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ANÁLISE DE UM EDIFÍCIO DE CONCRETO ARMADO
CONSIDERANDO O COLAPSO PROGRESSIVO
Rodrigo Costa Pereira
Rio de Janeiro
Março de 2015
Projeto de Graduação apresentado ao
Curso de Engenharia Civil da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro Civil.
Orientador:
Prof. Henrique Innecco Longo, D.Sc.
ii
ANÁLISE DE UM EDIFÍCIO DE CONCRETO ARMADO
CONSIDERANDO O COLAPSO PROGRESSIVO
Rodrigo Costa Pereira
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO
RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.
Examinado por:
____________________________________
Henrique Innecco Longo
Prof. Associado, D.Sc., EP/UFRJ
(Orientador)
____________________________________
Sergio Hampshire de Carvalho Santos
Prof. Associado, D.Sc. , EP/UFRJ
____________________________________
Bruno Martins Jacovazzo
Prof. Adjunto, D.Sc. , EP/UFRJ
Rio de Janeiro
Março de 2015
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Pereira, Rodrigo Costa
Análise de um Edifício de Concreto Armado Considerando o
Colapso Progressivo / Rodrigo Costa Pereira. – Rio de Janeiro:
UFRJ/ Escola Politécnica, 2014.
viii, 80 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Henrique Innecco Longo.
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/
Curso de Engenharia Civil, 2015.
Referências Bibliográficas: p.96.
1. Colapso Progressivo. 2. Concreto Armado. 3.
GSA-Guidelines.
I. Longo, Henrique Innecco. II. Universidade Federal do
Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Civil.
III. Titulo.
iv
AGRADECIMENTOS
Agradeço aos meus pais, Agnaldo e Cláudia, pelo contínuo incentivo, apoio,
opiniões e dedicação em toda a minha vida. Ao meu irmão Guilherme, pela amizade,
companheirismo e ensinamentos em todos os momentos. E a todos os familiares que
me apoiaram ao longo dessa jornada, principalmente meus padrinhos, Fernando e
Vania, meus tios, Carlos e Eliana e aos meus primos, Victor e Fernanda.
Agradeço à Thamiris pelo amor, cumplicidade, compreensão, incentivo e apoio
incondicional nesses dois anos de convivência. Obrigado por ter ficado ao meu lado e
me aguentado nos momentos de dificuldade e estresse. Sei que posso contar com
você para tudo, obrigado.
Agradeço a todos os meus amigos de faculdade, mas principalmente a Ana,
Camilo, Juliana, Luiz, Marina, Piter, Guilherme e Frederico, pelos cinco anos de
estudo, estresse e principalmente de amizade e companheirismo. Obrigado por tudo,
não teria conseguido sem vocês.
Aos meus amigos de colégio por todos esses anos de amizade.
Ao professor Henrique, pelos ensinamentos e por ser sempre tão solícito.
Aos meus amigos da PCE, por todo o ensinamento passado.
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Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.
ANÁLISE DE UM EDIFÍCIO DE CONCRETO ARMADO
CONSIDERANDO O COLAPSO PROGRESSIVO
Rodrigo Costa Pereira
Março/2015
Orientador: Henrique Innecco Longo
Curso: Engenharia Civil
RESUMO
O colapso progressivo é um fenômeno conhecido no meio técnico há mais de 50 anos,
mas pouco estudado aqui no Brasil e praticamente ausente nas nossas normas. Então
este trabalho tem como objetivo apresentar esse tema, expondo o histórico,
definições, causas, princípios de projeto e métodos de análise. Um edifício de 12
pavimentos de concreto armado foi modelado em elementos finitos pelo programa
SAP2000 e foi analisado de acordo com os critérios do GSA para resistir à perda de
um dos pilares no térreo evitando o colapso progressivo. Nesta análise, foi feita uma
verificação dos momentos fletores e esforços cortantes nas vigas e os esforços
normais nos pilares.
Palavras-chave: Colapso Progressivo, Concreto Armado, GSA – guidelines.
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Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Engineer.
ANALYSIS OF A REINFORCED CONCRETE BUILDING
CONSIDERING THE PROGRESSIVE COLLAPSE
Rodrigo Costa Pereira
March/2015
Advisor: Henrique Innecco Longo
Course: Civil Engineering
ABSTRACT
The progressive collapse is a phenomenon known in the technical community for about
50 years, but not well studied in Brazil and hardly presented in our standards. So this
work aims to present the history, definitions, causes, design principles and methods of
analysis of progressive collapse. A building of 12 floors of reinforced concrete was
modeled in finite elements using the software SAP2000 and was analyzed in
accordance with the GSA criteria to resist the loss of one column on its base,
preventing the progressive collapse. In this analysis, the bending moments and shear
forces were verified on the beams and the axial forces in the columns.
Keywords: Progressive Collapse, Reinforced Concrete, GSA - guidelines.
vii
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................ 1
2. OBJETIVO .............................................................................................. 4
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................... 4
4. COLAPSO PROGRESSIVO .................................................................... 5
4.1. Definição............................................................................................................ 5
4.2. Causas ................................................................................................................ 7
4.3. Princípios de projeto ......................................................................................... 7
5. MÉTODOS DE ANÁLISE ........................................................................ 9
5.1. Método Indireto ................................................................................................ 9
5.2. Método direto ................................................................................................. 10
5.2.1. Método da Resistência Local Específica (MRLE) ....................................... 10
5.2.2. Método dos Caminhos Alternativos de Carga (MCAC) ............................. 11
6. MODELO A SER ANALISADO ............................................................. 14
6.1. Geometria ....................................................................................................... 14
6.2. Materiais ......................................................................................................... 15
6.3. Carregamentos e combinações ....................................................................... 16
6.3.1. Carregamentos .......................................................................................... 16
6.3.2. Combinações ............................................................................................. 16
6.4. Modelo computacional ................................................................................... 17
6.5. Casos estudados .............................................................................................. 18
7. ANÁLISE CONVENCIONAL ................................................................. 20
7.1. Vigas ................................................................................................................ 20
7.1.1. Dimensionamento ao momento fletor ..................................................... 20
7.1.2. Dimensionamento ao esforço cortante .................................................... 23
7.1.3. Cálculo da Capacidade Máxima Resistente para as vigas ......................... 24
7.2. Pilares .............................................................................................................. 25
7.2.1. Dimensionamento ..................................................................................... 25
7.2.2. Cálculo da Capacidade Máxima Resistente para os pilares ...................... 28
8. CASO 1: RETIRADA DO PILAR P1 ..................................................... 28
8.1. Análise das vigas .............................................................................................. 29
8.2. Análise dos pilares ........................................................................................... 38
viii
9. CASO 2: RETIRADA DO PILAR P5 ..................................................... 40
9.1. Análise das vigas .............................................................................................. 40
9.2. Análise dos pilares ........................................................................................... 46
10. CASO 3: RETIRADA DO PILAR P9 ..................................................... 49
10.1. Análise das vigas .......................................................................................... 49
10.2. Análise dos pilares ....................................................................................... 55
11. CASO 4: RETIRADA DO PILAR P6 ..................................................... 57
11.1. Análise das vigas .......................................................................................... 57
11.2. Análise dos pilares ....................................................................................... 65
12. CASO 5: RETIRADA DO PILAR P10.................................................... 68
12.1. Análise das vigas .......................................................................................... 68
12.2. Análise dos pilares ....................................................................................... 76
13. CONCLUSÃO ....................................................................................... 78
14. BIBLIOGRAFIA ..................................................................................... 79
1
1. INTRODUÇÃO
Desde o ano de 1968 em que aconteceu o acidente do edifício de
apartamentos Ronan Point no Reino Unido, o colapso progressivo tem sido estudado e
incluído em normas internacionais como a americana e a inglesa. No Brasil, o estudo
sobre esse tema ainda está no seu início, tendo sido impulsionada por eventos como a
Copa do Mundo de Futebol e as Olimpíadas, onde foram necessários projetos
especiais que englobassem o colapso progressivo. Além disso, na nossa norma NBR
6118 (2014) ele é citado apenas duas vezes: no item “Estados limites últimos”, onde
se diz que a estrutura deve ser verificada para o “estado limite último de colapso
progressivo” e no item “Colapso progressivo” onde se recomenda uma armadura nas
lajes lisas, sobre os pilares, “para garantir a ductilidade local e a consequente proteção
contra o colapso progressivo”, sem se dar maiores explicações.
Figura 1 – Acidente do edifício Ronan Point
Depois do acidente do edifício Ronan Point, onde uma explosão de gás na
cozinha do 18º andar expeliu parte de uma parede externa e consequentemente o
2
colapso dessa laje da cozinha se propagou para todos os andares do prédio, tivemos
vários outros acidentes relatados. O mais marcante foi o do dia 11 de Setembro de
2009 que marcou o início da guerra contra o terrorismo. Nesse dia, três aviões
comerciais colidiram contra as duas torres gêmeas, causando seu colapso total e
contra o Pentágono, causando apenas um colapso parcial. Esse edifício foi projetado
contra o colapso progressivo e conseguiu resistir ao fortíssimo impacto causado por
um Boeing 757.
Figura 2 – Pentágono após o acidente de 11 de Setembro
Além deste, o prédio Khobar Towers, na Arábia Saudita, em 25 de Junho de
1996 também sofreu apenas um colapso parcial depois de um atentado a bomba na
avenida em frente ao edifício. Com a explosão, criou-se uma cratera na avenida e
apenas a fachada da edificação foi destruída. Ele também foi projetado contra o
colapso progressivo.
Figura 3 – Edifício Khobar Towers depois de um atendado a bomba
3
Mais recentemente, no dia 24/11/2014, tivemos o caso de Kansas City, estado
do Missouri, nos Estados Unidos. Numa perseguição policial, uma criminosa bateu em
um pilar de um prédio que foi totalmente destruído. No Brasil, tivemos o caso do
Edifício Liberdade no Rio de Janeiro em 2012. Após a remoção de um pilar do 9º
andar da estrutura durante uma reforma, o colapso foi total.
Figura 4 – Sequencia das imagens do acidente em Kansas City
4
Figura 5 – Antes e depois do acidente no Edifício Liberdade
2. OBJETIVO
Este trabalho tem como objetivo apresentar o tema colapso progressivo,
mostrando suas definições, causas, prevenções, princípios de projeto e métodos de
análise. Por fim, foi usado como exemplo de estudo uma edificação de 12 andares em
concreto armado. Ela foi primeiramente dimensionada de acordo com as normas
brasileiras e depois analisada e dimensionada de forma que resista ao colapso
progressivo quando um elemento estrutural vertical é removido.
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Para este trabalho foram usadas principalmente as seguintes referências:
General Services Administration (GSA) (2013), projetos finais de BAÍA (2014), e
MENEZES (2014) e artigo de LARANJEIRAS (2010).
5
O primeiro documento foi desenvolvido por uma agência governamental
americana e visa principalmente evitar o colapso de estruturas devido a ataques
terroristas. Os seguintes dois textos expõem o tema e analisam uma estrutura contra o
colapso progressivo. O último apresenta uma introdução ao assunto, com definições,
causas, métodos e estudos de caso.
4. COLAPSO PROGRESSIVO
4.1. Definição
O GSA (2013) define o colapso progressivo como “a extensão de um dano ou
colapso, desproporcional à magnitude do evento inicial”. A ASCE 7-05 (2005) define o
colapso progressivo como “a propagação de uma falha inicial local de elemento para
elemento, eventualmente resultando no colapso de uma estrutura como um todo ou de
uma parte desproporcionalmente grande desta”.
Então, o colapso progressivo, ou colapso desproporcional, é identificado
quando um dano inicial, interno ou externo, se propaga para o resto da estrutura
gerando consequentes falhas em outros elementos estruturais, que não foram
projetados para resistir às solicitações dessa situação.
Ainda de acordo com o GSA (2013), o colapso progressivo é caracterizado
quando atinge não somente os elementos estruturais diretamente ligados ao elemento
inutilizado, se estendendo por mais de um vão. Para o NIST – National Institute of
Standards and Tecnology – (2007), o colapso progressivo vai além de 100 m² e dois
pavimentos do dano.
6
Figura 6 – Limites para o colapso não progressivo (planta)
Figura 7 – Limites para o colapso não progressivo (corte)
7
4.2. Causas
As três principais causas do colapso desproporcional são os erros de projeto
ou de construção, as ações variáveis abusivas e ações excepcionais.
Os erros de projeto e de construção são as principais causas de colapsos em
edifícios. Eles podem ocorrer mesmo com profissionais de qualidade e quando se
utilizam normas de projeto e construção adequadas. Eles podem ser minimizados por
uma melhor supervisão e controle e gestão de qualidade.
As ações variáveis abusivas levam a esforços não previstos nos projetos. Essa
sobrecarga inadequada, mesmo com a majoração dos esforços e minoração da
resistência, pode causar a falha de elementos estruturais.
