Analitička geometrijaZadaci

13. siječnja 2014.

2

Sadržaj

1 Poglavlje 51.1 Ponavljanje. Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Koordinatizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Vektorski produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Mješoviti produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Poglavlje 11

3 Poglavlje 153.1 Kružnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Opći oblik krivulje drugoga reda 19

5 Plohe 21

3

4 SADRŽAJ

Poglavlje 1

Vektori

1.1 Ponavljanje. Uvod

1.1 Nacrtajte a⃗ + 2b⃗ za dane a⃗ i b⃗.

1.2 Uvjerite se da vrijedi:

(a) a⃗ +1

2(b⃗ − a⃗) =

1

2(a⃗ + b⃗),

(b) a⃗ −1

2(a⃗ + b⃗) =

1

2(a⃗ − b⃗),

1.3 Neka je ABCDEF pravilni šesterokut teÐ→AB = a⃗,

Ð→AD = b⃗. Izrazite

Ð→BF ,

Ð→BC i

ÐÐ→DC pomoću Ð→a i

Ð→b .

1.4 Neka je ABCD paralelogram i neka suÐ→AC =Ð→a ,

ÐÐ→BD =

Ð→b . Izrazite vektore

Ð→AB,

Ð→BC,

ÐÐ→CD i

Ð→DA pomoću vektora a⃗ i b⃗.

1.5 Neka je ABC trokut, a A1, B1 i C1 polovišta njegovih stranica. Neka jeÐ→AB = a⃗,

Ð→AC = b⃗. Izrazite vektore

ÐÐ→AA1,

ÐÐ→BB1 i

ÐÐ→CC1 pomoću vektora a⃗ i b⃗.

1.6 Neka je T težište trokuta ABC. Provjerite da jeÐ→AT +

Ð→BT +

Ð→CT = Θ.

1.7 ABCA′B′C ′ je trostrana prizma, a točke P , Q, R su redom središta stra-nica BCC ′B′, ACC ′A′ i ABB′A′. Pomoću

Ð→AB,

Ð→AC i

ÐÐ→AA′ prikažite vek-

toreÐÐ→B′C,

Ð→AQ i

Ð→RP .

1.8 Neka je ABCDA′B′C ′D′ kvadar. Pokažite da vektori određeni njegovimdijagonalama

ÐÐ→AC ′,

ÐÐ→B′D,

ÐÐ→CA′ i

ÐÐ→D′B tvore (prostorni) četverokut.

1.9 Neka točke P , Q i R dijele redom stranice AB, BC i AC trokuta ABC uistom omjeru. Dokažite da se težišta trokuta ABC i PQR podudaraju.

1.10 Neka su K, L, M , N redom polovišta stranica AB, BC, CD i DE pete-rokuta ABCDE i neka su P i Q polovišta dužina KM i LN . Dokažite da

su pravci AE i PQ paralelni i da je ∣PQ∣ =1

4∣AE∣.

5

6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE

1.11 Neka su i⃗ i j⃗ dva nekolinearna vektora i a⃗ = 2⃗i − 3j⃗, b⃗ = i⃗ + 2j⃗, c⃗ = i⃗ − j⃗.Pokažite da su oni komplanarni.

1.12 Odredite t ∈ R tako da vektori a⃗ = t⃗i + j⃗ + 4k⃗, b⃗ = i⃗ − 2tj⃗, c⃗ = 3t⃗i − 3j⃗ + 4k⃗budu komplanarni za bilo koje nekomplanarne vektore i⃗, j⃗, k⃗.

1.13 Dan je paralelepiped određen nekomplanarnim vektorimaÐ→OA,

Ð→OB i

Ð→OC

(kao na skici danoj na vježbama). Dokažite da polovišta P , Q, R, U , V ,W bridova leže u istoj ravnini (v. skicu s vježbi).

