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26/11,2-3/12 2009 :
Aerodinamica & GasdinamicaA.A. 2009-2010
Flussi comprimibili
Prof. Renato Ricciricci@univpm.it
Ing. Pierpaolo Garofalo
p.garofalo@univpm.it
Dipartimento di EnergeticaUniversita Politecnica delle Marche
26 novembre 2-3 dicembre 2009
Ricci-Garofalo Aerodinamica & Gasdinamica,A.A. 2009-2010,Flussi comprimibili p. 1/114
26/11,2-3/12 2009 :
Argomenti I
Flussi comprimibiliIntroduzioneComportamento comprimibile dei fluidi
Richiami di termodinamicaEquazione di stato dei gas perfettiEnergia interna ed entalpiaPrimo principio della termodinamicaEntropia e secondo principio della termodinamicaComprimibilitaEquazioni dei fluidi inviscidi comprimibiliGrandezze totali o di arrestoLe onde d’urto
Flussi comprimibili confinatiFlussi quasi unidimensionaliAndamento della velocita in convergenti e divergenti
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26/11,2-3/12 2009 :
Argomenti II
Flusso isoentropico in ugelli supersoniciGrandezze starRelazione Mach-AreaComportamento fisico dell’ugelloLa portata di un ugelloEsercizio
DiffusoriGeneralitaDiffusore: caso ideale e caso reale
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26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili: Introduzione
Cenni storici
V Conferenza di Volta
Alte velocita nell’aviazione
Roma 20 settembre 1935
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26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili: Comportamento comprimibile dei fluidi
Comportamento comprimibile dei fluidi
Un fluido assume un comportamento che puo essere ritenutocomprimibile allorche il suo moto rientra in una delle seguenticategorie:
• alto subsonico;
• transonico;
• supersonico;
• ipersonico.
Attenzione!In tali circostanze la densita del fluido non puo essere ritenuta costante!
ρ 6= cost
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica:
Richiami di termodinamica
• Equazione di stato dei gas perfetti
• Energia interna ed entalpia
• Primo principio della termodinamica
• Entropia e secondo principio della termodinamica
• Relazioni isoentropiche
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Equazione di stato dei gas perfetti
Equazione di stato dei gas perfetti
DefinizioneUn gas perfetto e un gas nel quale le forze intermolecolari possono essere
trascurate. Per essi vale l’equazione di stato dei gas perfetti.
p V = nℜT
in cui ℜ = 8314.4 J/(Kmol K) e la costante universale dei gas perfetti.
Per l’aria in condizioni standard m = 28.96kg/kmol e
R = ℜ/m = 287J/(Kg K); V e il volume occupato dalle n moli di gas
alla pressione p e alla temperatura T .
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Equazione di stato per gas reali
In realta per un gas reale risulta:
p V
nℜT6= 1
a causa della presenza di:
1 forze intermolecolari;
2 V 6= 0 quando p → ∞;
3 legge di van der Waals:
(
p +a
v2
)
(v − b) = R T
• a e una costante;• b e il covolume.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Energia interna ed entalpia
Energia interna
L’energia interna di un gas e una misura dell’energia cineticaposseduta dalle molecole che lo costituiscono.L’energia interna di un gas contenuto in un volume di controllosara data dalla somma delle energie possedute da tutte le molecolecostituenti. Se si considera una molecola di gas biatomico, qualead esempio l’ossigeno O2, l’energia cinetica da essa possedutapotra essere vista come la somma dei seguenti contributi:
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Energia interna ed entalpia
Energia interna
1 energia cinetica traslazionale della molecola vista come corporigido;
2 energia cinetica rotazionale della molecola intorno ai tre assicoordinati passanti per il suo baricentro;
3 energia cinetica associata alla vibrazione dei singoli atomicostituenti la molecola;
4 energia elettronica legata alla velocita di rotazione deglielettroni dei singoli atomi intorno ai rispettivi nuclei.
5
e = e1 + e2 + e3 + e4
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Energia interna ed entalpia
Energia vibrazionale di una molecola biatomica
Z
X
Y
Energia
E. cinetica
E. cineticavibrazionale
elettronica
Vtraslazionale
E. cinetica
rotazionale
Figura: Gradi di liberta di una molecola biatomica.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Energia interna ed entalpia
Energia interna e cinetica
Gli effetti della comprimibilita interessano quindi i flussi ad alta velocitadotati di una elevata energia cinetica.Incrementi di energia cinetica determinano decrementi di energia internae viceversa cui corrispondono conseguenti variazioni della temperatura delfluido.
Energia
internacinetica
Energia
Figura: Ciclo energia cinetica ⇔ energia interna.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Energia interna ed entalpia
Energia totale
L’energia totale massica del gas contenuto in un volumetto dv chesi muove con velocita V sara data dalla somma della sua energiainterna (energia vibrazionale) e della sua energia cinetica(traslazionale di corpo rigido, ovvero con le molecole congelate
nella loro posizione all’interno del volumetto).
