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7/23/2019 ANÁLISIS NUMÉRICO – métodos eliminación sin normalizar, normalizando, gauss-jordan, matriz inversa, factorizaci…
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ANÁLISIS NUMÉRICOPráctica 3 – Métodos Eliminación sinnormalizar, normalizando, gauss-jordan,matriz inversa, factorización lu y gauss-seidel
E S I M E Z A C T E N C O – I N G . E N C O N T R O L Y A U T O M A T I Z A C I Ó N
A L E J A N D R O R O S A SP R I E T O
3 A V 6
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I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz
)
CONTENIDO
) $*jetivo++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Introducción++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++) Eliminación sin normalizar+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+ Eliminación normalizando++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++3
+3 auss-.ordan++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++/
+/ Matriz inversa++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++0
+0 1actorización %#+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++0
+2 auss-!eidel++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++2
3 esarrollo+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++4
3+) iagramas de 5ujo+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++4
3+)+) Eliminación sin normalizar+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++43+)+ Eliminación ormalizando+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++6
3+)+3 auss-.ordan+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++7
3+)+/ Matriz Inversa++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)8
3+)+0 1actorización %#+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++))
3+)+2 auss-!eidel++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)
3+ 'ódigo de Programa++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)3
3++) Eliminación sin normalizar+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)3
3++ Eliminación ormalizando+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)/
3++3 auss-.ordan+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)0
3++/ Matriz inversa++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)0
3++0 1actorización %#+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)2
3++2 auss-!eidel++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)4
3+3 Ejem9los de (9licación++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)6
3+/ Ejecutar los 9rogramas++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)7
3+/+) Eliminación sin normalizar+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)7
3+/+ Eliminación ormalizando+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++8
3+/+3 auss-.ordan+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++)3+/+/ Matriz inversa++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
3+/+0 1actorización %#+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++3
3+/+2 auss-!eidel++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++/
/ 'onclusión++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++0
0 :i*liograf;a+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++0
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I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz
Métodos Eliminación sin
normalizar, normalizando,auss-.ordan, matriz inversa,factorización %# y auss-!eidel
1 OBJETIVO
Investigar los diferentes métodos 9ara as; 9oder crear un diagrama con su9rocedimiento de resolución y a9licarlo en diferentes ejem9los de a9licación usando<erramientas 9ara el cálculo de las a9ro=imaciones y as; llegar a una conclusiónso*re la usa*ilidad de dic<o método+
2 INTRODUCCIÓN
2.1 ELIMINACIÓN SIN NORMALIZARPara resolver ecuaciones no lineales usando este método es necesario tener unsistema de ecuaciones, se selecciona como 9ivote a a)) y se 9rocede a <acer 8 a a),a3) y a3+ Para a32 el piv!e "er# a22.
• Para a)
b2=b
2−( b1∗a21a
11)
a23=a
23−( a13
∗a21
a11
)a22=a
22−( a12
∗a21
a11
)a
21=a
21−( a11
∗a21
a11
)=0
• Para a3)
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I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz
3
b3=b
3−( b1
∗a31
a11
)
a33
=a33
−
(a13∗a
31
a11
)a
32=a
32−( a
12∗a
31
a11
)
a31=a
31−( a11∗a31
a11
)=0
• Para a3
b3=b
3−( b2∗a32a
22)
a33=a
33−( a
23∗a
32
a22
)
a32=a
32−( a22∗a32a
22)=0
#na vez >ue o*tuvimos los ceros se 9rocede a calcular x1
, x2
, x3 +
x3=
b3
a33
x2=
b2−(a23
∗ x3 )
a22
x1=
b1−(a13∗ x3 )−( a12∗ x 2)a
11
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/
