESTES DE PRESSÃO EM POÇOS DE PETRÓLEO
Conrado Keidel
Março/2011
Orientadores: José Antonio Fontes Santiago
José Claudio de Faria Telles
Programa: Engenharia Civil
O fluxo de fluidos pouco compressíveis em reservatórios de petróleo pode ser modelado
analiticamente através de equações integrais compostas por funções de Green. O Método dos
Elementos de Contorno (MEC) corresponde à solução numérica de tais equações. Para
elaboração desta dissertação são implementados programas computacionais em VBA,
baseados no MEC, capazes de lidar com fluxo monofásico para poços verticais em domínios
simples e compostos de múltiplas regiões homogêneas. As soluções são obtidas via campo de
Laplace e são invertidas para o campo real por meio do algoritmo de Stehfest. Os resultados
gerados a partir de modelos simples são analisados em confronto com soluções analíticas
constantes da literatura especializada sobre análise de testes em poços de petróleo.
vii
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements
for the degree of Master of Science (M.Sc.)
APPLYING THE BOUNDARY ELEMENTS METHOD FOR MODELING
PETROLEUM WELL TESTS
Conrado Keidel
March/ 2011
Advisors: José Antonio Fontes Santiago
José Claudio de Faria Telles
Department: Civil Engineering
Flow of slightly compressible fluids through petroleum reservoirs can be analytically
modeled by means of integral equations composed by Green’s functions. The Boundary
Element Method (BEM) corresponds to the numerical solutions of such equations. For the
preparation of this dissertation they are implemented VBA computing codes, based on BEM,
capable of dealing with single phase flow to vertical wells located in simple and multi-region
composed domains. The solutions are obtained via Laplace space and are inverted back to the
real field with the aid of Stehfest’s algorithm. Simple models are run and their results are then
compared with analytical solutions taken from specialized literature about well test analysis.
viii
Sumário 1. Introdução........................................................................................................................... 1
1.1. Considerações Preliminares........................................................................................ 1
1.2. Revisão Bibliográfica ................................................................................................. 5
1.3. Objetivos e Conteúdos................................................................................................ 6
1.4. Acerca da Nomenclatura Adotada.............................................................................. 8
2. Relações Básicas............................................................................................................... 10
2.1. Conceitos Matemáticos Essenciais........................................................................... 10
2.2. Operações no Espaço de Laplace ............................................................................. 11
2.3. Equações de Dinâmica dos Fluidos .......................................................................... 13
2.3.1. Lei da Conservação de Massas (ou Equação da Continuidade) ....................... 14
2.3.2. Lei de Darcy ..................................................................................................... 16
2.3.3. Equações de Estado .......................................................................................... 19
2.4. Equação da Difusão Hidráulica ................................................................................ 21
2.5. Condição Inicial, Condições de Contorno e Condições de Interface Empregadas .. 24
2.5.1. Condição Inicial................................................................................................ 24
2.5.2. Condições de Contorno .................................................................................... 25
2.5.3. Condições de Interface ..................................................................................... 25
2.6. Superposição no Espaço ........................................................................................... 26
2.7. Superposição no Tempo (Convolução) .................................................................... 28
2.8. Soluções Analíticas para Escoamento de Fluidos em Meios Porosos Baseadas em
Funções de Green ................................................................................................................. 30
2.8.1. Conceitos Preliminares – Delta de Dirac.......................................................... 30
2.8.2. Funções de Green ............................................................................................. 32
2.8.3. Equação Integral Ponderada da Difusão – Ponto-fonte Pertencente ao Domínio
33
2.8.4. Equação Integral Ponderada de Difusão – Ponto-fonte Pertencente ao Contorno
39
2.9. Soluções Fundamentais ............................................................................................ 42
2.9.1. Considerações Preliminares.............................................................................. 42
ix
2.9.2. Funções de Green Básicas (ou Soluções Fundamentais) ................................. 43
3. MEC Aplicado ao Escoamento em Meios Porosos .......................................................... 51
3.1. Aspectos Gerais ........................................................................................................ 51
3.2. Variação Temporal Aproximada por Série de Taylor (Diferenças Finitas) ............. 51
3.3. Solução no Campo Real com a Solução Fundamental Dependente do Tempo....... 53
3.4. Solução Via Campo de Laplace................................................................................ 53
3.5. Procedimento Numérico ........................................................................................... 55
3.5.1. Domínios Simples ............................................................................................ 55
3.5.2. Domínios Compostos ....................................................................................... 58
3.6. Considerações a Respeito das Implementações ....................................................... 64
3.6.1. Generalidades ................................................................................................... 64
3.6.2. Domínios Simples ............................................................................................ 66
3.6.3. Domínios Compostos ....................................................................................... 74
4. Aplicações Numéricas ...................................................................................................... 79
4.1. Considerações Iniciais .............................................................................................. 79
4.1.1. Metodologia...................................................................................................... 79
4.1.2. Base de Comparação ........................................................................................ 81
4.2. Discussão Acerca do Consumo de Tempo ............................................................... 82
4.3. Avaliação da Exatidão dos Códigos Gerados........................................................... 91
4.4. Limitações do Algoritmo de Stehfest ..................................................................... 118
5. Conclusões e Sugestões.................................................................................................. 121
5.1. Conclusões.............................................................................................................. 121
5.2. Sugestões ................................................................................................................ 122
Referências Bibliográficas...................................................................................................... 125
Apêndice A ............................................................................................................................. 128
Apêndice B ............................................................................................................................. 129
Apêndice C ............................................................................................................................. 131
Apêndice D............................................................................................................................. 132
Apêndice E ............................................................................................................................. 135
Apêndice F.............................................................................................................................. 136
x
Lista de Figuras
Figura 1.1 - Contexto em que se insere o estudo em objeto....................................................... 2
Figura 1.2 – O problema inverso de interpretação de testes em poços de petróleo.................... 4
Figura 1.3 - "Fio condutor” desta revisão bibliográfica. ............................................................ 6
Figura 1.4 - Domínio típico de interesse. ................................................................................... 8
Figura 2.1 – Ilustração para o teorema da divergência............................................................. 11
Figura 2.2 - Aplicação do Método das Imagens....................................................................... 26
Figura 2.3 - Barreiras ao fluxo: em ângulo de 90º e em ângulo qualquer. ...............................27
Figura 2.5 – Convolução com o delta de Dirac. ....................................................................... 31
Figura 2.6 – Domínio Considerado. ......................................................................................... 33
Figura 2.7 - Fonte nas proximidades de um vértice de contorno. ............................................ 39
Figura 2.8 - Fonte pontual nas proximidades de contorno suave. Sistema equivalente. .......... 41
Figura 2.9 – Soluções para domínios ortotrópicos obtidas por produtos de Newman. ............ 50
Figura 3.1– Representação em elementos de contorno............................................................ 55
Figura 3.3 – Exemplo esquemático de um domínio composto................................................. 58
Figura 3.4 – Porções do domínio composto destacadas. .......................................................... 59
Figura 3.5 – Aspecto das matrizes............................................................................................ 60
Figura 3.6 – Exemplo esquemático de domínio composto com região interna........................ 63
Figura 3.7 – Porções destacadas do domínio composto com região interna. ........................... 63
Figura 3.8- Fluxograma de cálculo para MEC aplicado ao Espaço de Laplace com inversão
pelo algoritmo de Stehfest. ....................................................................................................... 65
Figura 3.9 – Domínio simples hipotético. ................................................................................ 66
Figura 3.10 – Parâmetros de entrada 1/2. ................................................................................. 67
Figura 3.11 – Parâmetros de entrada 2/2. ................................................................................. 67
Figura 3.12 - Integração Numérica – quando x e ξ não pertencem ao mesmo elemento. ....... 68
Figura 3.13 - Integral da Função de Bessel Modificada de 2ª Espécie e Ordem 0................... 71
Figura 3.14 – Exemplo para Domínio Composto: conectividade. ...........................................74
Figura 3.15 – Exemplo: tabelas de entrada 1/3. ....................................................................... 75
Figura 3.16 – Exemplo: dados de entrada 2/3. ......................................................................... 75
Figura 3.17 – Exemplo: dados de entrada 3/3. ......................................................................... 76
xi
Figura 3.18 – Sentido positivo de percurso para as regiões consideradas de forma isolada. ... 76
Figura 3.19 – Aspecto das matrizes globais e do vetor global para o exemplo considerado. .. 77
Figura 4.1 - Avaliação do consumo de tempo. ......................................................................... 83
Figura 4.2 - Comportamento de K0 e K1. ................................................................................ 84
Figura 4.3 - K0(x) com aproximação da fonte pontual na direção ortogonal ao elemento
(unidades SI)............................................................................................................................. 85
Figura 4.4 - K0(x) para variação da posição da fonte na direção do elemento (unidades: SI). 86
Figura 4.5 – Representação do reservatório circular com 6 elementos. ................................... 88
Figura 4.6 – Reservatório circular com poço centralizado (NE=6, Ninter=8, NSteh = 2). ...... 89
Figura 4.7 – Reservatório circular com poço centralizado (NE=6, Ninter=8, NSteh=6). ........ 89
Figura 4.8 - Reservatório circular com poço centralizado (NE=6, Ninter=8, NSteh=10)........ 90
Figura 4.9 – Exemplo 1– NE= 4, NPGL=8. ............................................................................. 92
Figura 4.10 – Exemplo 1– NE= 4, NPGL=32. ......................................................................... 93
Figura 4.11 - Exemplo 1– NE= 16, NPGL=8........................................................................... 94
Figura 4.12 - Exemplo 1– NE= 64, NPGL=8........................................................................... 95
Figura 4.13 - Exemplo 1– NE= 64 não uniformes, NPGL=8................................................... 96
Figura 4.14 – Exemplo 1: Quedas de pressão em outros pontos do reservatório..................... 97
Figura 4.15 - Exemplo 2– NE= 4, NPGL=8............................................................................. 98
Figura 4.16 - Exemplo 2– NE= 4, NPGL=8............................................................................. 99
Figura 4.17 - Exemplo 2– NE= 4, NPGL=8........................................................................... 100
Figura 4.18 - Exemplo 2– NE= 7 não uniformes, NPGL=8................................................... 100
Figura 4.19 - Exemplo 3 – NE=18 não uniformes, NPGL=8.................................................101
Figura 4.20 - Exemplo 3 – NE=80, NPGL=8......................................................................... 102
Figura 4.21 - Exemplo 4 – NE=20 não uniformes, NPGL=8.................................................103
Figura 4.22 – Exemplo 5 - NE=25, NPGL=8......................................................................... 104
Figura 4.23 – Exemplo 5 - NE=49, NPGL=8......................................................................... 105
Figura 4.24 - Exemplo 6 – NE=12, NPGL=8......................................................................... 107
Figura 4.25 - Exemplo 6 – NE=42, com comprimento uniforme na direção x, NPGL=8. .... 107
Figura 4.26 - Exemplo 6 – NE=84,com comprimento uniforme na direção x, NPGL=8. ..... 108
Figura 4.27 – Exemplo 7 – NF=21, NPGL=8. ....................................................................... 109
Figura 4.28 - Exemplo 7 – NF=61, NPGL=8........................................................................ 110
xii
Figura 4.29 – Exemplo 7 – NF=121, NPGL=8. ..................................................................... 110
Figura 4.30 – Exemplo 8 - NE de interface = 16, NPGL=8. .................................................. 112
Figura 4.31 – Exemplo 8 - NE de interface = 16, NPGL=8. .................................................. 113
Figura 4.32 - Exemplo 8 - NE de interface = 16, NPGL=8.................................................... 114
Figura 4.33 - Exemplo 8 - NE de interface = 16, NE de fronteira externa=6, NPGL=8........ 114
Figura 4.34 - Exemplo 9 - NE de interface = 8, NPGL=8...................................................... 115
Figura 4.35 - Exemplo 9 - NE de interface = 2x16 + 8, NPGL=8. ........................................ 116
Figura 4.36 - Exemplo 10 - NE de interface = 25, sendo o menor com 10m......................... 117
Figura 4.37 - Exemplo 11 – modelo composto de 3 regiões. ................................................. 118
Figura 4.38 - Exemplo sintético do uso do algorítmo de Stehfest. Caso de vazões variáveis.119
Figura D.1 – Fonte Planar....................................................................................................... 132
xiii
Lista de Tabelas Tabela 4-1 – Regimes de fluxo característicos, observados através da curva de derivadas de
queda de pressão, utilizados neste trabalho. ............................................................................. 80
Tabela 4-2- Parâmetros adotados para os estudos iniciais. ...................................................... 82
Tabela 4-3 – Tempo consumido em função do número de pontos de Gauss-Legendre
Considerado apenas 1 ponto interno, representando o poço. ................................................... 87
Tabela 4-4 – Exemplos 1, 2, 3 e 4: parâmetros considerados. ................................................. 92
Tabela 4-5 – Exemplo 5: parâmetros considerados................................................................ 104
Tabela 4-6 – Exemplo 6: parâmetros considerados................................................................ 106
Tabela 4-7 - Exemplo 7: parâmetros considerados. ............................................................... 109
Tabela 4-8 - Exemplo 8: parâmetros considerados. ............................................................... 111
Tabela 4-9 –Exemplo 10: parâmetros considerados............................................................... 116
Tabela 4-10 –Exemplo 11: parâmetros considerados............................................................. 117
Tabela A-1: Coeficientes de Stehfest. .................................................................................... 128
xiv
Nomenclatura Letras gregas
ξ - posição do ponto-fonte. η - constante de difusão hidráulica ( µφη tck= ).
φ - porosidade de reservatório.
µ - viscosidade dinâmica de fluido.
Ω - domínio.
Γ - contorno.
Letras latinas
c - compressibilidade.
h - altura da formação.
k - permeabilidade da formação.
L - operador diferencial linear; transformada de Laplace; comprimento.
p – pressão.
q– vazão.
q~ - vazão específica, por unidade de superfície ou de comprimento de fonte.
r - distância.
t - tempo.
u - queda de pressão, p∆ , exceto onde indicado.
u - queda de pressão especificada (conhecida).
u - queda de pressão no espaço de Laplace.
x - posição do ponto de integração de elemento (ponto-campo).
Subscritos
0 – inicial.
c – constante.
e – fronteira externa. Contorno.
f – fratura.
i – contador associado à posição da fonte.
xv
j – contador associado ao elemento considerado.
k – contador associado aos pontos de integração de Gauss-Legendre.
r – rocha.
t – total.
w – fonte ou poço (well).
x – direção do eixo coordenado x.
y - direção do eixo coordenado y.
z - direção do eixo coordenado z.
Siglas/ Abreviaturas
ECDS – Programa computacional desenvolvido com base no MEC para Domínio Simples.
ECDC - Programa computacional desenvolvido com base no MEC para Domínio Composto.
MDF – Método das Diferenças Finitas.
MEC – Método dos Elementos de Contorno.
MEF – Método dos Elementos Finitos.
NE – Número de Elementos.
NPGL – Número de pontos para integração numérica por Gauss-Legendre.
NPT – Número de passos de tempo.
NSteh – Número de passos de tempo de acordo com o algoritmo de Stehfest.
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
1
1. Introdução
1.1. Considerações Preliminares
A fonte de energia dominante em todo o globo desde o princípio do século XX tem sido
oriunda de materiais fósseis. Preponderantemente, de óleo e de gás.
Estes compostos são gerados no subsolo do planeta a partir do soterramento progressivo
de rochas ricas em matéria orgânica1. Tal soterramento acarreta um aumento gradual de
temperatura e de pressão no sistema portador e redunda em algumas transformações químicas
na matéria original, que na ausência de grandes quantidades de substâncias oxidantes, acaba
por se transformar em petróleo.
Devido a fatores diversos e ainda controvertidos (ver THOMAS, 2001) o petróleo gerado
posteriormente é expulso da rocha inicial e ascende, migrando até que alguma barreira
geológica o impossibilite de prosseguir seu curso, permanecendo, assim, alojado em uma
rocha sedimentar, porosa e permeável2, denominada reservatório.
Milhões de anos após este processo, o homem intervém: prospectando, perfurando poços
e desenvolvendo planos de extração destes recursos energéticos.
Da necessidade de ordenar e otimizar a explotação do petróleo vem o imperativo de se
entender e simular o movimento dos fluidos em meios porosos.
Este deslocamento, quando a taxas relativamente baixas, se dá preponderantemente por
difusão e é governado pela equação da difusão hidráulica, cuja forma compacta é:
t
uu
∂∂=∇2η . (1.1)
O operador Laplaciano 2∇ corresponde ao divergente do gradiente e é função do sistema
coordenado adotado. A grandeza escalar u representa a queda de pressão3 e é dependente de
posição e de tempo, bem como de características de rocha e fluido, agrupadas pela constante
de difusão η . 1 Destacadamente, folhelhos. 2 Mormente, arenitos e carbonatos. 3 Que está intimamente relacionada ao potencial de fluxo.
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
2
Ao longo do tempo, vários métodos analíticos têm sido utilizados em busca de soluções
específicas para condições iniciais e de contorno simplificadas. Dentre os quais têm se
destacado os que se utilizam de transformadas de Fourier e, principalmente, os que lançam
mão de transformadas de Laplace4 (ver Figura 1.1, caminho 1).
Figura 1.1 - Contexto em que se insere o estudo em objeto.
Outros métodos analíticos, bastante conhecidos, porém dominados por um número bem
menos expressivo de profissionais da indústria do petróleo, consistem na construção de
soluções a partir do impulso fundamental de Lorde Kelvin.
De posse de soluções fundamentais5, neste contexto, há basicamente duas alternativas para
solução de determinado problema:
4 Tendo como marco o extraordinário artigo de VAN EVERDINGEN e HURST (1949). 5 São muitas vezes referidas como funções de Green. A de Lorde Kelvin, por exemplo, é uma delas.
PROBLEMA FÍSICO-MATEMÁTICO DE
DIFUSÃO HIDRÁULICA +
CONDIÇÃO INICIAL + CONDIÇÕES DE
CONTORNO
SOLUÇÃO FUNDAMENTAL
(IMPULSO)
EQUAÇÃO INTEGRAL DA
DIFUSÃO HIDRÁULICA
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA DIFUSÃO HIDRÁULICA
SOLUÇÃO. MÉTODO DAS IMAGENS PARA CONSIDERAÇÃO DOS LIMITES DE DOMÍNIO.
SOLUÇÃO BASEADA NA INTEGRAÇÃO EM TEMPO E EM ESPAÇO.
MÉTODO DAS IMAGENS PARA CÁLCULO DAS
FRONTEIRAS DE RESERVATÁORIO.
SOLUÇÃO.
1
2
3
F L E X I B I L I D A D E
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
3
a) ou se integra diretamente em tempo e em espaço, de acordo com suas especificidades.
Neste caso, as fronteiras, caso existam, são computadas com o auxílio do método das
imagens (ver Figura 1.1, caminho 2);
b) ou se busca resolver a equação integral governante, obtida a partir de ponderação da
equação diferencial original pela solução fundamental específica para o problema de
interesse6 (ver Figura 1.1, caminho 3).
A opção disposta em b), acima, é, em teoria, a que confere maior flexibilidade à solução
analítica de problemas, desde que as integrais existentes no processo possam ser calculadas.
Ou seja, aparentemente é a que pode ser aplicada a uma maior variedade de condições de
contorno.
Mas em certos casos, a complexidade a ser avaliada pode ser tal que a obtenção de
soluções analíticas elegantes e explícitas se torne inviável.
Nestas circunstâncias, geralmente se recorre a métodos numéricos de resolução. Dentre os
quais, no âmbito da Engenharia de Petróleo têm se destacado o de diferenças finitas (MDF),
preferido pelas empresas que comercializam os mais difundidos programas específicos para
simulação de escoamento de fluidos em meios porosos, e o de elementos finitos (MEF),
freqüentemente adotado nos meios acadêmicos.
Porém, para ambos é necessária a discretização do domínio do problema em células. E em
decorrência disto podem haver: a) dificuldades no que concerne à orientação de malha – o
fluxo para o poço é radial e a malha geralmente é cartesiana – e b) perda de precisão devido às
aproximações que ocorrem no domínio do problema, entre outros.
O Método dos Elementos de Contorno (MEC), em determinadas conjunturas, constitui-se
excelente opção em relação aos outros dois, já que tende a apresentar como vantagens
(WROBEL et al, 1984; KIKANI et al, 1992; KRYUCHKOV et al, 2001):
- a possibilidade de redução da dimensão do problema7;
- fácil conformação às fronteiras do reservatório;
- eliminação de malha de domínio e, conseqüentemente, ausência de problemas de
orientação de malha e de dispersão numérica;
- excelente acurácia no trato com singularidades;
6 Tal equação é explorada mais adiante e também pode ser diretamente obtida das identidades de Green. 7 Caso a condição inicial seja de potencial constante e uniforme no domínio do problema e caso não haja fontes distribuídas no reservatório.
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
4
- ausência de aproximação da equação governante no domínio do problema;
- capacidade de lidar com fronteiras móveis e espaços infinitos.
Com efeito, o MEC corresponde à solução numérica da equação da difusão hidráulica
pelo caminho de nº 3, representado na Figura 1.1.
Modelagem de Testes de Pressão em Poços de Petróleo
Testes de pressão em poços de petróleo são operações administradas com o objetivo de se
inferir as propriedades dinâmicas de um sistema poço-reservatório.
Ao sistema, posicionado em subsuperficie e, portanto, inacessível por meios diretos, é
aplicada uma perturbação na forma de retirada de massa, q(t), e é medida sua resposta, em
termos de queda de pressão, u(t).
A partir dos registros q(t) e u(t) se busca uma função de transferência que possa relacioná-
los satisfatoriamente8 (ver Figura 1.2). Habitualmente, este processo, denominado
interpretação, se dá por regressão não-linear entre dados medidos e dados simulados, a partir
da adoção do modelo mais apropriado para o conjunto de informações que se tem a
disposição.
O elenco de modelos analíticos disponíveis é restrito. Um método numérico simples,
robusto e potencialmente veloz como o MEC, neste contexto, pode ampliar e muito as
possibilidades de modelagem.
Figura 1.2 – O problema inverso de interpretação de testes em poços de petróleo.
8 Por definição, um problema inverso.
Sistema (?)
q(t) u(t)
Função de transferência
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
5
1.2. Revisão Bibliográfica
O fio condutor que dá ensejo à construção da presente dissertação pode ser resumido no
texto abaixo e na Figura 1.3.
