Post on 18-Apr-2015
Álgebra Linear e
Geometria Analítica
7ª aula
ESPAÇOS VECTORIAIS
O que é preciso para ter um espaço vectorial?® Um conjunto não vazio V® Uma operação de adição definida nesse conjunto® Um produto de um número real por
um elemento desse conjunto® As “boas” propriedades destas operações
O que são as “boas” propriedades?
® Fechado para a somau, vV, u + v V
® Fechado para o produto por um escalar
, uV, u V
O que são as “boas” propriedades?Propriedades da soma
® Comutativa:u, vV, u + v = v + u
® Associativa:u, v, wV, (u + v) + w = u + (v + w)
® Elemento Neutro:uV, u + 0 = u
®Simétricos:uV, u + (-u) = 0
O que são as “boas” propriedades?Propriedades da soma e do produto por um escalar:
® Distributiva:u, vV, ,(u + v )= u + v
® Distributiva: uV, , ,( + ) u = u + u ® “Associativa”
uV, , ,( ) u = (u) ®Elemento neutro
uV, 1u = u
Exemplos® Vectores no plano com as operações soma e produto por um número real
Exemplos® Conjunto das matrizes mn com as operações soma e produto por um número real.® Conjunto das matrizes linha com as operações soma e produto por um número real® Conjunto das matrizes coluna com as operações soma e produto por um número real
Exemplos njxxxx jn
n ,,1,:,,, 21
nn
nn
yxyxyx
yyyxxx
,,,
,,,,,,
2211
2121
nn xxxxxx ,,,,,, 2121
Casos particulares importantes: yxyx ,:,2
wytxwtyx ,,,
yxyx ,,
Casos particulares importantes: zyxzyx ,,:,,3
vzwytxvwtzyx ,,,,,,
zyxzyx ,,,,
Propriedades dos espaços vectoriais® O vector nulo é único ® O simétrico de cada vector de V é único ® Qualquer número real multiplicado pelo vector nulo dá o vector nulo® Zero multiplicado por qualquer vector dá o vector nulo® Se o produto de um número real por um vector dá o vector nulo então ou o número real é nulo ou o vector é nulo.
Combinações Lineares:
uuuu
Vuuu
kk
k
k
2211
21
21
,,,
,,,
u diz-se combinação linear de u1, u2, …, uk
Exemplo: 5,3,21,0,050,1,030,0,12
(2,3,-5) é combinação linear de {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}com coeficientes 2, 3 e -5 respectivamente
Exemplo:(2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?
Exemplo:(2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)
Exemplo:(2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)
5
3
2
Exemplo:(2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,1)}?(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)
5
3
2
53
2
101
011
111
53
2
101
011
111
7
1
2
010
100
111
1
7
2
100
010
111
17
2
100
010
111
17
2
100
010
111
17
3
100
010
011
1
7
4
100
010
001
1
7
4
1
7
4
(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)
(2,3,-5) = -4(1,1,1) + 7(1,1,0) - (1,0,1)
Exemplo:(2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)
Exemplo:(2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)
53
3
2
Exemplo:(2,3,-5) será combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)
53
3
2
Sistema impossível
Exemplo:Então (2,3,-5) não pode ser combinação linear de {(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}
Exemplo:Quais serão os vectores (a, b, c) que podem ser combinação linear de{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
Exemplo:(a, b, c) = x(1,1,1) + y (1,1,2) + z(0,0,3)
Exemplo:(a, b, c) = x(1,1,1) + y (1,1,2) + z(0,0,3)
czyx
byx
ayx
32
czyx
byx
ayx
32
c
b
a
321
011
011
czyx
byx
ayx
32
c
b
a
321
011
011
ac
ab
a
310
000
011
czyx
byx
ayx
32
c
b
a
321
011
011
ac
ab
a
310
000
011
ab
ca
a
000
310
011
czyx
byx
ayx
32
c
b
a
321
011
011
ac
ab
a
310
000
011
ab
ca
a
000
310
011
ab
ca
c
000
310
301
czyx
byx
ayx
32
c
b
a
321
011
011
ac
ab
a
310
000
011
ab
ca
a
000
310
011
ab
ca
c
000
310
301
ba
Exemplo:Quais serão os vectores (a, b, c) que podem ser combinação linear de{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
Resposta: vectores da forma(a, a, c)
Exemplo:(0, 0, 0) pode ser combinação linear de{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?
