2.3 จดยอดค และ จดยอดค นยาม จดยอดทมดกรเปนจ านวนค เรยกวา จดยอดค (even vertex) จดยอดทมดกรเปนจ านวนค เรยกวา จดยอดค (odd vertex) จดยอดทมดกร 0 เรยกวา จดยอดเอกเทศ (isolated vertex) ถอวาเปนจดยอดค จดยอดทมดกร 1 เรยกวา จดยอดปลาย (end vertex)

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 2. ดกรของจดยอด จดยอดค และจดยอดค

2.4 จดยอดค นยาม กราฟทกกราฟจะมจดยอดคเปนจ านวนคเสมอ พจารณากราฟเปน 2 กรณ 1. กราฟทไมมจดยอดเปนจ านวนค (0) 2. กราฟทมจดยอดเปนจ านวนค

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 2. ดกรของจดยอด จดยอดค และจดยอดค

3.1 แนวเดน นยาม แนวเดน u - v (u - v walk) คอ ล าดบของจดและเสนสลบกน โดยเรมตนดวยจด u และสนสดดวยจด v และแตละเสนในล าดบจะอยตดกบจดทอยหนาและหลงของเสนนน

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 3. โครงสรางของกราฟและการเชอมโยง

a, e1, b, e2 , c, e3, d, e4, e เปนแนวเดน a – e เสนแนวเดน a - e อาจเขยนเปน a, ab, b, be, c, cd, d, de, e กได จากภาพเปนกราฟอยางงาย หรอเปนกราฟเชงเดยว อาจ เขยนแนวเดนโดยเขยนล าดบของจดเปน a, b, c, d, e ก

3.1 แนวเดน บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 3. โครงสรางของกราฟและการเชอมโยง

จากภาพเปนกราฟหลายเชง แนวเดนทมจดเรมตนและจดสนสดใดๆ อาจมไดหลายแนวเดน ดงนน จงตอง เขยนแนวเดนจด-เสน-จด-เสน-จดใหชดเจน

a,e1,b,e2,c,e3,d,e6,d เปนแนวเดน a - d a,e4,c,e3,d,e6,d เปนแนวเดน a - d a, e5, c, e2 , b เปนแนวเดน a - b GT

3.2 ความยาวแนวเดน ความยาวแนวเดนในเสนทาง u-v คอ จ านวนเสนเชอมในแนวเดน u-v

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 3. โครงสรางของกราฟและการเชอมโยง

3.2 ความยาวแนวเดน ความยาวแนวเดนในเสนทาง u-v คอ จ านวนเสนเชอมในแนวเดน u-v

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 3. โครงสรางของกราฟและการเชอมโยง

3.3 รอยเดน นยาม รอยเดน u - v (u - v trial) คอ แนวเดน u - v ทเสนทงหมดแตกตางกน

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 3. โครงสรางของกราฟและการเชอมโยง

พจารณากราฟ G : - แนวเดน a, b, c, a เปนรอยเดน เนองจากประกอบดวย เสน e1,e2 และ e5 ซงเปนเสนทไมซ ากน - แนวเดน a, b, c, d, b, c ไมเปนรอยเดน เนองจากประกอบดวย เนน e1 e2, e3, e4, e2 ซงมเนน e2 เปนเสนทซ าทน ขอสงเกต รอยเดนมจดซ ากนได แตเสนตองไมซ ากน

3.4 วถ นยาม วถ u - v (u - v path) คอ แนวเดน u - v ทจดทงหมดแตกตางกน

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 3. โครงสรางของกราฟและการเชอมโยง

- แนวเดน a, b, c, d เปนวถ เพราะจดทงหมดแตกตางกน

- แนวเดน a, b, c, d, b, c ไมเปนวถ เพราะมจด b และ c ซ ากน

ขอสงเกต แนวเดนทเปนวถ จะเปนรอยเดนดวย

3.5 วงจร นยาม วงจร (circuit) คอ รอยเดนทจดเรมตนและจดสดทายเปนจดเดยวกน

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 3. โครงสรางของกราฟและการเชอมโยง

พจารณากราฟ G : - a, b, e, a เปนวงจร - a, c, d, b เปนวงจร - a, b, c, d, b, e, a เปนวงจร

3.6 วฏจกร นยาม วฏจกร (cycle) คอ วงจรทไมมจดซ ากน ยกเวนจดเรมตนและจดสดทาย

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 3. โครงสรางของกราฟและการเชอมโยง

พจารณากราฟ G : a, b, e, a เปนวฏจกร b, c, d, b เปนวฏจกร เพราะเปนวงจรทไมมจดช ากน ยกเวนจดเรมตนและ จดสดทาย