CARSLAW e JAEGER (1959) divulgaram e deram ênfase a idéia, na ocasião de cerca de
80 anos de idade, atribuída a Lorde Kelvin, do uso sistemático de soluções fundamentais em
problemas de condução de calor.
Posteriormente, amparados pela extrema similaridade com problemas daquela natureza,
GRINGARTEN e RAMEY (1973), em seu notável artigo, transpuseram aqueles conceitos
para o campo de escoamento em meios porosos9. Ademais, organizaram e sistematizaram o
uso de funções de Green para diversas possibilidades de configuração de poço e de
reservatório de petróleo.
Alguns anos depois, OZKAN e RAGHAVAN (1991a, 1991b) e RAGHAVAN (1993)
ampliaram o escopo do trabalho anterior e apresentaram as correspondentes soluções
analíticas no campo de Laplace.
No que tange ao uso do MEC para problemas de difusão de um modo geral, RIZZO e
SHIPPY (1970) utilizaram-no para aplicações em problemas de condução de calor via
transformadas de Laplace. LIGGET e LIU (1979) resolveram problemas referentes a aqüíferos
subterrâneos via equações integrais no campo real. Um compêndio destas e outras aplicações
pode ser fartamente encontrado em BREBBIA, TELLES e WROBEL (1984).
Especificamente na área de simulação de escoamento em reservatórios de petróleo, o
maior desenvolvimento se deu na Universidade de Stanford. Por MATSUKAWA e HORNE
(1988) e, particularmente, por KIKANI e HORNE (1992, 1993). Estes últimos chegaram a
implementar rotinas para o cômputo de escoamento em reservatórios compostos de duas
regiões homogêneas, sendo uma delas interna a outra.
9 Ambos são regidos por equação diferencial parcial de mesma espécie.
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
6
Figura 1.3 - "Fio condutor” desta revisão bibliográfica.
1.3. Objetivos e Conteúdos
Os principais objetivos desta dissertação correspondem ao estudo do uso sistemático de
funções de Green para a solução de problemas de escoamento de fluidos pouco compressíveis
em meios porosos e à solução numérica10, através do Método dos Elementos de Contorno
10 Através de programas computacionais, escritos em Visual Basic for Applications (VBA), tendo como ponto de partida os disponibilizados por BREBBIA(1980) em seu livro fundador, formulados para problemas de potencial em regime permanente.
tempo
1959 1973 1991 1992 1993
CARSLAW e JAEGGER: codificação e sistematização do uso de soluções fundamentais em solução de problemas de condução de calor.
GRINGARTEN e RAMEY: transposição dos conceitos para o campo de escoamento em meios porosos.
1984
BREBBIA, TELLES e WROBEL: investigação, ampliação e consolidação do conhecimento sobre o MEC à época. Publicação de livro com parte dedicada à solução da equação da difusão, particularmente.
HORNE e outros: aplicação do MEC para solução de problemas de escoamento em meios porosos.
OZKAN e RAGHAVAN: obtenção e organização de soluções da equação da difusão baseadas em funções de Green no espaço de Laplace.
1988
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
7
(MEC), da equação da difusão hidráulica, em sua forma integral, quando submetida às
seguintes premissas11:
• domínio bidimensional, dividido em múltiplas (sub-)regiões homogêneas (rocha e
fluido)12;
• escoamento monofásico de fluido pouco compressível;
• contorno de geometria qualquer, sujeito a condição de queda de pressão ou de fluxo
prescrito;
• uma ou mais fontes presentes no domínio, produzidas por esquema de vazões
variáveis, sem inclusão de efeitos locais13;
• solução via espaço de Laplace, com inversão pelo tradicional e consagrado14 algoritmo
de STEHFEST (1970), resumido no Apêndice A.
No capítulo 2 é apresentado todo o ferramental físico-matemático envolvido na completa
definição analítica do problema supracitado.
A solução numérica via Método dos Elementos de Contorno e aspectos de sua
implementação computacional são descritos e explorados no capítulo 3.
No capítulo 4 é demonstrada a validade dos códigos computacionais gerados, e, por
extensão, seus limites, através do confronto com soluções analíticas já consagradas na
literatura especializada15 (veja-se EARLOUGHER JR., 1977; RAGHAVAN, 1993 e
BOURDET, 2001).
Finalmente, no capítulo 5 são oferecidas conclusões acerca dos resultados obtidos e
recomendações para futuros trabalhos.
11 Tipicamente, problemas semelhantes ao apresentado na Figura 1.4. 12 Esta dissertação é, portanto, uma expansão do estudo desenvolvido por KIKANI e HORNE (1992, 1993). 13 Quedas de pressão registradas a partir de produção de poços de petróleo estão sujeitas a dois efeitos locais: de estocagem e de película. O primeiro dos quais está relacionado à descompressão do fluido no interior da coluna, no momento imediatamente posterior a abertura do poço. O segundo é associado a danos à formação causados em fases anteriores à produção propriamente dita. Estes efeitos não fazem parte do escopo deste trabalho. 14 Largamente utilizado no campo da Engenharia de Petróleo. 15 Daqui por diante, sempre em que há referência à “literatura especializada” significa a relativa à análise de testes em poços de petróleo.
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
8
Figura 1.4 - Domínio típico de interesse.
1.4. Acerca da Nomenclatura Adotada
As teorias pertinentes ao escoamento de fluidos em meios porosos e ao MEC compõem
dois campos de conhecimento maduros e bem estruturados, que, por conseguinte, possuem
nomenclaturas próprias, ajustadas às culturas e às necessidades particulares de cada qual.
A exploração destes dois campos em conjunto, num mesmo documento, conduz, assim, a
certas divergências concernentes aos símbolos.
Neste aspecto, nesta dissertação, diferente do que é geralmente encontrado em livros de
Engenharia de Petróleo, a queda de pressão é tratada como u ao invés de p∆ .
Por outro lado, diversamente do que aparece nos livros de MEC, u , ou qualquer símbolo
que contenha a barra superior, está relacionado à variável no espaço de Laplace. Os valores
conhecidos no contorno são representados por “^”. Assim, ( ) uu ˆ=x significa que a queda de
pressão na posição x é especificada.
Os termos ponto-fonte (source point) e ponto-campo (field point) se referem a posição em
que se encontram, respectivamente, a fonte - solução fundamental para o problema em
x
y
w1
w2
u
n
u
∂∂ ˆ
n
u
∂∂ ˆ
u)
u
n
u
∂∂ ˆ
( )3,,, φµ tck
( )2,,, φµ tck
( )1,,, φµ tck
u)
n
u
∂∂ ˆ
w3
w4
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
9
análise, representada por ξ - e a variável de integração que percorre os elementos de contorno,
especificada por x.
As soluções fundamentais são classificadas de acordo com sua espécie (geometria): fonte
planar (plane source), fonte linear (line source) e fonte pontual (point source).
Os poços de petróleo são aludidos como fontes internas ao domínio.
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
10
2.Relações Básicas
2.1. Conceitos Matemáticos Essenciais
Dois conceitos de cálculo vetorial são de fundamental importância para a consumação
do presente estudo e, em decorrência, merecem menção. As simples expressões que se
seguem constituem alicerce de praticamente todo o desenvolvimento subseqüente.
O teorema da divergência16 enuncia que se F é um campo vetorial de classe C1 para o
domínio Ω , limitado por uma superfície fechada Γ , orientada por vetores normais
apontados para exterior, então:
Γ⋅=Ω⋅∇ ∫∫ΓΩ
dd nFF . (2.1)
O símbolo ∇ representa o operador de Hamilton, que para um domínio cartesiano
tridimensional é definido como:
kjizyx ∂
∂+∂∂+
∂∂=∇ , (2.2)
sendo i, j e k os vetores unitários nas direções x,y e z, respectivamente.
O produto escalar (.) entre ∇ e F mede a divergência vetorial em uma determinada
posição do domínio.
Assim, a integral ao longo de todo o domínio do operador divergente aplicado a F
corresponde à integral de superfície da projeção de F na direção de seu vetor normal n,
conforme Figura 2.1.
16 Também conhecido como teorema de Gauss, teorema de Ostrogradski ou teorema de Gauss-Ostrograski. Veja-se, por exemplo, PISKUNOV (S/A).
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
11
Figura 2.1 – Ilustração para o teorema da divergência.
Um segundo conceito igualmente necessário e importante é a regra de
multiplicação de derivadas aplicada a domínios multidimensionais. Por exemplo, se
sobre determinada região estão definidas as funções escalares ( )xu e ( )xw , uma das
possibilidades de uso de tal regra é:
( ) uwuwuw 2∇+∇⋅∇=∇⋅∇ . (2.3)
2.2. Operações no Espaço de Laplace
O problema de interesse do presente estudo é de caráter transitório e, como
conseqüencia, sua solução, analítica ou numérica, é naturalmente dependente do tempo.
Em certas circunstâncias, o banimento de tal dependência pode ser vantajoso. As
transformadas de Laplace, por meio da expressão abaixo, oferecem tal oportunidade.
( ) ( ) ( )dttfesftfL st ,,,0
xxx ∫∞
−== . (2.4)
Com efeito, a integral acima redunda no desaparecimento da variável temporal, t. A
função transformada passa a estar relacionada com a variável s. É caro notar que a parcela
Ω
n F
Γ
F.n
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
12
da função relacionada às coordenadas espaciais, x, não sofre nenhuma alteração quando da
passagem do espaço original para o espaço transformado.
Entretanto, para que haja transformada de Laplace, evidentemente, é preciso que ( )tf ,x
seja seccionalmente contínua no intervalo ∞<< t0 e que os limites para 0→t e para
∞→t existam e possam ser calculados.
No espaço de Laplace, algumas operações matemáticas tidas, em variáveis tempo-
espaço, como de algum grau de complexidade, estão correlacionadas a simples operações.
Por exemplo, a diferenciação com relação ao tempo corresponde a:
( ) ( ) ( )+−=
0,,, xxx fsfst
dt
dfL . (2.5)
Inversamente, para a integração no intervalo [ ]t,0 , se tem que:
( ) ( )sfs
dfLt
,1
,0
xx =
∫ ττ . (2.6)
A convolução, outra operação de grande valia em alguns campos da física-
matemática17, também sofre notável simplificação.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sgsfdtgtfLtgtfLt
,,,.,,*,0
xxxxxx =
−= ∫ ττ . (2.7)
Além disso, cumpre notar que as transformadas de Laplace respeitam propriedade de
linearidade. Isto é, se a e b são constantes então:
( ) ( ) ( ) ( )sgbsfatbgtafL ,,,, xxxx +=+ . (2.8)
Com a facilidade propiciada pelas propriedades aludidas, naturalmente os cálculos
algébricos no espaço transformado tendem a se traduzir em operações mais simples.
Contudo, ao término de tais operações é necessário que se converta a resposta
novamente para o campo real de origem. Esta transformação inversa, caso não seja
encontrada sob a forma tabelada, deve ser calculada pela expressão:
17 Em particular, para o desenvolvimento desta dissertação.
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
13
( ) ( ) ( )∫∞+
∞−
− ==ia
ia
st dssfei
tfsfL ,2
1,,1 xxx
π. (2.9)
Como é patente, tal avaliação envolve integração sujeita a limites complexos18.
Por outra, em casos que tal conversão seja problemática ou não possa ser obtida de
forma explícita, comumente se lança mão de algoritmos numéricos. Dentre tais, destaca-se
o de STEHFEST (1970), representado pela seguinte equação:
( )
=≈ ∑=
it
sfVt
tfNSteh
ii
2ln,
2ln,
1
xx . (2.10)
Em poucas palavras, uma aproximação da função ( )tf ,x no espaço real pode ser obtida
através da avaliação em NSteh pontos de ( )sf ,x no espaço transformado. É um
procedimento de certa forma similar ao de integração numérica por Gauss-Legendre19.
Os coeficientes iV dependem exclusivamente do valor NSteh adotado e, por extensão,
podem ser tabelados (ver Apêndice A).
Maiores detalhes analíticos a respeito de transformadas de Laplace podem ser
amplamente encontrados em ABRAMOVITZ e STEGUN (1972) e CHURCHILL (1972).
No Apêndice C deste documento são apresentadas as transformadas utilizadas neste estudo.
2.3. Equações de Dinâmica dos Fluidos
O escoamento de fluidos pouco compressíveis em meios porosos é regido pela equação
da difusão hidráulica, correspondente à associação dos conceitos e expressões a saber:
• Lei da Conservação de Massas;
• Lei de Darcy e
• Equações de estado, dependentes das espécies de fluido e rocha sob
consideração.
18 A rigor, de forma geral s é complexa. 19 No sentido em que a aproximação da integral correspondente a transformação inversa é realizada através de um somatório baseado em pesos e pontos amostrais pré-definidos. A semelhança é somente esta. O procedimento de Gauss-Legendre é utilizado para aproximação de integrais espaciais. De forma diversa, o de STEHFEST(1970), para transformadas temporais.
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
14
2.3.1. Lei da Conservação de Massas (ou Equação da Continuidade)
Seguindo-se o procedimento de PISKUNOV (S/A): seja um volume, Ω , cuja
porosidade possa ser representada por ( )t,xφ 20 e a permeabilidade por ( )xk , limitado por
uma superfície Γ , descrita através do vetor normal unitário a ela própria externamente
orientado ( )xn , saturado, por simplificação, de um único fluido móvel de massa específica
( )t,xρ que se desloca à velocidade ),( txv . Admita-se, também, a presença de fontes (ou
sumidouros) dispersas no domínio, representadas pelo conjunto de suas vazões específicas
volumétricas ( )tq w ,~ x . Seja conhecida a massa que este sistema porta num instante de
tempo t.
Considerando-se que a influência ocasionada por algum presumível campo
gravitacional possa ser desprezível para fins de cálculo, pode-se estabelecer, pela lei da
conservação de massas, que:
0=∆+∆+∆=∆∑ ρMMMM
we. (2.11)
Ou seja, se nenhuma massa é criada ou extinta durante um período de tempo t∆ ,
necessariamente, a soma das diversas variações consideradas deve ser nula. Portanto, ao
balanço de entrada e saída de fluidos pelas fronteiras do corpo, e
M∆ , e pelas fontes
possivelmente existentes no domínio, w
M∆ , corresponde a variação de massa no interior
do corpo, ρ
M∆ .
O primeiro termo da equação (2.11) pode ser calculado por:
dtdMtt
te
Γ⋅=∆ ∫ ∫∆+
Γ
nvρ , (2.12)
onde Γd se refere a um elemento infinitesimal de superfície.
Pode-se verificar, por simples inspeção de coerência entre as unidades, que o resultado
da integral acima reflete efetivamente uma quantidade de massa.
20 A porosidade representa um papel curioso. Em princípio é considerada como função dependente da queda de pressão e, por conseguinte, do tempo. Mais adiante, essa dependência é abandonada, para que a equação da difusão hidráulica seja tornada linear.
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
15
A aplicação do teorema da divergência - expressão (2.1) - à equação (2.12) redunda em:
( ) dtdMtt
te
Ω⋅∇=∆ ∫ ∫∆+
Ω
vρ . (2.13)
A variação de massa devida à concorrência de fluidos provenientes de fontes internas
ao domínio pode ser calculada diretamente por:
dtdqMtt
tw
Ω=∆ ∫ ∫∆+
Ω
~ρ . (2.14)
Com efeito, a vazão específica volumétrica, q~ , pode ser transformada em vazão
mássica através de sua simples multiplicação pela massa específica do fluido em objeto,ρ .
Naturalmente, a integral deve ser calculada em porções do domínio, Ω , onde haja fontes. É
importante ressaltar, ainda, que este resultado será positivo quando a taxa de injeção for
maior do que a de retirada de fluidos21.
Por seu turno, a variação da quantidade de massa no interior do domínio pode ser
expressa por:
( ) dtdt
Mtt
t
Ω∂∂=∆ ∫ ∫
∆+
Ω
ρφρ22,23. (2.15)
Finalmente, com o estabelecimento da igualdade (2.11) chega-se a:
( ) ( ) 0~ =Ω∂∂+Ω+Ω⋅∇ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫
∆+
Ω
∆+
Ω
∆+
Ω
dtdt
dtdqdtdtt
t
tt
t
tt
t
ρφρρv . (2.16)
Ou, agrupando-se as integrais:
21 Freqüentemente e por simples convenção, na literatura especializada, se encontra a retirada como positiva. Mais adiante, o sinal desta variação está de acordo com a orientação do vetor normal em relação à superfície considerada. 22 A variação associada à porção sólida (rochosa) é habitualmente negligenciada. 23 A rigor, para o cálculo dessa quantidade só é necessário o conhecimento prévio das massas internas inicial e
da final do sistema, posto que: ( ) ( ) ( ) Ω−=Ω∂∂
∫∫ ∫Ω
∆+Ω
∆+
dddtt ttt
tt
t
ρφρφρφ .
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
16
( ) ( ) 0~ =Ω
∂∂++⋅∇∫ ∫
∆+
Ω
dtdt
qtt
t
ρφρρv . (2.17)
Mas como tanto o intervalo de tempo considerado nos cálculos quanto a forma a que se
restringe o domínio de avaliação são arbitrários resulta que o integrando de (2.17) deve ser
nulo. Portanto:
( ) ( ) 0~ =∂∂++⋅∇ ρφρρt
qv . (2.18)
A equação (2.18) é a lei de conservação de massas para escoamento de fluidos pouco
compressíveis em meios porosos.
Cumpre notar, ademais, que para a completa definição do problema existe a
necessidade de equações complementares que correlacionem a velocidade de fluxo, a massa
específica do fluido móvel e a porosidade do meio com a grandeza física passível de
medição em campo24 – a queda de pressão.
2.3.2. Lei de Darcy
A lei de Darcy, que estabelece a relação, para um meio poroso, entre a velocidade
macroscópica, v, e o potencial de fluxo entre duas posições, Φ , pode ser expressa, em
termos gerais, por:
Φ∇−= kvµρ
, (2.19)
onde os parâmetros µ e ρ são, respectivamente, a viscosidade dinâmica e a massa
específica do fluido em movimento. O sinal negativo indica que o escoamento se dá da
posição de maior potencial para a de menor.
O tensor de segunda ordem k corresponde às permeabilidades do meio poroso para o
caso geral anisotrópico, conforme a relação:
24 Ao lado da vazão das fontes (ou sumidouros).
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
17
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
kkk
kkk
kkk
k . (2.20)
O potencial de fluxo, segundo RAGHAVAN (1993), pode ser expresso por:
( )2
' 2
00
mp
p
vzzg
dp +−+=Φ ∫ ρ, (2.21)
onde os valores 0p e 0z correspondem, respectivamente, à pressão e à cota num nível de
referência. A velocidade média microscópica é representada por mv e a aceleração da
gravidade por g. Os três termos do segundo membro da igualdade acima estão relacionados,
nesta ordem, a: energia decorrente de forças viscosas, energia potencial e energia cinética.
Na grande maioria dos problemas de escoamento de fluidos pouco compressíveis em
meios porosos e na totalidade dos casos analisados neste trabalho as forças viscosas
dominam completamente a resposta, sendo, portanto, natural se desprezar o 2º e o 3º termos
de (2.21).
Utilizando-se o teorema do valor médio e tendo-se em mente as considerações acima
expostas, o gradiente da expressão (2.21) fica reduzido a:
u∇≈Φ∇ρ~1
, (2.22)
com ρ~ respresentando uma massa específica média e com a queda de pressão sendo
definida como
0ppu −= 25, (2.23)
onde 0p é a pressão inicial do reservatório.
Substituindo-se a expressão (2.22) na equação (2.19) e admitindo-se, em adição,
existência de pequenos gradientes de pressão no meio poroso, chega-se à lei de Darcy
generalizada num dos formatos de interesse:
25 Note-se que tal definição é coerente com a de injeção de fluido positiva, citada anteriormente.
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
18
u∇−=µk
v . (2.24)
A expressão acima, escrita em termos matriciais, para um domínio bidimensional, por
exemplo, é:
∂∂∂∂
−=
yu
xu
kk
kk
v
v
yyyx
xyxx
y
x
µ1
. (2.25)
Evidentemente, se o meio poroso é homogêneo e isotrópico26, o tensor k pode ser
tratado como uma grandeza escalar. Assim sendo, a equação (2.24) também pode ser escrita
como:
uk ∇−=µ
v . (2.26)
Considerando-se, ainda, que vazão infinitesimal, dq, e velocidade de um fluido que
perpassa um elemento de área infinitesimal,wdΓ , se relacionam por
wddq Γ⋅= nv , (2.27)
a expressão (2.26) ainda pode assumir a forma
∫Γ
Γ⋅∇−=w
wduk
q nµ
. (2.28)
Esta expressão determina a vazão de fluido que atravessa a superfície delimitada por wΓ
- por exemplo, a de um poço de petróleo.
Se, adicionalmente, a transposição de fluido a esta superfície se dá de maneira
uniforme, a expressão (2.28) ainda pode ser simplificada para27:
26 Ou mesmo ortotrópico, com a devida transformação no sistema de coordenadas.
27 Observe-se que n
uu
∂∂=⋅∇ n e µφη tck= .
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
19
wn
u
c
q
t Γ∂∂−= η
φ
~. (2.29)
A vazão específica (ou vazão por unidade de área de fonte interna) deve ser, neste caso,
definida por:
∫Γ
Γ=w
wdqq~ . (2.30)
Por motivos elementares, na igualdade (2.29) a derivada nu ∂∂ deve ser avaliada na
superfície interna ao domínio considerada. O parâmetro tc representa a compressibilidade
total do sistema e é definido adiante.
2.3.3. Equações de Estado
fluido
A compressiblidade isotérmica28 de um fluido é definida como a variação relativa entre
seu volume, V, e pressão a ele aplicada, p, e pode ser expressa por:
Tp
V
Vc
∂∂−= 1
, (2.31)
ou, ainda, considerando a definição (2.23) e que 1=∂∂ pu :
Tu
V
Vc
∂∂−= 1
. (2.32)
O sinal negativo indica que uma diminuição da pressão aplicada induz um aumento do
volume de fluido e vice-versa.
Da definição de massa específica de um fluido se tem que:
ρm
V = . (2.33)
28 As variações de temperatura durante a operação de um poço de petróleo são habitualmente ignoradas. Todas as propriedades consideradas, por simplificação, como constantes, são avaliadas à pressão e à temperatura iniciais do reservatório.