2.2 ELIMINACIÓN NORMALIZANDOEste método es similar al método sin normalizar a e=ce9ción de >ue en este métodose normaliza cada ?la 9ara as; a<orrar una división en cada calculo o*tener ) en ladiagonal 9rinci9al y o*tener =3 de forma directa+
Primero se normaliza la 9rimera ?la dividiendo *), a)3, a), a)) entre el 9ivote a))+
#na vez normalizando se 9rocede a <acer 8 a a ) y a3) de la misma forma >ue en elmétodo sin normalizar 9ero sin dividir entre el 9ivote+
es9ués se normaliza la segunda ?la dividiendo *, a3, y a entre a
e igual forma >ue en el método sin normalizar, 9ero sin dividir entre el 9ivote se<ace cero a a3+
1inalmente se normaliza la tercera ?la dividiendo *3 y a33 entre a33+
#na vez >ue o*tuvimos los ceros se 9rocede a calcular x1
, x2
, x3 +
x3=b
3
x2=b
2− (a23
∗ x3 )
x1=b
1−( a
13∗ x
3 )− (a12∗ x
2 )
2.3 $AUSS%JORDANEl 9rimer 9aso 9ara tra*ajar con este método es <acer cero a a ), a3) y a3 usando el
método de eliminación sin normalizar sin calcular a x1
, x2
, x3 +
#na vez <ec<o esto se 9rocede a <acer cero a a)3, a3 y a)
• Para a)3
b1=b
1−( a13∗b3
a33
)a
13=a
13−( a
13∗a
33
a33
)=0
• Para a3
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I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz
0
b2=b
2−( a23
∗b3
a33
)
a23
=a23
−
(a23∗a
33
a33
)=0
• Para a)
b1=b
1−( a12∗b2a
22)
a12=a
12−( a12
∗a22
a22
)=0
#na vez >ue o*tuvimos los ceros se 9rocede a calcular x1
, x2
, x3 +
x3=
b3
a33
x2=
b2
a22
x1=
b1
a11
2.& MATRIZ INVERSAEste método es sencillo en 9rocedimiento 9ues *asta con <acer lo siguiente@
)+ 'alcular la inversa de la matriz+ Multi9licar la inversa de la matriz 9or la matriz con los resultados A*B
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2
(l <acer ese 9rocedimiento o*tendremos la matriz C con los resultados+
2.' (ACTORIZACIÓN LUEn este método contaremos con tres matrices A%, # y *B
• %
1 0 0
a21
a11
1 0
a31
a11
a32 '
a22'
1
• #
!e o*tiene <aciendo el método de eliminación sin normalizar
• :
Matriz creada con los resultados
!e 9rocede a calcular la matriz D de la siguiente forma@
[ 1 0 0
a 21
a11
1 0
a31
a11
a32
'
a22
' 1] [
Z 1
Z 2
Z 3]=[
b1
b2
b3]
#na vez calculada la matriz D se calcula la matriz C, >ue será la matriz con losresultados, de la siguiente forma@
[ MatrizU ][ X
1
X 2
X 3]=[
Z 1
Z 2
Z 3]
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4
2.) $AUSS%SEIDELEste método se *asa en iteraciones 9ara o*tener una a9ro=imación segn elmargen de error solicitado+
!e usan las siguientes formulas en cada iteración <asta o*tener el error solicitado
tomando en cuenta >ue 9ara la 9rimera iteración X 1 (0 )= X 2 (0 )= X 3(0)=0
X 1 (1)=
b1−(a12
∗ X 2 )− (a13
∗ x3 )
a11
X 2 (1)=
b2−(a21
∗ X 1 )−(a23
∗ x3 )
a22
X 3 (1 )=
b3−(a31
∗ X 1 )−(a32
∗ x2 )
a33
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6
3 DESARROLLO
3.1 DIA$RAMAS DE (LUJO
3.1.1 Eli*i+a,i-+ "i+ +r*aliar
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7
3.1.2 Eli*i+a,i-+ Nr*alia+/
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)8
3.1.3 $a0""%Jr/a+
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))
3.1.& Ma!ri I+ver"a
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)
3.1.' (a,!ria,i-+ LU
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)3
3.1.) $a0""%Sei/el
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)/
3.2 CÓDI$O DE PRO$RAMA
3.2.1 Eli*i+a,i-+ "i+ +r*aliar
% Programa para cálculo de Raíces de Ecuaciones no Lineales% Método de Eliminación sin normalizar% Autor: Alejandro Rosas Prieto
clear all;clc;print!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por elmétodo de Eliminación sin normalizar#n#n";A& input !"Matriz A: ";'& input !"(ector de terminos independientes ': ";)n* +,&size!A;
-istema./ngresado&)A ',or i&0:n10; or 2&i30:n ; m&A!2*i4A!i*i; or j&i30:n; A!2*j& A!2*j1m5A!i*j; end A!2*i&6; '!2&'!21m5'!i; endendA&)A ',
or i&n:10:0; 7&6; or j&i30:n 7&73A!i*j58!j; end 8!i&!'!i174A!i*i;end8
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)0
3.2.2 Eli*i+a,i-+ Nr*alia+/
% Programa para cálculo de Raíces de Ecuaciones no Lineales% Método de Eliminacion normalizando% Autor: Alejandro Rosas Prieto
clear all;clc;print!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por elmétodo de Eliminación normalizando#n#n";A& input !"Matriz A: ";)r*c,&size!A;Matriz.A&A%Eliminación 9acia adelante
or 2&0:c or i&230:r or j&c:10:2 A!2*j&A!2*j4A!2*2; A!i*j&A!i*j1!A!i*25A!2*j; end endendcopia&A!r*r;or 2&r:0:c A!r*2&A!r*24copia;endA
%sustitución 9acia atrás8!r&A!r*c;or i&r10:10:0 7&6; or j&i30:r 7&73A!i*j58!j; end 8!i&!A!i*c174A!i*i;end8