แต a, b, c, d, b, e, a เปนวงจรแตไมเปนวฏจกร เพราะม จด b ซ ากน

3.7 กราฟเชอมโยงและองคประกอบของกราฟ นยาม กราฟทส าหรบจดแตละสองจด u และ v ทตางกนมแนวเดน u - v เสมอ เรยกวา กราฟเชอมโยง (connected graph) นนคอ ถาจดยอดของกราฟ G เพยงคเดยวไมมแนวเดน กราฟนนจะไมเปนกราฟเชอมโยง กราฟทไมเชอมโยง จะสามารถแบงออกไดเปนสวนๆ โดยแตละสวนเปนกราฟเชอมโยง เรยกแตละ สวนยอยนวา องคประกอบเชอมโยง (connected component) หรอเรยกสนๆ วา องคประกอบของกราฟ

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 3. โครงสรางของกราฟและการเชอมโยง

3.7 กราฟเชอมโยงและองคประกอบของกราฟ บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 3. โครงสรางของกราฟและการเชอมโยง

3.7 กราฟเชอมโยงและองคประกอบของกราฟ บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 3. โครงสรางของกราฟและการเชอมโยง

3.8 จดยอดตด นยาม ก าหนดให G เปนกราฟเชอมโยง และ v เปนจดยอดในกราฟ ถา G-v เปนกราฟไมเชอมโยงเราจะเรยก v วาจดยอดตด

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 3. โครงสรางของกราฟและการเชอมโยง

3.9 เสนเชอมตด นยาม ก าหนดกราฟ G เปนกราฟเชอมโยง และ e เปนเสนเชอมในกราฟ G ถากราฟ G - e เปนกราฟไมเชอมโยง แลวจะเรยกเสนเชอม e วา เสนเชอมตด (cut edge)

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 3. โครงสรางของกราฟและการเชอมโยง

4.1 วงจรออยเลอรและกราฟออยเลอร นยาม วงจรออยเลอร (Euler circuit) คอ วงจรทผานจดยอดทกจด และผานเสนเชอมทกเสนของกราฟ นยาม กราฟออยเลอร (Euler graph) คอ กราฟทมวงจรออยเลอร

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 4. วงจรออยเลอร,กราฟออยเลอรและรอยเดนออยเลอร

4.1 วงจรออยเลอรและกราฟออยเลอร บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 4. วงจรออยเลอร,กราฟออยเลอรและรอยเดนออยเลอร

ตวอยางท 8 จงพจารณาวากราฟทก าหนดใหเปนกราฟออยเลอรหรอไม

4.1 วงจรออยเลอรและกราฟออยเลอร บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 4. วงจรออยเลอร,กราฟออยเลอรและรอยเดนออยเลอร

ตวอยางท 8 จงพจารณาวากราฟทก าหนดใหเปนกราฟออยเลอรหรอไม

4.1 วงจรออยเลอรและกราฟออยเลอร บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 4. วงจรออยเลอร,กราฟออยเลอรและรอยเดนออยเลอร

ตวอยางท 8 จงพจารณาวากราฟทก าหนดใหเปนกราฟออยเลอรหรอไม

4.1 วงจรออยเลอรและกราฟออยเลอร บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 4. วงจรออยเลอร,กราฟออยเลอรและรอยเดนออยเลอร

ตวอยางท 9 ทานสามารถขามสะพานใหครบทกสะพานโดยขามแตละสะพานเพยงครงเดยวและกลบมายงจดเรมตนใหม ตามแผนภาพดงรป ไดหรอไม

4.2 รอยเดนออยเลอร นยาม รอยเดนออยเลอร (Euler trail) คอ รอยเดนทผานจดยอดทกจดและผานเสนเชอมทกเสนของกราฟ

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 4. วงจรออยเลอร,กราฟออยเลอรและรอยเดนออยเลอร

4.2 รอยเดนออยเลอร บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 4. วงจรออยเลอร,กราฟออยเลอรและรอยเดนออยเลอร

รอยเดนออยเลอรไมจ าเปนตองเดนจนเปนวงจร ดงนน รอยเดนออยเลอรไมจ าเปนตองใหจดเรมตนและจดสดทายเปนจดเดยวกน นนคอกราฟเชอมโยงจะมรอยเดนออยเลอรกตอเมอ

- กราฟนมจดยอดทมดกรเปนจ านวนคเปน 0 หรอมสองจดกได - กรณทกราฟไม มจดยอดทมดกรเปนจ านวนค จะไดวา กราฟนนเปนกราฟออยเลอรดวย

