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Geometria Analítica e Álgebra Linear
01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil
158
7. Autovalores e Autovetores
Diagonalização
Todas as matrizes consideradas neste capítulo serão quadradas. Se A é uma matriz n n, então, para v
em Rn, A v
será também um vetor em Rn (figura 7.1a). Um problema de
importância considerável em muitas aplicações é a determinação de vetores v
, quando existirem, tais que v
e A v
sejam paralelos (figura 7.1b). Tais problemas surgem em
aplicações que envolvem vibrações; surgem em aerodinâmica, elasticidade, física nuclear, mecânica, engenharia química, biologia, equações diferenciais, etc. Nesta seção formularemos precisamente este problema; definiremos também alguma terminologia pertinente. Na próxima seção resolveremos o problema em questão no caso de matrizes simétricas e discutiremos rapidamente a situação do caso geral.
Definição Seja A uma matriz n n. O número real é chamado um autovalor de A se existir um
vetor não-nulo
nx
x
v
1
em Rn, tal que
Qualquer vetor v
não-nulo que satisfaça (1) é chamado de um autovetor de A associado ao autovalor . Os autovalores são também chamados de valores próprios, valores característicos e valores latentes; e os autovetores são chamados de vetores próprios, vetores característicos e vetores latentes.
Observe que 0v
satisfaz sempre a equação (1), mas insistimos que um autovetor v
seja um vetor não-nulo. Em algumas aplicações práticas encontram-se espaços vetoriais complexos e escalares complexos. Em tal contexto, a definição acima é modificada de maneira que um autovalor possa ser um número complexo. Tais tratamentos são apresentados em livros mais avançados. Neste livro exigimos que um autovalor seja um número real.
Fig. 7.1 (a) Fig. 7.1 (b)
vvA (1)
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Ex.: 1 Se A é uma matriz identidade In então o único autovalor é = 1; qualquer vetor não-nulo de Rn é um autovetor de A associado com o autovalor = 1:
vvI n 1
Ex.: 2 Seja
021
210A .
Logo
1
1
2
1
21
21
1
1
021
210
1
1A
de maneira que
1
11v é um autovetor de A associado ao autovalor
2
11 . Além
disso,
1
1
2
1
21
21
1
1
021
210
1
1A
de maneira que
1
12v é um autovetor de A associado ao autovalor
2
12 .
A figura (7.2) mostra que 1v
e 1vA
são paralelos, e que
2v
e 2vA
são também paralelos. Isto ilustra ofato de que se v
é um autovetor de A,
então v
e A v
são paralelos.
Na figura (7.3) mostramos v
e A v
para os casos > 1, 0 < < 1, < 0.A um autovalor de A pode ser associados muitosautovetores diferentes. Em verdade, se v
é um autovetor
de A associado a (ou seja, vvA
) e t é qualquernúmero real não nulo, então
)()()()(
vtvtvAtvtA .
Assim, vt
é também um autovetor de A associado a .
Fig. 7.2
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Ex.: 7.3 Seja
10
00A .
Assim
0
10
0
0
0
1
10
00
0
1A
de maneira que
0
11v é um autovetor de A associado ao autovalor 01 . Além
disso,
1
02v é um autovetor de A associado ao autovalor 12 (verifique isto).
O exemplo 7.3 salienta o fato de que, embora o vetor zero, por definição, não possa ser autovetor, o número zero pode ser um autovalor.
Ex.: 7.4 Seja
42
11A
Desejamos achar os autovalores de A e seus autovetores associados. Queremos assim
achar todos os números reais e todos os vetores não-nulos
2
1
x
xv satisfazendo (1),
ou seja
2
1
2
1
42
11
x
x
x
x (2)
A equação (2) se torna
221
121
42 xxx
xxx
, ou0)4(2
0)1(
21
21
xx
xx
. (3)
Fig. 7.3
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A equação (3) é um sistema homogêneo de duas equações e duas incógnitas. Da Unidade III, decorre que o sistema homogêneo em (3) possui uma solução não trivial se e somente se o determinante de sua matriz de coeficientes for nulo: assim, se e somente se
042
11
.
Isto significa que02)4)(1( ,
ou)2)(3(0652 .
Portanto,21 e 32
são os autovalores de A. Para achar todos os autovetores de A associados a 21 , formamos o sistema linear
vvA 2ou
2
1
2
1 242
11
x
x
x
x.
