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MATEMÁTICAS APLICADASA LAS CIENCIAS SOCIALES
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S O L U C I O N A R I O
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Matemáticas aplicadas a las Ciencias SocialesSolucionario de 1.º de Bachillerato
Noestápermitidalareproduccióntotaloparcialdeestelibro,nisutratamientoinfor-mático,nilatransmisióndeningunaformaoporcualquiermedio,yaseaelectrónico,mecánico,porfotocopia,porregistrouotrosmétodos,sinelpermisoprevioyporescritodelostitularesdelCopyright.
Derechos reservados © 2008, respecto a la primera edición en español, por:
McGraw-Hill/InteramericanadeEspaña,S.A.U. EdificioValrealty,1.aplanta Basauri,17 28023Aravaca(Madrid)
ISBN:978-84-481-6646-5Depósito legal:
Autores del libro del alumno: JoséMaríaMartínez,RafaelCuadrayAdolfoHerasEquipo editorial: M.ªIsabelBermejoySergioNombelaEquipo preimpresión: DanielMontanyà,ClaudiaFernándezyMaríaÁngelesRamírezRevisor técnico universitario: EnriqueZuazuaRevisores técnicos: RafaelÁngelMartínezyAlejandroMontesinosRevisor de ejercicios: JuanPabloCarrascoIlustraciones técnicas:AnaColerayPabloVázquezColaborador editoial:EduardoLópezDiseño de cubierta:McGraw-HillDiseño interior: McGraw-HillMaquetación: EdicionesGráficasArialImpresión:
IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN
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�MATEMÁTICAS 1.º BACHILLERATO. SOLUCIONARIO DEL LIBRO
ÍNDICE
j Unidad 1. Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
j Unidad 2. Conceptos algebraicos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
j Unidad 3. Introducción a los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
j Unidad 4. Ecuaciones e inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
j Unidad 5. Sistemas de ecuaciones y sistemas de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
j Unidad 6. Funciones y gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
j Unidad 7. Funciones polinómicas y racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
j Unidad 8. Funciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
j Unidad 9. Sucesiones de números reales y aplicaciones económicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
j Unidad 10. Funciones periódicas y trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
j Unidad 11. Estadística básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
j Unidad 12. Distribuciones bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
j Unidad 13. La distribución binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
j Unidad 14. Distribuciones continuas. La distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
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� RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS01
jACTIVIDADES
1. Le resto nueve unidades a un número y me da lo mismo que si lo divido por 3. ¿De qué número se trata?
xx
x293
13 255 5⇒ ,
2. Disponemos de una cuba llena de vino y de dos recipientes con capacidad de 8 y 5 litros. ¿Qué tienes que hacer para medir dos litros de vino? (Puedes traspasar vino de un reci-piente a otro y emplear la cuba para vaciar o coger vino.)
RecipientesCuba,xlitros De8litros De5litros
Paso 1 x 2 5 0 5Paso 2 x 2 5 5 0Paso 3 x 2 10 5 5Paso 4 x 2 10 8 2
3. Con cuatro cuatros, unidos y ligados por las cuatro opera-ciones elementales, pueden obtenerse los números natura-les del 0 al 9. Por ejemplo:
0 5 4 2 4 1 4 2 4; 1 (4 1 4)/(4 1 4) Obtén los demás.
25 4/4 1 4/4 35 (4 1 4 1 4)/445 (4 2 4)/4 1 4 55 (4 ? 41 4)/4 65 4 1 (41 4)/4 75 4 1 42 4/4
854
4/4 1 4 95 4 1 41 (4/4)
4. Se reparte cierta cantidad de dinero entre varias personas del siguiente modo: a la primera se le da 1/4 del dinero inicial; a la segunda, 1/4 de lo que resta más 1 000 €; a la tercera, 1/4 de lo que queda más 2 000 €; y así sucesi-vamente. Al final, todos han recibido la misma cantidad. ¿Cuánto dinero recibe cada persona y cuántas son?
14
100014
14
x x x5 1 2 x 5 16000
Cadapersonarecibe4000€.Haycuatropersonas.
jProblemas propuestos
Tipo I: Problemas de prueba-ensayo y de recurrencia
1. ¿Cuántas cerillas se necesitan para formar una cadena de 30 triángulos como se indica en la siguiente figura?
Fig. 1.1.
Paraelprimertriángulonecesitamos3cerillas.Paracadaunodelossiguientes,2cerillasmás.Portanto,senecesitan:3 1 29 ? 2 5 61cerillas.
2. Divide cada una de las siguientes figuras en cuatro figuritas semejantes a la inicial. Te damos la solución de una de ellas.
Fig. 1.2.
Fig. 1.3.
3. Observa las siguientes igualdades: 1 5 1 1 1 3 5 4 1 1 3 1 5 5 9 1 1 3 1 5 1 7 5 16 a) ¿Sabrías decir el resultado de la suma de los diez prime-
ros números impares? b) ¿Y el resultado de 1 1 3 1 5 1 7 1 … 1 75 1 79?
a) 1 1 3 1 5 1 7 1 … 1 19 5 102 5 100. Puedeobservarsequelasumadelosnprimerosnúmerosim-
paresvalen2. Nota:Estacuestiónpodríaproponerseparademostrarlaporel
métododeinducción.b) 1 1 3 1 5 1 7 1 … 1 75 1 79 5 402 5 1600.
4. ¿Qué cifra corresponde a cada raya para que sea correcto el producto?
_ _ _ 4 _ _ 3 7 5 6 743 _ 56
Laúltimacifradelprimerfactortienequeser8,pueseslaúnicaquemultiplicadapor7acabaen6.Setiene: ___4_837 5 6743_56Lossucesivospasosson:___40837 5 6743_56 ___40837 5 6743856Ahora,bastacondividir6743856entre7.Seobtiene963408.
5. Vuelve a leer el Ejemplo 2º de la sección 1.3. Contesta a la pregunta que se hizo: ¿Cómo es C?
SiAesbueno,comodicelaverdad Besbueno A 5 C Cesbueno.
SiAesmalo,comodicelamentira B esmalo A C C esbueno.
Encualquiercaso,Cesbueno.
6. ¿En qué número termina 228? A partir del resultado hallado, indica en qué número terminan 2183 y 2185.
Lasterminacionesposiblesson2,4,8y6.
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== 5
�RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 01
21 2 25 32 24n 1 1 222 4 26 64 24n 1 2 423 8 27 128 24n 1 3 824 16 28 256 24n 6
Luego:228terminaen6.2183 5 24 ? 45 1 3terminaen8.2185 5 24 ? 46 1 1terminaen2.
7. En un viejo papel hemos encontrado la siguiente nota de una venta realizada. Dice así:
72 pollos, a _ _ pesetas el pollo 5 _19_ pesetas. Las rayas indican números que se han borrado. ¿A cómo estaría el pollo en aquellos tiempos?
Como72esmúltiplode9yde2,elresultadodelproductodebesermúltiplode9ypar.Enconsecuencia,suscifrasdebensumar9,18o27.Terminandoelnúmeroencifrapar,tenemoslassiguientespo-sibilidades:
_190,_192,_194,_196,_198Yparaqueseamúltiplode9:
8190,6192,4194,2196,9198De estos números, el único divisible por 72 es 6192 6192 5 72 ? 86.Elpreciodelpolloerade86pts.
8. Supón que tienes 9 bolas de igual aspecto y tamaño. Sólo hay un inconveniente: una de ellas tiene un peso ligera-mente distinto de las demás; en compensación dispones de una balanza de platillos. ¿Qué número mínimo de pesadas necesitas hacer para averiguar cuál es la bola distinta?
Ésteesunviejoyconocidísimoproblema.Lomás importantedeéleselmétodo,laestrategia;yqueponedemanifiestolafuerzadelalógica.Enestosproblemasnosetratadeacertarporsuerte;siasífue-se,en1decada9casosacertaríamosporpuroazar.Setratadequeelmétodofuncionesiempre,seacualseanuestrasuerte.Dichoesto,analiza:¿quédatostengo?;¿quéséconcerteza?Tienes9bolas:8igualesy1distinta;perosólo1distinta.Tienes,además,unabalanzaquepuedeservirparacompararelpesodelasbolas.Apartirdeaquínecesitasunaestrategia.Tienesvariasopciones:Primera:Compararlasbolasunaauna.Silabalanzaquedaenequilibriolasbolassoniguales;siseinclina,algunadeesasdosbolasesdistinta,peronosabescuáldeellasesla«mala».Conestaestrategia,enelpeordeloscasos,puedesnecesitarhasta4pesadas,queserían:
I II III IV
Fig. 1.4.
EnlaspesadasI,IIyIIIsabesquetodaslasbolassonbuenas.EnlaIV,algunadelasdosesladistinta.Silabalanzaseinclinacomoindicamosharemosotrapesadacomparandolaboladela
izquierda, lamáspesada,conalgunade lasbolasbuenas.Enestaquintapesadapuedesuceder:(a)Quelabalanzaquedeenequilibrio,conlocual,laboladistintaeslaotra,laqueestabaenelplatilloderecho;ademáspesamenosquelasotras.(b)Quelabalanzavuelvaainclinarseenelmismosentido,dedondelabolamalaeslaquehemostomado;ademásesmáspesada.2Silascuatropesadasprimerasquedaranenequilibrio,labolamalaeslaúltima.Comparadaconcualquieradelasotraspode-mosdeducirsipesamásomenos.2SilapesadadesequilibradaeslaI,IIoIIIsepuedededucirantescuálycómoeslabolamala.
Segunda:Compararlasbolasdosados.Conesteprocedimientopuedesnecesitarhastatrespesadas.(Tedejamosquelocomprue-besportucuenta.)Tercera:Compararlasbolasdetresentres.Puedesuceder:(I)Pesadaenequilibrio: Labolamalaestáentrelasotrastres. Comparando estas tres bolas una a una se determina lamala.
Fig. 1.5.
(II)Pesadainclinadaalaizquierda: Lasotrastresbolassonbuenas.Quitamostresbolasdeladerechayensulugarpone-moslastresbolasbuenas.Puedesuceder:
Fig. 1.6.
2Labalanzasequedaenequilibrio labolamalaestáentrelastresquitadas,ypesamenos.Ponemosdosdeesasbolas,unaencadaplatillo:siquedaenequilibrio,labolamalaeslaotra;sisedesequilibra,labolamalaesladelamásligera.
Tipo II: Problemas de tipo algebraico: ecuaciones y sistemas
9. Le sumo 20 unidades a un número y me da lo mismo que si lo multiplico por 3. ¿De qué número se trata?
Sixeselnúmerobuscado,secumple:x 1 20 5 3x x 5 10.
10. José María dobla los años a Cristina; Carmen es tres años mayor que Cristina; y José María, cuatro más que Catalina. Si la suma de todas las edades es 29, ¿cuál es la edad de cada uno?
Edades:Cristina 5 x;JoséMaría 5 2x;Carmen 5 x 1 3;Catalina 5 2x 2 4x 1 2x 1 x 1 3 1 2x 2 4 5 29 x 5 5
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� RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS01
LaedaddeJoséMaríaes10años.LaedaddeCarmenes8años.LaedaddeCatalinaes6años.LaedaddeCristinaes6años.
11. A una cuba de vino, inicialmente llena, se le extrae un sex-to de su capacidad más 15 litros. Si añadiendo un cuarto de su capacidad ésta vuelve a llenarse, ¿cuántos litros caben en la cuba?
Capacidaddelacuba 5 x
Seextrae:x6
151 .
Seañade:x4.
Comox x6
154
1 5 x 5 180litros.
12. El triple de un número es la mitad de otro. ¿Qué números son?
Silosnúmerossonayb,entonces:32
ab
5 b a56
Hayinfinidaddeposibilidades.
13. El triple de un número es la mitad de otro. Si entre los dos suman 56, ¿qué números son?
Setiene:b a56 y,además,a b1 556 a 5 8;b 5 48.
14. El triple de un número es la mitad de otro. Si entre los dos suman 56 y su diferencia es 40, ¿qué números son? (¿Ob-servas algo extraño en el enunciado?)
Lasolucióneslamismaqueladelproblemaanterior.(Puedeob-servarsequeladiferenciaentrelosdosnúmeroses40.)Nota:Conesteproblemasetratadeverquesobraundato.Afortu-nadamente,estedatosobrantenoescontradictorioconlosotrosdos,locualpermitiríaresolverelproblemaconociendodosdatoscualesquieradelostresdados.
Tipo III: Problemas de tipo geométrico
15. Un ángulo mide dos grados menos que el triple de su com-plementario. ¿Cuánto vale?
Six eselángulobuscado,sucomplementariomide90 2 x.Entonces:x 5 3 ? (90 2 x) 2 2 x 5 67.
16. La superficie de un triángulo isósceles de altura 4 cm es 12 cm2. Halla su base. ¿Cuánto miden los otros dos lados si la suma de sus longitudes es 4 cm más que la base?
Área:Ab h
5?
2 12
42
5b?
b 5 6.
Lado 5 l 2 6 4l5 1 l55.Observa:Enesteproblemasobraundato.¿Sedaráncuentalosalumnos?Sinoesasí,quelodescubranhaciendoelproblemanúmero20.
17. La superficie de un cuadrado es S, ¿cuál será la superficie de un cuadrado cuyo lado es el doble del anterior?
Sielladodelcuadradopequeñoeslsetiene:S l5 2.SisedoblaelladoL l52 ,lasuperficieseráL l l S2 2 22 4 45 5 5( ) quedamultiplicadapor22 5 4.Nota:Podríaplantearseconotrosaumentosproporcionalesdellado(L 5 kl)ycomprobarquelarazónentrelassuperficiesesk2.
18. En un cubo de arista a caben 111 litros de agua. ¿Cuántos litros puede contener un cubo cuya arista es el doble del anterior? ¿Es necesario conocer el valor de a?
Elvolumendelcuboinicialesa3.Elvolumendeldedoblearistaserá:V a a5 5( )2 83 3,quevaldrá8 ? 111 5 888litros.Noesprecisoconocera.
19. Dibuja una circunferencia con un lápiz y una regla.
Sedibujaunpunto,queseráelcentro,ysecolocalareglacomoseindica,trazandounalínea.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Fig. 1.7.
Girandolaregla,manteniendoelpuntoencontactoconella,setrazanotrasrectas,obteniéndoseundibujocomoelsiguiente.Lacircunferenciaesla“envolvente”detodasesasrectas,quesontangentesalacircunferencia.
Fig. 1.8.
Tipo IV: Problemas resolubles mediante fórmulas
20. La superficie de un triángulo isósceles de altura 4 cm es 12 cm2. Halla su base y los otros dos lados.
PorelProblema16,b 5 6.Comoesuntriánguloisósceleslaalturacaeenelpuntomediodelabase.PodemosaplicarelteoremadePitágoras:l2 2 24 35 1 l 5 5cm.
3
4l
Fig. 1.9.
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�RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 01
21. Un ciclista parte de Badajoz con destino a Cáceres, que está a 90 km de distancia. Una hora después otro ciclista inicia el mismo itinerario, recorriendo cada hora 10 km más que el primero. Si llegan a Cáceres en el mismo instante, ¿cuánto tiempo tardó cada uno?
Primerciclista:
Velocidad 5 v;tiempo 5 t vt
590
Segundociclista:
Velocidad 5 v´;tiempo 5 t´,cont´5t 2 1yvt
´590
12
Comov́ 5 v 1 10 90
190
10t t2
15 t t2 9 02 2 5 t 5 3,54h 3h,32min.
22. Con un trozo rectangular de cartón, que es 4 cm más largo que ancho, se construye una caja sin tapa de volumen 840 cm3, cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y do-blando los bordes. ¿Qué dimensiones tenía el cartón?
6
6
x
x 1 4
x 2 8 x 2 12
6
Fig. 1.10.
(x 2 8) ? (x 2 12) ? 6 5 840 x x2 20 44 02 2 5 x 5 22
Tipo V: Reducción a la unidad
23. Tres amigos ganan por un trabajo 1 105 €. ¿Cuánto les co-rresponde a cada uno de ellos si uno trabajó 8 días, otro 5 y el otro 4?
En total trabajaron 17 días. A cada día le corresponden1 10517
65ù €.
Uno cobrará 8 ? 65 5 520€; otro, 5 ? 65 5 325; y el tercero,4 ? 65 5 260€.
24. Si 6 gatos pueden comer 6 sardinas en 6 minutos, ¿cuántos gatos serán necesarios para comer 100 sardinas en 50 mi-nutos?
Cadagatosecomeunasardinaen6minutos.Paracomerse100sardinas,ungatonecesitaría600minutos.Paracomerselas100sardinasen50minutossenecesitarán12gatos.
25. ¿Cuántos litros de aceite de 2,90 €/L hay que mezclar con 200 litros de 3,60 €/L para que la mezcla resulte a 3,40 €/L?
Litrosde2,90 5 x.2,90x 1 3,60 ? 200 5 3,40 ? (x 1 200) x 5 80L.
26. ¿Cuántos mapas del mismo tamaño que el de escala 1:200000 habrá que hacer para reproducir la misma super-ficie a escala 1:50000?
Aescala1:200000,1cm2delmapa 5 4km2enlarealidad.Aescala1:50000,1cm2delmapa 5
5 (50000?50000 5 2500000000cm2) 5 0,25km2enlarealidad.Por tanto, habrá que hacer 4/(0,25) 5 16 mapas de escala1:50000.
Tipo VI: Estrategia hacia atrás
27. Dos jugadores pueden sumar uno, dos o tres al número que diga el otro. Comienzan en cero y gana el primero que lle-gue a 37. ¿Qué hay que hacer para ganar?
Lasecuenciadelganadordebeser:37,33,29,25,21,17,13,9,5,1Ganaráelquecomienceeljuegoysigaestasecuencia,dede-rechaaizquierda.
28. Dos jugadores pueden sumar desde uno hasta diez al núme-ro que diga el otro. Comienzan en cero y gana el primero que llegue a 100. ¿Cómo hay que hacer para ganar?
Ganaelquecomienzaysigueestasecuencia:1,12,23,34,45,56,67,78,89,100Nota:Podríaplantearseunjuegoconlasmismasreglas,peroelquepierdeeselqueseveaobligadoadecir100.¿Cuáldebeserlasecuenciadelganador?
29. Aquí tienes tres trozos de cartulina. Haz un corte en cada cartulina, de forma que queden seis piezas que puedan jun-tarse para formar un cuadrado.
20 cm
10 cm
20 cm
10 cm
20 cm
10 cm
Fig. 1.11.
Elcuadradofinaldebetenerunasuperficiequeserálasumadelassuperficiesdelostrestrozosdados:20 ? 10 1 20 ? 5 1 20 ? 10 5 500 serás un cuadrado de lado
500,queeslamedidadeladiagonal(ydelahipotenusa)delosrectángulos.
jCUESTIONES BÁSICAS
1. ¿Qué error se comete en las siguientes igualdades?a) (3 1 4)2 5 32 1 42;
b)4 2
4 22
2
xx1
5 1 ;
c) 2 2x x x2 2 25 5( ) .
a) Elcuadradodeunasumanoeslasumadeloscuadrados.
b) Sesimplificanfactores,nosumandos:4 2
422
2 2
xx x
115 .
c) 2 2 ? 2x x x x22 5 5 ( ),siempreesnegativo. ( )2x x2 25 ,siempreespositivo.
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� RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS01
2. Expresa mediante una igualdad las siguientes sentencias: a) El doble de x más 3 es igual a y. b) El doble de x, más 3, es igual a y. c) El cuadrado del doble de x es igual a la mitad de y.
a) 2 ? (x 1 3) 5 yb) 2x 1 3 5 y
c) ( )22
2xy
5
3. ¿Qué dice el teorema de Pitágoras? ¿Por qué el triángulo de lados 3, 4 y 5 cm es rectángulo, mientras que el de lados 10, 12 y 15 cm no lo es?
Eneltriángulodelados3,4y5secumpleque52 5 32 1 42;estoes,elteoremadePitágoras.En el triángulo de lados 10, 12 y 15 no se cumple que152 5 102 1 122;portantonopuedeserrectángulo.
4. En un mapa a escala 1:100 000, ¿cuál es la distancia real entre dos ciudades que están separadas 3 cm en el mapa?
3 ? 100000 5 300000cm 5 3km.
5. ¿Cómo medirías un litro de agua si tienes dos recipientes de 3 y 5 litros?
(1)Llenaselrecipientede3litros loviertesenelde5.(2)Vuelvesallenarelrecipientede3litros loviertesenelde5hastaquesellena.Enelrecipientede3litrosqueda1litro.
6. Una camisa valía 72 euros. ¿Cómo calcularías con una simple multiplicación su valor si se ha rebajado un 16 %?
72 ? (1 2 0,16) 5 72 ? 0,84 5 60,48€
7. ¿Cuánto suman los ángulos de un triángulo? ¿Y los ángulos de un pentágono?
Triángulo:180º.Unpentágonopuededescomponerseentrestriángulos su-marán3 ? 180 5 540.
8. ¿Qué mismo número hay que añadir a los dos términos de
la fracción 38
para que resulte equivalente a 78?
3 78
321 x
81 xx5 5⇒
9. La suma de dos números consecutivos es 147. Hállalos.
x 1 (x 1 1) 5 147 73y74
10. Sabiendo que 1 232 5 15 129, halla sin calculadora 121 ? 125. (Recuerda que (x 2 a)(x 1 a) 5 x2 2 a2.)
121 125 123 2 123 2 123 4 15129 4 15122 2? 2 1 2 25 5 5 5 5)()( 5
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�CONCEPTOS ALGEGRAICOS BÁSICOS 02
jACTIVIDADES
1. Clasifica los números siguientes:a) 20,325; b) 0,9333...; c) 1,122333444455555....;
d) 11; e) 121. Cuando sea posible, escribe una fracción equivalente a
ellos.
a) Racional,2325/1000b) Racional,84/9c) yd)Irracionalese) Entero,11
2. Calcula:
a) 23
34
313
1 ? 2 ; b) 23
34
313
1 ? 2 ;
c) 23
34
313
: 1 2 ; d) 23
34
313
2 1 : .
a)23
34
313
1 ? 2 5 1712
313
4712
? 2 5
b)23
34
313
3112
1 ? 2 5
c)23
34
313
: 1 2 5 23
154
13
745
: 2 25
d)23
34
313
23
154
13
23
454
12712
2 1 2 2 2: :5 5 5
3. Resuelve las siguientes operaciones, simplificando el resultado:a) (4 ? 32)(5 ? 33); b) [(23)2]3 25);
c) 5 55 3
2
2
1
1; d)
32
25
35
3
22 2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ;
e) 5 3 2015 2 10
5 4 6
4 5 7
? ?
? ?; f)
1005 2
2
2 3
( )( ) ( )
xyx y?
.
a) 36 ? 45 5 1620; b) 724; c)3014
157
5 ;
d)12111000
; e) 1; f)1
2y
4. Descompón en factores:a) P(x) 5 x2 2 2x; b) Q(x) 5 x2 2 2x 1 1; c) R(x) 5 2x3 2 10x2 1 8x.
a) P(x) 5 x2 2 2x 5 x(x 2 2)b) Q(x) 5 x2 2 2x 1 1 5 (x 2 1)2
c) R(x) 5 2x3 2 10x2 1 8x 5 2(x 2 4)(x 2 1)
5. Opera y simplifica las siguientes expresiones:
a) 21
2
21
xx
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
b) 2 1
11
xx
x1
11 2( )
c) 21
2 11
12
21
1
11 2
xx
xx
x⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟: ( )
d) 2
1 1 12 2 2
xx x
xx( ) ( )2 1 1
21
a) 21
2 21
21
222
22
1
1 2
1
1
1
xx
x xx
xx
5 5( )( )
b)2 1
11
2 1 11
21
2 2xx
xx x
xx xx
1
11 2
1 1 2
1
1
1( )5 5
c) 21
2 11
12
21
1
11 2
xx
xx
x( ): 5x
x
x x
x
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
( )( )
( )( )
: 5
5x x
x x x
x
x x
1 1
1 1
1
1
2 1
1 2
2
1
2
2
( ) ( )( ) ( ) ( )
5
d)2
1 1 12 2 2
x
x x
xx2 1 1
21( ) ( )
5
5
21 2 1 2 12 2 2
xx x x x
xx2 1 1 1 1
21
5
5 2
2 1 10
2 2
x
x
xx1
21( )
5
jProblemas propuestos
Tipo I: Operaciones elementales. Potenciación
1. Halla el resultado decimal de: a) 4,0031 2 0,3 ? 2,01; b) 2 3,2 : 2,1 2 0,1 ? 0,03; c) (0,07 2 4,2) ? 2,1; d) (2 0,03)3;
e) 1
0 031 21 6,,,
1 ; f) 1,17 ? 6,2 2 3,001.
a) 3,4001; b)21 526809523, ; c) 2 8,673d) 2 0,000027; e) 34 083, ; f) 4,253
2. Expresa en forma de fracción los siguientes números:a) 30 63, ; b) 0,24;c) 3,3111...; d) 5 021, .
a)33711
; b)625
; c)14945
; d)1657330
3. Calcula y simplifica:
a) 25
16
245
2 ? 1⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ b)
25
16
245
2 ? 1⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
c) 25
16
245
2 ? 1⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ d)
25
74
:
a)4975
; b) 2115
;
c)1915
; d)835
.
Sol_1CCSS_PRELS a_UD03.indd 9 12/5/08 16:30:27
10 CONCEPTOS ALGEBRAICOS BÁSICOS02
4. Calcula y simplifica:
a) 25
65
52
12 2: ; b) 14
312
22 2 1? ;
c) 12
23
42
2 2 ;
d) 23
35
25
34
2 1: .
a) 23325
; b) 2338
;
c)4312
; d) 2112
.
5. Calcula y simplifica:
a) 43
523
25
2 ? 2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟; b)
23
98
312
12
3
2
? 2 2 ;
c) 25
37
49
:⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ? ; d)
25
34
49
: ?⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟.
a) 0; b)14; c)
56135
; d)65.
6. Expresa en función de las potencias de 10 los siguientes números:a) 3 740 b) 0,05 c) 2 308,547
a) 3740 5 3 ? 103 1 7 ? 102 1 4 ? 101 1 0 ? 100
b) 0,05 5 5 ? 1022
c) 2 ? 103 1 3 ? 102 1 8 ? 100 1 5 ? 10 21 1 4 ? 10 22 1 7·10 23
7. Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
a) 6432
3 2
4
a ba b
; b) 6 3 2 3318 121 12
2 5 6 5
3 2 4
? ? ?
? ?;
c) 268
1332
2 7 2
2 3
24 3
2 2
x y zxy z
x yzx y z
: .
a)6432
3 2
4
a ba b
5 2ba
b)6 3 2 3318 121 12
2 5 6 5
3 2 4
? ? ?
? ?5
2 3 3 2 3 112 3 11 2 3
2 2 5 6 5 5
3 6 4 8 4
? ? ? ? ?
? ? ? ? 5
2 3 112 3 11
8 12 5
11 10 4
? ?
? ? 5
5 3 11
2
2
3
?5
998
c)268
1332
2 7 2
2 3
24 3
2 2
x y zxy z
x yzx y z
: 5
52 13
2132
2 2 4 14 4
6 2 4 6
4 3
5 2
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
x y zx y z
x y zx
:?? ?y z2
5
52 132 13
7 2 6 16 5
6 6 5 9
? ? ? ?
? ? ? ?
x y zx y z
5 2 13 11
4
? ? yz
5 26 11
4
yz
Tipo II: Expresiones algebraicas
8. Expresa algebraicamente: a) Cuatro veces x menos su décima parte.
b) La tercera parte del número p por el cuadrado de r y por h (volumen de un cono).
c) El precio de una entrada de cine es x más el 6 por 100 de IVA aplicado sobre x.
a) 410
xx
2 ; b)13
2pr h; c) P x x5 16
100.
9. Escribe la expresión general de los números naturales que son:a) Múltiplos de 4. b) Múltiplos de 6.c) Múltiplos de 4 y de 6 a la vez.
a) 4nb) 6nc) 12n.Sisedacomosolución24nsepierdelamitaddeellos.
10. La expresión C(t) 5 2 000 ? (1 1 0,05) da el capital acumu-lado al cabo de t años para un capital inicial de 2 000 € puesto a un 5 % de interés en un determinado banco. ¿Cuál será ese capital al cabo de 2 años? ¿Y al cabo de 4 años?
C( ) ( , )2 2000 1 0 05 220525 5? 1 €;C( ) ( , ) ,4 2000 1 0 05 2431 0145 5? 1 €.
11. El coste total, en euros, de la producción de x unidades de un determinado producto viene dado por la expresión
f x x( )5100 10001 . Halla el coste de producir 16, 100, y 400 unidades. ¿A cuánto sale la unidad en cada caso?
f ( )16 100 16 1000 14005 51 €Cadaunidadsalea1400/16 5 87,5€f ( )100 100 100 1000 20005 51 €Cadaunidadsalea2000/100 5 20€f ( )400 100 400 1000 30005 51 €Cadaunidadsalea3000/400 5 7,5€
Tipo III: Operaciones con polinomios
12. Calcula: a) 3x6?4x5; b) ( ) ( )2 ? 22 145 3x x ;
c) ( ) ( )2 35 4x x? 2 ; d) x x6 242( ); e)
4 3x10 2x
; f) 4 4
10
3
2
x xx
2.
a) 12x; b) 28x8; c) 2 6x9;
d) 24x; e)25x; f)
2 25
2xx2
.
13. Calcula: a) 7 6 2 4 2 12 3 5 3 2x x x x x2 1 2 1 2( ) ( ) b) ( ) ( )2 4 1 3 73 2 2 3x x x x2 1 1 2 1 2
c) ( )8x429x311 ( )2x13x3252
d) 212
334
513
3 2 2x x x x2 1 2 1 2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
a) 2x5 2 10x3 1 9x2 2 1 b) 3x3 2 7x2 2 6
c) 13x4 2 12x3 2 2x 1 1 d) 254
5103
3 2x x x2 2 1
Sol_1CCSS_PRELS a_UD03.indd 10 12/5/08 16:31:09
11CONCEPTOS ALGEGRAICOS BÁSICOS 02
14. Haz las siguientes multiplicaciones de polinomios:a) (3x3 25x2 17x 25)(23x2 15x 24)b) 2 1 1 2 1
13
525
25
312
22x x x x⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
c) ( )( )5 3 5 7 6 32 3x x x x1 2 2 1
d) 14
38
2x2 x2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 25x214x2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
a) 29x5 1 30x4 2 58x3 1 70x2 2 53x 1 20
b) 2 1 2 1 1215
32251150
1310
15
4 3 2x x x x
c) 35x5 1 21x4 2 65x3 2 3x2 1 39x 2 15
d)214
x42 x32438
214
x11058
x21
15. Haz las siguientes divisiones de polinomios:a) (8x5 112x4 210x3 122x2 146x 225):(2x3 2x 17)
b) (20x3 112x4 129 239x2 228x):(4x2 25) c) ( )2x323x12 ( )2x21:
a)Cociente:4x2 1 6x 2 3 Resto:x 2 4b)Cociente:3x2 1 5x 2 6 Resto: 2 3x 21
c) Cociente:12
54
x21 x2
Resto:34
16. Halla:
a) x262( ) ; b) ( )4 2
21x ;
c) 12
512
5x x1 2 ; d) ( )( )4 1 4 1x x2 1 .
a) x2 2 12x 1 36; b) 16 1 8x2 1 x4;
c)14
252x 2 ; d) 16x2 2 1.
17. Utiliza la regla de Ruffini para hacer las siguientes divisio-nes:a) ( ) ( )x x x x5 32 11 2 2:
b) ( ) ( )2 3 33 5x x x x2 2 2:
c) ( ) ( )3 6 14x x2 1:
a)Cociente:x4 1 x3 2 x2 2 x Resto:0b)Cociente: 2 x4 2 3x3 2 7x2 2 21x 2 66 Resto: 2198c)Cociente:3x3 2 3x2 1 3x 2 3 Resto: 23
Tipo IV: Factorización de polinomios
18. Factoriza los siguientes polinomios:a) P(x) 5 4x4 1 10x2 b) P(x) 5 10x3 2 250xc) P(x) 5 3x3 2 9x2 1 6x
a) P(x) 5 4x4 1 10x2 5 2x2(2x2 1 5)b) P(x) 5 10x3 2 250x 5 10x(x2 2 25) 5 10x(x 1 5)(x 2 5)c) P(x) 5 3x3 2 9x2 1 6x 5 3x(x2 2 3x 1 2) 5 3x(x 2 1)(x 2 2)
19. Factoriza los siguientes polinomios:a) P(x) 5 2x2 1 x 2 15 b) P(x) 5 8x4 1 80x3 1 200x2
c) P(x) 5 6x5 1 14x4 1 4x3
a) P(x) 5 2x2 1 x 2 15 5 2(x 1 3)(x 2 5/2)b) P(x) 5 8x4 1 80x3 1 200x2 5 8x2(x2 1 10x 1 25) 5 8x2(x 1 5)2c) P(x) 5 6x5 1 14x4 1 4x3 52x3(3x2 1 7x 1 2)5 5 2x3(x 1 2)(x 1 1/3)
20. Halla un polinomio de segundo grado sabiendo que una de sus raíces es x 5 25 y que P(2) 5 27
ElpolinomiobuscadoesdelaformaP(x) 5 (x 2 x1)(x 2 x2)sien-dox1yx2susraíces.Six1 5 25 P(x) 5 (x 1 5)(x 2 x2)SiP(2) 5 27 (2 1 5)(2 2 x2) 5 27 x2 5 3Portanto,P(x) 5 (x 1 5)(x 2 3) 5 x2 1 2x 2 15
21. Halla el polinomio de segundo grado sabiendo que tiene por raíces x 5 1 y x 5 26 y que P(0) 5 212.
SeaP(x) 5 k(x 2 x1)(x 2 x2)siendox1yx2susraíces.Six1 5 1yx2 5 26 P(x) 5 k(x 2 1)(x 1 6)PorP(0) 5 212 P(0) 5 k(21) ? (6) 5 212 k 5 2Luego,P(x) 5 2(x 2 1)(x 1 6) 5 2x2 1 10x 2 12
22. Descompón en factores el polinomio P x x x x( )52 10 14 63 22 1 2 sabiendo que x 5 1 es una de sus
raíces.
