Algebra1, normál 11. előadás 1 / 28

Algebra1, normál

ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék

Előadó: Kiss Emilhttp://ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress

ewwkiss@gmail.com

11. előadás

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28

Hatvány és többszörös

Definíció (K2.2.19)

Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28

Hatvány és többszörös

Definíció (K2.2.19)

Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28

Hatvány és többszörös

Definíció (K2.2.19)

Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28

Hatvány és többszörös

Definíció (K2.2.19)

Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28

Hatvány és többszörös

Definíció (K2.2.19)

Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk.Ez az a elem n-szerese (többszörös).

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28

Hatvány és többszörös

Definíció (K2.2.19)

Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk.Ez az a elem n-szerese (többszörös).

Ha a ∗ szorzásra van 1 egységelem, akkor legyen a0 = 1.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28

Hatvány és többszörös

Definíció (K2.2.19)

Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk.Ez az a elem n-szerese (többszörös).

Ha a ∗ szorzásra van 1 egységelem, akkor legyen a0 = 1.Ha a + összeadásra van nullelem, akkor legyen 0a = 0.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28

Hatvány és többszörös

Definíció (K2.2.19)

Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk.Ez az a elem n-szerese (többszörös).

Ha a ∗ szorzásra van 1 egységelem, akkor legyen a0 = 1.Ha a + összeadásra van nullelem, akkor legyen 0a = 0.

Ha a-nak van egy b inverze, akkor legyen a−n = bn.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28

Hatvány és többszörös

Definíció (K2.2.19)

Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk.Ez az a elem n-szerese (többszörös).

Ha a ∗ szorzásra van 1 egységelem, akkor legyen a0 = 1.Ha a + összeadásra van nullelem, akkor legyen 0a = 0.

Ha a-nak van egy b inverze, akkor legyen a−n = bn.Ha a-nak van egy b ellentettje, akkor legyen (−n)a = nb.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28

Hatvány és többszörös

Definíció (K2.2.19)

Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk.Ez az a elem n-szerese (többszörös).

Ha a ∗ szorzásra van 1 egységelem, akkor legyen a0 = 1.Ha a + összeadásra van nullelem, akkor legyen 0a = 0.

Ha a-nak van egy b inverze, akkor legyen a−n = bn.Ha a-nak van egy b ellentettje, akkor legyen (−n)a = nb.

Értelmeztük az egész kitevőjű hatvány (többszörös) fogalmát.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28

Hatvány és többszörös

Definíció (K2.2.19)

Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk.Ez az a elem n-szerese (többszörös).

Ha a ∗ szorzásra van 1 egységelem, akkor legyen a0 = 1.Ha a + összeadásra van nullelem, akkor legyen 0a = 0.

Ha a-nak van egy b inverze, akkor legyen a−n = bn.Ha a-nak van egy b ellentettje, akkor legyen (−n)a = nb.

Értelmeztük az egész kitevőjű hatvány (többszörös) fogalmát.Így minden gyűrű elemeit tudjuk egész számokkal „szorozni”.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28

A hatványozás tulajdonságai

Állítás (K2.2.20)

Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28

A hatványozás tulajdonságai

Állítás (K2.2.20)

Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28

A hatványozás tulajdonságai

Állítás (K2.2.20)

Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28

A hatványozás tulajdonságai

Állítás (K2.2.20)

Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28

A hatványozás tulajdonságai

Állítás (K2.2.20)

Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.

(1) a−n az an inverze.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28

A hatványozás tulajdonságai

Állítás (K2.2.20)

Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.

(1) a−n az an inverze.

(2) aman = am+n.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28

A hatványozás tulajdonságai

Állítás (K2.2.20)

Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.

(1) a−n az an inverze.

(2) aman = am+n.

(3) (am)n = amn.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28

A hatványozás tulajdonságai

Állítás (K2.2.20)

Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.

(1) a−n az an inverze.

(2) aman = am+n.

(3) (am)n = amn.

(4) Ha a és b felcserélhetők (ab = ba),

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28

A hatványozás tulajdonságai

Állítás (K2.2.20)

Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.

(1) a−n az an inverze.

(2) aman = am+n.

(3) (am)n = amn.

(4) Ha a és b felcserélhetők (ab = ba), akkor (ab)n = anbn.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28

A hatványozás tulajdonságai

Állítás (K2.2.20)

Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.

(1) a−n az an inverze.

(2) aman = am+n.

(3) (am)n = amn.

(4) Ha a és b felcserélhetők (ab = ba), akkor (ab)n = anbn.

Az analóg állítások érvényesek hatvány helyett többszörösre is.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28

A hatványozás tulajdonságai

Állítás (K2.2.20)

Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.

(1) a−n az an inverze.

(2) aman = am+n.

(3) (am)n = amn.

(4) Ha a és b felcserélhetők (ab = ba), akkor (ab)n = anbn.

Az analóg állítások érvényesek hatvány helyett többszörösre is.

Bizonyítás

Pozitív kitevőkre egyszerű leszámlálás.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28

A hatványozás tulajdonságai

Állítás (K2.2.20)

Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.

(1) a−n az an inverze.

(2) aman = am+n.

(3) (am)n = amn.

(4) Ha a és b felcserélhetők (ab = ba), akkor (ab)n = anbn.

Az analóg állítások érvényesek hatvány helyett többszörösre is.

Bizonyítás

Pozitív kitevőkre egyszerű leszámlálás.A többi esetben esetszétválasztás (HF).

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28

Tagonkénti hatványozás

Állítás (K3.3.22)

Legyen p prímszám,

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28

Tagonkénti hatványozás

Állítás (K3.3.22)

Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28

Tagonkénti hatványozás

Állítás (K3.3.22)

Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp:

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28

Tagonkénti hatványozás

Állítás (K3.3.22)

Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28

Tagonkénti hatványozás

Állítás (K3.3.22)

Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.

Bizonyítás

A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28

Tagonkénti hatványozás

Állítás (K3.3.22)

Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.

Bizonyítás

A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a

(

pj

)

binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28

Tagonkénti hatványozás

Állítás (K3.3.22)

Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.

Bizonyítás

A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a

(

pj

)

binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.

AlkalmazásZp-ben 2p = (1 + 1)p

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28

Tagonkénti hatványozás

Állítás (K3.3.22)

Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.

Bizonyítás

A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a

(

pj

)

binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.

AlkalmazásZp-ben 2p = (1 + 1)p = 1p + 1p

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28

Tagonkénti hatványozás

Állítás (K3.3.22)

Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.

Bizonyítás

A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a

(

pj

)

binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.

AlkalmazásZp-ben 2p = (1 + 1)p = 1p + 1p = 1 + 1

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28

Tagonkénti hatványozás

Állítás (K3.3.22)

Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.

Bizonyítás

A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a

(

pj

)

binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.

AlkalmazásZp-ben 2p = (1 + 1)p = 1p + 1p = 1 + 1 = 2.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28

Tagonkénti hatványozás

Állítás (K3.3.22)

Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.

Bizonyítás

A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a

(

pj

)

binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.

AlkalmazásZp-ben 2p = (1 + 1)p = 1p + 1p = 1 + 1 = 2. Azaz p | 2p − 2.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28

Tagonkénti hatványozás

Állítás (K3.3.22)

Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.

Bizonyítás

A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a

(

pj

)

binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.

AlkalmazásZp-ben 2p = (1 + 1)p = 1p + 1p = 1 + 1 = 2. Azaz p | 2p − 2.Ugyanígy 3p = (1 + 1 + 1)p

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28

Tagonkénti hatványozás

Állítás (K3.3.22)

Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.

Bizonyítás

A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a

(

pj

)

binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.

AlkalmazásZp-ben 2p = (1 + 1)p = 1p + 1p = 1 + 1 = 2. Azaz p | 2p − 2.Ugyanígy 3p = (1 + 1 + 1)p = 1p + 1p + 1p = 3.

Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28

Tagonkénti hatványozás

Állítás (K3.3.22)

Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.

Bizonyítás

A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a

(

pj

)

binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.

AlkalmazásZp-ben 2p = (1 + 1)p = 1p + 1p = 1 + 1 = 2. Azaz p | 2p − 2.Ugyanígy 3p = (1 + 1 + 1)p = 1p + 1p + 1p = 3.HF: belátni a kis Fermat-tételt.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28

A polinom definíciója

Polinom (K2.1. szakasz)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28

A polinom definíciója

Polinom (K2.1. szakasz)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28

A polinom definíciója

Polinom (K2.1. szakasz)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,

ahol n ≥ 0 egész szám

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28

A polinom definíciója

Polinom (K2.1. szakasz)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,

ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an ∈ R .

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28

A polinom definíciója

Polinom (K2.1. szakasz)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,

ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an ∈ R . Ezek halmaza R[x ].

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28

A polinom definíciója

Polinom (K2.1. szakasz)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,

ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an ∈ R . Ezek halmaza R[x ].

Egyenlőség (K2.1.1)

Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28

A polinom definíciója

Polinom (K2.1. szakasz)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,

ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an ∈ R . Ezek halmaza R[x ].

Egyenlőség (K2.1.1)

Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28

A polinom definíciója

Polinom (K2.1. szakasz)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,

ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an ∈ R . Ezek halmaza R[x ].

Egyenlőség (K2.1.1)

Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).

Nullapolinom

A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28

A polinom definíciója

Polinom (K2.1. szakasz)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,

ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an ∈ R . Ezek halmaza R[x ].

Egyenlőség (K2.1.1)

Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).

Nullapolinom

A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint az R nullelemét.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28

A polinom definíciója

Polinom (K2.1. szakasz)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,

ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an ∈ R . Ezek halmaza R[x ].