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
20
Sendo a massa, m, constante, a derivada da igualdade (2.33) deve ser calculada como:
u
m
p
V
∂∂−=
∂∂ ρ
ρ 2. (2.34)
Finalmente, a substituição das expressões (2.33) e (2.34) em (2.32) fornece:
Tuc
∂∂= ρ
ρ1
. (2.35)
Portanto, a compressibilidade de um fluido também pode ser calculada pela variação
relativa entre sua massa específica e a queda de pressão a ele aplicada.
Rocha
Analogamente, a compressibilidade isotérmica efetiva de uma rocha reservatório, cr, é
definida por:
T
r p
V
Vc
∂∂= 1
, (2.36)
ou, pelos mesmos motivos usados na definição da equação (2.32),
Tr u
V
Vc
∂∂= 1
. (2.37)
Todavia, diferente do que ocorre em (2.31), a relação entre variação de pressão e
variação de volume é direta. Isto é, a diminuição da pressão aplicada à rocha conduz a
diminuição do espaço poroso.
Por definição, o volume poroso de uma rocha relaciona-se ao seu volume total, Vt, por:
tVV φ= . (2.38)
Sendo Vt aproximadamente constante, a derivada de (2.38) em relação à queda de
pressão vale:
uV
u
Vt ∂∂≈
∂∂ φ
. (2.39)
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
21
Pela substituição de (2.38) e (2.39) em (2.32) vem:
ucr ∂
∂≈ φφ1
. (2.40)
2.4. Equação da Difusão Hidráulica
Conforme mencionado anteriormente, a equação da difusão hidráulica resulta da
composição entre as equações abaixo resumidas.
• Equação da continuidade
( ) ( ) 0~ =∂∂++⋅∇ ρφρρt
qv ,
• Lei de Darcy
u∇−=µk
v ,
• Equações de estado
Tuc
∂∂= ρ
ρ1
e
ucr ∂
∂≈ φφ1
.
Como tal, carrega em seu seio todas as hipóteses simplificadoras anteriormente
relacionadas.
A obtenção de sua forma sintética desejada pode ser estabelecida através do
procedimento abaixo descrito.
Primeiramente, substitui-se (2.26) em (2.18) e transfere-se o terceiro termo para o
segundo membro, resultando em:
( )ρφρρµ t
qu∂∂−=+
∇⋅∇− ~k. (2.41)
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
22
Expandindo-se as derivadas dos produtos de ambos os lados da equação anterior e
multiplicando-a inteiramente por (-1), vem:
ttquu
∂∂+
∂∂=−∇⋅∇+
∇⋅∇ ρφφρρρµµ
ρ ~kk. (2.42)
Dividindo-se (2.42) por ρ , tendo em conta que uu∇∂∂=∇ ρρ , e colocando-se φ
em evidência no segundo membro, chega-se a:
( )
∂∂+
∂∂=−∇
∂∂+
∇⋅∇tt
qup
uρ
ρφ
φφρ
ρµµ11~1 2kk
. (2.43)
Como φ e ρ dependem da pressão, as seguintes igualdades se aplicam:
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂
∂∂=
∂∂
.t
u
ut
t
u
utρρ
φφ
(2.44)
Tendo em vista as transformações acima e introduzindo-se as equações de estado (2.35)
e (2.40) vem:
( )t
ucqucu t ∂
∂=−∇+
∇⋅∇ φµµ
~2kk (2.45)
Onde ct é a compressibilidade total do sistema e seu valor resulta da soma da
compressibilidade do fluido com a da rocha29.
rt ccc += (2.46)
Convém notar que o segundo termo da equação (2.45) pode ser desprezado, pois
corresponde à multiplicação entre duas quantidades pequenas em relação às demais: a
compressibilidade de um fluido pouco compressível e o quadrado do gradiente da queda de
pressão.
29Para o caso de um único fluido saturando os poros da rocha.
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
23
Ademais, admitindo-se que a viscosidade do fluido possa ser considerada
aproximadamente constante30 e com a divisão de toda a equação (2.45) por tcφ , chega-se a
uma versão de interesse da equação da difusão hidráulica, a seguir:
( )t
u
c
qu
c tt ∂∂=−∇⋅∇
φφµ
~1k . (2.47)
Em adição, se o domínio de interesse é regionalmente homogêneo e ortotrópico e se a
orientação cartesiana dos eixos coordenados coincide com as direções principais de
permeabilidade, a equação (2.47) pode ainda assumir a forma:
t
u
c
q
y
u
c
k
x
u
c
k
tt
y
t
x
∂∂=−
∂∂+
∂∂
φφµφµ
~2
2
2
2
. (2.48)
Por fim, pode-se mostrar com certa facilidade, que se se operar em (2.48) uma
transformação de coordenadas do tipo ( )
→ y
k
kx
k
kyx
yx
,, , com k sendo um valor de
referência (por conveniência: yxkkk = ) esta expressão será conduzida a forma
correspondente ao caso isotrópico (ver Apêndice B). Ou seja,
t
u
c
qu
t ∂∂=−∇
φη
~2 , (2.49)
com
tc
k
φµη = (2.50)
sendo a constante de difusão hidráulica.
Caso não haja atuação de fonte ou sumidouro no domínio do problema31, a expressão
(2.49) assume a compacta forma:
30 Essa simplificação é de crucial importância para a linearidade da equação. 31 O escoamento em reservatórios de petróleo é causado pela produção de (injeção em) poços. Deste modo, na prática, sempre há sumidouros (fontes) presentes no domínio. A incorporação matemática de tais elementos pode se dar pela consideração da equação (2.49), diretamente, ou por condição de contorno aplicada à expressão (2.51), de forma indireta.
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
24
02 =∂∂−∇
t
uuη . (2.51)
As expressões (2.47), (2.49) e (2.51) são, notadamente, equações diferenciais parciais
de 2ª ordem.
Com efeito, a variável de interesse quando da solução da equação de difusão hidráulica
– a queda de pressão - é dependente do tempo e do espaço.
2.5. Condição Inicial, Condições de Contorno e Condições de
Interface Empregadas
2.5.1. Condição Inicial
Na totalidade dos casos práticos investigados neste trabalho, a pressão inicial do
reservatório é considerada constante e uniforme para um nível especificado de referência32.
As causas que fundamentam tal escolha são basicamente três:
a) Ora, quando um poço é posto pela primeira vez em produção num domínio ainda
virgem, é justamente nesta condição que o parâmetro é encontrado. É suposto que o
reservatório encontre-se em equilíbrio, atingido após longo processo em escala geológica;
b) As posições dos poços e seus históricos de produção são – ou, ao menos deveriam ser –
registrados com toda a diligência presumível. Com essas informações, a partir da
superposição dos efeitos no tempo e no espaço33 , caso se conheça com exatidão o sistema,
é possível obter o potencial em posição e tempo especificados;
c) Ademais, não é plausível se proceder de outra forma, posto que a única maneira de se
acessar ( )tu ,x é através de registros em poços.
Deste modo, a condição inicial é expressa por:
( ) 00, ptp ==x (2.52)
Ou ainda,
32 Cota ou profundidade. 33 Como já se viu, a equação da difusão hidráulica, com as hipóteses simplificadoras adotadas, constitui-se numa expressão linear e como tal admite superposição dos efeitos.
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
25
( ) ( ) 00,0, 0 =−=== ptptu xx . (2.53)
2.5.2. Condições de Contorno
As condições de contorno formuladas para fins deste trabalho são:
a) Queda de pressão prescrita (condição de contorno de Dirichlet)
( ) utu e ˆ, =x ; (2.54)
b) Derivada da queda de pressão na direção normal ao contorno prescrita (condição de
contorno de Neumann)
( ) ( )n
tu
n
tu ee
∂∂=
∂∂ ,ˆ, xx
. (2.55)
Destas, a mais largamente utilizada na prática é ( )
0,ˆ
=∂
∂n
tu ex, para representação dos
limites físicos do reservatório.
Quando há presença de um aqüífero de potência considerável nas cercanias da formação
também é comum se lançar mão de ( ) 0, =tu ex na porção correspondente a tal ocorrência.
2.5.3. Condições de Interface
Caso o meio poroso seja dividido em regiões de propriedades distintas, duas condições
de continuidade devem ser asseguradas em suas interfaces. Quais sejam:
a) De compatibilidade entre as quedas de pressão – ou seja, pressões na interface,
calculadas em função dos parâmetros de cada região a que ela pertença, devem ser
idênticas;
b) De equilíbrio entre os fluxos – os fluxos na interface, calculados em função dos
parâmetros de cada região a que ela pertença, devem ter mesma magnitude e sentidos
opostos34.
34 Considerando-se que as regiões correspondentes a interface, avaliadas de forma isolada, sejam orientadas por vetores normais unitários apontados para o exterior.
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
26
2.6. Superposição no Espaço
O Princípio da Superposição no Espaço preconiza que a queda de pressão numa posição
x de um reservatório de petróleo corresponde à soma entre os efeitos causados, naquela
posição, pela produção dos poços operados no domínio e pelas barreiras ao fluxo ali
existentes, representados genericamente por suas respectivas localizações xj . Ou,
matematicamente:
( ) ( )∑=
−=N
jj tutu
1
,, xxx , (2.56)
onde N representa o total de ocorrências35.
Método das Imagens O Método das Imagens constitui-se num artifício matemático freqüentemente adotado
para o cálculo de limites de reservatório.
Por exemplo, seja um poço de petróleo produzido à vazão q, situado a uma distância L
de uma barreira selante de extensão infinita para o tempo considerado nos cálculos, tal qual
a representada na Figura 2.2a.
Figura 2.2 - Aplicação do Método das Imagens.
35 Poços e barreiras ao escoamento.
a) sistema real b) sistema equivalente
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
27
De acordo com o Método das Imagens, a queda de pressão numa posição qualquer do
sistema apresentado na Figura 2.2a pode ser calculada através do sistema equivalente
revelado na Figura 2.2b.
Tal assertiva é baseada na configuração das idênticas linhas de corrente desenvolvidas
nos dois sistemas. É importante notar que um poço imaginário, posicionado a 2L do poço
real, também deve ser considerado como produzido à taxa q.
Assim sendo, no caso em tela, lançando-se mão do Método das Imagens, a queda total
de pressão num ponto x qualquer pode ser calculada por (2.56), tomando-se N=2 (1 poço
real e 1 imaginário), neste caso.
Seguindo-se o mesmo raciocínio, a queda de pressão numa posição x, derivada da
produção de um poço situado nas cercanias de uma dupla de barreiras que perfazem um
ângulo reto entre si (ver Figura 2.3a e b), também pode ser calculada através de (2.56),
sendo, desta vez, N=4 (1 poço real e 3 imaginários).
Ora, por extensão deste exercício ou por simples inspeção é possível perceber que a
generalização do raciocínio correspondente aos exemplos anteriores implica em que a
quantidade de termos da somatória em (2.56), N, pode ser calculada por:
θπ2=N , (2.57)
sendo θ o ângulo interno da dupla de barreiras (ver Figura 2.3c).
Figura 2.3 - Barreiras ao fluxo: em ângulo de 90º e em ângulo qualquer.
a) a 90º: sistema real b) a 90º: sistema equivalente c) em ângulo qualquer
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
28
Para a consideração da expressão (2.56), o valor N deve ser obrigatoriamente inteiro36.
2.7. Superposição no Tempo (Convolução)
Seguindo-se o procedimento de RAGHAVAN (1993): seja um reservatório de
petróleo isotrópico, inicialmente em equilíbrio37, submetido à produção de fluido a
partir de um único poço, regida pela equação da difusão hidráulica, conforme
( ) ( )0
,,2 =
∂∂−∇
t
tutu
xxη , (2.58)
ou, no espaço transformado de Laplace,
( ) ( ) 0,,2 =−∇ sussu xxη . (2.59)
Admitindo-se, inicialmente, que a referida produção se dê por taxa constante, no
próprio poço deve ser observada a condição dada pela lei de Darcy (2.29), que
transformada para o espaço de Laplace pode ser escrita como:
( )w
n
suk
s
q cc
Γ∂∂
−=,~ x
µ. (2.60)
Admita-se que se conheça a solução do problema até aqui exposto, representada
por ( )suc ,x , com o índice c fazendo referência à vazão constante.
Se ( )suc ,x é solução do problema descrito, conseqüentemente ( ) ( )susu c ,, xx =
respeita a igualdade (2.59).
Agora, por outra, imaginando-se um esquema de vazões variáveis em lugar da
produção à taxa constante, a condição de contorno no poço passa a:
( ) ( )w
n
suksq
Γ∂∂−= ,~ x
µ. (2.61)
Para este segundo caso, pode-se provar que com
36 Neste caso, as possibilidades de θ se restringem aos divisores de π2 . 37 Portanto, com ( ) 00, ==tu x .
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
29
( ) ( ) ( )sussqq
su cc
,~~1
, xx = (2.62)
a equação diferencial (2.59) é satisfeita38. Isto é, a expressão (2.62) é solução da
igualdade (2.59), para a condição de contorno (2.61).
Assim, a resposta de um sistema submetido a vazões variáveis se relaciona com a
com a resposta deste mesmo sistema operado à taxa constante por (2.62).
Ademais, observando-se que
( ) ( )t
tususL c
c ∂∂=− ,
,1 xx , se ( ) 00, ==tuc x , (2.63)
chega-se ao teorema da convolução39,40 no espaço real original,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττdt
t
u
q
q
t
tu
q
tqtu
tc
c
c
c
−∂
∂=∂
∂= ∫ ,,
*,0
xx
x . (2.64)
Portanto, a queda de pressão num ponto qualquer de um reservatório de petróleo,
num dado instante, pode ser calculada pela convolução – representada pelo símbolo (*)
- entre a derivada temporal da resposta do sistema à vazão constante e o histórico de
vazões considerado.
Se o tal histórico de vazões varia sob a forma de N degraus41 então a expressão
(2.64) pode ser simplificada para:
( ) ( ) ττ dtt
uq
qtu
j
j
t
t
cN
jj
c
−∂
∂= ∫∑−
=
,1
,1
1
xx . (2.65)
38 Curiosamente, o quociente entre (2.61) e (2.60) seguido de rearranjo dos termos produz:
( ) ( ) ( )n
sussq
qn
su c
c ∂∂
=∂
∂ ,~~1, xx
.
39 Também conhecido como Princípio de Duhamel. 40 Note-se que ( ) ( ) cc qtqqtq =~~ . 41 Geralmente as mudanças substanciais de vazão em poços de petróleo são ocasionadas por troca de estranguladores de fluxo (chokes) alocados nas linhas de produção. Como estes elementos têm diâmetro de passagem discretos, sua troca acarreta mudança brusca de vazão. Portanto, a vazão costuma variar em degraus.
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
30
A integral anterior pode ser prontamente calculada, com o artifício de uma
transformação de variáveis do tipo:
ατ =−t . (2.66)
Neste caso, a expressão (2.65) passa a ser:
( ) ( ) ( )[ ]∑=
− −−−=N
jjcjcj
c
ttuttuqq
tu1
1 ,,1
, xxx , (2.67)
com ( ) 0=− ttuc , evidente.
Por outra, expandindo-se o somatório e reagrupando-se os termos passa-se a ter que:
( ) ( )∑=
−− −−=N
jjcjj
c
ttuqqq
tu1
11 ,1
),( xx , (2.68)
com 00 =q , N sendo o período em exame e j sendo o contador dos períodos (degraus).
2.8. Soluções Analíticas para Escoamento de Fluidos em
Meios Porosos Baseadas em Funções de Green
2.8.1. Conceitos Preliminares – Delta de Dirac
O delta de Dirac, δ , ilustrado na Figura 2.4, é definido como um impulso unitário e
instantâneo.
Figura 2.4 – delta de Dirac.
0 t,τ
δ ( ) 10
=−∫∞
ττδ dt
ε
ε1
0→ε
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
31
No domínio do tempo, sua principal propriedade é
( ) ( ) ( )tfdtft
∫ =−0
ττδτ . (2.69)
Adicionalmente, é interessante notar pela simples inspeção da Figura 2.5, que
( ) ( ) ( )tfdtft
∫+
=−ε
ττδτ0
(2.70)
e
( ) ( ) 00∫−
=−ε
ττδτt
dtf . (2.71)
Figura 2.5 – Convolução com o delta de Dirac.
Analogamente a (2.69), para o domínio espacial se pode escrever que:
( ) ( ) ( )ξxξx fdf =Ω∫Ω
,δ . (2.72)
Além disso, pela combinação de (2.69) e de (2.72), para um domínio espaço-temporal
se tem:
0
ε+t t τ
ε−t
( )τf
τ−t
( )τδ −t
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
32
( ) ( ) ( ) ( )tfddtft
,,,0
ξxξx =Ω−∫ ∫Ω
ττδδτ . (2.73)
A própria definição do delta de Dirac neste último caso, estabelece que:
( )
≠−≠==−=∞→
−+
+
0,0
0,,,
ττ
τtou
tetf
ξx
ξxxξ . (2.74)
Onde o índice “+” sobre o zero indica que o impulso já tenha sido efetivado42.
2.8.2. Funções de Green
Sem muito rigor matemático, seja uma equação diferencial não homogênea típica das
manipuladas no presente estudo:
( ) ( )tftLu ,, xx = , (2.75)
com L representando um operador linear e u e f funções escalares quaisquer, dependentes
de tempo e espaço.
A função de Green para (2.75), ( )τ−tg ,,xξ , de interesse para este trabalho, é aquela
que honra a seguinte igualdade:
( ) ( ) ( )τδξδτξ −−=− ttgL xx ,,,* , (2.76)
com L* sendo operador diferencial adjunto43 a L e δ o delta de Dirac.
Convém notar que ( )τ−tg ,,xξ também é um impulso e, como tal, respeita a
propriedade (2.73). Em conseqüência:
( ) ( ) ( )tfddtgft
,,,,0
ξxξx =Ω−∫ ∫Ω
τττ . (2.77)
Além do mais, se por definição o impulso é unitário, então para todo e qualquer t,
obrigatoriamente:
42 Até mesmo ( ) 00,, =−xξf . 43 Operador adjunto é aquele que permite estabelecer: gLugLu *,, = .
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
33
( ) 1,, =Ω∫Ω
dtg xξ .
As funções de Green, de fato, são distribuições e também são conhecidas como
soluções fundamentais.
2.8.3. Equação Integral Ponderada da Difusão – Ponto-fonte Pertencente
ao Domínio
Seja um domínio bidimensional isotrópico, Ω , limitado externa e internamente por
curvas representadas por eΓ e wΓ , respectivamente, com a fronteira externa denotando os
limites físicos do reservatório e a interna fazendo o papel de poços.
A Figura 2.6 é um desenho esquemático representativo da espécie de domínio em
questão. Note-se que as fronteiras externas podem estar sujeitas a dois tipos de condição de
contorno: queda de pressão prescrita ou derivada normal de queda de pressão prescrita. As
fronteiras internas (fontes) são admitidas exclusivamente como de fluxo prescrito.
Figura 2.6 – Domínio Considerado.
Seja o escoamento neste domínio governado pela equação diferencial (2.58), com o
tempo sendo aqui denotado por τ , ou seja
( ) ( )0
,,2 =
∂∂−∇
t
uu
ττη xx . (2.78)
ξξξξ
x
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
34
Ponderando-se (2.78) por uma função de natureza conhecida ( )τ,xw 44 e integrando-se
no domínio do problema passa-se a ter:
( ) ( ) ( ) ( ) 0,
,,0
2 =Ω
∂∂−∇∫ ∫
Ω
t
ddt
uuw τττητ x
xxx , (2.79)
ou separando-se os termos,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,
,,,00
2 =Ω∂
∂−Ω∇ ∫ ∫∫ ∫ΩΩ
tt
ddt
uwdduw ττττττη x
xxxxx . (2.80)
Com o objetivo de transferir os operadores lineares da função incógnita, u, para a
função de ponderação, w, pode-se aplicar sucessivamente a regra de multiplicação de
derivadas, mencionada no capítulo anterior. Neste caso:
( ) uwuwuw ∇⋅∇−∇⋅∇=∇2 (2.81)
e
( ) wuwuuw 2∇−∇⋅∇=∇⋅∇ . (2.82)
Mormente, da combinação de (2.81) e (2.82) se tem que
( ) ( ) wuwuuwuw 22 ∇+∇⋅∇−∇⋅∇=∇ . (2.83)
Da mesma forma, para a derivada temporal,
( )t
wuwu
tt
uw
∂∂−
∂∂=
∂∂
. (2.84)
Aplicando-se, agora, a (2.80) as transformações (2.83) e (2.84) chega-se a:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .0,,
,,,
,,,,
0
0
2
0
=Ω
∂∂−
−Ω
∂∂+∇+
+Ω∇⋅∇−∇⋅∇
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Ω
Ω
Ω
τττ
τττητ
τττττη
ddt
uw
ddt
wwu
ddwuuw
t
t
t
xxx
xx
xx
xxxxx
(2.85)
44 Função obrigatoriamente de classe igual ou superior a de u.
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
35
Observe-se que o 2º termo da expressão (2.85) contém a equação adjunta a (2.78). Para
que este termo possa ser avaliado de forma simples e direta convém admitir que ( )τ,xw
seja substituída pela função de Green para o problema em estudo, ( )τ−tg ,,xξ .
Assim sendo, como por definição a função ( )τ−tg ,,xξ satisfaz a equação adjunta ao
problema original (2.76) então aplica-se:
( ) ( ) ( ) ( )τδδττη −−=∂
−∂+−∇ tt
tgtg xξ
xξxξ ,
,,,,2 . (2.86)
Pela aplicação de ( )τ−tg ,,xξ em lugar de ( )τ,xw associada à consideração de (2.86),
a expressão (2.85) passa a ser expressa por:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) .0,,,
,,
,,,,,,
0
0
0
=Ω
∂−∂−
−Ω−−+
+Ω−∇⋅∇−∇−⋅∇
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
−
Ω
−
Ω
−
Ω
τττ
ττδδτ
τττττη
ε
ε
ε
ddt
utg
ddtu
ddtguutg
t
t
t
xxxξ
xxξx
xxξxxxξ
(2.87)
Note-se que para que seja evitada a avaliação das integrais temporais em condição de
singularidade45, como artifício matemático subtrai-se46 um curto período de tempo a seus
limites superiores, ε . Posteriormente, se extrai o limite para 0→ε .
