Post on 18-Jan-2021
ÖABT
ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI
ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
Yasin ŞAHİN ÖRNEKTİR
ÖABT
ANALİTİK GEOMETRİ
KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
© Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılamaz,
yayınlanamaz, depolanamaz.
Bu kitaptaki bilgilerin her türlü sorumluluğu yazara aittir.
Eser Sahibi Yasin ŞAHİN
ISBN: 978-605-66977-0-8
Aybil Basımevi Sertifika No: 31790
Baskı & Cilt:
www.aybilonline.com
Aybil Dijital Baskı Reklam Mühendislik Turizm Sanayi ve Ticaret Limited Şirketi
Ferhuniye Mh. Sultanşah Cd. No:30/A KONYA Tel: 0.332 350 21 71 Fax: 0.332 350 71 21
KONYA – KASIM – 2016
ÖRNEKTİR
İÇİNDEKİLER Noktanın Analitik İncelenmesi ................................................................................................................................ 1 Test 1 ........................................................................................................................................................................ 6 Çözümler .................................................................................................................................................................. 8 Konu Tarama Testi 1 .............................................................................................................................................. 10 Çözümler ................................................................................................................................................................ 11 Doğrunun Analitik İncelenmesi ............................................................................................................................. 12 Test 2 ...................................................................................................................................................................... 19 Çözümler ................................................................................................................................................................ 21 Test 3 ...................................................................................................................................................................... 23 Çözümler ................................................................................................................................................................ 26 Konu Tarama Testi 2 .............................................................................................................................................. 30 Çözümler ................................................................................................................................................................ 31 Analitik Düzlemde Simetri .................................................................................................................................... 32 Test 4 ...................................................................................................................................................................... 37 Çözümler ............................................................................................................................................................... 40 Konu Tarama Testi 3 .............................................................................................................................................. 43 Çözümler ................................................................................................................................................................ 44 Analitik Düzlemde Eşitsizlikler ............................................................................................................................. 45 Test 5 ..................................................................................................................................................................... 48 Çözümler ............................................................................................................................................................... 50 Konu Tarama Testi 4 .............................................................................................................................................. 52 Çözümler ................................................................................................................................................................ 53 Çemberin Analitik İncelenmesi .............................................................................................................................. 54 Test 6 ..................................................................................................................................................................... 64 Çözümler ............................................................................................................................................................... 66 Test 7 ...................................................................................................................................................................... 69 Çözümler ................................................................................................................................................................ 71 Test 8 ...................................................................................................................................................................... 74 Çözümler ................................................................................................................................................................ 76 Konu Tarama Testi 5 .............................................................................................................................................. 78 Çözümler ................................................................................................................................................................ 80 Elips ....................................................................................................................................................................... 82 Test 9 ...................................................................................................................................................................... 87 Çözümler ............................................................................................................................................................... 89 Test 10 .................................................................................................................................................................... 91 Çözümler ................................................................................................................................................................ 94 Konu Tarama Testi 6 .............................................................................................................................................. 97 Çözümler ............................................................................................................................................................... 99 Hiperbol ............................................................................................................................................................... 101 Test 11 ................................................................................................................................................................. 105 Çözümler ............................................................................................................................................................. 108 Konu Tarama Testi 7 ............................................................................................................................................ 111 Çözümler .............................................................................................................................................................. 112
ÖRNEKTİR