1.14 Dan je paralelogram ABCD i točka T na stranici AB takva da jeÐ→AT =

1

n

Ð→AB. Neka je P presjek dijagonale AC i dužine TD. U kojem omjeru

točka P dijeli dijagonalu AC?

1.15 Sportski zrakoplov leti svojom vlastitom brzinom 150 km/h od sjeveraprema jugu. Tada počne puhati vjetar sjeverozapadnog smjera brzinom30 km/h. Nacrtajte vektor brzine zrakoplova i izračunajte njegov modul.

1.16 Četiri naboja raspoređena su u vrhovima kvadrata stranice duljine 2.5 cm.:+3 ⋅10−6 C, −3 ⋅10−6 C, +3 ⋅10−6 C i −3 ⋅10−6 C. Odredite vektor sile i njeziniznos (modul) u svakom od vrhova. (Napomena: sila je Coulombova, aiznos joj se računa po formulu F1,2 = k

q1q2r2

; + strelice prema van, − streliceprema unutra).

1.17 Tri jednaka naboja po 10 µC postavljena su u vrhove jednakostraničnogatrokuta. Gdje i koliki naboj treba postaviti da bi sve sile koje djeluju bileu ravnoteži?

1.18 Dani su vektori a⃗ = 3m⃗ − n⃗, b⃗ = m⃗ − 2n⃗, c⃗ = −m⃗ + 7n⃗, p⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗. Ako sum⃗ i n⃗ linearno nezavisni, odredite linearnu nezavisnost vektora a⃗, b⃗ i p⃗.

1.19 Neka je ABCDA′B′C ′D′ paralelepiped. Dokažite da pravac AC ′ siječetrokut BDA′ u njegovom težištu.

1.20 U trapezu ABCD polovišta osnovica i sjecište krakova leže na istompravcu. Dokažite!

1.21 Neka je ABCD paralelogram M i N polovišta od AB i CD, P sjecište odBN i CM te T sjecište od AP i BC. Odredite u kojem omjeru točka Tdijeli BC.

1.22 Neka je ABC trokut i vektorÐ→AP određen linearnom kombinacijom

Ð→AP = x

Ð→AB + y

Ð→AC.

Uz koji uvjet na skalare x i y točka P leži na pravcu BC?

1.2 Koordinatizacija

1.23 Neka je ABCD trapez s osnovicama AB i CD takvima da je ∣CD∣ =2

5∣AB∣.

Zapišite vektorÐ→CB u bazi {

Ð→AB,

Ð→AD}.

1.2. KOORDINATIZACIJA 7

1.24 Neka je T težište trokuta ABC. Odredite koordinate vektoraÐ→AB,

Ð→BC,

Ð→AC i

Ð→AT u bazi {

Ð→TB,

Ð→TC}.

1.25 Dan je tetraedar OABC. U bazi {Ð→OA,

Ð→OB,

Ð→OC} odredite koordinate vek-

toraÐÐ→DE i

Ð→OT pri čemu su D i E redom polovišta bridova OA i BC, a T

težište trokuta ABC.

1.26 Za koje vrijednosti parametra m vektori a⃗ = (1,1,1), b⃗ = (1,4,m) i c⃗ =(2,m + 2,6) čine bazu prostora V 3?

1.27 (a) Jesu li a⃗ = (2,3,1) i b⃗ = (−1,−3

2,−

1

2) kolinearni?

(b) Jesu li a⃗ i b⃗ komplanarni? Obrazložite svoj odgovor.

(c) Jesu li f⃗ = (1,1,0), g⃗ = (1,−1,0) i h⃗ = (0,2,0) komplanarni?

1.28 Dani su vektori p⃗ = (t,1,4), q⃗ = (1,−2t,0) i r⃗ = (3t,−3,4). Odredite t ∈ Rtako da r⃗ bude linearna kombinacija vektora p⃗ i q⃗.

1.29 Prikažite vektor (3,1

2,3

2) kao linearnu kombinaciju vektora (1,1,1) i (−2,3,1).