Six 5 1esunaraíz (x 2 1)esunfactor P(x)esdivisiblepor(x 2 1).SedivideporRuffiniyseobtiene:P x x x x x x x )()()( 5 52 10 14 6 1 2 8 6223 2 1 2 2 2 1 552 1 4 32( )( )x x x2 2 1Los otros dos factores se obtienen resolviendo la ecuaciónx x2 4 3 02 1 5 .Sussolucionessonx 5 1yx 5 3 (x21)y(x 2 3)sonlosfactores.Enconsecuencia:P x x x x x x x x )()()()()( 5 5 52 10 14 6 2 1 1 3 2 13 22 1 2 2 2 2 2 22 3( )x 2
P x x x x x x x x )()()()()( 5 5 52 10 14 6 2 1 1 3 2 13 22 1 2 2 2 2 2 22 3( )x 2Enestecaso,lasoluciónx 5 1esdoble,pueselfactor(x 2 1)serepitedosveces.
Tipo V: Fracciones algebraicas
23. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a) 21
7 14
2
2
xx x2
; b) 4
3 122
2
xx
;
c) 3 12
2
2xx
2
1; d)
( )xx
2
2
11
2
2.
a)21
7 14
2
2
xx x2
5 3 7
7 1 2
2? ?
2
xx x( )
5 3
1 2x
x2
b)4
3 122
2
xx
54
3 42
2
xx( )
5 2 2
22
( )( )xx
43 4
13
5
c)3 12
2
2xx
2
15
3 4
23 2 2
23 2
2x
xx x
xx
2
1
1 2
12
( )5 5
( )( )( )
d)( )xx
2
2
11
2
25
( )( )( )
xx x
xx
2
1 2
2
1
11 1
11
2
5
Sol_1CCSS_PRELS a_UD03.indd 11 12/5/08 16:31:48
12 CONCEPTOS ALGEBRAICOS BÁSICOS02
24. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a) x x
x
2 6 72 21 2
2;
b) 4 40 100
4 100
2
2
x xx
2 1
2;
c) 3 6
3 24 60
3 2
4 3 2
x xx x x
2
1 2.
a)x x
x
2 6 72 21 2
2 5
( )( )( )
x xx
x2 1
2
11 72 1
72
5
b)4 40 100
4 100
2
2
x xx
2 1
25
54 10 25
4 50
4 54 5 5
52
2
2x x
x
xx x
x2 1
2
2
1 2
2( )( )
5 5( )
( )( ) xx 15
c)3 6
3 24 60
3 2
4 3 2
x xx x x
2
1 2 5
5
3 2
3 8 20
3 23 2 10
2
2 2
2
2
x x
x x x
x xx x x
( ) ( )( )(
2
1 2
2
2 1( )5
))5
110x 1
25. Halla, simplificando el resultado:
a) xx
2 11
12
1; b)
1 2 4 82 3 4x x x x
2 1 2 ;
c) 5 3 3
12 2xx
x x x1
12
1; d)
x1111
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x212
;
e) xx
xx
1
11
2
15
8252
; f) xx
xx
xx3 9
23 9
23 27
2
211
2
22
2;
a)xx
2 11
1
1; b)
x x xx
3 2
4
2 4 82 1 2;
c)52x; d)
( )2
2 21
x2
x1
1;
e)xx
2
2
15; f)
2
2
23 3( )x
.
26. Halla, simplificando el resultado:
a) xx
xx
2 1 12
2 1
1: ;
b) xx
x xx
1
2?
2 1
2
32
4 49
2
2;
c) 5 4
42
5 155 20 15
2
2
2
2xx
xx
x xx
2
21
2
1?
1 1
1.
a)x x
x
2 21 2 b)
x 23x 12
c)
xx
2
22
27. Transforma, sin hacer la división, la expresión D xd x( )( )
en su
equivalente de la forma C xr xd x
( )( )( )
1 , en los casos:
a) 2 3 52x x
x2 1
;
b) x x
x
2
2
3 51 2;
c) x x
x
2 3 53
2 1
2.
a)2 3 5
2 352x x
xx
x2 1
2 15 ;
b)x x
xxx
2
2 2
3 51
3 51 21
25 ;
c)x 2
53
x1 .
Tipo VI: Aplicaciones diversas
28. Si cambiamos de posición los dígitos de un número de dos cifras, se obtiene otro número que es 18 unidades mayor. ¿De qué número se trata?
Elnúmeroabpasaaserba:10b 1 a 5 10a 1 b 1 18 b 2 a 5 2Hayvariassoluciones,b 5 5ya 5 3esunadeellas;elnúmeroinicialsería35.
29. Desde Sevilla a Toulouse se puede ir en un número exacto de horas, viajando a 100 km/h o a 130 km/h de veloci-dad media. ¿Qué distancia hay entre las dos ciudades, si a 80 km/h se tarda menos de 25 horas?
Ladistanciatienequeserunmúltiplode100yde130.Elm.c.m.(100,130) 5 1300.Otrosmúltiplosson:2600,3900,5200,...Dadoqueyendoa80km/hsetardamenosde25horas,enton-cesladistanciaesmenorque80 ? 25 5 2 000km.Portanto,lasoluciónes1300km.
30. De una cuba llena de vino se saca 1/6 de su capacidad; des-pués, 1/4 de lo que queda. Si aún quedan 100 litros, ¿cuál es la capacidad de la cuba?
Seaxsucapacidad.
x x x2 1 ?16
14
56
100⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟5 x x2
924
1005 1524
100x 5
x 5 160litros.
31. Un grifo llena un depósito en 10 horas, y otro en 8 horas. a) ¿Cuánto llenan entre los dos en una hora?b) ¿Cuánto tardarían en llenarlo entre los dos?
a) Unollena110
dedepósitoenunahora;elotro,18.Entrelos
dos:110
18
940
1 5 .
b) Tardarán409
horas(4,44…horas).
32. Toma una hoja de papel de tamaño 20 3 29 cm, y enróllala hasta tener un tubo sin que se solape el papel. ¿El volumen de ese tubo será independiente del sentido de enrollado?
29
20
Fig. 2.1.
Sol_1CCSS_PRELS a_UD03.indd 12 12/5/08 16:32:30
1�CONCEPTOS ALGEGRAICOS BÁSICOS 02
V 5 pr2h.Paraeltubogordo,2pr 5 29 r 5 29/2p;h 5 20 V 5 4205/pcm3.Paraeltubolargo,2pr 5 20 r 5 10/p;h 5 29 V 5 2900/pcm3.
jCUESTIONES BÁSICAS
1. Calcula mentalmente: a) 0,2 1 0,05; b) 40 ? 0,07; c) 0 09, ; d) 4,3 : 0,01.
a) 0,25; b) 2,8;c) 0,3; d) 430.
2. Calcula:a) 3 2 2 ? (24 2 5) 1 (22)4; b) 232 2 2 ? (5 2 1)2 2 (23)3.
a) 37 b) 214
3. Halla:
a) 43
22
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ; b)
25
14
35
: 2 .
a) 4/9 b) 1
4. Simplifica:
a) 2 8
4
2x y xyxy1
; b) 3 545
5 4
3
?.
a)x 14
2; b)
53.
5. Expresa algebraicamente:a) La mitad de x más el cuadrado de y.b) El doble de x más la tercera parte de y. c) La velocidad es el espacio partido por el tiempo.d) La mitad de la suma de B y b, por h. (Área de un trapecio.)
a)x
y2
21 ; b) 23
xy
1 ;
c) vet
5 ; d)( )B b h1
2.
6. Halla:
a) 23
1 212
x x1 2 2 1⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟; b)
23
1 212
x x1 ? 2 1⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟.
a)83
12
x 1 ; b) 2 2 143
53
12
2x x .
7. Divide por Ruffini 3x2 2 2 entre x 1 2. Indica el cociente y el resto.
C(x) 5 3x26;r 5 10
8. Dado P x x x( )52 3 1032 1 , calcula P(2), P(22) y P(0). ¿Pue-des dar un factor de P(x) de la forma x a2 ?
P(2) 5 20:P(22) 5 0;P(0) 5 10.Unfactoresx 1 2.
9. Sin resolver la ecuación de segundo grado asociada al poli-nomio Q(x) 5 x2 1 7x, halla sus raíces.
Q(x) 5 x2 1 7x 5 x(x 1 7) x 5 0;x 5 27
10. Halla y simplifica:
a) 1 1
2xxx
22
; b) 2
14 4
xxx2
?2
.
a)12x; b)
8x.
Sol_1CCSS_PRELS a_UD03.indd 13 12/5/08 16:32:51
1� INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES0�
jACTIVIDADES
1. Escribe dos números de cada clase:a) Enteros.b) Racionales pero no enteros.c) Enteros pero no naturales.d) Irracionales.e) Decimales periódicos pero no racionales.
a) 23y 16 b)13y
2067
c) 2321y2164
d) py 5
e) Imposibleporquetodonúmerodecimalperiódicoesracional.
2. Calcula y simplifica:a) 2[x(2y) 2 2(2z)3];
b) ab b b b
a b
1 2 2
2 2 2 1 2
2 3
3 2
( )( ) ( )
.
a) 2[x(2y) 2 2(2z)3 5 xy+(26z) 5 xy 2 6z
b) ab b b
a b
1 2 2
2 2 2 1 2
2 3
3 2
( )( ) ( ) 5
ab b ba b2 2
2 1 2
2 33 2
2
3. Representa los números reales:
a) 169
; b) 20,47; c) 13.
a) Como169
5 1 1 79,dividimoselintervalo[1,2]ennuevepartes
iguales,coincidiendolaséptimaconelnúmerodado.
0 1 2
16/9
Fig. 3.1.
b) Hallamoselpunto20,47mediantesubdivisionesdelinter-valo[21,0]yposteriormentedel[20,5,20,4]:
�1 �0,5 0
�0,4
�0,47
�0,5 �0,4
Fig. 3.2.
c) Procedemosarealizarlaconstruccióngráficadelafigura:
1
0 1 2 3 410
Fig. 3.3.
4. Encuentra y señala en la recta real los puntos cuya distan-cia a 21 es menor que 2.
Setienequelospuntosxcuyadistanciaa21esmenorque2verifican:d(x,21)<2 x x2 2 1 ,1 1 2( ) 5 ? 22,x 1 1,2
23,x,1 x(23,1)
5. a) Redondea a centenas los datos: 1 897,67, 987 514 y 123.
b) Redondea a milésimas: 34,2345, 0,8765, 0,12345.c) Calcula los errores absolutos y relativos cometidos en a).
a) Losredondeosacentenasserán: 1897,671900;987514987500;123100b) Ídemamilésimas: 34,234534,235;0,87650,877;0,123450,123c) Los errores absolutos (e) y relativos (E) cometidos en las
aproximacionesdelapartado(a)serán: e(1900)5 19002 1897,675 2,33
E(1900)5 2 33
1897 63233
189763,
,5 5 0,0012
e(987500)5 9875142 9875005 14
E(987500)5 14
9875140,00001
e(100)5 1232 1005 23;E(100)523123
50,187
6. Escribe en notación científica los siguientes números:a) 150 000 000 ? 95 000 000b) 0,000000000789 ? 0,088
a) 1,425 ? 1016
b) 6,9432 ? 10211
7. Calcula y simplifica:
a) 27 643 ? ;
b) 8 425 35x x y? ;
c) ab ab? 6 .
a) 27 643 ? 5 27 643 3? 53? 4 5 12
b) 8 425 35x x y? 5 x x y x y52x y8 4 322 35 5 55? 5
c) ab ab ab ab a b? ?6 36 6 4 465 5( ) 5 a b2 23
8. Extrae factores:
a) 8a5; b) 81 104 63 ? ?x ; c)
16a27
.
a) 8 2 2 2 25 2 22
2a a a a a5 5( )b) 81 10 3 3 10 104 63 3 3 2
33? ? ?x x5 ( ) 5
5 3 10 3 10 30 302 3 2 3? ? ?x x5
c)3a
34
Introduce factores:
a) 2aa2
2 ; b) 2x
x323 ; c) (x 1)
x 1x 1
12
1.
Sol_1CCSS_PRELS a_UD03.indd 14 12/5/08 16:33:25
1�
INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES 0�
a) 22
22
22
22 22
2 4 5aa
aa
aa
a5 5 5( )
b)2 2 2 23
23
3
3
3 233
923
3
73
xx
xx
xx
x5 5 5
c)xx
2
1
11
5xx
xxx
2
11
2
1
11
111
22( )x 11 ( )x 11( ) ( )5 5
x x x1 21 1( )( )5 5 22 12
9. Halla el valor más simplificado de:
a) ( 25 )5; b) a4
4⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
; c) a a34 .
a) 2 2 255
55( ) 5 5
b) 5 5a aa a
4 4 4 44
5 5
4 4
c) a a a a a a34 334 412 35 5 5
10. Extrae factores y suma:
a) 2 3103
27 2 1081 2 ; b) 2 2012
45 4 1251 2 ;
c) 8 72 3 288 2 388
7 2
2 2 .
a) 2 3103
27 2 108 2 3103
3 2 3 23 3 21 2 1 25 5
2 3103
3 3 2 3 21 2 ? ?5 335(2 1 10 2 12) 3 5 0? 350
b) 2 2012
45 4 1251 2 52 2 512
3 5 4 52 2 31 2 5
2 2 5
12
3 5 4 5 5? 1 2 ? 5 432
20 5292
51 2 25
c) 8 72 3 288 2 388
7 2
2 25
2 2 28 6 2 3 12 2 2 13 2
7 2
2 25
8 6 2 3 12 2 2 13 2
7 2
? 2 ? 2 ?5
5 5 548 36 26 2
7 2
147
22 2
22( )
jProblemas propuestos
Tipo I. Relación de orden y recta real. Operaciones
1. Calcula las potencias:
a) 323, (23)3, (23)23, 2323; b) 13
32
5
c) 5 55 5
1 0
1 0
2
2
2
2 1; d)
1 11 1
1 1
1 0
12 2
2
22 2
2 1
( )⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
a) 313
127
33
2 5 5 ;(23)35227;(23)235 13
1273( )2
25 ;
b)13
32
5335 27; 22 21
31
31
27
3
35 5 ;
2 2 2 2
213
33
35 ( ) 527
c)5 55 5
5 55 5
11 0
1 0
1 0
1 0
2
2
2
2
2
2 12
2
225 5 ;
d)1 1
1 1
1 1
1 0
12 2
2
2
2 2
2 1
( )5
2 1
1
1 11 1
02
01
5 5
2. Simplifica y no dejes exponentes negativos:
a) (8a 2 1b2)2 2; b) ( ) ( )( )a b
ab
2
2
2
2
1 2 3
2; c)
2 2a b3 1( ) ( )22ab 3
24
.
a) (8a21b2)22 5 822a2b245 ab
2
2 48
b)( ) ( )
( )a b
ab
2
2
2
2
1 2 3
2 52
22
a b
a b
bb
−2 3
2 2
55
1 15 5
c)( ) ( )2 2 2
2
a bab
3 1
3
24
5 2 1 1
24
3
3
a ba
b
5 2ba b
ba
3
4
2
44 2 852
3. Simplifica y da el resultado en forma radical:
a) 5 213
12a a b) ( )16
23
23
12a b
2 c)
2 112
12
23
6
x y
x y
2
2
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
a) 5 213
12a a 5 5·2a a a
13
12
56 5610 101
5 5
b) ( )1623
23
12a b
25 16 4 4
12
13
13
3
33a b
b
a
ba
25 5
c)2 1
12
12
23
6
x y
x y
2
25
2 646 6 3
3 4 3
x yx y x y
2
25
4. Escribe tres números entre:
a) 3,37X y3,37602; b) F y1811
; c) 367
11 43y , .
a) 3,37X<3,374<3,375<3,376<3,37602
b) 55F 1 61803 1 60804 1 61 1 621811
1 37, , , , ,, , , ,
c)367
2 2677 2 26 2 255 2 2507 11 4 2 25063 55 , , , , , ,. . . .
5. Decide la veracidad o falsedad de las siguientes afirmacio-nes mediante ejemplos:a) La suma de número racional e irracional es irracional:
verdad,21p.
b) El producto de número racional y un número irracional es irracional:
verdad,35
5.
Sol_1CCSS_PRELS a_UD03.indd 15 12/5/08 16:34:11
13
32
;213
32
2 .
1� INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES0�
a) (29,0)b) p12,4555,59…Entoncesunintervalopuedeser(5,6)c) F2 101528,43…Entonces(28,5,28).
10. Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real: a) A 5 {x, x 21}b) B 5 {x, x 1/2 y x 20,5}c) C 5 {x, x 1 y x 3}d) D 5 {x, 22,5 x 1,2}
a) (2`,21);b) [21/2,1/2);c) [;d) [25/2,6/5).
11. Escribe la desigualdad que cumplen los números que perte-necen a los intervalos: a) (2`, 2]; b) [2, 5]; c) (21, 3) [0, 1`); d) [0, 3) (21, 1).
a) {x,x # 2};b) {x,2 # x # 5};c) {x,21,x};d) {x,0 # x #1}.
12. Escribe en forma de desigualdad y de intervalo los números que verifican:
a) x 3; b) x 3; c) 5
0x
; d) 1 0x2 .
a) {x,23 # x#3} [23,3];b) {x,x # 23ox $ 3} (2`,23] [3, ); c) R2{0};d) {1}.
13. Encuentra los intervalos unión e intersección de estos pa-res de intervalos: a) I 5 {x, |x 1 1| 1} y J 5 [21 ,2)b) K 5 {x, |x 2 1| 2} y L 5 {x, |x 1 2| 2c) M 5 (2`, 2] y N 5 {x, |x 2 3|5 2}
a) I J 5 (22,0) [21,2) 5 (22,2);I J 5 [21,0)b) K L 5 (2`,0] [3,`) ;K L 5 [24,21]c) M N 5 (2`,2] {5} {1} 5 (2`,2] {5};M N 5 {1}
14. Halla y representa en la recta real los números que distan de 21 menos de 2 unidades.
d(x,21) 5 x x2 2 1 ,( )1 1 25 ⇒
22x 112 23x1 (23,1)
Tipo II. Notación científica. Números aproximados
15. a) Redondea a unidades:
Alredondearaunidades,despreciamoslaprimeracifradeci-mal,portanto:
c) El producto de dos números irracionales es irracional:
falso, 23
23? 5 .
6. Los lados de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 1 ¿tienen medida racional o irracional?
2
x
x
Fig. 3.4.
AplicamoselteoremadePitágorasaltriánguloseñalado:225x2 1 x2 x 5 2,porloquelosladossonirracionales.
7. Halla qué números representan las abscisas A, B, C y D de la figura:
22 21 0 1 2 3C
1
A B
1
D
OA
Fig. 3.5.
Elintervalo[22,0]sedivideentrespartes,luegoelpuntoC
correspondea243.A 5
111 5 2.
Porotrolado,delaconstruccióngeométrica,Bes
( 2 ) 1 32 21 5 yDseobtienesumandoaB ladistanciaOA 5
2,portantolaabscisaquecorrespondeaDes 3 21 .
8. Ordena de menor a mayor y representa en la recta real los siguientes números:
a) 20,75; b) 94
; c 3 d2320
e0,0256
2) ; ) ; )2 .
Comoresultaque 3 1,732..,2320
1,15 y0,0256
20,085 5 52 2
setienelaordenación:20,75,2
0,02562
, 2320
,94
, 3
Surepresentaciónaproximadaenlarectareales: 3
21 0 1 2
20,752–––––––––
0,02562
23–––20
9––4
3
Fig. 3.6.
9. Asigna un intervalo abierto que contenga cada uno de los números siguientes: a) 27; b) p 1 2,45; c) F2 101.
Sol_1CCSS_PRELS a_UD03.indd 16 12/5/08 16:34:32
+`1
1�
INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES 0�
0,8541115,0611521546,721547
b) Redondea a milésimas:
Enelredondeoamilésimas,éstaeslaúltimacifraconservada,luego:20,099620,156,444456,4441,8976451,898
16. Escribe estos números con un error menor que una milésima:
a) 2b cp137
; ) ; ) ;
d) (2 2 0,56)3
a) 13/7 5 1,8571...1,857;b) p 3,142;c) 21,414;d) (220,56)3 5 2,985982,986.
17. Indica a qué intervalo pertenecen los números cuyo redon-deo a centésimas es 1,23.
El intervalo sería: (1,225, 1,235) pues en él la distanciad(x,1,23),0,01.Además,como1,225tambiénseredondeaa1,23,lasolucióncompletaes[1,225,1,235).
18. Si 1,23 es la medida de una magnitud en la que hemos cometido un error relativo máximo del 10 % ¿entre qué va-lores está comprendido el valor exacto de la magnitud?
Elerrorrelativoes:
E 5 x
xx
x
2, 2 ,
2,
1 230 1 0 1
1 230 1
,, ,
,,⇔
y de la primera
desigualdad:
2 , 2 , .
xx
xx
101 23 1 23
1110
12 311
123110
, ,,
⇔ ⇔ 5
delasegundadesigualdad:
E 5x
xx
x2
, 2 , 21 23
0 1 1 2310
,, ,⇔ ⇔
xx. ,1 23
910
12 39
1,
,⇔ ⇔ 5
22390
Lamagnitudestáenelintervalo:(123/110,123/90).
19. Expresa en notación científica los siguientes números indi-cando su orden de magnitud:a) 1 234 ? 105;b) 0,0000000067012; c) 0,00763 ? 106; d) 2527,05 ? 1023.
a) 1,234·108ordendemagnitud8.b) 6,7012·1029ordendemagnitud29.c) 7,63·103ordendemagnitud3.d) 25,2705·1021ordendemagnitud21.
20. Calcula empleando la notación científica:
a) 000065843 0( ), ,1 2765 3? b)37 10
4125000
4?
c) ? ?( )
0 0, (? ?2 7 ,5 1 00000812000 6 1 10
5 2
3 4
),
a) 1,27653 (0,00006584)3
? 5queenlapantalladelacalcula-dorada:
3,6433472 13 5 3,643347·10213
b) 37?104125 000
-4
58,9696972 10 5 8,969697 ? 10210
c) 2,75 10 (0,000008)
(12 000 ) 6,1 10
5 2
3 -4
? ?
? ?51,66972 14 5 1,6697·10214
21. La capacidad de memoria del disco duro de un ordenador se mide en gigabytes (Gb). Cada Gb tiene 109 bytes o unidades básicas de almacenamiento, de forma que cada byte con-tiene un símbolo (dígito, letra, etc.). Si por término medio una “palabra” está compuesta de 6 símbolos, estima cuán-tas palabras puede archivar un ordenador de 20 Gigabytes (Giga 5 109).
520 106
3,3 109
9? ?
Tipo III. Simplificación y operaciones con radicales
22. Reduce a una sola potencia fraccionaria:
a) a a b a c a a?23
12; ) ( ) ; ) ;d) 2 ? 8
132
? .
a) a a12
23
76
+5 ;
b) a a12
12
145 ;
c) ( )a a a a?11
212
12
14
345 5 ;
d)2·23/2·225/2 5 20 5 1.
23. Calcula el valor de los radicales:
a) 563 b) 54 c) 0,055 d)
283
2,16
a) 525 25; b) 1,4953…;c) 0,54928…; d) 2,06613…
24. Halla, sin utilizar calculadora, el valor de:
; ;a)10,1
169 b) 1440,09100
c) 81 144 4000
? ? d) 8 27 643; 2 ? ? .
a)100,1
169 10 169 10 169 10 13 1302 25 5 5 5? ?
b) 1440,09100
1440,09
10012
0,310
0,365 5 5
c) 81 144 400 81 144 400 9 12 20 2160???? 5 5 5
d) 2 ? ? 2 2 ? ? 28 27 64 8 27 64 2 3 4 243 3 3 35 5 5
25. Reduce a índice común, divide y simplifica:
a) 3
2
2 20
83 4; )b
?; c) 2
6
36
4
32
.
Sol_1CCSS_PRELS a_UD03.indd 17 12/5/08 16:34:53
.
1� INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES0�
Tipo IV. Suma de radicales semejantes
30. Reduce las sumas: a) 3 5 2 80 1 2 45 2 125
b) 2 312
12 4 272 1
c) 3 45 2 25 1 100 2 2 180
a) 3 52 8012 452 12553 524 512·3 5 2 5 5 5 0
b) 2 312
12 4 272 1 2 15 52 3 3 12 3 13 3
c) 3 452 25110022 18059 525 522?6 5528 5
31. Reduce las sumas:
a) 4754
2 373
27489
1 2 1
b) 2 1 2 222027
1253
65
4512
353
c) 2 2 16 5 1283 3 32 1
a) 4754
2 373
27489
1 2 1 5 2·5 3 1 2 327 3 1
1 (4/3) 3 5 5 3 1 (4/3) 3 5 (19/3) 3
b) 2 1 2 222027
1253
65
4512
353
5
5 22 1 2 ? 2 2 2 223
53
553
32
53
353
743
53
65
1715
53
5 5( )
c) 2 2 16 5 1283 3 32 1 5 2 2 2 2 5 2 2 20 23 3 2 3 32 1 ? 5
Tipo V. Racionalización
32. Racionaliza:
a) 22
3
2 3; ;b) c)
8
4 2; d)
1 3
2 3
2; e)
x2
x3
.
a)2
2
2 22
25 5 ;
b)
3
2 3
3 32 3
32
5 5?
;
8
4 2
164 2
12
5 5?
)c ; d)1 3
2 3
2 2
?
25 5
( )1 3 32 3
3 36
;
e)2
3
x
x
xx
x
24
35 5
33. Racionaliza las fracciones:
a) 3
311 b)
5
2 5 22
c) x1 y
x2 y d)
3 2 3
2 3 6
1
2
a)3
2
3
2
2743
36
2665 5
b)2 20
8
2 20
8200
4
24 24
4
4?5 5
c) 26
36
4
32 5
2 6
32 3
2 312
1812
5 2112?
?2
5
26. Haz las operaciones que se indican:
; ;a)4 x
2xb) 2 4 8 c)
ab
1
aa
3
3 43
26
1
? ?
? 2
.
Entodosloscasoshemosdereduciraíndicecomúnparaoperar:
a)4 x
2x
x
x
xx
x3
5 5 54
24
44
36
26
3
26 56
( )
b) 2 4 83 4? ? 5 5 5 52 4 8 2 2 2 2 2 26 4 312 6 8 912 2312 1112
c)ab
1
aa
ab
a aa b
3
26
1? 22 2
5 5( )26
26 367 26
27. Calcula y simplifica:
a) a a2 234 ? b) 2 2 42 212
3 13 1
4ab a b? ? 2
c) ( )2 ? 2 11 1 13 353
a) a a2 234 ? 5 a a a a6 238 824 35 5
b) 2 2 42 212
3 13 1
4ab a b? ? 2 5
5 2 2 4 2 2 26 6 1212 8 212 312 16 8 912 4 8 912a b a b a b a b2 5 5
c) ( )2 ? 2 11 1 13 353 5 1 15( )2 146153 45 111511152
28. Reduce todo lo posible las sumas: a) (1 2 2 2)2 2(1 1 2 2)2;b) ( 522)?( 5 1 2) 1 (2 2)2.
a) (12 2 2)2 2 (112 2)25 11824 2 2 12 82 4 2 5 28 2b) ( 522)·( 5 12)1(2 2)255 2 4 1 8 5 9
29. Demuestra que: 1 2 2 54 2 3 4 2 3 2.
Elevamosalcuadradolosdosmiembrosdelaigualdadyresul-ta:
4 2 3 4 2 3 22
1 2 22
5
4 2 3 4 2 3 2 4 2 3 4 2 3 41 1 2 2 1 2 ⇒⇒ 5
8 2 (4 2 3 )(4 2 3 ) 42 1 2 5 ⇒
8 2 4 2 3 4 8 2 4 4 82 22 2 ? 25 5 224 45
Sol_1CCSS_PRELS a_UD03.indd 18 12/5/08 16:35:07
1�
INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES 0�
a)3
31
3 1 31 3
3 321
2
2
2
25 5
( )
b)5
2 5 22
1
2 1
1
?
15 5 5
5 5 1
2 5 1 5 1
5 52 4
5 58
( )
( )( )
c)x1 y
x2 y
x1 y
x1 y
x1y12 xy
x2y? 5
d)3 2 3
2 3 6
3 2 3 2 3 6
2 3 6 2 3 6
1
2
1 1
2 15 5
( )( )
( )( )
6 3 3 6 4 3 2 3 6
2 3 6
2
2 2 2
1 1 1
256 3 3 6 12 2 18
61 1 1
5
5 6 3 3 6 12 6 2
62 2 3
62
1 1 11 1 15
34. Calcula:a)20 80 2 125
40b)
24 150 4 54
6
1 2 2 1; .
a) Sumamosenelnumeradorysimplificamos:
20 80 2 125
40
2 5 4 5 2 5 5
2 10
1 2 1 2 ?5 5
4 5
2 2 5
2
22
2 225 5 5
b) Operamoscomoen(a):
? 2 ? 1 ?24 150 4 54
6
2 6 5 6 4 3 6
6
2 2 22 1
55
(2 5 12) 6
69
2 155
35. Suma y simplifica: 3
2 3 2
5
3 3
2
322
11 .
3
2 3 2
5
3 3
2
322
11 5
3(2 3 2)
(2 3 2)(2 3 2)
5( 3 3)
( 3
1
2 12
2
15
33)( 3 3)
2 3
3 321 5
2 3 2 3
2 3 2
5 3 15
3 3
2 3
3
6 2 38
5 3 1562 2 2 2 2 2
? 1
22
2
21
12
2
25 11
2 33
5
5 2 118 6 3 20 3 60 16 3
24242 42 3
241 1 1
5277 3
45
jCUESTIONES BÁSICAS
1. ¿En qué se diferencian los números racionales de los irra-cionales? Pon un ejemplo.
Losirracionalesnopuedenponerseenformadefracción.
2. Escribe sin las barras de valor absoluto estas expresiones:
a) x11 si x > 21; b) x x x( )1 3 .
Aclaración:Setratadeescribirsinbarraslaexpresiónequivalente.
a) x 115x +1puesalserx >21,x +1>0.
b) x x x( )1 3 5 x x x x2 4 2 41 15 puesambaspotenciassonpo-sitivassiempre.
3. Simplifica la expresión: 2 2 2 2
2 2
a c a x cx
a x
( )
( )
[ ].
2 2 2 2
2 2
a c a x cx
a x
( )
( )
⎡⎣ ⎤⎦ 5
( ) ( )2 1 2 2 2 2 22
a c a x cxax
c a c xax
axax
5 5 52 2
2
4. Redondea a milésimas: a) 23,9525; b) 0,1672; c) 0,9999.
a) 23,952523,953 b) 0,16720,167 c) 0,99991
5. Escribe en notación decimal: a) 23,21 7 b) 0,05 –4
a) 23,21·1075232100000 b) 0,05·102450,000005
6. Calcula el valor: a) 284 ; b) 6 82 21 .
a) 2 2 484 25 5 ; b) 6 8 100 102 21 5 5
7. Suma: 8023
451 .
8023
451 5 4 523
3 5 4 5 2 5 6 52 21 15 5
8. Reduce a un solo radical: x
x
3
24.
x
x
x
x
xx
x x3
24
64
24
6
24 45 5 5 54
9. Escribe con una sola raíz y simplifica: a a3 .
a a3 5 a a a a33 46 235 5
10. Racionaliza: 2
2
2
2 5.
2
2
2
2 5 5
2 1
2 1
2 2 5
2 5 2 5
( )
( )( )5
2 1
21
2 2 54 5
2 2 5( )
( )5
Sol_1CCSS_PRELS a_UD03.indd 19 12/5/08 16:35:21
20 ECUACIONES E INECUACIONES04
jACTIVIDADES
1. Semezclandostiposdevino:unode2,70€/Lyelotrode4,68€/L.¿Cuántoslitrosdecadaclasedebemoscogerparaobtener150Ldemezclaa3,60€/L?
Los 150 L de mezcla tienen un valor de 150 ? 3,60 5 540 €, que será idéntico al valor de los vinos mezclados: x ? 2,70 1 1 (150 2 x)4,68, siendo x los litros empleados del vino más barato. Por consiguiente: 540 5 x ? 2,7 1 (150 2 x)4,68, que re-
resuelta nos da el valor x 5 162
1,98 5 81,82 litros. Del otro vino toma-
remos 68,18 litros.
2. Resuelvelassiguientesecuaciones:a) 2x 2 1 1 3 5 x 1 1b) 2 x2 2 3x 5 xc) 2x2 11 2 x2 23 5 2
a) 2x 2 1 1 3 5 x 1 1 2x 2 1 5 x 2 2 2x 2 1 5 x2 2 4x 1 4 x2 2 6x 1 5 5 0.
Las soluciones de la última ecuación son x 5 5 y x 5 1. La única válida es x 5 5.
b) 2 x2 2 3x 5 x 4(x2 2 3x) 5 x2 3x2 2 12x 5 0 Las soluciones de la última ecuación son x 5 0 y x 5 4.
Ambas son válidas.c) 2 1 3 22 2x x1 2 2 5
2 1 3 2 2 1 3 4 4 32 2 2 2 2x x x x x1 2 1 1 2 1 1 25 5
x x x x x x2 2 4 2 4 24 3 16 3 16 48 0555 2 2 2 1( ) , ecuación bicuadrada que se resuelve haciendo x2 5 t,
t2 216t 1 48 5 0 t 5 4 y t 5 12 x 5 6 62 12y x5 que son válidas.
3. Hallalassolucionesdelasecuaciones:a) 2x3 2 4x2 1 2x 5 0 b) x3 2 6x2 1 12x 2 8 5 0
a) Sacando factor común: 2x3 2 4x2 1 2x 5 0 2x(x2 2 2x 1 1) 5 0 2x(x 2 1)2 5 0 Las soluciones son: x 5 0 y x 5 1, doble.b) Posibles soluciones enteras son: x 5 1, 2, 4 y 8.
La primera que encontramos es x 5 2. Dividiendo por Ruffini: x3 2 6x2 1 12x 2 8 5 0 (x 2 2) (x2 2 4x 1 4) 5 0. Como la única raíz de x2 2 4x 1 4 5 0 es x 5 2, se tiene que
x3 2 6x2 1 12x 2 8 5 0 (x 2 2)3 5 0. Luego, la única raíz es x 5 2, con multiplicidad 3.