Parabol ................................................................................................................................................................. 113 Test 12 ................................................................................................................................................................. 115 Çözümler ............................................................................................................................................................. 118 Konu Tarama Testi 8 ............................................................................................................................................ 121 Çözümler .............................................................................................................................................................. 122 Kutupsal Koordinatlar .......................................................................................................................................... 123 Test 13 ................................................................................................................................................................. 126 Çözümler ............................................................................................................................................................. 128 Konu Tarama Testi 9 ............................................................................................................................................ 129 Çözümler .............................................................................................................................................................. 130 Düzlemde Vektörler ............................................................................................................................................. 131 Test 14 .................................................................................................................................................................. 134 Çözümler .............................................................................................................................................................. 136 Test 15 .................................................................................................................................................................. 138 Çözümler .............................................................................................................................................................. 140 Konu Tarama Testi 10 .......................................................................................................................................... 142 Çözümler .............................................................................................................................................................. 143 Uzayda Vektörler ................................................................................................................................................ 144 Test 16 .................................................................................................................................................................. 147 Çözümler .............................................................................................................................................................. 149 Konu Tarama Testi 11 .......................................................................................................................................... 150 Çözümler ............................................................................................................................................................. 151 Uzayda Doğru Denklemleri ................................................................................................................................. 152 Test 17 .................................................................................................................................................................. 154 Çözümler .............................................................................................................................................................. 156 Konu Tarama Testi 12 .......................................................................................................................................... 158 Çözümler .............................................................................................................................................................. 159 Uzayda Düzlem Denklemleri ............................................................................................................................... 160 Test 18 .................................................................................................................................................................. 163 Çözümler ............................................................................................................................................................. 166 Konu Tarama Testi 13 .......................................................................................................................................... 168 Çözümler ............................................................................................................................................................. 169 Uzayda Simetri – Koordinat Dönüşümleri – Genel Konik Denklemleri .............................................................. 170 Test 19 ................................................................................................................................................................. 176 Çözümler ............................................................................................................................................................. 179 Konu Tarama Testi 14 .......................................................................................................................................... 182 Çözümler ............................................................................................................................................................. 183 Yüzeyler .............................................................................................................................................................. 184 Test 20 .................................................................................................................................................................. 186 Çözümler ............................................................................................................................................................. 189 Konu Tarama Testi 15 .......................................................................................................................................... 191 Çözümler .............................................................................................................................................................. 192 Genel Tarama Sınavı ........................................................................................................................................... 193 Çözümler ............................................................................................................................................................. 203
ÖRNEKTİR
ÖN SÖZ
Sevgili Öğretmen Arkadaşlar,
ÖABT soruları akademik konulardan ve okul müfredatındaki temel konulardan
oluşmaktadır. Hepimizin amacı bu sınavda başarılı olmak ve istediğimiz bir okula atanmaktır.
Yeni sınav sisteminde bu amaca ulaşmak için lisans öğreniminiz süresince öğrendiklerinizi
pekiştirmeniz, çıkacak soru tiplerine uygun çok sayıda ve sistemli soru çözmeniz ayrıca sık sık
tekrar yapmanız gerekmektedir.
Analitik Geometri Konu Anlatımlı Çözümlü Soru Bankası Kitabı, yukarıdaki
belirlemeye uygun olarak değişen sınav sistemine göre, sizleri ÖABT sınavına en iyi biçimde
hazırlamak amacıyla düşünülmüştür. Bu kitabın hazırlanmasında çok emek sarf edildiğinden,
kitabı kısmen ya da tamamen çoğaltanlara hakkımı helâl etmiyorum. Faydalanacak tüm
öğretmen arkadaşlara başarılar diler, bugünlere gelmemde büyük pay sahibi olan sevgili eşime
ve dostlarıma şükranlarımı sunarım.
Yasin ŞAHİN
ÖRNEKTİR
Analitik Geometri Yüzeyler
184
Küre
Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan
noktaların geometrik yerine küre denir.
Analitik uzayda merkezi M(a, b, c) ve yarıçapı r
olan kürenin denklemi
2 2 2PM (x a) (y b) (z c) r
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2
dir. Bu ifade açılır ve düzenlenirse,
x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + a2 + b2 + c2 - r2 = 0
D = -2a, E = -2b, F = -2c ve
G = a2 + b2 + c2 - r2 alınırsa küre denklemi,
x2 + y2 + z2 + Dx + Ey + Fz + G = 0
biçiminde olur.