1.30 Odredite a ∈R tako da vektor (−1,−1,7) bude moguće prikazati kao line-arnu kombinaciju vektora (1,−1,1) i (a,1,2).

1.31 Jesu li vektori

(a) (2,−3), (−4,6)

(b) (2,3), (−4,6)

(c) (2,0), (0,1)

(d) (2,−3,1), (4,6,−2)

(e) (2,−3,0), (4,0,2)

(f) (−2,−3,1), (4,6,−2)

(g) (1,1,1), (1,0,0) i (1,1,0)

kolinearni? A linearno nezavisni?

1.32 Prethodni zadatak riješite pomoću determinanti.

1.33 U ovisnosti o parametrima m,n ∈R ispitajte linearnu nezavisnost vektora

(a) (1,m,1), (m,1,−1), (1,−1,1)

(b) (m,m,2), (1,1,1), (2,2,1)

(c) (1,m,1), (n,1,1), (1,1,1)

8 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE

1.3 Skalarni produkt

1.34 Izračunajte (⃗i − j⃗ + k⃗) ⋅ (2⃗i − 3j⃗ − k⃗) ako je {⃗i, j⃗, k⃗} ortonormirana baza.

1.35 Odredite skalarni produkt vektora a⃗ = 2m⃗ − n⃗ i b⃗ = m⃗ − 2n⃗ gdje je ∣m⃗∣ = 2,∣n⃗∣ = 4 i ∡(m⃗, n⃗) =

π

3.

1.36 Koliki je modul vektora a⃗ = p⃗ − 2q⃗ ako je ∣p⃗∣ = 2, ∣q⃗∣ =√

3 i ∡(p⃗, q⃗) =π

6.

1.37 Dani su vrhovi A(−3,−2,0), B(3,−3,1), C(5,0,2) i D(d1, d2, d3). Odre-dite kut među dijagonalama paralelograma.

1.38 Pomoću vektora dokažite jednakost

(a) cos(α − β) = cosα cosβ + sinα sinβ

(b) cos(α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ

1.39 Dani su vektori u⃗ = (6,1,1), v⃗ = (0,3,−1) i w⃗ = (−2,3,5). Odredite λ ∈ Rtako da vektori u⃗ + λv⃗ i w⃗ budu okomiti.

1.40 Ako za točke A, B, C i D vrijedi

Ð→AB2

+ÐÐ→CD2

=Ð→AC2

+ÐÐ→BD2,

onda suÐ→BC i

Ð→AD ortogonalni za B ≠ C i A ≠ B. Dokažite!

1.41 U pravokutnom trokutu duljine stranica a, b i c odnose se kao 1 ∶√

2 ∶√

3.Dokažite da su dvije težišnice toga trokuta okomite.

1.42 Koji kut zatvaraju vektori a⃗ i b⃗ ako je a⃗ + b⃗�2a⃗ + b⃗ i a⃗ − 2b⃗�a⃗ + 3b⃗?

1.43 Dani su vrhovi trokuta A(1,1,1), B(2,4,3) i C(1,0,4). Koliko je dugačkavisina na AB?

1.44 Neka su a⃗, b⃗ i c⃗ ortogonalni nenul-vektori u V 3. POkažite da su onilinearno nezavisni.

1.45 Dokažite da se visine trokuta sijeku u jednoj točki.

1.46 Dan je trokut OAB takav da jeÐ→OA = (1,2,1) i

Ð→OB = (−6,3,−3). Odredite

duljinu OC simetrale kuta pri vrhu O pri čemu je C točka na AB.