Etot =
(
e +V 2
2
)
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Entalpia
L’entalpia massica del gas sara data dalla somma:
h = e + p v
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Energia interna ed entalpia
Energia interna ed entalpia funzioni della temperatura
L’energia interna e l’entalpia in un gas perfetto dipendono dallasola grandezza di stato temperatura. In virtu di cio sono essestesse funzioni di stato.
e = cv T
h = cp T
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Energia interna ed entalpia
Calori specifici
Il calore secifico a volume costante cv e a pressione costante cp
possono essere ragionevolmente ritenuti costanti quando latemperatura dell’aria si mantiene al di sotto dei 1000K . I calorispecifici sono legati alla costante R del gas perfetto cui siriferiscono, introducendo il loro rapporto γ = cp/cv :
cp =
(∂q
∂T
)
p
=∂h
∂T=
γ R
γ − 1
cv =
(∂q
∂T
)
v
=∂e
∂T=
R
γ − 1
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Primo principio della termodinamica
Primo principio della termodinamica
Sistema
eδ
δ
qδ
Ambienteesterno
Contorno
chiuso
w
Figura: Sistema chiuso che scambia energia con l’esterno.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Primo principio della termodinamica
Enunciato per sistemi chiusi
Il primo principio della termodinamica (qui espresso nella sua formaper sistemi chiusi) stabilisce che la variazione dell’energia interna diun sistema e data dal bilancio netto tra scambi di energiameccanica e termica che avvengono, attraverso il suo contorno,con l’ambiente esterno.
δq + δw = de
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Enunciato per processi reversibili
Per un sistema che evolva secondo una trasformazione reversibile,l’espressione del lavoro elementare scambiato dal sistema chiusocon l’esterno risulta essere:
δw = −p dv
per cui:
δq − p dv = de
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Primo principio della termodinamica
Trasformazioni notevoli
Nonostante le energie termica e meccanica possano esserescambiate tra sistema ed esterno in infiniti modi diversi, i tipi diprocessi principalmente chiamati in causa nello studio di flussicomprimibili risultano essere:
• adiabatico;
• reversibile;
• isoentropico.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Entropia e secondo principio della termodinamica
Considerazioni
Se il primo principio della termodinamica afferma il bilancioenergetico totale di un sistema, esso non spiega perche letrasformazioni abbiano un verso spontaneo di evoluzione
piuttosto che un altro.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Entropia e secondo principio della termodinamica
Enunciato di Clausius
E impossibile realizzare una macchina con funzionamento ciclico ilcui unico effetto sia il trasferimento di una quantita di calore da un
corpo a bassa temperatura a un altro a temperatura piu alta.
Affinche cio possa accadere la macchina dovra anche ricevereenergia dall’esterno.
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Disuguaglianza di Clausius
Per un ciclo termodinamico chiuso qualunque vale la:
∮δq
T≤ 0
Nel caso di un ciclo reversibile la disuguaglianza di Clausius invecediventa: ∮
δqrev
T= 0
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Entropia e secondo principio della termodinamica
Entropia
e la quantita sotto il segno di integrale diventa un differenzialeesatto della grandezza di stato s entropia:
ds =δqrev
T
In quanto grandezza di stato le sue variazioni dipendonoesclusivamente dagli stati finale ed iniziale di una qualunquetrasformazione che li unisce.
ds =δqrev
T=
δq
T+ dsirr
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Entropia e secondo principio della termodinamica
Calore di irreversibilita
p
v
A
B
Irreve
rsibile
Reversi
bile
Figura: Ciclo chiuso con irreversibilita
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Entropia e secondo principio della termodinamica
Calore di irreversibilita
Dalla disuguaglianza di Clausius discende che:
sB − sA ≥(Irr)
∫ B
A
δq
T
per cui la variazione di entropia dipendera sia dal caloreeffettivamente scambiato δq, sia da quello generato per effetto diirreversibilita dsIrr > 0:
ds =δq
T+ dsIrr
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Entropia e secondo principio della termodinamica
Direzione di evoluzione
ds ≥ δq
Tse tr. adiabatica ⇒ ds ≥ 0
Una trasformazione termodinamica evolve sempre in modo tale chel’entropia del sistema e dell’ambiente esterno aumenti o al limite
rimanga costante.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Entropia e secondo principio della termodinamica
Relazioni
T ds = de + p dv ⇒ s2 − s1 = Cv lnT2
T1+ R ln
v2
v1
T ds = dh − v dp ⇒ s2 − s1 = Cp lnT2
T1− R ln
p2
p1
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Entropia e secondo principio della termodinamica
Relazioni isoentropiche
Un processo isoentropico e un processo reversibile ed adiabatico.L’entropia non varia poiche sono nulli il calore di irreversibilita equello scambiato con l’ambiente esterno.
p2
p1=
(ρ2
ρ1
)γ
=
(T2
T1
) γ
(γ−1)
Le relazioni sopra sono importanti in quanto nella maggior parte deiproblemi i flussi comprimibili possono essere assunti isoentropici.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Comprimibilita
Definizione di comprimibilita
p p+dp
v+dvv
Figura: Definizione di comprimibilita
DefinizioneLa comprimibilita puo essere
definita come la variazione
relativa di volume subita da un
elemento di fluido per effetto di
una variazione unitaria di
pressione.
