Analisi della Varianza G1 G2

SS Punteggio SS Punteggio

1

2

3

4

5

8

7

10

14

11

6

7

8

9

10

14

10

16

10

15

sommap

mediap

50

10

somman

median

65

13

ANOVA

• Media generale = 50 + 65 /10 = 11,5

• Devianza generale = (8-11,5)2 + (7-11,5)2 + ... + (15-11,5)2 = 84,5 e gdl (N-1) = 10-1 = 9

Scomposizione della devianza

• Tra i gruppi: teniamo costante la variabilità entro i gruppi (i punteggi dei ss sono la media).

• Devianza tra i gruppi= (10-11,5)2 + (10-11,5)2 + ... + (13-11,5)2 + (13-11,5)2 = 22,5 e gdl (K-1) = 2-1 = 1

• Entro i gruppi: la variabilità si calcola rispetto alla media del proprio gruppo

• Per il G1= (8-10)2 + (7-10)2 + ... = 32• Per il G2= (14-13)2 + (10-13)2 + ... = 30 • Devianza entro = 32+30= 62 e gdl (N-K) = 10-2 = 8

Scomposizione della devianza

Devianza totale (84,5)

Devianza Tra Devianza Entro

(22,5) (62)

• Dalla devianza alla varianza: Devianza / GDL• Varianza Tra: 22,5/1= 22,5• Varianza Entro: 62/8= 7,75• Se H0 è vera, la varianza tra i gruppi e quella entro i

gruppi sono due stime della stessa varianza. I campioni provengono dunque dalla stessa popolazione e le loro medie sono due stime della stessa media, quella della popolazione.

Test F di Ficher:

È il rapporto tra due varianze.

Segue una distribuzione di probabilità con i gdl delle due devianze.

Es: F= 22,5 = 2,90

7,75

Gdl 1,8

Scomposizione

Fonti di

variazione

Devia

nza

gdl Varianza F

Tra i gruppi

Entro i gruppi

Totale

K-1

N-K

N-1

Devianza/gdl

Devianza/gdl

Varianza tra/varianza

Entro

ScomposizioneFonti di

variazione

Devianza gdl Varianza F

Tra i gruppi

Residua

Totale

22,5

62

84,5

1

8

9

22,5

7,75

2,9

Decisione

• H0: accetto o rifiuto?

• Due vie per la decisione

1) Pongo = 0,05. Con 1,8 gdl F cri= 5,32

F ott= 2,9 < 5,32 Accetto H0

2) Vedo il livello di probabilità della F ottenuta: p= 0,08 Accetto H0

ANOVA ad una via

• Un ricercatore ipotizza che il giudizio delle persone sulla pesantezza degli oggetti venga influenzato dal fatto che l’oggetto venga sollevato con un solo braccio, in particolare il sinistro.

G1 Xs O1

G2 XdO2

G3 Xsd O3

Ipotesi

• H0: s = d = sd• Non c’è una differenza significativa tra il giudizio sulla

pesantezza degli oggetti dato con la mano destra, con la sinistra o con entrambe la braccia

• H1: s d sd• C’è una differenza significativa tra il giudizio sulla

pesantezza degli oggetti in almeno una delle tre condizioni

Scomposizione delle devianze

Devianza totale

Devianza Devianza

Tra Residua

ANOVA: medie

PESO_GIU N Validi

SIN 5,490000 10

DES 3,720000 10

SINDES 2,880000 10

Tutti G 4,030000 30

ANOVA: grafico delle mediePlot di Medie

GRUPPO Eff. Princ.

F(2,27)=94,33; p<,0000

GRUPPO

Va

ria

bile

:PE

SO

_G

IU

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

SIN DES SINDES

Deviazioni standard

PESO_GIU N Validi

SIN ,582046 10

DES ,410420 10

SINDES ,239444 10

Tutti G 1,182968 30

Risultati ANOVA

Fonte

Di var. Varianza GDL F P

Gruppo 17,751 2 94,33 0,001

Residua 0,1882 27

Confronti multipli

{1} {2} {3}

5,49 3,72 2,88

SIN {1} ,0001 ,00006

DES {2} ,0003

SINDES {3}

Confronti Pianificati

Gruppi Coefficienti

G1 -2

G2 1

G3 1

F (1,27) = 169,9 p = ,000001

Confronti Pianificati

Gruppi Coefficienti

G1 0

G2 -1

G3 1

F (1,27) = 18,75, p =,00018

TESTO

• Un ricercatore immagina che la depressione comporti un diverso giudizio di pesantezza degli oggetti.

G1 O1 depressi da più di 10 a

G2 O2 depressi da 1 a

G3 O3 non depressi

ANOVA

Fonte

Di var. Varianza GDL F P

Gruppo 20,6 2 3,38 0,95

Residua 6,1 27

ANOVA

• Un ricercatore ipotizza che il giudizio delle persone sulla pesantezza degli oggetti venga influenzata dalla grandezza degli oggetti e dal fatto che l’oggetto venga sollevato con un solo braccio, in particolare il sinistro.

Fattori

• V.I.: braccia di leva (dx, sn, dx+sn); grandezza oggetto (piccolo, medio, grande)

• V.D.: giudizio di pesantezza

• Ipotesi di ricerca: la condizione braccio di leva sn con oggetto grande comporta un giudizio di pesantezza superiore che nelle altre condizioni.

