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ALGEBRA LINEAL.
1º GRADO DE ECONOMÍA
CURSO 2013-2014
Prof. Pedro Ortega Pulido
I. ESPACIOS VECTORIALES
I.1. Vectores. Operaciones con vectores
I.2. Espacio vectorial. Propiedades
I.3. Subespacio vectorial. Operaciones con
subespacios vectoriales
I.4. Sistemas de generadores
I.5. Dependencia e independencia lineal
I.6. Base y dimensión de un espacio vectorial
(véase resumen teórico cap. 1 libro “Problemas y cuestiones de
álgebra lineal” P. Ortega
I.1. VECTORES. OPERACIONES
VECTORES.
SEGMENTO ORIENTADO
Elementos: módulo, dirección, sentido
Relación de equipolencia: VECTOR LIBRE
Componentes de un vector.
VECTOR COMO ESTRUCTURA DE DATOS
I. VECTORES. OPERACIONES
OBSERVACIONES.
Vector nulo: único vector con todas su
componentes nulas
Dos vectores son iguales si tienen mismo
módulo dirección y sentido
Dos vectores son iguales si tienen las mismas
componentes
I. VECTORES. OPERACIONES
SUMA
),...,(u
suma vector el define se ),...,(vy ),...,(u vectoreslos Dados
11
11
nn
nn
vuvuv
vvuu
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA EN EL PLANO
u
v
vu v
I. VECTORES. OPERACIONES
DIFERENCIA
),...,(u
diferencia vector el define se ),...,(vy ),...,(u vectoreslos Dados
11
11
nn
nn
vuvuv
vvuu
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA EN EL PLANO
u
v
v
vu
I. VECTORES. OPERACIONES
PRODUCTO POR UN ESCALAR
),...,(uk
escalarpor producto el define se real númeroun k y ),...,(u vector el Dado
1
1
n
n
kuku
uu
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA EN EL PLANO
u)0( kuk)0( kuk
I. VECTORES. OPERACIONES
OBSERVACIONES
contrario sentido pero que móduloy dirección misma la Tiene
u de OPUESTO llama le se vector esteA . entonces -1a Si a)
u
uua
unitario es a
1 vector el entonces u 1 de distinto modulo tiene un vector Si
1 si unitario es que diremos u cualquieraun vector Dado b)
uau
u
nn vuvuvu
vuvuv
...
),(̂cosu
ESCALAR PRODUCTO c)
110u 90º de ánguloun forman
sortogonaleson vectoresDos
v
I. VECTORES Y OPERACIONES
EJERCICIOS.
1 2 3
1 2 3
1) Dados los vectores u (2,3,1) y w (1, 2, 2). Calcular:
a) 2u 5 ) ) 5v 3 si
v 2 5 3 ) )
2) ¿Qué ángulo forman los vectores (-4,-2),(2,1) y (1,3,2), (5,
w b u w c v v
u w v w u w v w u d u e w
1 2 3
4
1 2 3 1 2 3
1,-4)
3) Dados los vectores a (2,5,1,3) (10,1,5,10) y a (4,1, 1,1) hallar el vector
x para el que se verifica:
a) 3(a ) 2( ) 5( ) ) 3 4 2 0
a
R
x a x a x b a a a x
EJ. RESUELTOS: “Problemas y cuestiones
de álgebra lineal”, P.Ortega
ejercicios 1-6, págs 22-25
I.2. ESPACIO VECTORIAL
Estructura algebraica determinada por
Un conjunto de elementos:
V : es el conjunto de vectores
Operación SUMA DE VECTORES:
+: suma de vectores con 4 propiedades
Operación PRODUCTO ESCALAR DE
VECTORES: .K: con 4 propiedades
I.2. ESPACIO VECTORIAL
PROPIEDADES DE LA SUMA DE
VECTORES:
0)(u :(opuesto) u- existe u :OPUESTO ELEMENTO )4