τ = −1
v
(∂v
∂p
)
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Comprimibilita
Comprimibilita isoterma e isoentropica
La comprimibilita assume valori diversi secondo il tipo di compressioneesercitata:
• se la compressione e isoterma:
τT = − 1
v
(∂v
∂p
)
T
• se la compressione e isoentropica:
τs = − 1
v
(∂v
∂p
)
s
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Comprimibilita
Comportamento incomprimibile
Chiaramente un gas e un fluido comprimibile (τ non trascurabile),tuttavia, esprimendo la variazione subita dalla densita in termini dicomprimibilita e variazione di pressione:
dρ = ρ τ dp
si vede subito come, a causa delle variazioni di velocita subite dalfluido, per esempio dall’infinito al punto di arresto, le variazioni dipressione nei flussi a bassa velocita possano entro certi limitiessere ritenute ininfluenti sulla variazione di densita.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Equazioni dei fluidi inviscidi comprimibili
Equazioni dei fluidi inviscidi comprimibili
1 Equazione di continuita;
2 Equazione di conservazione della quantita di moto;
3 Equazione dell’energia;
4 Equazione di stato dei gas perfetti.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Equazioni dei fluidi inviscidi comprimibili
Equazione di continuita e della quantita di moto
∂ρ
∂t= ∇ · (ρV)
∂ρV
∂t+ ∇ (ρV ⊗ V) = −∇p + ρ f
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Equazioni dei fluidi inviscidi comprimibili
Equazione dell’energia e di stato dei gas perfetti
ρd
(
e + V 2
2
)
dt= ρq −∇ · (p V) + ρ (f V) + Qvisc + Wvisc
p = ρ R T
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Grandezze totali o di arresto
Grandezze totali o di arresto
Definizione
Le grandezze totali o di arresto di un fluido sono quelle grandezze
fisiche del fluido che viene arrestato adiabaticamente.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Grandezze totali o di arresto
Trasformazione adiabatica
L’equazione dell’energia, prima espressa in forma Lagrangiana nonconservativa, puo essere riscritta facendo comparire l’entalpiamassica:
ρd
(
h + V 2
2
)
dt= ρq +
∂p
∂t+ ρ (f V) + Qvisc + Wvisc
mostra come in una particella fluida, non necessariamenteinviscida, in moto permanente, adiabatico e senza scambiare lavoroattraverso il suo contorno, rimanga costante la quantita h + V 2/2.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Grandezze totali o di arresto
Trasformazione adiabatica
ρd
(
h + V 2
2
)
dt= 0 ⇒ h +
(V 2
2
)
= cost
In condizioni di moto permanente cio varra anche lungo ciascunalinea di corrente del campo di moto.In particolare, se tutte le linee di corrente appartengono ad ununico campo uniforme, h + V 2/2 avra lo stesso valore in tutto ilcampo di moto.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Grandezze totali o di arresto
Entalpia di arresto
L’entalpia totale e quella del fluido arrestato adiabaticamente. Daquanto detto in precedenza:
h +V 2
2= h0
ed il particolare:
L’entalpia di arresto h0 e la stessa in ogni punto di un campo dimoto permanente adiabatico e pari a quella della correnteindisturbata.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Grandezze totali o di arresto
Temperatura di arresto
Sostituendo nella relazione precedente:
• h0 = Cp T0 per gas perfetto
• a =√
γRT la velocita del suono
• Cp = γRγ−1
• Si ottiene:
T0 = T
(
1 +γ − 1
2M2
)
con M numero di Mach
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Grandezze totali o di arresto
Flussi adiabatici ed isoentropici
Se l’entalpia e la temperatura di arresto si mantengono costanti incampi di moto sia adiabatici che isoentropici permanenti,altrettanto non puo dirsi per la pressione di arresto.
La pressione di arresto rimane invariata all’interno del campo dimoto permanente solo se il flusso e isoentropico.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Grandezze totali o di arresto
Flussi adiabatici ed isoentropici
T
s
Po
To
T
P
P<Po
Figura: Pressione di arresto in flussi adiabatici
T ds = δQIrr
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Grandezze totali o di arresto
Pressione di arresto
La pressione di arresto e la pressione del fluido arrestatoisoentropicamente
P0 = P
(
1 +γ − 1
2M2
) γ
γ−1
ricorrendo alle relazioni isoentropiche e immediato ricavare anchela densita di arresto:
ρ0 = ρ
(
1 +γ − 1
2M2
) 1γ−1
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Grandezze totali o di arresto
Pressione di arresto
1
2
T0,1h0,1
T0,2h0,2
ho,1=ho,2To,1=To,2
Flusso Adiabatico
Figura: Flusso adiabatico
1
2
T0,1h0,1
T0,2h0,2
ho,1=ho,2To,1=To,2
Flusso Isoentropico
Po,1=Po,2Po,1
Po,2
Figura: Flusso isoentropico
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Le onde d’urto
La velocita del suono
Rappresenta la velocita con cui si propagano le piccoleperturbazioni in seno ad un fluido.
La propagazione avviene per effetto delle collisioni delle molecoledisturbate su quelle adiacenti trasferendo parte della loro energia inuna specie di effetto domino. Questo processo genera delle piccoleperturbazioni infinitesime dp dT dρ, che si propagano alla velocitadetta appunto del suono.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Le onde d’urto
La velocita del suono
E logico aspettarsi che la velocita del suono sia paragonabile aquella delle molecole che collidono all’interno del gas che, comesuggerito dalla teoria cinetica, vale:
√
8 R T
π
In effetti la velocita del suono e circa tre quarti di quella mediamolecolare, ma comunque rimane il fatto che:
la velocita del suono di un gas caloricamente perfetto dipende,oltre che dalla sua natura, solo dalla sua temperatura.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Le onde d’urto
Espressione della velocita del suono
21
p+dp
T+dT
ρ+δρ
a a+da
p
T
ρ
Figura: Onda stazionaria
Se si fissa il riferimento sull’onda dipressione in movimento alla velocitadel suono a, considerando che:
• il carattere infinitesimale dellaperturbazione permette ditrascurare i fenomeni diconduzione termica e viscosi;
• non avvengono scambi dilavoro ne di calore;
• il flusso che la attraversasubisce una trasformazioneisoentropica
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Le onde d’urto
Espressione della velocita del suono
Dall’equazione di continuita e dalla conservazione della quantita dimoto si ottiene l’espressione della velocita del suono:
ρa = (ρ + dρ)(a + da)p + ρa2 = (p + dp) + (ρ + dρ)(a + da)2
}
⇒ a =
√
∂p
∂ρ
tenendo inoltre in conto la isoentropicita del fenomeno:
a =
√(
∂p
∂ρ
)
s
⇒ a =√
γRT
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Le onde d’urto
Il numero di Mach
Il numero di Mach e espresso come rapporto tra la velocita delfluido e la velocita del suono.