Egyenlőség (K2.1.1)

Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).

Nullapolinom

A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint az R nullelemét.Minden c ∈ R elemet konstans polinomnak tekintünk.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28

Polinomok összege, különbsége

A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28

Polinomok összege, különbsége

A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28

Polinomok összege, különbsége

A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28

Polinomok összege, különbsége

A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28

Polinomok összege, különbsége

A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28

Polinomok összege, különbsége

A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28

Polinomok összege, különbsége

A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28

Polinomok összege, különbsége

A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28

Polinomok összege, különbsége

A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel.

Összeg és különbség

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28

Polinomok összege, különbsége

A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel.

Összeg és különbség

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28

Polinomok összege, különbsége

A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel.

Összeg és különbség

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n

összege és különbsége:

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28

Polinomok összege, különbsége

A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel.

Összeg és különbség

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n

összege és különbsége:

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28

Polinomok összege, különbsége

A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:

a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel.

Összeg és különbség

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n

összege és különbsége:

(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28

Polinomok ellentettje és szorzata

EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h,

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28

Polinomok ellentettje és szorzata

EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28

Polinomok ellentettje és szorzata

EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28

Polinomok ellentettje és szorzata

EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n (egyetlen) ellentettje

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28

Polinomok ellentettje és szorzata

EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x

n.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28

Polinomok ellentettje és szorzata

EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x

n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f = g + (−f ).

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28

Polinomok ellentettje és szorzata

EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x

n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f = g + (−f ).

Szorzat(a0 + a1x + . . .+ anx

n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28

Polinomok ellentettje és szorzata

EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x

n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f = g + (−f ).

Szorzat(a0 + a1x + . . .+ anx

n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28

Polinomok ellentettje és szorzata

EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x

n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f = g + (−f ).

Szorzat(a0 + a1x + . . .+ anx

n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.

Azaz (fg)(x) =m+n∑

k=0

ckxk ,

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28

Polinomok ellentettje és szorzata

EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x

n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f = g + (−f ).

Szorzat(a0 + a1x + . . .+ anx

n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.

Azaz (fg)(x) =m+n∑

k=0

ckxk , ahol ck =k∑

j=0

ajbk−j

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28

Polinomok ellentettje és szorzata

EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x

n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f = g + (−f ).

Szorzat(a0 + a1x + . . .+ anx

n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.

Azaz (fg)(x) =m+n∑

k=0

ckxk , ahol ck =k∑

j=0

ajbk−j =∑

j+ℓ=k

ajbℓ.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28

Polinomok ellentettje és szorzata

EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x

n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f = g + (−f ).

Szorzat(a0 + a1x + . . .+ anx

n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.

Azaz (fg)(x) =m+n∑

k=0

ckxk , ahol ck =k∑

j=0

ajbk−j =∑

j+ℓ=k

ajbℓ.

Tétel (K2.1.6, K2.3.2)

R[x ] is egységelemes, kommutatív gyűrű ezekre a műveletekre.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28

Polinom foka

DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n ∈ R[x ],

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28

Polinom foka

DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28

Polinom foka

DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28

Polinom foka

DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ).

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28

Polinom foka

DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28

Polinom foka

DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.

Tétel (K2.1.5, K2.3.2)

Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28

Polinom foka

DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.

Tétel (K2.1.5, K2.3.2)

Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28

Polinom foka

DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.

Tétel (K2.1.5, K2.3.2)

Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Így ha R nullosztómentes, akkor R[x ] is az.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28

Polinom foka

DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.

Tétel (K2.1.5, K2.3.2)

Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Így ha R nullosztómentes, akkor R[x ] is az.

Bizonyítás

f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28

Polinom foka

DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.

Tétel (K2.1.5, K2.3.2)

Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Így ha R nullosztómentes, akkor R[x ] is az.

Bizonyítás

f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bmxm

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28

Polinom foka

DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.

Tétel (K2.1.5, K2.3.2)

Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Így ha R nullosztómentes, akkor R[x ] is az.

Bizonyítás

f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bmxm

szorzatában xn+m együtthatója anbm.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28

Polinom foka

DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.

Tétel (K2.1.5, K2.3.2)

Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Így ha R nullosztómentes, akkor R[x ] is az.

Bizonyítás

f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bmxm

szorzatában xn+m együtthatója anbm.Ez nem nulla, ha an és bm nem nulla, mert R nullosztómentes.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28

Polinom foka

DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.

Tétel (K2.1.5, K2.3.2)

Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Így ha R nullosztómentes, akkor R[x ] is az.

Bizonyítás

f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bmxm

szorzatában xn+m együtthatója anbm.Ez nem nulla, ha an és bm nem nulla, mert R nullosztómentes.Megjegyzés: Szorzásnál a főegyütthatók és a konstans tagokis összeszorzódnak,

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28

Polinom foka

DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.

Tétel (K2.1.5, K2.3.2)

Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Így ha R nullosztómentes, akkor R[x ] is az.

Bizonyítás

f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bmxm

szorzatában xn+m együtthatója anbm.Ez nem nulla, ha an és bm nem nulla, mert R nullosztómentes.Megjegyzés: Szorzásnál a főegyütthatók és a konstans tagokis összeszorzódnak, hiszen fg konstans tagja nyilván a0b0.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1,

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek,

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz:

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is:

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem,

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység:

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.

Tétel (K2.3.2)

Ha R (egységelemes, kommutatív és) nullosztómentes, akkor azf ∈ R[x ] polinom pontosan akkor egység,

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.

Tétel (K2.3.2)

Ha R (egységelemes, kommutatív és) nullosztómentes, akkor azf ∈ R[x ] polinom pontosan akkor egység, ha egy olyan konstanspolinom,

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.

Tétel (K2.3.2)

Ha R (egységelemes, kommutatív és) nullosztómentes, akkor azf ∈ R[x ] polinom pontosan akkor egység, ha egy olyan konstanspolinom, amely egység R-ben.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.

Tétel (K2.3.2)

Ha R (egységelemes, kommutatív és) nullosztómentes, akkor azf ∈ R[x ] polinom pontosan akkor egység, ha egy olyan konstanspolinom, amely egység R-ben.

Bizonyítás

Ha fg = 1,

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.

Tétel (K2.3.2)

Ha R (egységelemes, kommutatív és) nullosztómentes, akkor azf ∈ R[x ] polinom pontosan akkor egység, ha egy olyan konstanspolinom, amely egység R-ben.

Bizonyítás

Ha fg = 1, akkor gr(f ) + gr(g) = 0,

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.

Tétel (K2.3.2)

Ha R (egységelemes, kommutatív és) nullosztómentes, akkor azf ∈ R[x ] polinom pontosan akkor egység, ha egy olyan konstanspolinom, amely egység R-ben.

Bizonyítás

Ha fg = 1, akkor gr(f ) + gr(g) = 0, így f és g konstans.

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.

Tétel (K2.3.2)

Ha R (egységelemes, kommutatív és) nullosztómentes, akkor azf ∈ R[x ] polinom pontosan akkor egység, ha egy olyan konstanspolinom, amely egység R-ben.

Bizonyítás

Ha fg = 1, akkor gr(f ) + gr(g) = 0, így f és g konstans.Megfordítva: ha c ∈ R egység,

Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28

A polinomgyűrű egységei

DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.

Tétel (K2.3.2)

Ha R (egységelemes, kommutatív és) nullosztómentes, akkor azf ∈ R[x ] polinom pontosan akkor egység, ha egy olyan konstanspolinom, amely egység R-ben.

Bizonyítás

Ha fg = 1, akkor gr(f ) + gr(g) = 0, így f és g konstans.Megfordítva: ha c ∈ R egység, akkor 1/c ∈ R[x ].

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28

Behelyettesítés polinomba

Polinomfüggvény (K2.4.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28

Behelyettesítés polinomba

Polinomfüggvény (K2.4.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]

polinom b helyen felvett helyettesítési értéke

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28

Behelyettesítés polinomba

Polinomfüggvény (K2.4.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]

polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b

2 + . . .+ anbn ∈ R .

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28

Behelyettesítés polinomba

Polinomfüggvény (K2.4.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]

polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b

2 + . . .+ anbn ∈ R .

Az f ∗ : R 7→ R az f -hez tartozó polinomfüggvény.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28

Behelyettesítés polinomba

Polinomfüggvény (K2.4.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]

polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b

2 + . . .+ anbn ∈ R .

Az f ∗ : R 7→ R az f -hez tartozó polinomfüggvény.Az f ∗(b) kiszámítása: Horner elrendezéssel.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28

Behelyettesítés polinomba

Polinomfüggvény (K2.4.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]

polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b

2 + . . .+ anbn ∈ R .

Az f ∗ : R 7→ R az f -hez tartozó polinomfüggvény.Az f ∗(b) kiszámítása: Horner elrendezéssel.A b gyöke f -nek, ha f ∗(b) = 0.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28

Behelyettesítés polinomba

Polinomfüggvény (K2.4.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]

polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b

2 + . . .+ anbn ∈ R .

Az f ∗ : R 7→ R az f -hez tartozó polinomfüggvény.Az f ∗(b) kiszámítása: Horner elrendezéssel.A b gyöke f -nek, ha f ∗(b) = 0.

A gyöktényező kiemelhetősége (K2.4.6)

A b ∈ R akkor és csak akkor gyöke az f ∈ R[x ]-nek,ha van olyan q ∈ R[x ], hogy

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28

Behelyettesítés polinomba

Polinomfüggvény (K2.4.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]

polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b

2 + . . .+ anbn ∈ R .