00u : u que tal0 un vector existe :NEUTRO ELEMENTO )3
u verificase , :ACONMUTATIV PROPIEDAD 2)
)()u( verificase ,, :ASOCIATIVA PROPIEDAD 1)
u
u
uvvvu
wvuwvwvu
I.2. ESPACIO VECTORIAL
PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR
ESCALAR:
u
u
uvvvu
vuuu
u1 que K tal1 Existe
: UNIDADELEMENTO )4
)()u( : verificaseK , V,u
:ATIVASEUDOASOCI )3
)u( verificaseK y V ,
:VECTORES DESUMA LA DE RESPECTOVA DISTRIBUTI PROPIEDAD 2)
)( verificaseK ,y V
:SUMALA DE RESPECTOVA DISTRIBUTI PROPIEDAD 1)
I.2. ESPACIO VECTORIAL
Se dice que (V,+,.K) es un espacio vectorial
V: conjunto de vectores
K: conjunto de escalares
),,(...),,( ),,(
:
32 RRRRRR
Ejemplos
n
I.2. ESPACIO VECTORIAL
Propiedades
0
00vy ;v Si )5
v de opuesto el es )1(v Si 4)
00v Si 3)
00escalar un y V de neutro elemento es 0 Si 2)
uan verific,,u Si 1)
v
oKV
vvV
vV
vuwvwVwv
I.2. ESPACIO VECTORIAL
Ejemplos de espacios vectoriales:
1) El conjunto de los polinomios con coeficientes reales
de grado menor o igual que 4
2) El conjunto de las funciones continuas con la suma de
función y el producto de una constante por una función
es un espacio vectorial
3) El conjunto de los polinomios de grado 4, no es un
espacio vectorial
I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES
¿TODO SUBCONJUNTO DE UN ESPACIO
VECTORIAL TIENE ESTRUCTURA DE ESPACIO
VECTORIAL?
NO: EJEMPLO: POLINOMIOS GRADO 4 Y
POLINOMIOS DE GRADO MENOR O IGUAL QUE 4.
NECESITAMOS DEFINIR AQUELLOS
SUBCONJUNTOS DE UN ESPACIO VECTORIAL QUE
SIGUEN TENIENDO ESTRUCTURA DE ESPACIO
VECTORIAL: SUBESPACIOS VECTORIALES
I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES
DEFINICIÓN: SUBESPACIO VECTORIAL
Wa pertenece
W deun vector por cualquieraescalar un de producto El 2)
Wdeun vector es W de vectoresde suma La 1)
:cumplen se si V de vectorialsubespacioun es W que Diremos
suyo. osubconjuntun W seay vectorialespacioun ,.K)(V, Sea
CARACTERIZACIÓN DE SUBESPACIOS VECTORIALES
WvuWWv
,,,u
W de vectorialsubespacioun es W que Diremos
V.y W , vectorialespacioun ,.K)(V, Sea
I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES
EJEMPLOS.
22
5
22
4
44
3
33
2
33
1
R de }1/),{( W)5
R de }00/),{(W)4
R de }1/),,,{( W)3
R de }/),,{( W)2
R de }0/Rz)y,{(x, W1)
señalados es vectorialespacios los de
es vectorialssubespacio no oson ossubconjunt siguientes los siIndicar
yxRyx
yoxRyx
xRtzyx
zxRzyx
z
EJ. RESUELTOS:
“Problemas y cuestiones
de álgebra lineal”, P.
Ortega
Ejercicios 8,9, pág. 27-30
I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES
OBSERVACIONES1) Para que un subconjunto de V sea subespacio vectorial debe contener al vector
nulo.
2) Todo espacio vectorial tiene dos subconjuntos que por si mismos son un
subespacio vectorial
a) El propio espacio V
b) El subconjunto formado únicamente por el elemento neutro.
3) ¿Cómo SON LOS SUBESPACIOS VECTORIALES del plano? ¿y del espacio?