M =V
a
Esso confronta fisicamente l’energia cinetica ordinata dellemolecole del fluido con l’energia cinetica disordinata di vibrazionetermica.
V 2
2
e=
V 2
2
CvT⇒=
γ(γ − 1)
2M2
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Le onde d’urto
Flussi incomprimibili: quando?
ρ/ρο
ρ/ρο
0.32
0.95
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Variazione isoentropica della densita’ col Mach
0.95
M
Figura: Limite accettabile di incomprimibilita
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Le onde d’urto
Le onde d’urto
Parte essenziale dei flussi supersonici e il calcolo della forma edell’intensita delle onde d’urto.
Un onda d’urto puo essere vista come una regione del campo dimoto supersonico estremamente sottile (dell’ordine di 10−5mm),attraverso la quale le proprieta del flusso cambianorepentinamente. In essa avviene un processo irreversibile,adiabatico, quasi esplosivo di compressione del fluido, tale da farsubire alla pressione un incremento praticamente discontinuo.
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Le onde d’urto
Onde oblique ed onde frontali
M1 V1
ho1
To1 T1
Po1 P1
s1
s2>s1
Po2<Po1 P2>P1
To2=To1 T2>T1
ho2=ho1
M2<M1 V2<V11
2
Figura: Onda d’urto obliqua
M1 V1
ho1
To1 T1
Po1 P1
s1
21
s2>s1
Po2<Po1 P2>P1
To2=To1 T2>T1
M2<1 V2<V1
ho2=ho1
Figura: Onda d’urto retta
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26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Le onde d’urto
Onde oblique ed onde frontali
Un flusso supersonico risulta:
• ancora supersonico, seppur caratterizzato da un numero diMach inferiore, a valle di un’onda d’urto obliqua (a meno chequesta non sia di particolare intensita);
• subsonico a valle di un’onda d’urto retta.
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26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati:
Introduzione
Verranno di seguito trattati i flussi comprimibili confinati, la cuiconoscienza e fondamentale per la progettazione di gallerie delvento ad alta velocita, motori a razzo, turboreattori, ecc.
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26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati:
Argomenti
Equazioni per flussiquasi unidimensionali
Flussi in ugelli Flussi in diffusori
Gallerie supersoniche
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26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati: Flussi quasi unidimensionali
Flussi quasi unidimensionali
Flusso quasi unidimensionale
Flusso unidimensionale
T=T(x)u=u(x)
A=A(x)
ρ=ρ( )x
p=p(x)
Figura: Flusso uni e quasi uni dimensionale.
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26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati: Flussi quasi unidimensionali
Flussi quasi unidimensionali
Si puo sfruttare l’ipotesi di flusso quasi unidimensionale quando levariazioni dell’area trasversale del tubo di flusso considerato sonomodeste. In tal caso le grandezze in gioco possono essere ritenutefunzioni di una sola variabile, es. x .
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26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati: Flussi quasi unidimensionali
Equazioni del moto quasi unidimensionale
1
dS
2
Superficie di controllo
Volume di controllo
T2A2
u2ρ2
p2
ρ1u1p1T1A1
Figura: Volume di controllo quasi unidimensionale.
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26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati: Flussi quasi unidimensionali
Equazione di continuita e della quantita di moto
L’equazione di conservazione della massa:
ρ1A1u1 = ρ2A2u2 ⇒ d(ρAu) = 0
L’equazione di conservazione della quantita di moto:
{
S
(ρVdS)V = −{
S
p dSsecondo x=⇒
{
S
(ρVdS) u = −{
S
p dS ı
e considerando le superfici A1, A2, AL costituenti la superficie dicontrollo:
ρ2A2u22 − ρ1A1u
21 = −p2A2 + p1A1 −
{
S
p dS ı ⇒ dp = −(ρu)du
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26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati: Flussi quasi unidimensionali
Equazione dell’energia
L’equazione dell’energia risulta:
{
S
ρ
(
e +V 2
2
)
VdS = −{
S
pVdS
[
−ρ1u1A1
(
e1 +V 2
1
2
)]
+
+
[
ρ2u2A2
(
e2 +V 2
2
2
)]
= − [−p1u1A1 + p2u2A2]
che opportunamente riorganizzata puo essere scritta:
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26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati: Flussi quasi unidimensionali
Equazione dell’energia ed equazione di stato
p
ρ+ e +
u2
2= cost ⇒ h +
u2
2= cost ⇒ h0 = cost ⇒ dh + u du = 0
L’equazione di stato, per un gas caloricamente perfetto (Cp
indipendente da T ):
p = ρRT
h = Cp T
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Riepilogo delle incognite e delle relazioni
Le incognite che descrivono l’atto di moto permanente, inviscido,isoentropico, comprimibile quasi unidimensionale sono cinque: ρ,T , p, u, h.