Isto fornece
221
121
242
2
xxx
xxx
ou
0)42(2
0)12(
21
21
xx
xx
ou
022
0
21
21
xx
xx
Observe que poderíamos ter obtido este último sistema homogêneo substituindo simplesmente 2 em (3). Todas as soluções deste último sistema são dadas por
21 xx 2x qualquer número real .
Portanto, todos os autovetores associados ao autovalor 21 são dados por
, um
número real não-nulo qualquer. Em particular,
1
11v é um autovetor associado a
21 . Semelhantemente, para 32 obtemos, de (3),
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0)43(2
0)13(
21
21
xx
xx
ou
02
02
21
21
xx
xx
Todas as soluções deste último sistema homogêneo são dadas por
21 21 xx 2x qualquer número real .
Portanto, todos os autovetores associados ao autovalor 32 são dados por
2
,
um número real não-nulo arbitrário. Em particular,
2
12v é um autovetor associado
ao autovalor 32 .
Obs.: Nos exemplos 1, 2 e 3 achamos autovalores e autovetores por inspeção, enquanto que no exemplo 4 procedemos de maneira mais sistemática. Usaremos o processo do exemplo 4 como nosso método padrão, como segue.
7.1.1. Matrizes Semelhantes
Definição Dizemos que uma matriz B é semelhante a uma matriz A, se existir uma matriz P não singular (invertível) tal que
APPB 1 .
Ex.: 7.5 Seja
42
11A
a matriz do exemplo 7.4. Seja
21
11P .
Então,
11
121P e
30
02
21
11
42
11
11
121 APPB .
Assim, B é semelhante a A.
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A relação de semelhança satisfaz as seguintes propriedades:
toda matriz quadrada é semelhante a si mesma; se uma matriz A é semelhante a B, então B é semelhante a A e se A é semelhante a B e B é semelhante a C, então A é semelhante a C.
Deixamos como exercício a verificação destas propriedades.
Definição Dizemos que uma matriz A, n n, é diagonalizável, se ela é semelhante a uma matriz diagonal. Neste caso, dizemos também que A pode ser diagonalizada.
Ex.: 7.6 Se A e B são como no exemplo 7.5, então A é diagonalizável, pois é semelhante a B.
Vamos enunciar e demonstrar o resultado principal deste capítulo. Já vimos que se uma matriz A é diagonalizável, então as colunas da matriz P que faz a diagonalização são autovetores associados a autovalores que são os elementos da matriz diagonal D. Como a matriz P é invertível estes autovetores são Linearmente Independentes. Vamos mostrar a seguir que esta é uma condição necessária e suficiente para que uma matriz seja diagonalizável.
Teorema Uma matriz A n n é diagonalizável se e somente se tiver n autovetores linearmente independentes. Neste caso, A é semelhante a uma matriz diagonal D, com DAPP 1 ; os elementos sobre a diagonal de D são os autovalores de A, enquanto P é uma matriz cujas colunas são n autovetores de A linearmente independentes.
Demonstração
Suponha que A é semelhante a D, Então
DAPP 1
de maneira quePDAP ,
Seja
n
D
00
00
00
00
2
1
(4)
e seja jv
, nj ,,2,1 a j-ésima coluna de P. Observe que a j-ésima coluna da matriz
AP é jvA
e a j-ésima coluna de PD é jj v
. Assim, temos de (4) que
jjj vvA
. (5)
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Como P é uma matriz não singular, suas colunas são linearmente independentes e, desta maneira, são todas não-nulas. Assim, j é um autovalor de A e jv
é um autovetor
correspondente. Além disto, como P é não-singular, seus vetores coluna são linearmente independentes.
Reciprocamente, suponha que n ,,, 21 são n autovalores de A e que os autovetores
correspondentes nvvv
,,, 21 são linearmente independentes . Seja P a matriz cuja j-
ésima coluna é jv
, decorre que P é não singular. De (5) obtemos (4), o que acarreta que
A é diagonalizável. Isto completa a demonstração.
Observe que, no teorema acima, a ordem das colunas de P determina a ordem dos elementos da diagonal de D.
Assim, se uma matriz A é diagonalizável e APPD 1 , então os autovalores de Aformam a diagonal de D e n autovetores linearmente independentes associados aos autovalores formam as colunas de P.