334
443
332
331
R de }0/),,{(W)4
R de }1/),,,{( W)3
R de }3/),,{( W)2
R de }3/Rz)y,{(x, W1)
indicados es vectorialespacios los de es vectorialssubespacio
son ossubconjunt siguientes los si Determinar :EJERCICIOS
zyxRzyx
yxRtzyx
zxRzyx
x
I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES
INTERSECCIÓN:
)(DEMOSTRAR
V de vectorialsubespacioun es
V de es vectorialssubespacio dos deón intersecci La :
}y /{
V de es vectorialssubespacio dos y W Sean W:
2121
21
PROPIEDAD
WuWuVuWW
Definición
?¿W }0/),,{(
}0/),,{( :Ejemplo
ÓN?INTERSECCILA CONSTRUYE SE ¿COMO
213
2
31
WyxRzyxW
zRzyxW
OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS VECTORIALES
I.3. SUBESPACIOS VECTORIALESUNIÓN:
GRÁFICO) (EJEMPLO
V de vectorialsubespacioun es no
V de es vectorialssubespacio dos deunión La :
} o /{
V de es vectorialssubespacio dos y W Sean W:
2121
21
PROPIEDAD
WuWuVuWW
Definición
I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES
UNIÓN:
}0/),,{(
}0/),,{(W
vectorialsubespacioun es no siguientes
es vectorialssubespacio los deunión la queComprobar :Ejercicio
32
31
yxRzyxW
zRzyx
COMO LA UNIÓN DE SUBESPACIOS VECTORIALES NO ES UN
SUBESPACIO VECTORIAL, NECESITAMOS CONSTRUIR UNA
OPERACIÓN ENTRE SUBESPACIOS “SIMILAR” A LA UNIÓN PERO
QUE SÍ CONSTRUYA SUBESPACIOS VECTORIALES
SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES
SUMA DE SUBESPACIOS
}, donde /{
:como ssubespacio de suma la
define se V, de es vectorialssubespacio dos ,Sean
22112121
21
WvWvvvuVuWW
WW
},...,1 donde .../{...
suma la define se
V de es vectorialssubespacioson ,...,, si general,En
2121
21
kiWvvvvuVuWWW
WWW
iikn
k
IÓN)(DEMOSTRAC V de vectorialsubespacioun es
V de es vectorialssubespaciok de suma la general,En
V de vectorialssubespacioun es V de es vectorialssubespacio dos de suma La
:PROPIEDAD
I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES
SUMA DE SUBESPACIOS
1W
2W
221 RWW
1v2v
21 vv
)(plano1 XYW
I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES
SUMA DE SUBESPACIOS
X
Y
Z
YW EJE2
121 WWW
I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES
SUMA DE SUBESPACIOS
?¿ 21 WW X
Y
Z
X eje1 W
Y eje2 W
XY plano21 WW
I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES
SUMA DE SUBESPACIOS
?¿ 21 WW X
Y
Z
X eje1 W
Zeje2 W
XZ plano21 WW
I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES
SUMA DE SUBESPACIOS
?¿ 21 WW X
Y
Z
Y eje1 W
Zeje2 W
YZ plano21 WW