O 1º termo de (2.87) pode ser calculado, de acordo com o teorema da divergência
(equação (2.1)), como:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .,,
,,
,,
,,,,,,lim
0
0
0
∫ ∫
∫ ∫
Γ+Γ
−
Ω→
Γ
∂−∂−
∂∂−=
=Ω−∇⋅∇−∇−⋅∇
t
t
we
ddn
tgu
n
utg
ddtguutg
τττττ
τττττε
ε
xxξ
xx
xξ
xxξxxxξ
(2.88)
Considerando-se a propriedade (2.71), o 2º termo de (2.87) pode ser calculado como47:
45 Seus limites superiores remetem a condição em que o impulso é infinito 46 Ou soma-se. 47 Valendo-se, adicionalmente, da condição expressa por (2.74).
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
36
( ) ( ) ( ) ( ) .0,,lim0
0 =Ω−− ∫ ∫−
Ω→
ε
ε ττδδτt
ddtu xxξx (2.89)
Finalmente, tendo em mente as condições (2.69) e (2.72), do 3º termo de (2.87) se tem
que:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ).,,,,
,,,,,,lim
0
00
∫
∫
Ω=
=Ω
−=→
Ω−−=
=Ω−−−
xξxξξ
xxxξxxξ
dutgtu
dutgutg t
τ
τετε
ττ
ττττ (2.90)
Substituindo-se as transformações (2.88), (2.89) e (2.90) na expressão original, (2.87),
chega-se a:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) .0,,,,
,,,
,,,
0
0
=Ω+−
−Γ
∂−∂−
∂∂−
∫
∫ ∫
Ω=
Γ+Γ
xξxξξ
xxξ
xx
xξ
dutgtu
ddn
tgu
n
utg
t
we
ττ
τττττη (2.91)
Ou, reorganizando-se os membros:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ).,,,
,,,
,,,,
0
0
∫
∫ ∫
Ω=
Γ+Γ
Ω+
+Γ
∂−∂−
∂∂−=
xξxξ
xxξ
xx
xξξ
dutg
ddn
tgu
n
utgtu
t
we
ττ
τττττη (2.92)
O primeiro termo do segundo membro de (2.92) ainda pode ser subdividido entre
fronteiras externas e internas, ou precisamente, limites do reservatório e fontes internas ao
domínio. Isto é:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ).,,,
,,,
,,,
,,,
,,,,
0
0
0
∫
∫ ∫
∫ ∫
Ω=
Γ
Γ
Ω+
+Γ
∂−∂−
∂∂−+
+Γ
∂−∂−
∂∂−=
xξxξ
xxξ
xx
xξ
xxξ
xx
xξξ
dutg
ddn
tgu
n
utg
ddn
tgu
n
utgtu
t
t
e
w
ττ
τττττη
τττττη
(2.93)
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
37
Este resultado está em consonância com o princípio da superposição, apresentado no
item 2.6. A expressão (2.93) pode ser traduzida matematicamente ou compactada para:
( ) ( ) ( ) ( )0,,,, ξutututuew
++= ξξξ , (2.94)
onde o ( )w
tu ,ξ refere-se à queda de pressão total causada pelas fontes existentes no
domínio; o termo ( )e
tu ,ξ está associado à influência dos limites externos e ( )0,ξu
determina a distribuição inicial dos potenciais.
Portanto,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫Γ
Γ
∂−∂−
∂∂−=
t
w
w
ddn
tgu
n
utgtu
0
,,,
,,,, τττττη x
xξx
xxξξ . (2.95)
Adotando-se, daqui por diante, unicamente fontes de dimensões infinitesimais e de
vazão especificada48, a expressão (2.95) se torna:
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫Γ
Γ∂
∂−=t
w
w
ddn
utgtu
0
,,,, τττη x
xxξξ , (2.96)
Em adição, considerando-se que a admissão de fluido pelas fontes se dê de modo
uniformemente distribuído, a igualdade (2.96) se reduz a:
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫Γ
Γ−∂
∂=t
w
w
ddtgn
utu
0
,,, τττη xxξξ . (2.97)
Ademais, pela introdução da lei de Darcy no formato de (2.29) em (2.97) se tem que
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫Γ
Γ−=t
tw
w
ddtgqc
tu0
,,~1, τττ
φxxξξ , (2.98)
uma vez que
tck φµη 1= . (2.99)
48 Como é hábito na indústria do petróleo.
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
38
Interpondo-se o resultado (2.98) na expressão inicial (2.93) chega-se a:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ).,,,,,~1
,,,
,,,,
00
0
∫∫ ∫
∫ ∫
Ω=
Γ
Γ
Ω+Γ−+
+Γ
∂−∂−
∂∂−=
xξxξxxξ
xxξ
xx
xξξ
dutgddtgqc
ddn
tgu
n
utgtu
t
t
t
w
e
τττττφ
τττττη
(2.100)
Esta equação indica que para se obter a queda de pressão total num ponto qualquer do
domínio, ( )tu ,ξ , eventualmente há necessidade de se conhecer a distribuição inicial das
quedas de pressão ao longo do reservatório. Contudo, na quase totalidade dos casos práticos
observados na indústria petrolífera e na totalidade dos casos investigados neste trabalho,
essa distribuição é assumida como constante e uniforme para 0=t , resultando que a
integral a ser calculada sobre o domínio desaparece. Restam apenas integrais temporais e de
contorno, conforme a expressão49:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .,,~1
,,,
,,,,
0
0
∫ ∫
∫ ∫
Γ
Γ
Γ−+
+Γ
∂−∂−
∂∂−=
t
t
t
w
e
ddtgqc
ddn
tgu
n
utgtu
τττφ
τττττη
xxξ
xxξ
xx
xξξ
(2.101)
Esta, finalmente, constitui expressão valiosíssima para desenvolvimento deste estudo.
Revela que para que se conheça o potencial em qualquer ponto do domínio, ξ , em um
determinado tempo, t , basta que se conheçam as propriedades do sistema, as vazões a ele
impostas e as quedas de pressão e suas derivadas em cada ponto do contorno –
representados por x50.
49 Por inspeção, pode-se notar que xe ξ são intercambiáveis. Observe-se também que o mesmo resultado
poderia ser obtido com a consideração de fontes já na equação da difusão, a partir de (2.49). 50 Ponto-campo. Para a determinação do potencial numa posição de cálculo, ξ , o ponto-campo deve percorrer
todo o contorno Γ .
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
39
No entanto, estas duas quantidades – quedas de pressão e suas derivadas no contorno –
não são a priori inteiramente conhecidas51. É necessário, pois, calculá-las. Para tanto, pode-
se posicionar o ponto-fonte, ξ , no próprio contorno.
Para se proceder desta maneira, é necessário, antes, examinar como (2.101) se comporta
no contorno de Ω .
2.8.4. Equação Integral Ponderada de Difusão – Ponto-fonte Pertencente
ao Contorno
Esteja o ponto-fonte posicionado a uma pequena distância, ε , de um vértice de
contorno qualquer definido por um ângulo θ (ver Figura 2.7a).
Figura 2.7 - Fonte nas proximidades de um vértice de contorno.
Considerando-se o Princípio da Superposição no Espaço e o Método das Imagens, já
aludidos anteriormente, o efeito causado por uma fonte aplicada em ξ , distante ε do
vértice, pode ser calculado através do sistema equivalente (ver Figura 2.7b), pela expressão:
( ) ( )∑=
Σ=
N
jj tgtg
1
,,,, xξxξ . (2.102)
51 Para cada porção do contorno do problema, se conhece, inicialmente, apenas uma delas– condições de contorno. Observe-se a Figura 2.6.
a) sistema real b) sistema equivalente
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
40
O símbolo ( )Σ
tg ,,xξ representa o efeito combinado das N fontes no sistema
equivalente e jξ a posição de cada uma delas.
É importante notar que a magnitude da distância entre cada fonte no sistema
equivalente e o vértice é sistematicamente a mesma (ver Figura 2.7, parâmetro ε )
Fazendo-se com que a fonte e, por conseguinte, suas imagens se aproximem do vértice,
(2.102) passa a ser:
( ) ( )
= ∑
=→Σ
N
jjε
tgtg1
0 ,,lim,, xξxξ . (2.103)
A consideração expressa pelo limite acima implica em que todas as fontes do sistema
equivalente passem a ocupar a mesma posição Vξ . Assim sendo, a expressão (2.103) resulta
em:
( ) ( )tNgtg V ,,,, xξxξ =Σ
, (2.104)
com Vξ sendo a coordenada do vértice e
θπ2=N ,
conforme já discutido em 2.652.
Tendo-se em vista a equação (2.57) e aplicando-se agora a solução fundamental,
correspondente ao desenvolvimento anterior, na equação integral (2.101) passa-se a ter:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∫ ∫
∫ ∫
Γ
Γ
Γ−+
+Γ
∂−∂−
∂∂−=
t
t
t
w
e
ddtgqc
ddn
tgu
n
utgtuc
0
0
,,~1
,,,
,,,,
τττφ
τττττη
xxξ
xxξ
xx
xξξξ
(2.105)
com
52 Apesar deste resultado ter sido obtido para N inteiro, pode-se provar que esta expressão á válida para qualquer ângulo θ .
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
41
( ) πθ 2=ξc e Γ∈ξ . (2.106)
Em particular, em contornos ditos suaves, como o apresentado na Figura 2.8
( ) 2/1=ξc , se Γ∈ξ . (2.107)
Figura 2.8 - Fonte pontual nas proximidades de contorno suave. Sistema equivalente.
Observe-se que a equação (2.101) pode ser representada por (2.105) fazendo-se
( ) 1=ξc .
ε
Fonte pontual Fonte Imaginária
Contorno
ε
x ξ Iξ
x
θ
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
42
2.9. Soluções Fundamentais
Este item é uma espécie de interlúdio neste encadeamento de assuntos. Da
filosofia delineada em 2.8 – particularmente 2.8.3 e 2.8.4 - se poderia partir diretamente
para a obtenção e aplicação do Método dos Elementos de Contorno.
Entretanto, conforme evidenciado principalmente em (2.86) e (2.89), é necessário
discorrer brevemente sobre as já mencionadas soluções fundamentais.
2.9.1. Considerações Preliminares
Conforme já demonstrado anteriormente, para um reservatório de extensão infinita, pelo
Princípio da Superposição no Tempo, a queda de pressão pode ser calculada como:
( ) ( ) ( ) τττdt
t
u
q
qtu
tc
c
−∂
∂= ∫ ,,0
xx .
Por seu turno, da expressão (2.98), ligeiramente modificada, com x em lugar de ξ 53, tal
parâmetro também pode advir de:
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫Γ
Γ−=t
t
ddtgqc
tuw0
,,~1, τττ
φxxξx . (2.108)
Comparando-se ambas as expressões anteriores e tendo-se em conta que as igualdades
devem valer para todo e qualquer tempo, t, resulta que os integrandos de cada qual devem
produzir resultados idênticos.
Considerando-se, ainda, que para as espécies de fontes abordadas neste trabalho, de
dimensões infinitesimais54 vale a igualdade:
( ) ( ) ( )ττ −=Γ−∫Γ
tgdtg w
w
,,,, xξxxξ , (2.109)
então, resulta que:
53 Sem prejuízo algum de seu significado original. As coordenadas espaciais são, de fato, intercambiáveis. 54 Fonte pontual, fonte linear e fonte planar.
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
43
( ) ( )τφ
τ −=−∂
∂tg
c
qt
t
uw
t
cc ,,~
, xξx . (2.110)
Isto significa que a queda de pressão num sistema sujeito a um impulso unitário pode
ser prontamente obtida pela derivada temporal da solução para o mesmo sistema submetido
à vazão constante.
No espaço transformado de Laplace, a equação (2.110) pode ser escrita como
( ) ( )sgc
qsus
t
cc ,,
~, xξx
φ= , (2.111)
desde que o sistema esteja inicialmente em equilíbrio.
2.9.2. Funções de Green Básicas (ou Soluções Fundamentais)
Com as considerações acima se pode resolver a equação adjunta
( ) ( ) ( ) ( )τδδη −−=∂
∂+∇ tt
tgtg xξ
xx ,
,,2 , (2.112)
partindo-se de
( ) ( )0
,,2 =
∂∂+∇
t
tgtg
xxη , (2.113)
com posterior aplicação de (2.110) ou (2.111).
Fonte Pontual (de Lorde Kelvin)
A primeira solução à (2.112) a ser examinada, e provavelmente a mais importante
delas, é a fonte pontual de Lorde Kelvin55.
Seja um meio poroso ilimitado em todas as direções, inicialmente em equilíbrio –
o que implica em ( ) 00, ==tu x – submetido a uma retirada contínua e pontual de fluido
à taxa q .
Pela lei de Darcy para fluxo esférico isso equivale a escrever que
55 Para maiores detalhes, consulte-se CARSLAW e JAEGER (1959).
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
44
∂∂−=
Γ
∂∂−= →
=Γ→ ∫ r
ukd
n
ukq
r
w
wµ
πεµ ε
ε
ε2
00 4limlim . (2.114)
O parâmetro ε representa o raio de uma esfera, que deve tender a 0 de forma a que
esta represente um ponto. O sinal negativo advém dos sentidos opostos dos vetores n e r .
Sendo o sistema coordenado esférico e isotrópico, a equação (2.111) deve ser
escrita como:
012
2
2
=∂∂+
∂∂+
∂∂
t
u
r
u
rr
u
η. (2.115)
Ou ainda, com uma transformação de variáveis do tipo56
ruv = , (2.116)
a equação (2.115) se torna
( ) ( )0
,,2
2
=∂
∂+∂
∂t
trv
r
trvη . (2.117)
A lei de Darcy, representada em (2.114), por sua vez, passa a ser expressa por
( )tvk
r
v
r
v
rr
kq ,04
1lim4
22
0 µπ
µπ ε =
−∂∂−= → . (2.118)
Há algumas maneiras de se resolver o problema estabelecido por (2.117) e
(2.118). Uma das mais simples é a solução via transformadas de Laplace.
Tendo-se em conta que ( ) 00, ==trv , a igualdade (2.117), no espaço de Laplace,
pode ser expressa por
( ) ( ) 0,1,
2
2
=+∂
∂srvs
r
srv
η. (2.119)
Já a transformada da equação (2.118), rearranjada, deve ser
56 Veja-se CARSLAW e JAEGER (1959).
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
45
( )k
q
ssv
πµ
4
1,0 = . (2.120)
onde s é a variável de Laplace.
A solução de equações da espécie de (2.119) é da forma
( ) rsrs
eCeCsrv ηη −−= 21, . (2.121)
Como, pelo fato do domínio em referência ser infinito, aplica-se
( ) 0,lim =∞→ srvr , (2.122)
e então, obrigatoriamente,
01 =C . (2.123)
Pela substituição de (2.120) em (2.121), chega-se a
k
q
sC
πµ
4
12 −= (2.124)
e, em decorrência
( ) rs
ek
q
ssrv η
πµ −
=4
1, . (2.125)
Ou, levando-se em conta a transformação inicial de variáveis, dada por (2.116), a queda
de pressão no espaço transformado vale:
( ) rs
ekr
q
ssru η
πµ −
=4
1, . (2.126)
De acordo com a transformada inversa de (2.126) , com auxílio de (C.5), a expressão
equivalente no espaço real é:
( )
=
t
rerfc
kr
qtru
ηπµ
24, , (2.127)
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
46
onde erfc é a função erro complementar e é definida conforme
( ) .2 2
∫∞
−=z
u duezerfcπ
(2.128)
Agora, admitindo-se uma retirada instantânea de fluido, de volume unitário, pela
aplicação do enunciado na igualdade (2.110) e a consideração de equilíbrio inicial pode-se
estabelecer que:
( ) ( )t
r
t
etc
qtru η
πηφ4
23
2
4
1~,
−= (2.129)
onde tcq φ~ é a intensidade da fonte e
( ) ( )t
r
et
tg η
πη4
23
2
4
1,,
−=xξ . (2.130)
Esta é a consagrada expressão de Lorde Kelvin, que transformada para o espaço de
Laplace corresponde a (ver Apêndice C):
( ) η
πηsre
rsg −=
41
,,xξ.
(2.131)
Fonte Linear
Imaginando uma seqüência de fontes pontuais dispostas na direção z, para aquele
mesmo espaço infinito definido anteriormente, se obtém prontamente a solução para a fonte
linear57.
Matematicamente, esta consideração pode ser alcançada pela integração da equação
(2.130) em relação z.
( ) ( )∫∞
∞−
−= ζ
πηη de
ttg t
r
423
2
4
1,,xξ , (2.132)
57 Aqui, e como em todo este trabalho, portanto, a fonte linear é ortogonal ao plano cartesiano em que se define o problema bidimensional (x,y).
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
47
com
( ) ( ) ( )2222 ζψξ −+−+−= zyxr . (2.133)
Retirando-se os termos não relacionados a z da integral, se tem que
( ) ( )( ) ( ) ( )
∫∞
∞−
−−−+−−= dzee
ttg t
z
t
yx
ηζ
ηψξ
πη44
23
222
4
1,,xξ . (2.134)
Operando-se, agora, a mudança de variáveis definida por
( )t
zu
ηζ
4
22 −= , (2.135)
o diferencial dz passa a ser
dutdz η2= (2.136)
e, então, a integral (2.134) passa a produzir (ver ABRAMOVITZ e STEGUN, 1972):
( )
( ) terfctdze t
z
πηπηηζ
22
24
2
=∞−=∫∞
∞−
−−. (2.137)
Portanto, a função de Green para fonte linear é estabelecida por:
( )( ) ( )
t
yx
et
tg ηψξ
πη4
22
41
,,−+−−
=xξ . (2.138)
Ou, transformando-a para o espaço de Laplace, por (C.7),
( ) ( )ηπη
srKsg 021
,, =xξ . (2.139)
Este impulso é de suma importância para o desenvolvimento deste trabalho.
0K é a função de Bessel modificada de 2ª espécie e ordem zero e pode ser calculada
por:
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
48
( ) ( ) ( )( )∑ ∑
∞
= =
−+
+
−=1 1
12
2
00!
21
2
1ln
r
r
m
r
mr
xxIxxK γ , (2.140)
com
( ) ( )( )∑
∞
=
=0
2
2
0!
4
j
j
j
xxI . (2.141)
O parâmetro γ é a constante de Euler e vale
577215665,0lnlim1
1 ≈
−= ∑=
−∞→ nk
n
knγ . (2.142)
Neste caso, a distância em relação à fonte é definida por:
( ) ( )222 ψξ −+−= yxr (2.143)
Fonte Planar
Seguindo-se o mesmo procedimento anterior, pode-se posicionar uma seqüência de
fontes lineares alinhadas na direção de um dos eixos coordenados e se obter a solução para
a fonte planar58.
Integrando-se, por simples escolha, a expressão (2.138) em y passa-se a ter:
( )( ) ( )
∫∞
∞−
−+−−= dye
ttg t
yx
ηψξ
πη4
22
41
,,xξ . (2.144)
Extraindo-se as constantes da integral chega-se a:
( )( ) ( )
∫∞
∞−
−−−−= dyee
ttg t
y
t
x
ηψ
ηξ
πη44
22
41
,,xξ , (2.145)
cuja integral tem a mesma forma e fornece o mesmo resultado de (2.137). Portanto,
58 O plano assim definido, é de extensão infinita em y e z. É, portanto, ortogonal ao plano (x,y).
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
49
( )( )
t
x
et
tg ηξ
πη4
2
2
1,,
−−=xξ , (2.146)
com correspondência no espaço de Laplace a (ver transformação C.4):
( ) ηξ
ηsxetg −−=
2
1,,xξ (2.147)
Produtos de Newman
Dependendo da complexidade do problema em análise, em princípio pode ser difícil se
determinar a função de Green apropriada para solução analítica da integral governante
(2.100).
Contudo, NEWMAN (1936) mostrou que para determinadas geometrias e condições
iniciais, tal complexidade pode ser substancialmente diminuída, pois é possível se separar
pura e simplesmente problemas bi ou tridimensionais em problemas unidimensionais
correspondentes. Mais do que apenas isto, o mesmo autor revelou que, em termos
geométricos, a solução obtida por este procedimento corresponde à interseção dos sistemas
unidimensionais relacionados.
No que concerne a este trabalho, pode-se afirmar que aos impulsos instantâneos
referentes ao espaço real podem ser aplicados produtos de Newman.
Uma conseqüência imediata do que NEWMAN (1936) observou é que todo o
desenvolvimento apresentado neste item 2.9.2 pode ser obtido de forma inversa, para
domínios ortotrópicos, a partir da fonte planar (veja-se o Apêndice D).
Pelo exposto, a solução de fonte linear para o caso ortotrópico pode ser obtida pela
consideração de duas fontes planares em direções ortogonais de propriedades distintas (ver
Figura 2.9a). E a fonte pontual, de forma semelhante, pela interseção de uma fonte linear
com uma planar (ver Figura 2.9b).
CAPÍTULO 2: RELAÇÕES BÁSICAS
50
Figura 2.9 – Soluções para domínios ortotrópicos obtidas por produtos de Newman.
Assim, a fonte linear para o caso ortotrópico é
( )( ) ( ) ( ) ( )
t
y
t
x
yx
t
y
y
t
x
x
yxyx et
et
et
tg ηψ
ηξ
ηψ
ηξ
ηηππηπη4444
2222
4
1
2
1.
2
1,,
−−−−
−−−−
==xξ , (2.148)
e a fonte pontual
( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
.2
1
2
1.
4
1,,
444
23
444
222
222
t
z
t
y
t
x
zyx
t
z
z
t
y
t
x
yx
zyx
xyx
et
et
et
tg
ηζ
ηψ
ηξ
ηζ
ηψ
ηξ
ηηηπ
πηηηπ−−−−−−
−−−−−−
=
==xξ
(2.149)
Pode-se notar, nas expressões acima, que caso as constantes de difusão tenham o
mesmo valor em todas as direções (2.148) se torna (2.138) e (2.149) se torna (2.130).
De forma marcante, estes resultados confirmam que a transformação de coordenadas
disposta no Anexo B redunda num sistema isotrópico equivalente.
x
y
a) obtenção da fonte linear. b) obtenção da fonte pontual.
x
y
z z
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
51
3. MEC Aplicado ao Escoamento em Meios
Porosos
3.1. Aspectos Gerais
Neste capítulo primeiramente são apresentadas as possibilidades mais evidentes de
solução da equação integral (2.105) via Método dos Elementos de Contorno. Tais
possibilidades estão intimamente relacionadas com a forma de manusear o caráter temporal
do problema.