As ações excepcionais são, por exemplo, explosão de gás e de bombas,
colisão de veículos e aviões, incêndio, transporte e estocagem de materiais perigosos
e ações ambientais extremas. As construções de edificações que resistam a tais
impactos são bem mais caras e por isso não são cogitadas em prédios usuais.
4.3. Princípios de projeto
Um edifício projetado para resistir ao colapso progressivo tem como objetivo
resistir aos esforços por um tempo mínimo para a evacuação das pessoas e atuação
de bombeiros, policiais e médicos para salvar o maior número possível de vidas. Um
princípio fundamental para se evitar esse tipo de colapso é a robustez estrutural, que
garanta maior resistência a explosões, colisões, incêndios e erros humanos. Ela é
obtida através das seguintes medidas:
Continuidade: garante uma melhor redistribuição vertical e horizontal
das cargas pela estrutura, além de prover resistência a possíveis
inversões de esforços, o que é muito comum na perda de um pilar. Para
isso, nas ligações entre vigas e pilares as armaduras superiores e
8
inferiores devem ser contínuas. Além disso, sem continuidade não há
redundância;
Redundância: oferece alternativas para a redistribuição dos esforços.
Ao se ter um apoio danificado, ela oferece alternativas de redistribuição
das cargas para outros apoios. Por isso, o espaçamento entre os pilares
da estrutura em pórtico é limitado e as vigas de transição devem ser
evitadas;
Ductilidade: capacidade de plastificação da estrutura, o que permite a
sustentação de cargas mesmo com grandes deformações. Segundo
LARANJEIRAS (2010), os pilares cintados suportam maiores
deformações (encurtamentos) antes de atingir o colapso total, por isso
têm grande importância na prevenção de colapsos progressivos e seu
uso deveria ser resgatado e estimulado.
Figura 8 – Diferença entre um pilar não cintado e cintado
Outros princípios também devem ser adotados:
Amarrações: a conectividade ao longo de toda a estrutura feita com
amarrações em diferentes direções dá ao sistema estrutural a
9
possibilidade de caminhos alternativos para transferência de cargas,
segundo MENEZES (2014);
Resistência ao esforço cortante: a ruptura por esforço cortante tem
característica frágil, por isso os elementos estruturais devem ser
dimensionados para que rompam antes por flexão.
Como o custo para tornar uma estrutura resistente ao colapso desproporcional
aumenta, fica ainda distante a adoção de tais medidas para edifícios usuais.
5. MÉTODOS DE ANÁLISE
Existem dois métodos de análise do colapso progressivo, o método indireto e o
método direto. Ambos foram explicitados a seguir em diferentes itens, dando ênfase
ao método direto, que é o método utilizado para a análise do modelo neste trabalho.
5.1. Método Indireto
O método indireto é uma aproximação simplificada para dar a estrutura um
nível mínimo de conectividade entre os diversos componentes estruturais. Nesse
método não é necessária uma análise adicional da estrutura. Ele é recomendado pelas
normas inglesas desde 1970, depois do acidente de Ronan Point.
O método é um nível básico de proteção contra o colapso progressivo,
fornecendo uma condição mínima de resistência, continuidade e ductilidade à
estrutura através de uma série de critérios como um bom layout em planta, sistema
estrutural redundante, entre outras. O principal deles é um sistema de amarrações.
São as amarrações verticais, longitudinais, transversais e periféricas que garantem
uma estrutura mais contínua, dúctil e com caminhos alternativos para a transferência
dos esforços.
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Figura 9 – Sistema de amarrações no método indireto
5.2. Método direto
Diferentemente do método anterior, o método direto se baseia na análise de
situações específicas. Existem dois tipos de métodos diretos, que serão explicitados
nos itens a seguir.
5.2.1. Método da Resistência Local Específica (MRLE)
O Método da Resistência Local Específica (MRLE) se baseia na análise de
situações excepcionais, obtendo a resistência contra o colapso progressivo pelo
aumento de resistência dos elementos principais a essa determinada ação.
Assim, no MRLE é definida a causa do colapso, como explosão de bombas ou
de gás e impactos de veículos, e os elementos estruturais são dimensionados para
essa específica ação excepcional prevista, garantindo a integridade da estrutura. Para
esse dimensionamento são necessárias análises dinâmicas não lineares, tornando o
método pouco prático.
11
5.2.2. Método dos Caminhos Alternativos de Carga (MCAC)
O Método dos Caminhos Alternativos de Carga (MCAC) tem como objetivo
projetar a estrutura para que ela possa transferir os esforços em torno de um
determinado local de ruptura.
Então, no MCAC a estrutura é dimensionada para resistir à perda de um
importante elemento de sustentação do edifício. Ele é utilizado pela maioria das
instituições governamentais americanas, como o GSA (2013), na prevenção de
colapsos desproporcionais por não necessitar da descrição da causa do colapso nem
de analises não lineares, tornando-o mais prático. Por isso, ele foi utilizado nesse
trabalho na análise do modelo.
Com a utilização do MCAC a estrutura se torna mais dúctil, redundante e
contínua, com propriedades de absorver energia, reduzindo a possibilidade de um
colapso progressivo.
Para a aplicação do método, primeiro a estrutura deve ser dimensionada de
forma convencional para a combinação do estado limite último. Depois, os pilares da
estrutura são retirados, um de cada vez, em posições estratégicas para ser feita uma
nova análise. Com o novo modelo, os novos esforços são analisados através de uma
combinação específica conforme indica o GSA (2013). Esses esforços são
comparados com as resistências últimas das peças e através de um critério de
aceitação podemos concluir se elas têm risco minimizado de sofrer colapso
desproporcional ou se elas têm grande risco de sofrer esse tipo de colapso. Correndo
risco de sofrer esse colapso, os elementos estruturais devem ser novamente
dimensionados.
O GSA (2013) recomenda que em sendo os pilares retirados, não se perca a
continuidade da estrutura mesmo com a perda de apoio, transferindo-se as cargas
para os elementos adjacentes. Além disso, os pilares devem ser retirados nos cantos
12
das fachadas, adjacentes aos de canto, próximos à metade do maior e menor lado em
planta, assim como pilares internos próximos à metade de cada lado.
Figura 10 – Forma correta de remoção dos pilares
Figura 11 – Pilares a serem removidos
13
A análise dos resultados dos modelos sem um pilar é feita através da
verificação da Relação Demanda-Capacidade (RDC). O valor do RDC é dado por:
𝑅𝐷𝐶 = 𝑄𝑢𝑑
𝑄𝑐𝑒
Sendo: Qud – esforço (demanda) no elemento estrutural (momento fletor (Md), força
axial (Nd) e cortante (Vd)) na combinação do GSA e Qce – capacidade máxima
resistente esperada em serviço do elemento.
Para calcularmos a capacidade máxima resistente em serviço para o momento
fletor (Mu) das vigas, primeiramente calculamos a profundidade da linha neutra (x)
considerando a resistência do concreto e do aço em serviço, conforme a GSA (2013),
e em seguida calculamos o momento último da viga, Mu, como sugere LONGO (2014),
também utilizando a resistência do aço em serviço:
𝑥 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑘
0,68 . 𝑏 . 𝑓𝑐𝑘
𝑀𝑢 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑘 . (𝑑 − 0,4𝑥)
Sendo: As a área de aço, b a base da viga e d a altura útil.
Para calcularmos o cortante último, Vu, fazemos da mesma maneira que o
momento. Consideramos a resistência do aço e do concreto em serviço e substituímos
na fórmula do cortante Vsd por Vu.
𝐴𝑠𝑤
𝑠=
𝑉𝑢 − 𝑉𝑐
0,9. 𝑑. 𝑓𝑦𝑘
O esforço normal último dos pilares é calculado através dos ábacos. Com a
armadura calculada no dimensionamento para o estado limite último, temos o valor de
w:
𝑤 =𝐴𝑠 × 𝑓𝑦𝑑
𝑏 × ℎ × 𝑓𝑐𝑑
Sendo: b e h as dimensões do pilar em corte.
14
E com o momento (MGSA) encontrado no modelo sem o pilar para a combinação
GSA encontramos o valor de µ:
µ =𝑀𝐺𝑆𝐴
𝑏 × ℎ² × 𝑓𝑐𝑑
Entrando com esses valores no ábaco obtemos o valor de 𝜂 para que assim
tenhamos o valor do esforço normal último (Nu):
𝑁𝑢 = 𝜂 × 𝑏 × ℎ × 𝑓𝑐𝑑
Valores de RDC maiores que 2,0 significam grandes riscos de sofrer sérios
danos ou até o mesmo o colapso. Nesse caso, os elementos devem ser
redimensionados. Valores entre 1,0 e 2,0 significam que o esforço pode ser
redistribuído para os outros elementos estruturais.
6. MODELO A SER ANALISADO
Na estrutura estudada foi analisada a capacidade de um edifício de concreto
armado resistir ao colapso progressivo. Para isso, os elementos estruturais foram
dimensionados de forma convencional conforme a NBR 6118 (2014) para o estado
limite último. Em seguida, utilizando o método dos Caminhos Alternativos de Carga
(MCAC), foram retirados pilares da estrutura para ser feita a análise contra o colapso
progressivo de forma linear estática. Essa análise foi feita com a utilização do
“software” SAP2000 (2009), com um modelo de elementos finitos em 3D.
6.1. Geometria
O modelo estudado foi um edifício de 12 pavimentos com lajes, vigas e pilares
de concreto armado. São 24 pilares espaçados em 6 metros com 6 linhas e 4 colunas,
como mostrado na Figura 12, com pé direito de 3 m. Desses 24 pilares, 2 são pilares
paredes situados na caixa de elevadores. A área total do pavimento é de 530 m². Os
pavimentos são compostos por escritórios, assim tendo fins comerciais. Os pilares tem
seção de 30 cm x 60 cm, os pilares parede tem seção de 15 cm x 300 cm, as vigas de
15 cm x 50 cm e a laje possui espessura de 10 cm.
15
Figura 12 – Planta de formas do pavimento tipo – unidades em cm (sem
escala)
6.2. Materiais
Os materiais utilizados no dimensionamento da estrutura foram o concreto C40 e
o aço CA-50.
O concreto possui as seguintes características:
Resistência característica à compressão (fck):
𝑓𝑐𝑘 = 40 𝑀𝑃𝑎
16
Módulo de elasticidade secante (Ecs), conforme NBR 6118(2014):
𝐸𝑐𝑠 = 0,85 × 5600 × √𝑓𝑐𝑘 = 0,85 × 5600 × √40 = 30104,88 𝑀𝑃𝑎
O aço CA-50 possui tensão de escoamento característica de fyk = 500 MPa e o
concreto armado possui peso específico de 25 kN/m³.
6.3. Carregamentos e combinações
6.3.1. Carregamentos
As cargas consideradas no modelo foram:
Peso próprio: carga permanente já calculada pelo próprio programa;
Revestimento: carga permanente considerada igual a 0,5 kN/m²;
Peso próprio das paredes: carga permanente considerando paredes de
alvenaria de 15 cm de espessura, pé direito de 3 m e peso específico do
tijolo de 13 kN/m³, sendo essa carga aplicada sobre as vigas:
𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠 = 13 × 3 × 0,15 = 5,85 𝑘𝑁/𝑚
Sobrecarga: carga acidental considerada igual a 2 kN/m² em todo o
pavimento, conforme indicado na norma NBR 6120 (1980) para
escritórios.
As cargas horizontais de imperfeições geométricas e de vento não foram
consideradas no modelo por simplificação.
6.3.2. Combinações
No programa serão utilizadas 3 tipos de combinações:
Estado limite último (ELU): para o dimensionamento convencional da
estrutura
𝐸𝐿𝑈 = 1,4 × 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 + 1,4 × 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑖𝑠
= 1,4 × 𝑝𝑝 + 1,4 × 𝑟𝑒𝑣 + 1,4 × 𝑝𝑝𝑎 + 1,4 × 𝑠𝑐
Sendo: pp-peso próprio, rev-revestimento, ppa-peso próprio das paredes e sc-
sobrecarga.
Estado limite de serviço (ELS):
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𝐸𝐿𝑆 = 1,0 × 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 + 0,3 × 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑖𝑠
= 1,0 × 𝑝𝑝 + 1,0 × 𝑟𝑒𝑣 + 1,0 × 𝑝𝑝𝑎 + 0,3 × 𝑠𝑐
Combinação para a análise do Método dos Caminhos Alternativos de
Carga e cálculo da Relação Demanda-Capacidade (RDC) indicada no
GSA (2013):
𝐺𝑆𝐴 = 2,0 × (𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 + 0,25 × 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑖𝑠)
= 2,0 × 𝑝𝑝 + 2,0 × 𝑟𝑒𝑣 + 2,0 × 𝑝𝑝𝑎 + 0,5 × 𝑠𝑐
Esta combinação foi utilizada quando os pilares forem removidos em cada
caso. O fator de multiplicação 2,0 é utilizado para considerar o efeito dinâmico devido
à remoção instantânea do pilar e o fator de multiplicação 0,25 das cargas acidentais é
utilizado porque dificilmente o edifício estará em plena capacidade simultaneamente à
carga de remoção do pilar.