I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES
SUMA DIRECTA SUBESPACIOS
WWW
WWWWW
WW
21
2121
21
que diremos Entonces
y }0{
que taleses vectorialssubespacio dos ,Sean
directa suma laconstruir podemos No caso esteEn
;
}0/),,{(}0/),,{( )2
)}0,0,0{(;
}0/),,{(}0/),,{( W1)
:Ejemplo
221121
31
32121
321
21
WWWWWW
zxzyxWzzyxW
RWWWWRWW
yxzyxWzzyx
I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES
SUMA DIRECTA SUBESPACIOS
RIOS.SUPLEMENTAson y W ssubespacio los
que decimos entonces Si :nObservació
21
21
W
VWW
rios.suplementason no caso esteEn
)}0,0,0{(;
)}(0/),,{(
)}(0/),,{( )2
rios.suplementason y caso esteEn
)}0,0,0{(;
}0/),,{(}0/),,{( W1)
:Ejemplo
4343
4
3
21
32121
321
21
WWYZplanoWW
YejezxzyxW
ZejeyxzyxW
WW
RWWWWRWW
yxzyxWzzyxEJERCICIOS: Libro:
Problemas y
cuestiones de
álgebra lineal”
P.Ortega
Ejercicios 10 al 13,
págs. 30-33
I.4. SISTEMAS DE GENERADORES
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
kkk
k
n
uuuR
uu
R
...u que tales,...,,
reales númerosexisten si ,...,,u vectores
los de linealn combinació es u vector el que Diremos
221121
21
(1,1,0)}(0,1,1),{(1,0,1), c)
(-1,1,2)}{(2,-2,0), b)
(0,0,1)}{(1,1,2), a)
vectores?los de linealn combinació ¿es (1,-1,4) vector El
:Ejemplo
EJ. RESUELTOS: Libro “Problemas y
cuestiones de álgebra lineal”, P.Ortega
Ejercicios 14 y 15 pág. 33-34
I.4. SISTEMAS DE GENERADORES
SISTEMA DE GENERADORES
)(
R de VECTORIAL SUBESPACIOun esy
,...,,upor denotamos lo vectores
dichoscon obtener pueden se que lineales nescombinacio las
todasde conjunto El .R de vectores,...,,uSean
n
21
n21
ÓNDEMOSTRACI
uuL
uu
k
k
k
k
uL
u
,...,uW W de
SGENERADORE DESISTEMA un es ,...,u vectoresde
conjunto el que Diremos .R de vectorialsubespacioun W Sea
VECTORIAL SUB. UNDE SGENERADORE DESISTEMA
1
1
n
I.4. SISTEMAS DE GENERADORES
ECUACIONES QUE DEFINEN UN SUB. VECTORIAL
(2,-2,0)}{(-2,1,1), b)
(1,-1,0)}{(1,0,-1), a)
vectoreslospor generado vectorialsubespacio elCalcular 1)
Ejemplos.
scartesiana Ecuaciones
asparamétric Ecuaciones
vectorialEcuaciones
VECTORIAL SUB. UNDE ECUACIONES
EJ. RESUELTOS: Libro “Problemas y
cuestiones de álgebra lineal”, P. Ortega
Ejercicios 16,17,18, págs, 35-42
I.4. SISTEMAS DE GENERADORES
OBTENCIÓN DE SISTEMAS DE GENERADORES
3
4
4
3
Rgeneran
(0,0,1)}(-1,1,2),{(1,-1,2), vectoreslos siEstudiar )2
}0,2,/),,,{(C
}0,0/),,,{(B
}0/),,{(A
es vectorialssubespacio lo de S.G.un Encontrar 1)
Ejemplos.