Equazione algebrica differenziale
Continuita ρAu = cost d(ρAu) = 0
Quantita di motoˆ
ρiAiu2i + pAi
˜i=2
i=1= −
vS
p dS ı dp + (ρu)du = 0
Energiapρ
+ e + u2
2= cost dh + u du = 0
Stato p = ρRT
Entalpia h = Cp T
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26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati: Andamento della velocita in convergenti e divergenti
Andamento della velocita in convergenti e divergenti
Si possono trarre delle conclusioni illuminanti circa il flusso quasiunidirezionele in condotti convergenti e divergenti cercando diesprimere la variazione di velocita come funzione della variazionedella sezione.
dρ
ρ+
du
u+
dA
A= 0 equazione di continuita
dp
ρ=
dp
dρ
dρ
ρ= −udu equazione della quantita di moto
dp
dρ=
(dp
dρ
)
S
= a2 velocita del suono isoentropica
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26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati: Andamento della velocita in convergenti e divergenti
Andamento della velocita in convergenti e divergenti
Dalle tre equazioni si ottiene la relazione cercata:
dA
A= (M2 − 1)
du
u
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26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati: Andamento della velocita in convergenti e divergenti
Convergenti e divergenti supersonici
Le condizione di flusso sono essenzialmente quattro:
M < 1 M > 1
Convergente dAA
< 0 duu
> 0 dAA
< 0 duu
< 0
Divergente dAA
> 0 duu
< 0 dAA
> 0 duu
> 0
Tabella: Condizioni di flusso possibili
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26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati: Andamento della velocita in convergenti e divergenti
Convergenti e divergenti supersonici
M<1
Velocita’ u aumenta
M<1
Velocita’ u diminuisce
M>1
Velocita’ u diminuisce
M>1
Velocita’ u aumenta
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26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati: Andamento della velocita in convergenti e divergenti
Convergenti e divergenti supersonici: osservazioni
Dalla formula ottenuta e dalle figure riportate si puo concludere che:
ugello se si vuole portare isoentropicamente un flusso da una velocitasubsonica ad una velocita supersonica occorrera dapprimaaccelerarlo in un condotto convergente fino a fargli raggiungere lacondizione sonica nella sezione ristretta; l’ulteriore accelerazionedovra avvenire nella parte divergente del condotto.
diffusore se si vuole portare isoentropicamente un flusso da una velocitasupersonica ad una velocita subsonica occorrera dapprimadecelerarlo in un condotto convergente fino a fargli raggiungere lacondizione sonica nella sezione ristretta; l’ulteriore decelerazionedovra avvenire nella parte divergente del condotto.
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26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati: Andamento della velocita in convergenti e divergenti
Osservazione
Nella gola (sezione di area minima) di un ugello o di undiffusore supersonico si ha sempre una condizione di flussosonico.
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici:
Flusso isoentropico in ugelli supersonici
In un ugello il flusso viene accelerato isoentropicamente dallo statodi arresto a supersonico.Si avra flusso subsonico nel tratto convergente, sonico nella sezionedi gola, supersonico nel divergente.
Si ricavera di seguito la relazione che lega il numero di Mach delflusso all’area della sezione di passaggio.D’ora in poi l’andamento dell’area della sezione in funzionedell’unica coordinata x sara ritenuto noto.
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Grandezze star
Grandezze star
E comodo introdurre ai fini di quanto segue le cosiddettegrandezze asteriscate. Esse sono analoghe alle grandezze di arrestopero si riferiscono ad un flusso che viene acceleratoadiabaticamente fino alla condizione sonica.In un ugello le condizioni soniche vengono raggiunteadiabaticamente nella sezione di gola: a quest’ultima sarannoquindi pertinenti le grandezze asteriscate. In particolate nellasezione di gola sara:
M∗ = 1 con u∗ = a∗ =√
γRT ∗
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Relazione Mach-Area
Relazione Mach-Area
Si parte dall’equazione di continuita:
ρ∗a∗A∗ = ρuA
che puo essere espressa, introducendo la densita di arresto, intermini di rapporto tra l’area della sezione generica considerata equella della sezione di gola:
A
A∗=
ρ∗
ρ
a∗
u=
ρ∗
ρ0
ρ0
ρ
1
M∗
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Relazione Mach-Area
Relazione Mach-Area
u*p*T*A*
uopoToAoA*
8
uepeTeAe
M<1 M>1
M=1
Figura: Flusso isoentropico supersonico in un ugello
Ricci-Garofalo Aerodinamica & Gasdinamica,A.A. 2009-2010,Flussi comprimibili p. 72/114
26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Relazione Mach-Area
Relazione Mach-Area
Ciascuno dei tre termini che compaiono nell’espressione delrapporto di aree verra espresso in funzione del numero di Machlocale.Il flusso passa isoentropicamente dalle condizioni di arresto a quelledella sezione in esame con l’entalpia totale che rimane costante
h0 = cost
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Relazione Mach-Area
Relazione Mach-Area
CpT0 = CpT +a2
2
dividendo tutto per a = γRT :
CpT0
γRT=
Cp
γR+
1
2
sfruttando l’equazione di stato p = ρRT e la relazione isoentropicap0/p = (ρ0/ρ)γ si ottiene la relazione cercata:
ρ
ρ0=
(
1 + M2 γ − 1
2
) 11−γ
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Relazione Mach-Area
Relazione Mach-Area
La relazione appena trovata viene usata per ottenere l’espressionedi ρ∗/ρ0 ricordando che nella sezione di gola M∗ = 1:
ρ∗
ρ0=
(γ + 1
2
) 11−γ
Resta da ricavare l’espressione di M∗:
M∗ =u
u∗
Sfruttando sempre il fatto che il flusso evolve adiabaticamente sisfrutta la conservazione dell’entalpia totale:
CpT +u2
2= CpT
∗ +a2
2
Ricci-Garofalo Aerodinamica & Gasdinamica,A.A. 2009-2010,Flussi comprimibili p. 75/114
26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Relazione Mach-Area
Relazione Mach-Area
Cp
a2
︷ ︸︸ ︷
TγR
γR+
u2
2= Cp
u∗2=a∗2
︷ ︸︸ ︷
T ∗γR
γR+
a∗2
2
Cpa2
γR+
u2
2= Cp
a∗
γR+
a∗2
2
dividendo per u2 e dopo alcuni passaggi:
M∗2 =M2 (γ + 1)
2
1 + M2(γ − 1)
2
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Relazione Mach-Area
Relazione Mach-Area
Sostituendo le tre espressioni appena ricavate in quella di partenzasi ottiene la relazione cercata:
(A
A∗
)2
=1
M2
[2
γ + 1+ M2 γ − 1
γ + 1
]
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Relazione Mach-Area
Relazione Mach-Area
0
2
4
6
8
10
0.5 1 1.5 2 2.5 3
(A*/
A)2
M
(A*/A)2
Figura: Relazione Mach-Area
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Relazione Mach-Area
Considerazioni: relazione Mach-Area
La relazione Mach-Area rappresenta una soluzione di flussoisoentropico associato ad una data distribuzione assegnata di aree.Si osserva che per ciascun valore del rapporto A∗/A esistono duepossibili soluzioni isoentropiche, una subsonica ed una supersonica.