1.47 Neka je a⃗ = (−2,1,1), b⃗ = (1,5,0) i c⃗ = (4,4,−2). Odredite ortogonalnuprojekciju vektora 3a⃗ − 2b⃗ na vektor c⃗.

1.48 Neka je a⃗ = (1,−3,4), b⃗ = (3,−4,2) i c⃗ = (−1,1,4). Odredite ortogonalnuprojekciju vektora b⃗ + c⃗ na vektor a⃗.

1.49 Dan je trokut ABC i proizvoljan pravac p koji prolazi težištem trokuta.Ako su A′, B′ i C ′ ortogonalne projekcije vrhova trokuta na pravac p,dokažite da je

ÐÐ→AA′ +

ÐÐ→BB′ +

ÐÐ→CC ′ =

Ð→0 .

1.50 Za vektor a⃗ = (x, y, z) projekcije na koordinatne osi su vektori xi⃗, yj⃗ i zk⃗.Kolike kuteve vektor a⃗ zatvara s koordinatnim osima tj. vektorima i⃗, j⃗ ik⃗?

1.4. VEKTORSKI PRODUKT 9

1.51 Odredite sve vektore koji s koordinatnim osima x i y zatvara redom kuteve

mjereπ

3i

2π

3, a modul mu je 2. Koliki kut taj vektor zatvara s k⃗?

1.52 Ravnina je razapeta vektorima a⃗ = (1,2,1) i b⃗ = (1,1,0). Odredite projek-ciju vektora x⃗ = (8,4,3) na tu ravninu.

1.53 Dani su vrhovi A(1,2,3), B(3,2,1) i C(1,4,1) trokuta ABC. Pokažite daje taj trokut jednakostraničan tako da pokažete da:

(a) ima sve tri stranice jednake duljine,

(b) ima dvije stranice jednake duljine i kut među njima je mjere 60○,

(c) ima dva kuta mjere 60○.

1.54 Dan je trokut OAB takav da jeÐ→OA = (1,2,1) i

Ð→OB = (−6,3,−3). Odredite

duljinu težišnice iz vrha O.

1.4 Vektorski produkt

1.55 Za a⃗ = (1,1,0) i b⃗ = (−1,2,0), izračunajte a⃗ × b⃗, b⃗ × a⃗ i 2a⃗ × 3b⃗.

1.56 Neka je (⃗i, j⃗, k⃗) standardna ortonormirana baza. Pojednostavnite sljedećeizraze

(a) i⃗ × (j⃗ + k⃗) − j⃗ × (⃗i + k⃗) + k⃗ × (⃗i + j⃗ + k⃗),

(b) 2⃗i ⋅ (j⃗ × k⃗) + 3j⃗ ⋅ (⃗i × k⃗) + 4k⃗ ⋅ (⃗i × j⃗).

1.57 Za vektore a⃗ i b⃗ vrijedi ∣a⃗∣ = 1, ∣⃗b∣ = 2 i ∡(a⃗, b⃗) =2π

3. Odredite ∣a⃗ × b⃗∣ i

∣(2a⃗ + b⃗) × (a⃗ + 2b⃗)∣.

1.58 Ako su a⃗ i b⃗ linearno nezavisni, koristeći vektorski produkt odredite za kojuće vrijednost parametra k vektori p⃗ = ka⃗ + 5b⃗ i q⃗ = 3a⃗ − b⃗ biti kolinearni?

1.59 Izračunajte površinu paralelograma kojemu su točke A(1,1,0), B(4,1,0),C(5,2,0) i D(2,2,0) vrhovi.

1.60 Izračunajte površinu trokuta razapetog težišnicama danog trokuta (odre-dite omjer površina novog i danog trokuta).

1.61 Odredite ortogonalnu projekciju vektora a⃗ = (3,−12,4) na vektor b⃗ =

(1,0,2) × (1,3,−4).

1.62 Neka je S točka unutar trokuta ABC i neka su P1, P2 i P3 površine trokutaSBC, SCA i SAB redom. Dokažite da je tada

P1Ð→SA + P2

Ð→SB + P3

Ð→SC =

Ð→0 .

10 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE

1.5 Mješoviti produkt1.63 Dokažite da plošne dijagonale koje izlaze iz jednog vrha paralelepipeda

volumena V razapinju novi paralelepiped volumena 2V .