yxtzyxRtzyx
tzyxRtzyx
zyxRzyx
asparamétric a scartesiana ecuaciones dePasar
VECTORIAL SUB. UNDE ECUACIONES
I.4. SISTEMAS DE GENERADORES
OBSERVACIONES
}0/Rz)y,{(x, W:EJEMPLO
sgeneradore de sistemas infinitos tiene vectorialsub.un decir, es
única, forma de generado está no vectorialsubespacio Un )1
3 zyx
}0/Rz)y,{(x, W:EJEMPLO
Wde sgeneradore de sistemaun es G
que talG W de vectoresde conjuntocualquier
entonces W,de sgeneradore de sistemaun es G Si )2
3
21
2
1
x
G
I.4. SISTEMAS DE GENERADORES
OBSERVACIONES
mínimo? s.g. el será ¿cual b) W Calcula a)
Wde S.G.un es (0,1,0)}(2,3,0),(1,1,0),{(1,2,0),G
:EJEMPLO
? vectorialsubespacio
mismo el genere que vectoresde mínimo númeroun por
formado sgeneradore de sistemaun obtener ¿podremos
vectorialsubespacio
un para sgeneradore de sistemas infinitosExisten
I.4. SISTEMAS DE GENERADORES
CÁLCULO DEL SUBESPACIO SUMA
?Wcalcular puede ¿se c)
Wde sgeneradore sist.y scartesiana Ecuaciones b)
W Wde sgeneradore sist.y scartesiana Ecuaciones a)
:Calcula
}0223,0/),,{(
}0/),,{(W
}{}{};{ WSi
21
21
21
32
31
21212211
W
W
zyxzyRzyxW
xRzyx
EJEMPLO
GGLWWGLWGL
EJ. RESUELTOS: Libro de referencia [1]
Ej. 19 pág- 42 ; ej. 20, pág. 44
I.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
CONCEPTO
lineal. ciaindependen e adependenci de concepto el
osintroducim mínimos sgeneradore de sistemasobtener Para
restantes. los de lineal
n combinació comoexpresar puede se toreningún vec si (L.I.)
nteindependie elinealment conjuntoun es ,...,,u b)
restantes. los de linealn combinació como
expresar puede se vectoreslos de uno menos al si (L.D.)
edependient elinealment conjuntoun es ,...,,u a)
:que diremos ,...,,uSean :Definición
21
21
21
k
k
nk
uu
uu
Ruu
I.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
CONCEPTO
(1,0)}{(-1,1), b)
(4,0,1)}(0,1,1),(1,0,0),{(3,-1,0), a)
LD o LIson vectoresde conjuntos siguientes los si Determinar Ejemplo.
kkk
kk
k
k
uuu
uuu
R
uu
ACIÓNCARACTERIZ
...0... cumple se si
NTEINDEPENDIE ELINEALMENT Es b)
0...
que talesnulos todosno ,...,,existen
EDEPENDIENT ELINEALMENT Es a)
R de },...,,u{ conjuntoUn
212211
2211
21
n21
Ejemplo: probar mediante la
caracterización que los conjuntos
anteriores son LI o LD
I.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
PROPIEDADES
vez.la a ambas no LI o LD es vectoresde conjunto Un 1)
)(Demostrar L.D. es
nulo vector al contenga que vectoresde conjuntoCualquier 2)
)(Demostrar L.I. siempreson nulo no
vectorúnicoun por formados vectoresde conjuntos Los 3)
LI (1,0,0)}(1,1,0),{(1,1,1), Ejemplo
L.I. es suyo osubconjunt
cualquier entonces LI es M vectoresde conjuntoun Si 4)
EJ. RESUELTOS: Libro
referencia [1], ejercicios 22 y
23 , 24, pág. 46-49
I.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
EJEMPLOS
LD? o LI es
iguales vectoresdos contenga que vectoresde conjunto¿Un 1)
?conclusión algunaextraer ¿podemos
L.D. o L.I.son siestudiar y
subespacio del sgeneradore de sistemas ariosObtener v
}0/Rz)y,{(x,W
vectorialsubespacio el Dado
EJEMPLO
3 z
ales?proporcion
vectoresdoscontener ¿puede L.I vectoresde conjunto Un 2)
I.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
PROPOSICIÓN
Wgenere queG de vectoresde
osubconjuntningún existe no L.I. conjuntoun esG Si 2)
Wa genera también queG de vectoresde osubconjuntun
menos al existe entonces L.D. conjuntoun esG Si 1)
Entonces W. vectorialsubespacio
un de sgeneradore de sistemaun },...,u{G Sea 1 ku
)}3,2,1{(
)}3,3,2(),3,2,1{(
)}0,1,1(),3,2,1{(
)}3,3,2(),0,1,1(),3,2,1{(
:generan que subespacio el Determinar
4
3
2
1
G
G
G
G
Ejemplo
EJ. RESUELTOS: Libro [1]
Ejercicios 26 y 27 pág. 51-54
I.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
RANGO DE UN CONJUNTO DE VECTORES
W? vectorialsubespacio el
generar para sgeneradore de sistemaun der selecciona
podemos que vectoresde mínimo número el será ¿Cuál
(3,3)}(2,3),(1,0),{(1,3), c)
(6,0,6)}(0,-3,6),(1,-1,3),{(2,1,0), b)
(1,1,0)}(0,1,0),{(1,0,0), a)
:de rango elalcular CEjemplo
.._.º,...,urg :L.I.