Exemplo:(0, 0, 0) pode ser combinação linear de{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?SIM(0, 0, 0) = 0(1,1,1) + 0(1,1,2) + 0(0,0,3)
PropriedadeO vector nulo de qualquer espaço vectorial pode ser escrito como combinação linear de qualquer conjunto de vectores.(O sistema homogéneo tem sempre solução)
Exemplo:(0, 0, 0) pode ser combinação linear de{(1,1,1), (1,1,2),(0,0,3)}?SIM(0, 0, 0) = 3(1,1,1) - 3(1,1,2) + 1(0,0,3)
Vectores linearmente independentes
Definição: Um conjunto de vectores de V {v1, v2, … , vk}
diz-se linearmente independente se a única combinação linear nula destes vectores é a trivial.
Vectores linearmente independentes
Definição: Um conjunto de vectores de V {v1, v2, … , vk}
diz-se linearmente independente se a única combinação linear nula destes vectores é a trivial.
0
0
21
2211
k
kkvvv
Vectores linearmente dependentes
Definição: Um conjunto de vectores de V {v1, v2, … , vk}
diz-se linearmente dependente se não é independente, isto é, se é possível obter o vector nulo com uma combinação linear que não tem os coeficientes todos nulos.
0:02211 jkk jvvv
Vectores linearmente independentes
Para que o conjunto de vectores de V {v1, v2, … , vk}
seja linearmente independente é preciso que o sistema
seja determinado, isto é, que a característica da matriz do sistema seja k.
02211 kkvvv
Um conjunto de vectores não pode ser independente se:
• Contiver o vector nulo;
• Tiver dois vectores iguais;
• Tiver um vector múltiplo de outro;
• Se um dos vectores for combinação
linear de outros.
EXEMPLO:
Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}linearmente independente?
042 dcba
EXEMPLO:
Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}linearmente independente?a(1,2,3,4)+ b(2,-1,3,5)+ c(4,7,-3,-7)+ d(1,-8,-3,-2)
= (0,0,0,0)
EXEMPLO:
Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}linearmente independente?a(1,2,3,4)+ b(2,-1,3,5)+ c(4,7,-3,-7)+ d(1,-8,-3,-2)
= (0,0,0,0)
02754
03333
0872
042
dcba
dcba
dcba
dcba
02754
03333
0872
042
dcba
dcba
dcba
dcba
2754
3333
8712
1421
A
car(A) = 3 sistema indeterminado
conjunto dependente
Subespaço Vectorial
Seja V um espaço vectorial. Um subconjunto não vazio F de V é um subespaço vectorial de V se e só se
ou seja: F é fechado para a soma e para o produto por um escalar.
FuFu
FvuFvu
,,
,,
Exemplo de subespaço vectorial
zxeyxzyxF 2:,, 3
Exemplo de subespaço vectorial
zxeyxzyxF 2:,, 3
F é o conjunto das soluções do sistema
02
0
zx
yx
Exemplo de subespaço vectorial
zxeyxzyxF 2:,, 3
F é o conjunto das soluções do sistema
02
0
zx
yx
F é o núcleo da matriz
102
011
Expansão linear e geradores
Considere-se W o conjunto de todas as combinações lineares de {v1, v2, … , vk} vectores de um espaço vectorial V
1. W é um subespaço vectorial2. W é o menor subespaço vectorial de V que
contém {v1, v2, … , vk}
Expansão linear e geradores
Chama-se expansão linear de {v1, v2, … , vk}
ou subespaço vectorial gerado pelos vectores {v1, v2, … , vk}
e representa-se por <v1, v2, … , vk>Os vectores {v1, v2, … , vk} dizem-se um conjunto de geradores de W
jkkvvvW ,2211
Exemplos
1,0,0,0,1,0,0,0,13
Exemplos
1,0,0,0,1,0,0,0,13
0:,,,,:,,0,0
,:1,0,0,00,1,0,01,0,0,0,0,1,0,0
214
43212121
2121
xxxxxx
Bases e dimensão
• A um conjunto de geradores de um espaço que seja linearmente independente chama-se base desse espaço.