-2a = D ise Da2
-2b = E ise Eb2
-2c = F ise Fc2
olduğundan küre merkezinin koordinatları
D E FM , ,2 2 2
dir.
G = a2 + b2 + c2 - r2
2 2 2
2 D E Fr G4 4 4
olacağından kürenin yarıçapı
2 2 21r D E F 4G2
biçimindedir.
= D2 + E2 + F2 - 4G olmak üzere,
i) < 0 ise denklem küre belirtmez.
ii) = 0 ise denklem nokta belirtir.
iii) > 0 ise denklem küre belirtir.
Not:
Merkezi orijin ve yarıçapı r birim olan kürenin denk-
lemi x2 + y2 + z2 = r2 dir.
Silindir
Uzayda sabit bir doğruya paralel kalarak ve sabit
bir eğriye dayanarak hareket eden bir doğrunun
oluşturduğu yüzeye silindir denir.
Dayanak eğrisi (f(t), g(t), h(t)) ve doğrultmanı v
= (a, b, c)
olan silindirin parametrik denklemi
x = f(t) + ka
y = g(t) + kb
z = h(t) + kc
elde edilir. k değerleri eşitlendiğinde
x f(t) y g(t) z h(t)a b c
biçiminde silindirin doğrusal denklemi bulunur.
Parametrik denklemde t ve k yok edilerek elde
edilen F(x, y, z) = 0 denklemine de silindirin kartez-
yen denklemi denir.
ÖRNEKTİR
.Analitik Geometri Yüzeyler
185
Örnek: Dayanak eğrisi
(t, t2, 0) : t R
ve doğrultmanı da V
= (0, 0, 1) olan silindirin denk-
lemini yazalım.
x = t + 0.k = t
y = t2 + 0.k = t2
z = 0 + 1.k = k
x = t ve y = t2 denklemlerinden y = x2 elde edilir.
Koni
Sabit bir eğriye dayanarak hareket eden ve eğri
düzleminde olmayan sabit bir noktadan geçen
doğrunun oluşturduğu yüzeye koni denir. Sabit
noktaya koninin tepe noktası, sabit eğriye koninin
dayanak eğrisi ve hareket ederek koniyi meydana
getiren doğruya da koninin ana doğrusu denir.
Dayanak eğrisi (f(t), g(t), h(t)) ve tepe noktası
1 1 1T(x ,y ,z ) olan koninin parametrik denklemi
1x (1 k)f(t) kx
1y (1 k)g(t) ky
1z (1 k)h(t) kz
dir. Bu denklem sisteminde t ve k yok edilerek f(x, y, z) =
0 şeklinde koninin kartezyen denklemi elde edilir.
Örnek: Dayanak eğrisi
(cost, sint, 0) : t R
ve tepe noktası T(0, 0, 1) olan koninin denklemini
yazalım.
x = (1 - k) cost + k.0 = (1 - k) cost
y = (1 - k) sint + k.0 = (1 - k) sint
z = (1 - k) 0 + k.1 = k
2 2x y 1
1 k 1 k
z = k
olduğundan
2 2x y 1
1 z 1 z
x2 + y2 = (z - 1)2
bulunur.
Dönel Yüzeyler
Düzlemsel bir eğrinin aynı düzlemde bulunan bir
doğru tarafından döndürülmesiyle oluşan yüzeye
dönel yüzey denir.
x = f(z) eğrisinin x ekseni etrafında döndürül-
mesiyle oluşan dönel yüzeyin denklemi
2 2x f y z
y = f(x) eğrisinin y ekseni etrafında döndürülmesiy-
le oluşan dönel yüzeyin denklemi
2 2y f x z
z = f(x) eğrisinin z ekseni etrafında döndürülmesiy-
le oluşan dönel yüzeyin denklemi
2 2z f x y
Örnek: (t2, 0, t) t R eğrisinin x ekseni etrafın-
da döndürülmesiyle elde edilen dönel yüzeyin
denklemini bulalım.