vectoresde máximo número al conjunto ese de RANGO el define se
vectorialespacioun de vectoresde conjuntoun Dado
Rango. :DEFINICIÓN
1 ilvectoresmáxnuk
EJ. RESUELTOS, Libro
referencia [1].
Ejercicio 25, pág. 49,50
Y ejercicio 28, pág. 55
I.6. BASE Y DIMENSIÓN
BASE
L.I. conjuntoun es B 2)
Wde sgeneradore de sistemaun es B 1)
vectorialespacio del base una es B que Diremos W.vectorial
subespacio del vectoresde osubconjuntun },...,{B Sea
:es vectorialssubespacio para modo mismo Del
L.I. conjuntoun es B 2)
V de sgeneradore de sistemaun es B 1)
vectorialespacio del base una es B que Diremos V. vectorial
espacio del vectoresde osubconjuntun },...,{B Sea
1
1
k
k
uu
uu
I.6. BASE Y DIMENSIÓN
BASE
0}2y-/xRz)y,{(x,W
vectorialsubespacio del distintas base esObtener tr 4)
0}z-y/xRz)y,{(x, Wb)
0}2y-/xRy){(x, Wa)
es vectorialssubespacio los de base unaObtener 3)
R vectorialespacio del base unaObtener 2)
R vectorialespacio del base unaObtener 1) :Ejemplos
3
32
21
2
3
vectorialespacio del DIMENSIÓN denomina le se
número dicho a vectoresde número mismo el tienen vectorial
o)(subespaci espacioun de bases las Todas:TEOREMA
I.6. BASE Y DIMENSIÓN
BASE
?encuentras sdiferencia ¿qué
anteriores
sgeneradore de sistemas dos los de linealn combinació
como expresarle intenta e )3,2,3(u ejemplopor
subespacio del cualquieraun vector Considera b)
(base) LI otro ely LD ellos de uno
}0/Rz)y,{(x, W vectorialsubespacio
del sgeneradore de sistemas dos Construye a)
:Ejemplo
3
zx
EJ. RESUELTOS: Libro [1]
Ejercicio 29, pág. 56-58
I.6. BASE Y DIMENSIÓN
COORDENADAS
Wde u cualquier r representa permite que base la de
vectoreslos de linealn combinació UNA ÚNICAexiste
entonces W vectorialsub.un de base una esG Si )2
ur representapermiten que lineales
nescombinacio infinitasexisten ,subespacio dicho deun vector uy
vectorialsubespacioun de sgeneradore de sistemaun esG Si 1)
:esconclusion dos obtenemosanterior ejemplo Del
Bk
kkk
k
xxx
uxuxuxxxx
uu
W
),...,,(u B base la de respecto u de
SCOORDENADA denomina les se valoresdichosA
...u que tales,...,, únicos
reales aloresexisten v entonces W;de base una },...,,u{B seay
V, de vectorialsubespacio u Sea :sCoordenada .DEFINICIÓN
21
221121
21
I.6. BASE Y DIMENSIÓN
base. dicha de respecto (1,-1,1,0) vector del scoordenada lasObtener c)
Wdedimensión lacalcular b)
Wde base unaObtener a)
}0,0/Rt)z,y,{(x, W vectorialsubespacio el Dado 3)
.anteriores bases
las de respecto (3,2,-1) vector del scoordenada lasCalcular 2)
)}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(B c)
)}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(B b)
)}0,1,1(),1,0,0(),3,2,1{(B a)