6.4. Modelo computacional
O modelo foi desenvolvido com os dados acima apresentados, como mostrado
na Figura 13. As vigas e os pilares foram modelados como elementos lineares com
seções respectivamente de 15 cm x 50 cm e 30 cm x 60 cm. As lajes e os pilares
parede foram modelados como elementos de casca com uma malha de elementos
finitos de 60 cm x 60 cm. Como as fundações não são objeto de estudo desse
trabalho, os pilares foram considerados como apoiados em sua base, assumindo que
não haja recalques nas fundações.
18
Figura 13 – Modelo computacional desenvolvido no programa SAP2000
6.5. Casos estudados
Primeiramente, a estrutura foi dimensionada de forma convencional para o
estado limite último e depois foi feito um estudo da estrutura considerando o colapso
progressivo. Para isso, os pilares foram retirados um de cada vez para a análise da
estrutura. Os pilares retirados foram P1, P5, P9, P6 e P10, nessa ordem, conforme
mostrado na Figura 14. O P9 foi escolhido por ser o pilar mais solicitado da maior
fachada, o P1 por ser um pilar de canto, o P5 por ser o pilar adjacente ao de canto e o
P6 e P10 por serem pilares internos.
Em cada caso, foram analisadas as vigas e os pilares adjacentes ao pilar
removido, porque é nessa região onde são esperadas as maiores diferenças nas
19
solicitações e inclusive a inversão de sinal do momento fletor nas vigas. Também
foram comparados os esforços normais de todos os pilares antes e depois da remoção
dos pilares. Além disso, para impedir a propagação de danos estruturais, é essencial
que os elementos adjacentes tenham resistência suficiente para resistir àquelas
diferenças. Nessa análise, foi feito o cálculo do RDC para verificar a resistência dos
elementos estruturais e a comparação dos esforços antes e depois da remoção do
pilar para a análise do Método dos Caminhos Alternativos de Carga.
Figura 14 - Pilares a serem retirados - unidades em cm (sem escala)
20
Tabela 1 – Vigas e pilares a serem analisadas em cada caso
Pilar removido Vigas adjacentes a serem analisadas Pilares adjacentes a serem analisados
P1 V1, V2, V7 e V8 P2, P5 e P6
P5 V1, V2, V3, V7 e V8 P1, P2, P6, P9 e P10
P9 V2, V3, V4, V7 e V8 P5, P6, P10, P13 e P14
P6 V1, V2, V3, V7, V8 e V9 P1, P2, P3, P5, P7, P9 e P10
P10 V2, V3, V4, V7, V8 e V9 P5, P6, P7, P9, P13 e P14
7. ANÁLISE CONVENCIONAL
Como dito no item anterior, primeiramente a estrutura foi dimensionada de
forma convencional com a combinação de Estado Limite Último, a partir de resultados
obtidos do “software” SAP2000. Também foi calculada a capacidade máxima
resistente das vigas e dos pilares. Para simplificação, os elementos foram
dimensionados para o maior valor encontrado da solicitação correspondente,
repetindo-se o dimensionamento para os demais elementos da estrutura.
7.1. Vigas
7.1.1. Dimensionamento ao momento fletor
Devido à combinação ELU, o maior momento positivo encontrado no modelo foi
de 75,8 kNm, como mostrado na Figura 15, na viga V9 do 12º pavimento.
21
Figura 15 – Maior momento positivo encontrado (kNm)
Assim, segue-se o dimensionamento:
𝐾𝑀𝐷 = 𝑀𝑑
𝑏 . 𝑑2. 𝑓𝑐𝑑=
75,8
0,15 × 0,452 × 400001,4⁄
= 0,08
Sendo: Md o momento de cálculo, b a base, d a altura útil da viga. Pela tabela de KMD
temos que:
𝐾𝑧 = 0,95
𝐴𝑠 = 𝑀𝑑
𝐾𝑧 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑑=
75,8
0,95 × 0,45 × 501,15⁄
= 4,08 𝑐𝑚2
Então, será adotado para todas as vigas um 𝐴𝑠+ = 5 𝑐𝑚² (4ϕ12,5), que é maior
que a armadura encontrada.
22
Devido à combinação ELU, o maior momento negativo encontrado no modelo
foi de 165,6 kNm, como mostrado na Figura 16, na viga V5 do 11º pavimento.
Figura 16 – Maior momento negativo encontrado (kNm)
Assim, segue-se o dimensionamento:
𝐾𝑀𝐷 = 𝑀𝑑
𝑏 . 𝑑2. 𝑓𝑐𝑑=
165,6
0,15 . 0,452. 400001,4⁄
= 0,191
𝐾𝑧 = 0,872
𝐴𝑠 = 𝑀𝑑
𝐾𝑧 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑑=
165,6
0,872 . 0,45 . 501,15⁄
= 9,71 𝑐𝑚2
Então, foi adotado para todas as vigas um 𝐴𝑠− = 10 𝑐𝑚² (8ϕ12,5), que é maior
que a armadura encontrada.
23
Além disso, o diagrama de momentos fletores não foi decalado e as armaduras
positivas e negativas se estenderão ao longo de toda a viga para atender a prática de
continuidade e ductilidade que possibilitam caminhos alternativos de carga e que são
essenciais ao combate contra o colapso progressivo.
7.1.2. Dimensionamento ao esforço cortante
Devido à combinação ELU, o maior esforço cortante encontrado no modelo foi
de 118,92 kN, como mostrado na Figura 17, na viga V9 do 11º pavimento. Segundo a
norma NBR 6118 (2014), o cortante máximo pode ser reduzido adotando-se o valor a
d/2 da face do apoio. Dessa maneira, conforme Figura 18, o cortante reduzido foi igual
a 113,245 kN.
Figura 17 – Posição do maior esforço cortante encontrado
24
Figura 18 – Cortante máximo reduzido a d/2 do apoio (kN)
Verificação da compressão diagonal do concreto:
𝛼𝑣2 = 1 −𝑓𝑐𝑘
250= 1 −
40
250= 0,84
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 . 𝛼𝑣2 . 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏𝑤 . 𝑑 = 0,6 × 1,75 × 0,15 × 0,45 × 103 = 70,88 𝑘𝑁
Sendo: bw a base e d a altura útil da viga. Assim, a armadura por metro (Asw/s) é:
𝐴𝑠𝑤
𝑠=
𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐
0,9 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑤𝑑=
113,245 − 70,88
0,9 × 0,45 ×50
1,15
= 2,4𝑐𝑚2
𝑚
1 𝑟𝑎𝑚𝑜 = 2,4
2= 1,2 𝑐𝑚²/𝑚 (∅6,3 c 25)
A armadura mínima é igual a:
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3 . 𝑓𝑐𝑘
2
3 = 0,3 × 402
3 = 3,51 𝑀𝑃𝑎
𝜌𝑤 𝑚𝑖𝑛 = 0,2 .𝑓𝑐𝑡,𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘= 0,2 ×
3,51
500= 0,14%
𝐴𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛
𝑠= 𝜌𝑤 𝑚𝑖𝑛 . 𝑏𝑤 . sin 𝛼 =
0,14
100× 15 × 100 = 2,1 𝑐𝑚²/𝑚 (∅6,3 c 15)
Assim a armadura adotada foi a mínima, que corresponde a ∅6,3 c 15.
Além disso, os estribos se estenderão ao longo de toda a viga, inclusive nas
regiões de encontro com os pilares, para atender à prática de continuidade e
ductilidade que possibilitam caminhos alternativos de carga e que são essenciais ao
combate contra o colapso progressivo.
7.1.3. Cálculo da Capacidade Máxima Resistente para as vigas
Como dito anteriormente, para calcularmos a capacidade máxima resistente
para o momento fletor (Mu), calculamos a profundidade da linha neutra (x)
considerando a resistência do concreto e do aço em serviço, conforme a GSA (2013):
25
𝑥 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑘
0,68 . 𝑏 . 𝑓𝑐𝑘=
5,0 × 50
0,68 × 0,15 × 40000= 0,06 𝑚
Sendo: As a área de aço e b a base da viga.
Com o valor da linha neutra podemos calcular o momento último da viga, Mu,
como sugere LONGO (2014), também utilizando a resistência do aço em serviço:
𝑀𝑢 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑘 . (𝑑 − 0,4𝑥) = 5,0 × 50 × (0,45 − 0,4 × 0,06) = 106,5 𝑘𝑁𝑚
Sendo: d a altura útil.
Para o momento negativo, a linha neutra, x, e momento último da viga, Mu são:
𝑥 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑘
0,68 . 𝑏 . 𝑓𝑐𝑘=
10,0 × 50
0,68 × 0,15 × 40000= 0,12 𝑚
𝑀𝑢 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑘 . (𝑑 − 0,4𝑥) = 10,0 × 50 × (0,45 − 0,4 × 0,12) = 201,0 𝑘𝑁𝑚
Para calcularmos o cortante último, Vu, fazemos da mesma maneira que o
momento. Consideramos a resistência do aço e do concreto em serviço e substituímos
na fórmula do cortante Vsd por Vu.
𝐴𝑠𝑤
𝑠=
𝑉𝑢 − 𝑉𝑐
0,9. 𝑑. 𝑓𝑦𝑘
2,1 =𝑉𝑢 − 70,88
0,9 × 0,45 × 50
𝑉𝑢 = 113,41 𝑘𝑁
7.2. Pilares
7.2.1. Dimensionamento
Devido à combinação ELU, a maior força de compressão, Nd, encontrada no
modelo foi de 4478,7 kN, como mostrado na Figura 19, no pilar P18. Como a estrutura
é simétrica, a mesma carga é encontrada no pilar P6.
26
Figura 19 – Maior força de compressão encontrada (kN)
Como não foram consideradas as cargas horizontais, os momentos nos pilares
são pequenos, sendo menores que os momentos mínimos de primeira ordem. Por
isso, estes foram calculados e utilizados no dimensionamento. Com esses valores, os
pilares foram dimensionados para a flexão composta reta nas duas direções com
armadura simétrica ao longo da base de 60 cm.
Figura 20 – Seção do pilar – medidas em cm (sem escala)
27
𝑁𝑑 = −4478,7 𝑘𝑁
𝑀1𝑑 𝑚𝑖𝑛,𝑥 = 𝑁𝑑 . (0,015 + 0,03. ℎ) = 4478,7 × (0,015 + 0,03 × 0,3) = 107,49 𝑘𝑁𝑚
𝑀1𝑑 𝑚𝑖𝑛,𝑦 = 𝑁𝑑 . (0,015 + 0,03. 𝑏) = 4478,7 × (0,015 + 0,03 × 0,6) = 147,8 𝑘𝑁𝑚
A armadura mínima (Asmin) vale:
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 =0,15 × 𝑁𝑑
𝑓𝑦𝑑≥ 0,4% 𝐴𝑐
Sendo: Ac a área de concreto da seção do pilar.
𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 =0,15 × 4478,7
501,15⁄
= 15,45 𝑐𝑚2 > 0,4% × 30 × 60 = 7,2 𝑐𝑚2
E a armadura máxima é igual a:
𝐴𝑠,𝑚á𝑥 = 4% × 𝐴𝑐 = 0,04 × 30 × 60 = 72 𝑐𝑚²
Calculando a flexão composta reta em x (b=60 cm e h=30 cm), temos:
𝜂 =𝑁𝑑
(𝑏 × ℎ × 𝑓𝑐𝑑)⁄ = −4478,7(0,6 × 0,3 × 40.000/1,4)⁄ = −0,871
𝜇 =𝑀𝑑
(𝑏 × ℎ2 × 𝑓𝑐𝑑)⁄ = 107,49(0,6 × 0,32 × 40.000/1,4)⁄ = 0,07
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑′ = 0,05𝑚 → 𝑑′
ℎ= 0,166 ~ 0,15 ; 𝑆𝑒çã𝑜 𝑇𝑖𝑝𝑜 1 → Á𝑏𝑎𝑐𝑜 3
𝜔 = 0,16 (á𝑏𝑎𝑐𝑜)
𝐴𝑠 =𝜔 . 𝑏 . ℎ . 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑=
0,16 × 0,6 × 0,3 × 400001,4⁄
501,15⁄
= 18,93 𝑐𝑚2
E para a flexão composta reta em y (b=30 cm e h=60 cm), obtemos:
𝜂 =𝑁𝑑
(𝑏 × ℎ × 𝑓𝑐𝑑)⁄ = −4478,7(0,3 × 0,6 × 40.000/1,4)⁄ = −0,871
𝜇 =𝑀𝑑
(𝑏 × ℎ2 × 𝑓𝑐𝑑)⁄ = 107,49(0,3 × 0,62 × 40.000/1,4)⁄ = 0,048
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑′ = 0,05𝑚 → 𝑑′
ℎ= 0,083 ~ 0,15 ; 𝑆𝑒çã𝑜 𝑇𝑖𝑝𝑜 3 → Á𝑏𝑎𝑐𝑜 11
𝜔 = 0,09 (á𝑏𝑎𝑐𝑜)
𝐴𝑠 =𝜔 . 𝑏 . ℎ . 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑=
0,09 × 0,3 × 0,6 × 400001,4⁄
501,15⁄
= 10,6 𝑐𝑚2
28
Assim, a flexão composta reta crítica é em x e a armadura adotada é 8φ20
(25,1 cm²).