(เนองจากมวงจรออยเลอร) โดย จดเรมตนและจดสนสดเปนจดเดยวกน - สวนกราฟทมจดยอดทมดกรเปนจ านวนคสองจด จดหนงตองเปนจดเรมตน และอกจด

หนงจะเปนจดสนสดของรอยเดนออยเลอร

4.2 รอยเดนออยเลอร บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 4. วงจรออยเลอร,กราฟออยเลอรและรอยเดนออยเลอร

ตวอยางท 10 จงพจารณากราฟตอไปนวาเปนกราฟออยเลอรหรอไม ถาไมเปนกราฟออยเลอรแลว กราฟนนมรอยเดนออยเลอรหรอไม ถามจงหารอยเดนออยเลอร

4.2 รอยเดนออยเลอร บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 4. วงจรออยเลอร,กราฟออยเลอรและรอยเดนออยเลอร

ตวอยางท 10 จงพจารณากราฟตอไปนวาเปนกราฟออยเลอรหรอไม ถาไมเปนกราฟออยเลอรแลว กราฟนนมรอยเดนออยเลอรหรอไม ถามจงหารอยเดนออยเลอร

4.2 รอยเดนออยเลอร บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 4. วงจรออยเลอร,กราฟออยเลอรและรอยเดนออยเลอร

ตวอยางท 10 จงพจารณากราฟตอไปนวาเปนกราฟออยเลอรหรอไม ถาไมเปนกราฟออยเลอรแลว กราฟนนมรอยเดนออยเลอรหรอไม ถามจงหารอยเดนออยเลอร

4.2 รอยเดนออยเลอร บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 4. วงจรออยเลอร,กราฟออยเลอรและรอยเดนออยเลอร

ตวอยางท 10 จงพจารณากราฟตอไปนวาเปนกราฟออยเลอรหรอไม ถาไมเปนกราฟออยเลอรแลว กราฟนนมรอยเดนออยเลอรหรอไม ถามจงหารอยเดนออยเลอร

4.3 การเพมจ านวนเสนเพอใหเปนกราฟออยเลอร บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 4. วงจรออยเลอร,กราฟออยเลอรและรอยเดนออยเลอร

4.3 การเพมจ านวนเสนเพอใหเปนกราฟออยเลอร บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 4. วงจรออยเลอร,กราฟออยเลอรและรอยเดนออยเลอร

ตวอยางท 11 กราฟทก าหนดให จงพจารณาวาจะเพมจ านวนเสนเชอมทนอยทสดเขาไปในกราฟทงหมดกเสนจงจะท าใหใหเปนกราฟออยเลอร และจงเพมจ านวนเสนใหเหนจรง

4.3 การเพมจ านวนเสนเพอใหเปนกราฟออยเลอร บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 4. วงจรออยเลอร,กราฟออยเลอรและรอยเดนออยเลอร

ตวอยางท 11 กราฟทก าหนดให จงพจารณาวาจะเพมจ านวนเสนเชอมทนอยทสดเขาไปในกราฟทงหมดกเสนจงจะท าใหใหเปนกราฟออยเลอร และจงเพมจ านวนเสนใหเหนจรง

4.4 จ านวนครงของการยกปากกา การใชปากกาลากเสนตามเสนเชอมใหครบทกเสน โดยหามยกปากกาขน และหามใชเสนเชอมซ า แตใชจด ช าได กราฟนนตองมรอยเดนออยเลอรเทานน ถากราฟนนไมมรอยเดนออยเลอรกไมสามารถใชปากกาลากเสน เชอมตามเงอนไขโดยไมยกปากกา พบวา

จ านวนครงของการยกปากกา = จ ำนวนจดยอดทมดกรเปนจ ำนวนค

2 - 1

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 4. วงจรออยเลอร,กราฟออยเลอรและรอยเดนออยเลอร

5.1 ตนไม นยาม ให G เปนกราฟเชงเดยว G เปนตนไม (Tree) เมอ G เปนกราฟเชอมโยงทไมมวฏจกร

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 5.ตนไมกราฟยอย,ตนไมแผทวของกราฟ,กราฟทมน าหนก

5.1 ตนไม บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 5.ตนไมกราฟยอย,ตนไมแผทวของกราฟ,กราฟทมน าหนก

5.1 ตนไม บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 5.ตนไมกราฟยอย,ตนไมแผทวของกราฟ,กราฟทมน าหนก