4. Resuelvelasecuaciones:
a)x xx
2
2
3 41
02 2
15 b)
xx 1
3x1
11 x2
51
c)1x1
1x2
534
d)x2 1 2
2x 5 0
a) x xx
2
2
3 41
02 2
15
se verifica si el numerador es cero:
x2 23x 2 4 5 0 que resuelta da por soluciones x 5 21 y x 5 4, ambas aceptables.
b) Quitamos denominadores en la ecuación, quedando
x x x x x x x x x( ) ( )( )1 1 3 1 1 2 1 3 3 2 22 2 22 1 1 1 2 2 1 2 1 155 xx22 05
x x x x x x x x x( ) ( )( )1 1 3 1 1 2 1 3 3 2 22 2 22 1 1 1 2 2 1 2 1 155 ⇒ ⇒ xx22 05 ,
ecuación que nos aporta las soluciones x 5 2 61 5
2.
c) 1
x 1
1
x2 5
3
4
x 1 1
x2 5
3
4 4x 1 4 5 3x2
3x2 2 4x 2 4 5 0 x 5 4 64
6 5
4 8
6 5
2
2 2/3
d) x2 1 2
2x 5 0 x2 1 2 5 0 No tiene solución.
5. Unvendedordelibrostieneuncontratoconunaeditorial,porelcualpercibe300€desueldofijomás90€poren-ciclopediaquevenda.Recibeunaofertadetrabajodeotraeditorial,porlaqueleofrecen140€porcadaventa,perosinremuneraciónfija.¿Cuántasenciclopediasdebevenderparaqueleconvenga,económicamente,cambiardeedito-rial?
Si x es el número de enciclopedias vendidas, para la prime-ra editorial cobra: 300 1 90 ? x y para la segunda, 140 ? x. Si queremos que 300 1 90x , 140x esta condición se cumple
si x . 300
140 906
25 . Más de seis.
6. Hallalasolucióndelasinecuaciones:a) x222x23 , 0 b) 2x2 1 2x22 > 0c) x2 1 4. 0
a) Las soluciones de la ecuación x2 2 2x 2 3 5 0 son x 5 21 y x 5 3, por lo que x2 2 2x 2 3 5 (x 1 1)(x 2 3). A la vista de los signos de cada binomio, se forma la tabla:
2 ̀ 21 3 1 ̀
x 1 1 2 1 1
x 2 3 2 2 1
(x 1 1)(x 2 3) 1 2 1
donde se deduce que en el intervalo (21, 3) el trinomio x2 2 2x 2 3 es negativo.
b) La ecuación x2 2 2x 1 2 5 0 no tiene solución real, resultan-do que para todo valor de x, x2 2 2x 1 2 es mayor que 0 por lo que la inecuación propuesta no tiene solución.
c) x2 1 4 5 0, como en el caso anterior, no tiene solución real y x2 1 4 es siempre positivo, siendo todo número real solución.
7. Encuentralassolucionesdelasinecuaciones:
a) 041
2
#2
1
xx
; b) 212
,1xx
a) Como x224 5 (x 2 2)(x 1 2) podemos formar la tabla:
2 ̀ 22 21 2 1 ̀
x 1 2 2 1 1 1
x 1 1 2 2 1 1
x 2 2 2 2 2 1
(x 2 2)(x 1 2)5 1 1
2 1 2 1
Donde vemos la solución [22, 21)ø[2, `)
Sol_1CCSS_04.indd 20 9/5/08 23:10:16
21ECUACIONES E INECUACIONES 04
b) 212
,1xx
01
22
,1
2x
x⇔
0
1 22
,1 2x x
x⇔
0
1 2
,2xx
( )
yaque(x21)2siempreespositivo,elsignodelcocientedependedex,asíquelasolucióneselintervalo(0,`).
a) [22, 21)ø[2,`); b) (0,`)
jProblemas propuestos
Tipo I. Ecuación de primer grado y problemas relacionados
1. Expresamedianteunaecuaciónestasrelaciones:a) Lasumadeunnúmeropar,suanteriorysuposteriorvale
60.b) La suma de tres números impares consecutivos vale
213.c) Elcuadradodelasumadedosnúmerosesigualaldoble
desusuma.d) Lasemisumadetresmúltiplosconsecutivosdetresvale
108.
a) 2n 1 2n 22 1 2n 1 2 5 60 6n 5 60b) 2n 21 1 2n 1 1 1 2n 1 3 5 213 6n 1 3 5 213c) (a 1 b)2 5 2(a 1 b)
d)3n 1 3n1313n16
2
9n 1 9
2 5 108
2. Escribeunaecuaciónlinealquenotengasolución.Yotraqueposeainfinitas.
Sinsolución:x 1 3x 21 5 4x 1 2Indeterminada: 22x 1 5 1 x 5 6 2x 21(esunaidentidad)
3. Resuelvelasecuaciones:
a)23
x 1 16
5 32
2 14
b) 22(x 1 2) 1 3 5 4(1 2x)
c)2
x 1 15 2
1x 1 4
d) x 2 14
2 2(x 1 2)
3 5
3x 1 16
a) Sequitandenominadoresmultiplicandolaecuaciónporsum.c.m. (2,3,4,6) 5 12:8x 1 2 5 18 2 3x 11x 5 16
x 5 16/11b) Multiplicamoslosparéntesisyreducimos: 22x 24 1 3 5 4 24x 4x 22x 5 4 1 4 23 2x 5 5 x 5 5/2
c)2
x 1 15 2
1
x 1 4 2(x 1 4) 5 2x 21 x 5 23
d) x 2 1
42
2(x 1 2)
35
3x 2 1
6 quitamosdenominadorescomo
ena)quedando: 3x 23 28x 216 5 6x 1 12 x 5 221/11
4. Resuelve:
a)3x 2 2
102
x 1 115
5 2x
201
3 2 x30
b)
x3
2 12
21 2x 5
x1 13
2
c) 2x 2 1
31
3 2 2x4
(22)5 12
x 2 1
a) Multiplicamoslaecuaciónpor60(m.c.m.delosdenomina-dores):
18x 212 2 4x 24 5 23x 1 6 22x 19x 5 22 x 522
19b) Operamoslosnumeradoresydividimos:
2x 2 3
6
21
3x 1 1
3
4 5
2x 2 3
12 1 2x 5
3x 2 1
12;
quitamosdenominadoresyresulta:
2x 23 1 24x 5 3x 1 1 23x 5 4 x 54
23c) Multiplicamosdentrodelcorchete:
2x 2 2
3 1
3 2 2x
4(22)5
x
22 1
yahorasemultiplicaelparéntesispor 22:
24x 1 4
31
26 1 4x
4 5
x 2 2
2 Siquitamosdenominadoresyreducimos, 216x 1 16 2 18 112x 5 6x 212 24x 2 2 5 6x 2 12 10x 5 10 x 5 1
5. Juangastaunterciodeldineroquetieneenlacompradeunlibro.Mástarde,pagalaentradaalcine,costándolelamitaddeldineroquelequedamás0,72€.Siaúnlesobran2,25€,¿cuántodineroteníaenunprincipio?
LlamemosxeldineroqueteníaJuanalprincipioquelehafinan-ciadolacompradellibro,laentradadelcineylehansobrado2,25euros,asíque:
x 5 x3 2
1x3
x3
110,7212,25 ⇒ x5 12,97 ⇒x2
x3
⇒ x53?2,9758,91euros.
6. Unjequedejaenherenciaasustreshijosunacuadradecaballos, atendiendo al siguiente reparto: al primero, lamitadde loscaballosde lacuadramásmediocaballo;alsegundo, lamitad de los que quedanmásmedio caballoyaltercero,lamitaddelosquelequedanmásmedioca-ballo. ¿Cuántos caballos hay en la cuadra? (¡Ojo!Nohayquematarningúncaballo.)
Sisuponemoslacuadraformadaporxcaballos,acadahijolecorresponde:
Hijo1º:x
21
1
25
x 1 1
2
Hijo2º:x2
x 1 1
2
21
1
25
x 2 1
41
1
25
x 1 1
4
Hijo3º:x2
x 1 1
21
x 1 1
4
21
1
25
4x 2 2x 2 22 x 2 1
4
21
1
25
5 x 2 3
81
1
25
x 1 1
8
Sol_1CCSS_04.indd 21 14/5/08 09:05:16
22 ECUACIONES E INECUACIONES04
por tanto, la suma de esas partes es el total de caballos,x 1 1
2 1
x 1 1
4 1
x 1 1
8 5 x
4x 1 4 1 2x 1 2 1 x 1 1
8 5 x
7x 1 7
8 5 x x 5 7
caballos.
7. Unprimerexamensevalora2,5vecesmásqueotro.Sienelprimero,unalumnotuvounanotade5,3,¿quédeberásacarenelsegundoparaobtenerdemediaun7?
El primer examen vale como si tuviera 2,5 notas de la misma importancia que el segundo, por lo que si llamamos x la nota de este último, la media de las 2,5 1 1 calificaciones será:2,5 ? 5,3 1 x
2,5 1 1 5 7
13,25 1 x
3,5 5 7 13,25 1 x 5 24,5
x 5 11,25luego con esa ponderación de notas, ya no podría sacar una media de 7 (puntuando sobre 10).
8. Tresoperariostrabajanentotal96horassemanalesenunacadena deproducción. Si el tiempodedicadopor uno deellosaestefinsonlos3/5deltiempoempleadoporotroyéstelos5/8deldedicadoporeltercero,¿cuántashorassemanalespermaneceenlacadenacadatrabajador?
Llamemos x las horas semanales de trabajo del tercer operario,
entonces el segundo dedica y el primero 35
58
38
x x5? así que,
38
58
96 2 96 48x x x x x1 1 5 5 5 horas. El segundo opera-
rio trabaja 30 h y el primero 18 h.
9. Unpadretieneactualmente47añosylasumadelasedadesdesusdoshijosesde31.¿Dentrodecuántosañoslasumadelasedadesdeloshijosserálaedaddelpadre?
Si la suma actual de las edades de los hijos es 31 años, dentro de x años esa suma será: 31 1 2x (fíjate que pasan x años para cada hermano). Además el padre tendrá 47 1 x años, por lo que 31 1 2x 5 47 1 x x 5 47 231 5 16 años.
10.Unabombaextrae4500ldeaguadeunpozo,trabajando4 h. Si necesitamos vaciar un pozo de 15000 l en 3 h,¿cuántasbombasigualesnecesitaremos?
Una bomba extrae 4 500
4 litros por hora, es decir, que en 3 horas
saca 3 ? 4 500
4 litros.
Para vaciar un pozo de 15 000 litros en 3 horas necesitaremos,
en consecuencia, 15 000
3 4 500
4
5 60 000
13 500 5 4,4
motores. Han de em-
plearse 5 motores, aunque sólo empleemos el 40 % de la capa-cidad de uno.
11. Paraconstruir4 chalésen120días senecesitan60 tra-bajadores. ¿Cuántos días se necesitarán para construir 6chalescon80trabajadores?
Tardan 120 días en hacer 4 chalés, luego en hacer 1 tardarán 120/4 5 30 días.
Entonces: Si 60 trabajadores tardan 30 días en hacer un chalé, 80 trabajadores tardarán x. Y resolviendo la regla de tres tene-mos x 5 22,5 días. Por tanto si 80 trabajadores tardan 22,5 en hacer 1, en hacer 6 tardarán: 6 ? 22,5 5 135 días.
12.Semezclan50ldeaceitedegirasolde0,99€/lconaceitede0,78€/l,obteniéndoseunamezclade0,9€/l.¿Cuántoslitrossehanempleadodelaceitemásbarato?
LLamemos x los litros empleados del aceite de 0,78 euros.El valor monetario de los 50 1 x litros de mezcla es: (50 1 x) ? 0,9 €, que coincidirá con el valor, en euros, de los líquidos que la componen: x ? 0,78 1 50 ? 0,99 es decir,(50 1 x) ? 0,9 5 x ? 0,78 1 50 ? 0,99
750 5 20x x 5 37,5 litros.
Tipo II: La ecuación de segundo grado y problemas afines
13. Resuelvelassiguientesecuacionescuadráticas:a) 3x2 1 x 5 0; b) 3(x 1 1)2 5 27;c) x2 24x 2 35 5 0; d) 22(x 25)2 2 8 5 0.
a) Si sacamos factor común: x(3x 1 1) 5 0 x 5 0 o 3x 1 1 5 0,
que nos da los valores solución x 5 0 y x 5 21
3.
b) Pongamos (x 1 1)2 5 27
3 5 9 x 1 1 5 6 9 5 63 y nos
resultan las soluciones, para 1 3: x 1 1 5 3 x 5 2 y para 23: x 1 1 5 23 x 5 24
c) Aplicamos la fórmula general:
x 5 2(2 4) 6 (24)2 2 4 ? 4 ? (235)
2 ? 4 5
4 6 24
8 ,
es decir, x 5 7/2 y x 5 25/2.d) Como en el caso (b), si despejamos (x 25)2 nos queda:
(x 25)2 5 8
22 524 lo que es imposible pues el primer
miembro siempre es positivo. Esta ecuación carece de solu-ción real.
14.¿Cuánto tiene que valer c en la ecuación 3x2 1 5x 1 c 5 0paraqueposeados,unaoningunasolución?
El discriminante de la ecuación es: 5 25 2 12c
c tiene soluciones
c solución doble
c
,
.
2512
2
2512
5
22512
solución imaginaria
15. Enx2 1 bx 2 2 5 0,¿cuántassoluciones tevasaencontrarparacualquiervalordeb?
El discriminante 5 b2 1 8 . 0 2 soluciones reales.
16. Una obra la realizan dos operarios, trabajando conjunta-mente,en12días.Unodeellosemplea10díasmásque
Sol_1CCSS_04.indd 22 9/5/08 23:11:37
23ECUACIONES E INECUACIONES 04
el otro si trabaja solo. ¿Cuántos días necesita cada obrero para completar la obra en solitario?
Trabajando solo un operario tarda x días y el más lento x 1 10. En
un día, el primero hará 1
x de su trabajo y el segundo
1
x 1 10 ; si
trabajan conjuntamente hacen 1
12 de obra por día, luego:
1
x 1
1
x 1 10 5
1
12
x 1 10 1 x
x(x 1 10) 5
1
12 12(2x 1 10) 5 x(x 1 10)
24x 1 120 5 x2 1 10x x2 2 14x 2 120 5 0 ecuación que resuelta da por soluciones 20 y 26 días, siendo válida única-mente la positiva. Así, cada trabajador emplea, respectiva-mente, 20 y 30 días en hacer la obra.
17. La suma de los cuadrados de la edad actual y de la que tendrá dentro de 2 años un muchacho es de 580. ¿Cuántos años tiene el chico?
Si tiene actualmente x años, dentro de dos tendrá x 1 2 años. Las condiciones del problema imponen que x2 1 (x 1 2)2 5 580, que desarrollando, reduciendo términos semejantes y divi- diendo por 2 nos da la ecuación:x2 1 2x 2 288 5 0con soluciones x 5 218 y x 5 16. La negativa no es válida.
TipoIII:Ecuacionesreduciblesacuadráticas,racionalesypolinómicas
18. Resuelve las ecuaciones:a) x2 4 122 5 ; b) x 2 x 5 6;
c) 2x 2 x 5 x
x
a) x2 4 122 5 x2 24 5 12 x2 5 16 x 5 64 b) x x2 56 x 26 5 x (x 26)2 5 ( x )2 x2 213x 1 36 5 0 que la solución positiva, única válida
es x 5 9
c) 2x 2 x 5 x
x , vamos a quitar denominadores y pasamos
al primer miembro todos los términos: 2x x 2 x 5 x 2x( x 2 1) 5 0 x 5 0 o x 5 1 x 5 1 es la solución
válida.
19. Halla la solución y comprueba los resultados:a) 2x 2 3 x 2 3 5 x 1 3
b) 2 1 3 2 1x x x2 2 1 25
c) xx
x1 11
112
225
a) En 2 3 3 3x x x2 2 15 aislamos la raíz en el segundo miem-
bro x x x x x x2 2 2 2 2 13 3 3 3 9 3 15 36 0225 5 5( ) ( ) cuyas soluciones 3 y 12 son ambas válidas.
b) Elevamos los dos miembros al cuadrado:
2 1 3 2 1 2 3 2 1x x x x x2 2 1 2 1 2 25 ( )( )
0 2 3 2 1 0 4 3 2 15 5( )( ) ( )( )x x x x2 2 2 2 que nos pro-porciona x 5 1 y x 5 2/3 (ésta no es válida) como solucio-nes.
c) Quitamos denominador: x x x1 1 1 11 2 2 25 x x x1 11 2 5( )( ) x x x1 11 2 5( )( ) x x x1 11 2 25( )( ) que multiplicando los paréntesis y re-
duciendo términos, nos queda 3x 1 2 5 0 o sea x 5 22/3 que no verifica las raíces positivas. Luego, no tiene solución.
20. Calcula las soluciones de:a) x4 29x2 5 0; b) x4 28xb 1 16 5 0;
c) 3 18
12
2x
x1
15 ; d) x4 2 3x2 1 2 5 0.
a) x4 29x2 5 0 x2(x2 2 9) 5 0 x2(x 1 3)(x 2 3) 5 0 que da las soluciones x 5 0, x 5 3 y x 5 23
b) x4 28x2 1 16 5 0 es una ecuación bicuadrada que haciendo x2 5 t, nos queda: t2 28t 1 16 5 (t 2 4)2 5 0 dando por raíz
t 5 4 y por tanto, x 5 6 4 5 62c) Quitamos el denominador: ( )( )3 1 1 82 2x x1 1 5 3x4 1 4x2 1 1 5 8 3x4 1 4x2 27 5 0; esta ecuación bicua-
drada que con el cambio habitual x2 5 t nos da como solu-ciones válidas en x 5 61.
d) x2 3 12
2
15 5
6 ⎧⎨⎩⎪
x 56 2 y x 5 61
21. Halla las raíces de las ecuaciones:a) (x2 2 1)(x2 1 3x) 5 0;b) x4 1 2x3 2x2 1 4x 26 5 0;c) 2x4 2 3x3 1 x 5 0.
a) Si descomponemos en factores los términos de la ecuación (x2 2 1)(x2 1 3x) 5 0 (x 1 1)(x 2 1)x(x 1 3) 5 0 x 5 1, x 5 21, x 5 0 y x 5 23 son las soluciones
b) Tanteamos las raíces de x4 1 2x3 2 x2 1 4x 2 6 5 0 dividiendo por Ruffini, que nos da:
1 2 21 4 26
1 1 3 2 6
1 3 2 6 0
23 23 0 26
1 0 2 0
soluciones reales son x 5 1 y x 5 23, quedando el polino- mio x2 1 2 5 0 que tiene raíces imaginarias.c) En 2x4 23x3 1 x 5 0 sacamos factor común x: x(2x3 23x2 1 1) 5 0; el polinomio del paréntesis nos da las raíces x 5 1 y x 5 21/2, que junto a x 5 0 del factor común tenemos las raíces de la ecuación propuesta.
2 23 0 1
1 2 21 21
2 22 21 01 2 1
2 1 0
21/2 21
2 0
Sol_1CCSS_04.indd 23 14/5/08 09:07:50
24 ECUACIONES E INECUACIONES04
22. Resuelve:
a) 1 42 1
02
2
2
xx
5 ; b) 5
2 10
2x 25 ;
c) x xx
2 3 21
02 1
15 ; d)
2
2 2
23 1
41x x
5 ;
e) xx
xx
2
1
1
1
21
42
5 ; f) x
xxx1
11
12
3 15
a) 1 42 1
02
2
2
xx
5 , el numerador debe anularse 1 24x 5 0
x 5 1/4
b) 5
2 10
2x 25 , como 5 Þ 0 esta ecuación nunca puede
anularse
c) x xx
2 3 21
02 1
15 equivale a que el numerado se anule:
x2 23x 1 2 5 0 x 5 2 y x 5 1
d) Para quitar denominadores, multiplicamos en cruz:
2
2 2
23 1
41x x
5 22 1 2x 5 12x 24 10x 5 2 x 5 1/5
e) Multiplicamos en cruz: xx
xx
2
1
1
1
21
42
5 x2 24 5 x2 1 5x 1 4
5x 5 28 x 5 28/5f) Quitando denominadores: x2 1 2x2 1 2x 5 3x2 1 3x 1 x 1 1
2x 521 x52 1
2
Tipo IV: Inecuaciones
23.Hallaelintervalosolucióndelasinecuaciones:a) 2x 1 2 1 4x . x 1 2;
b) x
xx
35 1
22 # 2 ;
c) 23 1
51 $2x
a) 2x . 0 x . 0;
b) x
xx
35 1
22 # 2 2x 2 30 # 6 2 3x 26 # 25x 26/25 # x;
c) 23 1
51 $2x
x
x3
511
1511
#2 #2⇒
24.Resuelvelasinecuacionessiguientes:a) x(x 1 1) , 0;b) 22x2 1 10 . 26;c) 4x2 1 4x . 0
a) x(x 1 1) , 0 las raíces son 21 y 0, por lo que:
2 ̀ 21 0 1 ̀
x 1 1 2 1 1 1
x 2 2 1 1
(x 1 1) ? x 1 2 1 1
Y la solución será el intervalo: (21, 0)b) 22x2 1 10 . 26 2x2 , 216 ¡que es imposible!c) 4x2 1 4x . 0 4x(x 1 1) . 0 y recordando el caso a) la solu-
ción es el intervalo unión de (2`, 21) ø (0, `)
25.Resuelvegráficayanalíticamentelainecuación 2x2 1 2x 1 3 . 0.
Analíticamente: 2x2 1 2x 1 3 . 0 x2 2 2x 2 3 , 0 y el primer miembro se descompone: x2 2 2x 23 5 (x 2 3)(x 1 1) , 0 por lo que la tabla
2` 21 3 1`
x 1 1 2 1 1
x 2 3 2 2 1
(x 1 1) ? (x 2 3) 1 2 1
Nos da la solución (21, 3)La representación gráfica de la parábola y 5 2x2 1 2x 1 3 es
y
x1 2-1-2-3-4
1
3 4
234
Fig. 4.1.
26.Hallalasoluciónde:
a) 2
3 20
x2# ; b)
xx1
2#
22 1
1;
c) 012
#2
1
xx
a) Como el numerador es positivo en 2
3 20
x2# 3x 22 , 0
para que el cociente sea negativo, así x, 2/3
b) xx1
2#
22 1
1 xx
xx
x
x
1
22 #
2
2#
2
2#
22 1
1 032 1
03
2 12
0⇒ ⇒( )
que da lugar a la tabla:
2` 1/2 3 1`
3x2 x 1 1 2
x 2 1/2 2 1 1
( )
3
2 12
2
2
x
x 2 1 2
Y la solución es (2`, ½) ø [3, `)
c) En 012
#2
1
xx
el denominador es siempre positivo, así que
2x $ 0 x # 0
jCuESTIonES báSICAS
1. Resuelvelaecuación3x22512
6x 2 4 5 1 6x 5 5 x 5 5/6
Sol_1CCSS_04.indd 24 9/5/08 23:11:48
.
.
.
25ECUACIONES E INECUACIONES 04
2. Resuelvex 2 x21
2 5 5
2x 2 (x 2 1) 5 10 x 5 9
3. AntoniotienedosañosmásquePilar.Sihacetresañoselchicoledoblabalaedadalachica,¿cuántosañostienecadauno?
Antonio: x; Pilar: x 2 2.Hace 3 años: x 2 3 5 2(x 2 5) x 5 7
4. Semezclandosclases(AyB)decafé,cuyospreciossonde10€/kgy13€/kg,respectivamente.¿Enquéproporciónhayquemezclarlosparaqueresulteuncaféquecueste12€/kg?
10x 1 13y 5 12(x 1 y) 10x 1 13y 5 12x 1 12y y 5 2x.Hay que mezclar A con el doble de B.
5. Resuelvelaecuaciónx215x21450.
x 5 25 25 1 56
2 5
25 9
2 5
2
2 7
6. Resuelvelaecuación(x 1 2)(3x 2 1) 5 0.
(x 1 2)(3x 2 1) 5 0 3x2 1 5x 2 2 5 0 x 5 22, x 5 1/3
7. Hallalassolucionesválidasdex xx
3 2
20
15 .
x xx
3 2
20
15 x3 1 x2 5 x2(x 1 1) 5 0 x 5 21 (x 5 0 o pue-
de admitirse)
8. Resuelvelaecuaciónx
x2
5 .
xx
25 x 5 2x x 5 4x2 x(4x 21) 5 0 x 5 0 y
x 5 ¼ son las soluciones, ambas válidas.
9. Resuelvelaecuaciónx31x22250
La solución x 5 1 es inmediata.Descomponiendo en factores: x3 1 x2 2 2 5 0 (x 2 1)(x2 1 1 2x 1 2) 5 0.La segunda ecuación no tiene soluciones.
10.Resuelvelaecuaciónx4210x21950
x2 5 10 100 2 36
2 5
10 8
2 5
9
1 x 5 3; x 5 1
Sol_1CCSS_04.indd 25 9/5/08 23:11:50
26 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES05
jACTIVIDADES
1. Discute,sinllegararesolver,lacompatibilidaddelossiste-mas:
a)4x22y52122x1y55
b)2x1y52x2y51
c)x22y53
24x18y5212
Transformamos cada uno de los sistemas por el método de re-ducción:
a) 4x22y521
22x1y55
2E21E1
4x22y521
053El sistema es incompatible.b) En este caso
2x1y52x2y51
E21E1
2x1y523x53
El sistema es compatible determinado.
c) x22y53
24x18y5212
E214E1
x22y53050
El sistema es compatible indeterminado.
2. Seaelsistema4x1by5522x1y54
,calculalosvaloresquedebe
tomarbparaqueelsistemasea:a) Compatible. b) Incompatible.
a) Para que el sistema sea compatible determinado los coefici-entes de las incógnitas no han de ser proporcionales, luego:
4
22
b
1 b 22.
b) El sistema será compatible indeterminado si 4
22 5
b
1 5
5
4,
lo que nunca podrá cumplirse.
3. Resuelveporsustituciónlossiguientessistemas:
a)2x1y2z55x12y1z54
x2y51 b)
x12y512x2z515y1z50
a) 2x1y2z55x12y1z54
x2y51
2x1y 2 z 5 5
x 1 2y 1 z 5 4
x 5 1 1 y
2(1 1 y) 1 y 2 z 5 5
(1 1 y) 1 2y 1 z 5 4
x 5 1 1 y
3y 2 z 5 3
3y 1 z 5 3
x 5 1 1 y
x 5 2, y 5 1, z 5 0
b) x 1 2y 5 1
2x 2 z 5 1
5y 1 z 5 0
x 5 1 2 2y
2x 2 z 5 1
z 5 25y
x 5 1 2 2y
2(1 2 2y) 2 (25y) 5 1
z 5 25y
x 5 1 2 2y
y 1 2 5 1
z 5 2 5y
x 5 3, y 5 21, z 5 5
4. AplicandoelmétododeGauss,resolver:
a)2x 1 y 1 z 5 55x 1 2y 1 z 5 45x 1 y 1 2z 5 40
b)x 1 y 1 z 5 45
13x 1 12y 1 8z 5 4302x 1 2y 2 z 5 0
a) 2x 1 y 1 z 5 55
x 1 2y 1 z 5 45
x 1 y 1 2z 5 40
E2 2 E1
E3 2 2E1
2x 1 y 1 z 5 55
2x 1 y 5 210
23x 2 y 5 270
E3 1 E2
2x 1 y 1 z 5 55
2x 1 y 5 210
24x 5 280 Luego: x 5 20; y 5 10; z 5 5
b) x 1 y 1 z 5 45
13x 1 12y 1 8z 5 430
2x 1 2y 2 z 5 0
E2 2 8E1
E3 1 E1
x 1 y 1 z 5 45
5x 1 4y 5 70
3x 1 3y 5 45
4E3 2 3E2
x 1 y 1 z 5 45
5x 1 4y 5 70
23x 5 230La solución es: x 5 10, y 5 5, z 5 30
5. Discuteyresuelvelossistemas:
a)x 1 y 2 z 5 21
22x 1 y 1 z 5 03x 1 2y 2 2z 5 1
b)x 1 2y 1 3z 5 02x 2 y 2 z 5 23x 1 y 1 2z 5 2
c)2x 1 2y 1 z 5 1x 1 y 2 2z 5 21
3y 2 z 5 3
a) x 1 y 2 z 5 21
22x 1 y 1 z 5 0
3x 1 2y 2 2z 5 1
E2 1 2E1
E3 2 3E1
x 1 y 2 z 5 21
3y 2 z 5 22
2y 1 z 5 4
E3 1 E21
x 1 y 2 z 5 21
3y 2 z 5 22
2y 5 2 Luego: y 5 1 z 5 5; x 5 3
b) x 1 2y 1 3z 5 0
2x 2 y 2 z 5 2
3x 1 y 1 2z 5 2
E2 2 2E1
E3 2 3E1
x 1 2y 1 3z 5 0
25y 2 7z 5 2
25y 2 7z 5 2
x 5 22y 2 3z
y 5 2 (7z 1 2)/5 x 5
4 2 k
5, y 5 2
7k 1 2
5, z 5 k
c) 2x 1 2y 1 z 5 1
x 1 y 2 2z 5 21
3y 2 z 5 3
E2 1 E12 x 1 2y 1 z 5 1
3y 2 z 5 0
3y 2 z 5 3
.
Como la segunda y tercera ecuación son incoherentes, el sistema será incompatible.
6. Discute según los valores dem, y resuélvelos cuando seaposible,lossistemas:
a)x 1 y 1 z 5 22x 1 y 2 z 5 3
3x 1 2y 1 mz 5 5 b)
x 1 y 1 z 5 22x 1 y 2 z 5 33x 1 2y 5 m
c)x 1 y 5 0
2x 1 y 2 z 5 03x 1 2y 1 mz 5 1
Sol_1CCSS_05.indd 26 12/5/08 08:32:57
27SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 05
a) x 1 y 1 z 5 2
2x 1 y 2 z 5 3
3x 1 2y 1 mz 5 5
E2 2 2E1
E3 2 3E1
x 1 y 1 z 5 2
2y 2 3z 5 21
2y 1 (m 2 3)z 5 21
E3 2 E2
x 1 y 1 z 5 2
2y 2 3z 5 21
mz 5 0 Por tanto: Si m 0, el sistema es compatible determinado, con solu-
ción: x 5 1, y 5 1, z 5 0. Si m 5 0, el sistema es compatible indeterminado, equiva-
lente a x 1 y 5 2 2 z
y 5 1 2 3z, cuya solución es
x 5 1 1 2k
y 5 1 2 3k
z 5 k
.
b) x 1 y 1 z 5 2
2x 1 y 2 z 5 3
3x 1 2y 5 m
E2 2 2E1
E3 2 3E1
x 1 y 1 z 5 2
2y 2 3z 5 2 1
2y 2 3z 5 m 2 6
E3 2 E2
x 1 y 1 z 5 2
2y 2 3z 5 21
0 5 m 2 5 Por tanto: Si m 5, el sistema es incompatible. Si m 5 5, el sistema es compatible indeterminado, equiva-
lente a x 1 y 5 2 2 z
y 5 1 2 3z, cuya solución es
x 5 1 1 2k
y 5 1 2 3k
z 5 k
.
c) x 1 y 5 0
2x 1 y 2 z 5 0
3x 1 2y 1 mz 5 1
E2 2 2E1
E3 2 3E1
x 1 y 5 0
2y 2 z 5 0
2y 1 mz 5 1
E3 2 E2
x 1 y 5 0
2y 2 z 5 0
(m 1 1)z 5 1 Por tanto: Si m 5 21, el sistema es incompatible. Si m 21, el sistema es compatible determinado. Su solu-
ción es x 5 1/(m 1 1)
y 5 21/(m 1 1)
z 5 1/(m 1 1)
.
7. Hallalasolucióndelossistemashomogéneos:
a)2x 1 y 2 2z 5 04x 1 y 2 3z 5 0
6x 1 5z 5 0 b)
2x 1 2z 5 0x 2 3y 2 z 5 0
3x 1 3y 1 5z 5 0
c)x 2 y 1 z 5 0x 2 3y 2 z 5 0
3x 1 my 1 z 5 0
a) 2x 1 y 2 2z 5 0
4x 1 y 2 3z 5 0
6x 1 5z 5 0
E2 2 E12x 1 y 2 2z 5 0
2x 2 z 5 0
6x 1 5z 5 0
E3 2 3E2
2x 1 y 2 2z 5 0
2x 2 z 5 0
8z 5 0
x 5 y 5 z 5 0.
b) 2x 1 2z 5 0
x 2 3y 2 z 5 0
3x 1 3y 1 5z 5 0
E1 2 2E2
E3 2 3E2
6y 1 4z 5 0
x 2 3y 2 z 5 0
12y 1 8z 5 0
E3 2 2E1
6y 1 4z 5 0
x 2 3y 2 z 5 0
0 5 0
x 5 2k
y 5 22k/3
z 5 k
c) x 2 y 1 z 5 0
x 2 3y 2 z 5 0
3x 1 my 1 z 5 0
E2 2 E1
E3 2 3E1
x 2 y 1 z 5 0
2 2y 2 2z 5 0
(m 1 3)y 2 2z 5 0
E3 2 E2
x 2 y 1 z 5 0
22y 2 2z 5 0
(m 1 5)y 5 0 Si m 5 / 25, la única solución es x 5 y 5 z 5 0. Si m 5 25, el sistema es indeterminado y su solución es
x 5 22k, y 5 2k, z 5 k.
8. Hallalasoluciónde:y xx y
2 2 1608
1
2
5
5.
Despejando x en la segunda ecuación y sustituyendo en la pri- mera: y2 1 (y 1 8)2 5 160 2y2 1 16y 2 96 5 0 y 5 212 e y 5 4 que dan para x los valores x 5 24 y x 5 12, res-pectivamente.
9. Hallaelconjuntodesolucionesdelsistema 2 3 55 7x
x1 ,
2 ,
2 3 5
5 7
x
x
1 ,
2 ,
x
x
,2
2 2 ,
5 32
1
5 7 2
5
5
22 , x , 1. (22, 1)
10.Hallalasolucióngráficadelsistema 2 15 10 30x yx y
2 .