Na seqüência são apresentadas justificativas para a escolha e são concentrados esforços
na solução via espaço de Laplace.
São explorados elementos de geometria linear e variáveis constantes. Método da
colocação.
3.2. Variação Temporal Aproximada por Série de Taylor
(Diferenças Finitas)
A primeira e aparentemente mais simples possibilidade corresponde à aproximação do
caráter temporal da equação da difusão hidráulica por série de Taylor.
Assim sendo, dando um passo atrás e aplicando-se este conceito à equação da difusão,
(2.78), passa-se a ter:
( ) ( ) ( )0
,,,2 =
∆+
∆∆+−∆+∇
t
tu
t
ttuttu
xxxη . (3.1)
onde ( )tu ,x é uma quantidade conhecida. Trata-se da distribuição de potencial no passo de
tempo anterior ao ora em análise.
Daqui por diante se podem seguir os mesmos passos elencados no item 2.8.3.
Multiplicando-se (3.1) por uma função de ponderação ( )xξ,g , integrando-se no
domínio do problema e separando-se os termos passa-se a ter:
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
52
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .0,,1
,,1
,, 2
=Ω∆
+
+Ω∆+∆
−Ω∆+∇
∫
∫∫
Ω
ΩΩ
xxxξ
xxxξxxxξ
dtugt
dttugt
dttug
η
η (3.2)
Em adição, com o uso associado da regra de multiplicação de derivadas e do teorema
da divergência, já delineados anteriormente, a 1ª integral de (3.2) pode ser representada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxξ
xx
xξ
xxξxξxxξ
∫
∫∫
Γ
ΩΩ
Γ
∂∂∆+−
∂∆+∂+
+Ω∇∆+=Ω∆+∇
dn
gttu
n
ttug
dgttudttug
,,
,,
,,,, 22
(3.3)
e se a função de ponderação ( )xξ,g é solução da equação adjunta ao problema
( ) ( ) ( )xξxξxξ ,,1
,2 δη −=∆
−∇ gt
g , (3.4)
então
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttudgt
gttu ∆+−=Ω
∆−∇∆+∫
Ω
,,1
,, 2 ξxxξxξx η . (3.5)
Com as considerações oriundas de (3.3) e (3.5) aplicadas a equação de partida deste
desenvolvimento (3.1), a equação integral ponderada passa a ser59:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ).,,1
,,
,,,
xxxξ
xxξ
xx
xξξ
Ω∆
+
+Γ
∂∂∆+−
∂∆+∂=∆+
∫
∫
Ω
Γ
dtugt
dn
gttu
n
ttugttu η
(3.6)
Pelo exame da equação (3.6) é possível perceber que há necessidade do cálculo de
integral de domínio referente ao passo de tempo anterior, para atualização da distribuição
dos potenciais60. Este tipo de abordagem elimina por completo uma das principais
59 Nesta dedução foram desprezadas, por simplificação, fontes no domínio. 60 Com exceção do primeiro, se a condição de pressão inicial uniforme em todo o domínio for observada.
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
53
vantagens do MEC em relação a outros métodos numéricos: a falta de necessidade de se
discretizar o domínio do problema em células. Além disto, ocorre que, por haver vinculação
entre os passos de tempo, as discrepâncias em relação à solução analítica são
sucessivamente propagadas. Ou seja, os erros são acumulados.
Com efeito, conforme explicitam BREBBIA, TELLES e WROBEL(1984), para a
obtenção de resultados com boa exatidão a partir desta abordagem, os passos de tempo
devem ser bastante reduzidos.
3.3. Solução no Campo Real com a Solução Fundamental
Dependente do Tempo
Uma segunda possibilidade é a solução numérica de (2.105), reproduzida abaixo.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∫ ∫
∫ ∫
Γ
Γ
Γ−+
+Γ
∂−∂−
∂∂−=
t
t
t
w
e
ddtgqc
ddn
tgu
n
utgtuc
0
0
,,~1
,,,
,,,,
τττφ
τττττη
xxξ
xxξ
xx
xξξξ
Como puderam observar BREBBIA, TELLES e WROBEL (1984) a solução numérica
da expressão (2.105) só é possível com o estabelecimento de uma marcha de tempo,
evidentemente mais frouxa do que a da abordagem anterior.
Segundo KIKANI e HORNE (1992), esta prática origina a necessidade de se trabalhar
com convolução de matrizes, permanentemente armazenadas em memória. Isto acarreta seu
uso extensivo e, em conseqüência, razoável consumo de tempo. Ademais, uma má escolha
de marcha de tempo pode redundar em propagação/ acumulação de erros.
A despeito disto, ainda segundo os mesmos autores, tal técnica é capaz de produzir
excelentes resultados.
3.4. Solução Via Campo de Laplace
Considerando-se a propriedade de convolução, (2.7), a conversão para o campo de
Laplace e o rearranjo de (2.105) originam:
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
54
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ),,,~1
,,,
,,,,
sgqc
dn
susgd
n
sgsusuc
wt
ee
xξ
xx
xξxxξ
xξξ
τφ
ηη
+
+Γ∂
∂=Γ∂
∂+ ∫∫ΓΓ (3.7)
para 1 única fonte interna, ou para NF fontes internas verticais:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ).,,~1
,,,
,,,,
1∑
∫∫
=
ΓΓ
+
+Γ∂
∂=Γ∂
∂+
NF
mmm
t
sgsqc
dn
susgd
n
sgsusuc
ee
xξ
xx
xξxxξ
xξξ
φ
ηη (3.8)
A solução numérica de (3.8), limitada às características relacionadas no item 1.3, é
efetivamente o escopo deste trabalho.
No espaço de Laplace, devido à eliminação da dependência temporal de u não ocorre
acumulação de erros61.
Ademais, com esquemas de vazão constantes é possível obter a resposta do sistema
exclusivamente no período desejado. Ou seja, não é preciso operar os cálculos desde um
curto tempo inicial.
Mormente, com a adoção de algoritmos simples e robustos, como o de STEHFEST
(1970), é possível se converter, com boa precisão, a solução do campo de Laplace para o
campo real.
KIKANI e HORNE (1993) o classificaram como vantajoso em relação ao de cômputo
por soluções dependentes do tempo.
Mais recentemente, surgiu quem advogasse o contrário (KRYUCHKOV, SANGER e
BARDEN, 2001). Tais autores afirmaram, com certa razão, que no caso de produção de
poços sujeitos a históricos de vazões variáveis, a solução via espaço de Laplace não é a
mais adequada62.
61 Em outras palavras, a determinação da resposta do sistema em um determinado instante independe dos cálculos nos passos de tempo anteriores. 62 Isto, de fato, só foi percebido na fase final de elaboração desta dissertação. O motivo que conduz a esta assertiva é mencionado mais à frente.
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
55
3.5. Procedimento Numérico
3.5.1. Domínios Simples
Como a grande maioria dos métodos numéricos pressupõe, a solução numérica de uma
equação integral implica na partição do meio continuo sob escrutínio em elementos
discretos e sua – da equação integral - posterior aproximação por um sistema linear.
O Método dos Elementos de Contorno, em particular, resulta da discretização do
contorno do problema, apenas.
Para sua consumação, considerando-se elementos de geometria linear e parâmetros
constantes63, deve-se:
a) Aproximar o contorno do meio físico original por NE elementos, conforme a
relação abaixo64 e a Figura 3.1.
∑=
Γ≅ΓNE
jj
1
(3.9)
Figura 3.1– Representação em elementos de contorno.
Procedendo-se desta maneira, a expressão (3.8) passa a ser escrita como:
63 Segundo a nomenclatura habitual do MEC (cf. com elementos lineares). O que se quer dizer é que a todas as posições elementares correspondem os mesmos valores u e du/dn. O termo constante confere idéia de ausência de variação com o andamento do tempo. Em problemas transitórios, a rigor, isto não ocorre. 64 Ao se dividir o contorno em elementos, o ponto-fonte ao invés de percorrer continuamente o contorno passa a ocupar posições discretas, representadas pelo centro destes elementos.
a) sistema físico original. b) aproximação por MEC.
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
56
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...1,,~1,,,
,,,
,
11
1
NEisgsqcn
sudsg
sudn
sgsuc
NF
miimim
t
jjNE
jjiij
NE
jjjj
jiijiiii
e
j
=+∂
∂
Γ=
=
Γ
∂∂
+
∑∑ ∫
∑ ∫
== Γ
= Γ
ξx
xxξ
xxxξ
ξξ
φη
η
(3.10)
Note-se que os contadores i e j devem variar de 1 a NE. O contador i corresponde à
posição do ponto-fonte (solução fundamental), j se refere ao elemento sob inegração e m às
fontes de domínio (poços).
Observe-se também que ( )su jj ,x e ( )n
su jj
∂∂ ,x
deixam de fazer parte das integrais, pois,
segundo premissa já estabelecida, por definição, não apresentam variação no interior de
cada elemento.
Definindo-se
( ) ( ) ( )
( ) ( )
≠Γ∂
∂
=Γ∂
∂+
=
∫
∫
Γ
Γ
jidn
sg
jidn
sgc
h
j
j
jjiij
jjiij
i
ij
,,,
,,,
xxξ
xxξ
ξ
η
η
; (3.11)
( )suu jjj ,x= ; (3.12)
( ) ( )∫Γ
Γ=j
dsgg jiijij xxξ ,,η ; (3.13)
( )n
sup jj
j ∂∂
=,x
e (3.14)
( ) ( )∑=
=NF
miimim
tj sgsq
cb
1
,~1ξ
φ, (3.15)
a equação (3.10) assume a forma sintética matricial:
bpGuH += . (3.16)
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
57
Note-se que:
i.os coeficientes ijh e ijg , correspondentes às matrizes H e G , respectivamente,
dependem exclusivamente das propriedades petrofísicas e da geometria do sistema. Podem,
portanto, ser prontamente calculados.
ii.o vetor b , de coeficientes jb , está relacionado à produção das fontes internas ao
domínio (poços). Desta forma, também é conhecido a priori.
iii.entretanto, para cada elemento, inicialmente, se conhece apenas ju ou jp , que são as
condições de contorno inerentes ao problema sob avaliação.
b) Posicionar o ponto-fonte em cada centro de elemento65 e montar o sistema
linear designado pela expressão (3.16), tendo-se como objetivo calcular a incógnita de
contorno restante - ju ou n
u j
∂∂
.
Nesta etapa, pelo fato do ponto-fonte estar alocado sobre o contorno
( ) 2/1=iic ξ . (3.17)
c) Rearranjar o sistema (3.16). Isto significa enviar todos os valores conhecidos
para um dos lados daquela igualdade66. Tal lado da igualdade, de posteriormente é operado
e transformado num vetor de termos independentes (y ) e o sistema original é modificado
para:
yxA = , (3.18)
com x sendo o vetor relacionado aos parâmetros incógnitos no contorno e A a matriz
de coeficientes correspondentes.
65 Denominados de forma corriqueira, nos livros sobre MEC, nós funcionais (cf. nós geométricos). O ponto-fonte é posicionado, então, sobre o nó funcional i de determinado elemento e o ponto-campo percorre elemento a elemento (índice j), integralmente o contorno, dando origem à construção de uma linha i do
sistema linear bpGuH += . Em seguida, o ponto-fonte é deslocado para o elemento seguinte, e o ponto-
campo realiza o percurso novamente. E assim sucessivamente, até que o ponto-fonte tenha sido posicionado em todos os nós funcionais existentes, e como conseqüência, o sistema linear tenha sido completamente definido. 66 Na prática, isto corresponde a mudanças de colunas entre as matrizes H e G .
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
58
d) Uma vez resolvido o sistema linear e, portanto, com u e n
u
∂∂
já determinados
ao longo de todo o contorno, operar (3.10) – desta feita com i=1 e ( ) 1=iic ξ - e avaliar
quedas de pressão em um (ou mais) ponto(s) interno(s) ao domínio67,68,69.
3.5.2. Domínios Compostos
É ocasião de se expandir os conceitos anteriores para o caso de domínios compostos de
múltiplas regiões homogêneas.
Seja um domínio hipoteticamente dividido em n regiões homogêneas. Por conveniência
de explanação, seja n=3. Por exemplo, seja tal domínio composto aquele apresentado na
Figura 3.5.
Figura 3.2 – Exemplo esquemático de um domínio composto.
Este domínio, para efeito de raciocínio, pode ser repartido em suas regiões
componentes, conforme a Figura 3.3.
Observe-se que cada uma delas possui contornos propriamente ditos e interfaces com as
demais regiões.
67 Importante notar que c) não adiciona erro analítico à solução. 68 Também é possível se determinar as derivadas direcionais das quedas de pressão em pontos internos ao domínio. Desta forma, podem ser percebidas as linhas de corrente do problema. Isto foi explorado por MATSUKAWA e HORNE (1988) e não faz parte do escopo deste trabalho. 69 Aqui há somente multiplicação de vetores. As integrais, por seu turno, precisam ser calculadas.
x
y
1Ω
2Ω
3Ω
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
59
Figura 3.3 – Porções do domínio composto destacadas.
Suprimindo-se o travessão indicativo do espaço de Laplace, por economia, e adotando-
se os índices sobrescritos das matrizes abaixo para fazerem referência, respectivamente, à
região sob investigação e à outra região a que pertence o elemento de interface se pode
escrever70, para 1Ω que:
[ ] [ ] 1,1
3,1
2,1
1,1
3,12,11,1
3,1
2,1
1,1
3,12,11,1 b
p
p
p
GGG
u
u
u
HHH +
=
. (3.19)
Analogamente, para 2Ω e 3Ω , avaliados de forma isolada, aplicam-se, respectivamente
[ ] [ ] 2,2
3,2
2,2
1,2
3,22,21,2
3,2
2,2
1,2
3,22,21,2 b
p
p
p
GGG
u
u
u
HHH +
=
(3.20)
e
70 Se o elemento faz parte do contorno do domínio composto como um todo, os índices sobrescritos devem se
equivaler. Assim, ii ,H , ii ,G , ii ,u e ii ,p estão relacionados ao contorno do reservatório propriamente
dito. ji ,H , ji ,G , ji ,u e ji ,p , com ji ≠ , estão relacionados às interfaces entre as regiões ( ji Ω∩Ω ). Os
termos relacionados às fontes internas a cada região, ii ,b , evidentemente, não têm relação com outras regiões.
x
y
1Ω
2Ω
3Ω
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
60
[ ] [ ] 3,3
3,3
2,3
1,3
3,32,31,3
3,3
2,3
1,3
3,32,31,3 b
p
p
p
GGG
u
u
u
HHH +
=
. (3.21)
As matrizes expressas por (3.19), (3.20) e (3.21) apresentam o aspecto revelado na
Figura 3.4. Para construção de cada qual, o ponto-fonte é posicionado em cada elemento
constituinte da região sob consideração e o ponto-campo navega apenas no contorno
correspondente a ji Ω∩Ω . A dimensão de cada uma delas é, portanto, dada pelo total de
elementos pertencentes à região sob análise (m) e pelo total de elementos referentes à
interface (ou, se i=j , contorno) sob avaliação (n).
Figura 3.4 – Aspecto das matrizes.
Mas de acordo com o disposto no item 2.5.3, as interfaces entre as regiões devem
obrigatoriamente obedecer:
a) a compatibilidade entre os potenciais;
ijji ,, uu = (3.22)
e
b) o equilíbrio entre os fluxos, baseado na lei de Darcy.
ji
i
iij
j
j kk ,, ppµµ
−= (3.23)
ou, definindo-se o multiplicador escalar,
ij
jiji
k
kF
µµ
=, , (3.24)
( )ji Ω∩Ω
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
61
jijiij F ,,, pp −= . (3.25)
Aplicando-se as condições (3.22) e (3.25) aos sistemas expressos por (3.19) a (3.21) e
agrupando-os em um arranjo global71 passa-se a ter:
.3,3
2,2
1,1
3,3
3,2
2,2
3,1
2,1
1,1
3,32,31,21,31,3
3,22,21,21,2
3,12,11,1
3,3
3,2
2,2
3,1
2,1
1,1
3,32,31,3
3,22,21,2
3,12,11,1
+
−−−=
=
b
b
b
p
p
p
p
p
p
GG0G00
0GG0G0
000GGG
u
u
u
u
u
u
HH0H00
0HH0H0
000HHH
FF
F
(3.26)
Considerando-se, ainda, que nas interfaces os potenciais e sua derivadas são a priori
desconhecidos, este sistema global ainda pode ser modificado para:
71 Ou, alternativamente, como fez DORS (2002), se pode partir para um método de solução iterativo, como por exemplo, gradientes bi-conjugados.
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
62
.3,3
2,2
1,1
3,3
2,2
1,1
3,3
2,2
1,1
3,3
3,2
3,2
2,2
3,1
3,1
2,1
2,1
1,1
3,32,32,32,31,31,31,3
3,23,22,21,21,21,2
3,13,12,12,11,1
+
=
=
−−−
b
b
b
p
p
p
G00
0G0
00G
u
p
u
u
p
u
p
u
u
HGH0GH000
0GHH00GH0
0000GHGHH
FF
F
(3.27)
Este procedimento é geral e, como tal, pode ser aplicado a um sistema de n regiões
homogêneas72.
As regiões, de forma geral, possuem elementos de contorno e de interface.
O caso em que há regiões inteiramente contidas em outras, portanto, é particular.
No sistema apresentado na Figura 3.5 (e repartido na Figura 3.6) , por exemplo, a região
3Ω está contida na 2Ω . Assim sendo, não há interface de 3Ω com qualquer região que não
seja 2Ω . Em conseqüência, o arranjo global dado por (3.28) é compactado para:
.3,3
2,2
1,1
3,3
2,2
1,1
3,3
2,2
1,1
3,3
3,2
3,2
2,2
2,1
2,1
1,1
3,32,32,32,3
3,23,22,21,21,21,2
2,12,11,1
+
=
=
−−
b
b
b
p
p
p
G00
0G0
00G
u
p
u
u
p
u
u
HGH0000
0GHHGH0
0000GHH
F
F
(3.28)
72 A rigor, a (3.27) ainda devem ser interpostas as condições de contorno.
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
63
Figura 3.5 – Exemplo esquemático de domínio composto com região interna.
Figura 3.6 – Porções destacadas do domínio composto com região interna.
x
y
1Ω 3Ω
2Ω
1Ω
x
y
2Ω
3Ω 2Ω
3Ω
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
64
3.6. Considerações a Respeito das Implementações
3.6.1. Generalidades
Para efetuação dos estudos propostos foram concebidos dois programas
computacionais. O primeiro, mais simples, para reservatórios homogêneos, denominado
ECDS73; o segundo, para domínios compostos, referido como ECDC74. Evidentemente, a
rigor, o segundo é capaz de resolver problemas da espécie tratada pelo primeiro.
A lógica do código para a simulação de domínios compostos é essencialmente a mesma
de domínios simples. No entanto, há substanciais diferenças no que tange a entrada de
dados75 e a montagem do sistema linear.
A construção de ambos segue o fluxograma apresentado na Figura 3.7.
Após leitura de todos os parâmetros e configurações que cercam o problema em estudo,
incluindo-se aí quantidade de passos de tempo e sua marcha e a quantidade de passos de
Stehfest (NSteh), são percorridos sucessivamente os dois laços destacados no fluxograma.
O laço menor corresponde ao algoritmo de Stehfest. Note-se que para cada passo de
tempo especificado, são montados e resolvidos NSteh sistemas lineares.
O laço maior refere-se aos passos de tempo especificados pelo usuário.
O cálculo de queda de pressão para os pontos internos só é efetuado após completa
definição, para o passo de tempo em curso, das variáveis de contorno do problema.
A seguir são tecidos alguns comentários no que tange os blocos destacados em cinza
(na Figura 3.7), primeiramente relativos a ECDS e posteriormente a ECDC.
73 Acrônimo de Elementos de Contorno, Domínio Simples. 74 Acrônimo de Elementos de Contorno, Domínio Composto. 75 A entrada de dados é extremamente simplificada em ESDS em relação a ECDC.
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
65
Figura 3.7- Fluxograma de cálculo para MEC aplicado ao Espaço de Laplace com inversão pelo
algoritmo de Stehfest.
Formação do Sistema Linear de Equações (SL)
Modificação do SL (condições de contorno)
Solução do SL
Leitura de Dados
NStehz < Acumulação Solução
1+z
ftt < tt ∆+
1=z
Armazenamento da Solução
1,0 =zt
Impressão de Resultados
Pontos Internos
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
66
3.6.2. Domínios Simples
Leitura de dados A leitura de dados para domínios simples envolve a definição de 6 blocos de
informação.
A título de ilustração, suponha-se que se queira avaliar o reservatório apresentado na
Figura 3.8.
Figura 3.8 – Domínio simples hipotético. Neste caso, os blocos de entrada para ECDS devem ser (veja-se a Figura 3.9 e a Figura
3.10):
a) coordenadas dos nós geométricos – a conectividade entre eles é
automaticamente assumida como seqüencial, isto é, de nó i para nó i+1. O último nó é
conectado internamente ao primeiro, para fechamento do contorno76;
b) condições de contorno – que vinculam o elemento, representado por seu
centro. São dispostas de forma igualmente seqüencial, de acordo com a ordem assumida
76 O domínio pretendido deve obedecer a convenção de estar a esquerda de quem caminha sobre seu contorno.
1
1
2
2
3
4 3
4
Legenda: Nós Elementos Poços Pts. internos
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
67
anteriormente. São discriminadas pelos códigos 0 e 1 queda de pressão ou derivada normal
de queda de pressão prescrita, respectivamente;
c) fontes internas – são informadas suas coordenadas e as vazões constantes
correspondentes;
d) pontos internos de cálculo– referenciados por suas coordenadas;
e) propriedades de rocha e fluido – relativas ao domínio sob avaliação;
f) configurações – onde são apontados o número de passos de Stehfest por
passo de tempo (NSteh), o número de pontos de integração numérica por elemento (NPGL),
o tempo inicial de cálculo (t0), o tempo final de cálculo (tf), o número de passos de tempo
(NPT) e sua progressão (cartesiana ou logarítmica).
Figura 3.9 – Parâmetros de entrada 1/2.
Figura 3.10 – Parâmetros de entrada 2/2.