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I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz
)2
3.2.3 $a0""%Jr/a+% Programa para cálculo de Raíces de Ecuaciones no Lineales% Método de auss ordan% Autor: Alejandro Rosas Prietoclc
clear allprint!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por el método deauss1ordan#n#n";A& input !"Matriz A: ";)r*c,&size!A;Matriz.A&A%pi<oteor 2&0:r%renglones or i&230:r%columnas or j&c:10:2 A!2*j&A!2*j4A!2*2; A!i*j&A!i*j1!A!i*25A!2*j; end endendor 2&c:10:rA!r*2&A!r*24A!r*r;endor 2&0:c or i&230:r or j&c:10:2 A!2*j&!A!2*j1!A!2*i5A!i*j; end endend
Aor 7&0:r =!7*0&A!7*c;end=
3.2.& Ma!ri i+ver"aclcclear allprint!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por el método deMatriz /n<ersa#n#n";A& input !"Matriz A: ";)r*c,&size!A;
Matriz.A&Aor 7&0:r or +&0:c10 !7*+&A!7*+; endend/n<&>10or 7&0:r =!7*0&A!7*c;end
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I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz
)4
Ans&/n<5=
3.2.' (a,!ria,i-+ LU
% Programa para cálculo de Raíces de Ecuaciones no Lineales% Método de ?actorización L@% Autor: Alejandro Rosas Prieto
clear all;clc;print!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por elmétodo de ?actorizacion L@#n#n";A& input !"Matriz A: ";'& input !"(ector de terminos independientes ': ";)r* c,&size!A;Matriz./ngresada&)A ',L&)0 6 6; 6 0 6; 6 6 0,;L!*0&A!*04A!0*0;L!B*0&A!B*04A!0*0;or i&0:r10; or 2&i30:r ; m&A!2*i4A!i*i; or j&i30:r; A!2*j& A!2*j1m5A!i*j; i 2&&B i j&&
L!B*&A!B*4A!*; end end end A!2*i&6; '!2&'!21m5'!i; endendC!B*0& '!B*04A!B*B;C!*0& !'!*01!A!*B5C!B*04A!*;C!0*0& !'!0*01!A!0*B5C!B*01!A!0*5C!*04A!0*0;L
@&AAns&C
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)6
3.2.) $a0""%Sei/el
% Programa para cálculo de Raíces de Ecuaciones no Lineales% Método de auss1-eidel% Autor: Alejandro Rosas Prieto
clear all;clc;print!"#n$álculo de las raíces de un sistema de ecuaciónes por elmétodo de auss1-eidel#n#n";A& input !"Matriz A: ";E& input !"Error: ";)r* c,&size!A;or 7&0:r
D!7*0&A!7*c;endC0&6;C&6;CB&6;Ea0&6;Ea&6;EaB&6;c&6;+9ile Ea0&EFFEa&EFFEaB&E C0ant&C0; C0&!D!0*01!A!0*5C1!A!0*B5CB4A!0*0; Cant&C;
C&!D!*01!A!*05C01!A!*B5CB4A!*; CBant&CB; CB&!D!B*01!A!B*05C01!A!B*5C4A!B*B; Ea0&!!C01C0ant4C05066; Ea&!!C1Cant4C5066; EaB&!!CB1CBant4CB5066; c&c30;end/teraciones&cC0CCB
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3.3 E JEMPLOS DE APLICACIÓN
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8
3.& E JECUTAR LOS PRO$RAMAS
3.&.1 Eli*i+a,i-+ "i+ +r*aliar
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)
3.&.2 Eli*i+a,i-+ Nr*alia+/
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I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz
3.&.3 $a0""%Jr/a+
3.&.& Ma!ri i+ver"a
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I!"I"#"$ P$%I"&'I'$ ('I$(%E!IMEz
3
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/
3.&.' (a,!ria,i-+ LU
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0
3.&.) $a0""%Sei/el
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& CONCLUSIÓN
En conclusión, cada uno de los métodos tiene su lado 9ositivo y negativo 9orejem9lo el método de auss-!eidel el cual 9odemos tra*ajar con valores iniciales9ero el tra*ajo es más 9ues las iteraciones suelen ser muc<as y el resultado no es
e=acto+
En el caso de los métodos de eliminación sin normalizar y normalizando lasdiferencias son m;nimas, 9ero en este caso el método normalizando nos a<orra unadivisión a la <ora de estar calculando las a9ro=imaciones y 9or esto convendr;adic<o método+
En lo >ue res9ecta a auss-.ordan, el método 9uede 9arecer uno de los másfáciles, 9ero no es as;, 9ues en este método se llega al resultado de la eliminacióngaussiana 9ero, a 9esar de >ue se 9uede o*tener el resultado con eso, tam*ién sede*e de a9licar el método de .ordan lo >ue <ace a este método de com9lejidadinnecesaria+
El método de la matriz inversa es muy sencillo si se 9uede calcular la inversa de lamatriz con algn 9rograma o calculadora de otro modo es muy com9leja 9ara lo>ue >ueremos o*tener+
%a 1actorización %# no es de gran com9lejidad, 9ero si te e>uivocas en algn calculoal 9rinci9io del método 9erderás tiem9o calculando una a9ro=imación >ue no serácorrecta+
En mi o9inión, el método de eliminación normalizando es el más rá9ido, con?a*le ymenos com9licado de a9licar a la <ora de *uscar ra;ces de ecuaciones no linealessimultaneas+
' BIBLIO$RA(A
Steaven C, Chapra. Métodos numéricos para ingenieros. Quinta edición. Lugar: McGraw Hill, 2007.