x = t2, y = 0, z = t
x = z2
22 2x y z
2 2x y z
ÖRNEKTİR
Analitik Geometri Yüzeyler Test 20
186
1. Dayanak eğrisi
(0,2cos t,3sin t) t R
ve doğrultmanı V
= (3, 0, 0) olan silindirin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 2x y 1
4 9 B)
2 2x y 19 4
C) 2 2y z 1
4 9 D) 2 24y 9z 1
E) 2 2y z 6
2. Dayanak eğrisi x = y = z doğrusu ve doğ-
rultmanı da V
= (2, 0, 1) olan silindirin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x yz2
B) z = x + y
C) z = 2x + y D) z = x + 2y
E) z = 3x - y
3. Dayanak eğrisi 2
2 yx 14
elipsi ve doğ-
rultmanı da V
= (1, 0, 1) olan silindirin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 24x z 1 B) 2
2 y(x z) 14
C) 2
2 (y z)x 14
D) 2
2 y(x z) 14
E) 2
2 (y z)x 14
4. Dayanak eğrisi
(t, t, t) t R
olan ve x y 1 z 21 3 2
doğrusunu da
doğrultman kabul eden silindirin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x yz4
B) x yz4
C) x 2yz3
D) x 3yz4
E) x 3yz2
5. Dayanak eğrisi
(2,cos t,sin t) t R
ve tepe noktası T(0, 0, 0) olan koninin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 2 2x 4(y z ) B) 2 2 2z 2(y z )
C) 2 2 2x y z D) 2 2y z 4
E) 2 2 2x z 4y
6. Dayanak eğrisi
2 2 2 2(x,y,z x y 1, z 10 x y
ve tepe noktası T(0, 0, 0) olan koninin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 2 2z x y B) 2 2 2z 2(x y )
C) 2 2 2z 3(x y ) D) 2 2 2z 4(x y )
E) 2 2 2z 9(x y )
ÖRNEKTİR
.Analitik Geometri Yüzeyler Test 20
187
7. Dayanak eğrisi bir reel sayı olmak üzere,
3 t, t, : , t R
ve tepe noktası T(0, 0, 0) olan koninin denk-lemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x yz B) 2x 2yz
C) 2x 3yz D) 2x 4yz
E) 2x 9yz
8. 2(0, t, 1 t ) t R
eğrisinin z ekseni etrafında döndürülmesiy-le oluşan dönel yüzeyin denklemi aşağıda-kilerden hangisidir?
A) 2 2z 1 x y B) 2z 1 y
C) 2 2z x y D) 2 2 2z x y
E) 2 2 2z 1 x y
9. 2(t, t , 0) t R
eğrisinin y ekseni etrafında döndürülmesiy-le oluşan dönel yüzeyin denklemi aşağıda-kilerden hangisidir?
A) 2y x B) 2 2y 1 x z
C) 2 2y x z D) 2 2y 2(x z )
E) 2 2 2y x z
10. (x,y,z) y 0, z x
eğrisinin x ekseni etrafında döndürülme- siyle oluşan dönel yüzeyin denklemi aşa- ğıdakilerden hangisidir?
A) 2 2y x z B) 2 2z x y
C) 2 2x 2(y z ) D) 2 2x y z
E) 2 2 2x y z
11. 2 22x y 1
eğrisinin x ekseni etrafında döndürülme- siyle meydana gelen dönel yüzeyin denk- lemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 2 2x y z 1
B) 2 2 22x y z 1
C) 2 2 2x 2y z 1
D) 2 2 2x 2y 2z 1
E) 2 2x 2y 1
12. 2x 3y 2 0
eğrisinin x ekseni etrafında döndürülme- siyle meydana gelen dönel yüzeyin denk- lemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 2 2x z y
B) 2 2x z 3y 2
C) 2 2 2x 2 y z
D) 2 2 2x z 3(y z )
E) 2 2 2 2(x 4) 9(y z )