7.2.2. Cálculo da Capacidade Máxima Resistente para os pilares
Como o esforço normal último dos pilares depende do momento encontrado na
combinação GSA, ele será calculado para cada pilar nos diferentes casos estudados,
apresentados nas seções seguintes.
8. CASO 1: RETIRADA DO PILAR P1
Nesse caso, foi retirado o pilar P1 para análise. Foi utilizado o mesmo modelo
desenvolvido no programa de elementos finitos SAP2000 (2009) com exceção do pilar
P1, conforme a Figura 21.
Figura 21 – Modelo com o pilar P1 removido
Como dito no item 6.5, os elementos a serem analisados nesse caso serão as
vigas: V1, V2, V7 e V8 e os pilares P2, P5 e P6. Os elementos estruturais analisados
foram as vigas e em seguida os pilares.
29
8.1. Análise das vigas
Nesta seção, as vigas foram analisadas da seguinte forma: primeiro os
momentos fletores, comparando-os com os da análise convencional, calculando o
RDC. Por último foi estudada uma armadura especial contra o colapso progressivo.
Depois, foram analisados os esforços cortantes, comparando-os com os da análise
convencional e calculando o RDC para a estrutura.
As figuras a seguir ilustram os diagramas dos momentos fletores na estrutura
antes e depois da remoção do P1 para a combinação GSA.
Figura 22 – Diagramas de momento fletor passando pela viga V1 antes da
remoção (a) e depois (b)
30
Figura 23 – Diagramas de momento fletor passando pela viga V2 antes da
remoção (a) e depois (b)
Figura 24 – Diagramas de momento fletor passando pela viga V7 antes da
remoção (a) e depois (b)
31
Figura 25 – Diagramas de momento fletor passando pela viga V8 antes da
remoção (a) e depois (b)
A partir das figuras anteriores, nota-se que as maiores diferenças nos
momentos fletores se deram nas vigas V1 e V7, no encontro do pilar P1. É possível,
inclusive, visualizar a inversão dos momentos nessas vigas. Nas vigas V2 e V8, os
esforços não tiveram grandes variações, se mantendo praticamente os mesmos.
A partir destes diagramas foram considerados os maiores valores dos
momentos, positivos e negativos, por andar em cada uma das quatro vigas. Com
esses valores e com o seu momento último, como mostrado no item 7.1.3, foram
calculados os RDC para cada andar de cada uma das vigas, como mostrado nas
tabelas a seguir.
Tabela 2 – Valor para o RDC da viga V1
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 213,3 106,5 2,00 não OK 361,6 201 1,80 OK
2 228,5 106,5 2,15 não OK 375,7 201 1,87 OK
3 204,3 106,5 1,92 OK 352,7 201 1,75 OK
4 188,0 106,5 1,77 OK 336,6 201 1,67 OK
32
Tabela 3 – Valor para o RDC da viga V2
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 73,5 106,5 0,69 OK 144,0 201 0,72 OK
2 69,4 106,5 0,65 OK 166,0 201 0,83 OK
3 70,0 106,5 0,66 OK 167,6 201 0,83 OK
Tabela 4 – Valor para o RDC da viga V7
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 163,4 106,5 1,53 OK 313,5 201 1,56 OK
2 211,2 106,5 1,98 OK 354,8 201 1,77 OK
3 188,0 106,5 1,77 OK 333,5 201 1,66 OK
Tabela 5 – Valor para o RDC da viga V8
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 81,1 106,5 0,76 OK 136,6 201 0,68 OK
2 72,6 106,5 0,68 OK 133,8 201 0,67 OK
3 74,1 106,5 0,70 OK 129,0 201 0,64 OK
Nas tabelas 2 a 5 foram omitidos os andares cujo resultado do RDC foi menor
que 2,0 visto que esse valor tende a diminuir nos pavimentos superiores, juntamente
com o valor do momento, demonstrando que os andares superiores correm menos
risco de sofrer o efeito do colapso progressivo. Isso se os outros elementos dos
andares inferiores foram capazes de resistir ao colapso desproporcional.
Como foi mostrado nas figuras 23 e 25, onde foram comparados os momentos
antes e depois da retirada do pilar, as vigas V2 e V8 não sofreram grandes mudanças
nos momentos. Por isso elas não tiveram em nenhum caso o valor do RDC maior ou
igual a 2,0.
Para as vigas V1 e V7 percebemos que o RDC só foi maior que o limite para os
momentos positivos da viga V1. Isso se deve ao fato de que sem o pilar P1, houve
uma inversão no diagrama de momentos, aumentando expressivamente o momento
33
positivo, a ponto da armadura calculada não ser suficiente para suportá-lo. Os
momentos negativos também aumentaram de valor, porém esse aumento não foi
suficiente para que o valor do RDC fosse maior que 2,0. Além disso, a armadura
negativa sendo maior que a positiva, também influenciou para que o valor do RDC
fosse menor que o limite. Porém, como os valores para o momento positivo foram
maiores que 2,0, essa viga corre alto risco de sofrer colapso progressivo, conforme
critério do GSA (2013).
Contra o colapso desproporcional, pode ser adotada uma armadura, tanto na
face inferior quanto na face superior das vigas nas regiões de apoio dos pilares.
LONGO (2014) recomenda que ela possa ser estimada considerando: um braço de
alavanca z = 0,9d, sendo d a altura útil da viga, o diagrama retangular de tensões de
compressão no concreto e a posição da linha neutra x = 0,25d. Para essas
considerações, o momento fletor de cálculo, Md, é:
𝑀𝑑 = 0,153 × 𝑏 × 𝑑² × 𝑓𝑐𝑑
Sendo: b a base e d a altura útil da seção da viga.
Assim a armadura contra o colapso progressivo é
𝐴𝑠 𝐶𝑃 = 𝑀𝑑
𝑧 × 𝑓𝑦𝑑
No presente caso temos
𝑀𝑑 = 0,153 . 𝑏 . 𝑑2. 𝑓𝑐𝑑 = 0,153 . 0,15 . 0,452.40000
1,4= 132,8 𝑘𝑁𝑚
𝐴𝑠 𝐶𝑃 = 𝑀𝑑
𝑧 × 𝑓𝑦𝑑=
132,8
0,9 × 0,45 × 50/1,15 = 7,5 𝑐𝑚²
Assim, foi adotado uma armadura contra o colapso progressivo de 4ϕ16
(8,0 cm²) na face inferior das vigas.
Refazendo os cálculos para acharmos o novo momento último positivo para as
vigas, com a armadura contra o colapso progressivo temos
𝑥 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑘
0,68 . 𝑏 . 𝑓𝑐𝑘=
8,0 × 50
0,68 × 0,15 × 40000= 0,10 𝑚
34
𝑀𝑢+ = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑘 . (𝑑 − 0,4𝑥) = 8,0 × 50 × (0,45 − 0,4 × 0,10) = 164 𝑘𝑁𝑚
Com esse novo valor, atualizamos os valores do RDC para os momentos
positivos das vigas V1 e V7.
Tabela 6 – Valores atualizados do RDC para as vigas V1 e V7
PAVIMENTO VIGA V1 com arm. CP VIGA V7 com arm. CP
MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC
1 213,3 164,0 1,30 OK 313,5 164,0 1,91 OK
2 228,5 164,0 1,39 OK 211,2 164,0 1,29 OK
3 204,3 164,0 1,25 OK 188,0 164,0 1,15 OK
A partir da Tabela 6, nota-se que com a armadura contra o colapso
progressivo, os valores do RDC ficam todos abaixo do limite, ou seja, as vigas tem um
risco menor de sofrer colapso desproporcional.
As figuras a seguir ilustram a diferença dos esforços cortantes nas vigas antes
e após a remoção do pilar P1 para a combinação GSA.
Figura 26 – Diagramas de esforço cortante passando pela viga V1 antes da
remoção (a) e depois (b)
35
Figura 27 – Diagramas de esforço cortante passando pela viga V2 antes da
remoção (a) e depois (b)
Figura 28 – Diagramas de esforço cortante passando pela viga V7 antes da
remoção (a) e depois (b)
36
Figura 29 – Diagramas de esforço cortante passando pela viga V8 antes da
remoção (a) e depois (b)
A partir das figuras anteriores, nota-se que as maiores diferenças nos esforços
cortantes se deram nas vigas V1 e V7, no encontro do pilar P1. É possível, inclusive,
visualizar a não inversão do cortante nessas vigas. Nas vigas V2 e V8, os esforços
cortantes não tiveram grandes variações, se mantendo praticamente os mesmos.
A partir do modelo foram considerados os maiores valores em módulo dos
cortantes por andar de cada uma das quatro vigas. Com esses valores e com o seu
cortante último, como mostrado no item 7.1.3, foram calculados os RDC para cada
andar de cada uma das vigas, como mostrado nas tabelas a seguir.
Tabela 7 – Valor para o RDC da viga V1
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 167,7 113,4 1,48 OK
2 171,8 113,4 1,51 OK
3 163,6 113,4 1,44 OK
37
Tabela 8 – Valor para o RDC da viga V2
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 137,8 113,4 1,22 OK
2 145,8 113,4 1,29 OK
3 146,3 113,4 1,29 OK
Tabela 9 – Valor para o RDC da viga V7
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 148,1 113,4 1,31 OK
2 163,6 113,4 1,44 OK
3 155,8 113,4 1,37 OK
Tabela 10 – Valor para o RDC da viga V8
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 120,9 113,4 1,07 OK
2 133,5 113,4 1,18 OK
3 131,4 113,4 1,16 OK
Nas tabelas anteriores foram omitidos os andares superiores ao terceiro porque
em todos os casos o resultado do RDC foi menor que 2,0, demonstrando que as vigas,
com relação ao cortante, correm menos risco de sofrer colapso progressivo.
Como foi constatado nas figuras 27 e 29, as vigas V2 e V8 não sofreram
grandes mudanças nos seus valores de cortante, por isso elas tiveram os menores
valores do RDC.
Para as vigas V1 e V7 percebemos que os cortantes aumentaram de valor,
porém esse aumento não foi suficiente para que o valor do RDC fosse maior que 2,0.
Por isso, como os valores foram menores que o limite, essas vigas, através de seus
valores de cortante, tem risco minimizado de sofrer colapso progressivo, conforme
critério do GSA (2013) e não serão necessárias armaduras contra o colapso
desproporcional.
38
8.2. Análise dos pilares
Nesta seção, primeiramente os pilares foram analisados calculando-se o valor
do RDC para os pilares adjacentes como descrito no item 7.2.2. Depois disso, foi
verificada a redistribuição dos esforços verticais, analisando a carga em cada pilar
antes e depois da remoção.
Na tabela a seguir está o cálculo do RDC para os pilares adjacentes.
Tabela 11 – Valor do RDC para os pilares
PILAR NGSA (kN) MGSA (kNm) µ η Nu (kN) RDC
P2 4732,7 244,3 0,158 0,54 2777,1 1,70 OK
P5 4818,2 170,0 0,110 0,79 4052,6 1,19 OK
P6 5232,6 0,3 0,000 1,08 5554,3 0,94 OK
A partir Tabela 11 concluímos que nenhum dos pilares corre grande risco de
sofrer colapso progressivo já que o RDC não foi maior ou igual a 2,0 em nenhum caso.
Mesmo com o aumento da carga normal e do momento fletor, os pilares foram
capazes de suportar esses esforços.
Na Tabela 12, estão os esforços normais antes e depois da remoção do pilar
P1, ambos na combinação GSA para melhor comparação.
39
Tabela 12 – Comparação dos esforços normais antes e depois da remoção do pilar P1
PILAR Nd antes da
remoção (kN) Nd depois da remoção (kN)
Aumento de carga (%)
P1 2280,9 - -
P2 3434,8 4732,7 37,8
P3 3441,2 3523,6 2,4
P4 2202,0 2169,9 -1,5
P5 3601,9 4818,2 33,8
P6 5117,6 5232,6 2,2
P7 4989,3 4975,1 -0,3
P8 3416,0 3303,9 -3,3
P9 3611,8 3610,2 0,0
P10 5072,7 5057,1 -0,3
P11 - - -
P12 1960,8 1786,1 -8,9
P13 3611,8 3658,7 1,3
P14 5072,7 5079,1 0,1
P15 - - -
P16 1960,8 1855,1 -5,4
P17 3601,9 3624,5 0,6
P18 5117,6 5124,3 0,1
P19 4989,3 5016,3 0,5
P20 3416,0 3395,8 -0,6
P21 2280,9 2247,7 -1,5
P22 3434,8 3384,8 -1,5
P23 3441,2 3371,0 -2,0
P24 2202,0 2122,7 -3,6
Da Tabela 12 podemos observar que todas as variações foram menores que
10%, exceto nos pilares exatamente adjacentes ao pilar retirado. Assim, fica
comprovada que a redistribuição dos esforços se dá nos elementos adjacentes ao pilar
removido e também que a redundância é uma diretriz contra o colapso progressivo.