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Relazione Mach-Area
Considerazioni: relazione p/po
Se il rapporto tra la pressione di uscita e quella di ingresso esuperiore al valore critico che rende sonico il flusso nella sezione digola (p∗/p0 = 0.528), il flusso sara subsonico in tutto il condotto.La conservazione della massa imporra la stessa velocita in sezionidi condotto aventi la stessa area. Se il rapporto tra la pressione diuscita e di ingresso e inferiore al valore critico il flusso diventerasupersonico nella parte divergente ma, affinche permangano lecondizioni isoentropiche, il valore di pressione di uscita dovraassumere un valore ben preciso pertinente alla soluzioneisoentropica.
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Relazione Mach-Area
Considerazioni
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5
p/po
M
p/popcr/po=0.528
Figura: Andamento del rapporto di pressione.
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Comportamento fisico dell’ugello
Comportamento fisico dell’ugello
E utile descrivere il comportamento fisico del flusso all’interno diun ugello, immaginando di partire da condizioni di arresto, ossia distessa pressione in corrispondenza delle sezioni di ingresso e diuscita. In una tale situazione ovviamente non sara presente alcunmoto. Si immagini di ridurre la pressione nell’ambiente di uscita adun valore pe1 leggermente minore di p0. Si instaurera un flussodalla sezione di ingresso a quella di uscita ed una conseguenteredistribuzione delle pressioni all’interno del condotto. La portatadell’ugello aumentera come conseguenza della diminuzione della pe .
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Comportamento fisico dell’ugello
Comportamento fisico dell’ugello subsonico
ue pe Te
Ae
M
x
M<
1
1 0M
e1
Me3
Me2
0
0.528
1
x
pe/p
o
M<
1
Mt
ut pt Tt
At
uo po To
Ao
8
At
pe3/
pope
2/po
pe1/
po
Figura: Ugello isoentropico subsonico.
Ricci-Garofalo Aerodinamica & Gasdinamica,A.A. 2009-2010,Flussi comprimibili p. 83/114
26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Comportamento fisico dell’ugello
Comportamento fisico dell’ugello
Riducendo ulteriormente la pressione dell’ambiente di uscita, siraggiungera il valore pe3 discriminante che rende sonica la sezionedi gola.
A partire dalla pressione discriminante pe3 ogni ulteriore
diminuzione della pressione: non produrra piu alcun
incremento della portata, l’ugello diventera “chocked” ossia
strozzato; le condizioni di flusso nel tratto subsonico
rimarranno “congelate”.
Si noti che al di sopra della pressione critica il condotto rimanesubsonico e tutte le infinite soluzioni di flusso sono isoentropiche.
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Comportamento fisico dell’ugello
Comportamento fisico dell’ugello
E importante notare che al di sotto di pe3 la soluzione di flussoisoentropico diventa unica, ossia quella corrispondente alla“pressione di adattamento” pe6.Qualsiasi valore di pressione esterna pe3 > pe > pe6 non
ammette flusso isoentropico.
Nella parte divergente del condotto si manifesta un’onda d’urtoretta che si sposta verso la sezione di uscita, di mano in mano chela pe esterna approccia la pressione di adattamento pe6. Attraversol’onda d’urto, che separa le due zone sub e supersonicaisoentropiche, si ha un brusco incremento di pressione e di entropia.
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Comportamento fisico dell’ugello
Comportamento fisico dell’ugello supersonico
u* p* T*
A*
M
x
M<
1M
>1
1 0 0
0.528
1
x
Me6
pe6/
po
T/T
o
p/po
0.8331
Te6
/To
uo po To
Ao
A*
8
M*=
1
Te6
pe6
ue6
Ae
Figura: Ugello isoentropico supersonico.
Ricci-Garofalo Aerodinamica & Gasdinamica,A.A. 2009-2010,Flussi comprimibili p. 86/114
26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Comportamento fisico dell’ugello
Comportamento fisico dell’ugello non isoentropico
uo po To
Ao
A*
8
ue pe Te
Ae
u* p* T*
A*M*=
1
M<
1
0
0.528
1
x
pe/p
o
pe6/
po
M>
1
d
pe1/
pope
2/po
pe3/
pope
’/po
pe’’/
po
M’<
1M
’’<1
Urto retto
Urto retto
Figura: Ugello non isoentropico supersonico.
Ricci-Garofalo Aerodinamica & Gasdinamica,A.A. 2009-2010,Flussi comprimibili p. 87/114
26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Comportamento fisico dell’ugello
Comportamento fisico dell’ugello non isoentropico
Di mano in mano che la pressione esterna scende, l’onda d’urto sisposta verso la sezione di uscita. Per un certo valore della pressioneambiente pe5 l’onda durto si trovera esattamente sulla sezione diuscita. Questa separera la parte supersonica interna (totalmenteisoentropica) del flusso, che avra cosı avuto modo di raggiungere ilvalore di pressione pe6, dall’ambiente esterno alla pe5.