1 #
⎧⎨⎩
2 1
5 10 30
x y
x y
2 .
1 #
⎧⎨⎩
2 1
2 6
x y
x y
2 .
1 #
2221
x
y
123
1 2 3 4
4
5 6
(8/5, 11/5)
Fig. 5.1.
Sol_1CCSS_05.indd 27 12/5/08 08:33:07
28 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES05
jProblemas propuestos
Tipo I: Sistemas lineales con dos incógnitas
1. Hallatresparesdesolucionesdecadaunadelasecuaciones:
a)12
1 2 3x y2 1 2( ) 5
b)
x y1
21 2
22 4
15
c) 13 4
22 1x y
5
Despejamosunavariableencadaecuaciónydamostresvaloresalaotra,obteniéndoselassolucionespedidasfácilmente.
a) 12
1 2 3x y2 1 2( ) 5
x21 5 26 24y x5 25 24y y5 0,x5 25;y5 1, x5 29;y5 21,x5 21
b)x y1
21 2
22 4
15 2x1 4 2y5 4 y5 2x
x5 0,y5 0;x5 1y5 2;x5 21y5 22
c) 13 4
22 1x y
5 12 24x1 3y5 24 yx
512 4
31
x5 3,
y5 8;x5 23,y5 0;x5 6,y5 12
2.Resuelveporigualación:
a)x yx1 2
2
2 23 5 1
5
5
⎧⎨⎩⎪
b)
x yy y
xy
1 12 1
2
12
1
21
5
5
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
a)x y
x y
1 2
2
2 2
3 5
5
5
⎧⎨⎩⎪
y x
yx
5
5
3 5
22
2
21
⎧
⎨⎪
⎩⎪
y x
xx
5
5
3 5
3 52
2
2
2 21
⎧
⎨⎪
⎩⎪
y x
x
5
5
3 5
7 8
2⎧⎨⎩⎪
y
x
5 5
5
387
5117
87
2 2⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
b)
x yy y
xy
1 12 1
2
12
1
21
5
5
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
x y y y
x y
1 1 2 1
2
1 2 2 2
2 2
5
5
⎧⎨⎩⎪
x y
x y
5
5
3 1
2 2
1
1
⎧⎨⎩⎪
x y
y y
5
5
3 1
3 1 2 2
1
1 1
⎧⎨⎩⎪
x y
y
5 5 5
5
3 1 3 1 1 4
1
1 2 1⎧⎨⎩⎪
3. Resuelveporsustitución:
a)2 3 26 1x yx y
2
2
5
5
⎧⎨⎩⎪
b)
x yy
x yx
12 1
22
21
21
5
5
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
a)2 3 2
6 1
x y
x y
2
2
5
5
⎧⎨⎩⎪
2 3 2
6 1
x y
y x
2
2
5
5
⎧⎨⎩⎪
2 3 6 1 2
6 1
x x
y x
2 2
2
( )5
5
⎧⎨⎩⎪
2 2
2
16 2 3
6 1
x
y x
5
5
⎧⎨⎩⎪
x
y
5
5 5
116
6116
158
2 2
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
b)
x yy
x yx
12 1
22
21
21
5
5
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
x y y
x y x
1 2
2 2
5
5
2 2
2 2
⎧⎨⎩⎪
x y
x y
5
5
2 3
3 2
2
2
⎧⎨⎩⎪
x y
y y
5
5
2 3
3 2 3 2
2
2 2( )
⎧⎨⎩⎪
x y
y
5
5
2 3
4 10 0
2
2
x
y
5 5
5
2 325
45
25
2⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
4. Resuelveporreducción:
a)
x y
xy
2 33
31
1
2 2
5
5
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
b)
x y
x y
11
2
1 2
12
13
0
23
1
5
5
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
a)
x y
xy
2 33
31
1
2 2
5
5
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
x y
xx
2 33
22
1 5
5+
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
x y
x
2 33
43
1 5
5
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
4 32 3
3
43
/1
y
x
5
5
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
y
x
5 5
5
943
234
43
2⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
b) Sienelsistema
x y
x y
11
2
1 2
12
13
0
23
1
5
5
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
quitamosdenominadores
queda:
3 2 1
5
x y
x y
1 2
1
5
5
⎧⎨⎩⎪
y:
x
x y
5
5
2 2
1
1 10
5
⎧⎨⎩⎪
x
x y
5
5
2
1
11
5
⎧⎨⎩⎪
x
y
5
5
211
16
⎧⎨⎩⎪
5. Resuelvegráficamente:
a)x yx y1
2
5
5
32 2 1
⎧⎨⎩⎪
b)x y
x y2 2
1
5
5
20 2 0 5 0 1, , ,
a) Representemosgráficamentecadaecuacióndelsistema:
x y
x y
1
2
5
5
3
2 2 1
⎧⎨⎩⎪
1 2 3
1
2
3
x
yx1y = 3
2x22y = 1
Fig.5.2.
x5 1,75,y5 1,25
Sol_1CCSS_05.indd 28 12/5/08 08:47:43
29SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 05
b)x y
x y
2 2
1
5
5
2
0 2 0 5 0 1, , ,
⎧⎨⎩⎪
22 21
x
y
1
2
3
23
x2y = 22x15y = 1
9----,7
92 ----,
72
Fig.5.3.
6. Halla el valor de losparámetrosa yb en
52
3
13
x ay
x ay b
2 2
2 1
5
5
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
,
paraquex 5 2,y 5 3seasolucióndelsistema.
Sustituyendoenelsistemalassolucionesseobtiene:a 58/3yb 522/3
7.Añadealaecuación6x 2 2y 5 23otraecuación,deformaqueresulteunsistema:a) Determinado;b)Indeterminado;c)Incompatible.a) Paraqueelsistemaseadeterminadoañadimosunaecua
ciónquetengacoeficientesnoproporcionalesalosdeladada,porejemplo,x 1 y 5 0
b) Enestecasolasegundaecuaciónesproporcionalalaprimera:2x 2(2/3)y 5 21
c) Lasegundaecuacióndebedeciralgocontradictorioconlaprimera:6x 2 2y 5 1
8. Discute y resuelve (si son compatibles) los dos sistemassiguientes:
a)2x 1 y 5 3
22x 1 y 5 2626x 1 3y 5 23
b)x 1 y 5 1
2x 2 y 5 203x 1 4y 5 23
Aplicamoselmétododereducción:
a)
2x 1 y 5 3
22x 1 y 5 26
26x 1 3y 5 23 E2 1 E1
E3 1 3E1
2x 1 y 5 3
2y 5 2 3
6y 5 6
EnE3seobtienequey 5 1,mientrasqueenE2,y 5 23/2.Portanto,elsistemaesincompatible.
b)
x 1 y 5 1
2x 2 y 5 20
3x 1 4y 5 2 3 E2 2 2E1
E3 2 3E1
x 1 y 5 1
23y 5 18
y 5 26
TantoenE3comoenE2seobtienequey 5 26.SustituyendoenE1,x 5 7.Elsistemaescompatibledeterminado.
9. Resuelvelossistemas.
a)
x yx
y
x y
1
2
2
5
5
5
1
22 3
32
4
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
b)
2 1
1 2
2 2
x y
xy
x y
212
23
1
214
5
5
5
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
a) Resolviendo las dos primeras ecuacionesx y
xy
1
2
5
5
1
22 3
⎧
⎨⎪
⎩⎪ nos
danlosvaloresx 5 2,y 5 21quesatisfacenlaterceraecuación,luegoeslasoluciónbuscada.
b) Tomando la primera y tercera ecuación2 1
2 2
x y
x 2y
21214
5
5
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
E21E12 1x 27
12
014
5
5
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
vemos la incompatibilidad de lasmis
mas,porloqueelsistemaesincompatible.
10.Hallaelvalordelparámetromparaquelossiguientessiste-masseancompatibles.
a)x 1 y 5 3x 2 y 5 0
mx 1 3y 5 3 b)
x 1 y 5 12x 2 y 5 4x 1 my 5 2
AplicamosGauss:
a)
x 1 y 5 3
x 2 y 5 0
mx 1 3y 5 3 E2 1 E1
E3 2 3E1
x 1 y 5 3
2x 5 3
(m 2 3)x 5 26
Serácompatiblecuandoelvalordexdespejadoenlasecuacionessegundayterceraseaelmismo,luego:
3
2 5
26
m 23 m 2 3 5 24 m 5 21
b)
x 1 y 5 1
2x 2 y 5 4
x 1 my 5 2 E2 2 2E1
E3 2 E1
x 1 y 5 1
23y 5 2
(m 2 1)y 5 1
Serácompatiblecuandoelvalordeydespejadoenlasecuacionessegundayterceraseaelmismo,luego:
22
3 5
1
m 21 2m 2 2 5 23 m 5 2
1
2
TipoII.Sistemaslinealescontresincógnitas
11. Resuelveelsiguientesistemadeecuaciones:
LoresolvemosporelmétododeGauss.x y z
x y z
x y z
1 1
1 2
2 1 2
5
5
5
1
2 3 4 9
1 E E
E E
x y z
y z
y
2 2 1
3 1
1
6 7
2 2
2
2
1 1
2
2 2
5
5
5
Sol_1CCSS_05.indd 29 12/5/08 08:55:06
30 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES05
x x
z z
y
1 2
2 2
1 1 1 1
1 6 7 1
1
5 5
5 5
5
→→
12.Resuelvelossistemas:
a)
2 32 1
4 2 3 11
x y zx y zx y z
2 1
1 1
1 2
5
5
5
⎧
⎨⎪
⎩⎪
b)
x zx y z
y z
1 2
2 1 1
2
2 13 0
3 5
5
5
5
⎧
⎨⎪
⎩⎪
c)
2 42
1
23
2 11
x yz
xz
y z
2 1
2
2
5
5
5
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
d)
x z
x yz
x yz
11
1 21
12
13 2
1
21
20
24
3
5
5
5
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
a) En el sistema
2 3
2 1
4 2 3 11
x y z
x y z
x y z
2 1
1 1
1 2
5
5
5
⎧
⎨⎪
⎩⎪
ponemos en primer lugar
la segunda ecuación y
x y z
y z
y z
1 1
1 2
2 2
2 1
5 1
6 7 7
5
5
5
⎧
⎨⎪
⎩⎪
E222E1 E424E1
⇔⎧
⎨⎪
⎩⎪6 2 5 3 29E E
x 2y z 1
5y z 1
29z1
1 1
1 2
2
5
5
5
y el sistema escalonado nos da las soluciones:
x
z
y
5
5
5
2
1
0
2
⎧
⎨⎪
⎩⎪
b) El sistema:
x 1 2z 5 21
2x 1 3y 1 z 5 0
y 2 3z 5 5 E2 1 E1
x 1 2z 5 21
3y 1 3z 5 21
y 2 3z 5 5
E3 1 E2
x 1 2z 5 21
3y 1 3z 5 0
4y 5 4
x
y
z
5
5
5
531
43
2
c) En el sistema
2 3
2 1
4 2 3 11
x y z
x y z
x y z
2 1
1 1
1 2
5
5
5
⎧
⎨⎪
⎩⎪
multiplicamos la segunda
ecuación por 2 y la cambiamos por la primera quedando:
2 3
2 1
4 2 3 11
x y z
x y z
x y z
2 1
1 1
1 2
5
5
5
⎧
⎨⎪
⎩⎪
E E
x z
y z
y z 11
2 2 1
2 6
492
11
2
2
2
2 1 2
2
5
5
5
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⇔
2 3 2
2 6
492
11
52
E E
x z x5
y z
z 111
2
2 1 2
5
5
5
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⇔
745
z5225
y57770
d) En
2 3
2 1
4 2 3 11
x y z
x y z
x y z
2 1
1 1
1 2
5
5
5
⎧
⎨⎪
⎩⎪
quitamos denominadores y ordenamos
los términos quedando:
2 3
2 1
4 2 3 11
x y z
x y z
x y z
2 1
1 1
1 2
5
5
5
⎧
⎨⎪
⎩⎪
x
y
z
5
5
5
29
1196
143
13.Discute y resuelve (si son compatibles) los dos sistemassiguientes:
a)x 1 y 2 2z 5 02x 2 y 1 z 5 34x 1 y 2 3z 5 4
b)x 1 y 2 2z 5 12x 2 y 1 4z 5 7
4x 1 y 5 9
Aplicamos el método de Gauss:
a)
x 1 y 2 2z 5 0
2x 2 y 1 z 5 3
4x 1 y 2 3z 5 4 E2 2 2E1
E3 2 4E1
x 1 y 2 2z 5 0
23y 1 5z 5 3
23y 1 5z 5 4
Incompatible, por serlo E2 y E3.
b)
x 1 y 2 2z 5 1
2x 2 y 1 4z 5 7
4x 1 y 5 9 E2 1 2E1
x 1 y 2 2z 5 1
4x 1 y 5 9
4x 1 y 5 9
Sistema compatible indeterminado.
Equivalente a x 1 y 2 2z 5 1
4x 1 y 5 9 y 5 9 2 4x z 5 4 2 3x/2.
Esto es:
x 5 k
y 5 9 2 4k
z 5 4 2 3
2k
14.Discute,deacuerdoconlosvaloresdea,lossistemas:
a)x 2 y 1 z 5 0
2x 1 2y 1 z 5 2x 1 y 2 2z 5 a
b)ax 1 y 2 z 5 5
2x 1 y 1 az 5 212y 1 2z 5 a
Resuélvelos,siesposible,cuandoavalga0.
Aplicamos Gauss:
a)
x 2 y 1 z 5 0
2 x 1 2y 1 z 5 2
x 1 y 2 2z 5 a E2 1 E1
E3 2 E1
x 2 y 1 z 5 0
y 1 2z 5 2
2y 2 3z 5 a
E3 2 2E2
x 2 y 1 z 5 0
y 1 2z 5 2
27z 5 a 2 4 El sistema es compatible para cualquier valor de a. Su solu-
ción es:
z 5 4 2 a
7; y 5
6 1 2a
7; x 5
2 1 3a
7.
En el caso de a 5 0: x 5 2/7; y 5 6/7; z 5 4/7.
Sol_1CCSS_05.indd 30 12/5/08 08:34:18
31SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 05
b)
ax 1 y 2 z 5 5
2x 1 y 1 az 5 2 1
2y 1 2z 5 a
E1 1 E3
E2 1 E3
ax 1 z 5 5 1 a
2x 1 (a 1 2)z 5 21 1 a
2y 1 2z 5 a
E1 1 aE2 (a2 1 2a 1 1)z 5 a2 1 5
2x 1 (a 1 2)z 5 21 1 a
2y 1 2z 5 a Discutimos la E1:
Si a2 1 2a 1 1 5 0 a 5 21, el sistema será incompatible. En cualquier otro caso será compatible determinado.
Si a 5 0 queda:
z 5 5
2 x 1 2z 5 21
2 y 1 2z 5 0, cuya solución es x 5 211;
y 5 10; z 5 5.
15.Discuteyresuelve,deacuerdoconlosvaloresdea,lossis-temas:
a)2x 2 3y 1 z 5 0x 2 ay 2 3z 5 05x 1 2y 2 z 5 0
b)2x 2 3y 1 z 5 0x 2 ay 2 3z 5 05x 1 2y 2 z 5 a
a) Se trata de un sistema homogéneo, luego siempre tendrá solución.
2x 2 3y 1 z 5 0
x 2 ay 2 3z 5 0
5x 1 2y 2 z 5 0 E2 1 3E1
E3 1 E1
2x 2 3y 1 z 5 0
7x 2 (a 1 9)y 5 0
7x 2 y 5 0
E3 2 E2
2x 2 3y 1 z 5 0
7x 2 (a 1 9)y 5 0
(a 1 8)y 5 0
A partir de E3 deducimos: Si a 5 / 28, el sistema es compatible determinado. Su única
solución será la trivial. Si a 5 28, el sistema es indeterminado, equivalente a
2x 2 3y 1 z 5 0
7x 2 y 5 0 Su solución es x 5 k; y 5 7k; z 5 19k.
b)
2x 2 3y 1 z 5 0
x 2 ay 2 3z 5 0
5x 1 2y 2 z 5 a E2 1 3E1
E3 1 E1
2x 2 3y 1 z 5 0
7x 2 (a 1 9)y 5 0
7x 2 y 5 a
E3 2 E2
2x 2 3y 1 z 5 0
7x 2 (a 1 9)y 5 0
(a 1 8)y 5 a
A partir de E3 deducimos: Si a 5 / 28, el sistema es compatible determinado. La solu-
ción depende del valor de a. Si a 5 28, el sistema es incompatible.
16.Determinaparaquévalordelparámetro elsistema:
x 2 3y 1 5z 5 22x 2 4y 1 2z 5 15x 2 11y 1 9z 5
escompatibley,enesecaso,resuélvelo.
Aplicando el método de Gauss:
x 2 3y 1 5z 5 2
2x 2 4y 1 2z 5 1
5x 2 11y 1 9z 5
E2 2 2E1
E3 2 5E1
x 2 3y 1 5z 5 2
2y 2 8z 5 23
4y 2 16z 5 2 10
E3 2 2E2
x 2 3y 1 5z 5 2
2y 2 8z 5 23
0z 5 2 4
Por tanto, la tercera ecuación queda: 0z 5 2 4 si 5 4 el sistema es compatible indeterminado; en caso contrario es incompatible.
Para 5 4, el sistema es:
x 2 3y 1 5z 5 2
2x 2 4y 1 2z 5 1
x 2 3y 5 2 2 5z
2x 2 4y 5 1 2 2z
Su solución es:
x 5 25/2 1 7k
y 5 23/2 1 4k
z 5 k
Tipo III: Sistemas no lineales
17.Resuelvelossistemas:
a)y x
xy
1
656
6
5
5
b)2 3 11
2
2 2x yxy
1 5
5
c)y x xx y2 2
1
5
5
122 2 d)
x yx y
2
2
5
5
4242 2
a) y x
xy
1
656
6
5
5
⎧⎨⎪
⎩⎪
x y
yx
xx
x x1
1 2 1
5
55 5
5
66
5 5 6 02 , con
soluciones x 5 3 y x 5 2, lo que induce y 5 2 e y 5 3, respec-tivamente.
b) 2 3 11
2
2 2x y
xy
1 5
5, despejamos y 5 2/x en la 2ª ecuación y
sustituimos en la 1ª: 2x2 1 12
112x
5 2x4 211x2 1 12 5 0,
ecuación bicuadrada que nos proporciona las 4 soluciones, x 5 62 y x 5 6 3 2/ y sus correspondientes de y 5 61 e
y 5 6223
c) y x x
x y
2 2
1
5
5
1
22 2
⎧⎨⎩⎪
⇒
⎧⎨⎩⎪
⇒ ⇒y x
x xx x x
5
55
2 1
2 1 24 1 4 2
2 222
2
1 21 1 2
( )
⇒ x5 42 2 xx 21 05 nos da x 5 1 y x 5 21/5 como solucio-nes, induciendo los valores de y 5 1 e y 5 27/5
d) x y
x y
2
2
5
5
4
242 2
⎧⎨⎩⎪
⇒ ⇒⎧⎨⎩⎪
x y
y y
5
5
4
4 242 2
1
1 2( ) desarrollando la se-
gunda ecuación obtenemos,16 1 8y 5 24 y 5 1 x 5 5.
18.Laslongitudesdelaalturaylabasedeunrectángulocuyaárea mide 20 cm2 son dos números enteros consecutivos.¿Cuántomidelaaltura?
Sol_1CCSS_05.indd 31 12/5/08 08:34:34
32 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES05
Llamemosxyx 1 1laslongitudesdelosladosdelrectángulo,porello:x(x 1 1) 5 20 x2 1 x 220 5 0 x 5 4comoúnicasolu-ciónaceptable.
19.Encuentra lasdimensionesdeun rectángulode110mdeperímetroyde700m2deárea.
Designemosporxeylaslongitudesdeloslados,entoncespuede
plantearseelsistema:2 2 110
700
55
700
x y
xy
x y
xy
1 15
5
5
5despeja-
mosyenla1ªecuaciónysustituimosenla2ª:x(55 2 x) 5 700x2 255x 1 700 5 0 x 5 35,x 5 20queinducenlosvalores
dey 5 20ey 5 35.
TipoIV.Aplicacionesyproblemasdesistemas
20.Lasumadeedadesdeunamadreysuhijaes42años.Cuan-dolahijatengalaedaddelamadreesasumaseráde90.¿Cuántosañostienecadaunaenlaactualidad?
Sean x e y las edades de lamadre e hija en la actualidad; setieneque x 1 y 5 42.Cuandopasenx 2 yaños,lahijatendrálaedaddelamadrepuesy 1 x 2 y 5 xylaedaddelamadreserá:
x 1 x 2y 5 2x 2 y.Asíquetenemoselsistema:x y
x y x
1
2 1
5
5
42
2 90x y
x y
1
2
5
5
42
3 90queresolviendoporigualaciónnosdax 5 33ey 5 9
años.
21.Semezclan5dldeesenciacon12dldeaguadelavanda,pagándoseporelperfumeresultante15,30€.Sisemezclase1dldecadacoloniasepagarían2,28€.Calculaelpreciodeldecilitrodelaesencia.
Llamemos x el precio del dl de la esencia e y el precio dela misma cantidad de lavanda. Así, obtenemos el sistema5 12 15 30
2 28
x y
x y
1
1
5
5
,
,
⎧⎨⎩⎪
.Quenosdaunpreciodeldlde laesencia
dex 5 12 06
71 72
,,5 euros.
22.Sealeaunlingotedeoropuroconotrolingotede75%depureza,obteniéndose1kgdealeación,conunapurezadel90%.¿Cuántosgramosdecadatipodelingotesehanem-pleado?
Designemosporxlosgramosdeoropuroaleadoseylosgramosdelsegundolingotedeun75%depureza.Enesecaso:x 1 y 5 1000gryademás,eloroexistenteenelkilodemezcla,900gr(el90%de1000),hadecoincidirconx 1 0,75y.Estasrelacionesforman
elsistemax y
x y
1
1
5
5
1000
0 75 900,
⎧⎨⎩⎪
,queresueltonosproporcionalosva-
loresx 5 600gey 5 400g.
23.Compramosenuncolmado6kgdecaféy3kgdearrozporloquepagamos31,8€.Otrodía,por1kgdecaféy10dearroz
sepagan20,5€.¿Cuántonoscostarían5kgdecaféy12kgdearroz?
Seaxelpreciodelcaféeyeldearroz,planteamoselsistema
6 3 31 8
10 20 5 6 2 16 3 31 8
57
x y
x y E Ex y
1
1 22
5
55
,
,,⇔
⇔yy5123
x1y542
y5 51,612357
x54,5tLascantidadesseñaladascostarían:5 ? 4,5 1 12 ? 1,6 5 41,7euros.
24.Endos tinajasde igualcapacidadhay repartidos100 lde
aceite. La primera se llenaría si vertiéramos los23 del
contenidodelasegundayéstalohará,sitrasvasamoslos
34delaprimera.¿Cuántoslitroscontienecadatinaja?
Designemosporxeyloslitrosdecadatinaja.Evidentemente, x 1 y 5 100 y además, como sus capacidades
son idénticas: x 1 23
y 5 y 1 34
x, sistemaquenos conduce a que
x 5 4007
Ley 5 3007
L.
25.Unindividuoposee20monedas,unassonde0,50€yotrasde1€.¿Puedeteneruntotalde16€?
Seanxeyelnúmerodemonedasde0,5y1€,respectivamente.
Planteamos:x y
x y
1
1
5
5
20
0 5 16,⇔
x y
x y
y x
y xx
1
1
2
22
5
5
5
55
20
0 5 16
20
16 0 520 16
,,⇔ 220 5 8, x x 5
ey 5 12monedas.
26.Lasumadelastrescifrasdeunnúmeroes8.Sisecambialacifradelasdecenasporladecentenas,elnúmeroresultantees90unidadesmayor.Además,ladiferenciaentrelacifradeunidadesyeldobledeladedecenasnosdalacifradelascentenas.Hallaelnúmero.
Sea el número xyz, cuyo valor será: 100x 1 10y 1 z. En es-tas condiciones, pondremos las relaciones entre sus cifras:x 1 y 1 z 5 8,z 2 2y 5 x.Respecto al valor del número, las condiciones del enunciadonosdan:100y 1 10x 1 z 5 100x 1 10y 1 z 1 90.Estasecuaciones
formanelsistema:
x y z
z y x
y x z x y z
1 1
2
1 1 1 1 1
5
5
5
8
2
100 10 100 10 90
⎧
⎨⎪
⎩⎪
x y z
x y z
x y
1 1
1 2
2 2
5
5
5
8
2 0
90 90 90
⎧
⎨⎪
⎩⎪
x y z
x y z
x y
1 1
1 2
2 2
5
5
5
8
2 0
1
⎧
⎨⎪
⎩⎪
quepodemosresolverescalonadamente,resultando:x y z
x y
x
1 1
2 2
5
5
5
8
1
5 5
⎧
⎨⎪
⎩⎪
,esdecirx 5 1,y 5 2,z 5 5.Elnúmeroes125.
27.Unaempresaha invertido73000€en la compradeorde-nadoresportátilesdetresclasesA,ByC,cuyoscostespor
Sol_1CCSS_05.indd 32 12/5/08 09:06:57
33SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 05
unidadsonde2400€,1200€y1000€,respectivamente.Sabiendoque,entotal,haadquirido55ordenadoresyquelacantidadinvertidaenlosdetipoAhasidolamismaquelainvertidaenlosdetipoB,averiguacuántosaparatosdecadaclasehacompradolaempresa.
Supongamos que el número de ordenadores que se compran de las clases A, B y C son x, y, z respectivamente.Cantidad invertida: 2 400x 1 1 200y 1 1 000z 5 73 000 12x 1 6y 1 5z 5 365Nºdeordenadores: x 1 y 1 z 5 55Relaciónentrecantidades: 2 400x 5 1 200y 2x 5 y. Así te- nemos el sistema:12 6 5 365
55
2
x y z
x y z
y x
1 1
1 1
5
5
5
⎧
⎨⎪
⎩⎪
(sustituyendo y 5 2x)
48 10 730
3 55
1 10 2 18 180
3 5
x z
x z
E E x
x z
1
1
2
1
5
5
5
5
⎧⎨⎩⎪ 55
⎧⎨⎩⎪
x 5 10, y 5 20, z 5 25.
28.Enlostrescursosdeunadiplomaturahaymatriculadosuntotalde350alumnos.Elnúmerodematriculadosenprimercursocoincidecon losdesegundomáseldoblede losdetercero.Losalumnosmatriculadosensegundomáseldoblede los deprimero superan en250 al quíntuplo de los detercero.Calculaelnúmerodealumnosquehaymatriculadosencadacurso.
Si el número de alumnos de 1º, 2º y 3º son x, y, z, respectiva-mente, se tiene:
x y z
x y z
x y z
1 1
1
1 1
5
5
5
350
2
2 5 250
⇔
x y z
x y z
1 1
2 2
5
5
350
2⇔ 00
2 5 250x y z1 2 5
2 1
3 2 1
350
2 3 3E E
E E
x y z
y z2
2
1 1
2 2 2
5
5⇔ 550
7 4502 2 2y z5
⇔
2 3 2
350
2 3 350
11 550
50
E E
x y z
y z
z
z y
1
1 1
1
5
5
5
5
⎧
⎨⎪
⎩⎪
, 55 5100 200, x .
29.En la fabricación de cierta marca de chocolate se emplealeche,cacaoyalmendras,siendolaproporcióndelechedo-blequeladecacaoyalmendrasjuntas.Lospreciosdecadakilogramodelosingredientesson:leche,0,8€;cacao,4€;y almendras, 13€. En un día se fabrican 9000 kg de esechocolate,conuncostetotalde25800€.¿Cuántoskilosseutilizandecadaingrediente?
Sean x, y, z los kilos de leche, cacao y almendras, respectiva-mente, que se emplean cada día. Debe cumplirse:x 1 y 1 z 5 9 000x 5 2(y 1 z)0,8x 1 4y 1 13z 5 25 800Queda el sistema:
x y z
x y z
x y z
1 1
2 2
1 1
5
5
5
9000
2 2 0
0 8 4 13 25800, E E
E E
2 2 1
3 4 1
1
2
x y z
x
x z
1 1
2 1 2
5
5
5
9000
3 18000
3 2 9 10200,
Despejando x en la segunda ecuación y sustituyendo en la ter-cera y en la primera ecuación, se obtiene:x 5 6 000; y 5 2 000; z 5 1 000Se utilizan 6 000 kg de leche, 2 000 kg de cacao y 1 000 kg de almendras.
30.Lasumadelasedadesdeunpadreysusdoshijosesde60años.Dentrode10años,lasumadelasedadesdeloshijosserálaactualdelpadre.Porúltimo,cuandonacióelpeque-ño,laedaddelpadreera8vecesladelhijomayor.¿Cuántosañostienecadaunodeloshijos?
x y z
(y110)1(z110)5x(x2z)58(y2z)
1 1 560⎧
⎨⎪
⎩⎪
x y z
2x1y1z5220x28y27z50
1 1 560⎧
⎨⎪
⎩⎪
y1z520
27y18z520
z 5 8 e y 5 12Luego el hijo mayor tiene 12 años y el pequeño 8.
31.Por24litrosdeleche,6kgdejamónserranoy12litrosdeaceitedeolivahemospagado156euros.Hallaelpreciouni-tariodecadaartículo,sabiendoque1litrodeaceitecuestaeltriplequeunlitrodelecheyque1kgdejamóncuestaigualque4litrosdeaceitemás4litrosdeleche.
Sean x, y, z los precios de un litro de leche, un kilo de jamón y de un litro de aceite, respectivamente. Por tanto:24x 1 6y 1 12z 5 156
z 5 3x
y 5 4z 1 4x
Sustituyendo z 5 3x en la segunda ecuación, y llevando el valor a la primera se obtiene:24x 1 6y 1 12z 5 156
z 5 3x
y 5 16x 24x 1 96x 1 36x 5 156
156x 5 156 x 5 y 5 16, z 5 3.Los precios serán: leche 1 €/l; jamón 16 €/kg; aceite 3 €/l
32.Uncapitántienetrescompañías:unadesuizos,otradezua-vosyunaterceradesajones.Alasaltarunafortalezaprome-teunarecompensade901escudosqueserepartirándelasiguienteforma:elsoldadoqueprimerosubaytodoslosdesucompañíarecibiránunescudo;elrestodelarecompensaserepartiráapartesigualesentreelrestodelossoldados.Sabiendoquesielprimeroquesubeesunsuizo,losdelasdemás compañías reciben medio escudo; si el primero eszuavo,losrestantesrecibenunterciodeescudo,ysielpri-meroessajón,uncuartodeescudo,¿cuántoshombreshayencadacompañía?
Sean x, y, z el número de suizos, zuavos y sajones, respectiva-mente. Entonces:
x 1 1
2y 1
1
2z 5 901
1
3x 1 y 1
1
3z 5 901
1
4x 1
1
4y 1 z 5 901
2x 1 y 1 z 5 1 802
x 1 3y 1 z 5 2 703
x 1 y 1 4z 5 3 604
Sol_1CCSS_05.indd 33 12/5/08 08:35:05
1,
34 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES05
Aplicando el método de Gauss se obtiene:E1 2 2E3
E2 2 E3
2y 2 7z 5 25 406
2y 2 3z 5 2901
x 1 y 1 4z 5 3 604 E2 1 2E1
2y 2 7z 5 25 406
217z 5 211 713
x 1 y 1 4z 5 3 604
Luego: z 5 689; y 5 583; x 5 265.
TipoV.Sistemasdeinecuaciones
33.Hallaenelplanolasoluciónde:
a) x2 2y < 21; b) x
y2
21 $
a) La gráfica de la recta x 2 2y 5 21 es la mostrada en la gráfica y el área coloreada es la solución:
y
x121
1
21
Fig. 5.4.
b) Dibujamos la recta x
y2
21 5 y el área por encima de ella es
la solución de la inecuación planteada:y
x1 2212223
1
3
23
2223
4 5
Fig. 5.5.
34.Resuelvedandoelresultadoenformadeintervalo:
a) 2 1 6xx
#
2 $
2⎧⎨⎩
; b) 2 3 5xx
$
2 .
2⎧⎨⎩
a) x
x
#
2 $
2
2 1 6
⎧⎨⎩
⇔⎧⎨⎪
⎩⎪
x
x
#
$
2
72
que no puede verificarse,
luego conjunto solución .
b) x
x
$
2 .
2
2 3 5
⎧⎨⎩
⎧⎨⎪
⎩⎪
x
xx
$
..
2
82
44 4
5( , )
35.Resuelvelossistemas:
a) x yx
2 #
$
22 6
⎧⎨⎩
; b) 2 1 2
0( )x y
y2 2 #
$
⎧⎨⎩
a) Representamos en el mismo sistema de ejes coordenados las rectas x 2 y 5 2 y x 5 3:
y
x1 221
1
3
2
3
4 5
Fig. 5.6.
y las semirrectas, junto con el ángulo determinado es la solución.
b) En este caso las rectas a representar son 2x 2 y 5 4 e y 5 0:y
x1 2212223
1
3
23
2223
4 5
Fig. 5.7.
y la solución del sistema aparece marcada.
j CueSTioneSbáSiCaS
1. Encuentratressolucionesdelaecuación2x15y510yhazunarepresentacióngráficadelamisma.
x 5 5y 2 10 tres pares de valores solución pueden ser: y 5 2, x 5 0; y 5 1, x 5 25; y 5 3, x 5 5.
2. ¿Sonequivalenteslossistemasxy x5
5
3
212
2
⎧
⎨⎪
⎩⎪y
yx y2
2
1 32 2
5
5
⎧⎨⎩⎪
?
No, ya que x 5 3, y 5 4 es solución del primer sistema y no lo es del segundo.
3. Añadeunaecuaciónalsistemax yy
1
2
5
5
01
⎧⎨⎩⎪
demodoqueresul-
teincompatible.
Por ejemplo, una ecuación contradictoria con la primera: x 1 y 5 5.