Nesses pilares, P2 e P5, esse aumento foi cerca de 35%. Como foi dito anteriormente,
mesmo com essa variação, o RDC foi menor que o limite e os pilares têm menos risco
de sofrer colapso progressivo.
40
9. CASO 2: RETIRADA DO PILAR P5
Nesse caso, foi retirado o pilar P5 para análise. Foi utilizado o mesmo modelo
desenvolvido no programa de elementos finitos SAP2000 (2009) com exceção do pilar
P5, conforme a Figura 30.
Figura 30 – Modelo com o pilar P5 removido
9.1. Análise das vigas
As figuras a seguir ilustram a diferença dos momentos fletores nas vigas. Como
visto no item 8.1, do caso 1, as maiores diferenças nos momentos se notam nas vigas
que encontram o pilar removido.
41
Figura 31 – Diagramas de momento fletor passando pela viga V2 antes da
remoção (a) e depois (b)
Figura 32 – Diagramas de momento fletor passando pela viga V7 antes da
remoção (a) e depois (b)
42
A partir das figuras anteriores, nota-se a inversão dos momentos nessas vigas,
principalmente na viga V7. Nessa viga, a remoção do pilar P5 fez com que o vão
dobrasse de tamanho, aumentando, principalmente, o valor do momento positivo.
Tabela 13 – Valor para o RDC da viga V1
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 47,6 106,5 0,45 OK 105,4 201 0,52 OK
2 44,1 106,5 0,41 OK 117,0 201 0,58 OK
3 44,7 106,5 0,42 OK 44,7 201 0,22 OK
Tabela 14 – Valor para o RDC da viga V2
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 187,0 106,5 1,76 OK 393,3 201 1,96 OK
2 196,7 106,5 1,85 OK 403,2 201 2,01 não OK
3 164,4 106,5 1,54 OK 164,4 201 0,82 OK
Tabela 15 – Valor para o RDC da viga V3
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 73,3 106,5 0,69 OK 137,4 201 0,68 OK
2 69,7 106,5 0,65 OK 160,5 201 0,80 OK
3 70,3 106,5 0,66 OK 70,3 201 0,35 OK
Tabela 16 – Valor para o RDC da viga V7
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 242,7 106,5 2,28 não OK 349,1 201 1,74 OK
2 258,3 106,5 2,43 não OK 385,1 201 1,92 OK
3 236,7 106,5 2,22 não OK 236,7 201 1,18 OK
4 224,6 106,5 2,11 não OK 349,5 201 1,74 OK
5 212,8 106,5 2,00 OK 338,0 201 1,68 OK
43
Tabela 17 – Valor para o RDC da viga V8
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 85,9 106,5 0,81 OK 143,1 201 0,71 OK
2 76,2 106,5 0,72 OK 129,1 201 0,64 OK
3 77,9 106,5 0,73 OK 77,9 201 0,39 OK
Como já dito, as vigas V1, V3 e V8 não sofreram grandes mudanças nos seus
valores de momentos, por isso elas não tiveram em nenhum caso o valor do RDC
maior que o limite.
Na viga V2 o RDC somente foi maior que o limite em um andar para o
momento negativo. Isso se deve ao fato de que o pilar P5 é um pilar de extremidade
dessa viga, não aumentando expressivamente o momento positivo e sim o momento
negativo. Além disso, como o valor do RDC foi próximo de 2,0, isso mostra que a
armadura negativa é grande e que foi quase capaz de suportar a perda de um pilar.
O maior dano foi na viga V7. O RDC foi maior que 2,0 nos quatro primeiros
andares, apenas no momento positivo. Como, o pilar P5 é um pilar no meio da viga,
isso fez com que o vão dobrasse de tamanho, aumentando notavelmente o momento
positivo. Juntamente com a pequena armadura positiva da viga, isso fez com que a
viga não fosse capaz de suportar a remoção do pilar. Assim, as vigas V2 e V7
possuem alto risco de sofrer colapso progressivo, conforme o critério do GSA (2013).
Adotando uma armadura contra o colapso progressivo de 4∅20 (12,6 cm²) na
face superior das vigas, verificaremos o valor do RDC. Para isso, primeiramente
vamos calcular o momento último negativo, para podermos analisar a viga V7. Após
isso, será apresentada uma tabela com os novos valores do RDC.
𝑥 = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑘
0,68 . 𝑏 . 𝑓𝑐𝑘=
12,6 × 50
0,68 × 0,15 × 40000= 0,15 𝑚
𝑀𝑢− = 𝐴𝑠 . 𝑓𝑦𝑘 . (𝑑 − 0,4𝑥) = 12,6 × 50 × (0,45 − 0,4 × 0,15) = 245,7 𝑘𝑁𝑚
44
Tabela 18 – Valores atualizados do RDC para as vigas V2 e V7
PAVIMENTO VIGA V2 com arm. CP VIGA V7 com arm. CP
MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC
1 393,3 245,7 1,60 OK 242,7 164,0 1,48 OK
2 403,2 245,7 1,64 OK 258,3 164,0 1,58 OK
3 - - - 236,7 164,0 1,44 OK
4 - - - 224,6 164,0 1,37 OK
A partir da Tabela 18, nota-se que com a armadura contra o colapso
progressivo, os valores do RDC ficam todos abaixo do limite, ou seja, as vigas tem um
risco menor de sofrer colapso desproporcional.
As figuras seguintes ilustram a diferença dos esforços cortantes nas vigas.
Como visto no item 8.1, do caso 1, as maiores diferenças do esforço cortante se
notam nas vigas que encontram o pilar removido.
Figura 33 – Diagramas de esforço cortante passando pela viga V2 antes da
remoção (a) e depois (b)
45
Figura 34 – Diagramas de esforço cortante passando pela viga V7 antes da
remoção (a) e depois (b)
A partir das figuras anteriores, nota-se a não inversão do cortante nessas
vigas. Na viga V2, como o pilar P5 é um pilar de extremidade, o vão correspondente
ficou apenas com cortante positivo e no caso da viga V7, como o vão dobrou de
tamanho, ambos os cortantes, positivo e negativo, aumentaram de valor.
Tabela 19 – Valor para o RDC da viga V1
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 85,1 113,4 0,75 OK
2 88,7 113,4 0,78 OK
3 89,4 113,4 0,79 OK
Tabela 20 – Valor para o RDC da viga V2
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 205,9 113,4 1,82 OK
2 210,3 113,4 1,85 OK
3 198,5 113,4 1,75 OK
46
Tabela 21 – Valor para o RDC da viga V3
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 136,1 113,4 1,20 OK
2 144,2 113,4 1,27 OK
3 145,0 113,4 1,28 OK
Tabela 22 – Valor para o RDC da viga V7
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 167,1 113,4 1,47 OK
2 186,7 113,4 1,65 OK
3 178,8 113,4 1,58 OK
Tabela 23 – Valor para o RDC da viga V8
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 127,2 113,4 1,12 OK
2 128,6 113,4 1,13 OK
3 130,3 113,4 1,15 OK
As vigas V1, V3 e V8 não sofreram grandes mudanças nos seus valores de
cortante, por isso elas tiveram os menores valores do RDC.
Para as vigas V2 e V7 percebemos que os cortantes aumentaram de valor,
porém esse aumento não foi suficiente para que o valor do RDC desse maior que 2,0.
Por isso, como os valores foram menores que o limite, essas vigas, através de seus
valores de cortante, tem risco minimizado de sofrer colapso desproporcional, conforme
critério do GSA (2013) e não serão necessárias armaduras contra o colapso
progressivo.
9.2. Análise dos pilares
Na tabela a seguir está o cálculo do RDC para todos os pilares adjacentes.
47
Tabela 24 – Valor do RDC para os pilares
PILAR NGSA (kN) MGSA (kNm) µ η Nu (kN) RDC
P1 3480,3 117,0 0,076 0,88 4500,0 0,77 OK
P2 3545,3 49,4 0,032 0,98 5040,0 0,70 OK
P6 6337,1 280,9 0,182 0,38 1954,3 3,24 não OK
P9 4893,5 163,3 0,106 0,80 4114,3 1,19 OK
P10 5222,9 2,7 0,002 1,06 5451,4 0,96 OK
A partir dela concluímos que apenas o pilar P6 corre grande risco de sofrer
colapso progressivo já que o RDC foi maior que 2,0. Como o momento da viga é
transferido para o pilar e já que a viga V2 apresentou um grande aumento no valor
desse esforço, o valor do momento no pilar P6 é grande, diminuindo o esforço normal
último e consequentemente aumentando o RDC. Para que o risco de sofrer colapso
progressivo seja minimizado, precisamos adotar uma armadura de 40,8 cm²,
diminuindo o valor do RDC para 1,98.
Na tabela seguinte, seguem os esforços normais antes e depois da remoção do
pilar P5, ambos na combinação GSA para melhor comparação.
48
Tabela 25 – Comparação dos esforços normais antes e depois da remoção do pilar P5
PILAR Nd antes da
remoção (kN) Nd depois da remoção (kN)
Aumento de carga (%)
P1 2280,9 3480,3 52,6
P2 3434,8 3545,3 3,2
P3 3441,2 3442,2 0,0
P4 2202,0 2099,0 -4,7
P5 3601,9 - -
P6 5117,6 6337,1 23,8
P7 4989,3 5000,0 0,2
P8 3416,0 3295,6 -3,5
P9 3611,8 4893,5 35,5
P10 5072,7 5222,9 3,0
P11 - - -
P12 1960,8 1774,9 -9,5
P13 3611,8 3584,8 -0,7
P14 5072,7 5059,8 -0,3
P15 - - -
P16 1960,8 1849,7 -5,7
P17 3601,9 3616,4 0,4
P18 5117,6 5117,4 0,0
P19 4989,3 4996,5 0,1
P20 3416,0 3397,0 -0,6
P21 2280,9 2303,3 1,0
P22 3434,8 3449,7 0,4
P23 3441,2 3432,2 -0,3
P24 2202,0 2185,7 -0,7
Da Tabela 25 podemos observar que todas as variações foram menores que
10%, exceto nos pilares exatamente adjacentes ao pilar retirado. Assim, fica
comprovada que a redistribuição dos esforços se dá nos elementos adjacentes ao pilar
removido e também que a redundância é uma diretriz contra o colapso progressivo.
Nesses pilares, P1, P6 e P9, esse aumento foi de 52,6%, 23,8% e 35,5%,
respectivamente.
49
10. CASO 3: RETIRADA DO PILAR P9
Nesse caso, foi retirado o pilar P9 para análise. Foi utilizado o mesmo modelo
desenvolvido no programa de elementos finitos SAP2000 (2009) com exceção do pilar
P9, ver a Figura 35.
Figura 35 – Modelo com o pilar P9 removido
10.1. Análise das vigas
As figuras a seguir ilustram a diferença dos momentos fletores nas vigas. Como
visto no item 8.1, do caso 1, as maiores diferenças nos momentos se notam nas vigas
que encontram o pilar removido.
50
Figura 36 – Diagramas de momento fletor passando pela viga V3 antes da
remoção (a) e depois (b)
Figura 37 – Diagramas de momento fletor passando pela viga V7 antes da
remoção (a) e depois (b)
51
A partir das figuras acima, nota-se a inversão dos momentos nessas vigas,
principalmente na viga V7. Nessa viga, a remoção do pilar P9 fez com que o vão
dobrasse de tamanho, aumentando, principalmente, o valor do momento positivo.
Tabela 26 – Valor para o RDC da viga V2
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 75,1 106,5 0,71 OK 140,5 201 0,70 OK
2 70,4 106,5 0,66 OK 161,8 201 0,80 OK
3 71,1 106,5 0,67 OK 164,1 201 0,82 OK
Tabela 27 – Valor para o RDC da viga V3
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 195,2 106,5 1,83 OK 395,7 201 1,97 OK
2 204,8 106,5 1,92 OK 407,7 201 2,03 não OK
3 172,0 106,5 1,62 OK 377,2 201 1,88 OK
Tabela 28 – Valor para o RDC da viga V4
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 73,5 106,5 0,69 OK 133,0 201 0,66 OK
2 69,7 106,5 0,65 OK 155,0 201 0,77 OK
3 70,5 106,5 0,66 OK 157,6 201 0,78 OK
Tabela 29 – Valor para o RDC da viga V7
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 237,3 106,5 2,23 não OK 341,2 201 1,70 OK
2 238,5 106,5 2,24 não OK 372,1 201 1,85 OK
3 225,1 106,5 2,11 não OK 350,4 201 1,74 OK
4 212,1 106,5 1,99 OK 338,5 201 1,68 OK
Tabela 30 – Valor para o RDC da viga V8
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 79,0 106,5 0,74 OK 127,8 201 0,64 OK
2 70,1 106,5 0,66 OK 124,9 201 0,62 OK
3 71,8 106,5 0,67 OK 126,7 201 0,63 OK
52
Como já dito, as vigas V2, V4 e V8 não sofreram grandes mudanças nos seus
valores de momentos. Por isso elas não tiveram em nenhum caso o valor do RDC
maior ou igual a 2,0.