1.64 Odredite volumen pravilnog tetraedra duljine brida a.

1.65 Dokažite da je

(a) (a⃗ × b⃗) × (c⃗ × d⃗) = [(d⃗ × a⃗) ⋅ b⃗] ⋅ c⃗ − [(a⃗ × b⃗) ⋅ c⃗] ⋅ d⃗,

(b) (a⃗ × b) × (b⃗ × c⃗) = [(a⃗ × b⃗) ⋅ c⃗] ⋅ b⃗.

Poglavlje 2

Analitička geometrija ravninei prostora

2.1 Odredite udaljenost točaka

(a) A(1,0) i B(3,7)

(b) A(1,−1,2) i B(0,1,3).

2.2 Odredite točku koja dijeli dužinu AB u omjeru1

3ako je A(1,7,−3) i

B(−2,−2,−2).

2.3 Odredite u kojem omjeru točka T dijeli dužinu AB ako je A(3,−5) iB(−9,1) te

(a) T (−1,−3),

(b) T (9,−8),

(c) T (−7,−1).

2.4 Napišite jednadžbu pravca kroz točke

(a) A(1,2,1) i B(4,5,2),

(b) A(1,1,1) i B(1,0,−1).

2.5 Napišite jednadžbu ravnine kroz točke A(1,0,0), B(1,1,1) i C(0,0,−1).

2.6 Ravnina je zadana parametarski

x = 1 + t + sy = t − sz = 2 − t + 2s

.

Napišite joj implicitnu jednadžbu.

2.7 Odredite sjecište pravcax − 1

2=y − 0

1=z + 2

2i ravnine x − y + 4z − 5 = 0.

2.8 Odredite sjecište pravacax + 1

1=y

1=z − 1

2ix

1=y + 1

3=z − 2

4.

11

12 POGLAVLJE 2. POGLAVLJE

2.9 Odredite D ∈R tako da pravac

{x − y + z + 1 = 02x − 3y − z +D = 0

siječe os z.

2.10 Odredite λ ∈R tako da se ravnine π1 . . . x−y+z = 0, π2 . . .3x−y−z+2 = 0i π3 . . .4x − y − 2z + λ = 0 sijeku po istom pravcu.

2.11 Na pravcux + 2

−1=y + 3

−1=z − 3

1odredite sve točke koje s točkamaA(−2,1,1)

i B(0,−7,4) čine pravokutan trokut.

2.12 Odredite jednadžbu pravca koji prolazi ishodištem i siječe pravce

x − 72

5=y

3=z − 5

2

1i

x + 3

1=y − 12

1=z + 9

1.

2.13 Napiši kanonski oblik jednadžbe pravca koji je paralelan s ravninom x +2y + 3z = 8, leži u ravnini 2x − y + z = 3 i prolazi točkom (1,2,3).

2.14 Odredite pravac p koji je paralelan s ravninama π1 . . .3x+12y−3z +5 = 0,π2 . . .3x − 4y + 9z + 7 = 0 i siječe pravce

q1 . . .x + 5

2=y − 3

−4=z + 1

3, q2 . . .

x − 3

−2=y + 1

3=z − 2

4.

2.15 Odredite točke jednako udaljene od ravnina π1 . . .16x − 12y + 15z − 9 = 0 iπ2 . . .12x + 9y − 20z − 19 = 0.

2.16 Odredite jednadžbu ravnine paralelne s vektorom s⃗ = (2,1,−1) koja os xsiječe u točki x = 3, a os y u točki y = −2.

2.17 Odredite najkraću udaljenost točke T (2,3,1) od pravca

x + 2

1=y + 1

2=z − 4

−2.

2.18 Odredite udaljenost dva paralelna pravca

p1 . . .x − 1

2=y + 1

2=z − 3

−1i p2 . . .

x

−2=y − 1

−2=z + 4

1.