Se conseguirmos para cada autovalor, autovetores L.I., então ao juntarmos todos os autovetores obtidos, eles continuarão sendo L.I.
Ex.: 7.7 Seja A como no exemplo 7.4. Os autovalores são 21 e 32 . Os autovetores
correspondentes
1
11v e
2
12v são linearmente independentes. Assim, A é
diagonalizável.
Neste caso,
21
11P e
11
121P .
Assim
30
02
21
11
42
11
11
121 APP .
Por outro lado, se fizermos 31 e 22 , então
2
11v e
1
12v . Então
12
11P e
12
111P .
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Logo
20
03
12
11
42
11
12
111 APP .
Ex.: 7.8 Seja
10
11A .
Os autovalores de A são 11 e 12 . Os autovetores associados a 1 e 2 são vetores da forma
0
,
onde é qualquer número real não-nulo. Como A não tem dois autovetores linearmente independentes, concluímos que A não é diagonalizável.
Teorema Uma matriz A é diagonalizável se todas as raízes de seu polinômio característico forem reais e distintas.
Autovalores e Autovetores
Da definição
vvA , onde é chamado autovalor (real) de A e,
v é chamado de autovetor de A, podemos escrever:
vIvA nou
0)(
vIA n (6)
Como os autovetores são vetores não nulos, os autovalores são os valores de , para os quais o sistema (6) tem solução não trivial. Mas, um sistema homogêneo tem solução não trivial se, e somente se, a matriz do sistema é singular e uma matriz é singular se, e somente se, o seu determinante é igual a zero, ou seja: 0)det( nIA . Assim temos
um método para encontrar os autovalores e os autovetores de uma matriz A.
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Proposição Seja A uma matriz n x n.
(a) Os autovalores de A são as raízes reais do polinômio
)det()( nIAp (7)
(b) Para cada autovalor , os autovetores associados a são os vetores não nulos da solução do sistema
0)( XIA n (8)
Definição Seja A uma matriz n n. O polinômio
)det()( nIAp (9)
é chamado polinômio característico de A.
Assim, para determinarmos os autovalores de uma matriz A precisamos determinar as raízes reais do seu polinômio característico, que tem a forma
011
1)1()( aaap nn
nn . Um resultado sobre polinômios que muitas
vezes é útil, é o que diz que se a0, a1,..., an - 1 são inteiros, então as suas raízes racionais (se existirem) são números inteiros e divisores do coeficiente do termo de grau zero a0. Por exemplo, se 6116)( 23 p , então as possíveis raízes racionais são 1,
2, 3 e 6. Substituindo estes valores em )(p , vemos que p(1) = 0, ou seja, 1 é uma
raiz de )(p . Finalmente, dividindo )(p por ( - 1), obtemos que
)65)(1()( 2 p . Como as raízes de 62 são 2 e 3, então as raízes de )(p , são 1, 2 e 3.
Ex.: 7.9 Vamos determinar os autovalores e autovetores da matriz
22
13A
Para esta matriz o polinômio característico é
452)2)(3(22
13det)det()( 2
nIAP .
Como os autovalores de A são as raízes reais de )(p , temos que os autovalores de A
são 11 e 42 .
Agora, vamos determinar os autovetores associados aos autovalores 11 e 42 .
Para isto vamos resolver os sistemas 0)( 21 XIA e 0)( 22 XIA . Como
12
1221IA ,
então
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0)( 21 XIA é
0
0
12
12
y
x
ou
02
02
yx
yx
cuja solução geral é
|)2,{(1v R}.
que é o conjunto de todos os autovetores associados a 11 acrescentado o vetor nulo. Agora,
0)( 22 XIA é
0
0
22
11
y
x
cuja solução geral é
|),{(1v R},
que é o conjunto de todos os autovetores associados a 42 acrescentado o vetor nulo.
Ex.: 7.10 Seja
100
210
100
A .
O polinômio característico de A é 2)1()( p , de maneira que os autovalores de
A são 01 , 12 e 13 . Assim, 12 , é um autovalor de multiplicidade 2.