Na viga V3 o RDC somente foi maior que o limite em um andar no momento
negativo. Isso se deve ao fato de que o pilar P9 é um pilar de extremidade dessa viga,
não aumentando expressivamente o momento positivo e sim o momento negativo.
Além disso, como o valor do RDC foi próximo de 2,0, isso mostra que a armadura
negativa é grande e que foi quase capaz de suportar a perda de um pilar.
O maior dano foi na viga V7. O RDC foi maior que 2,0 nos três primeiros
andares, apenas no momento positivo. Como o pilar P9 é um pilar no meio da viga,
isso fez com que o vão dobrasse de tamanho, aumentando notavelmente o momento
positivo. Juntamente com a pequena armadura positiva da viga, isso fez com que a
viga não fosse capaz de suportar a remoção do pilar. Assim, as vigas V3 e V7
possuem alto risco de sofrer colapso desproporcional, conforme critério do GSA
(2013).
Utilizando a armadura contra o colapso progressivo que é de 4ϕ20 para M(-) e
4ϕ16 para M(+), verificaremos o valor do RDC após a utilização dessa armadura.
Tabela 31 – Valores atualizados do RDC para as vigas V3 e V7
PAVIMENTO VIGA V3 com arm. CP VIGA V7 com arm. CP
MMÁX(-) (kNm) MMÁX
(-) (kNm) RDC MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC
1 395,7 245,7 1,61 OK 237,3 164,0 1,45 OK
2 407,7 245,7 1,66 OK 238,5 164,0 1,45 OK
3 - - - 225,1 164,0 1,37 OK
A partir da Tabela 31, nota-se que com a armadura contra o colapso
desproporcional, os valores do RDC ficam todos abaixo do limite, ou seja, as vigas tem
um risco menor de sofrer colapso progressivo.
53
As figuras a seguir ilustram a diferença dos esforços cortantes nas vigas. Como
visto no item 8.1, do caso 1, as maiores diferenças do esforço cortante se notam nas
vigas que encontram o pilar removido.
Figura 38 – Diagramas de esforço cortante passando pela viga V3 antes da
remoção (a) e depois (b)
Figura 39 – Diagramas de esforço cortante passando pela viga V7 antes da
remoção (a) e depois (b)
54
A partir das figuras anteriores, nota-se a não inversão do cortante nessas
vigas. Na viga V3, como o pilar P9 é um pilar de extremidade, o vão correspondente
ficou apenas com cortante positivo e no caso da viga V7, como o vão dobrou de
tamanho, ambos os cortantes, positivo e negativo, aumentaram de valor.
Tabela 32 – Valor para o RDC da viga V2
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 138,5 113,4 1,22 OK
2 145,4 113,4 1,28 OK
3 146,0 113,4 1,29 OK
Tabela 33 – Valor para o RDC da viga V3
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 205,6 113,4 1,81 OK
2 211,9 113,4 1,87 OK
3 200,4 113,4 1,77 OK
Tabela 34 – Valor para o RDC da viga V4
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 134,3 113,4 1,18 OK
2 141,8 113,4 1,25 OK
3 142,7 113,4 1,26 OK
Tabela 35 – Valor para o RDC da viga V7
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 165,4 113,4 1,46 OK
2 172,9 113,4 1,52 OK
3 165,6 113,4 1,46 OK
55
Tabela 36 – Valor para o RDC da viga V8
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 113,7 113,4 1,00 OK
2 121,3 113,4 1,07 OK
3 121,7 113,4 1,07 OK
As vigas V2, V4 e V8 não sofreram grandes mudanças nos seus valores de
cortante, por isso elas tiveram os menores valores do RDC.
Para as vigas V2 e V7 percebemos que os cortantes aumentaram de valor,
porém esse aumento não foi suficiente para que o valor do RDC fosse maior que 2,0.
Por isso, como os valores foram menores que o limite, essas vigas, através de seus
valores de cortante, tem risco minimizado de sofrer colapso desproporcional, conforme
critério do GSA (2013) e não serão necessárias armaduras contra o colapso
progressivo.
10.2. Análise dos pilares
Na tabela a seguir está o cálculo do RDC para os pilares adjacentes.
Tabela 37 – Valor do RDC para os pilares
PILAR NGSA (kN) MGSA (kNm) µ η Nu (kN) RDC
P5 4862,5 166,6 0,108 0,78 4011,4 1,21 OK
P6 5263,0 14,0 0,009 1,04 5348,6 0,98 OK
P10 6269,0 286,1 0,185 0,38 1954,3 3,21 não OK
P13 4852,8 158,3 0,103 0,80 4114,3 1,18 OK
P14 5221,2 11,7 0,008 1,04 5348,6 0,98 OK
A partir Tabela 37 concluímos que apenas o pilar P10 corre grande risco de
sofrer colapso progressivo já que o RDC foi maior que 2,0. Como o momento da viga é
transferido para o pilar e já que a viga V3 apresentou um grande aumento no valor
desse esforço, o valor do momento no pilar P10 é grande, diminuindo o esforço normal
último e consequentemente aumentando o RDC. Para que o risco de sofrer colapso
56
progressivo seja minimizado, precisamos adotar uma armadura de 41,6 cm²,
diminuindo o valor do RDC para 1,98.
Na tabela seguinte, seguem os esforços normais antes e depois da remoção do
pilar P9, ambos na combinação GSA para melhor comparação.
Tabela 38 – Comparação dos esforços normais antes e depois da remoção do pilar P9
PILAR Nd antes da
remoção (kN) Nd depois da remoção (kN)
Aumento de carga (%)
P1 2280,9 2279,3 -0,1
P2 3434,8 3415,4 -0,6
P3 3441,2 3441,8 0,0
P4 2202,0 2131,2 -3,2
P5 3601,9 4862,5 35,0
P6 5117,6 5263,0 2,8
P7 4989,3 4996,5 0,1
P8 3416,0 3331,7 -2,5
P9 3611,8 0,0 -
P10 5072,7 6269,0 23,6
P11 - - -
P12 1960,8 1804,5 -8,0
P13 3611,8 4852,8 34,4
P14 5072,7 5221,2 2,9
P15 - - -
P16 1960,8 1827,3 -6,8
P17 3601,9 3575,3 -0,7
P18 5117,6 5102,3 -0,3
P19 4989,3 4998,0 0,2
P20 3416,0 3364,0 -1,5
P21 2280,9 2326,4 2,0
P22 3434,8 3438,8 0,1
P23 3441,2 3435,4 -0,2
P24 2202,0 2156,6 -2,1
Da Tabela 38 podemos observar que todas as variações foram menores que
10%, exceto nos pilares exatamente adjacentes ao pilar retirado. Assim, fica
comprovada que a redistribuição dos esforços se dá nos elementos adjacentes ao pilar
removido e também que a redundância é uma diretriz contra o colapso progressivo.
57
Nesses pilares, P5, P10 e P13, esse aumento foi de 35,0%, 23,6% e 34,4%,
respectivamente.
11. CASO 4: RETIRADA DO PILAR P6
Nesse caso, foi retirado o pilar P6 para análise. Foi utilizado o mesmo modelo
desenvolvido no programa de elementos finitos SAP2000 (2009) com exceção do pilar
P6, ver a Figura 40.
Figura 40 – Modelo com o pilar P6 removido
11.1. Análise das vigas
As figuras a seguir ilustram a diferença dos momentos fletores nas vigas. Como
visto no item 8.1, do caso 1, as maiores diferenças nos momentos se notam nas vigas
que encontram o pilar removido.
58
Figura 41 – Diagramas de momento fletor passando pela viga V2 antes da
remoção (a) e depois (b)
Figura 42 – Diagramas de momento fletor passando pela viga V8 antes da
remoção (a) e depois (b)
59
A partir das figuras acima, nota-se a inversão dos momentos nessas vigas. A
remoção do pilar P6 fez com que os vãos dobrassem de tamanho, aumentando,
principalmente, o valor do momento negativo.
Tabela 39 – Valor para o RDC da viga V1
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 47,7 106,5 0,45 OK 80,8 201 0,40 OK
2 44,2 106,5 0,42 OK 100,5 201 0,50 OK
3 45,3 106,5 0,43 OK 108,9 201 0,54 OK
Tabela 40 – Valor para o RDC da viga V2
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 258,4 106,5 2,43 não OK 442,4 201 2,20 não OK
2 250,3 106,5 2,35 não OK 479,8 201 2,39 não OK
3 222,5 106,5 2,09 não OK 456,9 201 2,27 não OK
4 204,2 204,2 1,92 OK 446,1 201 2,22 não OK
5 193,4 193,4 1,82 OK 435,2 201 2,17 não OK
6 184,2 184,2 1,73 OK 426,1 201 2,12 não OK
7 176,4 176,4 1,66 OK 418,4 201 2,08 não OK
8 170,1 170,1 1,60 OK 412,2 201 2,05 não OK
9 165,2 165,2 1,55 OK 407,5 201 2,03 não OK
10 159,7 159,7 1,50 OK 402,9 201 2,00 não OK
11 159,9 159,9 1,50 OK 408,0 201 2,03 não OK
12 144,4 144,4 1,36 OK 361,7 201 1,80 OK
Tabela 41 – Valor para o RDC da viga V3
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 76,2 106,5 0,72 OK 131,7 201 0,66 OK
2 72,0 106,5 0,68 OK 159,3 201 0,79 OK
3 72,8 106,5 0,68 OK 167,4 201 0,83 OK
Tabela 42 – Valor para o RDC da viga V7
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 54,7 106,5 0,51 OK 82,4 201 0,41 OK
2 47,2 106,5 0,44 OK 82,5 201 0,41 OK
3 48,8 106,5 0,46 OK 86,1 201 0,43 OK
60
Tabela 43 – Valor para o RDC da viga V8
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 211,0 106,5 1,98 OK 369,9 201 1,84 OK
2 219,7 106,5 2,06 não OK 411,7 201 2,05 não OK
3 193,2 106,5 1,81 OK 380,4 201 1,89 OK
Tabela 44 – Valor para o RDC da viga V9
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 87,3 106,5 0,82 OK 144,7 201 0,72 OK
2 77,3 106,5 0,73 OK 132,9 201 0,66 OK
3 79,3 106,5 0,74 OK 135,4 201 0,67 OK
Como já dito, as vigas V1, V3, V7 e V9 não sofreram grandes mudanças nos
seus valores de momentos, por isso elas não tiveram em nenhum caso o valor do
RDC maior ou igual a 2,0.
Por P6 ser um pilar interno, nas vigas V2 e V8, ele fez com que o vão dobrasse
de tamanho, aumentando principalmente o momento negativo. Na viga V8, o RDC foi
maior que o limite em apenas um andar, para ambos os momentos. O grande número
de vãos da viga V8 concede a ela maior resistência à perda do pilar. Por isso, mesmo
com o dobro do vão, o valor do RDC está próximo de 2,0 e ela quase foi capaz de
suportar a perda do pilar P6.
Já na viga V2 o dano foi muito maior. Apenas no último andar o RDC foi menor
que o limite no momento negativo, porque a viga V2 possui menos vãos, apenas 2,
isso oferece a ela menos resistência do que a viga V8. Mesmo com a maior armadura
negativa da viga, ela não foi capaz de suportar a remoção do pilar. Com relação ao
momento positivo, nos 3 primeiros andares o RDC foi maior que 2,0. Isso mostra que o
aumento do momento positivo não foi tão grande e que a pequena armadura positiva
das vigas quase fez com que a viga fosse capaz de suportar a perda de um apoio.
61
Assim, as vigas V2 e V8 possuem alto risco de sofrer colapso progressivo, conforme
critério do GSA (2013).
Utilizando a armadura contra o colapso progressivo que é de 4ϕ20 para M(-) e
4ϕ16 para M(+), verificaremos o valor do RDC após a utilização dessa armadura.
