Post on 16-Apr-2015
description
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
43
7.0 Estruturas planas aporticadas:
Pórticos são estruturas reticuladas, formadas por barras em direção qualquer e conexões rígidas.
Estruturas reticulada - é aquela formada por barras que tem uma dimensão preponderante em
relação às outras duas.
Conexão rígida - é uma região de ligação entre duas ou mais barras, trocando força e momento
fletor.
Observação: Rótula é uma conexão não rígida.
Tipos de pórtico (ou quadro):
Bi-apoiado: Tri-articulado:
Atirantado ou Composto:
escorado:
Engastado e livre:
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
44
8kNm
F
12,8
HF = 9,6
4kN/m
A
4m 2m
VA = 18,4
VF = 18,4
C D
3m
2m
2m
9,6
16kN
B
E
!
sen = 0,6
cos = 0,8
Com barras curvas:
Exercício:
7.1 Bi-apoiado:
a) Reações:
"#$
%&
%'())*%+
kNV
VF
F
F
y4,18
000,648,124,180
"#$
%&
%(()()(')(*%+
kNV
VM
A
A
F4,18
000,100,6400,48,1200,16,9800,40
"#$
%&
%)*%+
kNH
HF
F
F
x6,9
06,90
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
45
F
C
D
B
E
A
(-)
-9,6
-18,4
(-)
(-)
(-)
-18,4
-5,6
F
C
D
B
E
A
-9,6
(+)
(-)
9,6
(+)(+)
(-)
-10,4
5,6
8,0x
b) DEN(kN):
c) DEC(kN):
, pela esquerda
, pela direita
ou
4,18
6,9
6,58,124,18
4,18
)%
)%
)%')%
)%
F
Cd
Bd
A
N
N
N
N
0,800,24
0,84,184,10
4,1000,446,5
6,58,124,18
6,9
%(%
%')%
)%()%
%)%
)%
Dd
Dd
De
Cd
Bd
Q
Q
Q
Q
Q
mx
QF
40,14
6,5
6,9
%%
%
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
46
E
F
C D
B
A
-8
(-)
(-)
(-)(-)
-27,2
-36,8
(-)
-27,2
-8
-28,8Mmáx
8 28,8
C
S2 S3D
S4
S1 S5
, pela esquerda
, pela direita
, pela esquerda
, pela esquerda
, pela direita
d) DMF(kNm):
Observações:
1)
88
00,44 2
%(
28
00,24 2
%(
28,232,272
40,140,1440,16,5
8,2800,36,9
0
8,3600,36,900,100,24
8,362,2700,200,4400,46,5
2,2700,26,98
8
)%)(()(%
)%()%
%
--"
--#
$
)%()(()%
)%)(()(%
%%)%())%
)%
máx
Db
F
De
Dd
CCdCe
A
M
M
M
M
M
MMM
M
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
47
-27,2
-27,2 -36,8 -8
-28,8
10kNm
FHF = 8
6kN/m
A
4m 2m
VA = 20,75
VF = 3,25
CD 1,50m
2,50m
2,50m
B
E
!
sen = 0,6
cos = 0,8 1,50m
8kN
2m
;
;
2)
7.2 Bi-apoiado:
kNQ
kNQ
S
S
6,5
6,9
2
1
%
)%
kNN
kNN
S
S
6,9
6,5
2
1
)%
)%
"#$
)%
)%
kNmM
kNmM
S
S
2,27
2,27
2
1
-"
-#
$
)%
)%
)%
kNmM
kNmM
kNmM
S
S
S
8,28
8
8,36
5
4
3
Em um nó com duas barras
perpendiculares entre si, o esforço cortante
de uma é igual ao esforço normal da outra!
O somatório de momentos em um nó é
igual a zero!
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
48
-3,25
F
F
A
C
D
E
B (-)
-20,75
(-)
-1,95
4,45
(+)
A
C
D
E
B
(-)
-2,6
-7,4
(-)
F8
3,25
E
!
8
!
!