Az f ∗ : R 7→ R az f -hez tartozó polinomfüggvény.Az f ∗(b) kiszámítása: Horner elrendezéssel.A b gyöke f -nek, ha f ∗(b) = 0.

A gyöktényező kiemelhetősége (K2.4.6)

A b ∈ R akkor és csak akkor gyöke az f ∈ R[x ]-nek,ha van olyan q ∈ R[x ], hogy f (x) = (x − b)q(x).

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28

Behelyettesítés polinomba

Polinomfüggvény (K2.4.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]

polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b

2 + . . .+ anbn ∈ R .

Az f ∗ : R 7→ R az f -hez tartozó polinomfüggvény.Az f ∗(b) kiszámítása: Horner elrendezéssel.A b gyöke f -nek, ha f ∗(b) = 0.

A gyöktényező kiemelhetősége (K2.4.6)

A b ∈ R akkor és csak akkor gyöke az f ∈ R[x ]-nek,ha van olyan q ∈ R[x ], hogy f (x) = (x − b)q(x).Az x − b a b gyökhöz tartozó gyöktényező.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28

Behelyettesítés polinomba

Polinomfüggvény (K2.4.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]

polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b

2 + . . .+ anbn ∈ R .

Az f ∗ : R 7→ R az f -hez tartozó polinomfüggvény.Az f ∗(b) kiszámítása: Horner elrendezéssel.A b gyöke f -nek, ha f ∗(b) = 0.

A gyöktényező kiemelhetősége (K2.4.6)

A b ∈ R akkor és csak akkor gyöke az f ∈ R[x ]-nek,ha van olyan q ∈ R[x ], hogy f (x) = (x − b)q(x).Az x − b a b gyökhöz tartozó gyöktényező.Bizonyítás: Horner-elrendezéssel.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28

Több gyöktényező kiemelése

Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)

Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban,

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28

Több gyöktényező kiemelése

Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)

Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R

az f -nek az összes R-beli gyökei,

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28

Több gyöktényező kiemelése

Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)

Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R

az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28

Több gyöktényező kiemelése

Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)

Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R

az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.

A bizonyítás kulcslépése

Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28

Több gyöktényező kiemelése

Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)

Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R

az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.

A bizonyítás kulcslépése

Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28

Több gyöktényező kiemelése

Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)

Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R

az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.

A bizonyítás kulcslépése

Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x),

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28

Több gyöktényező kiemelése

Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)

Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R

az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.

A bizonyítás kulcslépése

Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x), ahol q-nak már nincs gyöke.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28

Több gyöktényező kiemelése

Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)

Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R

az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.

A bizonyítás kulcslépése

Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x), ahol q-nak már nincs gyöke.Belátjuk, hogy f -nek nincs más gyöke, mint b1, . . . , bk .

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28

Több gyöktényező kiemelése

Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)

Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R

az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.

A bizonyítás kulcslépése

Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x), ahol q-nak már nincs gyöke.Belátjuk, hogy f -nek nincs más gyöke, mint b1, . . . , bk .Valóban: ha f ∗(b) = 0,

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28

Több gyöktényező kiemelése

Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)

Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R

az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.

A bizonyítás kulcslépése

Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x), ahol q-nak már nincs gyöke.Belátjuk, hogy f -nek nincs más gyöke, mint b1, . . . , bk .Valóban: ha f ∗(b) = 0, akkor (b − b1) . . . (b − bk)q

∗(b) = 0.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28

Több gyöktényező kiemelése

Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)

Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R

az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.

A bizonyítás kulcslépése

Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x), ahol q-nak már nincs gyöke.Belátjuk, hogy f -nek nincs más gyöke, mint b1, . . . , bk .Valóban: ha f ∗(b) = 0, akkor (b − b1) . . . (b − bk)q

∗(b) = 0.A nullosztómentesség miatt valamelyik tényező nulla.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28

Több gyöktényező kiemelése

Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)

Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R

az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.

A bizonyítás kulcslépése

Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x), ahol q-nak már nincs gyöke.Belátjuk, hogy f -nek nincs más gyöke, mint b1, . . . , bk .Valóban: ha f ∗(b) = 0, akkor (b − b1) . . . (b − bk)q

∗(b) = 0.A nullosztómentesség miatt valamelyik tényező nulla.De q∗(b) 6= 0,

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28

Több gyöktényező kiemelése

Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)

Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R

az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.

A bizonyítás kulcslépése

Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x), ahol q-nak már nincs gyöke.Belátjuk, hogy f -nek nincs más gyöke, mint b1, . . . , bk .Valóban: ha f ∗(b) = 0, akkor (b − b1) . . . (b − bk)q

∗(b) = 0.A nullosztómentesség miatt valamelyik tényező nulla.De q∗(b) 6= 0, ezért b − bj = 0 valamelyik j-re.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28

Több gyöktényező kiemelése

Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)

Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R

az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.

A bizonyítás kulcslépése

Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x), ahol q-nak már nincs gyöke.Belátjuk, hogy f -nek nincs más gyöke, mint b1, . . . , bk .Valóban: ha f ∗(b) = 0, akkor (b − b1) . . . (b − bk)q

∗(b) = 0.A nullosztómentesség miatt valamelyik tényező nulla.De q∗(b) 6= 0, ezért b − bj = 0 valamelyik j-re. Azaz b = bj .

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28

Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben

Példa (K, 57. oldal)

Legyen R = Z8

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28

Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben

Példa (K, 57. oldal)

Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28

Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben

Példa (K, 57. oldal)

Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28

Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben

Példa (K, 57. oldal)

Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28

Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben

Példa (K, 57. oldal)

Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28

Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben

Példa (K, 57. oldal)

Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28

Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben

Példa (K, 57. oldal)

Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28

Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben

Példa (K, 57. oldal)

Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.

Magyarázat

x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28

Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben

Példa (K, 57. oldal)

Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.

Magyarázat

x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28

Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben

Példa (K, 57. oldal)

Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.

Magyarázat

x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel 32 − 1

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28

Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben

Példa (K, 57. oldal)

Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.

Magyarázat

x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel 0 = 32 − 1

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28

Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben

Példa (K, 57. oldal)

Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.

Magyarázat

x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel 0 = 32 − 1 = (3 − 1)(3 + 1)

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28

Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben

Példa (K, 57. oldal)

Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.

Magyarázat

x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel 0 = 32 − 1 = (3 − 1)(3 + 1) = 4 ∗8 2.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28

Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben

Példa (K, 57. oldal)

Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.

Magyarázat

x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel 0 = 32 − 1 = (3 − 1)(3 + 1) = 4 ∗8 2.Vagyis a probléma az, hogy Z8 nem nullosztómentes.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28

Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben

Példa (K, 57. oldal)

Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.

Magyarázat

x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel 0 = 32 − 1 = (3 − 1)(3 + 1) = 4 ∗8 2.Vagyis a probléma az, hogy Z8 nem nullosztómentes.Ugyanígy x2 − 1 = (x − 3)(x + 3) is teljesül,

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28

Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben

Példa (K, 57. oldal)

Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.

Magyarázat

x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel 0 = 32 − 1 = (3 − 1)(3 + 1) = 4 ∗8 2.Vagyis a probléma az, hogy Z8 nem nullosztómentes.Ugyanígy x2 − 1 = (x − 3)(x + 3) is teljesül,azaz a gyöktényezős alak nem egyértelmű.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28

Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben

Példa (K, 57. oldal)

Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.

Magyarázat

x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel 0 = 32 − 1 = (3 − 1)(3 + 1) = 4 ∗8 2.Vagyis a probléma az, hogy Z8 nem nullosztómentes.Ugyanígy x2 − 1 = (x − 3)(x + 3) is teljesül,azaz a gyöktényezős alak nem egyértelmű.

A négy különböző gyökhöz tartozó gyöktényezőt egyszerreazért nem lehet kiemelni, mert Z8 nem nullosztómentes.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28

A gyökök száma

A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)

Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28

A gyökök száma

A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)

Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:

(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28

A gyökök száma

A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)

Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:

(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.

(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik,

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28

A gyökök száma

A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)

Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:

(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.

(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28

A gyökök száma

A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)

Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:

(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.

(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).

(3) Ha R végtelen gyűrű,

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28

A gyökök száma

A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)

Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:

(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.

(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).

(3) Ha R végtelen gyűrű, és az f ∗ és g∗ polinomfüggvényekegyenlők,

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28

A gyökök száma

A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)

Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:

(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.

(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).

(3) Ha R végtelen gyűrű, és az f ∗ és g∗ polinomfüggvényekegyenlők, akkor f = g .

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28

A gyökök száma

A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)

Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:

(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.

(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).

(3) Ha R végtelen gyűrű, és az f ∗ és g∗ polinomfüggvényekegyenlők, akkor f = g . Ha R véges,

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28

A gyökök száma

A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)

Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:

(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.

(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).

(3) Ha R végtelen gyűrű, és az f ∗ és g∗ polinomfüggvényekegyenlők, akkor f = g . Ha R véges, akkor van kétkülönböző polinom, melyek polinomfüggvénye ugyanaz.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28

A gyökök száma

A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)

Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:

(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.

(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).

(3) Ha R végtelen gyűrű, és az f ∗ és g∗ polinomfüggvényekegyenlők, akkor f = g . Ha R véges, akkor van kétkülönböző polinom, melyek polinomfüggvénye ugyanaz.

A bizonyítások megjegyzendő fő gondolatai:

(1): Egyszerre kiemelhetők a gyöktényezők.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28

A gyökök száma

A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)

Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:

(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.

(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).

(3) Ha R végtelen gyűrű, és az f ∗ és g∗ polinomfüggvényekegyenlők, akkor f = g . Ha R véges, akkor van kétkülönböző polinom, melyek polinomfüggvénye ugyanaz.