ÖRNEKTİR
Analitik Geometri Yüzeyler Test 20
188
13. Merkezi orijin olan ve P(-2, 0, 3) noktasın- dan geçen kürenin denklemi aşağıdakiler- den hangisidir?
A) x2 + y2 +z2 = 5 B) x2 + y2 + z2 = 8
C) x2 + y2 + z2 = 9 D) x2 + y2 + z2 = 10
E) x2 + y2 + z2 = 13
14. (x + 1)2 + y2 + (z - 2)2 = 16
(x - 2)2 + (y - 4)2 + (z + 10)2 = 25
kürelerinin birbirine en yakın iki noktası arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
15. Denklemi
x2 + y2 + z2 - 4x - 6y + 8z + 20 = 0
olan kürenin yarıçap uzunluğu kaç birimdir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
16. Uzayda
x2 + y2 + z2 - 6x - 4y - 12 = 0
denklemi ile verilen kürenin yüzey alanı kaç br2 dir?
A) 4 B) 16 C) 36
D) 100 E) 144
17. A(4, -10, 3) noktasının
x2 + y2 + z2 + 2x - 4y -6z + 5 = 0
küresine olan en kısa uzaklığı kaç birimdir?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 13
ÖRNEKTİR
Analitik Geometri Çözümler Test 20
189
1. x f t k.a x 0 k.3
2 2
y g t k.b y 2cos t k.0
z h t k.c z 3sin t k.0
y z 14 9
Cevap C
2. x f t k.a x t k.2
y g t k.b y t k.0
z h t k.c z t k.1z y kz y kx y 2 z yx y 2z 2y
x yx 2z y z2
Cevap A
3. x cos t
22
y 2sin tz 0 cos t, 2sin t, 0 t
x cos t k.1y 2sin t k.0z 0 k.1x z cos t yx z 1y 4sin t2
Cevap B
4. t, t, t t
v 1,3,2
x t k. 12x zy t k.3 y 3k
3z t k.2
3y 2x z 9k3y 2x z 9 y z0 6y 2x 8z
3y xz4
Cevap D
5. x 1 k .2 k.0
222 2 2 2
2 2 2
y 1 k cos t k.0
z 1 k sin t k.0
xy z 1 k y z4
4y 4z x
Cevap A
6. cos t, sin t, 3
22 2
22 2
2 2 2
x 1 k .cos t k.0 x y 1 ky 1 k .sin t k.0 zx yz 1 k .3 k.0 9
9x 9y z
Cevap E
7. 2x 3 ty t x 3yzz
Cevap C
8.
2 2 2
2
22 2
2 2
x 0y t z 1 y , z f x y
z 1 t
1 x y
1 x y
Cevap A
9.
22 2 2 2
2 2
x t
y t y x , y x zz 0
y x z
Cevap C
ÖRNEKTİR
Analitik Geometri Çözümler Test 20
190
10.
22 2
2
2 2
y 0
z x x y z
z x
x y z
Cevap D
11. 2 22x y 1
2 2
2 22
22 2
2 2
2 22
2 2 2
2x 1 y
1 y 1 yx x2 2
1 y zx f y z , x
2
1 y zx
22x y z 1
Cevap B
12. 2x 3y 2 0
2
2 2
2 2 2
2 2 2
22 2 2
x 3y 2 x 2 3y
x 2 3 y z
x 2 3 y z
x 2 3 y z
x 2 9 y z
Cevap E
13. 2 2 2 2r 2 0 3 r 13
2 2 2x y z 13
Cevap E
14. 1 1m 1,0,2 ,r 4
2 2m 2,4, 10 .r 5
1 2m .m 13
Cevap C
15. 2 2 2x 4x 4 y 6y 9 z 8z 16 9
2 2 2x 2 y 3 z 4 9r 3
Cevap C
16. 2 2 2x 6x 9 y 4y 4 z 25
2 2 2
2
x 3 y 2 z 25
yüzey alanı 4 r 4 25 100
Cevap D
17. 2 2 2x 2x 1 y 4y 4 z 6z 9 9
2 2 2x 1 y 2 z 3 9
m 1,2,3 ,r 3
Cevap D
ÖRNEKTİR
.Analitik Geometri Yüzeyler Konu Tarama Testi 15
191
1. Uzayda
x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0
denklemi ile verilen kürenin yüzey alanı kaç br3 dir?