5.1 ตนไม ลกษณะเฉพาะของตนไม 1. ถากราฟ G มวงวน แลว กราฟ G ไมเปนตนไม 2. ถากราฟ G เปนตนไม แลว สองจดใดๆ ในกราฟ G เชอมโยงกนไดดวยวถเพยงวถเดยว 3. ถากราฟ G เปนตนไมทมจดยอด n จดแลว กราฟ G จะมจ านวนเสนเชอม n - 1 เสน

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 5.ตนไมกราฟยอย,ตนไมแผทวของกราฟ,กราฟทมน าหนก

5.1 ตนไม บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 5.ตนไมกราฟยอย,ตนไมแผทวของกราฟ,กราฟทมน าหนก

ตวอยางท 12 จงพจารณาวากราฟใดเปนตนไม

5.1 ตนไม บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 5.ตนไมกราฟยอย,ตนไมแผทวของกราฟ,กราฟทมน าหนก

ตวอยางท 12 จงพจารณาวากราฟใดเปนตนไม

5.1 ตนไม บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 5.ตนไมกราฟยอย,ตนไมแผทวของกราฟ,กราฟทมน าหนก

ตวอยางท 12 จงพจารณาวากราฟใดเปนตนไม

5.2 ปา นยาม ปา (forest) คอ กราฟทปราศจากวฏจกร ทประกอบดวยองคประกอบอยางนอยหนงองคประกอบ โดย แตละองคประกอบเปนตนไม กราฟทไมเชอมโยงกเปนปาได โดยท 1. แตละองคประกอบของปา จะเปนตนไม 2. ตนไมตองเปนปา แตปาทมมากกวาหนงองคประกอบไมเปนตนไม 3. กราฟ G ทเปนปาทม k องคประกอบ จะมเนนเชอมทงหมด 11 — k เสน

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 5.ตนไมกราฟยอย,ตนไมแผทวของกราฟ,กราฟทมน าหนก

5.2 ปา บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 5.ตนไมกราฟยอย,ตนไมแผทวของกราฟ,กราฟทมน าหนก

ตวอยางท 12 จงพจารณาวากราฟใดเปนปา พรอมทงนบจ านวนจดและเสนเชอมในกราฟ

5.2 ปา บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 5.ตนไมกราฟยอย,ตนไมแผทวของกราฟ,กราฟทมน าหนก

ตวอยางท 12 จงพจารณาวากราฟใดเปนปา พรอมทงนบจ านวนจดและเสนเชอมในกราฟ

5.3 ใบ นยาม ในตนไมใดๆ ทมจดยอดทมดกร 1 เรยกวา ใบ (leaf)

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 5.ตนไมกราฟยอย,ตนไมแผทวของกราฟ,กราฟทมน าหนก

จากนยามของตนไม ปา และใบ ท าใหสรปไดวา 1. กราฟจะเปนตนไมกตอเมอ ระหวางจดยอดสองจดใดๆ จะมวถเชงเดยวเพยงหนงเสนทาเทานนทเชอมจดยอดทงสองนน 2. ตนไมทมจดยอดอยางนอยสองจด จะมใบอยางนอยสองใบ 3. ตนไมทมอดยอด n อด จะมเนนเชอม n -1 เสน 4. ถา G เปนกราฟเชอมโยงทมอดยอด n จด และมเสนเชอม n - 1 เนน แลว G ตองเปนตนไม

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 5.ตนไมกราฟยอย,ตนไมแผทวของกราฟ,กราฟทมน าหนก

6.4 ตนไมแผทวถง นยาม ตนไมแผทว (spanning tree) ใน G คอ กราฟยอยของ G ซงเปนตนไม และจดยอดทงหมดเปนจดเดยวกนทบจดยอดของ G

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 5.ตนไมกราฟยอย,ตนไมแผทวของกราฟ,กราฟทมน าหนก

6.5 คาน าหนกของเสนเชอม นยาม กราฟ G เปนกราฟทมน าหนก เมอเสนเชอมแตละเสนใน G ถกก าหนดดวยจ านวนจรงทไมเปนลบ เรยก จ านวนจรงทก าหนดบนเนนเชอม e วา คาน าหนกของ e เขยนแทนดวย w(e)

บทท7 ทฤษฎกราฟเบองตน 5.ตนไมกราฟยอย,ตนไมแผทวของกราฟ,กราฟทมน าหนก

วถ a, b, d ผลรวมน าหนก 3 + 6 = 9 วถ a, e, b, c ผลรวมน าหนก 2 + 4 + 4=10 วถ a, e, b, d, c ผลรวมน าหนก 2+ 4 + 6 + 5 = 17 วถ a, b, e, d, c ผลรวมน าหนก 3+ 4 + 5 + 5 = 17