A bizonyítások megjegyzendő fő gondolatai:

(1): Egyszerre kiemelhetők a gyöktényezők.(2): Alkalmazzuk (1)-et a két polinom különbségére.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28

A gyökök száma

A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)

Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:

(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.

(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).

(3) Ha R végtelen gyűrű, és az f ∗ és g∗ polinomfüggvényekegyenlők, akkor f = g . Ha R véges, akkor van kétkülönböző polinom, melyek polinomfüggvénye ugyanaz.

A bizonyítások megjegyzendő fő gondolatai:

(1): Egyszerre kiemelhetők a gyöktényezők.(2): Alkalmazzuk (1)-et a két polinom különbségére.(3): Ha R végtelen, akkor (2)-ben van „elég” elem.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28

A gyökök száma

A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)

Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:

(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.

(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).

(3) Ha R végtelen gyűrű, és az f ∗ és g∗ polinomfüggvényekegyenlők, akkor f = g . Ha R véges, akkor van kétkülönböző polinom, melyek polinomfüggvénye ugyanaz.

A bizonyítások megjegyzendő fő gondolatai:

(1): Egyszerre kiemelhetők a gyöktényezők.(2): Alkalmazzuk (1)-et a két polinom különbségére.(3): Ha R végtelen, akkor (2)-ben van „elég” elem.Véges gyűrű fölött csak véges sok polinomfüggvény van.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28

Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények

Példa

Ha R = Z2 és k ≥ 1,

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28

Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények

Példa

Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28

Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények

Példa

Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28

Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények

Példa

Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz:

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28

Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények

Példa

Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28

Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények

Példa

Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.

Legyen R = Zp ahol p prím.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28

Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények

Példa

Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.

Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28

Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények

Példa

Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.

Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28

Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények

Példa

Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.

Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.

Zp fölött xp−1 − 1 =(

x − 1)

. . .(

x − (p − 1))

.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28

Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények

Példa

Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.

Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.

Zp fölött xp−1 − 1 =(

x − 1)

. . .(

x − (p − 1))

.Valóban: Zp test,

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28

Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények

Példa

Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.

Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.

Zp fölött xp−1 − 1 =(

x − 1)

. . .(

x − (p − 1))

.Valóban: Zp test, a két oldal különbsége legfeljebb p − 2 fokú,

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28

Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények

Példa

Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.

Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.

Zp fölött xp−1 − 1 =(

x − 1)

. . .(

x − (p − 1))

.Valóban: Zp test, a két oldal különbsége legfeljebb p − 2 fokú,mert xp−1 kiesik,

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28

Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények

Példa

Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.

Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.

Zp fölött xp−1 − 1 =(

x − 1)

. . .(

x − (p − 1))

.Valóban: Zp test, a két oldal különbsége legfeljebb p − 2 fokú,mert xp−1 kiesik, de az 1, 2, . . . , p − 1 helyeken megegyeznek.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28

Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények

Példa

Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.

Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.

Zp fölött xp−1 − 1 =(

x − 1)

. . .(

x − (p − 1))

.Valóban: Zp test, a két oldal különbsége legfeljebb p − 2 fokú,mert xp−1 kiesik, de az 1, 2, . . . , p − 1 helyeken megegyeznek.Másképp: az x − i gyöktényezőket egyszerre kiemeljük (1 ≤ i < p).

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28

Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények

Példa

Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.

Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.

Zp fölött xp−1 − 1 =(

x − 1)

. . .(

x − (p − 1))

.Valóban: Zp test, a két oldal különbsége legfeljebb p − 2 fokú,mert xp−1 kiesik, de az 1, 2, . . . , p − 1 helyeken megegyeznek.Másképp: az x − i gyöktényezőket egyszerre kiemeljük (1 ≤ i < p).

HF: Lássuk be ebből Wilson tételét:

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28

Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények

Példa

Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.

Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.

Zp fölött xp−1 − 1 =(

x − 1)

. . .(

x − (p − 1))

.Valóban: Zp test, a két oldal különbsége legfeljebb p − 2 fokú,mert xp−1 kiesik, de az 1, 2, . . . , p − 1 helyeken megegyeznek.Másképp: az x − i gyöktényezőket egyszerre kiemeljük (1 ≤ i < p).

HF: Lássuk be ebből Wilson tételét: p | (p − 1)! + 1, ha p prím.

Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28

Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények

Példa

Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.

Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.

Zp fölött xp−1 − 1 =(

x − 1)

. . .(

x − (p − 1))

.Valóban: Zp test, a két oldal különbsége legfeljebb p − 2 fokú,mert xp−1 kiesik, de az 1, 2, . . . , p − 1 helyeken megegyeznek.Másképp: az x − i gyöktényezőket egyszerre kiemeljük (1 ≤ i < p).

HF: Lássuk be ebből Wilson tételét: p | (p − 1)! + 1, ha p prím.Ötlet: x = 0 helyettesítés.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R ,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.

Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.

Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.

Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.

Tulajdonságok (K3.1.4)

(1) Ha r | s és r | t, akkor r | s ± t.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.

Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.

Tulajdonságok (K3.1.4)

(1) Ha r | s és r | t, akkor r | s ± t.

(2) Ha r | s, akkor r | st,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.

Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.

Tulajdonságok (K3.1.4)

(1) Ha r | s és r | t, akkor r | s ± t.

(2) Ha r | s, akkor r | st, sőt rt | st.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.

Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.

Tulajdonságok (K3.1.4)

(1) Ha r | s és r | t, akkor r | s ± t.

(2) Ha r | s, akkor r | st, sőt rt | st. Megfordítva, ha t 6= 0,akkor rt | st-ből r | s következik

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.

Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.

Tulajdonságok (K3.1.4)

(1) Ha r | s és r | t, akkor r | s ± t.

(2) Ha r | s, akkor r | st, sőt rt | st. Megfordítva, ha t 6= 0,akkor rt | st-ből r | s következik (R nullosztómentes!).

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.

Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.

Tulajdonságok (K3.1.4)

(1) Ha r | s és r | t, akkor r | s ± t.

(2) Ha r | s, akkor r | st, sőt rt | st. Megfordítva, ha t 6= 0,akkor rt | st-ből r | s következik (R nullosztómentes!).

(3) Tranzitivitás: ha r | s és s | t, akkor r | t.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.

Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.

Tulajdonságok (K3.1.4)

(1) Ha r | s és r | t, akkor r | s ± t.

(2) Ha r | s, akkor r | st, sőt rt | st. Megfordítva, ha t 6= 0,akkor rt | st-ből r | s következik (R nullosztómentes!).

(3) Tranzitivitás: ha r | s és s | t, akkor r | t.

(4) Reflexivitás: r | r minden r ∈ R esetén

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28

Oszthatóság

Definíció (K3.1.3)

Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.

Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.

Tulajdonságok (K3.1.4)

(1) Ha r | s és r | t, akkor r | s ± t.

(2) Ha r | s, akkor r | st, sőt rt | st. Megfordítva, ha t 6= 0,akkor rt | st-ből r | s következik (R nullosztómentes!).

(3) Tranzitivitás: ha r | s és s | t, akkor r | t.

(4) Reflexivitás: r | r minden r ∈ R esetén (R egységelemes!).

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28

Felbonthatatlan elem

Emlékeztető (K3.1.9)

Az e ∈ R egység, ha e | 1.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28

Felbonthatatlan elem

Emlékeztető (K3.1.9)

Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28

Felbonthatatlan elem

Emlékeztető (K3.1.9)

Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28

Felbonthatatlan elem

Emlékeztető (K3.1.9)

Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.

Példa: A Z gyűrű egységei ±1.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28

Felbonthatatlan elem

Emlékeztető (K3.1.9)

Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.

Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28

Felbonthatatlan elem

Emlékeztető (K3.1.9)

Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.

Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói?

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28

Felbonthatatlan elem

Emlékeztető (K3.1.9)

Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.

Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28

Felbonthatatlan elem

Emlékeztető (K3.1.9)

Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.

Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?

Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)

A b = cd a b-nek triviális felbontása,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28

Felbonthatatlan elem

Emlékeztető (K3.1.9)

Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.

Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?

Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)

A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28

Felbonthatatlan elem

Emlékeztető (K3.1.9)

Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.

Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?

Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)

A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.A p ∈ R felbonthatatlan (irreducibilis),

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28

Felbonthatatlan elem

Emlékeztető (K3.1.9)

Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.

Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?

Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)

A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.A p ∈ R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla,nem egység,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28

Felbonthatatlan elem

Emlékeztető (K3.1.9)

Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.

Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?

Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)

A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.A p ∈ R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla,nem egység, és nincs nemtriviális felbontása.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28

Felbonthatatlan elem

Emlékeztető (K3.1.9)

Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.

Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?

Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)

A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.A p ∈ R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla,nem egység, és nincs nemtriviális felbontása.Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28

Felbonthatatlan elem

Emlékeztető (K3.1.9)

Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.

Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?

Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)

A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.A p ∈ R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla,nem egység, és nincs nemtriviális felbontása.Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese.

Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28

Felbonthatatlan elem

Emlékeztető (K3.1.9)

Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.

Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?

Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)

A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.A p ∈ R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla,nem egység, és nincs nemtriviális felbontása.Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese.

Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben, mert nem nulla, nem ±1,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28

Felbonthatatlan elem

Emlékeztető (K3.1.9)

Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.

Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?

Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)

A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.A p ∈ R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla,nem egység, és nincs nemtriviális felbontása.Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese.

Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben, mert nem nulla, nem ±1,és osztói csak ±1 és ±23.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28

Felbonthatatlan elem

Emlékeztető (K3.1.9)

Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.

Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?

Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)

A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.A p ∈ R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla,nem egység, és nincs nemtriviális felbontása.Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese.

Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben, mert nem nulla, nem ±1,és osztói csak ±1 és ±23. Az összes felbontása:23 = 1 · 23 = 23 · 1 = (−1)(−23) = (−23)(−1).

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28

Alaptételes gyűrű

Definíció (K3.1.15)

Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28

Alaptételes gyűrű

Definíció (K3.1.15)

Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység eleme

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28

Alaptételes gyűrű

Definíció (K3.1.15)

Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28

Alaptételes gyűrű

Definíció (K3.1.15)

Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28

Alaptételes gyűrű

Definíció (K3.1.15)

Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28

Alaptételes gyűrű

Definíció (K3.1.15)

Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.Az ilyen gyűrűt alaptételes gyűrűnek nevezzük.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28

Alaptételes gyűrű

Definíció (K3.1.15)

Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.Az ilyen gyűrűt alaptételes gyűrűnek nevezzük.

Tétel (K3.2.12)

A Z,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28

Alaptételes gyűrű

Definíció (K3.1.15)

Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.Az ilyen gyűrűt alaptételes gyűrűnek nevezzük.

Tétel (K3.2.12)

A Z, alaptételes.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28

Alaptételes gyűrű

Definíció (K3.1.15)

Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.Az ilyen gyűrűt alaptételes gyűrűnek nevezzük.

Tétel (K3.2.12)

A Z, és minden T [x ] polinomgyűrű, ahol T test, alaptételes.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28

Alaptételes gyűrű

Definíció (K3.1.15)

Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.Az ilyen gyűrűt alaptételes gyűrűnek nevezzük.

Tétel (K3.2.12)

A Z, és minden T [x ] polinomgyűrű, ahol T test, alaptételes.

elvégezhető a maradékos osztás, ezért

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28

Alaptételes gyűrű

Definíció (K3.1.15)

Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.Az ilyen gyűrűt alaptételes gyűrűnek nevezzük.

Tétel (K3.2.12)

A Z, és minden T [x ] polinomgyűrű, ahol T test, alaptételes.

elvégezhető a maradékos osztás, ezért

létezik „legnagyobb” közös osztó, ezért

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28

Alaptételes gyűrű

Definíció (K3.1.15)

Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.Az ilyen gyűrűt alaptételes gyűrűnek nevezzük.

Tétel (K3.2.12)

A Z, és minden T [x ] polinomgyűrű, ahol T test, alaptételes.

elvégezhető a maradékos osztás, ezért

létezik „legnagyobb” közös osztó, ezért

a felbonthatatlan elemek ugyanazok, mint a prímek, ezért

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28

Alaptételes gyűrű

Definíció (K3.1.15)

Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.Az ilyen gyűrűt alaptételes gyűrűnek nevezzük.

Tétel (K3.2.12)

A Z, és minden T [x ] polinomgyűrű, ahol T test, alaptételes.

elvégezhető a maradékos osztás, ezért

létezik „legnagyobb” közös osztó, ezért

a felbonthatatlan elemek ugyanazok, mint a prímek, ezért

egyértelmű a felbontás.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28

Prímtulajdonságú elem

FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28

Prímtulajdonságú elem

FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28

Prímtulajdonságú elem

FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.

Definíció (K3.1.25)

A p ∈ R prím R-ben,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28

Prímtulajdonságú elem

FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.

Definíció (K3.1.25)

A p ∈ R prím R-ben, ha nem nulla, nem egység,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28

Prímtulajdonságú elem

FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.

Definíció (K3.1.25)

A p ∈ R prím R-ben, ha nem nulla, nem egység, és tetszőlegesb, c ∈ R esetén p | bc-ből következik,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28

Prímtulajdonságú elem

FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.

Definíció (K3.1.25)

A p ∈ R prím R-ben, ha nem nulla, nem egység, és tetszőlegesb, c ∈ R esetén p | bc-ből következik, hogy p | b vagy p | c.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28

Prímtulajdonságú elem

FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.

Definíció (K3.1.25)

A p ∈ R prím R-ben, ha nem nulla, nem egység, és tetszőlegesb, c ∈ R esetén p | bc-ből következik, hogy p | b vagy p | c.

Tétel (K3.1.26, K3.1.27, K3.2.13, K3.2.14)

A Z gyűrűben,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28

Prímtulajdonságú elem

FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.

Definíció (K3.1.25)

A p ∈ R prím R-ben, ha nem nulla, nem egység, és tetszőlegesb, c ∈ R esetén p | bc-ből következik, hogy p | b vagy p | c.

Tétel (K3.1.26, K3.1.27, K3.2.13, K3.2.14)

A Z gyűrűben,a felbonthatatlan elemek ugyanazok, mint a prímek.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28

Prímtulajdonságú elem

FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.

Definíció (K3.1.25)

A p ∈ R prím R-ben, ha nem nulla, nem egység, és tetszőlegesb, c ∈ R esetén p | bc-ből következik, hogy p | b vagy p | c.

Tétel (K3.1.26, K3.1.27, K3.2.13, K3.2.14)

A Z gyűrűben, továbbá a T [x ] polinomgyűrűben, ahol T test,a felbonthatatlan elemek ugyanazok, mint a prímek.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28

Prímtulajdonságú elem

FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.

Definíció (K3.1.25)

A p ∈ R prím R-ben, ha nem nulla, nem egység, és tetszőlegesb, c ∈ R esetén p | bc-ből következik, hogy p | b vagy p | c.

Tétel (K3.1.26, K3.1.27, K3.2.13, K3.2.14)

A Z gyűrűben, továbbá a T [x ] polinomgyűrűben, ahol T test,a felbonthatatlan elemek ugyanazok, mint a prímek.Oka: létezik „legnagyobb” közös osztó.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28

Prímtulajdonságú elem

FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.

Definíció (K3.1.25)

A p ∈ R prím R-ben, ha nem nulla, nem egység, és tetszőlegesb, c ∈ R esetén p | bc-ből következik, hogy p | b vagy p | c.

Tétel (K3.1.26, K3.1.27, K3.2.13, K3.2.14)

A Z gyűrűben, továbbá a T [x ] polinomgyűrűben, ahol T test,a felbonthatatlan elemek ugyanazok, mint a prímek.Oka: létezik „legnagyobb” közös osztó.HF: Minden szokásos gyűrűben minden prím felbonthatatlan.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28

Maradékos osztás

Tétel (K3.2.1)

Legyen R szokásos gyűrű.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28

Maradékos osztás

Tétel (K3.2.1)

Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28

Maradékos osztás

Tétel (K3.2.1)

Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28

Maradékos osztás

Tétel (K3.2.1)

Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28

Maradékos osztás

Tétel (K3.2.1)

Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28

Maradékos osztás

Tétel (K3.2.1)

Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28

Maradékos osztás

Tétel (K3.2.1)

Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0, vagy r foka kisebb g fokánál.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28

Maradékos osztás

Tétel (K3.2.1)

Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0, vagy r foka kisebb g fokánál.A q és r polinomok egyértelműen meghatározottak.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28

Maradékos osztás

Tétel (K3.2.1)

Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0, vagy r foka kisebb g fokánál.A q és r polinomok egyértelműen meghatározottak.

A bizonyítás ugyanaz mint komplex együtthatós polinomokra.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28

Maradékos osztás

Tétel (K3.2.1)

Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0, vagy r foka kisebb g fokánál.A q és r polinomok egyértelműen meghatározottak.

A bizonyítás ugyanaz mint komplex együtthatós polinomokra.A tétel magában foglalja azt is, hogy q és r együtthatóiaz f és g együtthatóiból a négy alapművelettel kaphatók:

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28

Maradékos osztás

Tétel (K3.2.1)

Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0, vagy r foka kisebb g fokánál.A q és r polinomok egyértelműen meghatározottak.

A bizonyítás ugyanaz mint komplex együtthatós polinomokra.A tétel magában foglalja azt is, hogy q és r együtthatóiaz f és g együtthatóiból a négy alapművelettel kaphatók:

Emlékeztető (K3.2.2)

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28

Maradékos osztás

Tétel (K3.2.1)

Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0, vagy r foka kisebb g fokánál.A q és r polinomok egyértelműen meghatározottak.

A bizonyítás ugyanaz mint komplex együtthatós polinomokra.A tétel magában foglalja azt is, hogy q és r együtthatóiaz f és g együtthatóiból a négy alapművelettel kaphatók:

Emlékeztető (K3.2.2)

Ha g | f a C[x ]-ben,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28

Maradékos osztás

Tétel (K3.2.1)

Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0, vagy r foka kisebb g fokánál.A q és r polinomok egyértelműen meghatározottak.

A bizonyítás ugyanaz mint komplex együtthatós polinomokra.A tétel magában foglalja azt is, hogy q és r együtthatóiaz f és g együtthatóiból a négy alapművelettel kaphatók:

Emlékeztető (K3.2.2)

Ha g | f a C[x ]-ben, és f , g ∈ R[x ],

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28

Maradékos osztás

Tétel (K3.2.1)

Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0, vagy r foka kisebb g fokánál.A q és r polinomok egyértelműen meghatározottak.