Consideremos agora os autovetores associados aos autovalores 132 . Eles são
obtidos resolvendo o sistema linear 0)1( 3 XIA :
0
0
0
000
200
101
3
2
1
x
x
x
Uma solução é qualquer vetor da forma
0
0
, onde é um número real arbitrário, de
maneira que a dimensão do espaço-solução de 0)1( 3 XIA é 1. Não existem dois
autovetores linearmente independentes associados a 12 . Assim, A não pode ser diagonalizada.
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Ex.: 7.11 Seja
101
010
000
A .
O polinômio característico de A é 2)1()( p , de maneira que os autovalores de
A são 01 , 12 e 13 . Assim, 12 , é um autovalor de multiplicidade 2.
Consideremos agora os autovetores associados aos autovalores 132 . Eles são
obtidos resolvendo o sistema linear 0)1( 3 vIA
, isto é, de
0
0
0
001
000
001
3
2
1
x
x
x
.
Uma solução é qualquer vetor da forma
0
para números reais arbitrários e .
Podemos assim escolher como os autovetores
2v e
3v os vetores
0
1
0
2v e
1
0
0
3v .
Procuremos agora um autovetor associado a 01 . Temos que resolver
0)0( 3 vIA
, ou seja,
0
0
0
101
010
000
3
2
1
x
x
x
.
Uma solução é qualquer vetor da forma
0 para qualquer número real . Assim,
1
0
1
1v , é um autovetor associado a 01 . Como
1v ,
2v e
3v são linearmente
independentes, A pode ser diagonalizada.
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Assim, uma matriz n n pode deixar de ser diagonalizável ou porque nem todas as raízes de ser polinômio característico são números reais, ou porque não tem nautovetores linearmente independentes.
Os autovalores e autovetores satisfazem muitas propriedades importantes. Por exemplo, se A é uma matriz triangular superior (inferior), então os autovalores de A são os elementos sobre a diagonal principal de A. Além disto, seja um autovalor fixo de A. O conjunto que é formado por todos os autovetores de A associados com e pelo vetor zero é um subespaço de nR , já que é o conjunto solução de um sistema linear homogêneo 0)( XIA n . Este subespaço recebe o nome de autoespaço associado
ao autovalor .
O processo para diagonalizar uma matriz A é como se segue.
1º passo Forme o polinômio característico )det()( nIAp de A.
2º passoAche todas as raízes do polinômio característico de A. Se as raízes não forem todas reais, então A não pode ser diagonalizada.
3º passo
Para cada autovalor i de A com multiplicidade ik , ache uma base para
o espaço-solução de 0)( XIA n (o autoespaço de i ). Se a
dimensão do autoespaço for menor do que ik , então A não é
diagonalizável. Determinamos assim n autovetores de A linearmente independentes.
4º passo
Seja P a matriz cujas colunas são os n autovetores linearmente independentes determinados no terceiro passo. Então DAPP 1 , uma matriz diagonal cujos elementos sobre a diagonal são os autovalores de A que correspondem às colunas de P.
Deve ser salientado que este método de achar os autovalores de uma matriz por meio das raízes do polinômio característico não é prático para n > 4, devido à necessidade de se calcular um determinante. Neste caso, deve-se usar um método numérico mais eficiente.
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Diagonalização de Matrizes Simétricas
Motivação
O problema da identificação de uma cônica (curva no plano descrita por uma equação do 2 grau em x e y) através da sua equação é facilmente resolvido se a equação nãopossui um termo em que aparece o produto xy. Mas, ao contrário, se aparece este termo misto, temos que fazer uma mudança de coordenadas de forma que nas novas coordenadas ele não apareça. Vejamos o exemplo seguinte.
Ex.: 7.12 Considere o problema de identificar uma cônica representada pela equação
4323 22 yxyx (10)
Usando matrizes, esta equação pode ser escrita como
433
y
xyxyx
ou
431
13
y
xyx
ou ainda,
4AXX T , (11)
em
31
13A e
y
xX .
Como veremos adiante, podemos escrever
TPDPA
em que
2
1
2
12
1
2
1
P e
40
02D .
Assim, a equação (10) pode ser escrita como
4 XPDXPXPDPX TTTTT .
Se fazemos a mudança de variáveis (ou de coordenadas) 'PXX , então como
2IPPT , a equação (10) se transforma em
4'' DXX T
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ou
4'
'
40
02''
y
xyx
que pode ser escrita como,
4'4'2 22 yx .
ou dividindo por 4, como
11
'
2
' 22
yx
que é a equação da elipse mostrada na Figura (7.4). Veremos na próxima seção como traçar esta elipse.