R de basesson vectoresde conjuntos siguientes los siComprobar )1
:
4
3
2
1
3
tyx
EJEMPLOS
EJ. RESUELTOS: Libro [1]
Ejercicio 30,31, págs. 58-62
I.6. BASE Y DIMENSIÓN
BASES: OBSERVACIONES
)}1,0,....,0,0(),...,0,...,0,1,0(),0,....,0,1{(:
)}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(:)}1,0(),0,1{(:R CANÓNICAS. BASES 1) 32
nR
R
nRRR n )dim(;....;3)dim(;2)dim(
SVECTORIALE ESPACIOS LOS DE SDIMENSIONE 2)
32
(0,1,2)}(0,0,1),{(1,1,0),B' (0,0,1)}(0,1,0),{(1,0,0),B
:bases las de respecto scoordenada susCalcular
R de vector (1,1,3) Sea :Ejemplo
SCOMPONENTE Y SCOORDENADA ENTRE DIFERENCIA )3
3
CANÓNICA BASE la es referencia de base la si únicamente
scomponente suscon coinciden un vector de scoordenada Las 4)
I.6. BASE Y DIMENSIÓN
BASES: OBSERVACIONES
ndim(W) entonces
Vy Wn dimensión de vectorialespacioun es V Si )5
Wde base unaen scomponente-rtendrán
vectoresdichos entonces r, es W dedimensión la si Pero
scomponente-nn tienen dimensión de vectorialespacioun
en incluido W vectorialsubespacioun de vectoresLos 6)
sredundante no ecuaciones nº-dim(V)r-ndim(W)
ndim(V)con V de vectorialsubespacioun esy W
sredundante no scartesiana ecuaciones-rpor definido está W Si 7)
I.6. BASE Y DIMENSIÓN
BASES Y DIMENSIÓN EJEMPLOS
Wa riosuplementa subespacioun Obtener c)
R a W de base laProlongar b)
dimensiónsu y W de base unaObtener a)
}0/Rz)y,{(x, WSea 3)
Wde scartesiana ecuaciones lasObtener b)
Wdedimensión lay base unaObtener a)
},/Rb)-b,2ab,a{(a, WSea 2)
base dichaen (1,1,1) vector del scoordenada laCalcular b)
Wdedimensión lay base unaObtener a)
}02/Rz)y,{(x, WSea 1)
EJEMPLOS.
3
3
4
3
zx
Rba
zyx
I.6. BASE Y DIMENSIÓN
BASES Y DIMENSIÓN EJEMPLOS
)}2,0,0(),0,1,2(),0,2,1{(
)},0,(),0,1,0(),,0,{(
)}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{()}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(
R de esortonormaly sortogonale basesson siguientes las siComprobar
unitariosson vectoressus y todos
ortogonal base una es si ortonormal es base una que Decimos
dos. a dos laresperpendicuson
vectoressus todossi ortogonal es base una que Decimos )4EJEMPLOS.
4
2
1
2
1
2
1
2
13
21
3
B
B
BB
EJ. RESUELTO: Libro [1]
Ej. 36 pág. 69
I.6. BASE Y DIMENSIÓN
DIMENSIÓN DEL SUBESPACIO SUMA
)dim()dim()dim(
)dim()dim()dim()dim(W
que verificase
R de es vectorialssubespacio dosson , WSi
2121
212121
n21
WWWW
WWWWW
W
suma la dedimensión la de fórmula la verificase que Comprueba d)
Wdedimensión lay base una Calcula c)
Wdedimensión lay base una Calcula b)
ssubespacio dichos dedimensión lay base una Calcula a)
}0/),,,{(
}0,0/),,,{(W
EJEMPLO
21
21
42
41
W
W
zyRtzyxW
tyxRtzyx
EJ. RESUELTOS. Libro [1]
Ejercicio 32, 33, 34,
Págs. 63-67