4. Resuelveelsistemax yy x
2 2
1 2
2 11
5
5
⎧⎨⎩⎪
.
x y
y xy y y x
5
55 5 5
2 1
12 1 1 0 1
2
2 22 2 2 2
⎧⎨⎩⎪
,
Sol_1CCSS_05.indd 34 12/5/08 09:13:29
1
35SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 05
5. Encuentragráficamentelasolucióndelsistemax yx y
5
5
2 1
1
11
.
La solución puede verse es x 5 0 e y 5 1
22 21
x
y
1
2
3
23 1 2 3
x = 211yx1y = 1
Fig. 5.8.
6. Razonasilossistemasx
y
x y
22
2
12
1
2 1
5
5
⎧
⎨⎪
⎩⎪y
xy
x yy x
22
2
2
12
1
2 13 1
5
5
5
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
son
equivalentessabiendoquex 5 y 5 1essolucióndelprimero.
No, ya que la tercera ecuación del segundo sistema no es satis-fecha por x 5 y 5 1.
7. Resuelve,aplicandoelmétododeGauss,elsistema
x 1 y 1 z 5 2
x 1 2y 1 3z 5 2x 1 z 5 0
.
x 1 y 1 z 5 2
x 1 2y 1 3z 5 2
x 1 z 5 0
E1 2 E3
E2 2 E3
y 5 2
2y 1 2z 5 2
x 1 z 5 0 x 5 1, y 5 2, z 5 21
8. ¿Cuántotienequevalermparaqueelsistema
x 2 y 1 z 5 1x 1 2y 2 z 5 2(m 2 3)z 5 3
seaincompatible?
m 5 3, pues en tal caso la E3 queda: 0z 5 3.
9. Hallaenfuncióndez5klasolucióndelsistemax 2 2z 5 12y 1 z 5 2
Basta con despejar: x 5 1 1 2k; y 5 22 1 k; z 5 k.
10.Un tercio de los CDs que tengo en casa sonprestados. Sison10lacuartapartedelosdemipropiedad,¿cuántosCDstengoencasa?
Llamemos x los CDs que son de su propiedad, entonces x/4 5 10 x 5 40. Si y son los prestados, se tiene,
13
40403
23
20( )1 y yy
y5 5 5 .
Así, tengo 60 CDs en casa.
Sol_1CCSS_05.indd 35 12/5/08 09:13:31
36 FUNCIONES Y GRÁFICAS06
jACTIVIDADES
1. Hallaeldominioyelrecorridodelassiguientesfunciones: a) f(x) 5 2x2; b) g(x)5 31x ;
c) h(x) 5 3
x2 2 2x ; d) j(x) 5
24x2 1 2
.
a) f(x) f(x)52x2 tiene sentido para todo x. Por tanto, Dom(f)5R.
Los valores que toma f(x) son siempre menores o iguales 0: Im(f)5[0, 2`).
b) g(x)5 31x está definida para x $ 23: intervalo [23, 1`) Su recorrido serán siempre valores positivos: Im(g)5[0, 1`)
c) h(x)53
x212x no está definida cuando x222x50 : x50,
x52. Dom(h)5R2 {0, 2} Esta función puede tomar valores infinitamente grandes,
tanto positivos como negativos menos el valor 0. Luego, Im(h)5(2`, +`) 2 {0}.
d) j(x)524
x222 está definida para todo x, pues x21222:
Dom(j)5R: Su imagen nunca puede ser positiva ni menor que 22:
Im(j)5[22, 0).
2. Paralafuncióndadaenlafiguraanterior(Fig.6.3dellibro):a) ¿Cuántovalef(21),f(0)yf(4)?b) ¿Acuántosnúmerosleasignafelvalor1?
a) f(21)53; f(0)51; f(4)50b) A x50 y x510/3
3. Seaf(x) 5 x .a) Calcula f(4) y f(25). Representa los pares de valores
correspondientes.b) ¿Esfunafunción?c) ¿Esfácilobtenerunafunciónapartirdef?¿Cómo?d) Justificagráficamentelosapartadosanteriores.
a) f(4)562; f(25)565b) No, por el doble signo de la raíz.c) Si, f(x)51 x y g(x)52 x son funciones.d) y
x1 2-1
1
3
23
-2-3
4 5 6 7 8
x
xg (x) = -
f(x ) =
Fig.6.1.
4. Calculaalgunosparesdelafunciónf(x) 5
x 1 1 six ,13 2 x2 six $1
,
represéntalosenundiagramacartesianoytraza,uniendolospuntos,lagráficadef(x).
Si x521 y50: par (21, 0).Si x50 y50: par (0, 1).
Si x51 y52: par (1, 2).Si x52 y521: par (2, 21).Si x53 y526: par (3, 26).Gráfica:
y
x1 2-1
1
3
23
-2-3
4-2-3
Fig.6.2.
5. Supongamosqueenlosúltimoscuatroañoslosingresosdeuna persona han pasado de 26000 €/año a 32000 €/año,mientrasquesugastoenculturacrecióde450a720€/año.a) Calculalatasadevariaciónmediadecadaconcepto.b) ¿Quéhaaumentadomásproporcionalmente,susingre-
sososusgastosencultura?
a) Las tasas de variación media respectivas serán:
TVM(Ingresos) 5 32 000 226 000
4 5 1 500;
TVM(Gastos) 5 720 2450
4 5 67,5
Los ingresos aumentan a un ritmo de 1500 €/año; los gas-tos a razón de 67,5 €/año.
b) Los aumentos porcentuales son:
Ingresos: 1 500
26 000 ? 100 5 23,08, con un crecimiento medio
anual del 5,77 %
Gastos: 67,5
450 ? 100 5 60, lo que supone un crecimiento
medio anual del 15 %.
6. Calcula la tasa de variación media de la funciónf(x)52x216xenlosintervalos[1,3]y[2,6].Interpretageométricamenteelresultado.
Las tasas de variación media en los respectivos intervalos va-len:
TVM[1, 3] 5 f(3) 2f(1)
3 2 1 5
9 25
3 5 2
TVM[2, 6] 5 f(6) 2f(2)
6 2 2 5
0 28
4 5 22
En el intervalo [1, 3], la función crece 4 unidades: a razón de 2 unidades por unidad. En el intervalo [2, 6] la función decrece 8 unidades: a una media de 2 por unidad.Tanto el crecimiento como el decrecimiento no son uniformes. Podría hacerse ver al alumno que la TVM indica la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos correspondientes a los extremos de la función en el intervalo considerado.Véase la Figura 6.3.
Sol_1CCSS_06.indd 36 12/5/08 10:25:14
37FUNCIONES Y GRÁFICAS 06
y
x
9
Pendiente m 5 2
531 42 76-1
2
3
4
5
6
7
8
1
Pendiente m ?
2
Fig.6.3.
7. Paralafunciónf(x)representadaenlaFigura6.4.a) ¿Aquétiendef(x)cuandoxtiendea21oa2?b) ¿Ycuandoxtiendea2`oa1`?c) ¿Quétipodeasíntotastienef(x)?
2
2-1
-1
Fig.6.4.
a) Si x 21, por la izquierda, f (x) +` Si x 21, por la derecha, f (x) 2` Si x 2, por la izquierda, f (x) +` Si x 2, por la derecha, f (x) 2`b) Si x 2`, f (x) 21. Si x 1`, f (x) 2.c) La función tiene dos asíntotas verticales, las rectas x 5 21
y x 5 2. También tiene dos asíntotas horizontales, las rectas y 5 21
e y 5 2.
8. Apartirdelagráficadelafunciónanterior(Fig.6.10dellibro),determina:a) Lasdimensionesdelrectángulodemáximasuperficie.b) Sudominioyrecorrido.
La gráfica (de la función anterior) que da la superficie, es la de una parábola.a) El máximo lo alcanza en el vértice, punto (25, 625). (Si el alumno no sabe calcular el vértice, al menos deberá sa-
ber que el máximo se alcanza cuando x está entre 20 y 30.)b) La superficie sólo existe cuando 0,x,50. Recorrido: (0, 625]
Base
Supe
rfici
e
20 40
100200300400
10 30 50
500600
Máx
imo
Fig.6.5.
9. Dadaslasfuncionesf(x)52x21yg(x)2
x 1 1halla:
a) g(f(x)),g(f(1))yg(f(21));b) f(g(x)),f(g(1))yf(g(21)).
a) g( f (x)) 5 g(2x 2 1) 5 (2x21) 1 1
5 1
x.
Por tanto: g( f(1)) 5 1; g( f(21)) 5 21.
b) f (g(x)) 5 f(2/(x 1 1)) 5 2 ? 2
x11 21 5
3 2x
x21.
Por tanto: f(g(1)) 5 3
0 (no está definida); f(g(21)) tampoco
está definida al no estarlo g(21). Un despiste-error es
escribir: f(g(21)) 5 4
22 5 22.
10.a) Halla la función inversa de f(x)52x21. Compruebaquef(f21(2))5f21(f(2))52.
b) Dadalafunciónf(x)5x224x,hallalaimageninversadey050.
a) Sea f21(x) 5 y. Entonces f(y) 5 x f(y) 5 2y 2 1 5 x
y 5 x 11
2.
Efectivamente: f( f21(2) 5 f(3/2) 5 2 ? 3
2 – 1 5 2.
Igualmente, f21( f(2)) 5 f21(3) 5 4
2 5 2.
b) Las imagen inversa de y0 5 0 se obtiene resolviendo la ecuación x2 2 4x 5 0 x 5 0 y x 5 4. Luego f21(0) 5 {0, 4}.
11. Paralafuncióndadaporlagráficaadjunta,representalasgráficasdelasfunciones:
y
x1 2-1
12
f(x)
-2 3 4
Fig.6.6.
a) f(2x); b) |f(2x)|; c) 2f(x); d)f(2x)
y
x1 2-1
12
f(-x )
-2 3 4-3-4
y
x1 2-1
12 |f(x )|
-2 3 4
y
x1 2-1
12
2f(x )
-2 3 4-3-4
3
-1
y
x1 2-1
12
f(2x)
-2 3 4
Fig.6.7.
Sol_1CCSS_06.indd 37 12/5/08 10:25:19
2
38 FUNCIONES Y GRÁFICAS06
jProblemas propuestos
Tipo I. Funciones. Dominio y recorrido
1. Determina, en cada uno de los casos, si se trata de unafunciónono.a) x 21 0 1 2 21
y 25 0 5 10 15
b) f(x) 5 5x c) y
x1 2-1
12
-2 3 4-3-4
3
-1
Fig.6.8.
d) x 1 2 3 4 5
y 3 6 11 16 27
e) f(x) 5 x2 1 2
a) No. El número 21 tiene dos imágenes.b) Sí. El quíntuplo de un número siempre es único.c) No. Las rectas verticales entre x50 y x53 cortan a la curva
en más de un punto.d) Sí, la correspondencia es única.e) Sí, el valor de x212 es único para cada x.
2. Indica cuáles de las siguientes relaciones definen unafunción:a) Acadanúmeroleasignamoseldoble.b) Acadaalumnaleasignamossuestatura.c) Acadanúmeronaturalleasignamossusmúltiplos.d) Acadaciudadleasignamoslaprovinciaalaquepertenece.
a) Sí. El doble de un número es único.b) En cada momento sí. (Evidentemente una persona puede crecer,
pero en el momento en que es medida, su estatura es única.)c) No. Un número tiene infinitos múltiplos.d) Sí. Cada ciudad pertenece a una sola provincia.
3. Hallaeldominioyrecorridodelasfuncionescuyagráficasedaacontinuación:
y
x1 2-1
12
-2 3 4
y
x1 2-1
12
3 4 5
3 y
x1 2-1
12
-2 3-3
-2
Fig.6.9.
a) Dominio: [21, 3] Recorrido: [0, 2]b) Dominio: [0, 5] Recorrido: [21, 3]c) Dominio: R Recorrido: {22, 1}
4. Hallaeldominiodelassiguientesfunciones:
a) f(x) 5 3x10 1 5x6 2 18; b) g(x) 5 5x21x2 2 25
;
c) h(x) 5 3x2 4; d) k(x) 5 x22 1;
e) l(x) 5 8x29
2x2 2 3x 1 1.
a) Dom (f)5R; b) Dom (g)5R2{25, 5};
c) Dom (h)53
4 , 2` ; d) Dom (k)5(2`, 21] < [1, `);
e) Dom (l)5R21
2 , 21 .
Tipo II. Representación y características gráficas
5. Dibujaelperfil deunaetapa ciclistaque comienzaenMálagaytienelassiguientescaracterísticas:1. Llanaensusprimeros60km.2. Tiene10kmdesubidahastalacotade1.000m.3. Bajadurante15km.4. Transcurredurante45kmporunvallesituadoa200m
dealtitud.5. Termina, tras 20 km de ascensión, en un puerto de
1.400metrosdealtura.
Empezamos a una altitud aproximada de cero metros, ya que Málaga está al nivel del mar (en realidad son 8 m sobre el nivel del mar).
Distancia (km)
Altitud (m)
20 40 60 80 100120
500
140160
1000
1500
Fig.6.10.
6. Elgráficoadjuntomuestraelnúmerodeconsultasrelaciona-dasconlagripeenuncentromédicodeatenciónprimaria.a) ¿Defineestegráficounafunción?¿Cuálessudominio?
¿Pertenece10,5alrecorridodeesafunción?b) ¿Piensasque lagripetendráalgúntipodecomporta-
mientopredecible?
2 4
10203040
1 3 5Meses del año
50607080
6 7 8 9 10 11 12
55
70
50
20 155
105
40
30
6050
Fig.6.11.
Sol_1CCSS_06.indd 38 12/5/08 10:25:21
39FUNCIONES Y GRÁFICAS 06
a) Sí. Para ese año, cada mes el número consultas es único. Esto es, para cada mes se sabe exactamente el número de consultas.
Su dominio es todo el año. 10,5 no pertenece al recorrido pues el número de consultas
es un entero positivo.b) Sí, será aproximadamente periódico.
7. Lacotización,eneuros,delasaccionesdedoscompañías,C1yC2,durantelosseisprimerosmesesdeunaño,vieneindica-daenlagráficaadjunta.
1510
20
30
40
50
35
17
40,5
18
42
26,5
43
24
45
13
3222
40 C1
C2
E F M JA M
Fig.6.12.
a) Hallalatasadevariaciónmediamensualdecadacompa-ñía.
b) Calculaelcrecimientoodecrecimientoporcentualmediomensualdecadaunadeellas.
a) La cotización de C1 pasa de 35 a 45 €; la C2, de 15 a 24 €. Por tanto, su variación media mensual es:
TVM(C1) 5 10
6 5 1,66 €/mes; TVM(C2) 5
9
6 5 1,5 €/mes;
b) El crecimiento medio mensual es:
Para C1: TVM(C1)
35 5
1,66
35 ? 100 5 4,75 %.
Para C2: TVM(C2)
15 5
1,5
15 ? 100 5 10 %.
8. Paralascompañíasdelproblemaanterior:a) Indicalaevoluciónbimensualdecadaunadeellas.b) ¿Encuáldeesosperiodosbimensualesseproduceunava-
riaciónporcentualmayor,tantopositivacomonegativa?
a) Los valores que se observan son:
Periodo E-F M-A M-J
Variación: C1 32 2 35 5 22 40 2 32 5 18 45 2 40 5 12
Variación: C2 13 2 15 5 22 22 2 13 5 12 24 2 22 5 12
Por tanto:
TVM(C1, E-F) 5 22
2 5 21 €/mes;
TVM(C2, E-F) 5 22
2 5 21 €/mes;
TVM(C1, M-A) 5 8
2 5 14 €/mes;
TVM(C2, M-A) 5 9
2 5 4,5 €/mes;
TVM(C1, M-J) 5 5
2 5 2,5 €/mes;
TVM(C2, M-J) 5 2
2 5 1 €/mes;
b) En el segundo periodo bimensual, se da la máxima variación positiva para ambas compañías.
C1 sube un 8
32 ? 100 5 25 %; C2 sube un
9
13 ? 100 5 69,2 %;
Ambas compañías bajan en el primer periodo (en enero y fe-brero).
C1 baja un 2
35 ? 100 5 5,7 %; C2 baja un
2
15 ? 100 5 13,3 %.
9. Estudialasimetríadelassiguientesfunciones:a) f(x) 5 x4 2 x2; b) g(x) 5 x3 2 x 1 1;
c) h(x) 5 2x
x2 2 4.
a) f(2x)5(2x)42(2x)25x42x25f(x) f(x) es una fun-ción par.
b) g(2x)5(2x)32(2x)1152x31x11 Þ g(x) y de 2g(x) no es par ni impar.
c) h(2x)52x
(2x2)145
x
x21452h(x) h(x) es una fun-
ción impar.
10.Las siguientes gráficas corresponden a las funciones delproblemaanterior.Atendiendoalestudio realizadosobresusimetría,emparéjalasconsuexpresiónalgebraica.
y
x1 2-1
1
3
23
-2-3
4-2-3
1
y
x1 2-1
1
3
23
-2-3
4-2-3
2
Fig.6.13. Fig.6.14.
y
x1 2-1 3
0,25
-0,25
4-2-3
3
Fig.6.15.
1) con g(x); 2) con f(x); 3) con h(x).
11. Representa,dandovalores,lasfunciones:a) f(x) 5 2x2 2 1b) g(x) 5 x3 2 3xc) HallalaTVMdecadaunadeellasenintervalos[21,3]y
[0,5].
a) x 0 21 1 22 2
f(x) 21 1 1 7 7
Sol_1CCSS_06.indd 39 12/5/08 10:25:24
40 FUNCIONES Y GRÁFICAS06
-2 -1 x
y
123
1 2 3
456
-3
Fig.6.16.
b) x f(x)
0 0
1 22
2 2
1/2 211/8
3/2 29/8
5/2 65/8
21 2
22 22
21/2 11/8
23/2 9/8
-2 -1x
y
1
2
3
1 2
-2
-3
Fig.6.17.
c) TVMf[21, 3] 5 f(3) 2f(21)
3 2 (21) 5
17 21
4 5 4;
TVMf[0, 5] 5 f(5) 2f(0)
5 2 0 5
49 2(21)
5 5 10;
TVMg[21, 3] 5 g(3) 2g(21)
3 2 (21) 5
18 22
4 5 4;
TVMg[0, 5] 5 g(5) 2g(0)
5 2 0 5
110 20
5 5 22
12.Dadalafunción,definidaatrozos,
f(x) 5
x 1 3 six ,230 si23 2 x ,0x2 2 1 six #0
a) Hallaf(–4),f(–2),f(–1),f(0)yf(2).b) Representaf(x).c) Dalosvaloresdexquesetransformanen0.Ídemen–1.
a) f(24)521; f(22)50; f(21)50, f(0)521; f(2)53.
b) y
x1 2-1
123
-2-3
-2-3-4-5-6
Fig.6.18.
c) Hay que resolver la ecuación f(x)50 en cada uno de sus tres trozos.
x1350 x523, pero este valor no pertenece al domi-nio de ese trozo (x,23).
En el segundo trozo, f(x)50 en todos los puntos de su do-minio, es decir, en23 # x,0.
x22150 x561. Como x521 no pertenece al domi-nio de este trozo, sólo se cumple para x51.
En resumen, los valores de x que se transforman en cero son: [23,0)< {1} De manera análoga: f 21 (21)5{24, 0}
Nota:El apartado c) se podría haber resuelto también con ayuda de la gráfica de f(x). Las funciones definidas a trozos se estudia-rán con más detenimiento en el curso próximo.
13.Representagráficamentelasiguientefuncióneindicasudominioyrecorrido:
f(x) 5
2x22 6x 2 6, six ,222x 1 2, si21 # x ,12x 1 4, six .1
y
x1 2-1
123
-2-3
-2-3-4-5-6
4
3 4
Fig.6.19.
Dom (f)5(2`, 22)<[21, 1)<(1, ̀ )Im (f)5(2`, 4)
14.Representalafunciónf(x) 5
22x, six2 02x 1 1, si0 , x #0,5x2 1 1, six .0,5
Apartirdesugráficaindica: ¿Enquépuntosesdiscontinua? ¿Cuándoescrecienteycuándodecreciente?Sugráficaesla
siguiente:
y
x1 2-1
1
2
3
-2
-3
-2
4
Fig.6.20.
Es discontinua enx50 y en x50,5.a) Crece en el intervalo (0, 0,5).b) Decrece en los intervalos (2`, 0) y (0,5, 1`).
15.Calculaalgunosparesdelafunción
f(x) 5
x2 six ,03x six $1
,
Sol_1CCSS_06.indd 40 12/5/08 10:25:27
41FUNCIONES Y GRÁFICAS 06
represéntalosenundiagramacartesianoytraza,uniendolospuntos,lagráficadef(x).¿Paraquevaloresdexlafun-cióntomaelvalor9?
Pares:(23, 9); (22, 4); (21, 1); (20,5, 0,25); (0, 0); (0,5, 1,5); (1, 3); (2, 6); (3, 9)Representando todos los pares y uniendo los puntos se obtiene la gráfica adjunta.
-2 -1 x
y
123
1 2 3
456
-3-4 4
789
10
f1(x ) = x2
(-3, 9)
(-2, 4)
(-1, 1)
f2(x ) = 3x
(1, 3)
(2, 6)
(0, 0)
Fig.6.21.
Para x523 y x53 la función toma el valor 9.
Tipo III. Composición y transformación de funciones.
Función inversa
16.Dadasf(x) 5 2x 2 3yg(x) 5 x
5,halla:
a) f(g(0)); b) f(g(22)); c) g(f(5)); d) g(f(21)).
a) g(0)50 f(0)523 f(g(0))523
b) g(22)522/5 f(22/5)5219/5 f(g(22))5219/5c) f(5)57 g(7)57/5 g(f(5))
57/5
d) f(21)525 g(25)521 g(f(21))521
17. Paralasmismasfuncionesdeterminaf(g(x))yg(f(x)).
f(g(x))52g(x)2352x
2235
2x215
2
g(f(x))5f(x)
55
2x23
5
18.Dadasf(x) 5 x 2 3yg(x) 5 5
x 1 1,halla:
a) f(g(x))yg(f(x)).b) f(g(4))yf(g(1)).Determinaeldominodef(g(x)).c) g(f(3))yg(f(2)).Determinaeldominiodeg(f(x)).
a) f(g(x))5g(x)2355
x11235
2x23x
x11
g(f(x))55
f(x) 115
5
x 23115
5
x 22
b) f(g(4))52212
411522; f(g(1))5
223
1115
21
2.
Dominio5R2{21}
c) g(f(3))55
32255; g(f(2))5
223
2125̀ : no está definida.
Dominio5R2{2}
19. Calculalafuncióninversadef(x) 5 x21 1.Compruebaquef(f 21(4)) 5 f 21(f(4)) 5 4.
Si g(x) es la inversa de f(x), debe cumplirse que f(g(x))5x g(x)2115x.
Elevando al cuadrado y despejando, f 21(x)5g(x)5 x221 Efectivamente:f(f 21(4))5«011SolCS06.eps»5 15 11 54; y al revés, f(f 21(4))5«012SolCS06.eps»5 17 21 54
20.Hallalainversadelasfunciones:a) f(x) 5 x 2 3;
b)g(x) 5 5
x 1 1;
c)h(x) 5 x2 2 3.
a) f(f 21(x))5f 21(x)235x f 21(x)5x13
b) g(g21(x))55
g21(x)11 55xg21(x)1x g21(x)5
52x
xc) h(h21(x))5(h21(x))2135x h21(x)5 x 13
21.Paralasfuncionesanteriores,halla:a) f 21(5); b) g 21(2); c) h 21(1).
a) f 21(5)58;
b) g21(2)5522
25
3
2c) h21(1)5 1 13 52
22.Dadaslasfuncionesf(x) 5 3x 1 2yg(x) 5 3
2x 2 1.Halla:
a)f(g(x)); b)(g 8 f)(x); c)f(f(x));d)g(g(x)); e) (f 8 f 8 f)(x).
a) f(g(x))5f 3
2x2153
3
2x21125
4x17
2x21
b) (g 8 f)(x)5g(f(x))5g(3x12)5
3
2(3x12) 21 51
2x21c) f(f(x))5f(3x12)53(3x12)1259x18
d) g(g(x))5g3
2x215
3
23
2x21 21
56x23
722x
e) (f 8 f 8 f)(x)5f(f(f(x)))5f(f(3x12)5f(3(2x12)12)5
5f(9x18)53(9x18)12527x126
23.Dadaslasfunciones:
f(x) 5 2x 1 4yk(x) 5 x 2 2
xa) Hallasusrespectivasfuncionesinversas.
b) Calculalasimágenesinversasde6yde0paracadaunadelasfuncionesdelenunciado.
a) La función inversa f 21(x) tiene que cumplir la ecuación f(f 21(x))5x.
Sol_1CCSS_06.indd 41 12/5/08 10:25:32
42 FUNCIONES Y GRÁFICAS06
f(f 21(x))5 2f 221(x) 24 5x f 21(x)5x214
2 La función inversa k21(x) tiene que cumplir la ecuación
k(k21(x))5x.
k(k21(x))5
k21(x)22
k21(x)5x k21(x)225x k21(x)
k21(x)2 x k21(x)52
k21(x) (12x)52 k21(x)52
12x
b) f 21(6)520; k 21(6)522
5; f 21(0)52; k21(0)52
24.Representaenunosmismosejeslasfunciones
g(x)55x22
2yg21(x)5
3x125
.
Compruebaquesusgráficassonsimétricasrespectodelarectay5x.
Damos valores
x g(x) x g21(x) 1 0 1 1 0 22 0 2/521 2 21 21/5 2 211/8 2 8/5
22 29/8 22 24/5
x
y
1 2-1
1
3
23
-2-3
-2-3
g (x)
g -1(x )
Fig.6.22.
25.Apartirdelagráficadelafunciónf(x) 5 x 2 2,representa:a) 2f(x); b) f(2x); c) f(x); d) f(x 2 4).
Damos valores en la siguiente tabla:
x f(x)5x22 2f(x) f(2x) f(x) f(x 24)21 23 3 21 3 27 0 22 2 22 2 26 1 21 1 23 1 25 2 0 0 24 0 24 3 1 21 25 1 23 4 2 22 26 2 22
Sus gráficas se indican a continuación.
x
y
1 221
1
3
23
2223
2223f(x
) 5 x
2 2
f(2x) 5
2x 1
2
2f(x) 5
2x 2
2
x
y
1 221
1
3
23
2223
22
|f(x)|
4
f(x 2 4) 5 x 2 6
5 6
Fig.6.23. Fig.6.24.
26.Apartirdelasfuncionesf(x)yg(x)dadasporlassiguien-tesgráficas
x
y
1 2-1
1
3
23
-2-3
-2
f(x )
4
-2 -1 x
y
123
1
4
-3
5g (x)
Fig.6.25. Fig.6.26.
Representalasgráficasdelasfunciones:
a) 2 f(x),3 1 f(x),f(x 2 2),|f(x)|
b) |g(x)|,12
g(x),g(0,5x),g(x) 2 3
a)
x
y
1 2-1
1
3
2
3
-2
-3
-2 4
f(x )
-f(x )
x
y
1 2-1
1
3
2
3
-2
-3
-2 4
f(x )
|f(x )|
x
y
1 2-1
1
3
2
3
-2
-3
-2 4
f(x )
3 + f(x )
x
y
1 2-1
1
3
2
3
-2
-3
-2
f(x )
4
f(x + 2)
Fig.6.27.
b)
2221 x
y
123
1
4
23
5
g(x)
2221 x
y
123
1
4
23
5
g(x)
2221 x
y
123
1
4
23
5
g(x)
2425 2 3
g(0,5x)
0,5g(x)
2221 x
y
123
123
g(x)
2322
g(x) 2 3
|g(x)|
Fig.6.28.
Sol_1CCSS_06.indd 42 12/5/08 10:25:36
43FUNCIONES Y GRÁFICAS 06
27. Dadalafunción:
f(x) 5
x, si23#x # 00, si0,x # 121, si1,x # 222, si2,x # 30, six,23ox . 2
a) Represéntalagráficamente.b) ¿Enquépuntosnoescontinua?c) Hazlagráficade|f(x)|.
a) La representación gráfica se da en la figura siguiente.y
x1 2-1
1
2
3
-2
-3
-2-3-4-5
4
3 4 5
Fig.6.29.
b) Como puede verse por la figura, la función no es continua en x523, x51, x52 y
x53; en los demás puntos es continua.c) La gráfica de |f(x)|
y
x1 2-1
1
2
3
-2
-3
-2-3-4-5
4
3 4 5
Fig.6.30.
Tipo IV. Funciones dadas por enunciado
28.El3deenerode2006eldólarcotizabaa0,8466€.
a) Hallalasfuncionesquepermitanpasardeunamonedaaotra.
b) Silosbancoscobranunacomisióndel0,5%porelcam-bio(porlacompraolaventa),hallalasfuncionesdecompradelasdosmonedas.
a) Por x dólares nos dan f(x)50,8466x euros.
Por z euros nos dan g(z)5z
0,8466
dólares.
b) Con comisión. Al comprar dólares o euros al banco, éste nos cobra el 0,5 %.
Por un dólar nos da 0,995 dólares (se queda con 0,005 dóla-res); por un euro nos da 0,995 euros. Luego:
Por x dólares nos dan: f(x)50,8466?0,995x50,842367x euros.
Por z euros nos dan: g(z)50,995
0,8466z dólares51,175289z
dólares.
29.Lafacturabimensualdeunacompañíatelefónicaconstadeunacantidadfija(lascuotasdeabono)porunimportede29,84euros,máselimportedelospasosgastados,conunprecioporpasode0,06euros.Aesasumahayquecargarleel16%deIVA.Sepide:a) ¿Cuántodebepagaruna familiaque consumióendos
meses990pasos?b) Escribelaexpresiónquedéelimportetotal,IVAinclui-
do,delafacturaenfuncióndelospasosgastados.
a) 29,841990 · 0,06589,24 16 % de 89,24514,2784 Total a pagar: 89,24114,27845103,52 euros.b) P5pasos gastados, I(p)5importe total (IVA incluido) 29,84116 % de 29,84534,6144 0,06116 % de 0,0650,0696 I(p)534,614410,0696p.
30.Enunaclasedepsicologíaserealizóelsiguienteexperimen-todememorización:acadaestudiantese lediouna listacon40 palabras, y un día paramemorizarlas. Durante 20días seguidos cada estudiante escribía todas las palabrasdelalistaqueeracapazderecordar.Sehallólamediadeaciertosysedeterminóqueunabuenaaproximacióndeesta
mediaveníadadaporlafunciónR(d) 5 5d130
d,dendías.
Dibujaesta función. ¿Quépuedededucirsede sugráfica?
Algunos valores son:
y
x5 10
5101520
15 20 25 30 35 40
2530
R(d ) = 5d + 30
d
Fig.6.31.
d R(d)
1 35
3 15
5 11
10 8
15 7
20 6,5
30 6
50 5,6 En los primeros días los estudiantes olvidan rápidamente las palabras memorizadas; el vigésimo día, la media de retención de palabras es de 6,5. Si este comportamiento se mantuviese para más de 20 días, la media de memorización de palabras disminuirá muy lentamente, acercándose cada vez más a 5, es decir, a la asíntota.
31. Sedeseacercarconcuerdadosparcelasrectangularesad-yacentes(consecutivas)eigualesqueencierrenentrelasdosunáreade1 000m2.
x
y
Fig.6.32.
Sol_1CCSS_06.indd 43 12/5/08 10:25:39
44 FUNCIONES Y GRÁFICAS06
a) Sixindicaelanchodelasparcelas,encuentralafunciónquedalalongitudL(x)decuerdanecesariaparacercarlas.
b) Representa L(x), y a partir de esa gráfica determina,aproximadamente,elmínimonecesariodecuerdaparacercar las dos parcelas. (Puede convenirte hacer unaampliacióndelagráficadesdex 5 15hastax 5 25.)
a) Área total51 00052xy Longitud de la cuerda necesaria: L(x)54x13y
1 00052xy y5500
x
Por tanto, L(x)54x13 500
x54x1
1 500
x
y
x20
100200300400
40 60 80
500600
100
x L(x)
1 1 504
5 320
15 160
20 155
25 160
50 230 Fig.6.33.
Se puede observar en la gráfica que el mínimo de L(x) se da cuando está próximo a 19, siendo necesarios unos 150 m de cuerda. No hay máximo.
Nota: Resulta evidente que la solución de este problema requie-re el auxilio del cálculodiferencial, herramienta que todavía no conocen los alumnos. La solución mínima exacta se da en x5 375 219,4.Nuestro objetivo 2que sepan leer una gráfica2 se cumpleso-bradamente; de cualquier manera, no estaría de más sugerir la necesidad de una herramienta más potente (el cálculo diferen-cial) para resolver este tipo de problemas.
32. Lasumadeloscatetosdeuntriángulorectánguloes80cm.a) Hallayrepresentalafunciónquedalasuperficiedeese
rectángulodependiendodelalongituddesubase.b) ¿En qué puntos de su dominio toma esa función sus
valoresmáximoymínimo?
a) x5longitud de la base. 802x5longitud de la altura.
S(x)5superficie. S(x)5x(802x)
25
80x2x2
2 Vamos a dar algunos valores para dibujarla:
20
100200300400
40 60 80
500600
10 30 50 70Base (cm)
700800
Supe
rfici
e (c
m2 )
x f(x)
0 0
10 350
30 750
40 800
50 750
70 350
80 0 Fig.6.34.
b) El máximo se alcanza en x540. El mínimo se da en x50 y x580. (En los puntos extremos del dominio.)
33.Sequiereconstruirunacajapartiendodeuntrozodecartu-linarectangularde24por32cm,recortandouncuadraditoencadaesquinaydoblando.a) Determinalafunciónquedaelvolumendelacajade-
pendiendodelladodelcuadradocortado.b) ¿Quévolumentendrálacajacuandocortamos0,5y10cm?c) Representadichafunción.Apartirdesugráfica,deter-
minasudominio,recorridoymáximo.
Cortamos un cuadrado de x cm de lado.a) V(x)5(3222x) · (2422x) · xb) V(0)50; V(5)51 540; V(10)5480c)
x 0 2 4 5 6 8 10 12
V(x) 0 1 120 1 536 1 540 1 440 1 024 480 0
2
200400600800
4 6 8
10001200
9 10 11 121 3 5 7Lado del cuadrado cortado (cm)
14001600
Volu
men
(cm
3 )
Fig.6.35.