Formação do sistema linear
Com o abastecimento destas informações se pode proceder às sucessivas montagens do
sistema linear, conforme discutido em 3.5.1. Observe-se que são geradas, por passo de
Stehfest, duas matrizes cheias e não simétricas.
Considerando-se poços representados por fontes lineares, cujas soluções fundamentais
no campo de Laplace sejam do tipo (2.139), os coeficientes de H apontados em (3.11)
podem ser calculados como:
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
68
( ) ( ) ( )dr
r
sgd
n
sgh
jj
jijji
jji
ij ∫∫ΓΓ
⋅∇∂
∂=Γ
∂∂
= nrxξ
xxξ ,,,,
ηη . (3.29)
Figura 3.11 - Integração Numérica – quando x e ξ não pertencem ao mesmo elemento.
Admitindo-se a avaliação da integral baseada no procedimento de Gauss-Legendre, a
equação anterior pode ser modificada para (veja-se a Figura 3.11):
( )
jjik
NPGL
k
kikij Jr
r
sgwh n
xξ⋅∇
∂∂
= ∑=1
,,η , (3.30)
onde jJ é o determinante do Jacobiano da transformação de coordenadas do sistema
global ( )yx, para o sistema local( )0,υ e, neste caso, vale 2/jL .
A derivada embutida em (3.30) deve ser expressa por:
( ) ( )ηπη
srKs
r
sgik
ki12/3
2/1
2
,, −=∂
∂ xξ. (3.31)
Por seu turno, a magnitude do vetor que mede a distância entre o ponto localizado no
elemento sob integração e a posição da fonte é definida por
( ) ( )22ikikik yxr ψξ −+−= (3.32)
e seu gradiente vale:
αυ
αυ
α
α
cos2
2
)(cos
)(
12
12
jmk
jmk
j
j
Lyy
senL
xx
L
yy
L
xxsen
+=
−=
−=
−−=
α
),( mm yx n Posição da fonte
Elemento sob integração
* ),( ii ψξ
),( 11 yx
),( 22 yx
ψ,y
ikr
ξ,x
υ
12 =υ
11 −=υ
jΓ
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
69
( ) ( )[ ]ji ikikik
ik yxr
r ψξ −+−=∇ 1. (3.33)
Já o vetor normal ao elemento considerado pode ser representado por seus cossenos
diretores, isto é
jin αα sen+= cos , (3.34)
ondeα é o ângulo que o vetor normal ao elemento faz com o eixo x (ver Figura 3.11).
Os valores numéricos de tais cossenos diretores podem ser obtidos pela semelhança entre
os triângulos destacados na figura já apontada.
Portanto, aplicando-se (3.31) a (3.34) em (3.30) se chega a:
( ) ( ) ( )[ ]αψαξηηπ
senyxr
srKwsL
h ikikik
erN
kikk
jij −+−−= ∑
=
cos1
4
int
11 . (3.35)
Mas se o elemento sob integração é o mesmo em que se encontra o ponto-fonte então77:
( ) ( )2/1
,,22/1
,,22/1
2
0
2
0
=⋅∇∂
∂+=∂
∂+= ∫∫ drr
sgdr
n
sgh
L
iiiii
L
iiii nr
xξxξ ηη . (3.36)
Analogamente, os coeficientes de (3.13) devem ser calculados por:
( ) ( )jjiij dsggj
xxξ Γ= ∫Γ
,,η , (3.37)
ou, substuindo-se a função de Green pertinente,
( ) ( )∫Γ
Γ=j
jijij dsrKg xηπ 02
1, (3.38)
ou ainda, por Gauss-Legendre
( )∑=
=NPGL
kikk
jij srKw
Lg
104
ηπ
. (3.39)
Se, entretanto, o ponto-fonte está situado no próprio elemento sob integração, devido à
simetria, a expressão (3.37) pode ser avaliada analiticamente por: 77 Note-se que, neste caso nr ⊥ .
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
70
( )drsggL
ii ∫=2
0
,,2 xξη . (3.40)
Ou, aplicando-se a solução fundamental:
( )∫=2
0
0
1 L
ii drsrKg ηπ
. (3.41)
Operando-se sobre (3.41) a transformação abaixo relacionada
drsdu
sru
η
η
=
=, (3.42)
chega-se finalmente a
( )∫=η
ηπ
sL
ii duuKs
g2
0
0
1. (3.43)
Integrais da espécie de (3.43) podem ser calculadas (ver ABRAMOVITZ e STEGUN,
1972) através da expressão:
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )∑∑
∑∑∫
=
∞
=
∞
=
∞
=
++
++
++
+=
k
nk
k
k
k
k
kx
nkk
x
kk
xx
kk
xx
xduuK
102
2
022
2
02
2
0
0
1
12!
2
12!
2
12!
2
2ln γ
. (3.44)
Conforme Figura 3.12, pode-se perceber que K0 é monótona e decrescente e, em
conseqüência, sua integral é limitada ao valor abaixo.
( )20
0
π=∫∞
duuK (3.45)
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
71
Figura 3.12 - Integral da Função de Bessel Modificada de 2ª Espécie e Ordem 0.
Com relação ao termo correspondente às fontes internas, (3.15), pode-se estabelecer
que:
( )sgcsh
qb w
ti ,,xξ
φ= (3.46)
para q constante, tendo-se em conta que para fontes lineares hqq /~ = .
Substituindo-se a expressão correspondente a ( )sg w,,xξ se tem que:
( )ηπµ
srKskh
qb iwi 0
12
= , (3.47)
com
( ) ( )22wiwiiwr ψψξξ −+−= . (3.48)
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
72
Considerando agora, hipoteticamente, um reservatório “infinito” para o tempo total de
cálculo78, com (3.47) em (3.10) passa-se a ter:
( )ηπµ
srKskh
qu iwi 0
12
=v. (3.49)
A expressão (3.49) corresponde à solução analítica para produção à taxa constante de
fonte linear em reservatório “infinito”79. Como conseqüência imediata e direta, se pode
concluir que até que haja influência de algum limite ou interface de reservatório o caráter
analítico da solução é preservado.
Modificação do sistema de equações
A modificação do sistema de equações corresponde a transformação do sistema
bpGuH += em yxA = pela consideração das condições de contorno do problema em
objeto.
Tal etapa consiste simplesmente em mudanças de colunas entre as matrizes H e G ,
com todos os valores conhecidos sendo posicionados do lado direito da primeira igualdade,
posterior operação deste lado da igualdade por produto matriz-vetor e subseqüente soma
com o vetor corresponde às fontes existentes no domínio, conforme procedimento descrito
em 3.5.1.
Solução do sistema de equações Uma vez obtido o sistema linear yxA = procede-se à sua solução pelo método direto de
eliminação de Gauss, com pivoteamento parcial80.
Calculo nos pontos internos O fluxograma disposto na Figura 3.7 mostra que o cálculo em pontos internos é
efetuado após a completa definição dos valores das incógnitas no campo real. Em outras
78 Em outras palavras, assumindo que neste período não há qualquer influência de limites ou barreiras ao fluxo. 79 A adimensionalização de variáveis utilizada em KIKANI e HORNE (1992,1993) não é compatível com esta observação. 80 Métodos diretos são mais eficientes no trato com problemas relativamente pequenos.
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
73
palavras, somente após o término e conseqüente acumulação dos valores numéricos obtidos
através dos passos de Stehfest.
Procedimento diferente, com o cálculo para os pontos internos efetuado ainda no laço
menor, foi tentado sem sucesso.
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
74
3.6.3. Domínios Compostos
A manipulação de domínios compostos segue, em linhas gerais, as mesmas regras
adotadas para domínios simples. A mais significativa modificação corresponde à
necessidade do trato de mais de 1 sistema bpGuH += , referente a cada região.
A leitura de dados sofre impacto significativo.
Leitura de dados
À guisa de ilustração, seja o reservatório representado na Figura 3.13. Como se pode
observar, diversamente do que ocorre para domínios simples, passa a haver necessidade de
se informar a conectividade entre os nós.
Assim, inicialmente se deve definir a numeração das regiões existentes. Isto posto, é
necessário que se estabeleça um critério para a incidência dos elementos de interface. Para
confecção do programa computacional ECDC foi adotado o critério de conectividade
informada como se elemento pertencesse à região de menor valor.
Evidentemente, é preciso que se esclareçam as duas regiões as quais pertence o
elemento (veja-se a Figura 3.14).
Figura 3.13 – Exemplo para Domínio Composto: conectividade.
1 2
3 4 5
6
7
8
9
10
11
1
2
3 4
5
6
7
8
9
10
11
12 13 1Ω
2Ω
3Ω
x
y
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
75
Assim, por exemplo, a conectividade do elemento 11, que pertence às regiões 1 e 2
deve se dar do nó 10 para o nó 1.
Em ECDC, a quantidade de blocos de entrada passa de 6, caso de ECDS, para 7.
Com efeito, o campo de coordenadas dos nós geométricos deve ser complementado pelo de
conectividade dos elementos.
Figura 3.14 – Exemplo: tabelas de entrada 1/3. Os demais dados de entrada em muito se assemelham aos referidos anteriormente.
Para as fontes internas e pontos internos de cálculo passa a ser necessário que se
informe a região a que pertencem (conforme Figura 3.15).
Figura 3.15 – Exemplo: dados de entrada 2/3. Evidentemente, também há necessidade de se especificar as propriedades por região, de
forma seqüencial, conforme Figura 3.16.
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
76
Figura 3.16 – Exemplo: dados de entrada 3/3.
Formação do sistema linear
Com toda a massa de dados lida, procede-se à montagem do sistema linear, de
acordo com diversas ocasiões demandadas.
Figura 3.17 – Sentido positivo de percurso para as regiões consideradas de forma isolada. As regiões são isoladas e as correspondentes matrizes são organizadas sob a forma
de matrizes globais, cuja topologia, para o exemplo em tela, corresponde a Figura 3.18.
1
1Ω 2
3
8
9
10
11
8
9
2Ω
3Ω
11
10 12 13
6
7
5
4
12 13
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
77
Esta é justamente a etapa de maior dificuldade na construção de códigos para domínios
compostos. Com base em (3.27) se deve alocar os coeficientes num arranjo global esparso.
Para esta função, lançou-se mão da construção de vetores apontadores81, conforme os
designados abaixo:
- vetor apontador do nó funcional em que se encontra o ponto-fonte;
- vetor apontador da região sob avaliação;
- vetor apontador do elemento sob integração para a matriz H modificada;
- vetor apontador do elemento sob integração para a matriz G modificada.
Figura 3.18 – Aspecto das matrizes globais e do vetor global para o exemplo considerado.
No terceiro vetor acima aludido as repetições seqüenciais indicam colunas
representativas de coeficientes g e h de interface.
O cálculo dos coeficientes, representados por “x” na Figura 3.18, é baseado na mesma
formulação disposta em 3.6.2.
81 Facilmente obtidos dos registros reg1 e reg2, informados pelo usuário. Para maiores detalhes consulte-se o Apêndice F.
CAPÍTULO 3: MEC APLICADO AO ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
78
Note-se que, neste caso sintético e ilustrativo, a região 3 não possui fontes.
O caso em que há regiões internas a outras é particular e, deste modo, também pode ser
manipulado pelo programa computacional implementado.
Modificação e Solução do sistema de equações
Estas duas etapas são idênticas as executadas pelo programa ECDS.
Entretanto, ao final do processo, para ECDC, há necessidade de se separar as variáveis
por região, incluindo-se aí a troca de sinal nas interfaces, quando necessária.
Calculo nos pontos internos
Isto posto, se pode proceder ao cálculo para os pontos internos solicitados.
A queda de pressão em um ponto interno à determinada região é função exclusiva do
contorno dela própria.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
79
4.Aplicações Numéricas
4.1. Considerações Iniciais
Com o objetivo de avaliar os programas computacionais escritos com vistas à
consolidação do presente estudo, na seqüência são apresentadas algumas comparações com
soluções analíticas já consagradas na literatura especializada82.
4.1.1. Metodologia
Idealmente, tais comparações devem abarcar toda a faixa de valores de parâmetros
práticos e devem contemplar toda sorte de geometrias imagináveis. Na prática, um estudo
com toda essa abrangência e em curto período não é factível.
Nesta dissertação, a metodologia adotada é a de iniciar as verificações a partir de
modelos simples e incorporar gradativamente complexidades, acumulando aprendizado
exemplo após exemplo83. Desta forma, é possível estabelecer diretrizes práticas de uso dos
códigos, ainda que não comprovadas à exaustão.
O limitante deste estudo são, na prática, as soluções analíticas existentes. A rigor, tais
soluções em grande parte estão sujeitas a geometrias e a condições de contorno
simplificadas - basicamente 0ˆ =u ou 0ˆ
=∂∂n
u no contorno.
Fundamentalmente, o termo de comparação é solução no poço84. Exceto onde indicado,
as soluções analíticas são as extraídas de um programa comercial largamente utilizado na
indústria de petróleo, para fins de interpretação de testes em poços, denominado
PANSYSTEM85. Neste programa, de forma geral, as fronteiras são contabilizadas pelo
método das imagens.
82 Em uma palavra, validação dos códigos gerados. 83 Método científico de indução. Examinar casos particulares sucessivamente no intuito de se estabelecer generalizações. 84 Os potenciais, ou quedas de pressão, são medidos exclusivamente nos poços de petróleo, com auxílio de registradores eletrônicos. A rigor, não é possível mensurá-los diretamente em outras posições do sistema. 85 Versão 3.5. Para maiores informações, consultar o sítio: http://www.ep-solutions.com/solutions/eps/PanSystem.htm.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
80
Recursos da Teoria de Interpretação de Testes em Poços de Petróleo
Quando um sistema de petróleo é posto em produção, é gerado um transitório de
pressões que viaja pelo reservatório, do poço para adiante, sendo alterado de acordo com os
obstáculos e modificações nas características físicas do meio poroso atravessado.
O consagrado gráfico de diagnóstico é um recurso dos mais largamente utilizados com
fins de interpretação de testes em poços de petróleo. Este aparato corresponde à
representação em eixos logarítmicos das curvas de queda de pressão e derivada de queda de
pressão.
A de queda de pressão é prontamente obtida por meios analíticos e numéricos86. Já a de
derivada da queda de pressão, definida por BOURDET et al (1983), para um único período
de fluxo é calculada através da expressão:
td
duu
ln'= . (4.1)
Esta curva possibilita a identificação dos regimes de fluxo característicos perpassados
pelo transitório de pressões, como, por exemplo os apresentados na Tabela 4-1. Além do
mais, em relação à curva de quedas de pressão, a derivada apresenta variações
amplificadas.
Tabela 4-1 – Regimes de fluxo característicos, observados através da curva de derivadas de queda de pressão, utilizados neste trabalho.
REGIME ASPECTO
APRESENTADO
OBSERVAÇÃO
Radial ( )tu ln∝ Patamar Reservatório infinito
Barreiras em ângulo
Modelo radial composto
Linear ( )tu ∝ Reta de Inclinação ½ Poço fraturado
Barreiras paralelas.
Cartesiano ( )tu ∝ Reta de inclinação 1 Fronteiras seladas
Constante( )cteu = Derivada cai abruptamente Fronteira realimentada
86 Como o MEC.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
81
Neste trabalho a validação dos códigos computacionais gerados está quase que
integralmente assentada neste tipo de representação gráfica.
Uma primeira verificação, de cunho qualitativo, é exercida justamente sobre a curva de
derivada de queda de pressão. Consiste em observar sua forma. A segunda, quantitativa,
corresponde ao cálculo da discrepância relativa entre a resposta analítica e a advinda do
MEC.
Nos gráficos apresentados a seguir, as soluções analíticas são sistematicamente
representadas por linhas cheias e as soluções advindas da aplicação do MEC por círculos.
Os erros relativos87 são dispostos no eixo secundário das ordenadas e são determinados de
acordo com a seguinte expressão:
ANALÍTICAMECR uu−= 1ε (4.2)
São utilizadas unidades brasileiras de campo. As conversões para o Sistema
Internacional são achadas no Apêndice E.
4.1.2. Base de Comparação
O julgamento da eficácia das implementações baseadas no MEC, nas especulações a
seguir, é inteiramente baseado no binômio custo-benefício.
O termo custo está relacionado ao tempo total de conclusão dos cálculos. Já a palavra
benefício, à exatidão da resposta. Ambos são influenciados sobremaneira:
• pela quantidade de elementos de contorno necessários à representação adequada
do problema físico-matemático;
• pela quantidade de passos de Stehfest, adotada para transformação inversa da
resposta ao campo real;
• pela quantidade imposta de pontos de integração numérica de Gauss-Legendre.
O custo é influenciado, ainda, pela quantidade de passos de tempo desejada.
87 Ou discrepâncias relativas. Daqui por diante estes termos são usados de forma indistinta.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
82
De antemão, se pode assegurar que as principais fontes de inexatidão do processo são as
seguintes:
• a discretização do contorno em elementos de parâmetros constantes;
• a integração numérica sobre os elementos de contorno de parâmetros constantes;
• os erros acarretados pelo processo numérico de eliminação de Gauss, utilizado
para determinação das incógnitas do sistema linear;
• a aproximação das funções de Bessel por polinômios racionais;
• os erros de truncamento associados aos cálculos. Com efeito, há muitas
operações com números grandes.
4.2. Discussão Acerca do Consumo de Tempo
Os programas computacionais implementados podem ser resumidos em 5 grandes
blocos: leitura de dados, montagem do sistema linear associado, resolução do sistema
linear, cálculo em pontos internos e impressão de saída.
Dentre estes, montagem e resolução do sistema linear são os computacionalmente mais
intensos.
Para ilustrar esta discussão acerca do consumo de tempo, considere-se, por
simplificação, um reservatório circular com limites externos selados88, com um único poço
ao centro, de acordo com os parâmetros apresentados na Tabela 4-2, abaixo.
Tabela 4-2- Parâmetros adotados para os estudos iniciais. Parâmetro Valor
k [mD] 1000
φ 15%
µ [cP] 1,5
ct [cm²/kgf] 1,5.10-4
h [m] 25
q [m³/d] 350
re [m] 10.000
88 O que equivale a dizer 0ˆ
=∂∂n
uem todo o contorno.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
83
Avaliação dos Tempos de Montagem e Resolução do Sistema Linear
Mantendo-se fixos a quantidade de passos de Stehfest (6), a quantidade de pontos de
integração de Gauss-Legendre (8), o número de passos de tempo (100) e o número de
pontos internos de cálculo (1, na parede do próprio poço) procede-se à construção do
gráfico abaixo.
Figura 4.1 - Avaliação do consumo de tempo.
A Figura 4.1 mostra claramente que nas circunstâncias descritas, com até 100 elementos
de cálculo o tempo gasto na montagem do Sistema Linear é superior a 85% do tempo total
por rodada do programa.
Com algo em torno de 1000 elementos, os tempos de montagem e resolução do sistema
linear passam a se equivaler.
Ademais, na mesma figura é possível perceber, através das inclinações das retas
demarcadas, que a montagem do sistema linear possui dependência quadrática com a
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
84
quantidade de elementos e a resolução deste mesmo sistema, dependência
aproximadamente cúbica89.
Avaliação da Natureza e do Tempo Gasto pela Integração Numérica
Para a consecução dos cálculos do MEC é necessário se calcular integrais do tipo
( )∫Γ
Γj
dsrK ij η0 e ( )∫Γ
Γ⋅∇j
drsrK ijij nη1 . Para tanto, nos casos em que o ponto-fonte se
situe numa posição não pertencente ao elemento sob integração, é aplicada a Quadratura de
Gauss-Legendre90.
A função de Bessel de 2ª espécie modificada 0K e sua derivada, 1K , são as dispostas na
Figura 4.2. Como se pode observar, são monótonas e assumem valores significativos para
argumentos pequenos. A função K1 é mais aguda.
Figura 4.2 - Comportamento de K0 e K1.
89 Para domínios compostos de múltiplas regiões NE faz o papel de elementos não nulos da matriz H(ou G). 90 Também conhecida como Quadratura Gaussiana. O método fornece resposta exata para integração de
polinômios de ordem 2n-1. N é o número de pontos necessários para cômputo de ( ) ( )∑∫=−
≈n
iii fwdxxf
1
1
1
ξ .
Os valores de iw e iξ provêm dos polinômios de Legendre e são freqüentemente encontrados sob a forma
tabelada.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
85
O argumento das funções de Bessel para o problema em análise é ηsrij .
A constante η depende exclusivamente da definição das características físicas do
problema e tipicamente assume valores entre 10-2 a 102, em unidades internacionais.
O valor ijr depende da geometria do problema – comprimento dos elementos e distância
das posições assumidas pela fonte em relação ao elemento sob integração - e a variável de
Laplace, s, diminui à medida que o tempo aumenta, posto que Lt=1/s².
Fixando-se o comprimento de um hipotético elemento de integração em 100=jL e
tomando-se, por exemplo, o conjunto 10,0=ηs se pode avaliar a influência da posição
relativa do ponto-fonte em relação ao centro do elemento. Na Figura 4.3 se pode observar
que à medida que a fonte se aproxima do elemento, a função ( )ηsrK ij0 assume maiores
valores de pico e revela formas mais acentuadas, o que acarreta maior dificuldade de
integração.
Figura 4.3 - K0(x) com aproximação da fonte pontual na direção ortogonal ao elemento (unidades SI).
Por outra, adotando-se uma posição ortogonal ao elemento fixa e transladando-se o
ponto-fonte na mesma direção do elemento, conforme Figura 4.4, se vê que a função
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
86
preserva seu valor de pico até que a fonte se afaste da região delimitada pelos vetores
ortonormais aos extremos do elemento sob integração. Com a diminuição do valor de pico
e a função passando a ser monótona, passa a haver menor dificuldade de integração.
Figura 4.4 - K0(x) para variação da posição da fonte na direção do elemento (unidades: SI).
Claro fica, portanto, que a distância ao centro do elemento deva ser um critério para a
escolha da quantidade de pontos de integração. E, intuitivamente, se espera que o
comprimento do elemento também influencie no processo.
Em resumo quanto menor j
ij
L
sr η, maior tende – apenas tende – a ser a exatidão da
integração numérica para um mesmo NPGL.