Tabela 45 – Valores atualizados do RDC para as vigas V2
VIGA V2 com arm. CP
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 258,4 164,0 1,58 OK 442,4 245,7 1,80 OK
2 250,3 164,0 1,53 OK 479,8 245,7 1,95 OK
3 222,5 164,0 1,36 OK 456,9 245,7 1,86 OK
4 - - - - 446,1 245,7 1,82 OK
5 - - - - 435,2 245,7 1,77 OK
6 - - - - 426,1 245,7 1,73 OK
7 - - - - 418,4 245,7 1,70 OK
8 - - - - 412,2 245,7 1,68 OK
9 - - - - 407,5 245,7 1,66 OK
10 - - - - 402,9 245,7 1,64 OK
11 - - - - 408,0 245,7 1,66 OK
Tabela 46 – Valores atualizados do RDC para as vigas V8
VIGA V8 com arm. CP
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 211,0 164,0 1,29 OK 369,9 245,7 1,51 OK
2 219,7 164,0 1,34 OK 411,7 245,7 1,68 OK
A partir das tabelas 45 e 46, nota-se que com a armadura contra o colapso
desproporcional, os valores do RDC ficam todos abaixo do limite, ou seja, as vigas tem
um risco menor de sofrer colapso progressivo.
As figuras a seguir ilustram a diferença dos esforços cortantes nas vigas. Como
visto no item 8.1, do caso 1, as maiores diferenças do esforço cortante se notam nas
vigas que encontram o pilar removido.
62
Figura 43 – Diagramas de esforço cortante passando pela viga V2 antes da
remoção (a) e depois (b)
Figura 44 – Diagramas de esforço cortante passando pela viga V8 antes da
remoção (a) e depois (b)
63
A partir das figuras anteriores, nota-se a não inversão do cortante nessas
vigas. Como o pilar P6 é um pilar interno, os vãos das vigas V2 e V8 dobraram de
tamanho e ambos os cortantes, positivo e negativo, aumentaram de valor.
Tabela 47 – Valor para o RDC da viga V1
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 77,7 113,4 0,69 OK
2 83,8 113,4 0,74 OK
3 86,5 113,4 0,76 OK
Tabela 48 – Valor para o RDC da viga V2
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 257,2 113,4 2,27 não OK
2 268,3 113,4 2,37 não OK
3 259,3 113,4 2,29 não OK
4 254,5 113,4 2,24 não OK
5 249,9 113,4 2,20 não OK
6 246,0 113,4 2,17 não OK
7 242,7 113,4 2,14 não OK
8 240,0 113,4 2,12 não OK
9 238,0 113,4 2,10 não OK
10 236,2 113,4 2,08 não OK
11 237,6 113,4 2,10 não OK
12 221,7 113,4 1,95 OK
Tabela 49 – Valor para o RDC da viga V3
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 129,5 113,4 1,14 OK
2 139,3 113,4 1,23 OK
3 142,9 113,4 1,26 OK
Tabela 50 – Valor para o RDC da viga V7
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 71,3 113,4 0,63 OK
2 78,0 113,4 0,69 OK
3 79,9 113,4 0,70 OK
64
Tabela 51 – Valor para o RDC da viga V8
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 210,6 113,4 1,86 OK
2 242,3 113,4 2,14 não OK
3 230,3 113,4 2,03 não OK
4 226,5 113,4 2,00 OK
5 222,2 113,4 1,96 OK
Tabela 52 – Valor para o RDC da viga V9
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 129,0 113,4 1,14 OK
2 130,7 113,4 1,15 OK
3 132,3 113,4 1,17 OK
As vigas V1, V3, V7 e V9 não sofreram grandes mudanças nos seus valores de
cortante, por isso elas tiveram em nenhum caso o valor do RDC maior ou igual a 2,0.
Por P6 ser um pilar interno, nas vigas V2 e V8, ele fez com que o vão dobrasse
de tamanho, aumentando os valores do cortante. Na viga V8, o RDC foi maior que o
limite em dois andares. Já na viga V2 o dano foi muito maior. Apenas no último andar
o RDC foi menor que 2,0. Assim como P6 é um pilar interno, as V2 e V8 também são
vigas internas e por linha de influência atraem mais carga para si. Aliado a isso está a
pequena armadura ao cortante, que foi calculada como a mínima. Por isso, essas
vigas não foram capazes de suportar a perda do pilar e possuem alto risco de sofrer
colapso progressivo, conforme critério do GSA (2013).
Contra o colapso desproporcional, pode ser adotada uma armadura maior, ao
longo de toda a viga, para aumentar a armadura do cortante. Podemos adotar uma
armadura de ∅8 c 12,5 (4,0 cm²/m). Com esse novo valor, primeiramente calculamos o
cortante último resistente e após isso atualizamos os valores do RDC para as vigas V2
e V8.
65
𝐴𝑠𝑤
𝑠=
𝑉𝑢 − 𝑉𝑐
0,9. 𝑑. 𝑓𝑦𝑘
4,0 =𝑉𝑢 − 70,88
0,9 × 0,45 × 50
𝑉𝑢 = 151,88 𝑘𝑁
Tabela 53 – Valores atualizados do RDC para as vigas V2 e V8
PAVIMENTO VIGA V2 com arm. CP VIGA V8 com arm. CP
QMÁX (kN) Vu (kN) RDC QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 257,2 151,88 1,69 OK 210,6 151,88 1,39 OK
2 268,3 151,88 1,77 OK 242,3 151,88 1,60 OK
3 259,3 151,88 1,71 OK 230,3 151,88 1,52 OK
4 254,5 151,88 1,68 OK - - - -
5 249,9 151,88 1,65 OK - - - -
6 246,0 151,88 1,62 OK - - - -
7 242,7 151,88 1,60 OK - - - -
8 240,0 151,88 1,58 OK - - - -
9 238,0 151,88 1,57 OK - - - -
10 236,2 151,88 1,56 OK - - - -
11 237,6 151,88 1,56 OK - - - -
A partir da Tabela 53, nota-se que com a armadura contra o colapso
progressivo, os valores do RDC ficam todos abaixo do limite, ou seja, as vigas tem
risco minimizado de sofrer colapso desproporcional.
11.2. Análise dos pilares
Na tabela a seguir está o cálculo do RDC para os pilares adjacentes.
Tabela 54 – Valor do RDC para os pilares
PILAR NGSA (kN) MGSA (kNm) µ η Nu (kN) RDC
P1 2393,6 101,4 0,066 0,90 4628,6 0,52 OK
P2 4496,3 0,9 0,001 1,08 5554,3 0,81 OK
P3 3566,1 0,2 0,000 1,08 5554,3 0,64 OK
P5 4813,1 502,5 0,326 0,38 1954,3 2,46 não OK
P7 6224,1 278,2 0,180 0,38 1954,3 3,18 não OK
P9 3758,7 159,2 0,103 0,80 4114,3 0,91 OK
P10 6270,0 16,2 0,011 1,04 5348,6 1,17 OK
66
A partir Tabela 54 concluímos que apenas os pilares P5 e P7 correm grande
risco de sofrer colapso progressivo já que o RDC foi maior que 2,0. Como o momento
da viga é transferido para o pilar e já que a viga V2 apresentou um grande aumento no
valor desse esforço, o valor do momento nos pilares P5 e P7 é grande, diminuindo o
esforço normal último e consequentemente aumentando o RDC. Para que o risco de
sofrer colapso progressivo seja minimizado, precisamos adotar uma armadura de
91,08 cm², fazendo com que o valor do RDC seja menor que 2,0 em ambos os pilares.
Porém, essa armadura equivale a uma taxa de 5% da área de concreto, que é maior
que a permitida pela norma 6118 (2014) de 4%. Assim, nesse caso seria melhor
aumentarmos a seção do pilar para que o risco de ocorrer colapso desproporcional
seja minimizado.
Na tabela a seguir, seguem os esforços normais antes e depois da remoção do
pilar P6, ambos na combinação GSA para melhor comparação.
67
Tabela 55 – Comparação dos esforços normais antes e depois da remoção do pilar P6
PILAR Nd antes da
remoção (kN) Nd depois da remoção (kN)
Aumento de carga (%)
P1 2280,9 2393,6 4,9
P2 3434,8 4496,3 30,9
P3 3441,2 3566,1 3,6
P4 2202,0 2188,9 -0,6
P5 3601,9 4813,1 33,6
P6 5117,6 - -
P7 4989,3 6224,1 24,7
P8 3416,0 3414,5 0,0
P9 3611,8 3758,7 4,1
P10 5072,7 6270,0 23,6
P11 - - -
P12 1960,8 1967,4 0,3
P13 3611,8 3596,4 -0,4
P14 5072,7 4987,5 -1,7
P15 - - -
P16 1960,8 1953,9 -0,4
P17 3601,9 3601,7 0,0
P18 5117,6 5118,7 0,0
P19 4989,3 4992,6 0,1
P20 3416,0 3414,7 0,0
P21 2280,9 2287,5 0,3
P22 3434,8 3441,1 0,2
P23 3441,2 3446,9 0,2
P24 2202,0 2207,0 0,2
Da Tabela 55 podemos observar que todas as variações foram menores que
5%, exceto nos pilares exatamente adjacentes ao pilar retirado. Assim, fica
comprovada que a redistribuição dos esforços se dá nos elementos adjacentes ao pilar
removido e também que a redundância é uma diretriz contra o colapso progressivo.
Nesses pilares, P2, P5, P7 e P10, esse aumento foi de 30,9%, 33,6%, 24,7% e 23,6%,
respectivamente.
68
12. CASO 5: RETIRADA DO PILAR P10
Nesse caso, foi retirado o pilar P10 para análise. Foi utilizado o mesmo modelo
desenvolvido no programa de elementos finitos SAP2000 (2009) com exceção do pilar
P10, conforme a Figura 45.
Figura 45 – Modelo com o pilar P10 removido
12.1. Análise das vigas
As figuras a seguir ilustram a diferença dos momentos fletores nas vigas. Como
visto no item 8.1, do caso 1, as maiores diferenças nos momentos se notam nas vigas
que encontram o pilar removido.
69
Figura 46 – Diagramas de momento fletor passando pela viga V3 antes da
remoção (a) e depois (b)
Figura 47 – Diagramas de momento fletor passando pela viga V8 antes da
remoção (a) e depois (b)
70
A partir das figuras acima, nota-se a inversão dos momentos nessas vigas. A
remoção do pilar P10 fez com que os vãos dobrassem de tamanho, aumentando,
principalmente, o valor do momento negativo.
Tabela 56 – Valor para o RDC da viga V2
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 78,0 106,5 0,73 OK 134,2 201 0,67 OK
2 72,9 106,5 0,68 OK 161,4 201 0,80 OK
3 73,5 106,5 0,69 OK 170,2 201 0,85 OK
Tabela 57 – Valor para o RDC da viga V3
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 234,9 106,5 2,21 não OK 443,3 201 2,21 não OK
2 245,0 106,5 2,30 não OK 486,0 201 2,42 não OK
3 227,4 106,5 2,14 não OK 463,7 201 2,31 não OK
4 214,8 106,5 2,02 não OK 453,1 201 2,25 não OK
5 203,6 106,5 1,91 OK 442,6 201 2,20 não OK
6 193,9 106,5 1,82 OK 433,7 201 2,16 não OK
7 185,7 106,5 1,74 OK 426,2 201 2,12 não OK
8 179,1 106,5 1,68 OK 420,0 201 2,09 não OK
9 173,8 106,5 1,63 OK 415,4 201 2,07 não OK
10 169,9 106,5 1,60 OK 410,9 201 2,04 não OK
11 170,7 106,5 1,60 OK 416,5 201 2,07 não OK
12 150,6 106,5 1,41 OK 367,9 201 1,83 OK
Tabela 58 – Valor para o RDC da viga V4
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 76,2 106,5 0,72 OK 131,7 201 0,66 OK
2 72,1 106,5 0,68 OK 160,0 201 0,80 OK
3 72,9 106,5 0,68 OK 168,7 201 0,84 OK
Tabela 59 – Valor para o RDC da viga V7
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 51,1 106,5 0,48 OK 80,7 201 0,40 OK
2 44,6 106,5 0,42 OK 76,5 201 0,38 OK
3 45,9 106,5 0,43 OK 80,6 201 0,40 OK
71
Tabela 60 – Valor para o RDC da viga V8
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 225,9 106,5 2,12 não OK 384,7 201 1,91 OK
2 223,5 106,5 2,10 não OK 408,8 201 2,03 não OK
3 200,7 106,5 1,88 OK 382,5 201 1,90 OK
Tabela 61 – Valor para o RDC da viga V9
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 81,0 106,5 0,76 OK 135,2 201 0,67 OK
2 77,8 106,5 0,73 OK 134,1 201 0,67 OK
3 76,2 106,5 0,72 OK 135,3 201 0,67 OK
Como já dito, as vigas V2, V4, V7 e V9 não sofreram grandes mudanças nos
seus valores de momentos, por isso elas não tiveram em nenhum caso o valor do
RDC maior ou igual a 2,0.
Por P10 ser um pilar interno, nas vigas V3 e V8, ele fez com que o vão
dobrasse de tamanho. Na viga V8, o RDC foi maior que o limite no primeiro e segundo
andares, o momento positivo no primeiro e em ambos os momentos no segundo. O
grande número de vãos da viga V8 concede a ela maior resistência à perda do pilar.