Disegno

Dx Sn Dx+SN

Picc. G1 G4 G7

Med. G2 G5 G8

Gran. G3 G6 G9

Scomposizione della devianza

Devianza totale

Devianza TRA i G. Devianza Residua

A B AXB

Analisi fattoriale

Fonte

Di var. Varianza GDL F P

Brac. 19,16 2 100,8 ,00001

Ogg 1,17 2 6,1 ,006

OggXBra ,36194 4 1,9 ,138

Residua ,19 27

BRACCIO SIN

BRACCIO DES

BRACCIO SINDES

Plot di Medie

2-vie,interazione

F(4,27)=1,90; p<,1387

OGGETTO

Va

ria

bile

:PE

SO

_G

IU

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

Picc Med Gra

Plot di Medie (non pesate)

BRACCIO Eff. Princ.

F(2,27)=100,83; p<,0000

BRACCIO

Va

ria

bile

:PE

SO

_G

IU

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

SIN DES SINDES

Duncan su Braccia

{1} {2} {3}

5,275000 3,625000 2,791667

SIN .... {1} ,000144 ,000063

DES .... {2} ,000208

SINDES ....{3}

Plot di Medie (non pesate)

OGGETTO Eff. Princ.

F(2,27)=6,19; p<,0061

OGGETTO

Va

ria

bile

:PE

SO

_G

IU

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4,0

4,1

4,2

4,3

Picc Med Gra

Duncan su oggetto

{1} {2} {3}

3,98 4,1 3,55

.... Picc {1} ,334380 ,021933

.... Med {2} ,002821

.... Gra {3}

Risultati

Fonte

Di var. GDL Varianza F P

Brac. 2 57,09 48,63 ,0001

Ogg 2 5,116 4,35 ,022

OggXBra 4 10,12 8,62 ,0001

Residua 27 1,17

Medie

PESO_GIU N SIN Picc 5,150000 4SIN Med 5,850000 4SIN Gra 9,750000 4DES Picc 4,000000 4DES Med 3,550000 4DES Gra 3,325000 4SINDES Picc 2,800000 4SINDES Med 3,075000 4SINDES Gra 2,500000 4

Duncan interazione

{1} {2} {3} {4} {5} {6} {7} {8} {9} 5,15 5,85 9,75 4 3,55 3,32 2,8 3,07 2,5 S P {1} ,36 ,001 ,14 ,057 ,03 ,01 ,02 ,004 S M {2} ,001 ,02 ,009 ,005 ,001 ,002 ,005 S G {3} ,006 ,001 ,001 ,001 ,001 ,001 D P {4} ,56 ,41 ,17 ,28 ,09 D M {5} ,77 ,38 ,56 ,23 D G {6} ,52 ,74 ,33 SD P {7} ,72 ,69 SD M {8} ,48

Anova per misure ripetute

G1 X1 O1 X2 O2 X3 O3

• Faccio sollevare agli stessi ss dei pesi con braccio sn, dx e sn+dx.

• N= 12

Scomposizione della devianza

Devianza totale

Devianza Devianza

Tra i ss Entro i ss

tra le prove residua

Risultati

Fonte

Di var. GDL Varianza F P

M. Rip 2 17,75 88,96 ,0001

Residua 18 ,199

Mrip: braccio N= 12

Plot di Medie

BRACCIO Eff. Princ.

F(2,18)=88,97; p<,0000

BRACCIO

Va

ria

bile

:Va

r.1

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

livel_1 livel_2 livel_3

Duncan Test

{1} {2} {3}

5,49 3,72 2,88

1 {1} ,0001 ,00007

2 {2} ,0006

3 {3}

Disegno

sn dx sn+dx

Picc G1 O1 G1O2 G1O3

Medio G2 O1 G2O2 G2O3

Grande G3 O1 G3O2 G3O3

Disegno

G1p Xsn O1 Xdx O2 Xs+d O3

G2m Xsn O4 Xdx O5 Xs+d O6

G3g Xsn O7 Xdx O8 Xs+d O9

Risultati

Fonte

Di var. Varianza GDL F P

Ogg 3,31 2 20,9 ,0004

Bra 43,6 2 251,3 ,0001

OggXBra 5,29 18 30,48 ,0001

Err tra ,157 9

Err entro ,174 18

OGGETTO Pic

OGGETTO Med

OGGETTO Gran

Plot di Medie

2-vie,interazione

F(4,18)=30,48; p<,0000

BRACCIO

Varia

bile

:Var

.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

livel_1 livel_2 livel_3

Medie

Pic 1 5,150000Pic 2 4,175000Pic 3 2,900000Med 1 5,875000Med 2 3,625000Med 3 2,925000Gran 1 8,625000Gran 2 3,575000Gran 3 2,850000

Duncan Test

1} {2} {3} {4} {5} {6} {7} {8} {9}

5,15 4,1 2,9 5,8 3,6 2,92 8,6 3,5 2,8

P1 {1} ,004 ,001 ,02 ,001 ,001 ,001 ,001 ,001

P2 {2} ,001 ,001 ,07 ,001 ,001 ,06 ,001

P3 {3} ,001 ,03 ,93 ,001 ,04 ,86

M1 {4} ,001 ,001 ,001 ,001 ,001

M2 {5} ,03 ,001 ,86 ,02

M3 {6} ,001 ,04 ,81

G1 {7} ,001 ,001

G2 {8} ,03