(+)
20,75
x
, pela
direita
a) Reações:
b) DEN(kN):
c) DEC(kN):
"#$
%&
%'()*%+
kNV
VF
F
F
y25,3
000,4675,200
"#$
%&
%()(())(*%+
kNV
VM
A
A
F75,20
050,1800,600,461000,80
kNHF Fx 80 %*%+
kNN
kNN
Ee
F
95,1cos845,4
45,4sen25,3cos8
)%.)%
%.).%
mx 4583,36
75,20%%
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
49
F
A
C
D
E
B
(-) -10
18,5
(+)
25
-10
25
Mmáx
, pela direita
, pela direita
, pela direita
, pela direita
d) DMF(kNm):
6,2sen84,7
4,7sen8cos25,3
25,300,4675,20
75,20
)%.')%
)%.).)%
)%()%
%
Ee
F
De
Cd
Q
Q
Q
Q
88,252
4583,364583,375,2010
2
%()(')%máxM
2550,1800,3800,425,3
5,1800,225,35,18
0
2500,200,4600,475,2010
%()('(%
%('(%
%
%(()(')%
Dd
E
F
De
M
M
M
M
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
50
B
HA = 0
D
A
VA = 8,5
2,25t/m
4,00
!
sen = 0,6
cos = 0,8
2t/m
2t/m
9t 4t
4t
B
C
2,00 2,00
VD = 8,5
(-)
(+)
!
8,5-4 = 4,5
4,5.sen = 2,7
4,5.cos = 3,6
!
2,7
D
A
C
-2,7
8,5-4 = 4,5
4,5.sen = 2,7
4,5.cos = 3,6
7.3 Barra inclinadas:
Solução:
DEN(tf):
00 %*%+ Ax HF
"#$
%&
%()('('(*%+
tfV
VM
D
D
A5,8
000,800,7400,4900,140
"#$
%&
%')))*%+
tfV
VF
A
A
y5,8
05,84940
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
51
(+)
8,5 D
A
C
B
(+)
(-) (-)
-8,5
4,5
-4,53,6
-3,6
(+)
D
A
C
B
1
(+)
(+)
1
13
13
13
13
Mmáx
normal à direção x
x = 2,00
DEC(tf):
DMF(tfm):
CdBe MM %%()(% 1300,1425,8
-----
"
-----
#
$
%'%(
'%.
'%
%()('%.).'%
%(()'()'(%
5,175,4138
00,425,213
813
5,172
00,225,200,25,413
2
5,172
00,200,225,2)00,200,1(4)00,200,2(5,8
22
22
lqM
ou
xqxQMM
ou
M
máx
iimáx
máx
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
52
7.4 Quadro engastado e livre:
Solução:
DEN(tf):
MA = 1HA = 1
VA = 8
3t
1t/m
1t
1t
C
A
B
D E
F
2,00
-7
1,00
2,00
2,00
tfHF Ax 10 %*%+
"#$
%&
%()('()('*%+
tfmM
MM
A
A
A1
000,2400,2100,1100,230
"#$
%&
%)())*%+
tfV
VF
A
A
y8
0100,4130
C
A
B
D E
F
(-)
-1
-8
(-)
(-)
3,00
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
53
DEC(tf):
DMF(tfm):
C
A
B
D
E
F
(-)
1
-1
(+)
(-)
-3
(+)
4
C
A
B
D E
F
(-)
-1
-3
(-) (-)
-8
-6
(-)
(-)
-2
-1
28
00,41 2
%(
tfmM
tfmM
De
Bd
200,2100,1100,411
200,1100,211
)%('('())%
)%('())%
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
54
VB = 4 VA = 4
HA = 0
4tm
VBVA
A B
4,00m
2,00m
2,00m
2t/m
4tm
C D
EF
HA A B
C D
EF
N = 2
N = 2
7.5 Quadro atirantado ou escorado:
Como a barra CD está descarregada e rotulada nas extremidades, ela tem, em todas as suas seções,
M = Q = 0, podendo estar submetida, apenas, a um esforço normal constante (no caso de ser de tração a
barra será denominada tirante e, no caso de ser de compressão, será dita uma escora).