A bizonyítás ugyanaz mint komplex együtthatós polinomokra.A tétel magában foglalja azt is, hogy q és r együtthatóiaz f és g együtthatóiból a négy alapművelettel kaphatók:

Emlékeztető (K3.2.2)

Ha g | f a C[x ]-ben, és f , g ∈ R[x ], akkor g | f az R[x ]-ben is.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28

Kitüntetett közös osztó

Definíció (K3.1.19)

A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28

Kitüntetett közös osztó

Definíció (K3.1.19)

A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha

(1) közös osztó,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28

Kitüntetett közös osztó

Definíció (K3.1.19)

A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha

(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28

Kitüntetett közös osztó

Definíció (K3.1.19)

A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha

(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;

(2) minden közös osztónak többese:

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28

Kitüntetett közös osztó

Definíció (K3.1.19)

A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha

(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;

(2) minden közös osztónak többese: d ′ | b és d ′ | c

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28

Kitüntetett közös osztó

Definíció (K3.1.19)

A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha

(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;

(2) minden közös osztónak többese: d ′ | b és d ′ | c =⇒ d ′ | d .

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28

Kitüntetett közös osztó

Definíció (K3.1.19)

A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha

(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;

(2) minden közös osztónak többese: d ′ | b és d ′ | c =⇒ d ′ | d .

Állítás (K3.1.27)

Ha egy szokásos gyűrűben bármely két elemnek vankitüntetett közös osztója,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28

Kitüntetett közös osztó

Definíció (K3.1.19)

A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha

(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;

(2) minden közös osztónak többese: d ′ | b és d ′ | c =⇒ d ′ | d .

Állítás (K3.1.27)

Ha egy szokásos gyűrűben bármely két elemnek vankitüntetett közös osztója, akkor a felbonthatatlanok prímek.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28

Kitüntetett közös osztó

Definíció (K3.1.19)

A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha

(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;

(2) minden közös osztónak többese: d ′ | b és d ′ | c =⇒ d ′ | d .

Állítás (K3.1.27)

Ha egy szokásos gyűrűben bármely két elemnek vankitüntetett közös osztója, akkor a felbonthatatlanok prímek.

Tétel (K5.5.9)

Ha egy R szokásos gyűrűben „elvégezhető a maradékos osztás”,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28

Kitüntetett közös osztó

Definíció (K3.1.19)

A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha

(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;

(2) minden közös osztónak többese: d ′ | b és d ′ | c =⇒ d ′ | d .

Állítás (K3.1.27)

Ha egy szokásos gyűrűben bármely két elemnek vankitüntetett közös osztója, akkor a felbonthatatlanok prímek.

Tétel (K5.5.9)

Ha egy R szokásos gyűrűben „elvégezhető a maradékos osztás”,akkor az euklideszi algoritmus miatt,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28

Kitüntetett közös osztó

Definíció (K3.1.19)

A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha

(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;

(2) minden közös osztónak többese: d ′ | b és d ′ | c =⇒ d ′ | d .

Állítás (K3.1.27)

Ha egy szokásos gyűrűben bármely két elemnek vankitüntetett közös osztója, akkor a felbonthatatlanok prímek.

Tétel (K5.5.9)

Ha egy R szokásos gyűrűben „elvégezhető a maradékos osztás”,akkor az euklideszi algoritmus miatt, bármely két elemnekvan kitüntetett közös osztója,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28

Kitüntetett közös osztó

Definíció (K3.1.19)

A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha

(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;

(2) minden közös osztónak többese: d ′ | b és d ′ | c =⇒ d ′ | d .

Állítás (K3.1.27)

Ha egy szokásos gyűrűben bármely két elemnek vankitüntetett közös osztója, akkor a felbonthatatlanok prímek.

Tétel (K5.5.9)

Ha egy R szokásos gyűrűben „elvégezhető a maradékos osztás”,akkor az euklideszi algoritmus miatt, bármely két elemnekvan kitüntetett közös osztója, ezért R alaptételes.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28

Kanonikus alak

Definíció (K3.1.16)

A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11

pα22

. . . pαk

k,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28

Kanonikus alak

Definíció (K3.1.16)

A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11

pα22

. . . pαk

k, ahol e egység,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28

Kanonikus alak

Definíció (K3.1.16)

A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11

pα22

. . . pαk

k, ahol e egység,

p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28

Kanonikus alak

Definíció (K3.1.16)

A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11

pα22

. . . pαk

k, ahol e egység,

p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28

Kanonikus alak

Definíció (K3.1.16)

A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11

pα22

. . . pαk

k, ahol e egység,

p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.

Példák

Z-ben −36 = (−1)2232.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28

Kanonikus alak

Definíció (K3.1.16)

A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11

pα22

. . . pαk

k, ahol e egység,

p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.

Példák

Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)

k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)

km ,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28

Kanonikus alak

Definíció (K3.1.16)

A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11

pα22

. . . pαk

k, ahol e egység,

p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.

Példák

Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)

k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)

km ,ahol a c a főegyüttható

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28

Kanonikus alak

Definíció (K3.1.16)

A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11

pα22

. . . pαk

k, ahol e egység,

p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.

Példák

Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)

k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)

km ,ahol a c a főegyüttható (nem nulla konstans, így egység).

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28

Kanonikus alak

Definíció (K3.1.16)

A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11

pα22

. . . pαk

k, ahol e egység,

p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.

Példák

Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)

k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)

km ,ahol a c a főegyüttható (nem nulla konstans, így egység).Ez a gyöktényezős alak,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28

Kanonikus alak

Definíció (K3.1.16)

A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11

pα22

. . . pαk

k, ahol e egység,

p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.

Példák

Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)

k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)

km ,ahol a c a főegyüttható (nem nulla konstans, így egység).Ez a gyöktényezős alak, a ki a bi gyök multiplicitása.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28

Kanonikus alak

Definíció (K3.1.16)

A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11

pα22

. . . pαk

k, ahol e egység,

p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.

Példák

Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)

k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)

km ,ahol a c a főegyüttható (nem nulla konstans, így egység).Ez a gyöktényezős alak, a ki a bi gyök multiplicitása.

Az osztók száma,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28

Kanonikus alak

Definíció (K3.1.16)

A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11

pα22

. . . pαk

k, ahol e egység,

p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.

Példák

Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)

k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)

km ,ahol a c a főegyüttható (nem nulla konstans, így egység).Ez a gyöktényezős alak, a ki a bi gyök multiplicitása.

Az osztók száma, a kitüntetett közös osztó,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28

Kanonikus alak

Definíció (K3.1.16)

A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11

pα22

. . . pαk

k, ahol e egység,

p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.

Példák

Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)

k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)

km ,ahol a c a főegyüttható (nem nulla konstans, így egység).Ez a gyöktényezős alak, a ki a bi gyök multiplicitása.

Az osztók száma, a kitüntetett közös osztó, és a kitüntetettközös többszörös

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28

Kanonikus alak

Definíció (K3.1.16)

A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11

pα22

. . . pαk

k, ahol e egység,

p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.

Példák

Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)

k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)

km ,ahol a c a főegyüttható (nem nulla konstans, így egység).Ez a gyöktényezős alak, a ki a bi gyök multiplicitása.

Az osztók száma, a kitüntetett közös osztó, és a kitüntetettközös többszörös hasonló képletekkel kapható a kanonikusalakból, mint az egész számok számelméletében.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28

Gyökök és irreducibilitás

Tétel (K3.3. szakasz)

Legyen T test.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28

Gyökök és irreducibilitás

Tétel (K3.3. szakasz)

Legyen T test.

(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28

Gyökök és irreducibilitás

Tétel (K3.3. szakasz)

Legyen T test.

(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28

Gyökök és irreducibilitás

Tétel (K3.3. szakasz)

Legyen T test.

(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28

Gyökök és irreducibilitás

Tétel (K3.3. szakasz)

Legyen T test.

(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.

(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28

Gyökök és irreducibilitás

Tétel (K3.3. szakasz)

Legyen T test.

(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.

(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.

(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28

Gyökök és irreducibilitás

Tétel (K3.3. szakasz)

Legyen T test.

(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.

(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.

(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28

Gyökök és irreducibilitás

Tétel (K3.3. szakasz)

Legyen T test.

(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.

(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.

(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.

(4) Legalább negyedfokú polinom,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28

Gyökök és irreducibilitás

Tétel (K3.3. szakasz)

Legyen T test.

(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.

(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.

(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.

(4) Legalább negyedfokú polinom, HA van gyöke T -ben,

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28

Gyökök és irreducibilitás

Tétel (K3.3. szakasz)

Legyen T test.

(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.

(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.

(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.

(4) Legalább negyedfokú polinom, HA van gyöke T -ben,akkor biztosan NEM irreducibilis T [x ]-ben.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28

Gyökök és irreducibilitás

Tétel (K3.3. szakasz)

Legyen T test.

(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.

(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.

(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.

(4) Legalább negyedfokú polinom, HA van gyöke T -ben,akkor biztosan NEM irreducibilis T [x ]-ben. Ha nincs gyöke,attól még lehet reducibilis!

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28

Gyökök és irreducibilitás

Tétel (K3.3. szakasz)

Legyen T test.

(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.

(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.

(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.

(4) Legalább negyedfokú polinom, HA van gyöke T -ben,akkor biztosan NEM irreducibilis T [x ]-ben. Ha nincs gyöke,attól még lehet reducibilis! Példa: Q[x ]-ben (x2 + 1)2.

Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28

Gyökök és irreducibilitás

Tétel (K3.3. szakasz)

Legyen T test.

(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.

(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.

(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.

(4) Legalább negyedfokú polinom, HA van gyöke T -ben,akkor biztosan NEM irreducibilis T [x ]-ben. Ha nincs gyöke,attól még lehet reducibilis! Példa: Q[x ]-ben (x2 + 1)2.

(5) Gyök létezése elsőfokú irreducibilis tényezőnek felel meg.