Por isso, mesmo com o dobro do vão, o valor do RDC deu próximo de 2,0 e ela quase
foi capaz de suportar a perda do pilar P10.
Já na viga V3 o dano foi muito maior. Apenas no último andar o RDC foi menor
que o limite, no momento negativo porque a viga V3 possui menos vãos, apenas dois,
isso oferece a ela menos resistência do que a viga V8. Mesmo com a maior armadura
negativa da viga, ela não foi capaz de suportar a remoção do pilar. Com relação ao
momento positivo, nos três primeiros andares o RDC foi maior que 2,0. Isso mostra
que o aumento do momento positivo não foi tão grande e que a pequena armadura
positiva das vigas quase fez com que a viga fosse capaz de suportar a perda do pilar.
72
Assim, as vigas V3 e V8 possuem alto risco de sofrer colapso progressivo, conforme
critério do GSA (2013).
Utilizando a armadura contra o colapso progressivo que é de 4ϕ20 para M(-) e
4ϕ16 para M(+), verificaremos o valor do RDC após a utilização dessa armadura.
Tabela 62 – Valores atualizados do RDC para as vigas V3
VIGA V3 com arm. CP
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 234,9 164,0 1,43 OK 443,3 245,7 1,80 OK
2 245,0 164,0 1,49 OK 486,0 245,7 1,98 OK
3 227,4 164,0 1,39 OK 463,7 245,7 1,89 OK
4 214,8 164,0 1,31 OK 453,1 245,7 1,84 OK
5 - - - - 442,6 245,7 1,80 OK
6 - - - - 433,7 245,7 1,77 OK
7 - - - - 426,2 245,7 1,73 OK
8 - - - - 420,0 245,7 1,71 OK
9 - - - - 415,4 245,7 1,69 OK
10 - - - - 410,9 245,7 1,67 OK
11 - - - - 416,5 245,7 1,70 OK
Tabela 63 – Valores atualizados do RDC para as vigas V8
VIGA V8 com arm. CP
PAVIMENTO MMÁX(+) (kNm) Mu
(+) (kNm) RDC MMÁX(-) (kNm) Mu
(-) (kNm) RDC
1 225,9 164,0 1,38 OK 384,7 245,7 1,57 OK
2 223,5 164,0 1,36 OK 408,8 245,7 1,66 OK
A partir das tabelas 62 e 63, nota-se que com a armadura contra o colapso
progressivo, os valores do RDC ficam todos abaixo do limite, ou seja, as vigas tem um
risco menor de sofrer colapso desproporcional.
As figuras a seguir ilustram a diferença dos esforços cortantes nas vigas. Como
visto no item 8.1, do caso 1, as maiores diferenças do esforço cortante se notam nas
vigas que encontram o pilar removido.
73
Figura 48 – Diagramas de esforço cortante passando pela viga V3 antes da
remoção (a) e depois (b)
Figura 49 – Diagramas de esforço cortante passando pela viga V8 antes da
remoção (a) e depois (b)
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A partir das figuras anteriores, nota-se a não inversão do cortante nessas
vigas. Como o pilar P10 é um pilar interno, os vãos das vigas V3 e V8 dobraram de
tamanho e ambos os cortantes, positivo e negativo, aumentaram de valor.
Tabela 64 – Valor para o RDC da viga V2
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 131,9 113,4 1,16 OK
2 141,0 113,4 1,24 OK
3 144,8 113,4 1,28 OK
Tabela 65 – Valor para o RDC da viga V3
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 255,3 113,4 2,25 não OK
2 269,3 113,4 2,37 não OK
3 260,7 113,4 2,30 não OK
4 256,3 113,4 2,26 não OK
5 252,1 113,4 2,22 não OK
6 248,4 113,4 2,19 não OK
7 245,4 113,4 2,16 não OK
8 242,9 113,4 2,14 não OK
9 241,0 113,4 2,13 não OK
10 239,2 113,4 2,11 não OK
11 241,1 113,4 2,13 não OK
12 223,5 113,4 1,97 OK
Tabela 66 – Valor para o RDC da viga V4
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 129,6 113,4 1,14 OK
2 139,6 113,4 1,23 OK
3 143,5 113,4 1,27 OK
Tabela 67 – Valor para o RDC da viga V7
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 71,1 113,4 0,63 OK
2 75,1 113,4 0,66 OK
3 75,9 113,4 0,67 OK
75
Tabela 68 – Valor para o RDC da viga V8
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 201,7 113,4 1,78 OK
2 212,2 113,4 1,87 OK
3 201,9 113,4 1,78 OK
Tabela 69 – Valor para o RDC da viga V9
PAVIMENTO QMÁX (kN) Vu
(kN) RDC
1 150,4 113,4 1,33 OK
2 144,1 113,4 1,27 OK
3 143,8 113,4 1,27 OK
As vigas V2, V4, V7 e V9 não sofreram grandes mudanças nos seus valores de
cortante, por isso elas tiveram em nenhum caso o valor do RDC maior ou igual a 2,0.
Por P9 ser um pilar interno, nas vigas V2 e V8, ele fez com que o vão dobrasse
de tamanho, aumentando os valores do cortante. Porém, a viga V8 não teve o valor de
RDC maior que o limite em nenhum andar. Já na viga V2 o dano foi muito maior.
Apenas no último andar o RDC foi menor que 2,0. Assim como P10 é um pilar interno,
a V3 também é uma viga interna e por linha de influência atraem mais carga para si.
Aliado a isso está à pequena armadura ao cortante, que foi calculada como a mínima.
Por isso, essa viga não foi capaz de suportar a perda do pilar e possui alto risco de
sofrer colapso progressivo, conforme critério do GSA (2013).
Utilizando a armadura contra o colapso progressivo que é de ϕ8 c 12,5,
verificaremos o valor do RDC após a utilização dessa armadura.
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Tabela 70 – Valores atualizados do RDC para a viga V3
PAVIMENTO VIGA V3 com arm. CP
QMÁX (kN) Vu (kN) RDC
1 255,3 151,88 1,68 OK
2 269,3 151,88 1,77 OK
3 260,7 151,88 1,72 OK
4 256,3 151,88 1,69 OK
5 252,1 151,88 1,66 OK
6 248,4 151,88 1,64 OK
7 245,4 151,88 1,62 OK
8 242,9 151,88 1,60 OK
9 241,0 151,88 1,59 OK
10 239,2 151,88 1,57 OK
11 241,1 151,88 1,59 OK
A partir da Tabela 70, nota-se que com a armadura contra o colapso
progressivo, os valores do RDC ficam todos abaixo do limite, ou seja, as vigas tem
risco minimizado de sofrer colapso desproporcional.
12.2. Análise dos pilares
Na tabela a seguir está o cálculo do RDC para todos os pilares.
Tabela 71 – Valor do RDC para os pilares
PILAR NGSA (kN) MGSA (kNm) µ η Nu (kN) RDC
P5 3755,0 162,2 0,105 0,80 4114,3 0,91 OK
P6 6346,7 28,6 0,019 1,01 5194,3 1,22 OK
P7 5122,5 20,2 0,013 1,00 5142,9 1,00 OK
P9 4851,9 503,8 0,327 0,38 1954,3 2,48 não OK
P13 3765,7 159,3 0,103 0,80 4114,3 0,92 OK
P14 6318,9 15,4 0,010 1,04 5348,6 1,18 OK
A partir dela concluímos que apenas o pilar P9 corre grande risco de sofrer
colapso progressivo já que o RDC foi maior que 2,0. Como o momento da viga é
transferido para o pilar e já que a viga V3 apresentou um grande aumento no valor
desse esforço, o valor do momento no pilar P9 é grande, diminuindo o esforço normal
77
último e consequentemente aumentando o RDC. Para que o risco de sofrer colapso
progressivo seja minimizado, precisamos adotar uma armadura de 81,6 cm²,
diminuindo o valor do RDC para 1,98. Porém, essa armadura equivale a uma taxa de
4,5% da área de concreto, que é maior que a permitida pela norma 6118 (2014) de
4%. Assim, nesse caso seria melhor aumentarmos a seção do pilar para que o risco
de ocorrer colapso desproporcional seja minimizado.
Na tabela a seguir, estão os esforços normais antes e depois da remoção do
pilar P10, ambos na combinação GSA para melhor comparação.
Tabela 72 – Comparação dos esforços normais antes e depois da remoção do pilar
P10
PILAR Nd antes da
remoção (kN) Nd depois da remoção (kN)
Aumento de carga (%)
P1 2280,9 2265,2 -0,7
P2 3434,8 3346,8 -2,6
P3 3441,2 3422,3 -0,5
P4 2202,0 2194,8 -0,3
P5 3601,9 3755,0 4,3
P6 5117,6 6346,7 24,0
P7 4989,3 5122,5 2,7
P8 3416,0 3410,8 -0,2
P9 3611,8 4851,9 34,3
P10 5072,7 - -
P11 - - -
P12 1960,8 2043,4 4,2
P13 3611,8 3765,7 4,3
P14 5072,7 6318,9 24,6
P15 - - -
P16 1960,8 1965,2 0,2
P17 3601,9 3588,7 -0,4
P18 5117,6 5030,0 -1,7
P19 4989,3 4954,9 -0,7
P20 3416,0 3409,7 -0,2
P21 2280,9 2287,3 0,3
P22 3434,8 3438,3 0,1
P23 3441,2 3443,9 0,1
P24 2202,0 2199,9 -0,1
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Da tabela acima podemos observar que todas as variações foram menores que
5%, exceto nos pilares exatamente adjacentes ao pilar retirado. Assim, fica
comprovada que a redistribuição dos esforços se dá nos elementos adjacentes ao pilar
removido e também que a redundância é uma diretriz contra o colapso progressivo.
Nesses pilares, P6, P9 e P14, esse aumento foi de 24%, 34,3%, e 24,6%,
respectivamente.
13. CONCLUSÃO
A partir dos casos estudados, percebemos que a estrutura dimensionada de
acordo com a norma NBR 6118 (2014) corre grande risco de sofrer colapso
progressivo, segundo o critério do GSA (2013). Os pilares e as vigas não foram
capazes de resistir aos esforços de um colapso desproporcional, porque o valor do
RDC foi maior que o limite estipulado, utilizando o método dos caminhos alternativos
de carga.
Analisando-se o momento fletor das vigas, os casos que causaram maior dano
na estrutura foram os casos dos pilares de meio de vão, porque o vão dobra de
tamanho e causa a inversão dos esforços, aumentando tanto o momento positivo o
que acarretou maiores danos nos casos dos pilares externos P5 e P9, quanto o
momento negativo, que causou maiores esforços nos casos dos pilares externos P6 e
P10. Para o esforço cortante foi verificado que o RDC foi maior que 2,0 apenas nas
situações onde os pilares retirados foram os internos, P6 e P10. Assim, as vigas não
impedem a propagação do efeito, caracterizando o colapso progressivo da estrutura.
Porém isso pode ser evitado com a adoção de armaduras maiores, contra o
colapso progressivo. Com essa nova configuração o sistema estrutural foi capaz de
resistir aos novos esforços solicitantes e também de redistribui-los. Além disso, o valor
da relação demanda-capacidade ficou abaixo do limite em todas as situações. Então
essa medida pode ser utilizada em edificações de concreto armado que resistam ao
79
colapso desproporcional. Nesses casos, a armadura deveria ser otimizada para que o
valor do RDC fosse próximo de 2,0, diminuindo o aumento do custo da estrutura.
Para os pilares, o único caso em que nenhum pilar apresentou RDC maior que
o limite foi o caso: retirada do pilar P1. Por ser um pilar de canto ele atrai menos carga
para si e aumenta pouco o esforço normal nos pilares adjacentes, que resistem ao
aumento desse esforço. Com relação aos outros casos, os piores foram os casos em
que o pilar retirado foi o interno, P6 e P10. Eles absorvem mais carga para si,
aumentando muito o esforço normal dos pilares adjacentes. Somente nesses casos
que a armadura, necessária para que o valor do RDC fosse menor que 2,0, é maior
que a taxa permitida pela norma. Assim, nesses casos seria melhor aumentar a seção
do pilar para que o risco do ocorrer colapso progressivo fosse minimizado. Além disso,
o caso: retirada do P6 foi o único caso em que 2 pilares apresentaram RDC maior que
o limite. Nos casos dos pilares externos P5 e P9, apenas um aumento da armadura é
necessário para que a estrutura corra menos risco de sofrer colapso desproporcional.
Mesmo que o risco de ocorrer colapso progressivo seja pequeno e que o custo
da estrutura aumente, a vida humana não tem preço e as estruturas devem ser
projetadas para preservar vidas. Por isso, o colapso progressivo deve ser introduzido
em nossas normas para que se dê maior atenção a ele no Brasil.
14. BIBLIOGRAFIA
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