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Comportamento fisico dell’ugello
Comportamento fisico dell’ugello non isoentropico
uo po To
Ao
A*
8
Ae
Te5
ue5
pe5
u* p* T*
A*M*=
1
M<
1
0
0.528
1
x
pe6/po
pe5/po
ue6
pe6
Te6
M>
1
01
pe/p
o
M
x
Me6
Me5
Figura: Ugello supersonico: urto sull’uscita.
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Comportamento fisico dell’ugello
Comportamento fisico dell’ugello non isoentropico
Diminuendo ulperiormente la pressione dell’ambiente di uscita adun valore pb tale da essere pe6 < pb < pe5 l’urto si indeboliradiventando obliquo e spostandosi al di fuori della sezione di uscita.Attraverso l’urto obliquo il flusso subira una compressione da pe6 alvalore esterno pb. L’ugello in questa configurazione si dicesottoespanso poiche il flusso e stato espanso ad una pressioneminore di quella dell’ambiente esterno alla quale si raccordera conun urto di compressione obliquo.
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Comportamento fisico dell’ugello
Comportamento fisico dell’ugello non isoentropico
uopoToAoA*
8
ue6pe6Te6
ubpbTb
pe6<pb<pe5
u*p*T*A*
M*=1
M<1 M>1
Figura: Ugello supersonico sottoespanso: urto obliquo.
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Comportamento fisico dell’ugello
Comportamento fisico dell’ugello adattato
Quando la pressione dell’ambiente di uscita raggiunge il valoreesatto pb = pe6 della pressione di adattamento l’urto scompare.L’ugello in questa configurazione si dice adattato poiche haespanso isoentropicamente, quindi senza fenomeni di irreversibilita,il flusso fino alla pe6 di adattamento esterna.
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Comportamento fisico dell’ugello
Comportamento fisico dell’ugello adattato
uopoToAoA*
8
ue6pe6Te6
u*p*T*A*
M*=1
M<1M>1
Figura: Ugello supersonico adattato.
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Comportamento fisico dell’ugello non isoentropico
Quando la pressione dell’ambiente di uscita scende al di sotto delvalore della pressione di adattamento pb < pe6 il flusso deveespandersi per raggiungere la pressione esterna. Compaiono delleonde di espansione all’uscita. L’ugello in questa configurazione sidice sovraespanso poiche ha espanso il flusso fino alla pe6
maggiore della pb ambiente.
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Comportamento fisico dell’ugello non isoentropico
u*p*T*A*
M*=1
M<1M>1
ue6pe6Te6
uopoToAoA*
8
pb<pe6
Figura: Ugello supersonico sovraespanso.
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Comportamento fisico dell’ugello
Geometria dell’ugello
Figura: Ugello supersonico
Si ricordi che la geometria dell’ugelloA(x) e stata data come assegnata. Ineffetti il dimensionamento geometricodi un ugello in grado di accelerareisoentropicamente un flusso dallacondizione di arresto fino al motosupersonico andrebbe fatto ricorrendoal “metodo delle caratteristiche”.Questo permetterebbe di tenere inconto gli effetti tridimensionali delmoto supersonico e di ricavarel’andamento A(x).
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Portata attraverso un ugello
Si e visto che la portata che attraversa un ugello dipende dalladifferenza di pressione tra la sezione di ingresso e quella di uscita.Riducendo la pressione dell’ambiente di uscita rispetto a quella diingresso si inneschera un flusso la cui portata prisulta espressadalla nota relazione:
m = ρAu
Rielaborando l’espressione della portata massica la si puo esprimerein funzione del rapporto tra la pressione esterna e di arresto:
m = Ap
RTu = A
√γ
R
p√T
M = AP0
√γ
RT0
(p
p0
) √
T0
TM
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Portata attraverso un ugello
Sostituendo in questa ultima relazione le espressioni√
T0T
e di M
ricavate in precedenza e relative alle relazioni isoentropiche:
√
T0
T=
(P0
P
) γ−12γ
M =
√√√√
[(P0
P
) γ−1γ
]
2
γ − 1
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Portata attraverso un ugello
si ottiene l’espressione della portata massica in funzione delrapporto tra la pressione di uscita e quella di arresto:
m =Ap0√RT0
√
2γ
γ − 1
(p
p0
) 1γ
√
1 −(
p
p0
) γ−1γ
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: La portata di un ugello
Portata attraverso un ugello
Partendo dal valore (p/p0) = 1 e diminuendo la pressionedell’ambiente esterno la portata aumenta fino a raggiungere unvalore massimo. Come si e gia visto tale valore corrisponde a quelloche rende sonica la gola. Diminuendo ulteriormente il valore dellapressione esterna l’ugello risultera chocked. Il flusso presenteradelle onde d’urto all’interno dell’ugello finche non si perverra allapressione esterna di adattamento. Volendo calcolare la pressione digola Pt che rende massima la portata, bastera eseguire la derivatadella m e ricavare il rapporto (pt/p0) per il quale:
dm
d(
pt
p0
) = 0
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Portata attraverso un ugello
Dallo svolgimento dei calcoli si ottiene:
dm
d(
pt
p0
) = 0per=⇒
(pt
p0
)
=
(2
1 + γ
) γ
γ−1
= 0.528
Se (pt/p0) < 0.528 la portata rimane costante. Cio si spiegapensando che l’informazione di abbassamento della pressioneesterna, che viaggia alla velocita del suono, non riesce a risalire ilflusso che nella sezione di gola e sonico.