A) 4 B) 9 C) 18 D) 27 E) 36
2. x2 + y2 + z2 - 2x -6y + 6 = 0
küresinin A(-1, 1, 1) noktasına olan uzaklığı en çok kaç birimdir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
3. Dayanak eğrisi
2(0, t, t ): t R
ve doğrultmanı da V
= (1, 0, 0) olan silindi-rin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2y z B) 2z y C) 2y x
D) 2x z E) 2z x
4. Dayanak eğrisi
(cos t, 2sin t, 0 : t R
ve doğrultmanı da V
= (0, 0, 2) olan silindi-rin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
2 yx 14
B) 2 24x y 1
C) 2 22x y 1 D) 2 2x 4y 1
E) 2 2x 2y 1
5. Dayanak eğrisi
2 2 2 2(x,y,z):x z 4, y 5 x z
ve tepe noktası (0, 0, 0) olan koninin denk- lemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 2 2z x y B) 2 2 2x z 4y
C) 2 2 2y 4(x z ) D) 2 2 2y x z
E) 2 2 2y 9(x z )
6. Dayanak eğrisi
(0,sin t, cos t): t R
ve tepe noktası T(1, 0, 0) olan koninin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 2 2x y z B) 2 2 2y z (x 2)
C) 2 2 2x y z D) 2 2 2(x 1) y z
E) 2 2 2(x 1) y z
7. 2(t ,0, t) t R
eğrisinin x ekseni etrafında döndürülme- siyle oluşan dönel yüzeyin denklemi aşa- ğıdakilerden hangisidir?
A) 2 2x y z B) 2 2 2x y z
C) 2 2x y z 1 D) 2 2 2y x z
E) 2 2z x y
8. 3y2 + z2 = 1
eğrisinin y ekseni etrafında döndürülme- siyle meydana gelen dönel yüzeyin denk- lemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 2 2x 3y z B) 2 2 2x y 3z
C) 2 2 2x 2y z 1 D) 2 2 2x 3y z 1
E) 2 2 2x y z 1
ÖRNEKTİR
Analitik Geometri Çözümler Konu Tarama Testi 15
192
1. 2 2 2x 2x 1 y 4y 4 z 6z 9 9
2 2 2
2
x 1 y 2 z 3 9
m 1, 2,3 .r 3
yüzey alanı 4 r 4 .9 36
Cevap E
2. 2 2 2x 2x 1 y 6y 9 z 4
2 2 2x 1 y 3 z 4
m 1,3,0 ,r 2
MA 5
Cevap D
3. x 0 k.1
2 2y t k.0
z t k.0 z y
Cevap B
4. 2
2x cos t k.0
yy 2sin t k.0 x 14
z 0 k.2
Cevap A
5.
2 22
2 2 2
x 1 k 2cos t k.0x zz 1 k 2sin t k.0 y4 4
y 1 k 1 k.0
x z 4y
Cevap B
6.
22 2
22 2
x 1 k 0 k.1
y 1 k sin t k.0 y z 1 k
z 1 k cos t k.0
y z x 1
Cevap E
7. 2 2 2x t x f y z
2 2 2y 0 x z x y z
z t
Cevap A
8. 2 2
2 2 2 1 z 1 z3y 1 z y y3 3
2 2
2 22
2 2 2
1 x zy
31 x zy
33y x z 1
Cevap D
ÖRNEKTİR