2.19 Odredite udaljenost između pravaca

p1 . . .x + 5

2=y − 3

−4=z + 1

3, p2

x − 3

−2=y + 1

3=z − 2

4.

2.20 Odredite zajedničku normalu dvaju pravaca

x

1=y

1=z

0,

x − 1

0=y − 2

1=z − 3

0.

2.21 Dan je pravac p . . .3x − 2y + 5 = 0 i dvije točke A(1,4) i B(5,2). Odrediteudaljenost točke B od pravca p, kut koji zatvaraju pravci AB i p te sjecištetih dvaju pravaca.

13

2.22 Odredite ortogonalnu projekciju točke T (2,3,1) na ravninu π . . . x+y−z−7 = 0. Odredite i točku simetričnu točku T obzirom na ravninu π.

2.23 Nađite ortogonalnu projekciju točke T (2,3,1) na pravac

p . . .

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = t − 2y = 2t − 1z = −2t + 4

.

2.24 Odredite jednadžbu ravnine koja sadrži os x i koja s ravninom y = x za-tvara kut od 60○.

2.25 Odredite jednadžbe simetrala kutova koje zatvaraju pravci

p . . .x + 5

−3=y − 14

6=z + 3

2,

x − 3

2=y + 1

−3=z + 1

6.

2.26 Dana je ravnina π . . . x + y − z + 1 = 0 i pravac p . . .x − 1

0=y

2=z + 1

1.

(a) Odredite njihovo sjecište i kut ∡(π, p).

(b) Odredite jednadžbu ravnine koja sadrži pravac p, a okomita je naravninu π.

(c) Odredite jednadžbu projekcije pravca p na ravninu π.

2.27 Odredite ortogonalnu projekciju pravca

p . . .{x − y + z = 1x + y + z = 3

na ravninu π . . .2x + 2y + z = 5.

14 POGLAVLJE 2. POGLAVLJE

Poglavlje 3

Krivulje drugog reda

3.1 Kružnica

3.1 Izvedite uvjet dodira pravca y = kx + l i kružnice K(O, r).

3.2 Odredite jednadžbe tangenata povučenih na kružnicu (x − 5)2 + y2 = 9 izishodišta.

3.3 Kut između dviju kružnica je kut kojeg zatvaraju tangente kroz sjecištetih kružnica. Pod kojim se kutem sijeku kružnice x2 + y2 − 4x − 60 = 0 ix2 + y2 − 20x + 36 = 0?

3.4 Napišite jednadžbu kružnice koja sadrži ishodište i točke A(2,1), B(−1,2).

3.5 Odredite jednadžbu kružnice sa središtem u S(1,−3) koja prolazi krozM(3,5).

3.6 Odredite nužne i dovoljne uvjete da kružnica x2 + y2 + ax + by + c = 0

(a) dodiruje os x

(b) dodiruje os y

(c) dodiruje obje koordinatne osi

3.7 Odredite jednadžbe svih kružnica kojima je središte na osi x, a dodirujuos y.

3.8 Odredite jednadžbu kružnice koja dodiruje pravce y = −2x + 1, y = 2x + 2i sadrži ishodište.

3.9 Odredite geometrijsko mjesto središta svih kružnica polumjera R koje si-jeku kružnicu k s jednadžbom (x − p)2 + (y − q)2 = r2 pod pravim kutem.

3.10 Zadana je kružnica x2 + y2 = 4. Iz točke A(−2,0) povučena je tetiva ABi produžena do točke M tako da je

ÐÐ→BM =

Ð→AB. Odredite geometrijsko

mjesto točaka M koje se dobiju kada se B giba po danoj kružnici.

3.11 Dokažite da polare točaka pravca x−y = 0 s obzirom na kružnicu x2 +y2 −6x + 4y + 4 = 0 prolaze istom točkom. Koja je to točka?

15

16 POGLAVLJE 3. POGLAVLJE

3.12 Odredite geometrijsko mjesto točaka iz kojih se mogu povući tangentejednakih duljina (tj. jednakih udaljenosti od te točke do dirališta) nakružnice x2 + y2 = 20 i (x + 5)2 + y2 = 5.

