Algoritmai ir duomenų struktūros(ADS)

AVL medžiai

Saulius Ragaišis, VU MIFsaulius.ragaisis@mif.vu.lt

Problema

Dvejetainis paieškos medis (DPM) gali „išsigimti“ (išsibalansuoti), tada paieška jame tampa neefektyvi – blogiausiu atveju ji gali tapti ... (geriausiu atveju paieškos DPM sudėtingumas yra ...).

Problemos sprendimo būdai:1)laikas nuo laiko medį subalansuoti (balansavimas „brangi“ operacija);2)naudoti specialius (neišsibalansuojančius) medžius (pvz., AVL medžius).

AVL medis

Apibrėžimas: AVL medis – tai (besibalansuojantis) dvejetainis paieškos medis, kurio (1) šaknies dešiniojo ir kairiojo pomedžių aukščiai skiriasi daugiausiai vienetu ir (2) abu pomedžiai, savo ruožtu, tai pat yra AVL medžiai.

AVL medis buvo pirmas besibalansuojantis medis. Jis buvo pasiūlytas 1962 m. ir gavo vardą iš savo kūrėjų (G. M. Adelson-Velsky ir E. M. Landis).

Ar efektyvi paieška AVL medyje?

AVL medžiai

― /

―

―

\

― /

―― ―

―

― \

― ― ―

―

―

― ―

/

― /

Ne AVL medžiai

―

//

/

―

\

\\

― \\

―

/

―

\

―

// \\

――

\\

―

Paprastas elementų įterpimas

― \

―

―

― ―

―

\

― \

――

\

― ―

― ――

―

/ ―

― ―

―

/

\

/ /

―

―

/

―

/

\

/ ―

――

―

/

―

/

\

― ―

30

30

20 50

60

50

60

30

45

20

10

40

10

20

30

50

45 60

40 55

20 50

10 45 6025

40 55

30

20 50

10 45 60

30

20 50

30

20

30

50

45 60

30

50

AVL medžio elementų tipas

type Balance_Factor_Type = (LH, EH, RH);{ LH : left higher; EH : equal heights; RH : right higher }

type AVL_Tree_Type = ^AVL_Tree_Node_Type;

type AVL_Tree_Node_Type = record left, right : AVL_Tree_Type; bf : Balance_Factor_Type; info : ... end.

Įterpimas

procedure Insert(var root : AVL_Tree_Type; newnode : AVL_Tree_Type; var taller : Boolean);var tallersubtree: Boolean;begin if root = nil then begin root := newnode; root^.left := nil; root^.right := nil; root^.bf := EH; taller := true; end else with root^ do if newnode^.info.key = info.key then Error else ...

Įterpimas (2)

else if newnode^.info.key < info.key then begin Insert(left, newnode, tallersubtree); if tallersubtree then case bf of LH: LeftBalance; EH: begin bf := LH; taller := true end; RH: begin bf := EH; taller := false end; end else taller := false end else ...

Įterpimas (3)

else begin Insert(right, newnode, tallersubtree); if tallersubtree then case bf of LH: begin bf := EH; taller := false end; EH: begin bf := RH; taller := true

end; RH: RightBalance; end else taller := false endend;

Balanso atstatymas sukimu į kairę

Pasukimasį kairę\\

\

1T

2T3T

―

―

1T 2T3T

50

30 50

30

h+1h

h h h

h+1

Bendras aukštis = h+3 Bendras aukštis = h+2

Sukimo į kairę procedūra

procedure RotateLeft(var p: AVL_Tree_Type); {p – šaknis, kurios pomedis yra sukamas}var temp: pointer;begin if p = nil then Error else if p^.right = nil then Error else begin temp := p^.right; p^.right := temp^.left; temp^.left := p; p := temp; end;end;

Balanso atstatymas dvigubu pasukimu

\\

/ 50

45

30

1T

4T

―

1T 2T

45

30 50

3T4T

Tampa

2T 3T

h-1 arba

hh h

h

h

h-1 arba

hVieno iš T1 ar T2 aukštis yra h

Bendras aukštis = h+3 Bendras aukštis = h+2

Dešinio balansavimo procedūra

procedure RightBalance;var x, {šaknies dešinysis pomedis} w: AVL_Tree_Type; {kairysis x^ pomedis}begin x := root^.right; case x^.bf of RH: begin root^.bf := EH; x^.bf := EH; RotateLeft(root); taller := false end; EH: Error;

Dešinio balansavimo procedūra (2)

LH: begin w := x^.left; case w^.bf of EH: begin root^.bf := EH; x^.bf := EH end; LH: begin root^.bf := EH; x^.bf := RH end; RH: begin root^.bf := LH; x^.bf := EH end; end;

Dešinio balansavimo procedūra (3)

w^.bf := EH; RotateRight(x); root^.right := x; RotateLeft(root); taller := false;

end endend;

Procedūros RotateRight ir LeftBalance yra labai panašios į RotateLeft ir RightBalance atitinkamai.

Algoritmo veikimo demonstravimas

\

― 40

20

―

\\

\ 40

60

―

― ―20 60

20 40

――

\

― ―20 60

50 70

40

―

―

/

\\

― /20 60

50 70

45

―― ―

―

― \40 60

20 7045

40 50

Apibendrinimas

Didžiausias AVL medžių privalumas, kad jų aukštis visada labai artimas teoriniam minimumui

)1(log 2 n

Pabandykime rasti blogiausią atvejį: koks gali būti maksimalus AVL medžio, turinčio n viršūnių, aukštis?

Ieškosime AVL medžio, kurio aukštis h, minimalaus viršūnių skaičiaus.

AVL medžio viršūnių skaičius

Fh yra nagrinėjamas AVL medis, kurio aukštis h. Fk ir Fd yra jo kairysis ir dešinysis pomedžiai. Vieno iš šių pomedžių, tarkime Fk, aukštis bus (h - 1), o kito (Fd) – (h - 1) arba (h - 2). Kadangi medis Fh turi mažiausią skaičių viršūnių, tai Fd aukštis turi būti (h - 2). Iš čia gauname, kad:

|Fh| = |Fh - 1| + |Fh - 2| + 1

Čia |Fh| yra medžio, kurio aukštis h, viršūnių skaičius.

Tokie AVL medžiai dar yra vadinami Fibonačio medžiais

Fibonačio medžių pavyzdžiai

AVL medžio maksimalus aukštis

Prie gautosios lygybės pridėję po 1, gauname:|Fh| + 1 = (|Fh - 1| + 1) + (|Fh - 2| + 1)

|Fh| + 1 yra Fibonačio sekos narys, todėl :

|Fh| + 1 ≈

Išreiškus iš šios lygybės h ≈ 1,44 log |Fh|. Tai reiškia, kad pačiu blogiausiu atveju AVL medžio su n viršūnių apytikslis aukštis yra 1,44 log n.

3

2

51

5

1

h

Tikėtinas DPM aukštis

Vidutinis palyginimo operacijų skaičius vidutiniame DPM su n viršūnių apytiksliai lygus:

Vidutiniam DPM apytiksliai reikia karto 1,39 karto daugiau palyginimo operacijų negu visiškai subalansuotam medžiui.

))(lg2ln2(ln2 nn

Klausimai

?