Fig. 7.4
A matriz P, tem a propriedade de que a sua inversa é simplesmente a sua transposta, TPP 1 . Uma matriz que satisfaz esta propriedade é chamada de matriz ortogonal. O
que possibilitou a identificação da cônica, no exemplo anterior, foi o fato de que a matriz A é diagonalizável através de uma matriz ortogonal P. Ou seja, existe uma matriz P tal que 1 PDPA e TPP 1 .
Já vimos que nem toda matriz é diagonalizável. Vamos ver que se uma matriz A é simétrica, então ela é diagonalizável, isto é, existe uma matriz diagonal D e uma matrizinvertível P tal que APPD 1 . Além disso, para matrizes simétricas, existe uma matriz P tal que APPD T . Isto porque existe uma matriz ortogonal P que faz a diagonalização, ou seja, que tem a propriedade TPP 1 . Em algumas aplicações a diagonalização com uma tal matriz é necessária, como por exemplo na identificação de cônicas.
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Cônicas
A palavra cônica, em princípio, significa uma seção cônica, pois podem ser obtidas das interseções de planos com um cone. Isto já havia verificado o matemático Apolônio no século III a.C., que descreveu essas curvas no livro intitulado Cônicas.
Dependendo do corte no cone, as interseções podem ser: círculo, parábola, hipérbole ou elipse, conforme indicam as figuras.
As cônicas foram de fundamental importância para o desenvolvimento da astronomia, sendo descritas na antiguidade por Apolônio de Perga, um geômetro grego.
Mais tarde, Kepler e Galileu mostraram que essas curvas ocorrem em fenômenos naturais, como nas trajetórias de um projétil ou de um planeta.
Estudaremos as (seções) cônicas, curvas planas que são obtidas da interseção de um cone circular com um plano. Vamos estudar a elipse, a hipérbole e a parábola, que sãochamadas de cônicas não degeneradas (Figura 7.5). Vamos defini-las em termos de lugares geométricos. As outras cônicas, que incluem um único ponto, um par de retas, são chamadas cônicas degeneradas (Figura 7.6).
Fig. 7.5
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Cônicas Não Degeneradas
Parábola
Parábola é o conjunto de todos os pontos yxP , de um plano eqüidistantes de uma reta r (diretriz) e de um ponto fixo F (foco), não pertencente a r, ou seja, a parábola é o conjunto de pontos yxP , tais que
rPdistFPdist ,, .
Fig. 7.7. Parábola obtida seccionando-se um cone com um plano
Proposição (a) A equação de uma parábola com foco 0,pF e reta diretriz pxr : é
pxy 42 . (12)
Fig. 7.6
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174
(b) A equação de uma parábola com foco pF ,0 e reta diretriz pyr : é
pyx 42 . (13)
Fig. 7.8. Parábola com foco no ponto
pF ,0 e 0pFig. 7.9. Parábola com foco no ponto
0,pF e 0p
Demonstração Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor, como exercício, a demonstração da segunda parte. A parábola é o conjunto dos pontos yx, tais que
rPdistFPdist ,, ,neste caso é
pxypx 22
Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos (12).
Fig. 7.10. Parábola com foco no ponto
pF ,0 e 0pFig. 7.11. Parábola com foco no ponto
0,pF e 0p
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O ponto V é o ponto da parábola mais próximo da reta diretriz e é chamado de vértice da parábola. A parábola é a curva que se obtém seccionando-se um cone por um plano paralelo a uma reta geratriz do cone.
Elipse
Definição Elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.
Consideramos no plano dois pontos distintos, 1F e 2F , tal que a distância
cFF 2,dist 21 , e um número real positivo a com ca 22 .
Chamando de a2 a constante da definição, um ponto P pertence à elipse (Figura 7.12) se, e somente se,
Elementos
Com base nas Figuras (7.13 e 7.14), tem-se:
aFPFP 2,dist,dist 21
em que ca .
Fig. 7.12
Focos: são os pontos 1F e 2F .Distância focal: é a distância c2 entre os focos.Centro: é o ponto médio c do segmento 1F e 2F .
Eixo maior: é o segmento 21 AA de comprimento a2 (este segmento contém os focos).Eixo menor: é o segmento 21BB de comprimento b2 e perpendicular a 21 AA no seu ponto médio.Vértices: são os pontos 121 ,, BAA e 2B .