3.2 Elipsa

3.13 Napišite centralnu jednadžbu elipse koja prolazi točkamaA(6,−1) iB(−2,3).

3.14 Skicirajte skup točaka u ravnini koje zadovoljavaju uvjete

9x2 + 25y2 − 225 < 0

3x + 5y − 15 < 0

y + 2 > 0

3.15 U kojem su odnosu pravac 2x − y − 3 = 0 i elipsax2

16+y2

9= 1?

3.16 Za koji k ∈R pravac y = −x + k dodiruje elipsu x2 + 4y2 = 20?

3.17 Odredite točku na elipsi x2 + 4y2 = 20 najbližu pravcu x + y = 7.

3.18 Odredite međusobnu udaljenost dvaju pravaca paralelnih s pravcem 4x −

2y + 13 = 0 koji dodiruju elipsux2

30+y2

24= 1.

3.19 Odredite sve točke elipse 9x2 + 25y2 = 225 koje su 4 puta više udaljene odlijevog nego od desnog fokusa.

3.20 Gdje se nalaze točke ravnine iz kojih se elipsa b2x2 + a2y2 = a2b2 vidi podpravim kutem?

3.21 Odredite sve zajedničke tangente elipse x2+4y2 = 4 i kružnice (x−1)2+y2 =1.

3.22 Odredite jednadžbu kružnice koja u točki (2,3) dodiruje elipsu 2x2 + y2 =17 i dodiruje pravac y = 11.

3.23 Neka su F1 i F2 fokusi, A i B glavna tjemena elipse takva da je F1 bližiA te P točka na elipsi (≠ A,B). Nadalje, neka kružnica upisana trokutuF1F2P dodiruje AB u točki Q. Dokažite da je ∣AQ∣ = ∣F1P ∣, ∣BQ∣ = ∣F2P ∣.

3.24 Dana je elipsa b2x2 +a2y2 = a2b2. Odredite produkt udaljenosti fokusa odtangente i pokažite da je isti za sve tangente.

3.25 Neka je D točka na elipsix2

25+y2

9= 1. Tangenta elipse s diralištem u točki

D siječe os y u točki T , a normala kroz točku D siječe os y u točki N .Pokažite da kružnica kroz točke T , D i N prolazi i fokusima elipse.

3.3. HIPERBOLA 17

3.3 Hiperbola

3.26 Odredite fokuse, asimptote, numerički i linearni ekscentricitet hiperbolex2 − 4y2 = 9.

3.27 Odredite kanonski oblike jednadžbe hiperbole koja prolazi kroz (6,3) akonjene asimptote zatvaraju kut od 60○.

3.28 Za koje vrijednosti parametram pravac 5x−2y+2m = 0 siječe/dodiruje/nema

zajedničke točke s hiperbolomx2

9−y2

36= 1.

3.29 Napišite jednadžbu hiperbole kojoj je pravac x − y − 8 = 0 tangenta, apravac 3x − 5y = 0 asimptota.

3.30 Površina trokuta kojeg zatvaraju asimptote hiperbole i bilo koja njenatangenta je konstantna th. ne ovisi o odabranoj tangeni. Dokažite!

3.31 Odredite geometrijsko mjesto polovišta svih dužina AB ako su A i Btočke u kojima proizvoljan pravac kroz ishodište siječe pravce x+ y − 1 = 0i x − y + 1 = 0. Koja je to krivulja?

3.4 Parabola

3.32 Odredite duljinu tetive koju na paraboli y2 = 4x odsijeca pravac paralelans 2x − y + 7 = 0 koji prolazi točkom (5,−2).

3.33 Odredite tangentu parabole y2 = 8x koja siječe os x pod kutem od 45○.Koja je točka diralište?

3.34 Odredite točku na paraboli y2 =9

2x u kojoj je normala paralelna s pravcem

8x − 3y + 10 = 0.