• Um espaço tem várias bases• Todas as bases têm o mesmo número de
elementos• A esse número de elementos chama-se
dimensão do espaço
Bases e dimensão
• Se um espaço vectorial tem dimensão n não pode haver conjuntos de vectores independentes com mais do que n elementos
• Se um espaço vectorial tem dimensão n não pode haver conjuntos de vectores geradores do espaço com menos do que n elementos
Exemplo:
zxeyxzyxF 2:,, 3
Exemplo:
zxeyxzyxF 2:,, 3
xxxxF :2,,
Exemplo:
zxeyxzyxF 2:,, 3
xxxxF :2,,
2,1,1F
Exemplo:
zxeyxzyxF 2:,, 3
xxxxF :2,,
2,1,1F
dimF = 1
ouFou 10,5,5
Como saber se um vector pertence a um subespaço?
1. Encontra-se uma base para o subespaço
2. Verifica-se se o vector pode ser combinação
linear dos elementos da base.
Exemplo:
8,7,6,5,4,3,2,1F
Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?
Exemplo:
8,7,6,5,4,3,2,1F
Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?
Exemplo:
8,7,6,5,4,3,2,1F
Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?Isto é, será que (3, -2, -7, 12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?
(3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
(3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
(3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
(3, -2, -7, -12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
1284
773
262
35
ba
ba
ba
ba
(3, -2, -7, 12)= a(1,2,3,4) + b(5,6,7,8)
1284
773
262
35
ba
ba
ba
ba
12
7
2
3
84
73
62
51
12
7
2
3
84
73
62
51
24
16
8
3
120
80
40
51
0
0
2
3
00
00
10
51
0
0
2
7
00
00
10
01
12
7
2
3
84
73
62
51
24
16
8
3
120
80
40
51
0
0
2
3
00
00
10
51
0
0
2
7
00
00
10
01
2
7
b
a
O mesmo exemplo, outra abordagem:
8,7,6,5,4,3,2,1F
Será que (3, -2, -7, -12) é um elemento de F?Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?
O mesmo exemplo, outra abordagem:
8,7,6,5,4,3,2,1F
Será que (3, -2, -7, 12) é um elemento de F?Isto é, será que (3, -2, -7, -12) é uma combinação linear de (1,2,3,4) e (5,6,7,8)?Se tal se verificar a característica da matriz 34 que tem estes vectores nas suas linhas terá que ser 2.
O mesmo exemplo, outra abordagem:
12723
8765
4321
241680
12840
4321
O mesmo exemplo, outra abordagem:
12723
8765
4321
241680
12840
4321
2)(
0000
12840
4321
Acar
Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores?
8,7,6,5,4,3,2,1F
Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores?
wzyx
8765
4321
Agora ver quais as condições sobre x, y, z e w para a última linha da matriz em escada ser nula
Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores?
wzyx
8765
4321
wyxzyx 32200
12840
4321
Como saber qual o espaço gerado por um conjunto de vectores?
wzyx
8765
4321
wyxzyx 32200
12840
4321
032
02
wyx
zyx
yxw
yxz
32
2
Como a última linha ficou nula pode-se concluir que é combinação linear das anteriores.(Só não se sabe quais são os coeficientes da combinação linear, para o saber é preciso resolver o sistema como se fez antes)
Os coeficientes da combinação linear de um vector em relação a uma base chamam-se coordenadas do vector