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Fig. 7.13. Elipse com focos nos pontos
0,1 cF e 0,2 cF Fig. 7.14. Elipse com focos nos pontos
cF ,01 e cF ,02
Pela Figura (7.13) é imediato que aFB 22 pois aFBFB 22212 (definição de
elipse) e 2212 FBFB . Logo, do triângulo retângulo 22cFB vem
222 cba
Esta igualdade mostra que ab e ac .
Excentricidade da elipse é o número real
a
ce 10 e
A excentricidade é responsável pela “forma” da elipse: elipses com excentricidade perto de 0 (zero) são aproximadamente circulares, enquanto que elipses com excentricidade próxima de 1 são “achatadas”. Por outro lado, fixada uma excentricidade, por exemplo,
2
1e , todas as infinitas elipses com esta excentricidade têm a mesma forma (diferem
apenas pelo tamanho).
Proposição a) A equação de uma elipse cujos focos são 0,1 cF e 0,2 cF é (Figura 7.13)
2 2
2 21
x y
a b , (14)
em que 22 cab .
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b) A equação de uma elipse cujos focos são cF ,01 e cF ,02 é (Figura 7.14)
2 2
2 21
x y
b a , (15)
em que 22 cab .
Vamos provar a primeira parte e deixamos para o leitor, como exercício, a demonstração da segunda parte. A elipse é o conjunto dos pontos yxP , tais que
aFPFP 2,dist,dist 21 ,
ou seja,
aPFPF 221
,
que neste caso é
aycxycx 22222
ou
2222 2 ycxaycx
Elevando ao quadrado e simplificando, temos
cxaycxa 222 .
Elevando novamente ao quadrado e simplificando, temos
22222222 caayaxca
Como ca , então 022 ca . Assim, podemos definir 22 cab e dividir a
equação acima por 22222 caaba , obtendo (14).
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178
Fig. 7.15. Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano
Os pontos 121 ,, BAA e 2B são chamados vértices da elipse. Os segmentos 21 AA e 21BB
são chamados eixos da elipse. A excentricidade da elipse é o número a
ce . Como,
ac , a excentricidade de uma elipse é um número real não negativo menor que 1. Observe que se 21 FF , então a elipse reduz-se ao círculo de raio a. Além disso, como
0c , então 0e . Assim, um círculo é uma elipse de excentricidade nula.
A elipse é a curva que se obtém seccionando-se um cone com um plano que não passa pelo vértice, não é paralelo a uma reta geratriz (reta que gira em torno do eixo do cone de forma a gerá-lo) e que corta apenas uma das folhas da superfície.
Hipérbole
A Figura (7.16) nos mostra dois pontos fixos 1F e 2F , distintos e a uma distância c2um do outro.
Fig. 7.16
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Consideremos, agora, o conjunto dos pontos P do plano tais que a diferença de suas distâncias aos pontos fixos 1F e 2F seja uma constante positiva que indicamos por a2 , ou seja:
aPFPF 212
O conjunto de pontos nPPPP ,,,, 321 , nessas condições, é denominado hipérbole.
Definição Hipérbole é o conjunto de todos os pontos P do plano tais que a diferença de suas distâncias a dois pontos fixos 1F e 2F do plano é uma constante positiva e menor que a distância entre esses pontos fixos.
Consideramos no plano dois pontos distintos 1F e 2F tal que a distância cFF 2,d 21 e um número real positivo a de modo que ca 22 .
Chamando de a2 a constante da definição, um ponto P pertence a hipérbole (Figura 7.18) se, e somente se,
aFPFP 2,d,d 21 (16)
Fig. 7.18
Fig. 7.17
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Elementos
Com base nas Figuras (7.19), tem-se:
Fig. 7.20. Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano
Fig. 7.19
1A 2A
2B
1B
Focos: são os pontos 1F e 2F .Distância focal: é a distância c2 entre os focos.Centro: é o ponto médio c do segmento 1F 2F .
Vértices: são os pontos 1A e 2A .
Eixo real ou transverso: é o segmento 21 AA de comprimento a2 .
Eixo imaginário ou não-transverso: é o segmento 21BB de comprimento b2 e
2121 AABB em C.
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Proposição Seja a hipérbole de centro 0,0C . Consideraremos dois casos:
1) O eixo real está sobre o eixo dos x.