3.35 Na paraboli y2 = 3x odredite točku najbližu pravcu 3x − 4y + 9 = 0.

3.36 Odredite jednadžbu kružnice koja u točkama A = (8,8) i B = (8,−8) siječeparabolu y2 = 8x pod pravim kutem.

3.37 Odredite kut pod kojim se iz točke (−6,2) vidi parabola y2 = 2x.

3.38 Neka je O tjeme parabole, a OA i OB dvije njene međusobno okomitetetive. Pokažite da sve tetive AB sijeku os x u istoj točki.

18 POGLAVLJE 3. POGLAVLJE

Poglavlje 4

Opći oblik krivulje drugogareda

4.1 Za koje vrijednosti od B je x2+2Bxy+y2 = 1 elipsa/hiperbola/unija dvajupravaca/kružnica?

4.2 Napišite jednadžbu hiperbole kojoj su fokusi u (1,1), (1,11), a tjemena(1,3) i (1,9).

4.3 Napišite jednadžbu elipse s fokusima (−2,7) i (−2,−1) i sporednim tjeme-nom na pravcu 3x − y = 0.

4.4 Elipsu x2 + 2y2 = 2 zarotirajte oko središta tako da joj glavna os bude na

pravcu y =4

3x. Odredite jednadžbu te elipse.

4.5 Elipsu 41x2−24xy+34y2 = 50 translatirajte tako da joj središte bude točka(−1,2).

19

20 POGLAVLJE 4. OPĆI OBLIK KRIVULJE DRUGOGA REDA

Poglavlje 5

Plohe

5.1 Što predstavljaju jednadžbe:

(a) x − 2y + z − 1 = 0,

(b) x = −3,

(c) x2 + y2 + z2 = 4,

(d) x2 + y2 + z2 − 2x + 4y = 0,

(e) 2x2 + y2 + 3z2 = 7,

(f) 2x2 + y2 + 3z2 = 0,

(g) x2 + 4z2 = 0,

(h) x(y + 2) = 0,

(i) x2 + y2 = 1,

(j) y2 = 2x.

5.2 Odredite jednadžbu sfere koja dodiruje pravacx − 1

3=y + 4

6=z − 6

4u

točki (1,−4,6), a pravacx − 4

2=y + 3

1=z − 2

−6u točki (4,−3,2).

5.3 Odredite točku na sferi (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 25 koja je najbližaravnini 3x − 4z + 59 = 0. Kolika je udaljenost?

5.4 Za koje a ∈ R sfera (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 75 dodiruje ravninux + 7y + 5z = a?

5.5 Odredite jednadžbu sfere upisane u tetraedar određen ravninama x = 0,y = 0, z = 0, 3x − 2y + 6z − 18 = 0.

5.6 Odredite polumjer i središte sfere

(a) x2 + y2 + z2 − 3x + 5y + 4z = 0

(b) x2 + y2 + z2 = 2ay

5.7 Odredite jednadžbu sfere koja prolazi točkama (0,0,0), (2,0,0), (0,5,0)i (0,0,3).

21

22 POGLAVLJE 5. PLOHE

5.8 Odredite jednadžbu sfere koja prolazi točkama (3,1,−3), (−2,4,1) i (−5,0,0),a središte joj leži u ravnini 2x + y − z + 3 = 0.

5.9 Opišite krivulju danu jednadžbama

(a) x − 5 = 0, z + 2 = 0,

(b) x2 + y2 + z2 = 49, y = 0,

(c) x2 + y2 + z2 = 20, z = 2.

5.10 Odredite središte i polumjer kružnice

{(x − 4)2 + (y − 7)2 + (z + 1)2 = 363x + y − z − 9 = 0

.

5.11 Pokažite da je

{x2 + y2 + z2 = 40x2 + y2 + z2 + 12x − 16z = 0

kružnica. Odredite joj središte i polumjer.