Post on 02-May-2015
8) Rette Perpendicolari
6) Passante per l’origine degli assi
3) Coefficiente angolare
9) Parallela all’asse delle X
7) Rette Parallele
5) Assi cartesiani
4) Ordinata all’origine
1)
Luogo geometrico
10) Parallela all’asse delle y
11) Intersezioni fra rette
Fine
2) Equazione della retta
Possono essere definiti come luoghi geometrici la retta, l’asse di un segmento, la parabola ecc..
La retta è il luogo geometrico degli
infiniti punti
tutti allineati fra di loro
x
y
È l’insieme di tutti i punti del piano che soddisfano una stessa
proprietà.
L’asse di un segmento può essere definito come
il luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento.
A BM
La parabola è definita come il luogo geometrico dei punti equidistanti da un
punto fisso detto fuoco e da una retta detta direttrice.
Equazione della retta
Equazione della retta
Ogni retta del Piano si puòconsiderare
come il grafico di una equazione
del tipo:ax + by + c = 0
Ogni equazione di 1° grado,in due variabili x e y,
ha come grafico una retta
EQUAZIONE DI UNA RETTA
Forma ESPLICITA
Forma IMPLICITA
ax + by + c = 0
y = m x + q
Y = - a/b x – c/b
m = coefficiente angolare
q = intercetta
L’INCLINAZIONE PUO’ ESSERE
NEGATIVAPOSITIVA
m > 0 m < 0
Il coefficiente angolare di una retta rappresenta la sua
inclinazione
Nulla
m = 0
y
x
L’angolo che la retta forma con la direzione positiva dell’asse x è minore di 90°
a < 90°
Inclinazione positiva
y
x
L’angolo che la retta forma con la direzione positiva dell’asse x è maggiore di 90°
a > 90°
Inclinazione negativa
M=0
Se M=0 la retta sarà parallela all’asse delle x
x
y
Inclinazione nulla
Retta passante per l’origine degli assiRetta passante per l’origine degli assi
EQUAZIONE BISETRICI
Una retta passante per l’origine ha equazione
y = mx (q = 0)
x
y
o
Y = X
y
y
x x
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
Ⅲ
Y = - XY = - X
Bisettrice del I e III quadrante
Bisettrice del II e IV quadrante
La bisettrice è il luogo dei punti equidistanti da
due rette incidenti
RETTE PARALLELERETTE PARALLELE
COEFFICIENTEANGOLARE
Due rette Due rette sono sono
parallele parallele quando quando non si non si
incontranincontrano mai e o mai e
mantengmantengono ono
sempre la sempre la stessa stessa
distanzadistanza
FASCIO IMPROPRIO DI RETTE
Se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare sono
parallele
Se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare sono
parallele
x
y
x
m1= m2 r 1||r2
r1 ) y = m1x + q r2) y = m2x + q
Una serie infinita di rette parallele forma un FASCIO
IMPROPRIO
Una serie infinita di rette parallele forma un FASCIO
IMPROPRIO
x
y La sua equazione è y – y0 = m(x
– x0)
La sua equazione è y – y0 = m(x
– x0)
Una retta è parallela all’asse delle ascisse (X) quando nella
sua equazione manca il termine con la X(a=0), quindi il suo
coefficiente angolare (m= - a/b) è uguale a zero.
Esempio
Retta parallela all’asse delle x
X
Y
Retta parallela all’asse delle ascisse XRetta parallela all’asse delle ascisse Xby + c = 0by + c = 0
Esempio
y= 3
x y
1
2
3
3 Retta y = 3
1 2
3
x
y
• Equazione completa di una retta in forma esplicita: Y = mx +
q• Equazione di una retta parallela all’asse delle ascisse: y =
qy = q
Retta parallela all’asse yRetta parallela all’asse y
Retta parallela all’asse delle yRetta parallela all’asse delle y
Una retta è parallela
all’asse delle y quando nella sua equazione manca il
termina con la y
perché b = 0
ax+c=0 b=0
x
y
r
La retta non incontrerà mai l’asse delle y pertanto né il
suo coefficiente angolare m = - a/b , né la sua intercetta q =
- c/b sono calcolabili
Esempio
Esempio
x = 3
x y
3
3
1
2
• Equazione completa di una retta in forma implicita: bY + c =
0• Equazione di una retta parallela all’asse delle ordinate: ax + c =
0ax + c = 0
3
1
2
x
y
Rette perpendicolari
Rette perpendicolari
Rette perpendicolari:Rette perpendicolari:
Due rette sono perpendicolari quando incontrandosi formano
Angoli di 90°
y
X
90°
90°
Quando due rette sono perpendicolari il prodotto
dei loro coefficienti angolariè uguale a - 1
Quando due rette sono perpendicolari il prodotto
dei loro coefficienti angolariè uguale a - 1
Due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari uno l’opposto
dell’inverso dell’altro
Due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari uno l’opposto
dell’inverso dell’altro
ESEMPIO
r1) Y = 2X – 3 r2) Y = - 1/2 X + 5
m1 = 2 m2 = -1/2
m1 * m2 = - 1
y
X
Sono due rette orientate e
perpendicolari
Le frecce indican
o il verso
positivo degli assi
y
x
Asse delle y
o asse delle
ordinate
X
y
Su di essa si misura la distanza del punto dall’asse delle ascisse
y
La sua equazione è
x = 0
Asse delle x
o asse delle
ascisse
X
y
Su di essa si misura la
distanza del punto dall’asse
delle ordinate
x
La sua equazione
è y = 0
Punto d’intersezione Sistema di equazione
Intersezione fra rette
Fascio proprio di rette
Il Punto di intersezione fra rette è il punto nel quale
esse si incontrano
Il Punto di intersezione fra rette è il punto nel quale
esse si incontrano
x0
y0
Rette incidenti nel punto
P = (x0;y0)P
x
y
Per determinare il punto di intersezione fra rette è necessario risolvere il sistema fra le equazioni delle rette stesse
Rette incidenti nel punto P=(x0;y0)
Il sistema si dice DETERMINATO
Rette parallele:
il sistema si dice IMPOSSIBILE
Rette coincidenti:
il sistema si dice INDETERMINATO x
y
x
y
x0
y0
P
x
y
È l ’insieme di tutte le retteChe passano per uno stesso
Punto (x0 ; y0)
Equazione del fascio: y - y0=m (x - x0)
xx0
y0
y
Ordinata all’Origine
Ordinata all’Origine
L’intercetta è l’ordinata all’origine cioè il punto di intersezione tra retta e
asse y
L’intercetta è l’ordinata all’origine cioè il punto di intersezione tra retta e
asse y
intercetta
intercetta qq
y = m x + y = m x + qq
y = m x + y = m x + qq
TERMINE NOTO TERMINE NOTO DELL’EQUAZIONE DI DELL’EQUAZIONE DI UNA UNA RETTA IN FORMA RETTA IN FORMA ESPLICITAESPLICITA
TERMINE NOTO TERMINE NOTO DELL’EQUAZIONE DI DELL’EQUAZIONE DI UNA UNA RETTA IN FORMA RETTA IN FORMA ESPLICITAESPLICITA
Esempio
2x -3y – 6 = 0 Forma implicita
Y = 2/3 x – 2 Forma esplicita
-1
-2
1 2 3
intercetta
x
y
2x - 3y –
6 = 0