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28

Rekurzív definíció

Definíció (K2.6.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28

Rekurzív definíció

Definíció (K2.6.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük:

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28

Rekurzív definíció

Definíció (K2.6.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =

(

R[x1])

[x2],

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28

Rekurzív definíció

Definíció (K2.6.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =

(

R[x1])

[x2], és így tovább,R[x1, . . . , xn] =

(

R[x1, . . . , xn−1])

[xn].

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28

Rekurzív definíció

Definíció (K2.6.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =

(

R[x1])

[x2], és így tovább,R[x1, . . . , xn] =

(

R[x1, . . . , xn−1])

[xn].Vagyis a határozatlan xn,

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28

Rekurzív definíció

Definíció (K2.6.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =

(

R[x1])

[x2], és így tovább,R[x1, . . . , xn] =

(

R[x1, . . . , xn−1])

[xn].Vagyis a határozatlan xn, az együtthatók a már definiáltn − 1-határozatlanú polinomok gyűrűjének elemei.

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28

Rekurzív definíció

Definíció (K2.6.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =

(

R[x1])

[x2], és így tovább,R[x1, . . . , xn] =

(

R[x1, . . . , xn−1])

[xn].Vagyis a határozatlan xn, az együtthatók a már definiáltn − 1-határozatlanú polinomok gyűrűjének elemei.

Előny

Mivel S = R[x1, . . . , xn−1] is kommutatív, egységelemes gyűrű,

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28

Rekurzív definíció

Definíció (K2.6.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =

(

R[x1])

[x2], és így tovább,R[x1, . . . , xn] =

(

R[x1, . . . , xn−1])

[xn].Vagyis a határozatlan xn, az együtthatók a már definiáltn − 1-határozatlanú polinomok gyűrűjének elemei.

Előny

Mivel S = R[x1, . . . , xn−1] is kommutatív, egységelemes gyűrű,az R[x1, . . . , xn] = S [xn] is az.

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28

Rekurzív definíció

Definíció (K2.6.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =

(

R[x1])

[x2], és így tovább,R[x1, . . . , xn] =

(

R[x1, . . . , xn−1])

[xn].Vagyis a határozatlan xn, az együtthatók a már definiáltn − 1-határozatlanú polinomok gyűrűjének elemei.

Előny

Mivel S = R[x1, . . . , xn−1] is kommutatív, egységelemes gyűrű,az R[x1, . . . , xn] = S [xn] is az.A tulajdonságokat nem kell külön ellenőrizni.

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28

Rekurzív definíció

Definíció (K2.6.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =

(

R[x1])

[x2], és így tovább,R[x1, . . . , xn] =

(

R[x1, . . . , xn−1])

[xn].Vagyis a határozatlan xn, az együtthatók a már definiáltn − 1-határozatlanú polinomok gyűrűjének elemei.

Előny

Mivel S = R[x1, . . . , xn−1] is kommutatív, egységelemes gyűrű,az R[x1, . . . , xn] = S [xn] is az.A tulajdonságokat nem kell külön ellenőrizni.Példa: Ha R nullosztómentes,

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28

Rekurzív definíció

Definíció (K2.6.1)

Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =

(

R[x1])

[x2], és így tovább,R[x1, . . . , xn] =

(

R[x1, . . . , xn−1])

[xn].Vagyis a határozatlan xn, az együtthatók a már definiáltn − 1-határozatlanú polinomok gyűrűjének elemei.

Előny

Mivel S = R[x1, . . . , xn−1] is kommutatív, egységelemes gyűrű,az R[x1, . . . , xn] = S [xn] is az.A tulajdonságokat nem kell külön ellenőrizni.Példa: Ha R nullosztómentes, akkor indukcióval világos,hogy R[x1, . . . , xn] is nullosztómentes.

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28

A szimmetrikus polinomok alaptétele

Példa

A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2

n =

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28

A szimmetrikus polinomok alaptétele

Példa

A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2

n = σ21− 2σ2.

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28

A szimmetrikus polinomok alaptétele

Példa

A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2

n = σ21− 2σ2. Vagyis ha

F (y1, y2, . . . , yn) = y21− 2y2,

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28

A szimmetrikus polinomok alaptétele

Példa

A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2

n = σ21− 2σ2. Vagyis ha

F (y1, y2, . . . , yn) = y21− 2y2, akkor s2 = F (σ1, σ2, . . . , σn).

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28

A szimmetrikus polinomok alaptétele

Példa

A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2

n = σ21− 2σ2. Vagyis ha

F (y1, y2, . . . , yn) = y21− 2y2, akkor s2 = F (σ1, σ2, . . . , σn).

Tehát s2 az elemi szimmetrikus polinomok polinomja.

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28

A szimmetrikus polinomok alaptétele

Példa

A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2

n = σ21− 2σ2. Vagyis ha

F (y1, y2, . . . , yn) = y21− 2y2, akkor s2 = F (σ1, σ2, . . . , σn).

Tehát s2 az elemi szimmetrikus polinomok polinomja.

Tétel (K2.7.3)

Legyen R szokásos gyűrű.

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28

A szimmetrikus polinomok alaptétele

Példa

A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2

n = σ21− 2σ2. Vagyis ha

F (y1, y2, . . . , yn) = y21− 2y2, akkor s2 = F (σ1, σ2, . . . , σn).

Tehát s2 az elemi szimmetrikus polinomok polinomja.

Tétel (K2.7.3)

Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor minden f ∈ R[x1, . . . , xn]szimmetrikus polinom egyértelműen fölírható

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28

A szimmetrikus polinomok alaptétele

Példa

A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2

n = σ21− 2σ2. Vagyis ha

F (y1, y2, . . . , yn) = y21− 2y2, akkor s2 = F (σ1, σ2, . . . , σn).

Tehát s2 az elemi szimmetrikus polinomok polinomja.

Tétel (K2.7.3)

Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor minden f ∈ R[x1, . . . , xn]szimmetrikus polinom egyértelműen fölírható az elemiszimmetrikus polinomok polinomjaként.

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28

A szimmetrikus polinomok alaptétele

Példa

A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2

n = σ21− 2σ2. Vagyis ha

F (y1, y2, . . . , yn) = y21− 2y2, akkor s2 = F (σ1, σ2, . . . , σn).

Tehát s2 az elemi szimmetrikus polinomok polinomja.

Tétel (K2.7.3)

Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor minden f ∈ R[x1, . . . , xn]szimmetrikus polinom egyértelműen fölírható az elemiszimmetrikus polinomok polinomjaként.Azaz létezik pontosan egy F ∈ R[y1, . . . , yn] polinom, melyre

f (x1, . . . , xn) = F (σ1, . . . , σn).

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28

A szimmetrikus polinomok alaptétele

Példa

A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2

n = σ21− 2σ2. Vagyis ha

F (y1, y2, . . . , yn) = y21− 2y2, akkor s2 = F (σ1, σ2, . . . , σn).

Tehát s2 az elemi szimmetrikus polinomok polinomja.

Tétel (K2.7.3)

Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor minden f ∈ R[x1, . . . , xn]szimmetrikus polinom egyértelműen fölírható az elemiszimmetrikus polinomok polinomjaként.Azaz létezik pontosan egy F ∈ R[y1, . . . , yn] polinom, melyre

f (x1, . . . , xn) = F (σ1, . . . , σn).

A F együtthatói a f együtthatóiból összeadás és kivonássegítségével kaphatók.

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 25 / 28

A többhatározatlanú polinomok számelmélete

Tétel (K3.4.10, K3.4.11)

A Z[x ] polinomgyűrű alaptételes.

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 25 / 28

A többhatározatlanú polinomok számelmélete

Tétel (K3.4.10, K3.4.11)

A Z[x ] polinomgyűrű alaptételes. Ugyanígy:Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x ] is az.

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 25 / 28

A többhatározatlanú polinomok számelmélete

Tétel (K3.4.10, K3.4.11)

A Z[x ] polinomgyűrű alaptételes. Ugyanígy:Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x ] is az.

Bizonyítás

Ugyanúgy, mint Z[x ] esetében. (Kell: hányadostest).

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 25 / 28

A többhatározatlanú polinomok számelmélete

Tétel (K3.4.10, K3.4.11)

A Z[x ] polinomgyűrű alaptételes. Ugyanígy:Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x ] is az.

Bizonyítás

Ugyanúgy, mint Z[x ] esetében. (Kell: hányadostest).

Következmény (vö. K3.4.12)

Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x1, x2, . . . , xn] is az.

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 25 / 28

A többhatározatlanú polinomok számelmélete

Tétel (K3.4.10, K3.4.11)

A Z[x ] polinomgyűrű alaptételes. Ugyanígy:Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x ] is az.

Bizonyítás

Ugyanúgy, mint Z[x ] esetében. (Kell: hányadostest).

Következmény (vö. K3.4.12)

Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x1, x2, . . . , xn] is az.Speciálisan Z[x1, x2, . . . , xn],

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 25 / 28

A többhatározatlanú polinomok számelmélete

Tétel (K3.4.10, K3.4.11)

A Z[x ] polinomgyűrű alaptételes. Ugyanígy:Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x ] is az.

Bizonyítás

Ugyanúgy, mint Z[x ] esetében. (Kell: hányadostest).

Következmény (vö. K3.4.12)

Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x1, x2, . . . , xn] is az.Speciálisan Z[x1, x2, . . . , xn],

alaptételes gyűrűk.

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 25 / 28

A többhatározatlanú polinomok számelmélete

Tétel (K3.4.10, K3.4.11)

A Z[x ] polinomgyűrű alaptételes. Ugyanígy:Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x ] is az.

Bizonyítás

Ugyanúgy, mint Z[x ] esetében. (Kell: hányadostest).