Nada se alterará, então, sob o ponto de vista estático, se rompermos a barra CD, substituindo-a por
um par de esforços normais N, de sentidos opostos e aplicados no quadro ABEF.
(pelas forças da direita)
00 %*%+ Ax HF
"#$
%&
%(()(*%+
tfV
VM
A
A
B4
000,200,4200,40
"#$
%&
%()'*%+
tfV
VF
B
B
y4
000,4240
0%FM"#$
%&
%)(,
tfN
N
2
0400,2
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
55
-4
A B
-2
C D
EF
(-)
(+)
2
(-) (-)
-4 -4
A B
C D
F(+)
E
(-)
(-) (+)
4
-2 2
DEN(tf):
DEC(tf):
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
56
VB = P/2
A B
C D
FE
(-)(-)
-4
-4 -4-4
VA = P/2
A B
P
/!
/!
C
DMF(tfm):
7.6 Barra curva:
48
00,42 2
%(
---
"
---
#
$
.%.%
.%.%
).
%.).%
//
//
//
cos2
cos
sen2
sen
)cos1(2
)cos(
PVN
PVQ
RPRRVM
AS
AS
AS
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
57
A B/! /!
C
(+)
A B/! /!
C(+)
(-)
A B/! /!
C
(-) (-)
DMF:
DEC:
DEN:
)cos1(2
/). RP
)cos1(2
/). RP
2
RPM máx
.%
/sen2.
P
/sen2.)
P2
P
2
P)
/cos2.)
P/cos
2.)
P
2
P)
2
P)
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
58
VB = P/2 VA = P/2
A B
P
/!
C
M
VB = 8 VA = 4
A B
CD
2t/m
3t
5t
6,00
HA = 2t
4,00
3,00
Observação: Marcando os valores dos momentos a partir de uma reta horizontal, o diagrama será
retilíneno, conforme figura a seguir, pois os momentos fletores crescem linearmente segundo
o valor de AM = R . (1-cos /).
Exercício:
)cos1(22
/).
%.RP
AMP
2
RPM máx
.%
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
59
44
A B
C D-8
-8
-20
-20
(-) (-)
(-)
15-9 = 6
C D
2t/m
52+3 = 5
8 20
DMF(tfm):
Observação: Barra CD isoladamente
=
"#$
%&
%)'*%+
tH
HF
A
A
x2
0530
"#$
%&
%(()('(*%+
tfV
VM
A
A
B4
000,300,6200,4300,60
"#$
%&
%'()*%+
tfV
VF
B
B
y8
000,6240
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
60
44
C D
2t/m
5
8 20 D
5
C
C D
8
20
DC
5x3 = 15
8
20
15-9 = 6
+
Diagramas:
+ =
Resumindo: Para o traçado do diagrama de momentos fletores na barra curva CD, a partir de uma reta
horizontal CD, marcamos a partir da linha de fechamento o diagrama de viga biapoiada mais
o diagrama devido apenas às forças horizontais.