Seja yxP , um ponto qualquer de uma hipérbole (Figura 7.21) de focos 0,1 cF e
0,2 cF .
Pela definição em (16), tem-se
aFPFP 2,d,d 21
ou, em coordenadas
aycxycx 200 2222
Com procedimento de simplificação análogo ao que foi usado na dedução da equação da elipse, e lembrando que 222 bac , chegamos à equação
12
2
2
2
b
y
a
x
que é a equação reduzida para este caso.
E a equação das assíntotas (retas para onde as curva se aproxima, quando x )
xa
by ,
em que 22 acb .
Fig. 7.21. Hipérbole com focos nos pontos
0,1 cF e 0,2 cF Fig. 7.22. Hipérbole com focos nos pontos
cF ,01 e cF ,02
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2) O eixo real está sobre o eixo dos y
Observando a Figura (7.22), com procedimento análogo ao 1° caso, obtemos a equação reduzida
12
2
2
2
b
x
a
y
E a equação das assíntotas (retas para onde as curva se aproxima, quando x )
yb
ax ,
em que 22 acb .
Aplicação na Identificação de Cônicas
O problema da identificação de uma cônica (curva no plano descrita por uma equação do segundo grau em x e y) através da sua equação é facilmente resolvido, se a equação não possui um termo em que aparece o produto das duas variáveis. Mas, ao contrário, se aparece este termo misto, temos que fazer uma mudança de sistemas de coordenadas de forma que no novo sistema ele não apareça.
Uma equação quadrática nas variáveis x e y tem a forma
022 feydxcybxyax ,
em que a, b, c, d, e e f são números reais, com a, b e c não simultaneamente nulos. Esta equação representa uma (seção) cônica.
Dizemos que a equação de uma cônica não degenerada está na forma padrão se ela tem uma das formas dadas na Figura (7.23).
Vamos ver, agora, como a diagonalização de matrizes simétricas pode ser usada na identificação das cônicas cujas equações não estão na forma padrão.
Vamos estudar alguns exemplos.
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Fig. 7.23. Cônicas não degeneradas com equações na forma padrão
Ex.: 7.13 Considera a cônica C cuja equação é
036845 22 yxyx .
Esta equação pode ser escrita como
036 AXX T , (17)
em que
82
25A .
O polinômio característico de A é
361382
25detdet 2
2
IAp .
Logo, os autovalores de A são 41 e 92 . Os autovetores associados a 41 são as soluções não nulas do sistema
04 2 XIA
ou
0
0
42
21
y
x,
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cuja solução é
2
1V , onde R .
Os autovetores associados a 92 são as soluções não nulas do sistema
09 2 XIA
ou
0
0
12
24
y
x,
cuja solução é
21V , onde R .
Então,
2
2V . Onde as colunas de
V são os autovetores correspondentes.
Vamos fazer a mudança de variáveis |'PXX , em que
'
''
y
xX na equação (17).
036'' XAPPX TT,
ou
036'' DXXT
,
ou
03692'2' yx ,
ou ainda
149
2'2'
yx
(18)
que é a equação de uma elipse cujo esboço é mostrado na Figura (7.24). Para fazer o esboço do gráfico, em primeiro lugar temos que traçar os eixos 'x e 'y . O eixo 'x passa
pela origem, é paralelo e possui o mesmo sentido do vetor 1
W , que tem coordenadas
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0
1em relação ao sistema de coordenadas 'x 'y . Assim,
0
11 PW , que é a primeira
coluna de P. O eixo 'y passa pela origem, é paralelo e possui o mesmo sentido de 2
W
que tem coordenadas
0
1em relação ao sistema de coordenadas 'x 'y . Assim,
1
02 PW , que é a segunda coluna de P. Depois, a partir da equação (18), verificamos
na Figura (7.23) a forma da curva em relação aos eixos 'x e 'y .