Maiores quantidade de números de pontos integração é necessária à medida que:
a) a fonte se aproxima do centro do elemento em objeto. Particularmente, se a
fonte estiver posicionada no espaço compreendido entre as projeções
ortonormais às suas extremidades;
b) o tempo avança.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
87
Como o avanço do tempo é inexpugnável, a tarefa de obtenção de um critério universal
de seleção automática – portanto, interna aos programas; sem intervenção do usuário - do
número ideal de pontos de integração numérica (NPGL) é dificultada.
Quanto ao tempo gasto na operação de tais integrações numéricas se pode dizer que:
com base ainda no reservatório definido anteriormente, sujeito às mesmas condições já
especificadas, foi concebida a Tabela 4-3. Por esta tabela, se pode perceber que o tempo
gasto na montagem do sistema linear é função quadrática do número de elementos
utilizados. Em outras palavras, se a 2ª, 3ª e 4ª colunas são normalizadas em relação ao
quadrado do número de elementos, para cada quantidade de pontos de Gauss-Legendre
considerada na primeira coluna, as linhas terão valores muito próximos entre si.
Tabela 4-3 – Tempo consumido em função do número de pontos de Gauss-Legendre Considerado apenas 1 ponto interno, representando o poço.
Tempo de Montagem do Sistema Linear[s] Número de pontos
de Gauss-Legendre NE=6 NE=12 NE=24
4 5,02 18,77 75,41
8 5,53 19,72 85,31
16 6,25 24,8 101,83
32 8,22 32,91 136,18
64 12,37 49,37 206,84
100 16,39 67,61 281,05
Mais importante ainda é constatar que o acréscimo de número de pontos de Gauss-
Legendre corresponde a um aumento do consumo de tempo inferior a relação quadrática
entre os casos considerados.
Por exemplo, a um aumento do número de pontos de Gauss-Legendre de 4 para 100
(25 vezes) corresponde um acréscimo no tempo de montagem do sistema linear inferior a 5.
Avaliação da quantidade de vezes em que se monta o sistema linear
Conforme exposto acima, para problemas relativamente pequenos, com até poucas
centenas de elementos, o tempo de cálculo é majoritariamente consumido em montagens do
sistema linear. Estas, por sua vez, são função do número de elementos a que se lança mão
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
88
para a representação do problema físico, NE, da quantidade de passos de tempo
especificada (NPT) e da quantidade de passos de Stehfest por passo de tempo (NSteh).
Considerando que NE seja função da exatidão esperada da resposta e que a quantidade
de passos de tempo esteja de acordo com o gosto do usuário dos códigos (NPT), deve-se
buscar limitar a quantidade de passos de Stehfest (NSteh).
Avaliação da quantidade de passos de Stehfest
Para fins de ilustração, seja o reservatório circular com poço centralizado, apresentado
na Figura 4.5 (em vermelho), representado para efeitos de cálculo pelo hexágono em azul.
Portanto, NE=6.
Considere-se que todas as suas fronteiras sejam seladas91.
Fixando-se o número de pontos de integração numérica em 8, se pode avaliar
unicamente a influência da quantidade de passos de Stehfest (NSteh) na exatidão da
resposta.
A Figura 4.6, a Figura 4.7 e a Figura 4.8 mostram os resultados obtidos,
respectivamente, para NSteh=2, 6 e 10.
Figura 4.5 – Representação do reservatório circular com 6 elementos.
91 Portanto, com .0ˆ
=∂∂n
u
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
89
Figura 4.6 – Reservatório circular com poço centralizado (NE=6, Ninter=8, NSteh = 2).
Figura 4.7 – Reservatório circular com poço centralizado (NE=6, Ninter=8, NSteh=6).
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
90
RESERVATÓRIO CIRCULAR COM LIMITES SELADOSPOÇO CENTRALIZADO
0.1
1
10
100
0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 100000
∆∆∆∆t [h]
u,u'
[kgf
/cm
²]
-7%
-6%
-5%
-4%
-3%
-2%
-1%
0%
εε εε R
u analítica u' analíticau MEC u' MECeR
Figura 4.8 - Reservatório circular com poço centralizado (NE=6, Ninter=8, NSteh=10).
A curva analítica em vermelho, a de derivada de pressões, revela que até cerca de 300h
as fronteiras não impõem contribuições significativas à solução. Até este instante, portanto,
o escoamento é desenvolvido de maneira radial e infinita. A partir de então, há uma curta
transição até que o transitório de pressões encontre concomitantemente os limites selados
do sistema, fazendo com que se desenvolva o regime pseudo-permanente92 – inclinação
unitária de derivada de pressões93.
Há, portanto, dois regimes de fluxo característicos a serem observados pelo MEC.
Com gritante evidência, é possível perceber que NSteh = 2 não é capaz de representar o
segundo deles (Figura 4.6). A rigor, o caráter da resposta naquele trecho é preservado mas
erros superiores a 100% são obtidos ao final do período.
Com NSteh=6, mantidas as demais condições, há substancial redução da discrepância
para a casa dos 6% na transição entre os dois regimes aludidos, com posterior redução do
erro à medida que o tempo avança (Figura 4.7).
92 Regime em que a queda de pressão passa a ter igual intensidade em todas as posições do domínio. 93 Consulte-se a Tabela 4.1.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
91
Com NSteh=10 não há melhoria significativa da exatidão da resposta, em comparação
com os resultados advindos da aplicação de NSteh=6, que possam justificar preferência
por este valor. Com efeito, as discrepâncias relativas praticamente não se alteram.
Este simples exemplo é apenas ilustrativo e serve apenas para revelar, como número
ideal para os cálculos via MEC, a escolha por NSteh = 6. Na realidade, foram examinados
diversos casos e rigorosamente todos apontaram para a mesma preferência94.
Outros valores, em princípio possíveis, curiosamente redundam em resultados espúrios
(NSteh=4, NSteh=8, NSteh=12).
Valores maiores podem induzir erros relacionados à precisão de máquina. Este tema é
explorado em item específico, mais adiante.
4.3. Avaliação da Exatidão dos Códigos Gerados
A seguir são apresentados exemplos inspirados na metodologia disposta em 4.1.1.
É avaliado inicialmente um modelo bem simples e posteriormente são interpostas
complexidades, com o intuito de explorar as funcionalidades e os limites dos códigos
concebidos. O aprendizado é incorporado nas simulações subseqüentes.
Os poços são considerados como produzidos a taxas constantes.
O julgamento da exatidão corresponde ao confronto das soluções geradas pelo MEC
com as analíticas. É necessário, pois, que: 1) a curva de derivada de queda de pressão
represente o caráter esperado da resposta e, 2) se sim, se avalie a discrepância relativa
associada, calculada com base nas curvas de queda de pressão.
Exemplo 1: Reservatório Quadrado – Fronteiras Seladas – Poço Centralizado
Seja, portanto, inicialmente um reservatório quadrado com fronteiras seladas,
conforme o quadro menor da Figura 4.9.
Sejam as principais propriedades do sistema, as dispostas na Tabela 4-4.
Para este reservatório são, naturalmente, esperados dois regimes de fluxo: nos
tempos iniciais, o radial infinito, diagnosticado pela curva de derivadas como um patamar e
94 O trabalho desenvolvido por KINKANI e HORNE (1992) apresentou a mesma conclusão.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
92
nos tempos finais, o pseudo-permanente, representado por uma reta de inclinação unitária95.
Entre eles há uma transição.
Tabela 4-4 – Exemplos 1, 2, 3 e 4: parâmetros considerados.
PARÂMETRO VALOR
k [mD] 800,0000
fi 0,2000
mi [cP] 1,0000
ct [cm²/kgf] 0,00010
h [m] 50,0000
q [m³/d] 600 rw [m] 0,10
Adotando-se 4 elementos de contorno e 8 pontos de integração numérica é obtido o
resultado apresentado na Figura 4.9.
Figura 4.9 – Exemplo 1– NE= 4, NPGL=8.
O caráter da resposta esperada é inteiramente reproduzido, mesmo com este
reduzido número de elementos.
95 Veja-se a Tabela 4.1.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
93
As discrepâncias são insignificantes no primeiro regime atingido, devido à
característica analítica da solução até aquele momento. Quando a influência das fronteiras
passa a produzir efeito, ocorre um período de transição, ligeiramente diferente da reposta
analítica, com aumento do módulo da discrepância relativa até cerca de 8% e, uma vez
atingido este valor máximo, posterior redução.
Imaginando-se que a discrepância obtida anteriormente pudesse estar associada à
imprecisão na avaliação das integrais, componentes das matrizes H e G , procedeu-se ao
aumento dos pontos de integração numérica de Gauss-Legendre de 8 para 3296.
Figura 4.10 – Exemplo 1– NE= 4, NPGL=32.
Como se pode observar, através da Figura 4.10, tal modificação não produziu o efeito
desejado. O erro máximo se manteve-se na mesma faixa.
Restou, então, aumentar a quantidade de elementos.
96 Se esta hipótese viesse a se confirmar, seria de bom grado, posto que o aumento deste parâmetro acarreta menor consumo de tempo computacional que o aumento no número de elementos de contorno.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
94
Representando-se, agora, o mesmo problema físico através de 16 elementos de
comprimento uniforme, o erro máximo de transição passa a 6% (ver Figura 4.11). Esta
quantidade de elementos corresponde a um comprimento, por elemento, de 1000m.
Seguindo-se na mesma direção e ampliando-se o número de elementos para 64, de
comprimento uniforme, não são obtidos ganhos substanciais (ver Figura 4.12).
Figura 4.11 - Exemplo 1– NE= 16, NPGL=8.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
95
Figura 4.12 - Exemplo 1– NE= 64, NPGL=8.
Por outra, tendo-se em mente o discutido anteriormente a respeito da integração das
funções de Bessel, se poderia imaginar que uma distribuição não uniforme dos elementos
como a apresentada na Figura 4.13 pudesse causar diminuição no erro relativo.
No entanto, como se pode observar, isto não se verificou.
Assim, imagina-se que este erro típico de transição entre períodos de fluxo
característicos deva ser intrínseco ao próprio método, pelo menos da maneira que tenha
sido implementado, com elementos de parâmetros constantes.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
96
Figura 4.13 - Exemplo 1– NE= 64 não uniformes, NPGL=8.
Com efeito, em outras posições do reservatório, o método comporta-se da mesma
forma: representa fielmente os valores esperados em tempos cutos e longos, mas deixa a
desejar em tempos intermediários (veja-se a Figura 4.14). A posição de número 5, mais
próxima ao canto é aquela que apresenta maior discrepância, mesmo em tempos curtos.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
97
Figura 4.14 – Exemplo 1: Quedas de pressão em outros pontos do reservatório.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
98
Exemplo 2: Reservatório Quadrado – Fronteiras Seladas – Poço Descentralizado
Dando-se seqüência ao estudo, deseja-se neste exemplo, avaliar a influência da posição
do poço em relação aos limites do reservatório e sua relação com a exatidão da resposta.
Assumindo-se, inicialmente, a discretização mínima para a geometria em objeto e poço
posicionado a 1000m do limite mais próximo, se obtém o resultado apresentado na Figura
4.15.
A transição passa a ser mais longa do que a do exemplo anterior e, como se pode
admitir, mesmo com esta pobre representação, o método numérico é capaz de bem
representar os regimes de fluxo perpassados. As maiores discrepâncias permanecem na
região de transição entre eles.
Figura 4.15 - Exemplo 2– NE= 4, NPGL=8.
Posicionando-se, posteriormente, o poço a 250m do limite mais próximo, conforme a
Figura 4.16, o código computacional ainda é capaz de produzir resultados satisfatórios. Ao
menos compatíveis com o tipo e faixa de erros identificados anteriormente.
Neste caso, em que as distâncias às barreiras passam a diferir em ordem de magnitude,
a derivada de pressões denota um regime de fluxo intermediário, denominado semi-radial,
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
99
correspondente ao segundo patamar97 da curva de derivada de pressões da figura em análise
no período compreendido entre 20 e 80h.
Figura 4.16 - Exemplo 2– NE= 4, NPGL=8. Persistindo-se com o mesmo exercício e dispondo o poço a apenas 50m da fronteira
mais próxima, finalmente se obtêm resultados espúrios. Com a representação do meio por
apenas 4 elementos o caráter esperado da resposta não é reproduzido. Veja-se a Figura
4.17.
Contudo, dispondo apenas 2 novos elementos de 10m nas imediações do poço os erros
voltam a faixa até agora considerada (veja-se a Figura 4.18).
97 Em valores numéricos, na proporção de 1 para 2, do primeiro patamar para o segundo.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
100
Figura 4.17 - Exemplo 2– NE= 4, NPGL=8.
Figura 4.18 - Exemplo 2– NE= 7 não uniformes, NPGL=8.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
101
Exemplo 3: Reservatório Quadrado – 1 Fronteira Realimentada – Poço Descentralizado
Aplicando-se o aprendizado anterior e considerando-se, agora, uma das fronteiras como
realimentada, passa a ocorrer o comportamento exibido na Figura 4.19. Em termos práticos,
uma fronteira realimentada pode representar um possante aqüífero.
No caso em objeto são esperados três regimes de fluxo característicos: radial infinito,
semi-radial e regime permanente. Os dois primeiros já foram descritos anteriormente.
Quanto ao último, quando da influência da porção realimentada do reservatório, as quedas
de pressão no poço se tornam constantes e, como conseqüência, a derivada temporal passa a
tender a decrescer de forma abrupta.
Pela avaliação da Figura 4.19 podem-se constatar baixos erros relativos, sendo os
máximos sistematicamente ocorridos nos períodos correspondentes as transições entre
regimes característicos.
Resultado de semelhante qualidade é obtido ao se dividir o mesmo meio em 80
elementos uniformes. Veja-se a Figura 4.20.
Figura 4.19 - Exemplo 3 – NE=18 não uniformes, NPGL=8.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
102
Figura 4.20 - Exemplo 3 – NE=80, NPGL=8.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
103
Exemplo 4: Reservatório Quadrado – Poço Próximo a um Ângulo Reto
Aproximando-se o poço de um segundo limite também a 250m e lançando-se mão
do exposto anteriormente, com apenas 20 elementos de comprimento não uniforme, se
obtêm discrepâncias compatíveis com as até aqui exibidas.
Com essa configuração, o sistema atravessa três regimes distintos, conforme os
perpassados no exemplo 2. A única distinção está relacionada à proporção dos valores dos
dois patamares da curva de derivadas de pressão: desta vez, 1 para 4.
Figura 4.21 - Exemplo 4 – NE=20 não uniformes, NPGL=8. Exemplo 5: Reservatório Aberto– Poço Próximo Limites em Ângulo de 30º
Até aqui foram discutidos reservatórios de forma circular e quadrada – portanto,
com ângulos internos obtusos e retos. O intuito deste Exemplo 5 é avaliar como se
comporta a implementação do MEC quando da presença de ângulos agudos. Os parâmetros
de simulação são os apresentados na Tabela 4-5.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
104
Tabela 4-5 – Exemplo 5: parâmetros considerados.
PARÂMETRO VALOR
k [mD] 300,0000
fi 0,2000
mi [cP] 1,0000
ct [cm²/kgf] 0,00010
h [m] 50,0000
q [m³/d] 500
rw [m] 0,10
A Figura 4.22 mostra que com elementos de extensão próxima a 2000m já é
possível representar a forma esperada da derivada de pressões, porém com erros máximos
absolutos da ordem de 11%.
Há dois regimes de fluxo característico estabelecidos, ambos de aspecto radial,
representados por dois patamares na proporção de 1 para 6.
Figura 4.22 – Exemplo 5 - NE=25, NPGL=8.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
105
Duplicando-se a quantidade de elementos é possível trazer o erro máximo relativo
para a faixa com a qual se tem trabalhado até aqui.
Note-se que, neste caso, uma condição favorável é criada. Qual seja: o poço passa
estar localizado nas cercanias de uma extremidade de elemento e não mais nas
proximidades de um centro de elemento. Consulte-se o disposto no item 4.1.2.
Curiosamente, as discrepâncias também mudam de sinal.
Figura 4.23 – Exemplo 5 - NE=49, NPGL=8.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
106
Exemplo 6: Reservatório Retangular – Poço entre Falhas Paralelas
Uma outra geometria de uso corrente e, por conseguinte, que deve ser bem
representada é a de fluxo em canal. Sistemas deposicionais turbidíticos típicos da costa
brasileira podem apresentar esta configuração.
Quando se trata de geometria acanalada duplamente simétrica98, e fechada em suas
extremidades são esperados três regimes característicos de fluxo: o radial infinito, o
linear99, de inclinação ½, e o pseudo-permanente, caso haja tempo suficiente para se
perceber todos os limites do reservatório.
Seja um reservatório retangular de lados 250m e 10.000m, conforme a Figura 4.24,
sem escala, tendo como parâmetros os especificados na Tabela 4-6.
Tabela 4-6 – Exemplo 6: parâmetros considerados.
PARÂMETRO VALOR
k [mD] 800,0000
fi 0,2000
mi [cP] 1,0000
ct [cm²/kgf] 0,00010
h [m] 50,0000
q [m³/d] 800
rw [m] 0,10
Em simulação via MEC, caso sejam adotados elementos uniformes de 2.000m na
direção x, o comportamento esperado não é reproduzido. Note-se que a distância do poço as
extremidades do canal é de 125m.
Já se dispondo de elementos de 500m ou de 250m o aspecto esperado da derivada
de pressões é alcançado e os erros são progressivamente reduzidos à faixa aceitável. Esta
afirmação pode ser comprovada através da Figura 4.25 e da Figura 4.26.
98 Simétrica em relação aos dois eixos coordenados. 99 Após o transitório atingir as fronteiras paralelas associadas ao canal as linhas de corrente equipotenciais tendem a se linearizar.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
107
Figura 4.24 - Exemplo 6 – NE=12, NPGL=8.
Figura 4.25 - Exemplo 6 – NE=42, com comprimento uniforme na direção x, NPGL=8.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
108
Figura 4.26 - Exemplo 6 – NE=84,com comprimento uniforme na direção x, NPGL=8.
Exemplo 7: Reservatório Infinito – Poço Fraturado
Uma outra característica dos programas computacionais desenvolvidos, que deve ser
explorada, é a de cômputo de mais de uma fonte de domínio. Para ilustrar esta
possibilidade, é escolhido o modelo de poço fraturado, sendo ele próprio representado por
um conjunto de fontes lineares100.
O fraturamento hidráulico é freqüentemente empregado na indústria de petróleo para
aumento de produtividade dos poços.
A Figura 4.27, a Figura 4.28 e a Figura 4.29 representam um reservatório de extensão
infinita sujeito a produção através de taxa constante de poço com fratura de 200m de
comprimento. Para os demais parâmetros considerados consulte-se a Tabela 4-7.
Transitórios correspondentes a poços fraturados tendem a apresentar, antes do regime
radial infinito, um regime de fluxo linearizado – de inclinação ½ no gráfico de diagnóstico.
100 Uma maneira mais elegante e mais exata para este cômputo seria a adoção da solução fundamental de fonte planar com extensão finita.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
109
Os modelos, compatíveis com fluxo uniforme na admissão da fratura, são gerados com
21, 61 e 121 fontes, respectivamente.
Note-se que com poucas fontes, em tempos muito curtos, chega a ser desenvolvido um
regime radial a cada uma delas. À medida que a quantidade de fontes é aumentada este
regime vai desaparecendo. Com 121 fontes a resposta, se comparada à analítica
equivalente, pode ser considerada excelente.
O cálculo de fontes internas demanda pouquíssimo esforço computacional.
Tabela 4-7 - Exemplo 7: parâmetros considerados.
PARÂMETRO VALOR
k [mD] 50,0000 fi 0,2000
mi [cP] 1,0000 ct [cm²/kgf] 0,00010
h [m] 50,0000 q [m³/d] 800 Lf [m] 200,0000
Figura 4.27 – Exemplo 7 – NF=21, NPGL=8.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
110
Figura 4.28 - Exemplo 7 – NF=61, NPGL=8.
Figura 4.29 – Exemplo 7 – NF=121, NPGL=8.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
111
Seguindo-se esta mesma linha de raciocínio, poderia ter sido implementada solução
para poço horizontal101. Bastaria modificar a solução fundamental de Green de fonte linear
para fonte pontual e considerar as barreiras limitantes de topo e base de reservatório através
do método das imagens.
Exemplo 8: Modelo Composto – Duas Regiões Circulares Concêntricas
O modelo radial composto é definido por duas ou mais regiões circulares concêntricas,
sendo cada qual definida por k,µ,φ,ct e pelo seu raio externo. A razão entre os dois
primeiros parâmetros é denominada mobilidade, já o produto entre os dois últimos,
capacidade de estoque.
Este modelo é freqüentemente empregado em interpretação de testes em poços em
situações em que há presença de dois fluidos no meio poroso.
Note-se que deste ponto em diante, as respostas confrontadas com as soluções
analíticas advém do código preparado para lidar com domínios compostos de múltiplas
regiões homogêneas, ECDC.
Considere-se inicialmente apenas 2 regiões concêntricas, sendo a externa de extensão
infinita. Considere-se, também, que não haja contraste entre a capacidade de estoque das
regiões. Sejam os parâmetros básicos os apresentados na Tabela 4-8.
Tabela 4-8 - Exemplo 8: parâmetros considerados.
PARÂMETRO VALOR
k1/k2 [mD] 200/ VAR φ1/ φ2 15% /VAR
mi [cP] 1,0000 ct [cm²/kgf] 0,00010
h [m] 25,0000 q [m³/d] 800 rw [m] 0,1000
rI 50,0000
Deste modo, a derivada de pressões deve apresentar dois regimes de fluxo
característicos, ambos de aspecto radial – portanto, patamares. O primeiro relacionado à
mobilidade da região interna e o segundo relacionado à mobilidade da região externa.
101 Mesmo em se tratando de código preparado para lidar apenas com problemas bidimensionais.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
112
O valor numérico de cada patamar é inversamente proporcional à mobilidade da região.
Em outras palavras, quanto mais baixo o patamar, melhor a permeabilidade da região
perpassada pelo transitório de pressões.
A Figura 4.30 mostra um caso em que a mobilidade do setor externo é 4 vezes inferior
a do setor interno.
A Figura 4.31 denota mobilidade do setor externo 2 vezes superior.
Para ambas as simulações são utilizados 16 elementos de interface e são obtidas
discrepâncias relativas máximas inferiores a 3%.
Figura 4.30 – Exemplo 8 - NE de interface = 16, NPGL=8.
k=200 mD
k=50 mD fi = 15%
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
113
Figura 4.31 – Exemplo 8 - NE de interface = 16, NPGL=8.