tfm98
00,62 2
%(
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
61
HC = 3
HC = 3
GHG = 3HD = 0
DA
BC
E F
1t/m
3t
2t
4,0
0
2,0
0
2,0
0
8,00 5,00 3,00
VA = 4,75 VD = 6,5 VG = 6,75
GHG = 3HD = 0
DA
BC
EF
3t
2t
VA = 4,75 VD = 6,5 VG = 6,75
1t/m
1t/m
C
VC = 3,25
VC = 3,25
1
2
7.7 Quadro composto:
Decomposição:
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
62
1
2
:
:
DEN(tf):
(-)
-3
(-)
-3
-4,75 (-)
-6,75-6,5-4,75
(pelas forças da esquerda)
"#$
%&
%)*%+
tH
HF
C
C
x3
030
"#$
%&
%(()()(*%+
tfV
VM
A
A
C75,4
000,400,8100,2300,80
"#$
%&
%')*%+
tfV
VF
C
C
y25,3
0875,40
"#$
%&
%)*%+
tH
HF
G
G
x3
030
"#$
%&
%()()()('(*%+
tfV
VM
D
D
G5,6
000,4800,3200,825,300,4300,80
"#$
%&
%')))*%+
tfV
VF
G
G
y75,6
02825,35,60
0%CM"#$
%&
%(*
0
000,4
D
D
H
H
(-) (-) (-)
-3,25 (-)
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
63
DEC(tf):
DMF(tf):
-6 -6 -12(-)
-6
-18
-18
(-)
8
-12
-12
8
(+)
(-)
(+)
(-)
3
(+)-3,25
-3
(-)
(+)
-4,75
-3 (-)
-4,75(-)
-3,25-2
(-)
-6
(-)
(+)
(-)
-6
(-)
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
64
D I
2tm
B
A 1t
2,00m
1t
1t
2tm C
G H
E
F
2,00m 2,00m
2,00m
2,00m
2tm
1t 1t
1t
2tm
H
HF = 1t
HG = 2t HG = 2t
HC = 2t HC = 2t
HA = 3t
VA = 2t VD = 2t
7.8 Quadro composto:
Decomposição:
2%N
2%N
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
65
-1
2
246
6
2
2
(+)
(-)
(+)
2(+)
3
(+)2
(+)(-) -2
DMF(tfm):
DEN(tf):
2
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
66
BAHA = 3
2,00m
HB = 3
VA = 6 VB = 10
2,00m 2,00m 2,00m 2,00m
3,0
0m
3
,00
m
4t
2t2t
1t/m
6tm6tm
C D E
F H
G
J
!
sen = 0,6
cos = 0,8
22
6
3
7.9 Quadro triarticulado:
Solução:
(pelas forças da esquerda)
"#$
%&
%)*%+
tfH
HF
B
B
x3
030
"#$
%&
%('()()()(*%+
tfV
VM
A
A
B6
000,2200,2400,4800,6200,80
"#$
%&
%'))))*%+
tfV
VF
B
B
y10
0248260
0%GM"#$
%&
%'(()()()(*
tfH
H
A
A
3
0600,200,4100,2200,600,46
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
67
BA
-3
CD E
F H
G
J
(-)
(-)-6
(-)-10
(-)
-2,4
-3,6
-4,8
(-)
(-) -6
-6
!
0!
(pela esquerda)!
DEN(tf):
Cálculos:
ou:
68,036,06cossen )%()()%()()% AACd HVN
1 2-"
-#
$
)%()())%
)%(')%((')%
8,4cos3sen26
8,46,026sen216
Je
Je
N
ou
N
1 2-"
-#
$
)%('()())%
)%(')%
6.3sen2cos3sen26
6,3sen28,4
Jd
Jd
N
ou
N
1 2-"
-#
$
)%()()))%
)%()%
4.2cos3sen426
4,2cos3
Ge
Ge
N
ou
N
3)%GdN
4,2cos3 )%)
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
68
BA
CD E
F H
G
J
(-)
-4
(-)
-4
(-) -1,8
-0,2
(-) -3
3
3(+)
(+)
1,4
(+)
2
DEC(tf):
Cálculos:
3sen3cos6 %()(% CdQ
1 21 2"
#$
)%()())%
%()()%
2,0sen3cos226
4,1sen3cos26
Jd
Je
Q
Q
1 21 2"
#$
%'')%
)%()())%
0426
8,1sen3cos426
Gd
Ge
Q
Q
-"
-#
$
)%))%
)%'')%
4826
42410
Fe
Fe
Q
ou
Q
00,4110 (')
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
69
H
-10
BA
C D E
FG
J
-8-3,5
(-)
-9
-9(-)
4
-14
-0,5
-0,5
-6 -62
(-)
-4
(-)
(-)
-1-9
(-)
(-)
, (pela direita)
, (pela direita)
, (pela esquerda)
, (pela esquerda)
, (pela esquerda)
M =
DMF(tfm):
Cálculos:
13324 )%()(%EcM
106324 )%()(%FbM
624226346 )%()()()(%GdM
14246 )%())%FeM
5,32
00,215,4326
2
)%()()(%JM
44
00,200,22
8
00,41
8
22
%((
'(
%..
'.
%l
l baPqM