Fig. 7.24. Elipse do exemplo (7.13)
Exercícios Numéricos
1. Ache o polinômio característico de cada matriz:
(a)
231
210
121
A , (b)
300
120
314
B R.: 24269)(
74)(23
23
b
a
2. Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
(a)
11
11A R.:
|),(
),(;
2
0
1
0
2
1
v
v
R
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(b)
42
11B R.:
|)2,(
),(;
3
2
3
2
2
1
v
v
R
(c)
223
031
001
C R.: R
|)2,5,0(
)8,3,6(),0,0(
;3
12
3
1
2
3
2
1
v
vv
(d)
000
300
210
D R.: R
|)0,0,(
0
0
321
v
3. Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis:
(a)
21
41A , (b)
12
01B R.:
1;)(
3,2;)(
21
21
nãob
sima
4. Ache para cada matriz A, se possível, uma matriz não singular P tal que APP 1
seja diagonal:
(a)
021
212
324
A R.: (a) não é diagonalizável; 3,1 321
(b)
110
110
001
A R.: (b)
101
101
010
P
5. Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço no gráfico.
(a) 30649 22 yxyx ;
(b) 0811283 22 yxyx ;
(c) 2442 22 yxyx ;
(d) 013213621 22 yxyx .
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Exercícios usando o MATLAB
>> syms x y z diz ao MATLAB que as variáveis x, y e z são simbólicas;
>> A=[a11,a12,...,a1n;a21,a22,...; ...,amn] cria uma matriz, m por n, usando os elementos a11, a12, ..., amn e a armazena numa variável A;
>> A=[A1,...,An] cria uma matriz A formada pelas matrizes, definidas anteriormente, A1, ..., An colocadas uma ao lado da outra;
>> A=rand(n) ou >> A=rand(m,n) cria uma matriz n por n ou m por n, respectivamente, com elementos aleatórios.
>> solve(expr) determina a solução da equação expr=0. Por exemplo, >> solve(x2-4) determina as soluções da equação x2 - 4 = 0;
>> subs(expr,x,num) substitui na expressão expr a variável x por num.
>> A=randi(n) ou >> A=randi(m,n) cria uma matriz n por n ou m por n, respectivamente, com elementos inteiros aleatórios.
>> escalona(A) calcula passo a passo a forma reduzida escalonada da matriz A.
>> [P,D]=diagonal(A) diagonaliza a matriz A, de forma que AP=PD, em que D éuma matriz diagonal e P é uma matriz ortogonal.
>> subst(expr,[x;y],[a;b]) substitui na expressão expr as variáveis x,y por a,b, respectivamente.
>> elipse(a,b) desenha a elipse 12
2
2
2
b
y
a
x.
>> elipse(a,b,[U1 U2]) desenha a elipse 12
2'
2
2'
b
y
a
x, em que x’ e y’ são as
coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2.
>> elipse(a,b,[U1 U2],X0) desenha a elipse 12
2''
2
2''
b
y
a
x, em que x” e y” são as
coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormalU1 e U2 e pelo ponto X0.
>> hiperbx(a,b) desenha a hipérbole 12
2
2
2
b
y
a
x.
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>> hiperbx(a,b,[U1 U2]) desenha a hipérbole 12
2'
2
2'
b
y
a
x, em que x’ e y’são as
coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2.
>> hiperbx(a,b,[U1 U2],X0) desenha a hipérbole 12
2''
2
2''
b
y
a
x, em que x” e y” são
as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0.
>> hiperby(a,b) desenha a hipérbole 12
2
2
2
b
x
a
y.
>> hiperby(a,b,[U1 U2]) desenha a hipérbole 12
2'
2
2'
b
x
a
y, em que x’ e y’ são as
coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2.
>> hiperby(a,b,[U1 U2],X0) desenha a hipérbole 12
2''
2
2''
b
x
a
y, em que x” e y” são
as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e pelo ponto X0.
>> parabx(p) desenha a parábola pxy 42 .
>> parabx(p,[U1 U2]) desenha a parábola '42' pxy , em que x’ e y’ são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2.
>> parabx(p,[U1 U2],X0) desenha a parábola "42'' pxy , em que x” e y” são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e por X0.
>> paraby(p) desenha a parábola pyx 42 .
>> paraby(p,[U1 U2]) desenha a parábola , '42' pyx em que x’ e y’ são as coordenadas em relação à base ortonormal U1 e U2.
>> paraby(p,[U1 U2],X0) desenha a parábola "42'' pyx , em que x” e y” são as coordenadas em relação ao sistema de coordenadas determinado pela base ortonormal U1 e U2 e por X0.
Obs.: Use o MATLAB para resolver os Exercícios Numéricos