Következmény (vö. K3.4.12)

Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x1, x2, . . . , xn] is az.Speciálisan Z[x1, x2, . . . , xn], és ha T test,akkor T [x1, x2, . . . , xn] is alaptételes gyűrűk.

Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 25 / 28

A többhatározatlanú polinomok számelmélete

Tétel (K3.4.10, K3.4.11)

A Z[x ] polinomgyűrű alaptételes. Ugyanígy:Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x ] is az.

Bizonyítás

Ugyanúgy, mint Z[x ] esetében. (Kell: hányadostest).

Következmény (vö. K3.4.12)

Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x1, x2, . . . , xn] is az.Speciálisan Z[x1, x2, . . . , xn], és ha T test,akkor T [x1, x2, . . . , xn] is alaptételes gyűrűk.

Általános gyűrűkben az alaptétel vizsgálata:K5.5. szakasz (az Algebra3 tárgy keretében).

Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28

A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.

Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28

A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok.

Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28

A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.

Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28

A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben.

Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28

A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű,

Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28

A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.

Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28

A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.

TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.

Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28

A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.

TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.A polinomgyűrű egységei.

Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28

A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.

TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.A polinomgyűrű egységei. Gyöktényezők egyszerre kiemelhetősége.

Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28

A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.

TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.A polinomgyűrű egységei. Gyöktényezők egyszerre kiemelhetősége.A polinom és a polinomfüggvény véges és végtelen gyűrű fölött.

Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28

A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.

TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.A polinomgyűrű egységei. Gyöktényezők egyszerre kiemelhetősége.A polinom és a polinomfüggvény véges és végtelen gyűrű fölött.Ha van legnagyobb közös osztó, akkor minden irreducibilis prím.

Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28

A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.

TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.A polinomgyűrű egységei. Gyöktényezők egyszerre kiemelhetősége.A polinom és a polinomfüggvény véges és végtelen gyűrű fölött.Ha van legnagyobb közös osztó, akkor minden irreducibilis prím.Maradékos osztás szokásos gyűrű fölött.

Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28

A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.

TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.A polinomgyűrű egységei. Gyöktényezők egyszerre kiemelhetősége.A polinom és a polinomfüggvény véges és végtelen gyűrű fölött.Ha van legnagyobb közös osztó, akkor minden irreducibilis prím.Maradékos osztás szokásos gyűrű fölött. Gyökök és irreducibilitáskapcsolata test fölött.

Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28

A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.

TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.A polinomgyűrű egységei. Gyöktényezők egyszerre kiemelhetősége.A polinom és a polinomfüggvény véges és végtelen gyűrű fölött.Ha van legnagyobb közös osztó, akkor minden irreducibilis prím.Maradékos osztás szokásos gyűrű fölött. Gyökök és irreducibilitáskapcsolata test fölött. A szimmetrikus polinomok alaptétele.

Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28

A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.

TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.A polinomgyűrű egységei. Gyöktényezők egyszerre kiemelhetősége.A polinom és a polinomfüggvény véges és végtelen gyűrű fölött.Ha van legnagyobb közös osztó, akkor minden irreducibilis prím.Maradékos osztás szokásos gyűrű fölött. Gyökök és irreducibilitáskapcsolata test fölött. A szimmetrikus polinomok alaptétele.Z[x1, x2, . . . , xn], T [x1, x2, . . . , xn] alaptételes (T test).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28

Polinomok

1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28

Polinomok

1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28

Polinomok

1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).3 A Lagrange-interpoláció (K2.4.12).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28

Polinomok

1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).3 A Lagrange-interpoláció (K2.4.12).4 f ∈ R[x ] gyöke konjugáltjának multiplicitása (K3.3.6).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28

Polinomok

1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).3 A Lagrange-interpoláció (K2.4.12).4 f ∈ R[x ] gyöke konjugáltjának multiplicitása (K3.3.6).5 A maradékos osztás tétele: létezés és egyértelműség (K3.2.1).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28

Polinomok

1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).3 A Lagrange-interpoláció (K2.4.12).4 f ∈ R[x ] gyöke konjugáltjának multiplicitása (K3.3.6).5 A maradékos osztás tétele: létezés és egyértelműség (K3.2.1).6 A polinom és a polinomfüggvény kapcsolata véges

és végtelen gyűrű fölött (K2.4.10, K2.4.11).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28

Polinomok

1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).3 A Lagrange-interpoláció (K2.4.12).4 f ∈ R[x ] gyöke konjugáltjának multiplicitása (K3.3.6).5 A maradékos osztás tétele: létezés és egyértelműség (K3.2.1).6 A polinom és a polinomfüggvény kapcsolata véges

és végtelen gyűrű fölött (K2.4.10, K2.4.11).7 Az első Gauss-lemma és következményei (K3.4.3, K3.4.4,

K3.4.5).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28

Polinomok

1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).3 A Lagrange-interpoláció (K2.4.12).4 f ∈ R[x ] gyöke konjugáltjának multiplicitása (K3.3.6).5 A maradékos osztás tétele: létezés és egyértelműség (K3.2.1).6 A polinom és a polinomfüggvény kapcsolata véges

és végtelen gyűrű fölött (K2.4.10, K2.4.11).7 Az első Gauss-lemma és következményei (K3.4.3, K3.4.4,

K3.4.5).8 Z[x ] irreducibiliseinek leírása (K3.4.7, K3.4.8).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28

Polinomok

1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).3 A Lagrange-interpoláció (K2.4.12).4 f ∈ R[x ] gyöke konjugáltjának multiplicitása (K3.3.6).5 A maradékos osztás tétele: létezés és egyértelműség (K3.2.1).6 A polinom és a polinomfüggvény kapcsolata véges

és végtelen gyűrű fölött (K2.4.10, K2.4.11).7 Az első Gauss-lemma és következményei (K3.4.3, K3.4.4,

K3.4.5).8 Z[x ] irreducibiliseinek leírása (K3.4.7, K3.4.8).9 A Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2, K3.5.3).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28

Polinomok

1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).3 A Lagrange-interpoláció (K2.4.12).4 f ∈ R[x ] gyöke konjugáltjának multiplicitása (K3.3.6).5 A maradékos osztás tétele: létezés és egyértelműség (K3.2.1).6 A polinom és a polinomfüggvény kapcsolata véges

és végtelen gyűrű fölött (K2.4.10, K2.4.11).7 Az első Gauss-lemma és következményei (K3.4.3, K3.4.4,

K3.4.5).8 Z[x ] irreducibiliseinek leírása (K3.4.7, K3.4.8).9 A Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2, K3.5.3).10 Ha az R kommutatív gyűrűben pr azonosan nulla,

akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni (K3.3.22).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28

Komplex számok, lineáris algebra

11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28

Komplex számok, lineáris algebra

11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28

Komplex számok, lineáris algebra

11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28

Komplex számok, lineáris algebra

11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).14 Transzpozíció előjele (K4.2.12).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28

Komplex számok, lineáris algebra

11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).14 Transzpozíció előjele (K4.2.12).15 A páros permutációk száma (K4.2.16).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28

Komplex számok, lineáris algebra

11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).14 Transzpozíció előjele (K4.2.12).15 A páros permutációk száma (K4.2.16).16 Felső háromszögmátrix determinánsa (F1.2.3. Feladat).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28

Komplex számok, lineáris algebra

11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).14 Transzpozíció előjele (K4.2.12).15 A páros permutációk száma (K4.2.16).16 Felső háromszögmátrix determinánsa (F1.2.3. Feladat).17 A transzponált determinánsa (F1.3.6. Tétel).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28

Komplex számok, lineáris algebra

11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).14 Transzpozíció előjele (K4.2.12).15 A páros permutációk száma (K4.2.16).16 Felső háromszögmátrix determinánsa (F1.2.3. Feladat).17 A transzponált determinánsa (F1.3.6. Tétel).18 Ha a determináns két sora egyenlő, akkor nulla (F1.3.3. Tétel).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28

Komplex számok, lineáris algebra

11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).14 Transzpozíció előjele (K4.2.12).15 A páros permutációk száma (K4.2.16).16 Felső háromszögmátrix determinánsa (F1.2.3. Feladat).17 A transzponált determinánsa (F1.3.6. Tétel).18 Ha a determináns két sora egyenlő, akkor nulla (F1.3.3. Tétel).19 Az inverz mátrix képlete (F1.4.3. Tétel, F2.2.2. Tétel,

F2.2.3. Lemma).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28

Komplex számok, lineáris algebra

11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).14 Transzpozíció előjele (K4.2.12).15 A páros permutációk száma (K4.2.16).16 Felső háromszögmátrix determinánsa (F1.2.3. Feladat).17 A transzponált determinánsa (F1.3.6. Tétel).18 Ha a determináns két sora egyenlő, akkor nulla (F1.3.3. Tétel).19 Az inverz mátrix képlete (F1.4.3. Tétel, F2.2.2. Tétel,

F2.2.3. Lemma).20 A Vandermonde-determináns (F1.5.2. Tétel).

A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28

Komplex számok, lineáris algebra

11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).14 Transzpozíció előjele (K4.2.12).15 A páros permutációk száma (K4.2.16).16 Felső háromszögmátrix determinánsa (F1.2.3. Feladat).17 A transzponált determinánsa (F1.3.6. Tétel).18 Ha a determináns két sora egyenlő, akkor nulla (F1.3.3. Tétel).19 Az inverz mátrix képlete (F1.4.3. Tétel, F2.2.2. Tétel,

F2.2.3. Lemma).20 A Vandermonde-determináns (F1.5.2. Tétel).

A fenti 20 bizonyítás szerepelhet a vizsga harmadik részében.