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Portata attraverso un ugello
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
dm/d
t
(p/po)
Andamento della portata
0.528
dm/dt
Figura: Andamento della portata
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Portata attraverso un ugello
La portata massima ottenibile risulta:
m =Atp0√RT0
0.6847 =⇒ m ∝ Atp0√RT0
Essa puo essere comunque incrementata agendo sull’area dellasezione di gola At e sulle grandezze di arresto p0 e T0.
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Esercizio
Esercizio
Esercizio 1
Si dimostri che un endoreattore supersonico sviluppa la spintamassima quando e funzionante i condizioni di adattamento. Sisupponga che l’area nel tratto divergente sia una funzione linearedella coordinata e che il flusso sia isoentropico.Svolgimento
Prima di tutto si applica l’equazione della conservazione dellaquantita di moto per ricavare l’espressione della spinta:
uem = −Ae(pe − p0) + Θ
che viene esercitata sul gas contenuto all’interno del volume dicontrollo.
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Esercizio
Esercizio
Questa rappresenta in verso opposto la spinta che il gas espulsoesercita ulle pareti dell’ugello.
Θ = uem + Ae(pe − p0)
u*p*T*A*
uepeTeAe
M>1
M=1
uopoTo
Figura: Schema di endoreattore
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Esercizio
Esercizio
La pe nella sezione di uscita potra essere variata alterando lalunghezza del tratto divergente. La condizione di massima spintasara ottenuta imponendo:
dΘ = 0
d(ueme) + d [Ae(pe − p0)] = 0
ue
=0︷︸︸︷
dme +medue + (pe − p0)dAe + Aedpe = 0
ueAeρedue + (pe − p0)dAe + Aedpe = 0
Ae (ρeuedue + dpe)︸ ︷︷ ︸
=0
+(pe − p0)dAe = 0
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Esercizio
Esercizio
Infatti sfruttando l’ipotesi di adiabaticita del flusso:
h0 = cost
d(h0) = 0 ⇒ dhe + uedue = 0
dhe = −uedue
e di isoentropicita:
Tedse = dhe − vedpe = 0
dhe = vedpe
si ottiene in definitiva:
ρeuedue + dpe = 0
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Esercizio
Esercizio
Si conclude quindi che T e stazionaria per pe = p0 ossia nellecondizioni di adattamento. Resta da dimostrare che la condizionetrovata e un massimo per la spinta.
d2Θ ≶ 0
d [dAe(pe − p0)] ≶ 0
d2Ae︸ ︷︷ ︸
=0
(pe − p0) + dAedpe ≶ 0
dAedpe ≶ 0
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Esercizio
Esercizio
Conclusione
Dato che l’ugello e per ipotesi supersonico allora dpe/dAe < 0 percui:
dAedpe < 0
quindi alla condizione adattatamento corrisponde un massimo dellaspinta Θ.
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26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Esercizio
Considerazioni
uepeTeAe
u*p*T*A*
M=1
uopoTo
M>1
L
(p−po)
Figura: Lunghezza ugello adattato
Si puo intuire qualitativamentedalla figura a fianco come lacondizione di spinta massimacorrisponta a quella di un ugellola cui lunghezza e tale da nonrenderlo ne sovraespanso (aventemargine di guadagno di spinta),ne sottoespanso (aventecontributi di spinta negativi).
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26/11,2-3/12 2009 Diffusori: Generalita
Diffusori
Un diffusore e un condotto atto a rallentare il flusso che lo attraversadalla sua sezione di ingresso a quella di uscita. La forma geometrica deidiffusori subsonici e, come si puo intuire da quanto studiato circa icondotti divergenti e convergenti, drasticamente diversa da quella deidiffusori supersonici:
Figura: Presa d’aria di unG91 PAN
Figura: Presa d’aria di unLightning
Figura: Presa d’aria di unSR-71
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26/11,2-3/12 2009 Diffusori: Diffusore: caso ideale e caso reale
Diffusore ideale
Tenendo conto del fatto che:
• il rallentamento del flusso deve essere fatto in modo che sianoevitati il piu possibile fenomeni dissipativi;
• la pressione totale del flusso puo essere vista qualitativamentecome la misura della sua capacita di compiere lavoro;
si intuisce come un diffusore debba essere concepito in modo taleche la sua geometria venga elaborata mantenendo inalterata la
pressione totale del flusso che lo attraversa.
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26/11,2-3/12 2009 Diffusori: Diffusore: caso ideale e caso reale
Diffusore reale
Si puo facilmente immaginare come la realizzazione di un diffusoreisoentropico sia possibile solo idealmente: la stessa geometria deltratto convergente disturberebbe il flusso generando la nascita dionde d’urto oblique che distruggerebbero la natura isoentropica delflusso. A questo si aggiungono gli effetti dovuti alla viscosita delgas reale che produrrebbe un incremento dell’entropia nello stratolimite a partire dalle pareti solide. In un diffusore reale il flussoviene rallentato da una serie di onde d’urto oblique riflesseall’interno del condotto che nella gola e costituito da un tratto asezione costante. In genere il passaggio al regime subsonicoavviene attraverso un’onda d’urto retta debole.
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26/11,2-3/12 2009 Diffusori: Diffusore: caso ideale e caso reale
Diffusore reale
Infine il definitivo rallentamento avviene nel tratto divergente delcondotto. E da notare come la presenza dello strato limite porti adavere una sezione di gola piu grande nel caso reale rispetto aldiffusore ideale.
u*p*T*A*
M*=1
po1so1
p02=po1so2=so1
M1>1 M2<1
Figura: Diffusore ideale
M<1
M~1
po2<po1M2<1
so2>so1
M1>1
po1so1
Urto retto debole
Figura: Diffusore reale
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