Adicionando-se aos dois exemplos anteriores um contraste de capacidade de estoque na
proporção de 10 para 1, ocorre acentuada modificação no período de transição entre os dois
patamares da curva de derivadas de pressão. O MEC as representa de forma fidedigna.
Vejam-se as 2 figuras seguintes.
O acréscimo de limite hexagonal selado à região externa, conforme Figura 4.33, gera
resultados com qualidade compatível com os até aqui manejados.
k=200 mD k=400 mD fi = 15%
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
114
Figura 4.32 - Exemplo 8 - NE de interface = 16, NPGL=8.
Figura 4.33 - Exemplo 8 - NE de interface = 16, NE de fronteira externa=6, NPGL=8.
k=200 mD
k=50 mD fi = 1,5%
k=200 mD
k=400 mD fi = 1,5%
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
115
Exemplo 9: Modelo Composto – Quatro Regiões Circulares Concêntricas
Neste exemplo são exploradas 4 regiões concêntricas ao invés de 2.
São adotados basicamente os mesmos parâmetros destacados na Tabela 4-8. Exceção
feita às distâncias radiais às interfaces – 50, 500 e 5000m – e às permeabilidades de cada
setor circular – 400, 200, 1600 e 800mD.
Na Figura 4.34 as interfaces são representadas por 8 elementos cada qual. Já na Figura
4.35 as duas interfaces internas são divididas em 16 elementos.
Os resultados das duas simulações são similares.
Figura 4.34 - Exemplo 9 - NE de interface = 8, NPGL=8.
k=400 mD
k=1600 mD
k=800 mD
k=200 mD
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
116
Figura 4.35 - Exemplo 9 - NE de interface = 2x16 + 8, NPGL=8. Exemplo 10: Modelo Linear Composto
Com o esgotamento dos modelos compostos disponíveis pelo PANSYSTEM102 e
tendo-se em mente que o modelo radial composto é caso particular do tipo de
implementação objeto desta dissertação, houve necessidade de se recorrer, primeiramente,
ao programa comercial de mesma finalidade denominado SAPHIR103, com vistas à
exploração do modelo linear composto.
Este modelo é ilimitado e possui uma interface semelhante à disposta no quadro menor
da Figura 4.36. São testadas duas relações entre propriedades – conforme a Tabela 4-9 - e
os resultados obtidos são muito bons.
Tabela 4-9 –Exemplo 10: parâmetros considerados
PARÂMETRO VALOR
k1/k2 (k2) [mD] 30,00/ 120,00 (10,00) fi 0,1000
mi [cP] 0,2500 ct [cm²/kgf] 0,00010
h [m] 25,0000 q [m³/d] 400 L [m] 300,0000
102 O PANSYSTEM não dispõe de modelo linear composto, com propriedades distintas entre regiões. 103 Versão 3.12. Para maiores informações, consultar o sítio: http://www.kappaeng.com/software/saphir.
k=400 mD
k=1600 mD
k=800 mD
k=200 mD
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
117
Figura 4.36 - Exemplo 10 - NE de interface = 25, sendo o menor com 10m. Exemplo 11: Modelo Composto por 3 regiões
Por último, o código computacional ECDC é testado contra o PANMESH, simulador
numérico baseado em elementos finitos, atrelado ao PANSYSTEM.
É avaliado o modelo disposto na Figura 4.37, sob as condições designadas na Tabela
4-10.
Tabela 4-10 –Exemplo 11: parâmetros considerados
PARÂMETRO VALOR
k1 /k2 /k3 [mD] 1000,00/ 2000,00 / 10,00 fi 0,20/ 0,20 / 0,05
mi [cP] 1,00 ct [cm²/kgf] 0,00010
h [m] 25,0000 q [m³/d] 500 L [m] 300,0000
Há um único poço, próximo a uma região de baixa permeabilidade (região 3).
Pode-se constatar que são obtidas respostas similares por ambos os métodos
numéricos.
K1=30mD K2=10mD
K2=120mD
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
118
Figura 4.37 - Exemplo 11 – modelo composto de 3 regiões.
4.4. Limitações do Algoritmo de Stehfest
Até este ponto, foi demonstrada a aptidão das implementações para lidar com todas as
características prometidas no item 1.3, com exceção da de produção das fontes internas ao
domínio por esquemas de vazões variáveis. Por outra, até aqui se considerou poços
produzindo a taxas constantes.
A produção de petróleo é geralmente regulada por estranguladores de fluxo. Esta
espécie de dispositivo é interposta à linha de produção, em superfície, a jusante da cabeça
de poço, com objetivo de regular pressões e vazões de todo o sistema produtivo.
Os estranguladores disponíveis têm a forma cilíndrica e seus diâmetros internos são
padronizados em determinadas bitolas. A substituição de um estrangulador por outro de
diferente diâmetro interno acarreta, portanto, mudança brusca (ou “em degrau”) na vazão
de produção.
MEF MEF
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
119
O algoritmo de STEHFEST (1970) não foi idealizado para o trato com funções
descontínuas104.
A Figura 4.38 consiste num exemplo ilustrativo: imagine-se que se queira inverter,
pelo algoritmo de STEHFEST (1970), do campo de Laplace para o campo real uma função
que sabidamente possui a natureza da representada pelos degraus em azul escuro.
Neste caso, após a ocorrência da primeira descontinuidade, em t=1, a resposta gerada
pelo algoritmo não é capaz de representar apropriadamente o segundo patamar.
Note-se, também, que o acréscimo progressivo no número de coeficientes de Stehfest
por passo de tempo tende a corresponder a um aumento de exatidão na resposta. No
entanto, a partir de NSteh (NS na figura) = 26, entra decisivamente em jogo a precisão da
própria máquina e a solução deixa de ser bem comportada.
Figura 4.38 - Exemplo sintético do uso do algorítmo de Stehfest. Caso de vazões variáveis.
Efetivamente, caso se queira avaliar a resposta de poços sujeitos a vazões variáveis, em
virtude da linearidade do problema, se pode obter a resposta isolada para cada poço
submetido à vazão constante, e aplicar, posteriormente, os Princípios da Superposição
dispostos nos itens 2.6 e 2.7.
104 De fato, isto só foi percebido durante o desenvolvimento do trabalho.
CAPÍTULO 4: APLICAÇÕES NUMÉRICAS
120
Naturalmente, não se trata de um procedimento desejado ou computacionalmente
eficiente, mas em certas circunstâncias pode ser administrado.
CAPÍTULO 5: CONCLUSÕES E SUGESTÕES
121
5.Conclusões e Sugestões
5.1. Conclusões
Em primeiro lugar, o estudo dos fundamentos envolvidos no desenvolvimento do
Método dos Elementos de Contorno abarca um útil e elegante ferramental matemático,
dilatador de horizontes. O postulante a dissecá-lo se depara com diversos conceitos
matemáticos estimulantes.
Adicionalmente, se pode afirmar que se trata de uma técnica viável para a solução do
tipo de problema estudado. Com alguns poucos cuidados, o MEC é capaz de representar o
caráter dos regimes de fluxo perpassados. Devem ser evitadas fontes muito próximas a
centros de elementos.
Relativamente poucos elementos são necessários para representar os simples problemas
apresentados. Até que se encontrem barreiras ou interfaces, a característica analítica da
solução é preservada. Os maiores erros se concentram nas transições entre regimes de fluxo
característicos. Nos diversos casos estudados, nestas porções foram obtidas discrepâncias
relativas inferiores a 6%, com poucos elementos. Neste sentido, a adoção da solução
numérica via espaço de Laplace é interessante na medida em que não acumula erros no
decorrer do tempo. O algoritmo de Stehfest é robusto e eficaz. Com 6 passos produz
excelentes resultados. Em contrapartida, não é apropriado para manusear históricos de
vazão variáveis.
Em relação a métodos analíticos, o MEC tem como vantagem a flexibilidade. Não são
esperadas restrições quanto à conformação das fronteiras e interfaces dos reservatórios.
Além disso, admite condições de contorno mais amplas e várias fontes no domínio.
Em relação a outros métodos numéricos (MDF e MEF), pode ser vantajoso, desde que
não haja não-linearidades. Em algumas circunstâncias tende a ser mais exato.
CAPÍTULO 5: CONCLUSÕES E SUGESTÕES
122
5.2. Sugestões
Entre os métodos numéricos mais difundidos - MDF, MEF e MEC - o MEC é aquele
cujo desenvolvimento é mais recente. Deste modo, constitui um campo ainda muito fértil
de trabalho.
Potenciais incrementos em relação ao que até aqui foi desenvolvido são:
Quanto à Exatidão da Resposta
• Pode-se implementar elementos de parâmetros lineares em lugar de elementos de
parâmetros constantes. Isto certamente se refletirá em ganhos de exatidão nos
cálculos dos coeficientes das matrizes H e G e dos valores em pontos internos.
Quanto à Aceleração da Solução
• Como se viu, a aceleração da solução de problemas da espécie analisada neste
trabalho – relativamente poucos elementos de contorno - está intimamente ligada ao
processo de montagem do sistema linear. Para outras circunstâncias, pode ser
interessante, no caso de múltiplas regiões homogêneas, que a matriz global nem
mesmo seja constituída e que seja operada alguma solução iterativa105, tal qual fez
DORS (2002).
• Uma outra vertente, para problemas com mais elementos e múltiplas regiões, pode
ser a reestruturação da matriz global para solução por método direto (veja-se
SANTIAGO, TELLES e VALENTIM, 1999).
Quanto ao Uso do Programa
• Especialmente para regiões compostas pode ser investido tempo na construção de
um pré-processador para que seja obtida maior facilidade na montagem do
problema.
Quanto ao método de inversão do campo de Laplace para o campo real
105 Por exemplo, via gradientes bi-conjugados.
CAPÍTULO 5: CONCLUSÕES E SUGESTÕES
123
• Apesar da escolha do algoritmo de STEHFEST (1970) ter sido considerada
acertada, do ponto de vista de sua robustez e da não acumulação de erros, resultou
insuficiente para cômputo de funções descontínuas. Uma promissora alternativa é o
algoritmo de Iseger (veja-se AL-AJMI et al, 2008).
Quanto à Inclusão de Novas Características Físicas e Geométricas no Simulador
Neste âmbito, pode-se buscar:
• Incluir de efeitos locais de poço – efeito de película106 e de estocagem107 – para
uma representação mais realista do problema prático;
• Estudar a adequação dos códigos para consideração de barreiras de extensão
limitada dentro do domínio, que possam representar falhas geológicas, condutivas,
selantes ou com imposição de capacidade de transmissão regulada;
• Reformular os programas para inclusão de escoamento de fluido muito
compressível – tipicamente, gás;
• Com conceito similar ao que foi utilizado para representação de poços fraturados,
manusear poços horizontais, mesmo com códigos preparados para problemas
bidimensionais. Basta substituir a solução fundamental de fonte linear pela de fonte
pontual e aplicar o conceito de imagens para representação de topo e base do
reservatório;
• Estender as aplicações para reservatórios estratificados, com cada substrato tendo
características petrofísicas distintas. Este tipo de reservatório ocasiona troca de
fluido entre camadas. É necessário avaliar a melhor forma de representá-la. Por
exemplo, se na própria solução fundamental ou com empilhamento de camadas.
Nesta segunda hipótese, fatalmente seria necessário dividir o domínio em
elementos;
106 A perfuração de poços de petróleo normalmente acarreta modificações das propriedades químico-físicas em suas cercanias. Estas alterações, por estarem restritas a uma região muito próxima à parede do poço e pela própria maneira de contabilizá-la nos cálculos, são embutidas nas soluções por uma parcela aditiva de queda de pressão, denominada efeito de película (ou skin). 107 Em instantes posteriores a abertura de poços de petróleo, antes mesmo da manifestação do reservatório de petróleo, ocorre descompressão dos fluidos no interior da tubulação. Esta descompressão é denominada efeito de estocagem.
CAPÍTULO 5: CONCLUSÕES E SUGESTÕES
124
• Expandir os conceitos aqui explorados para problemas tridimensionais e, em
decorrência, se avaliar, por exemplo, poços horizontais multifraturados;
• Representar escoamento bifásico e não linear água-óleo. Em campos de petróleo, a
injeção de água é largamente utilizada com a finalidade de manter a pressão de
reservatórios e de empurrar o fluido de interesse dos poços injetores em direção
aos produtores. É de fundamental importância que o MEC, mesmo que com algum
artifício, possa manusear este tipo de escoamento.
125
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128
Apêndice A
Algoritmo de STEHFEST (1970) A inversão numérica de ( )sf no campo de Laplace para F(t) no campo real pode ser
aproximada pela expressão:
( )
≈ ∑=
it
fVt
tFNSteh
ii
2ln2ln
1
, (A.1)
onde os coeficientes Vi são definidos por:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]
( )
∑+=
++
−−−−=
2/,min
2/1int2
2/12/
!2!!!2/
!21
ni
ik
nni
iikkikkn
kkV . (A.2)
Observações:
- NSteh deve ser par
- a soma de Vi deve ser aproximadamente igual a zero.
Tabela A-1: Coeficientes de Stehfest.
N Vi
2 6 10 12 1 2 1 0,083333 0,016667
2 -2 -49 -32,083333 -16,016667
3 366 1.279,000000 1.247,000000
4 -858 -15.623,666667 -27.554,333333
5 810 84.244,166667 263.280,833333
6 -270 -236.957,500000 -1.324.138,700000
7 375.911,666667 3.891.705,533333
8 -340.071,666667 -7.053.286,333333
9 164.062,500000 8.005.336,500000
10 -32.812,500000 -5.552.830,500000
11 2.155.507,200000
12 -359.251,200000
129
Apêndice B
Transformação de coordenadas de sistema ortotrópico para
sistema isotrópico equivalente
Seja o fluxo num meio poroso ortotrópico governado pela equação da difusão
t
u
y
u
k
k
x
u
k
k yx
∂∂=
∂∂+
∂∂
η1
2
2
2
2
, (B.1)
onde k é um valor de referência, obrigatoriamente o mesmo embutido em η .
O primeiro termo do primeiro membro pode ser expandido para
∂∂
∂∂
∂∂=
∂∂
x
x
x
u
xk
k
x
u
k
k xx ''2
2
, (B.2)
com x’ sendo o equivalente ao eixo original x para o sistema coordenado transformado.
Processando-se as derivadas parciais pela regra da cadeia para a multiplicação passa-se
a ter:
x
x
x
x
x
u
k
k
x
x
x
u
k
k
x
u
k
k xxx
∂∂
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂ ''
''
' 2
22
2
2
2
2
. (B.3)
Para que o termo em objeto mantenha o mesmo aspecto na equação governante, em
relação à equação original, é necessário que no sistema transformado:
1'
2
=
∂∂
x
x
k
kx e (B.4)
0''
2
2
=∂∂
∂∂
x
x
x
x
k
kx . (B.5)
130
De (B.4), portanto:
xk
k
x
x =∂∂ '
ou (B.6)
xk
kx
x
=' . (B.7)
Sendo x’ definido por (B.7), a condição (B.5) é automaticamente atendida.
Analogamente, para o eixo ortogonal y pode-se escrever:
yk
ky
y
=' . (B.8)
Deste modo, com a transformação de coordenadas definida por (B.7) e (B.8), um
sistema ortotrópico pode ser transformado num isotrópico equivalente.
Ademais, k pode assumir qualquer valor de referência. No entanto, por razões relativas
à interpretação de testes em poços de petróleo é conveniente que seja definido como:
yxkkk = . (B.9)
131
Apêndice C
Tabela de transformadas de Laplace utilizadas neste trabalho
Expressões extraídas de ABRAMOVITZ e STEGUN (1972).
Designação
(Dissertação/ ABRMVTZ et AL,1972) Função
Espaço de Laplace Função
Espaço Real
C.1 29.2.4
(diferenciação) ( ) ( )+− 0fsfs
dt
df
C.2 29.2.8
(convolução) ( ) ( )sfsf 21 ( ) ( ) τττ dftfff
t
2
0
121 ∫ −=∗
C.3 29.3.1 s
1 1
C.4 29.3.82 ske−
−
t
k
t
k
4exp
2
2
3π
C.5 29.3.83 skes
−1, 0≥k
t
kerfc
2
C.6 29.3.84 skes
−1, 0≥k
−
t
k
t 4exp
1 2
π
C.7 29.3.120 ( )skK0 , 0>k
−
t
k
t 4exp
21 2
132
Apêndice D
Solução fundamental: fonte instantânea planar
Seja uma fonte planar, de extensão infinita108, posicionada em ξ de forma ortogonal ao
eixo coordenado x, que submeta um meio igualmente infinito em todas as direções a uma
retirada instantânea de fluido, definida por um fluxo específico q~ .
Figura D.0.1 – Fonte Planar.
Se tal retirada é dominada por efeitos viscosos, então é regida pela equação da difusão
hidráulica, que para fluxo unidimensional pode ser expressa por:
02
2
=∂∂−
∂∂
t
u
x
uxη (D.1)
Considerando equilíbrio do meio prévio a retirada, se tem que:
( ) 00, ==txu (D.2)
Pela condição de espaço infinito, abordada na definição do problema:
( ) 0,lim =−∞→− txux ξξ (D.3)
108 Em y e z. Infinitesimal em x.
x
y
ξ
133
Considerando-se a lei de Darcy e valendo-se da simetria do problema proposto, a
condição de contorno interna pode ser expressa por:
wx
dx
ukq
w
Γ∂∂= ∫
Γ =ξµ2 (D.4)
Ademais, se a retirada se dá de forma igualmente distribuída pela fonte, então a
expressão (D.4), pode ser escrita como:
k
q
x
u
x 2
~µξ
=∂∂
=
(D.5)
A solução do problema descrito por (D.1) a (D.3) e (D.5) pode ser obtida a partir
de algumas maneiras distintas. Neste apêndice, como na maior parte do trabalho, é
explorada aquela que lança mão de transformadas de Laplace.
Procedendo-se assim e reescrevendo-se, portanto, o problema no espaço
transformado se tem:
02
2
=−∂∂
usx
uη (D.6)
Note-se que na equação da difusão, (D.6), já está embutida a condição inicial.
Nestes termos, a condição de contorno interna, no espaço transformado, passa a
ser:
sk
q
x
u
x
12µ
ξ
=∂∂
=
. (D.7)
As soluções da equação diferencial (D.6) tem a forma:
ηξηξ sxsx eCeCu −−− += 21 . (D.8)
Por conseguinte, a derivada espacial de (D.8) é:
ηξηξ ηη sxsx eCseCsx
u −−− −=∂∂
21 . (D.9)
134
Fazendo com que x se aproxime da posição da fonte planar, ξ , e pela substituição
de (D.7) em (D.9), intui-se que necessariamente C1=0 e C2 vale:
ssk
qC ηµ 1
2
~2 = . (D.10)
Substituindo-se (D.10) em (D.9), já com as considerações pregressas chega-se a:
ηξ
ηφsx
t
essc
qu −−=
2
1~ (D.11)
A expressão (D.11) corresponde à solução para a queda de pressão no espaço de
Laplace para uma fonte planar produzida a uma vazão específica constante.
Com o uso da equação (2.111), a solução para o impulso instantâneo é
prontamente obtida como:
xsx
xt
esc
qu ηξ
ηφ−−=
2
1~. (D.12)
Finalmente, de (C.6) se tem que a expressão equivalente a (D.12) no campo real,
que é:
( )t
x
xt
xetc
qu η
ξ
πηφ4
2
2
1~ −−= . (D.13)
Portanto:
( )( )
t
x
x
xet
txg ηξ
πηξ 4
2
2
1,,
−−= . (D.14)
135
Apêndice E Tabela de conversão de unidades
GRANDEZA SISTEMA
BRASILEIRO DE CAMPO
SISTEMA INTERNACIONAL
MULTIPLICAR POR
COMPRIMENTO metro [m] metro [m] 1,000 000 000
PERMEABILIDADE mili-Darcy [mD] metro quadrado
[m2] 9,869 232 667 E-16
PRESSÃO
quilograma-força por centímetro
quadrado [kgf/cm2]
Pascal [Pa] 9,806 652 000 E+4
TEMPO hora [h] segundo [s] 3,600 000 000 E+3
VAZÃO metro cúbico por
dia [m3/d] metro cúbico por segundo [m3/s]
1,157 407 407 E-5
VISCOSIDADE centi-Poise [cP] Pascal.segundo
[Pa.s] 1,000 000 000 E-3
136
Apêndice F Vetores Apontadores de ECDC Os arranjos globais em domínios compostos de múltiplas regiões são gerados NSteh
vezes por passo de tempo. No entanto, suas topologias, esparsas, são fixas.
No código computacional ECDC, a topologia dos arranjos globais é definida via 4
vetores apontadores (veja-se o Capítulo 3). Tais vetores são gerados da seguinte maneira:
e(j), reg1(j), reg2(j), j=1..et
‘entrada de dados.
‘e(j): número do elemento, reg1: 1ª região a que pertence o elemento, reg2: 2ª região a
que pertence o elemento, et: total de elementos.
‘se reg1=reg2 então elemento de contorno propriamente dito.
‘caso contrário, de interface.
rt = Max(reg1(j), reg2(j)), j=1..et
‘rt: número de regiões que possui o domínio composto.
k=0
Para j=1..rt
Para i=1..et
Se reg1(i)=j ou reg2(i)=j então
k=k+1
vapl(k)=e(i)
vapr(k)=j
fim
Próximo i
Próximo j
‘vapl(k): vetor apontador do elemento em que deve se encontrar o ponto-fonte.
‘vapr(k): vetor apontador da região sob avaliação.
137
z=0
para i=1..rt
para j=1..rt
para k=1 a et
se reg1(k)=i e reg2(k)=j então
z=z+1
vaph(z) = e(k)
se e(k)>et – eint então
z=z+1
vaph(z) = e(k)
fim
fim
Próximo k
Próximo j
Próximo i
‘vaph(k): vetor apontador de coluna da matriz H modificada.
‘eint: número total de elementos de interface.
k=0
para j=1..rt
para i=1..et
se reg1(i)=reg2(i) and reg2(i)=j então
k=k+1
vapg(k)=e(i)
fim
Próximo i
Próximo j
‘vapg(k): vetor apontador de coluna da matriz G modificada.
De posse de tais vetores, a montagem dos arranjos globais é imediata.