Post on 07-Apr-2022
FundamentosVetores Complexos SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli CésarDepartamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
Atenção! Este material didático é planejado para servir de apoio às aulas de SEL-310 E SEL-612: Ondas Eletromagnéticas, oferecida aos alunos regularmente matriculados no curso de engenharia de computação. Não são permitidas a reprodução e/ou comercialização do material. solicitar autorização ao docente para qualquer tipo de uso distinto daquele para o qual foi planejado.
2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL22/08/2016
Campo vetorial: Exemplos
22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 3
Modelo Cessna 182 em túnel de vento Vórtice produzido avião
Objetivo: modelagem, representação de fenômenoVelocidade e direção de fluido em movimento pelo espaçoIntensidade (magnitude) e direção de força gravitacional, elétrica, magnética
Linhas de campo
22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 4elétrico magnético
1 C carga de 6,241×1018 elétrons1 C carga de 6,241×1018 elétrons
Campo vetorial
22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 5http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_field
Coleção de setas com magnitude e direçãoCada uma associada a um ponto do plano
Vetor real e complexo
22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 6
ˆ ˆ ˆ( ) cos( ) cos( ) cos( )x x y y z zV t V t x V t y V t z
A representação complexa deste vetor é
ˆ ˆ ˆ( ) Re{[ exp( ) exp( ) exp( ) ]exp( )}x x y y z zV t V j x V j y V j z j t
( ) Re{ exp( )}V t V j t
vetor complexo
ˆ ˆ ˆexp( ) exp( ) exp( )x x y y z zV V j x V j y V j z
Função e derivada
22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 7
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7a/Graph_of_sliding_derivative_line.gif
2
' 2 2
( ) sin( ) 1( ) sin( ) 2 cos( )
f x x xf x x x x
http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Calculus_Grapher
Fluxo através de S-1
22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 10
Fn̂
dS S
F dS
ˆdS dS n
SV
animação
Rotacional e divergente
22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 16
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆx y zx y z F x F y F zx y z
F
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆx y zx y z F x F y F zx y z
F
opeˆ ˆ ˆ rador del (notação)x y zx y z
campo vetorˆ ˆ aˆ i lx y zF x F y F z F
Operadores diferenciais vetoriais-1
22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 17
2
2
: gradiente de escalar
: rotacion : lapla
: divergente de
ciano de escalaral de vetor
: laplaciano de ve
vetor
tor
AA
A
Operadores diferenciais vetoriais-2
22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 18
yx
yz
yx z
z
x
AAx
y zAA
AA Ax
x y zx y
A Ay z
x x
z
z
y
z y
A
A
Operadores diferenciais vetoriais-3
22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 19
2 2 22
2 2 2
2
2 2 2
( ) ( )
x y zx A y A z A
x y z
A AA
Valor Médio de Grandeza Variável no Tempo
22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 23
o valor médio de vetor complexo é
0
1 [ cos( ) cos( ) c () 0s( o ) ]T
x x y y z zV t x V t y V t ztT
V
grandeza escalar 0( ) cos( )v t V t
00
1( ) cos( ) 0T
v t V t dtT
valor médio da função
22
0021( )2
( )Tv
Ttt dt
Vv
Valor Médio do Produto Vetorial de Dois Vetores-1
22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 24
vetores complexos
i
r i
r
B BA A
jBjA
domínio do tempo
( ) Re{ exp( )} cos( ) sen( )( ) Re{ exp( )} cos( ) sen( )
r i
r i
A t A j t A t A tB t B j t B t B t
Valor Médio do Produto Vetorial de Dois Vetores-2
22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 25
( ) Re{ exp( )} cos( ) sen( )( ) Re{ exp( )} cos( ) sen( )
r i
r i
A t A j t A t A tB t B j t B t B t
produto vetorial
2 2( ) ( ) cos ( ) sen ( )
sen( )cos( )r r i i
r i i r
A t B t A B t A B t
A B A B t t
valor médio deste produto vetorial
0
1 1( ) ( ) ( ) ( )2
T
r r i iA t B t A t B t dt A B A BT
domínio do tempo
Valor Médio do Produto Vetorial de Dois Vetores-3
22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 26
valor médio deste produto vetorial
0
1 1( ) ( ) ( ) ( )2
T
r r i iA t B t A t B t dt A B A BT
r i r i r r i i i r r iA B A jA B jB A B A B j A B A B
*1( ) ( ) Re2
A t B t A B
o valor médio do produto vetorial de dois vetores é determinado a partir da representação complexa
2 2( ) ( ) cos ( ) sen ( ) sen( )cos( )r r i i r i i rA t B t A B t A B t A B A B t t