Dominio: [0, 12]; Imagen: . [0, 1.550]; Máximo: . 1 550
33.Halla,enfuncióndesuladox,laexpresiónquedalasuper-ficiedeuntriánguloequilátero.
x
xh
x2––
Fig.6.36.
Sea el triángulo de la figura. Su superficie vale: S 5xh
2.
Por Pitágoras: h 5 xx x2
2
43
22 5
Por tanto:S(x) 5x
xx
32
23
4
2
5
34.Alalquilaruncochepodemosescogerentredosmodelos:AyB:ElmodeloAcuesta31€fijosy0,25 €porkmrecorrido,yelBcuesta5 €fijasy0,30 €porkmrecorrido.Elconsumoporcada100kmesde5litrosdegasóleoparaelmodeloAy10litrosdegasolinasinplomoparaelB.Ellitrogasóleovale1,20 €yeldelagasolinasinplomo1,40 €.Determi-naelmínimodekilómetrosquehayquerecorrerparaquecompensealquilarelmodeloA.(Elcombustiblelopagalapersonaquealquilaelcoche.)
Modelo A:alquiler531 €; coste km50,25; consumo 100 km55 · 1,2056 consumo por cada km50,06 €Coste total por x km: A(x)53110,25x10,06x53110,31x
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45FUNCIONES Y GRÁFICAS 06
Modelo B:alquiler55 €; coste km50,30; consumo 100 km510 · 1,40514 consumo por cada km50,14 €Coste total por x km: B(x)5510,30x10,14x5 510,44xCompensa alquilar el modelo A cuando A(x),B(x), por tanto:3110,31x,510,44x 26,0,13x x.200 Al menos hay que recorrer 200 km.Gráficamente.
100
20
40
60
80
200 300
100
120e
50 150 250 350 km
Modelo B
Modelo A
Fig.6.37.
jCuESTIonES báSICAS
1. ¿Definef(x) 5 17 2 5xunafunción?¿Quévalorleasociaax 5 6?
Si, pues la operación que se indica tiene resultados únicos para cada valor de x.f(6)5213.
2. Indica,justificándolo,silasiguientetabladeterminaunafunción.
x 1 3 5 6 21 3
y 2 4 4 1 0 2
Sí, pues a cada valor de x le asocia un único valor de y.
3. Daeldominioyelrecorridodelafunción
x
y
1 2-1
1
2
3
-2
Fig.6.38.
Dominio5[22, 3)Recorrido5[0, 3]
4. Para lafunciónanterior,dicuántovalef(22), f(0), f(1),f(2)yf(3).
f(22)50, f(0)53, f(1)52, f(2)50,f(3) no está definido.
5. Dibujauna funciónperiódicadeperiodo5apartirde laanterior.¿Cuántovaldríanf(5)yf(7)?
x
y
1 2-1
1
2
3
-2 3 4 5 6 7
Fig.6.39.
f(5)53; f(7)50
6. Paralamismafunciónhallaf 21(0)yf 21(2).
f 21(0)5{2}; f 21(2) 5{21,5, 1}.
7. ¿Cuáleseldominiodelasfunciones
f(x) 5 x 2 1,g(x) 5 1
x 2 1yh(x) 5 x21 ?
Dom(f)5R; Dom(g)5R2{1}; Dom(h)5{x $ 1}.
8. Dadalafunciónf(x) 5
x2 2 1 x ,00,5x 2 2 x $0
,hallaf(22),f(21),
f(0)yf(2).Represéntalagráficamente. ¿Escontinuaenx 5 0?
y
x1 2-1
123
-2-3
-2
4
3 4 5
Fig.6.40.
No es continua en x50.
9. Dadasf(x) 5 x2yg(x) 5 1
x 1 1,hallaf(g(2))yg(f(21)).
f(g(2))5f(1/3)51/9; g(f(21))5g(1)51/2
10.Unaparcelarectangulartiene100mdeperímetro.
x
y
Fig.6.41.
¿Cuántovalesuáreasix 5 10?;¿ysix 5 15? ¿Quéexpresióndasuáreadependiendodelvalordex?
Si x510, y540 S510 · 405400Si x515, y535 S515 · 355525x1y550 y5502x S5xy5x(502x)
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46 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES07
jACTIVIDADES
1. Representarectas:a) Conpendientea 5 21yquecortenalejeOYenlospun-
tos(0,21),(0,1)y(0,2).b) QuecortenalejeOYen(0,1),conpendientesrespecti-
vasa 5 20,4,a 5 1,5ya 5 22.
a) Son tres rectas paralelas: y 5 2x 2 1; y 5 2x 1 1;y 5 2x 1 2.
Dandovaloresseobtienenlasgráficas.
y
x1 2212223
1
3
2
3
22
23
(0, 2)
(0, 1)
(0, 2 )
y 5 2
x 1 2
y 5 2
x 1 1
y 5 2
x 2 1
1
Fig. 7.1.
b) Enlostrescasoslaordenadaenelorigenesb 5 1.Lasrectasson:y 5 20,4x 1 1;y 5 1,5x 1 1;y 5 22x 1 1.
Dandovaloresseobtienenlasgráficas.
y
x1 2212223
1
3
2
3
22
23
(0, 1)
y = 1,5x + 1
y = 22x + 1
y = 20,4x + 1
Fig. 7.2.
2. En una ciudad andaluza la bajada de bandera de un taxicuesta1,30€.Siunrecorridode12kmcostó10,30€:a) ¿Acuántosaleelkm?b) Determinalafuncióndelcostedeltaxidependiendode
loskilómetrosrecorridos.
Funcióndecoste:C(x) 5 1,30 1 pxSiendo pelcosteporkmyxloskmrecorridos.a) Six 5 12,C(12) 5 1,30 1 12p 5 10,30 p 5 0,75€/kmb) C(x) 5 1,30 1 0,75x
3. Contestaalasmismaspreguntasenelcasodeuncohetequesalehaciaarribaconunavelocidadde80m/s.
Lafunciónseráh t t t( ) ,580 4 9 22a) h( ) , ,2 160 4 9 4 140 45 52 ?b) 80 4 9 140 42t t2 , ,5 4 9 80 140 4 02, ,t t2 1 5 t 5 2,
t 5 14,33sc) La altura máxima la alcanza en el vértice, cuya abscisa
es x 5 8,16, intermedia entre 2 y 14,33. Para ese valor,h(8,16) 5 326,9m.
d) h(t) 5 0 t 5 0,t 5 80/4,9 5 16,32s.
16,32
326,9
10
100
200
5
300
15
Fig. 7.3.
4. Determinalospuntosdecortedelasfuncionesy 5 x2 2 5x 1 4ey 5 x4 2 5x2 1 4conlosejesdecoordenadas.
y x x5 2 5 42 1 cortaalejeOYcuandox 5 0 y 5 4.Punto(0,4)CortaalejeOX cuandoy 5 0 x x2 5 4 02 1 5 x 5 1yx 5 2.Puntos(1,0)y(2,0) y x x5 4 25 42 1 . Parax 5 0,y 5 4.Punto(0,4).Paray 5 0 x x4 25 4 02 1 5 .Unasoluciónesx 5 1 x x x x x x2324 5 4 1 4 4 02 1 2 1 2 25 5( )( ) .Otrasoluciónesx 5 21 x x x x x224 5 4 1 1 4 02 1 2 1 25 5( )( )( ) Lasotrasdossolucionessonx 5 22y x 5 2.Puntos(22,0),(21,0),(1,0)y(2,0).
5. Calcula lafuncióncuadráticadeinterpolacióncorrespon-dientealosvalores:
Variable independiente: x 1 3 4 5
Variable dependiente: y 4 9 ¿? 18
Determinasuvalorcuandox 5 4.
Lafuncióndeinterpolaciónes f x ax bx c( )5 2 1 1 .Porpasarpor(1,4) 45a b c1 1 Porpasarpor(3,9) 9 9 35 a b c1 1 Porpasarpor(5,18) 18 25 55 a b c1 1
Resolviendoelsistemaseobtiene:a512;b5
12;c 5 3.
Lafuncióndeinterpolaciónes: f x x x( )512
12
32 1 1
Parax 5 4, f ( )4 135
6. Lasfuncionesdeofertaydemandadeundeterminadopro-ductoson:qs
5 2150 1 10p;qd 5 450 2 p2,(pen€).Halla:
a) Lascantidadesdeofertaydemandaaunpreciode15€.b) Elprecioylacantidaddeequilibrio.
a) qs(15) 5 2150 1 10 ? 15 5 0;qd ( )15 450 15 22525 52 b) 2 1 2150 10 450 2p p5 p p2 10 600 01 2 5 p 5 20€ q 5 50.
7. Hallaeldominiodedefinicióndelassiguientesfunciones:
a) f x x( )5 3 122 ; b) g x x( )5 2 92 ; c) h xx
x( )5
23
32
.
a) Estádefinidacuando3x 2 12$0 x$4. Portanto,Dom(f) 5 {x$4}b) Debeserx2 9 02 $ x#23ox$3. Dom(g) 5 (2,23] [3,1)
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47FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES 07
c) Laraízcúbicaestádefinidaparacualquiernúmeroreal,pero
2
3x
x 2noestádefinidosix 5 3.Portanto,Dom(h) 5 R 2 {3}
jProblemas propuestos
Tipo I. Funciones lineales
1. Representagráficamentelassiguientesrectas:a) y 5 x 2 4; b) y 5 2x 2 1;c)y 5 22x; d) y 5 23x 2 10;e) y 5 0,8x; f) y 5 20,4x 2 4;
g)y 5 32
x 2 4; h) y 5 1 2 3x
2.
y
x1 2212223
1
3
23
22232425
24 4 5
y = 2 x + 1
y = x 2 4
y = 22x
y = 23 x 2 10
Fig. 7.4.
2. Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntosA 5 (21,3)yB(5,22).
Laecuacióndelarectaesdelaformay 5 ax 1 b.Sustituyendo los puntos A y B en la ecuación se obtiene elsistema:
5
5
− a b
a b
1
2 12 5
3
Lasolucióndelsistemaes:a 5 256yb 5
136
.Portanto,larecta
quepasaporAyBesy x52 156
136
.
3. Uncochecuesta25000€ysedepreciaalmes150€.¿Cuáles su valor dependiendo del número de meses desde sucompra?
x 5 númerodemesesdesdelacompra;f(x) 5 valordelcoche;f(x) 5 25000 2 150x
4. Lafacturabimensualdeunacompañíatelefónicaconstadeunacantidadfija(lascuotasdeabono)porunimportede30,60€,máselconsumo,conunprecioporminutode0,12€.a) ¿Cuántodebepagaruna familiaque consumióendos
meses215minutos?b) Hallalaexpresiónquedéelimportetotaldelafactura
enfuncióndelosminutosconsumidos.
c) Siaesasumahayquecargarleel16%deIVA,¿cuáleslafunciónquedaelimportetotal(IVAincluido)delafacturadependiendodelosminutosconsumidos?
a) 30,60 1 0,12 ? 215 5 56,4euros.b) x 5 minutosconsumidos;f(x) 5 importedelafactura f(x) 5 30,60 1 0,12xc) I(x) 5 importetotaldelafactura(IVAincluido) I(x) 5 30,60 1 0,12x 1 0,16(30,60 1 0,12x) 5 35,496 1 0,1392x
5. La relación entre la temperatura del aire T (en ºF) y laaltitudh(enmetrossobreelniveldelmar)eslinealpara0 h 20000.Silatemperaturaaniveldelmaresde60ºFyporcada5000mdealtitudquesesube,latemperaturadelairebaja18ºF,sepide:a) ExpresaTenfuncióndeh.b) Calculadeformarazonadalatemperaturadelaireauna
altitudde15000m.c) Calculadeformarazonadalaaltitudalaquelatempe-
raturaes0ºF.
a) Lafunciónserádelaforma:T(h) 5 ah 1 b Alniveldelmar,h 5 0yT 5 60 T(0) 5 0 1 b 5 60 b 5 60 A5000m,T 5 60 2 18 5 42 5000a 1 b 5 42
5000a 1 60 5 42 a529
2500
Portanto,lafunciónbuscadaes:T(h) h52 19
250060
b) Para h 5 15000 T( )150009
250015000 60 65 52 ? 1 ºF
c) SiT(h) 5 0ºF 018
50006052 1h h 5 16666,7m
6. Lafacturamensualdelacompañíaeléctricaconstadeunacantidadfijaydeotraproporcionalalnúmerodekilowa-tioshora(kWh)consumidos.Lacantidad fija,bimensualesde33,4€,yelprecioporkWh,de0,1602.Ambascanti-dadesllevanunrecargodel16%deIVA.
Sepide:a) ¿Cuántodebepagarunafamiliaquehaconsumido552
kWhendosmeses?b) ¿Cuáleslaexpresiónquedaeltotalapagarenfunción
deloskWhconsumidos?
Cálculos de facturación Importe en euros
Facturación por potencia5,50 kW 3 2,00 MESES 3 2,82 € 31,02
Alquiler equipo de medida1,19 € 3 2,00 MESES 2,38
Facturación por consumo552 kWh 3 0,1602 € 88,43
IVA potencia y consumo 1 IVA alquiler16,0 % (119,45) 1 16,0 % (2,38) 19,49
Importe total 141,32
a) 33,40 1 0,1602 ? 552 5 121,83euros 16%de121,83 5 19,49euros Totalapagar:141,32euros
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48 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES07
b) k 5 númerodekWhconsumidos p(k) 5 cantidadapagar p(k) 5 33,40 1 0,1602k 1 0,16(33,40 1 0,1602k) 5 5 38,744 1 0,185832k
7. LafuerzadelagravedadenlaTierravale9,81yenVenus8,85.a) ¿CuántopesaríaAntonioenlaTierrasisupesoenVe-
nusesde80?b) Escribelasfuncionesdeconversióndepesosdeunpla-
netaaotro.a)
8,85 80 kg
99,81 x kg⇒
8,85x 5 9,81 ? 80
x 5 88,678kgb) x 5 pesoenVenus;f(x 5 pesoenlaTierra.
8,85 x kg
9,,81 f(x) kg⇒f(x) 5
9 818 85,,
x
f(x) 5 1,108x z 5 pesoenlaTierra;g(z) 5 pesoenVenus.
9,81 z kg
8,,85 g(z) kg⇒g(z) 5
8 859 81,,
z
g(z) 5 0,9z
Nota:Laaceleracióndelagravedadenlosdistintosplanetasdelsistemasolarladamosenlasiguientetabla.(Puedeservirparaproponerproblemassimilares.)
Planeta GravedadTierra 9,81
Luna 1,62
Mercurio 3,70
Venus 8,85
Marte 3,72
Júpiter 26,39
Saturno 11,67
Urano 11,43
Neptuno 11,07
Plutón 1,96
8. Representalassiguientesfunciones:a) y 5 |x 1 1|; b)y 5 |2x 2 2|.
a) y
x1 221222324
1
3 4
2
3
4
y = |x + 1|
Fig. 7.5.
b) y
x1 221
1
3 4
2
3
4
y = |2x 2 2|
Fig. 7.6.
9.Representagráficamente:a) y 5 ENT[0,4x]; b) y 5 ENT[2x].
y
x1 2212223
1
3
2223
24 4 5
y
x1 22122
1
23
2
Fig. 7.7.
10.Hallalaexpresiónanalíticaquedaelcostedeaparcamien-to,enfuncióndeltiempo,sielprecioporhoraofracciónesde1,80€.
x 5 tiempoenhoras;f(x) 5 costedeaparcamiento.f(x) 5 1,80 ? ENT[x 1 1],parax . 0
11.Doscompañías de telefoníamóvilC1yC2 ofrecen las si-guientestarifas:
C1cobra24€fijosalmesy0,6€porminutodesdeelpri-merminuto.
C2 cobra57€ fijosalmes,quedanderechoa40minutosgratisalmesy,apartirde losprimeros40minutos,cadaminutomáslocobraun5%másbaratoquelaotracompañía.a) Escribelas expresiones de las funciones T1(t) y T2(t)
quedanelprecioapagarencadaunadelascompañíascuandoseusaelteléfonotminutosalmes.
b) Determinacuál es la compañíamás ventajosapara elusuario,enfuncióndelosminutosqueseuseelteléfo-noalmes.
a) Elpreciodecadacompañía,enfuncióndelosminutoslla-mados,será:
ParaC1:T1(t) 5 24 1 0,6t ParaC2:
T2(t) 5 57, si 0 t 40, #
si t 4057 0 6 0 95 401 ? 2 ., , ( ),t 5
5 57, si 0 t 40, #
134 2 0 57, , t,, si t 40.
b)Hayqueconsiderarloscasost#40yt . 40. Si t#40, es más barata la primera compañía pues:
24 1 0,6 ? 40 5 48 , 57. Sit . 40,hayqueresolverlainecuación: 24 1 0,6t#34,2 1 0,57t 0,03t#10,2 t#340
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49FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES 07
Portanto,C1esmásbaratasielteléfonoseusamenosde340minutos;apartirdeesetiempoconvienecontratarconC2.Unesquemagráfico(noseguardanproporciones)de lasituaciónanterioreseldelafiguraadjunta.Enella,lagrá-ficaquevapordebajoindica,encadacaso, latarifamásbarata.
Tiempo (min)
Cost
e (e
)
40 340
57
24
T2(t)
T1(t)
Fig. 7.8.
Tipo II. Funciones cuadráticas
12.Representa gráficamente las siguientesparábolas, calcu-landopreviamentesuvértice:a) y 5 x2 2 4x 1 5 b) y 5 2x2 1 6x26
c) y 5 2x2 1 6x 1 1 d) y 5 212
x2 1 x
e) y 5 110
x2 1 6x 1 1 f) y 5 3x2 1 18x 1 21
a) V(2,1) b)V(3,3)
c) V 2 212
72
, d)V 112
,
e) V(22,2) f)V(23,26)
y
x1 2212223
1
3
23
22232425
24 4 5
456
6
2627
y = 2x2 + 6x + 1
y = x
2 2 4x
+ 5
y = 2x2 + 6x 2 6
Fig. 7.9.
y
x1 2212223
1
3
23
22232425
24 4 5
456
2627
25
y = 2 ––x2 + x12
y = 3x2 + 18x + 21
y = ––x2 + ––x + ––110
2 125 5
Fig. 7.10.
13.Representa gráficamente la recta y 5 x 1 1 y la parábolay 5 x2 2 5x 1 4.a) Determinaanalíticamentesuspuntosdecorte.b) Daunarectaquenocortealaparábola.Justifícalo.
y
x1 221
1
3
23
2223
4 5
4567
6
y = x2 2 5x + 4
y = x + 1
Fig. 7.11.
a) Lospuntosdecortesonlassolucionesdelsistema:
y x
y x x
5
5
+⎧⎨⎩
1
5 42 2 1 Esdecir,x 1 1 5 x2 2 5x 1 4
x2 2 6x 1 3 5 0 x 5 5,45yx 5 0,55 Por tanto, los puntos de corte son: (5,45, 6,45) y (0,55,
1,55)b) El vértice de la parábola es el mínimo de la función
y 5 x2 2 5x 1 4.Dichomínimosealcanzaparax 5 5/2ysuordenadaesy 5 29/4 5 22,25.
Dadoquelaparábolaseencuentraporencimadey 5 22,25,cualquierrectahorizontalquecortealejeYpordebajodey 5 22,25nocortaráalaparábola.Porejemplo,y 5 23.
14.Hallalospuntosdecorteconlosejesdecoordenadasdelasparábolas:a) y 5 x2 2 5x b) y 5 22x2 1 8xc) y 5 x2 1 x 1 4 d) y 5 2x2 1 4
a) y 5 x2 2 5xcortaalejeOYcuandox 5 0 y 5 0.Punto:(0,0) CortaalejeOX cuandoy 5 0 x2 2 5x 5 0 x 5 0y
x 5 5.Puntos:(0,0)y(5,0).b) y 5 22x2 1 8xcortaalejeOYcuandox 5 0 y 5 0.Punto:
(0,0) CortaalejeOXcuandoy 5 0 22x2 1 8x 5 0 x 5 0y
x 5 4.Puntos:(0,0)y(4,0).c) y 5 x2 1 x 1 4cortaalejeOYcuandox 5 0 y 5 4.Punto:
(0,4) CortaalejeOXcuandoy 5 0 x2 1 x 1 4 5 0.Dadoque
estaecuaciónnotienesolución,laparábolanocortaalejeOX.
d) y 5 2x2 1 4cortaalejeOYcuandox 5 0 y 5 4.Punto:(0,4)
CortaalejeOXcuandoy 5 0 2x2 1 4 5 0 x 5 22y x 5 2.Puntos:(22,0)y(2,0).
15.Determinaelvértice decadaunadelasparábolasdadasenelejercicioanterior.
En los apartados a), b) y d), la abscisadel vértice sepuedeobtenercalculandoelpuntomediodeloscortesdelaparábolaconelejeOX.Encualquiercaso,siempresepuedeutilizar la
fórmulax 5 2ba2.
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50 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES07
a) V 52
254
,2 b)V(2,8) c)V 212
74
, d)V(0,4)
16.Hallagráficamentelospuntosdecortedelasgráficasdelasfunciones y 5 x2 1 2xey 5 –x2 1 4.Compruebaque lascoor-denadasdelospuntoshalladosverificanambasecuaciones.
Seobservaquelospuntosdecorteson(22,0)y(1,3).(22,0) verifica la ecuacióny 5 x2 1 2x yaque si x 5 22 (22)2 1 2 ? (22) 5 4 2 4 5 0 5 y.(1, 3) verifica la ecuación y 5 2x2 1 4 ya que si x 5 1 212 1 4 5 21 1 4 5 3 5 y.
y
x1 2212223
1
3
23
22
4y 5 x2 1 2x
y 5 2
x 2 1 4
Fig. 7.12.
17. Unpuenteestáadornadoporarcosparabólicos,cuyaecua-
ciónes:f(x)52140
x 2 1 x.
a) ¿Quéalturatienenesosarcosa5mdelcomienzodelpuente?
b) ¿Yenlamitaddelpuente?
20 405
10
Fig. 7.13.
f(5) 5 4,375mEselmáximo,elvértice.Laabscisadelvérticees:
x 5 2
2
12 40/
5 20.
Sualturaesf(20) 5 10m.
18. Elíndicedeaudiencia(evaluadoenunaescalade0a10)deciertoprogramadetelevisiónde30minutosdeduraciónsecomportadeacuerdoconlafunción:
I(t) 5 At2 1 Bt 1 C,0 t 30,(A Þ 0) dondeA,ByCsonconstantesadeterminar. Sabiendoquea los20minutosdecomenzarelprograma
sealcanzaelíndicedeaudiencia10yqueelprogramaseiniciaconuníndicedeaudiencia6,sepide:a) DeterminalasconstantesA,ByC.Justificalarespuesta.b) Representaycomentalafunciónobtenida.
a) Setratadeunafuncióncuadrática(parabólica). Sesabeque:I(20) 5 10;I(0) 5 6;yquealos20minutosse
dalamáximaaudiencia(luegoent 5 20tieneelvérticelaparábola).
I(20) 5 10 400 20 10A B C1 1 5 I(0) 5 6 C 56 Comoelvértice,queestáent 5 20,eselpuntomediode
dospuntosconlamismaordenada,parat 5 40,laordenadavolveráavaler6,luegoI(40) 5 6:
PorI(40) 5 6 1600 40 6A B C1 1 5 Asípues:
400 20 4
1600 40 0
A B
A B
1
1
5
5
⎫⎬⎭→
400 20 4
1600 40 0
A B
A B
1
1
5
5
⎫⎬⎭ A52
1100
,
B5
25,C 5 6.Portanto:I t t t( ) , ,52 1 10 01 0 4 62 .
b) Lafunciónesunaparáboladeejevertical,conmáximoenelpunto(20,10).Surepresentacióngráficaeseltrozoconti-nuodelaparáboladelasiguientefigura.
Sudominioeselintervalo[0,30],enminutos. Surecorrido,elintervalo[6,10].
10 20
1
30
23
40 50
456789
10I(t)
t
Fig. 7.14.
Laaudienciacrecedesdeeliniciodelprogramahastalos20minutosyluegodecreceligeramenteenlos10últimosminu-tos,hastaquedarsealfinalconuníndicedeaudiencia9.
19. Lasumadelaslongitudesdeloscatetosdeuntriángulorectánguloes80cm.a) Hallalafunciónquedalasuperficiedeesetriángulode-
pendiendodelalongituddesubase.¿Cuálessudominio?b) Representa gráficamente la función anterior ¿En qué
puntodesudominiotomaesafunciónsuvalormáximo?¿Cuálessurecorrido?
a) Seaeltriángulodelafigura.
Susuperficievienedadaporlaexpresión:Sxy
52
Secumpleque:x 1 y 5 80,portanto,y 5 80 2 x. Sustituyendoenlafórmulaanteriorsetiene:
Sx x
xx
5 5( )80
240
2
222
x
y
Fig. 7.15.
Eldominioestáformadoporlosnúmerosrealesmayoresque0,yquenohagannegativaaS.
Estoes,402
02
xx
2 . 80x 2 x2 . 0 x(80 2 x) . 0
0 , x , 80.Portanto,Dom(S) 5 (0,80).
Sol_1CCSS_07.indd 50 12/5/08 10:35:08
51FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES 07
b) Setratadeunafuncióncuadrática.Sugráficaesunaparábo-lay,dadoqueelcoeficientedex2esnegativo,sumáximoloalcanzaenelvértice.Pararepresentarlaformamosunatabladevalores:
Base: x 0 20 30 40 50 60 80
Superficie: S 0 600 750 800 750 600 0
600700800
8020 40 60
100200300400500
S(x )
x
Fig. 7.16.
Sabemosqueparalaparábolay 5 ax2 1 bx 1 c,laabscisadel
vérticeesxba
522
.Portanto,paralafunciónS,laabscisa
delvérticeesx 5 522
402 1 2
40( / )
yenestepuntodeldo-
minioalcanzaelvalormáximo.A lavistade lagráfica, seobservaqueel recorridode lafunciónesIm(S) 5 (0,80].
20.Consideralacurvay 5 12 2 x2.SiPesunpuntodeesacurva,situadoenelprimercuadrante,determinalaexpresióndelafunciónquedaeláreadelrectángulodeterminadoporlosdosejesylasrectasparalelasalosejesquepasanporP.
UnpuntoP,genérico,delacurvay 5 12 2 x2,esP 5 (x,y) 5 (x,12 2 x2)Elrectánguloquesedeterminaconlosejeseselsombreadoenlafiguraadjunta.Susuperficiees:S 5 xy 5 x(12 2 x2) 5 12x 2 x3
y
x1 2212223
1
3
23
24 4 5
456
25
789
101112
P(x, y )
Fig. 7.17.
Tipo III. Interpolación
21.Halla,porinterpolaciónlineal,elvalordem.
x 2 4 5
y 1,1 m 3,2
Lafuncióndeinterpolaciónlinealesdelaforma:f(x) 5 ax 1 bPasapor(2,1,1):1,1 5 2a 1 bPasapor(5,3,2):3,2 5 5a 1 bResolviendoelsistemaobtenido:a 5 0,7 y b 5 20,3.Luego,f(x) 5 0,7x 2 0,3.x 5 4 m 5 f(4) 5 0,7 ? 4 2 0,3 5 2,5.
22.Calculaporinterpolaciónlinealatrozos,losvalorescorres-pondientesan1,n2,n3,n4yn5enlasiguientetabla:
z 0,00 0,01 0,02 0,03
1,0 0,8413 0,8438 n1 0,8485
1,1 0,8643 n2 0,8686 n3
1,2 0,8849 n4 n5 0,8907
Interpolaciónden1Tomamoslospuntos(0,01;0,8438)y(0,03;0,8485).Medianteunaregladetressetendrá:Sien0,0320,0150,02aumenta0,848520,843850,0047En0,0220,0150,01 aumentará x x50,00235.Portanto:n150,843810,0023550,84615.
Interpolaciónden2yn3Tomamoslospuntos(0,00;0,8643)y(0,02;0,8686).Medianteunaregladetressetendrá:Sien0,0220,0050,02aumenta0,868620,864350,0043En0,0120,0050,01 aumentará x x50,00215.Portanto:n250,864310,00215=0,86645.Sien0,0220,0050,02aumenta0,868620,864350,0043En0,0320,0250,01 aumentará x x50,00215.Portanto:n350,868610,0021550,87075.
Interpolaciónden4yn5Tomamoslospuntos(0,00;0,8849)y(0,03;0,8907).Medianteunaregladetressetendrá:Sien0,0320,0050,03aumenta0,890720,884950,0058En0,0120,0050,01 aumentará x x50,00193.Portanto:n450,884910,0019350,88683.Sien0,0320,0050,03aumenta0,890720,884950,0058En0,0220,0050,02 aumentará x x50,00387.Portanto:n550,884910,0038750,88877.
Nota:Losvaloresdeestatablapertenecenalatabladedistri-buciónnormaltipificada.
23.De una función f(x) se tiene la siguiente información:f(21) 5 10, f(1) 5 b, f(2) 5 13 y f(3) 5 26, siendo b unparámetroreal.Sepide:a) Calculaelpolinomiodeinterpolacióndesegundogrado
def(x).b) Calculaunvaloraproximadodeb.
a) Lafuncióndeinterpolaciónesdelaforma P x px qx r( )5 2 1 1 Porpasarpor(21,10),P(21) 5 10 10 5 p 2 q 1 r Porpasarpor(2,13),P(2) 5 13 13 4 25 p q r1 1 Porpasarpor(3,26),P(3) 5 26 26 9 35 p q r1 1 Resolviendoelsistemasetiene:p 5 3,q 5 22, r 5 5. ElpolinomiointerpoladoresP x x x( )53 2 52 2 1 Parax 5 1setienequeP(1) 5 6.Portanto,f(1) 5 b 6.
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52 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES07
24.Cierta empresa contaba al año de haber sido creada con1100clientes.Alostresañosyatenía1600yaloscincoaños2900.a) Estima,medianteunpolinomiointerpoladordesegun-
dogrado,elnúmerodeclientesconlosquecontabalaempresaaloscuatroaños.
b) Ídemconlosquecontaráalos10años.c) Justificacuáldelasdosestimacionescreesqueesmás
fiable.
a) Elpolinomiointerpoladorpuedeescribirseasí: P(x) 5 a 1 b(x 2 1) 1 c(x 2 1)(x 2 3) Porpasarporelpunto (1,1100) P(1) 5 1100 a 5 1100 Por pasar por el punto (3, 1600) P(3) 5 1600 1100 1 2b 5 1600 b 5 250 Porpasarporelpunto(5,2900) P(5) 5 2900 1100 1 250 ? 4 1 8c 5 2900 c 5 100 Portanto,P(x) 5 1100 1 250(x 2 1) 1 100(x 2 1)(x 2 3) P x x x( )5100 150 1 1502 2 1 Alos4años,x 5 4,setendrá: P(4) 5 1100 1 750 1 300 5 2150clientesb) Alos10años,x 5 10,setendrá: P(10) 5 1100 1 2250 1 6300 5 9650clientesc) Habitualmenteesmásfiablelainterpolación:enestecaso,
para x 5 4. La extrapolación siempre es más problemática(porejemplo,laempresapodríahabercerrado).Además,10añosestámuyalejadodelosdatosconsiderados.
25.Lagráfica de una función pasa por los puntos (0, 1),(1,0)y(2,3).a) Hallalafuncióncuadráticaquepasaporesostrespun-
tos.b) Aproximaelvalordelafunciónenx 5 0,5 medianteel
polinomiohallado.
a) SeaP x ax bx c( )5 2 1 1 lafunciónquepasaporesostrespuntos.
Porpasarpor(0,1):P(0) 5 1 1 5 c. Porpasarpor(1,0):P(1) 5 0 0 5 a 1 b 1 c Porpasarpor(2,3):P(2) 5 3 3 4 25 a b c1 1
Resolviendoelsistema
c
a b c
a b c
5
5
5
1
0
4 2 3
1 1
1 1
⎧
⎨⎪
⎩⎪
seobtiene:
a 5 2;b 5 23;c 5 1. Lafunciónes:P x x x( )52 3 12 2 1b) Elvaloraproximadoparax 5 0,5será: P x( ) ( , ) ( , )5 52 0 5 3 0 5 1 02? 2 ? 1
Tipo IV. Aplicaciones económicas
26.Las funciones de oferta y demanda de un producto son:qs 5 25 1 2p;qd
5 210 2 0,4p2,dondepvienedadoeneurosyqenmilesdeunidades.Halla:a) Lascantidadesdeofertaydemandaaunpreciode8€.b) Elprecioylacantidaddeequilibrioparaeseproducto.
a) p 5 8 qs 5 11 Oferta:11000unidades. p 5 8 qd 5 184,4 Demanda:184400unidades.b) qs 5 qd 25 1 2p
5 210 2 0,4p2 0,4p2 1 2p 2 215 5 0
p 5 20,818yp 5 225,818
Preciodeequilibrio:20,82euros. q(20,82) 5 25 1 2 ? 20,82 5 36,64 Cantidad de equi-
librio:36640unidades.
27. Hallaelpreciodeequilibrio(eneuros)yelnúmerodeuni-dades ofertadas y demandadas a ese precio, para las si-guientesfuncionesdeofertaydemanda.a) qs 5 270 1 2p y qd
5 200 2 pb) qs 5 240 1 p y qd
5 500 2 2pc) qs 5 25 1 2p2 y qd
5 11 2 2p2
a) qs 5 qd 270 1 2p 5 200 2 p 3p 5 270 p 5 90euros. A ese precio de 90 euros, la cantidad de equilibrio es:
q 5 200 2 90 5 110unidades.b) qs 5 qd 240 1 p 5 500 2 2p 3p 5 540 p 5 180
euros q 5 500 2 2 ? 180 5 140unidades.c) qs 5 qd 25 1 2p2 5 11 2 2p2 4p2 5 16 p 5 2euros
q 5 11 2 2 ? 22 5 3unidades.
28.Lafuncionesdeingresosporventaycostesdeproducción,para un determinado producto, son I(x) 5 100x210x2 yC(x) 5 100 1 5x,dondexvienedadaenmilesdeunidadeseI(x)yC(x)enmilesdeeuros.Sepide:a) ¿Cuántogasta,ingresayganalaempresasiproducey
vende1000,3000,10000unidades?b) ¿Cuáleslafuncióndebeneficios?Represéntala.c) ¿Cuántasunidadeshayqueproduciryvenderparaque
elbeneficioseapositivo?
a) Para1000unidades: I(1) 5 90(milesdeeuros);C(1) 5 105(milesdeeuros) Pierde:15000euros Para3000unidades: I(3) 5 210;C(3) 5 115.Gana:95000euros Para1000unidades: I(10) 5 0;C(10) 5 150.Pierde:150000eurosb) Funcióndebeneficios: B(x) 5 I(x) 2 C(x) 5 210x2 1 95x 2 100
4
204060
2 6 8 10
80100120
1,28,29
x
yB(y) = -10x2 + 95x + 100
Fig. 7.18.
c) El beneficio es cero cuando B(x) 5 210x2 1 95x 2 100 5 0x 5 1,2yx 5 8,29
B(x) . 0si1,2 , x , 8,29.Portanto,habríaqueproduciryvender1200y8290unidades.
Comentariosobrelafuncióndeingresos:Puedepensarsequelafuncióndeingresosdebesercreciente:amásventas,másin-gresos.Seríaasíenunrégimendemonopoliodondelospreciossefijanartificialmente.Enunaeconomíademercado,losingresossonI 5 pq,precios(p)porunidadesproducidasyvendidas(q);perolospreciostiendenabajaramedidaqueqaumenta,así,desdeelpuntodevistade
Sol_1CCSS_07.indd 52 12/5/08 10:35:29
53FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES 07
laempresa,p 5 f(q),queenelcasomássimple,ellineal,adoptalaformap 5 a 2 bqconb>0.LuegoI 5 (a 2 bq)q 5 aq 2 bq2
29.Paralademandaqd 5 100000 2 1000phalla:a) Lafuncióndeingresos,I(p).b) EldominiodeI(p).c) Elnúmerodeunidadesquehayquevenderparaquelos
ingresosseande1600000€.
a) Lafuncióndeingresosesigualalnúmerodeunidadesven-didas,qd,porelpreciodecadaunidad,p.
I(p) 5 qd ? p 5 100000p 2 1000p2
b) DomI(p) 5 [0,)c) I(p) 5 1600000 100000p 2 1000p2 5 1600000
p2 2 100p 1 1600 5 0 p 5 80yp 5 20. Como qd(80) 5 20000 y qd(20) 5 80000, las unidades que
hayquevenderserán20000 u 80000.
30.Unaempresapuedevenderciertoproductoa10€launi-dad.Loscostesde funcionamientode laempresasonde25000€,siendoelcostedeproducciónunitariode4€.Si admitimos que la demanda es tan grande que todo loproducidosevendeaeseprecio,calcula:a) Lasfuncionesdeingresoycostes.b) ¿Cuántaspiezashayqueproducirparaqueloscostesse
igualenalosingresos?c) ¿Cuántopierdesifabricayvende1500unidades?d) ¿Cuántoganasivendelas6000unidadesfabricadas?
a) x 5 númerodeproductosvendidos;I(x) 5 ingresos; C(x) 5 costes. I(x) 5 10x;C(x) 5 25000 1 4x.b) I(x) 5 C(x) 10x 5 25000 1 4x x 5 4166,67c) I(1500) 5 15000euros;C(1500) 5 31000euros. Pierde:16000euros.d) I(6000) 5 60000euros;C(6000) 5 49000euros. Gana:11000euros.
Tipo V. Otras funciones: racionales e irracionales
31. Enuninstitutodeenseñanzasecundariaseorganizalavi-sitaaunmuseo.Cadaalumnotienequepagar2eurosporla entrada almuseomás el viaje en autobús. El alquilerdeunautobúsde50plazascuesta200eurosysepagaapartes iguales entre todos los alumnos. La excursión sesuspendesiseapuntanmenosde20alumnos.a) Sivan40alumnosalaexcursión,¿cuántolecostaráa
cadauno?b) Si x es el número de alumnos que va a la excursión,
¿cuál es la función, P(x), que da el precio que debepagarcadaalumno?
c) CalculaeldominioyelrecorridodeP(x).d) RepresentagráficamentelafunciónP(x).
a) 2 1 200
40 5 7euros.
b) P(x) 5 2 1 200
x 5
2x1 200
xc) DomP(x) 5 [20,50];ImP(x) 5 [6,12]
d)
25 35
2468
20 30 40Número de alumnos
Prec
io p
or a
lum
no (
e)
45 50
1012
x
2x + 200P(x) = ––––––––x
P(x)
Fig. 7.19.
32.Unpequeñosupermercadoutilizaunafurgonetaparalle-varadomiciliolascomprasdesusclientes.Elpreciodelafurgonetafuede25000euros.Seestima,además,queelcostedeusoymantenimientoesde0,2eurosporkilóme-tro.Determina:a)Lafuncióndelcostetotaldependiendodeloskilóme-
trosrecorridos.b)¿Acuántohabrásalidoelkilómetrosilafurgonetare-
sultainserviblecuandoharecorrido350000km?
a) Six 5 kilómetrosrecorridos,lafuncióndecosteseráf(x) 5 25000 1 0,2x.
b) Trasrecorrer350000kmlafurgonetahasalidoporf(350000) 5 95000euros.
Siendoelprecioporkilómetrode95000
350000 5 0,27€
33.Paraelproblemaanterior:a) Escribelaexpresiónanalíticadelafuncióndecostepor
kilómetro.b) Silafurgonetafuncionaseindefinidamente,¿acuánto
tenderíaesecoste?Daunaexplicacióngráficadeeseresultado.
a) Parahallarlafuncióndecosteporkilómetrodividiremoslafuncióndecostetotalentreelnúmerodekilómetrosrecorri-dos,quesonx.Portanto:
g(x) 5
250001 0,2x
xb) Veamosquéocurrecuandoserecorrenmuchoskilómetros,es
decir,cuandox esmuygrande: x 5 1000000 f(1000000) 5 0,225 x 5 5000000 f(5000000) 5 0,205 x 5 10000000 f(10000000) 5 0,2025 x 5 100000000 f(100000000) 5 0,20025
Elcosteporkilómetrovadecreciendodeunaformacadavezmásatenuada,acercándose,sinllegar,a0,20eurosporkilóme-tro.Puedesobservarlográficamenteenlasiguientefigura:
2 4
0,180,200,220,24
1 3 5
e/km
km (millones)6
0,260,28
g(x) = ––––––––––––25000 + 0,2xx
Fig. 7.20.
Sol_1CCSS_07.indd 53 12/5/08 10:35:34
54 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES07
34.Lasuperficiedeunrectángulodebasexes100cm2.Expre-saelvalordelaalturaenfuncióndelabase.Representagráficamentelafunciónhallada.
Sidesignamosporylaaltura,debecumplirseque
x ? y 5 100 y 5 100
xAlgunosvalores:
x 2 5 10 20 40 50
y 50 20 10 5 2,5 2
Sugráficaes:
20 40
10203040
10 30 50 60
5060
x
y
Fig. 7.21.
35.Representagráficamente,paravaloresdex 0,lasfuncio-
nesf(x) 5 4x
,g(x) 5 3 1 4x
y h(x) 5 4
x 2 3.
¿Quérelaciónhayentreellas?Algunosvalores:
x 0,5 1 2 3 4 5 8
f(x) 8 4 2 4/3 1 0,8 0,5
g(x) 11 7 5 13/3 4 3,8 3,5
h(x) 21,6 22 24 ¿? 4 2 0,8
Susgráficasson:
y
x2 4
2
6
46
24
8 10
81012
g(x) = 3 + ––4x
f (x) = ––4x
h (x) = –––––4
x 2 3
Fig. 7.22.
Laslíneasdeambasgráficassonidénticas:cadaunaeslatrasla-dadadeotra.
36.Hallaeldominiodedefinicióndelasfunciones:
a) f(x) 5 x
x 1 5 b) g(x) 5
x 2 12x 2 6
c) h(x) 5 6
x2 2 2x
a) Dom(f) 5 R 2 {5} b) Dom(g) 5 R 2 {3}c) Dom(h) 5 R 2 {0,2}
37. Paralasfuncionesanteriores:a) ¿Quésucedeenlospuntosqueanulanlosrespectivos
denominadores?b) ¿Qué sucede con los respectivos valores de la fun-
cióncuandolaxtomavaloresmuygrandes,pongamosx 100;omuynegativos:x 2100?
c) Daalgunosvaloresyhazunesbozográficodecadaunadalasfunciones.
a) Hay asíntotas verticales. Respectivamente: x 5 25; x 5 3;x 5 0yx 5 2.
b) fseacercaa1:f(100) 5 0,95;f(2100) 5 1,05 gseacercaa0,5:g(100) 5 0,51;g(2100) 5 0,49; hseacercaa0:h(100) 5 0,0006;h(2100) 5 0,00059c) Gráficas.
y
x2 4222426
2
6
46
242628
28 8 10
810
210
f (x) = –––––x
x + 5
Fig. 7.23.
y
x1 221
1
3
23
222324
4 5
45
g(x) = ––––––x 2 12x 2 6
Fig. 7.24.
38.Hallaeldominiodedefinicióndelasfunciones:a) f(x) 5 x 1 3; b) g(x) 5 2x 1 3;c) h(x) 5 x 2 13x .
a) Dom(f) 5 [23,1`)b) Dom(g) 5 [23/2,1`)c) Dom(h) 5 (2`,23] [0,1`)
39.Representagráficamentelasfunciones:a) f(x) 5 x 1 3; b) g(x) 5 3 1 x ;c) h(x) 5 2 2 3x .
Algunosvalores:
x 23 22 0 1 3 4 6
f(x) 0 1 2 3
g(x) 3 4 5 13/3
h(x) 2 2 2 3 21 2 2 2 3 2 2 3 2
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55FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES 07
y
x1 221
1
3
2345
222324
f(x) = x + 3
y
x1 221
1
3
2345
4 5 6
g (x) = 3 + x
y
x1 221
1
3
2
4 5 6
222324
h(x) = 2- 3x
Fig. 7.25.
jCuESTIOnES báSICAS
1.Representagráficamentelarectadeecuacióny 5 22x 1 1.¿Cuántovalesupendiente?
Pendiente 5 22
y
x1 221
12345
22
Fig. 7.26.
2. Lospreciosdeunosgrandesalmacenessehanrebajadoenun20%.¿Cuáleslafunciónlinealquedaelpreciorebajadodeunartículoqueantesdelasrebajasvalíaxeuros?Aplíca-laparadeterminarelpreciodeartículosquevalíanantesdelasrebajas10,20,40y34,80€,respectivamente.
f(x) 5 0,80xf(10) 5 8; f(20,40) 5 0,80 ? 20,40 5 16,32;f(34,80) 5 0,80 ? 34,80 5 27,84.
3. ¿Cuáleslaexpresióndelasrectasqueserepresentanenlasiguientefigura?
y
x1 221
1234
2223
Fig. 7.27.
y 5 2x;obl cuay 5 1;horizontalx 5 22;vertical
4. Representa gráficamente la parábola y 5 x2 2 2. ¿En quépuntoestásuvértice?
y
x1 2212223
1
3
23
22
4
Fig. 7.28.
Vértice:V 5 (0,22)
5. ¿Enquépuntoscortalaparábolaanterioralejedeabscisas?
y 5 x2 2 2 5 0 x 56 2
6. Calculamporinterpolaciónlineal.
x 1 3 5
y 0,8 m 2,9
m 5 0,81 2,9
2 51,85
7. Las funciones de oferta y demanda de un determina-do producto son, respectivamente, qs 5 2200 1 700p yqd 5 2800 2 50p,peneuros.a) ¿Cuántosartículosseofertaránsielprecioestáen6€?b) ¿Cuántosartículossedemandaránaunpreciode5€?
a) qs(6) 5 2200 1 700·6 5 4000b) qd(5) 5 2800 2 50·5 5 2550
8. Para lasfuncionesdeofertaydemandaanteriores,¿cuálseráelpreciodeequilibrio?
2200 1 700p 5 2800 2 50p 750p 5 3000 p 5 4
9. Dosnúmerospositivos,xey,suman50.Hallalaexpresiónquedaelproductodeambosenfuncióndex.
P(x) 5 x(50 2 x) 5 2x2 1 50x
10. Indicaeldominiodelasfuncionesf(x) 5 x 1 1x 2 3
y
g(x) 5 6 x 2 4
¿Cuántovalenf(7)yg(20)?
Dom(f) 5 R 2 {3};f(7) 5 8/4 5 2Dom(g) 5 [4,1);g (20) 5
16 54
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i
56 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS08
jACTIVIDADES
1. Representa, con ayuda de la calculadora, las funcionesf(x) 5 1,8xyh(x) 5 0,3x.
Tabla de valores:
x 0 1 2 3 21 22 23f(x) 5 1,8x 1 1,8 3,24 5,83 0,56 0,31 0,17
h(x) 5 0,4x 1 0,3 0,09 0,027 3,33 11,11 37,04
Gráficas:y
x1 2–1–2–3–4
1
3 4
2345678
h(x) � 0,3x
f(x) � 1,8x
Fig. 8.1.
2. Basándoteenladefinicióndelogaritmo,hallaelvalorde:a) log464 b) log255 c) log1/22d) log0,01 e) log0,0001 f) log1026
Compruebael resultadode los tresúltimoscon lacalcu-ladora.
a) log4 64 5 3, pues 43 5 64;b) log25 5 5 2, pues 52 5 25;c) log1/2 2 5 21, pues (1/2)21 5 2;d) log 0,01 5 log 1022 5 22;e) log 0,0001 5 log 1024 5 24; f) log 1026 5 26.
3. Resuelvelassiguientesecuaciones:a) 125 5 x2; b) x6 5 64; c) 32x 5 531441.
a) 125 5 x2 125/2 5 x.Con la calculadora: 12 xy 2,5 5 498,8306.b) log logx6 645 6 log x 5 1,806179974 log x 5 0,3010299957 x 5 antilog 0,3010299957 x 5 2 En este caso, es conveniente observar que 64 5 26 x6 5 26 x 5 2c) Aplicando logaritmos: log( ) log3 5314412x 5
⇒ 2x log 3 5 log 531441 x 5 5log
log531441
2 36.
Nota: Podríamos observar que 531441 3125 .
4. Resuelvelassiguientesecuaciones:a) log5200 5 x; b) logx1024 5 10; c) ln3x 5 3.
a) 5x 5 200 log log5 200x 5 x log log5 2005
x 5 5loglog
,2005
3 2920.
b) logx1024 105 x10 5 1 024 x 5 51024 210
c) ln3 3x 5 3x 5 e3 x 5 e3/3
5. Resuelvelassiguientesecuacionesdetipoexponencial:a) 4 x 12 x13 22050; b) 2 x 12 x11 12 x13 588;c) x 2e x 22xe x 50.
a) 4 2 20 03x x1 21 5 2 8 2 20 02x x1 ? 2 5
28 64 80
28 122
2x 5 5 52 6 1 2 6
x 5 1
(La solución 210 no vale.)b) 2 2 2 881 3x x x1 11 1 5 2 2 2 8 2 88x x x1 ? 1 ? 5 11 2 88? x 5 2 8x 5 x 5 3;c) x e xex x2 2 02 5 xe xx ( )22 05 x 5 0, x 5 2
6. Calculaelvalordexenlassiguientesecuaciones:
a) 3log x25log25logx2
b) log(x11)2log(x23)55
a) 3 5 22
log log logxx
2 5 log log logxx3 522
2 5
log logx x3
52 25
x x3
52 25 x x3 16 02 5
x x( )2 16 02 5 x 5 0, x 5 24, x 5 4.La única que vale es x 5 4.
b) log( ) log( )x x1 2 21 3 55 logxx
1
2
13
55
xx
1
2
13
1000005 x 530000199999
.
7. Admitamosqueelnúmerodepartículascontaminantespor
metro cúbicodeaire vienedadoporN(t)55000
11249?e20 ,1t,
dondeeltiempotvieneexpresadoensemanas.Enelsupuestodequenoseapliqueningunamedidaco-rrectora:a) ¿Cuántas partículas contaminantes hay pormetro cú-
bico en elmomento inicial? ¿Y a las dos, cinco, diezsemanas?
b) Si el máximo admisible para personas con problemasrespiratoriosesde2000partículaspormetrocúbico,¿alcabodecuántassemanasseplantearíanproblemasdesaludparaesaspersonas?
a) N(0) 5 20; N(2) 5 24; N(5) 5 33; N(10) 5 54.
b) 5000
1 2492000
0 11 ? 2e t,5
51 249
20 11 ? 2e t,
5
5 2 498 0 15 1 2e t, 3 498 0 15 e t2 , 1
1660 15e t2 ,
ln( / ) ,1 166 0 152 t t 5 51,12.A partir de la semana 51ª se plantearán problemas respira-torios.
8. Paraunhuesosecalculóquesehabíadesintegradoel20%delcarbono Sielporcentajedecarbono enrestosóseosvienedadoporlafórmulaP(t) 5 100e20,00012t,halla:a) Laedadaproximadadeesehueso.b) Cuántosañosdebenpasarparaqueenesehuesoquede
sóloel5%delcarbono 14.
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-14. -14
-
57
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 08
a) Como P(t) 5 80 % 80 100 0 000125 e t2 , 0 80 0 00012, ,5e t2 ln( , ) ln ,0 80 0 000125 e t2 ln 0,80 5 20,00012 t t 5 1 859,5 años.b) Si P(t) 5 5 % 5 100 0 000125 e t2 , 0 05 0 00012, ,5e t2 ln( , ) ln ,0 05 0 000125 e t2 ln 0,05 5 20,00012 t t 5 24 964,4 años.
jProblemas propuestos
Tipo I. La función exponencial
1. Representagráficamente,utilizandolacalculadora,estasfunciones:a) y 5 1,1x b) y 5 (0,8)x
y
x1 2 3�1�2�3
123y � 0,8x
y � 1,1x
Fig. 8.2.
2. Con ayuda de la calculadora, representa gráficamente lafunciónexponencialf(x) 5 e2x 2 1.
Tabla de valores:
x f(x) 5 e2x 2 1
22 e25 5 0,0067
21 e23 5 0,0498
0 e21 5 0,3679
1 e 5 2,7183
2 e3 5 20,0855
½ e0 5 1
¾ e1/2 5 1,6487
Gráfica:
f(x) � e2x � 1
y
x1�1�2�3�4
1234
Fig. 8.3.
3. Hallaeldominiodedefinicióndelassiguientesfunciones:
a) f(x) 5 10x 2 2 b) g(x)5101
x22 c) h(x)510 x22
a) Dom f(x) 5 Rb) Dom g(x) 5 R 2 {2}c) Dom h(x) 5 [2, 1)
Tipo II. Logaritmos
4. Calcula,aplicandoladefinicióndelogaritmo,elvalorde:a) log981 b) log2 128
c) log4116
d) log54 128
a) log981 5 x 9x 5 81 x 5 2
b) log2
128 5 x 2x 5 128 2x 5 27/2 x 5 72
c) log4
116
5 x 4x 5 116
4x 5 42 2 x 5 22
d) log5
4 125 5 x 5x 5 1254 5x 5 53/4 x 5 34
5. Sabiendoquelog2 5 0,3010,halla(sincalculadora)elva-lorde:a) log20 b) log200c) log0,0002 d) log3200
a) log 20 5 log (2 ? 10) 5 log 2 1 log 10 5 0,3010 1 1 5 1,3010b) log 200 5 log (2 ? 102) 5 log 2 1 log 102 5 0,3010 1 2 5 5 2,3010c) log 0,0002 5 log (2 ? 102 4) 5 log 2 1 log 102 4 5 5 0,3010 2 4 5 23,699d) log 3 200 5 log (25 ? 102) 5 log 25 1 log 102 5 5 5 ? 0,3010 1 2 5 3,505
6. Sabiendoquelog3 5 0,4771,halla(sincalculadora)elva-lorde:a) log0,3 b) log30000c) log(1/9) d) (log9)2
a) log 0,3 5 log (3 ? 10 2 1) 5 log 3 1 log 10 2 1 5 5 0,4771 2 1 5 20,5229;b) log 30 000 5 log (3 ? 104) 5 log 3 1 log 104 5 5 0,4771 1 4 5 4,4771;c) log (1/9) 5 log 322 5 22 log 3 5 22 ? 0,4771 5 20,9542;d) (log 9)2 5 (log 32)2 5 (2log 3)2 5 (2 ? 0,4771)2 5 5 (0,9542)2 5 0,9105
7. Apartirdelosvaloresdelog 2ydelog3,halla:
a) log6 b) log75c) log(0,36) d) log4500
a) log 6 5 log (2 ? 3) 5 log 2 1 log 3 5 0,3010 1 0,4771 5 5 0,7781;b) log 75 5 log (3 ? 52) 5 log 3 1 2log 5 5 5 0,4771 1 2log(10/2) 5 0,4771 1 2(log 10 2 log 2) 5 5 0,4771 1 2(1 2 0,3010) 5 1,8751;c) log 0,36 5 log (36/100) 5 log 62 2 log 102 5 2log 6 2 2 5 5 2·0,7781 2 2 5 20,4438;d) log 4 500 5 log (32·500) 5 2log 3 1 log (1 000/2) 5 5 2·0,4771 1 (log103 2 log 2) 5 0,9542 1 3 2 0,3010 5 5 3,6532
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58 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS08
Tipo III: La función logarítmica
8. Representagráficamente,utilizandolacalculadora,estasfunciones:a) y 5 log4x b) y 5 log1/2xc) y 5 log1,6x d) y 5 log0,7x
Construimos las tablas de valores usando la fórmula del cambio de base.
a) x 1/16 1/4 1 2 4 6
y 5 log 4 x 22 21 0 0,5 1 1,29
b) x 1/16 1/4 1 2 4 6
y 5 log 1/2 x 4 2 0 21 22 258
y
x1 2�1
1
3 4
23
�2�3
5 6 7
y � log4 x
y 5 log1/2 x
Fig. 8.4.
c) x 0,2 0,5 1 2 3 4
y 5 log 1,6 x 23,42 21,47 0 1,47 2,34 2,95
d) x 0,2 0,5 1 2 3 4
y 5 log 0,7 x 4,51 1,94 0 21,94 23,08 23,88
y
x1 2�1
1
3 4
23
�2�3
5 6 7
y � log1,6 x
y � log0,7 x
Fig. 8.5.
9. Con ayuda de la calculadora, representa gráficamente lafunciónlogarítmicaf(x) 5 log(x2 1 1).
Tabla de valores:
x f(x) 5 log(x2 1 1)
23 log 10 5 1
22 log 5 5 0,6989
21 log 2 5 0,3010
0 log 1 5 0
1 log 2 5 0,3010
2 log 5 5 0,6989
3 log 10 5 1
y
x1 2�1�2
12
3 4 5�3�4�5
y � log(x2 � 1)
Fig. 8.6.
10.Hallaeldominiodedefinicióndelassiguientesfunciones:a) f(x) 5 log(x 1 3) b) g(x) 5 log(x2 1 3)
c) h(x)51
log(x13)
a) Dom f(x) 5 (23, 1) b) Dom g(x) 5 Rc) h(x) está definida siempre que x 1 3 . 0, es decir, para
x . 23. Además se tiene que cumplir que log (x 1 3) Þ 0 x 1 3 Þ 1
x Þ 22. Por tanto, Dom h(x) 5 (23, 1`) 2 {22}
11.Sea la función f(x) 5 log(2x2 1 x 1 2). Indicasudominiodedefiniciónylospuntosdecorteconlosejesdecoorde-nadas.
La función está definida cuando 2x2 1 x 1 2 . 0 21 , x , 2.
Por tanto, Dom f(x) 5 intervalo (21, 2).Corte con el eje OY. Si x 5 0 f(0) 5 log 2 5 0,3010. Punto (0; 0,3010).Corte con el eje OX. Si f (x) 5 0 log(2x2 1 x 1 2) 5 0
2x2 1 x 1 2 5 1 x 51 5
26
. Puntos:
1 52
02
, , 1 5
20
1, .
Tipo IV. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
12.Resuelvelassiguientesecuaciones:a) x 5 15,21,1 b) 0,5 5 52xc) x3,5 5 3,5 d) 52x 5 625e) 3x3 5 375 f) 53x12 5 15625
a) x 5 15,21,1 5 19,954b) 0,5 5 52x log 0,5 5 2x ? log 5 x 5 20,215c) x3,5 5 3,5 log (x3,5) 5 log 3,5 3,5log x 5 log 3,5
log x 5 log ,
,3 5
3 5 5 0,1554
x 5 antilog 0,1554 5 1,4302.También se podría haber hecho como en el apartado an-terior.
d) 52x 5 625 52x 5 54 x 5 2e) 3x3 5 375 x3 5 125 x 5 5f) 53x12 5 15 625 log 53x12 5 log 15 625
(3x 1 2) log 5 5 log 15 625
3x1 2 5 log
log15625
5 x 5 4/3.
También podría observarse que 15625 5 56, luego 5 53 2 6x1 5 3x 1 2 5 6 x 5 4/3.
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59
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 08
13.Resuelvelassiguientesecuacionesexponenciales:a) 2 322 1x 1 5 b) 31 2 2x 5 2187
c) 41 2 3x 5 2x 2 2 d)14
23 1⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟x
x5 1
a) 2 322 1x 1 5 5 25 x2 1 1 5 5 x 5 6 6b) 31 2 2x 5 2 187 5 37 1 2 2x 5 7 x 5 23 c) 41 2 3x 5 2x 2 2 ( )2 22 1 3 22 2x x5 22 2 6x 5 2x 2 2 2 2 6x 5 x 2 2 x 5 4/7
d) 14
23 1
x
x5 1 222x 5 23x 1 1 22x 5 3x 1 1
x 5 215
14.Resuelvelassiguientesecuaciones:a) 3x 2 3x 2 1 1 3x 2 2 5 21b) 25x 2 100 ? 5x 5 3125
c) 3x 2 32x5 809
d) 9x 2 8 ? 3x 1 1 2 81 5 0e) 4x 2 50 ? 2x 5 9984
f)14
12
764
0x x
2 1 5
a) 3x 2 3x 2 1 1 3x 2 2 5 21 333
33
212
xx x
2 1 5
9 ? 3x 2 3 ? 3x 1 3x 5 189 7·3x 5 189 3x 5 27 x 5 3.b) 25x 2 100 ? 5x 5 3 125 52x 2 100 ? 5x 2 3 125 5 0.
Haciendo t 5 5xse tiene que t2 2 100t 2 3 125 5 0, cuyas so-luciones son: t 5 125 y t 5 225.t 5 125 5x 5 125 5 53 x 5 3t 5 225 5x 5 225, que no puede ser.
c) 3x 2 32x 5 809
313
809
xx
2 5 3 180 3
92x
x
2?
5
9 3 80 3 9 02? 2 ? 2x x 5 . Haciendo t 5 3x se tiene que 9t2 2 80t 2 9 5 0, cuyas solu-
ciones son: t 5 21/9 y t 5 9
t 5 19
2 319
x 52 (No vale)
t 5 9 3x 5 9 x 5 2 d) 9x 2 8 ? 3x 1 1 2 81 5 0 (3x)2 2 24 ? 3x 2 81 5 0 (3x 5 t), t2 2 24t 2 81 5 0 t 5 27 y t 5 23 t 5 27 3x 5 27 x 5 3 t 5 23 3x 5 23, que no puede ser. e) 4x 2 50 ? 2x 5 9 984 22x 2 50 ? 2x 2 9 984 5 0
Haciendo 2x 5 t, se tiene: t2 2 50t 2 9 984 5 0, cuyas solu-ciones son t 5 128 y t 5 278.t 5 128 2x 5 128 2x 5 27 x 5 7 t 5 278 2x 5 278, que no puede ser.
f) 2 114
12
764
0x x
5 12
12
764
02x x
2 1 5
Haciendo 12
x
5t, se tiene que: t2 2 t 17/64 5 0
64t2 2 64t 1 7 5 0, cuyas soluciones son t 5 7/8 y t 5 1/8.
t 5 78
12
78
x
5 x 5 log(7/8)log(1/2)
x 5 0,192645
t 5 18
12
18
12
3x
5 5 x 5 3.
15.Resuelve:a) e2x 2 2 5 1; b) e210x 5 4;c) xex 2 3 5 0; d) xex 2 x 5 0;e) (x2 2 2x 1 1)ex 5 0; f) 1 1 2ex 5 2.
a) e2x 2 2 5 1 2x 2 2 5 0 x 5 1b) e210x 5 4 ln(e210x) 5 ln 4 210xln e 5 ln 4
x 51 38629
10,2
5 20,138629
c) xex 2 3 5 0 x 5 0. (El factor ex 2 3 nunca vale 0.)d) xex 2 x 5 0 x(ex 2 1) 5 0 x 5 0:e) (x2 2 2x 1 1)ex 5 0 x2 2 2x 1 1 5 0 x 5 1f) 1 1 2ex 5 2 ex 5 1/2 ln ex 5 ln 0,5 xlne 5 ln0,5 x 5 20,6931.
16.Hallaelvalordexenlassiguientesecuaciones:a) log6x 5 3; b) log ,
52 5x5 ;
c) log ,73 0 2x52 ; d) lnx 5 3,2;
e) log2
132⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟5x;
f) log785 x.
a) x 5 63 5 216b) x 5 52,5 5 55,9; c) 3x 5 720,2 x 5 0,226d) x 5 e3,2 5 24,53;e) 2x 5 1/32 5 225 x 5 25;
f) 7x 5 8 xlog 7 5 log 8 x 5loglog
87
5 1,0686.
17. Resuelvea) log6140 5 x b) logx100 5 22c) log28x 5 7 d) 4 log
2(2x11)516
a) log61405 x 140 5 6x log 140 5 xlog 6
x 5loglog
1406
5 2,7580
b) logx100 252 100 5 x22 100
12
5x
x2 1100
5 x 5110
c) log28 7x 5 8x 5 27 x 5 16
d) 4 2 1 162
log ( )x 1 5 log ( )2
2 1 4x 1 5 2x 1 1 5 24 x 5 15/2.
18.Utilizandolafórmuladelcambiodebase,halla:a) log 2 100; b) log5500;c) log8320000; d) log30,3.
a) log 2 100 5 loglog
1002
≅ 6,6439;
b) log 5 500 5 loglog
5005
≅ 3,8614;
c) log 8 320 000 5 log
log320 000
8 6,0959;
d) log 3 0,3 5 log ,log
0 33
≅ 21,0959.
19. Resuelvelasecuaciones:a) 3 1 log(x 1 1000) 5 7;b) log(x 1 6) 2 2 ? log(x23) 5 1;c) log(2x 1 2) 2 log(x 2 3) 5 1;d) log(32x 2 2 1 7) 5 2log(3x 2 1 1 1).
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60 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS08
a) 3 1 log (x 1 1 000) 5 7 log(x 1 1 000) 5 4 x 1 1 000 5 10 000 x 5 9 000b) log (x 1 6) 2 2 ? log (x 2 3) 5 1 log (x 1 6) 2 log (x 2 3)2 5 log 10
log( )
logxx
1
2
63
102
5
xx
1
2
63
102( )
5 10x2 2 61x 1 84 5 0.
Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtiene x 5 4 y x 5 2,1. Sólo vale x 5 4, pues si sustituimos x 5 2,1 en la ecua-ción, observamos que en el segundo logaritmo del enunciado quedaría log (2,1 2 3) 5 log (20,9), que no tiene sentido.
c) log (2x 1 2) 2 log (x 2 3) 5 1 log2 2
31
xx
1
25
2 2
310
xx
1
25 2x 1 2 5 10x 2 30 8x 5 32 x 5 4.
d) log (32x 2 2 1 7) 5 2log (3x 2 1 1 1) log (32x 2 2 1 7) 5 5 log (3x 2 1 1 1)2 32x 2 2 1 7 5 (3x 2 1 1 1)2 32x 2 2 1 7 5 32x 2 2 1 2 ? 3x 2 1 1 1 6 5 2 ? 3x 2 1 x 2 1 5 1 x 5 2.
20.Resuelveelsistema:log log loglog log log
x yx y
3 2 245
2
2
5
5
log log log
log log log
x y
x y
3 2 24
5
2
2
5
5
⎧⎨⎩⎪
3 2 24
5
log log log
log log log
x y
x y
2
2
5
5
⎧⎨⎩⎪
Operando (E1 2 3E2): log y 5 log 24 2 3 log 5
log logy52453
y524125
.
Sustituyendo en E2: log x 5 log 5 1 log y
log logx 5 524125
? x 52425
.
21.Resuelve:
a) log x1log y 3 55
log x 2 2log y53 b) log125 x 2log25 y 52log5
log 4 x 2log64 y log 85
a) log log
log log
x y
x y
1
2
3
2
5
3
5
5
⎧⎨⎩⎪
log log
log log
x y
x y
1
2
3 5
2 3
5
5
⎧⎨⎩⎪
Operando (2E1 2 E2): 7log y 5 7 y 5 10; x 5 100;
b) log log log
log log log
125 25 2 5
4 64 8
x y
x y
2
2
5
5
⎧⎨⎩⎪
log log
log log
12525
5
464
8
2x
y
x
y
5
5
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
log log
log log
55
5
22
2
3
22
2
63
x
y
x
y
5
5
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
log log
log log
5 5
2 2
3 2 2
2 6 3
x y
x y
2
2
5
5
⎧⎨⎩⎪
3 2 2
2 6 3
x y
x y
2
2
5
5
⎧⎨⎩⎪
x 5 3/7; y 5 25/14
Tipo V. Aplicaciones de exponenciales y logaritmos
22.Calculaelcapitalacumuladopor1000€durante6añosaunatasaanualdel5,8%ainteréscompuesto:
a) Anual b) Semestralc) Trimestral d) Continuo
a) C 5 1 000(1 1 0,058)6 5 1 402,54 euros.
b) C 5 1000 10 058
2
2
1
?,
6
51 409,24 euros
c) C 5 1000 10 058
4
4
1
?,
6
5 1 412,70 euros
d) C 5 1 000 ? e0,058 ? 6 5 1 416,23 euros
23.Entrelassiguientesopciones,¿cuálesmásventajosa?a) 8%deinterésanualb) 7,8%deinteréscompuestotrimestralc) 7,7%deinteréscompuestomensuald) 7,65%deinteréscompuestodiario
Para 1 €, se tendría:a) C 5 (1 1 0,08) 5 1,08 €;
b) C 5 10 078
4
4
1,
51,0803 €;
c) C 5 10 077
12
12
1,
5 1,0798 €;
d) C 5 10 0765
365
365
1,
5 1,0795 €
La opción más ventajosa es la b)
24.Paraloscasosdelproblemaanterior,¿cuáleslatasaanualequivalente,TAE,encadacaso?
a) 8 %; b) 8,03 %; c) 7,98 %; d) 7,95 %.
25.Hallaeltiempoquetardaentriplicarseuncapitalenlassiguientescondiciones:a) Al12%deinteréscompuestoanual.b) Al11%deinteréscontinuo.
C0 5 capital inicial, t 5 tiempo en años.a) 3C0 5 C0(1 1 0,12)t 3 5 (1,12)t
t 5 log
log ,3
1 12 5 9,694 años.
b) 3C0 5 C0 ? e0,11t 3 5 e0,11t t 5
ln,3
0 11 5 9,987 años.
26.Supongamosqueunautomóvildepreciasuvalorenun15%anual.a) Sinuevocostó24000€,¿cuántovaldráalos6años?b) ¿Cuántosañosdebenpasarparaquesuvalorseainfe-
riora6000€?
a) P 5 24 000(1 2 0,15)6 5 9 051,59 €.b) t 5 número de años, P 5 6 000 €6 000 5 24 000(1 2 0,15)t 0,25 5 0,85t
t 5 log ,log ,
0 250 85
5 8,53 años.
27. Admitamosqueelsueldode losfuncionariosexperimen-tauna subida anual del3,5%,desdeel año2000. Si unfuncionarioganaba1600eurosmensualesacomienzosdelaño2000,¿cuántotardaráenganareldoble?
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61
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 08
f(x) 5 sueldo de los funcionarios, x 5 tiempo en añosf(x) 5 1 600(1 1 0,035)x, x 5 0 en 2000.3 200 5 1 600(1 1 0,035)x 2 5 1,035x ln 2 5 ln (1,035)x x 5 20,15 años.
28.Hacecuatroañosqueserepoblóunazonacon100ejempla-resdeunanuevaespeciedepinos.Actualmentehay25000ejemplares.SeestimaqueelnúmeroNdepinosvienedadoenfuncióndeltiempo,t,porlafunciónN 5 AeBt,dondeAyBsondosconstantes.Eltiempotseconsideraexpresadoenañosdesdeelmomentodelarepoblación.¿Cuántotiemposehadeesperarparaquehaya200000ejemplares?
Los puntos (0, 100) y (4, 25 000) verifican la función N 5 AeBt • N(0) 5 Ae0 5 100 A 5 100
• N(4) 5 100e4B 5 25 000 B5ln250
4 5 1,3804
Por tanto, la función es N(t) 5 100e1,3804t
Para que N(t) 5 100e1,3804t 5 200 000
t 5ln
,2000
1 3804 5 5,5 años.
29.Endeterminadascondiciones,unapoblacióndemosquitoscrece ajustándose a la función f(x) 5 2 1 0,5e0,4x, dondef(x)eselnúmerodemosquitosenmilesyxeltiempoendíasdesdeelmomentopresente.Sepide:a) ¿Cuántotiempo,endías,tardaráenduplicarselapobla-
cióninicial?b) Dibuja la gráfica que da la evolución del número de
mosquitos,ycompruebasobreellaelresultadoobteni-doanteriormente.
a) La población inicial es f(0) 5 2,5, luego:
5 5 2 1 0,5e0,4x 6 5 e0,4x x 5 ln,6
0 4 5 4,48 días.
b) y
x1 2
2
3 4
46
5 6 7
810
4,48
Tiempo (en días)
Pobl
ació
n de
mos
quit
os (
mile
s)
Fig. 8.7.
30.Unapoblacióndeconejosaumentaanualmenteenun50%.Sienelmomentoinicialhay100conejos:a) ¿Cuántoshabrádentrode8años?b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número
seade30000?
a) f(x) 5 número de conejos, x 5 tiempo en años f(x) 5 100(1 1 0,5)x
f(8) 5 100 ? 1,58 5 2 562,89 conejosb) 30 000 5 100 ? 1,5x 300 5 1,5x ln300 5 ln (1,5)x x 5 14,07 años.
31.Debidoalapresiónambiental,lapoblacióndeconejoscon-sideradaenelproblemaanteriorseajustamásbiena la
funciónP t
e( )
,5
100001 199 0 51 ? 2
,t 5 0enelmomentoinicial.
a) ¿Cuántoshabíaenelmomentoinicial?;¿yalcabode8años?
b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su númeroseade30000?
a) La población inicial de conejos fue
P(0) 5 10000
1 199100002000 5 01 ? 2e , ·
5 5 50.
Al cabo de 8 años, había P(8) 5 10000
1 199 0 51 2 ?e , 8 5
5 100004 6448,
≅ 2 153 conejos.
b) Por las características de este tipo de funciones sabemos que la recta y 5 10 000 es una asíntota horizontal. Es decir, la población de conejos nunca puede sobrepasar los 10 000 individuos.
32.Elnúmerodepersonasafectadasporunaenfermedadcon-tagiosavienedadoporlafórmula
C(t)5 1000
1 999 2 11 2 ?e , t
dondetindicaeltiempoendías.a) Cuántaspersonasestaráncontagiadaspasados1, 2 y7
días?b) Representagráficamentelaevolucióndelaenfermedad.
a) Si t 5 1, C(1) 5 1000
1 999 2 11 2e , 5
1000123 3,
≅ 8 personas.
Si t 5 2, C(2) 5 1000
1 999 2 11 2 ?e , 2 5
100015 98,
≅ 63 personas.
Si t 5 7, C(7) 5 1000
1 999 2 11 2 ?e , 7 5
10001 0004,
≅ 1 000 personas.
b) Otros valores de C(t) son: C(0) 5 1, C(3) 5 353, C(4) 5 817, C(5) 5 973.
Representando todos los puntos se obtiene la gráfica:
y
x1 2
200
3 4
400600
5 6 7
8001000
8Tiempo
Pers
onas
Fig. 8.8.
33.En1987,lapoblaciónmundialeradeunos5000millonesdehabitantes.Sisucrecimientoeradeunos80millonesporaño,ysuponiendoquelatasadecrecimientopermanecieseconstante,¿cuántotiempotardaríaenduplicarse?
La tasa de crecimiento es 80
5000 5 0,016.
f(x) 5 población mundial, x 5 tiempo de años f(x) 5 5 000(1 1 0,016)x
10 000 5 5 000(1 1 0,016)x 2 5 1,016x x 5 43,7 años.
34.Unisótoporadiactivodecaeun9,5%anualmente.¿Cuálessuvidamedia?
f(x) 5 cantidad de isótopo radiactivo, x 5 tiempo en años
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62 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS08
f(x) 5 (1 2 0,095)x 5 (0,905)x
0,5 5 0,905x log 0,5 5 xlog 0,905 x 5 6,94 años.
35.Sabiendoqueelperíododesemidescomposición(vidame-dia)delradio226esde1620años,calculalacantidadderadioquequedarádeunamuestrade12gramosalcabode2000años.
La expresión de la función que determina la cantidad existente al cabo de t años es de la forma C(t) 5 C0 e
2kt, siendo C0 la can-tidad inicial.Como su vida media es 1 620 años, transcurrido ese tiempo, de los 12 g quedarán 6; esto es C(1 620) 5 6.Por tanto, 6 5 12 e
2k ? 1 620 0,5 5 e 21 620k ln 0,5 5 21 620k k 5 0,000428.
Por tanto, C(2 000) 5 12 e20,000428 ? 2 000 5 5,1 gramos.
36.Comosabemos,laexpresiónC(t) 5 C0e2ktdalacantidadde
materiaradiactivadeundeterminadoelementoalcabodetaños.a) CompruebaquesiVeslavidamediadeeseelemento,
entonces:
C t Ct V
( )/
50
12⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
b) Hallaesaexpresiónparaelcasodelradio.c) ¿Quécantidadderadioquedadeunamuestrade10gal
cabode1500años?
a) Como su vida media es V años,
C(V) 5 C
0
2 5 C0 e
2kV 12
5 e2kV ln 0,5 5 ln e2kV
ln 0,5 5 2kV k 5 2ln ,0 5
V.
Por tanto, C(t) 5 C e Vt
0
0 5
?2 2
ln ,⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5 C etV
0
0 5?
?ln , 5 C
t V
0
12⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
/
b) La vida media del radio es de 1 620 años, por tanto:
C(t) 5 Ct
0
162012⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
/
c) C(1 500) 5 10(0,5)1 500/1 620 5 5,263 g
Observa: La diferencia con la cantidad obtenida en el Ejemplo resuelto 8 es debida a los redondeos.
37. Al famoso terremoto de San Francisco de 1906 se le hacalculadounaintensidadde8,25enlaescaladeRichter.El26dediciembrede2004,elmaremotoqueprodujoeldevastador tsunamidelSudesteAsiático tuvouna inten-sidadde9,0,enlamismaescaladeRichter.El13dejuniode2005seprodujounterremotoenelnortedeChileconintensidad7,9yel8deoctubrede2005seprodujootroenPakistánconintensidad7,6,ambosenlamismaescala.¿Cuántasvecesmásintensofueelmaremotodelsudesteasiáticoquelosotrosterremotoscitados?
Potencia de cada terremoto:San Francisco: 108,25 5 177 827 941Sudeste asiático: 109 5 1 000 000 000Norte de Chile: 107,9 5 79 432 823,47Pakistán: 107,6 5 39 810 717,06El maremoto del sudeste asiático fue 109 : 108,25 5 5,6 veces más potente que el de San Francisco; 109 : 107,9 5 12,6 veces más
potente que el del norte de Chile y 109 : 107,6 5 25,1 más que el de Pakistán.
38.ElterremotomáspotenteregistradoenlaPenínsulaIbéri-caseprodujoenLisboaen1755yalcanzóunamagnitudde8,75enlaescaladeRichter.Endiciembrede1993,hubounterremotoenAlmeríaconunapotencia5623,4menorqueladeldeLisboa.¿DequémagnitudenlaescaladeRichterfueelterremotodeAlmería?
Potencia del terremoto de Lisboa: 108,75 5 562 341 325,2Potencia del terremoto de Almería: PSabemos que 562 341 325,2 5 5 623,4 ? P P 5 100 000,2357Magnitud del terremoto de Almería: M 5 log 100 000,2357 5 5.
jCuESTIonES báSICAS
1. Sabiendoquelogax b5 a xb5 ,halla:
a) log381; b) log
aa3; c) lne6.
a) log381 5 4; b) log
aa3 5 3; c) lne6 5 6
2. Hallaconlacalculadora:a) log327 b) ant log ,4 28
a) log327 5 2,5145 b) ant log ,4 28 5 1 9054,6
3. Resuelvelasecuaciones:a) 3 81x 5 b) 3 272 1x 2 5
a) 3 81x 5 x 5 4 b) 3 272 1x 2 5 x 5 62
4. Resuelvelaecuación3 10x 5 .
3 10x 5 x 5 2,0959
5. Resuelve:a) log
x36 25 b) log
x5
25
a) logx36 25 x 5 6 b) log
x5
25 x 5 500
6. ¿Cuáldelassiguientesafirmacionesesfalsa?:a) f x x( )52 escrecientesiempre.b) g x x( ) ,50 5 esdecrecientesiempre.c) h x x( )53 puedetomarvaloresnegativos.
a) f x x( )52 es creciente siempre.b) g x x( ) ,50 5 es decreciente siempre.c) h x x( )53 puede tomar valores negativos. (Falsa)
7. Dadaf x x( ) ,52 5 ,calculasuvalorparax 5 21,0,1y2.Conesosvalorestrazasugráfica.
Valores: Respectivamente: 0,4; 1; 2,5; 6,25
8. Indicalasigualdadesquesonverdaderas:
a) log(A 2 B) 5 logA 2 logB b)loglog
logAB
AB
5
c) g lA B2 5lo og logAB
d) nlogA 5 logAn
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63
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 08
e) (logA)n 5 nlogAn f) 3 1 logA 5 log(3000A)
a) log(A 2 B) 5 log A 2 log B (Falso)
b) loglog
logAB
AB
5 (Falso)
c) log log logA BAB
2 5 (Verdad)
d) n ? log A 5 log An (Verdad)e) (log A)n 5 n ? log An(Falso)f) 3 1 log A 5 log(3000A) (Falso)
9. Una colonia de 2500 murciélagos aumenta su númeroanualmenteun12%.¿Cuántosmurciélagoshabráalcabode6años?
2 500 ? 1,126 5 4 934
10.Lavidamediadeunisótoporadiactivoes4días.¿Quépor-centajedeeseisótopoquedaráenunamuestraalcabode16días?(UtilizaelresultadodelProblemaPropuesto36.)
100 ? (1/2)16/4 5 6,25 %
Sol_1CCSS_08.indd 63 12/5/08 16:06:36
64 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y APLICACIONES ECONÓMICAS09
jACTIVIDADES
1. Determinalaexpresióndeltérminogeneraldelassiguien-tessucesiones:
a) 1,4,9,16,25,…b) 5,10,15,20,25,…
c)11
,34
,59
,716
,...
Hallaelvalordelostérminosa12,b100yc30.
a) Eslasucesióndecuadrados:a nn5 2 a
12212 1445 5 .
b) Eslasucesióndelosmúltiplosde5:b nn55 b
1005005 .
c) En el numerador tenemos los números impares, en el de-nominadorloscuadrados:
cnnn
52 1
2
2 c
30
59900
5 .
2. Demuestraquelasucesiónannn
51
1
31esdecreciente.Com-
pruebaqueestáacotadainferiormentepork 5 1.
Hayqueverquean$ an11.
Estoes:an )n )
nn
nn
ann1
1 1
1 1
1
1,
1
11
1 31 1
42
31
5 5 5((
.
Enefecto,multiplicandoencruz:(n 1 4) ? (n 1 1) , (n 1 2) ? (n 1 3) n2 1 5n 1 4 , n2 1 5n 1 6,queescierto,pues4 , 6.
Veamosquean
$1.Enefecto,nn
1
1$
31
1pueselnumeradores
siempremayorqueeldenominador.
3. Dadalasucesiónannn
52
1
34 1
:
a) Demuestra que es creciente y acotada superiormentepork 5 1/4.
b) ¿Apartirdequétérminosecumplequean
0 249, ?c) Dicuálessulímite.
a) a ann
nnn n1
22
12
2
11
24 5
34 1
5 5
n n n2 1 2 22 4 1 3 4
5( )( ) ( )( nn
n n n n1
1 1 1 1
54 5 4 1
134 5 4 1
)( )( ) ( )( )
5 ,
expresiónquesiempretomavalorespositivos.Portantolasucesiónescreciente.
Acotada:annn
52
1#
34 1
14paratodon,pues4n 2 12 # 4n1
11,comoresultaevidente.
b) an
.0 249, nn2
1.
34 1
0 249, n 2 3 . 0,996n 1 0,249
0,004n . 3,249 n . 812,25. Apartirdel términoa
813 todos lossiguientessonmayores
que0,249.c) Sulímitees0,25.
4. Indicaellímitedelassiguientessucesiones:
a) annn
52 1
71
1; b) a
nnn
53 15 10
2 1
1; c) a
nn nn
51
2 1
432.
a) límnn2 1
72
1
15 . Numerador y denominador tienen el mismo
grado.
b) límnn
3 15 10
2 1
15`.Elgradodelnumeradoresmayorqueeldel
denominador.
c) límn
n n1
2 1
43
02
5 .Elgradodelnumeradoresmenorqueel
deldenominador.
5. Halla el término general de las siguientes progresionesaritméticas:a) 28,25,22,1,...b) 3,9,15,21,…c) 1/2,1,3/2,2,…Paracadacasohallaeltérminovigésimoséptimo.
a) d 5 3 a n nn5 52 1 2 28 3 1 3 11( ) a
27705
b) d 5 6 b n nn5 53 6 1 6 31 2 2( ) b
271595
c) d 5 3 c n nn5 5
12
12
1 0 51 2( ) , c27
13 55 ,
6.Comprueba si las siguientes sucesiones sonprogresionesgeométricas,hallaeltérminogeneralyelvalordeltérminonoveno.a) 2,1,1/2,1/4,…b) 1,02,1,022,1,023,...c) 3,3,3,3,33,3,333,…
a) Efectivamente:1 1/2 1/4
1/22 112
5 5 5 . La razón es r 5 1 1/2 1/4
1/22 112
5 5 5.
El término general será an
n
n n5 5 52
12
22
12
1
1 2?
2
2 2
a9 7
1
25
b) r 5 1,02 an
n51 02, a9
91 025 ,
c) No es una progresión geométrica. No obstante,a9 5 3,33333333.
7. Hallalassiguientessumas:a) 3 1 3,5 1 4 1 4,5 1 …(175términos)b) 70 1 67 1 64 1 …(100términos)
a) Esunaprogresiónaritméticadediferencia0,5. Comoa1 5 3ya175 5 3 1 174 ? 0,5 5 90,setendrá:
5 5( )
,3 90 175
28137 5
1 ?.
b) Esunaprogresiónaritméticadediferencia23. Comoa1 5 70ya100 5 70 1 99 ? (23) 5 2227,setendrá:
5 5( )70 227 100
27 850
2 ?2 .
8. Hallalassiguientessumas:a) 1 1 2 1 4 1 8 1 …(20términos)b) 10 2 5 1 2,5 2 1,25 1 …(infinitostérminos)
a) r 5 2 S5 51 2 1
2 11048576
20? 2
2
( )
b) r 5 21/2 S5 5 510 10 20
12(21/2) 3/2 3
9. Cuandocumplas18años,siguiendoelejemplodetutío,vasadepositarenunacartilladeahorros20€todoslosmeses.Sieltipodeinterésesdel6%,¿cuántodineroten-drás40añosdespués?
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65SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y APLICACIONES ECONÓMICAS 09
ElcapitalacumuladoesCM r r
r
t
5( ) ( )1 1 1121 1 2
,conM 5 20;
r 5 0,06/12 5 0,005;t 5 40.
Luego,C 520 1 0 005 1 0 005 1
0 005
480( , ) ( , )
,
1 1 2540028,96
10.Otrobancoofrecelos150000eurosauninterésanualdel4,68%,conlaposibilidaddepagarlosen20años.¿Acuán-toascenderánlascuotasmensualesenesascondiciones?
Un interés anual del 4,68% equivale a una tasa mensual der 5 0,0468/1250,0039.Elnúmerodemesesesn 5 20 ? 12 5 240.Portanto:
a5150000 1 0 0039 0 0039
1 0 0039 1
240
240
( , ) ,( , )
1 ?
1 255963 61, €
jProblemas propuestos
Tipo I. Sucesiones
1. Hallaeltérminosiguientedecadaunadelassucesiones:a) 0,9,18,27,36,…b) 0,9,17,24,30,…c) 1,9,18,28,37,…d) 1,9,10,19,20,…
a) 45b) 30 1 5 5 35(cadavezsesumaunomenos.)c) 39 1 12 5 51(cadavezsesumaunomás)d) Lasecuenciaes1,118,11811,1181119, 118111911,...
2. Paralassucesionesa)yb)delproblemaanterior:1.Daeltérminogeneraldelaa);2.¿Escrecientelab)?
1. an5 9n21
2. Comocadavezsesumaunomenos,llegaráunmomentoenqueserestará.Puedeverseque:a
7395 ysigue:42,44,45,
45,44,42,…
3. Dadaslassucesiones:a) 1,1/2,1/3,1/4,…b) 1,10,100,1000,…Paracadaunadeellas:1) hallasutérminogeneral;2) suscotassuperioreinferior,silastienen.
a) ann
51.
Suscotasson:inferior,0;superior,1.
Esevidente,pues01
1, #n
,yaquen$ 1.
b) an
n510 12 . Está acotada inferiormente por 1. No tiene cota superior,
pues10k k. paracualquiervalordekgrande.
4. ¿Acuáldelassiguientessucesionespertenecenlosnúme-ros:546,27,1201?a) {an} 5 {1,7,13,19,…} b) b n
n54 32
c) c n nn52 3 72 2 1
Unnúmeroperteneceaunasucesióncuandoseobtienedesuexpresióngeneralparaalgúnvalorden.Estoes,unnúmerokpertenecealasucesióna
ncuandolaecuacióna k
n5 tienepor
soluciónunnúmeronatural.a) Lasucesióna n
n56 52 .
Como6 5 546n2 5 n 5 91,83noesnatural,546noesdelasucesióna
n.
Como6 5 27n2 5 n 5 5,33noesnatural,27noesdelasucesióna
n.
Como6 5 1201n2 5 n 5 201,elnúmero1201eseltér-minoa
201delasucesióna
n.
b) 4 3 546n2 5 n 5 137,25;portanto546noesdelasuce-siónb
n.
4 3 27n2 5 n 5 7,5;portanto27noesdelasucesiónbn.
4 3 1201n2 5 n 5 301;portanto1201eseltérminob301
delasucesiónb
n.
c) Laecuación2 3 7 5462n n2 1 5 2 3 539 02n n2 2 5 ,quenotienesoluciónnatural;portanto,546noesdelasuce-siónc
n.
La ecuación 2 3 7 272n n2 1 5 2 3 20 02n n2 2 5 , quetieneporsoluciónn 5 4;portanto,27eseltérminoc
4dela
sucesióncn.
La ecuación 2 3 7 12012n n2 1 5 2 3 1194 02n n2 2 5 ,quenotienesoluciónnatural;portanto,1201noesdelasucesiónc
n.
5. Cómoeslasucesiónannn
51
1
31:crecienteodecreciente?
Conlainformaciónobtenidahallasuscotasinferiorysu-perior.
Comparamosanya
n11.
a ann
nn
nn
nnn n1
21 1
1 12
1
1
1
12
1
11
1 31 1
31
42
31
5 5( )( )
55
55( )( ) ( )( )
( )( )n n n n
n n1 1 2 1 1
1 1
4 1 3 22 1
5 2
1 1
22 1( )( )n n
,
quetomavaloresnegativosparatodon.Portanto,lasucesiónesdecreciente.Si es decreciente, el mayor término es a
1
1 31 1
25 51
1. Luego
k 5 2esunacotasuperior.
Comoelnumeradordelafracciónnn
1
1
31essiempremayorque
eldenominador,n 1 3 . n11,unacotainferiorserá1;estoesnn
1
1$
31
1.
6. Ladivisiónenteradecualquiernúmeronaturalentre4daderesto0,1, 2 o3.Escribelascuatrosucesionesqueseobtienen atendiendo a cada uno de esos restos.Halla eltérminogeneraldecadaunadeellas.Indicaacuáldeellaspertenecenlosnúmeros12401,2453y571.
Sucesióndenúmerosconresto0:0,4,8,12,… 4n 2 4Sucesióndenúmerosconresto1:1,5,9,13,… 4n 2 3
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66 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y APLICACIONES ECONÓMICAS09
Sucesióndenúmerosconresto0:2,6,10,4,… 4n 2 2Sucesióndenúmerosconresto0:3,7,11,15,… 4n 2 1Enlassucesionesanteriores,n$ 1.Nota: Si suponemos que n$ 0, los términos generales serán,respectivamente:4n;4n 1 1;4n 1 2;4n 1 3.Conesto:12401 5 4 ? 3100 1 1;2453 5 4 ? 613 1 1;571 5 4 ? 142 1 3
7. Hallaeltérminogeneraldelassiguientessucesiones:a) 1,4,9,16,…b) 1/2,4/3,9/4,16/5,…c) 2/4,5/6,10/8,17/10,…d) 1,24,9,216,…
a) a nn5 2
b) an
nn5
2
11
c) annn
52 1
2 11
1( )d) a n
nn5( )2 21 1 2
Tipo II. Límites de sucesiones
8. Dadalasucesión{2,3/4,4/9,5/16,6/25,…},halla:a) Sutérminogeneralylostérminosdécimoyvigésimo.b) Apartirdequétérminoa
n0 001, .
c) ¿Cuálessulímite?
a) Si escribimos 2 5 2/1, se observa los numeradores de lassucesivasfraccionessonnúmerosconsecutivos,empezandopor2;ylosdenominadoreslaspotenciasde1,2,3,…Lue-
go,annn
511
2.
Portanto:a10
11100
5 ya20
21400
5 .
b) an
,0 001, nn1
,1
0 0012
, n 1 1 , 0,001n2
n n2 1000 1000 02 2 . n$ 1001.
c) límnn11
02
5 .
9. Lomismoqueenelproblemaanteriorparaann
512.
an
, 12n
, 12n
, n.1
Para 5 0,001,n0
1000 31 65 5 , .Estosignificaquetodoslostérminossiguientesaa
31estána
menosde0,001de0.
10.Considera las sucesiones: {an} 5 {1, 7, 13, 19,…} y{bn} 5 {5,8,11,14,…}a) Hallaeltérminogeneraldecadaunadeellas.¿Cuánto
valena300yb35?
b) Halla laexpresiónde lasucesiónca
bnn
n
5 .¿Apartirde
quétérminode cn{ } lossiguientesvalenmásde1,9?
Calculasulímite.
a) Para{an} 5 {1,7,13,19,…},cadaunodelostérminosda-dosseobtienesumando6alanterior.Portanto,a n
n56 52 .
Para{bn} 5 {5,8,11,14,…},cadaunodeesosnúmerosseobtienesumando3alanterior.Portantob n
n53 21 .
b) ca
bnnn
n
n
5 56 53 2
2
1.
cn
.1 9, 6 53 2
1 9nn
2
1. , 6n 2 5 . 5,7n 1 3,8
0,3n . 8,8 n . 29,33… Luegoc
n.1 9, apartirden 5 30.
Vamosacalcularellímitetransformandolasucesióndada:
límnn
lím
nn nnn n
6 53 2
6 5
3 22
1
2
1
5 55 5 5lím n
n
65
32
63
22
1
11.Indicaelvalordelossiguienteslímites:
a) lím n2 52( ); b) límn
n6
12 1;
c) límn n
n n6 3
2 7 1
2
2
1
2 1; d) lím n nn( )2 21 52⎡⎣ ⎤⎦;
e) límn
n2
2
53 2
; f) límnn
2 1
1
2 12 7
.
a) lím n2 52( )51(Sucesióndetipopolinómico)
b) límn
n6
12 150(Elgradodelnumeradoresmenorqueeldel
denominador)
c) límn n
n n6 3
2 7 1
2
2
1
2 15
62
5 3(Numeradorydenominadortienen
elmismogrado)
d) lím n nn( )2 21 52⎡⎣ ⎤⎦noexiste,tiendealternativamentea1ya 2
e) límn
n2
2
53 2
5212(Numeradorydenominadortienenelmis-
mogrado)
f) límnn
2 1
1
2 12 7
52(Elgradodelnumeradoresmayorqueel
deldenominador)
Tipo III: Progresiones aritméticas
12.Halla el término cuadragésimo octavo de la progresiónaritméticadediferencia3yprimertérmino11.
El término general es a n nn5 511 3 1 3 81 2 1( ) . Por tanto
a48
3 48 8 1525 5? 1 .
13.Hallaeltérminoeltérminogeneraldelaprogresiónarit-méticadediferencia5ya8 5 19.¿Cuántovaleeltérminocuadragésimooctavo?
Comoa a d8 1
75 1 19 7 51
5a 1 ? a1
1652 ,sutérminogeneralserá:a n n
n5 52 1 2 216 5 1 5 21( ) .
Portanto:a48
5 48 21 2195 5? 2 .
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67SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y APLICACIONES ECONÓMICAS 09
14.Intercala4términosenprogresiónaritméticaentre110y150.
Siseintercalan4términos,entotalhabráseis,cona1 5 110ya6 5 150.Comoa6 5 a1 1 5d 150 5 110 1 5d 5d 5 40 d 5 8,laprogresiónserá:110,118,126,134,142,150.
Nota:Enesteproblemayenelsiguientesepuedehacermen-ciónalainterpolaciónlineal.
15. Intercala6términosenprogresiónaritméticaentre80y124.
Siseintercalan6términos,entotalhabráocho,cona1 5 80ya8 5 124.Comoa8 5 a1 1 7d 124 5 80 1 7d d 5 44/7.Laprogresiónserá:
80, 80447
6047
1 5 , 80 2447
6487
1 ? 5 ,6927
,7367
,7807
,8247
,
8687
1245 .
16.Losángulosdeuntriánguloestánenprogresiónaritméti-ca,hállalossielmayorvale100º.
100 1 100 2 d 1 100 2 2d 5 180 300 2 180 5 3d d 5 120/3 5 40.Losángulosvaldrán100º,60ºy20º.
17.Deunaprogresiónaritméticasesabequea4 5 2yd 5 0,6.Halla:a) a1 ya15.b) Lasumadelosquinceprimerostérminos.
a) a a d4 1
35 1 2 3 0 61
5a 1 ? , a1
0 25 ,Portanto,a
150 2 14 0 6 8 65 5, , ,1 ? .
b) S5 5( , , )0 2 8 6 15
266
1 ?
18.Hallalosladosdeuntriángulorectángulosisesabequeestánenprogresiónaritméticadediferencia3cm.
Lamedidadelosladosserá:a,a 1 3ya 1 6,siendoesteúltimolahipotenusa.PorPitágoras:( ) ( )a a a1 1 16 32 2 25 a a2 6 27 02 2 5 a 5 9(lasolucióna 5 23notienesentido).Losladosmiden9,12y15cm.
19. Suma200 1 201 1 202 1 … 1 299.
Eslasumade100númerosconsecutivos:
S5 5( )200 299 100
224950
1 ?.
20.Hallalosseisprimerosnúmerosnaturalesquealdividirlospor7danderesto3.Compruebaqueestánenprogresiónaritmética.¿Cuáleslaexpresióngeneraldetodoslosnúmerosnatura-lesquealdividirlospor7danderesto3?
Serán:3,10,17,24,31y38.Efectivamenteestánenprogresiónaritméticadediferencia7.Sutérminogenerales:a n n
n5 53 1 7 7 41 2 ? 2( ) .
21.Lasumadetresnúmerosqueestánenprogresiónaritméti-caes48.Hállalossiademássesabequeelmayormenoselmediano,menoseldobledelpequeñoesiguala1.
Seax,y,zlosnúmeros.
Secumpleque:x y z
z y x
1 1
2 2
5
5
48
2 1
⎧⎨⎩⎪
Comoy 5 x 1 dyz 5 x 1 2d,sustituyendoqueda:
an
3 3 48
2 1
x d
x d
1
2 1
5
5
⎧⎨⎩⎪
x 5 5;d 5 11.
Losnúmerosson:5,16y27.
22.¿Cuántospalillossenecesitanparaformarunatirade200pentágonoscomolosdelafigurasiguiente?
Fig. 9.1.
Paraformarunpentágonosenecesitan5palillos.Paraformar2pentágonos,4palillosmás;para3pentágonos,otros4más;…Esunasucesiónaritméticadetérminos5,9,13,…,cond 5 4.Eltérmino200será:a
2005 199 4 8015 51 ? .
Tipo IV: Progresiones geométricas
23.Hallaeltérminooctavodelaprogresióngeométricadera-zón0,5yprimertérmino32.
Eltérminogeneralesa a rn
n51
12 .
Portanto,a8
75
732 0 5
22
14
5 5 5? , .
24.Hallaelprimertérminodelaprogresióngeométricadera-zón1/3ya4 5 9.Hallatambiéna8.
Comoa a r4 1
35 9 1 3271
3 15 5aa
( / ) a1
2435 .
Portanto:a8
77
243 1 32433
19
5 5 5?( / ) .
25.¿Puedenlosnúmeros4,6y9sertérminosconsecutivosdeunaprogresión?Siesasí,dalosdossiguientestérminos.
Nosondeunaprogresiónaritmética,pues6 2 49 2 6.
Sondeunaprogresióngeométrica,puesr 5 5 564
96
32.
Losdostérminossiguientesserán932
? 5272
y32
814
272
? 5
26.Hallalasuma4 1 0,4 1 0,04 1 0,004 1 …(infinitostérmi-nos).¿Coincideconlafraccióngeneratrizdelnúmerope-riódico4 4, ?
Eslasumadelosinfinitostérminosdeunaprogresióngeométri-caderazón0,1yprimertérminoiguala4:a1 5 4,r 5 0,1.Portanto:
4 1 0,4 1 0,04 1 0,004 1…5 4
1 0 14
0 94092 , ,
5 5 .
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68 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y APLICACIONES ECONÓMICAS09
Esevidentequecoincideconlafraccióngeneratrizde4 4, ,pues4 1 0,4 1 0,04 1 0,004 1…5 4,444…5 4 4, .
27. Consideralasiguientesucesiónindefinidadecircunferen-cias,cuyosradiosestánenprogresióngeométricaderazón
12
34
,siendoelradiodelmayor16cm.
16 cm
Fig. 9.2.
a) Hallalasumadelaslongitudesdetodasellas.b) Hallalasumadelassuperficiesdetodosloscírculos.
Haytressucesiones:
Sucesión de radios
16 8 4 2 ...r 5 1/2
Sucesión de longitudes
(2pr)2p ? 16 5 32p 16p 8p 4p ...r 5 1/2
Sucesión de áreas (pr2) p ? 162 5 256p 64p 16p 4p ...r 5 1/2
a) SLongitudes
5p
5 p32
1 1 264
2 /
b) SÁreas
5p
5p256
1 1 41024
32 /
28.Intercalaun término positivo en progresión geométricaentre10y250.
Laprogresiónserá:10,10r,10r2 5 250 r2 5 25 r 5 5Laprogresiónes:10,50,250
29. Intercalados términosenprogresióngeométricaentre4y2108.
Laprogresión será: 4, 4r, 4r2, 4r3 5 2108 r3 5 227
r 5 52 227 33
Lasoluciónes:4,212,36,2108.
30.Intercalatrestérminosenprogresióngeométricaentre2 y1250.
Laprogresiónserá:2,2r,2r2,2r3,2r4 5 r4 5 625
r 5 5625 54 6Haydossoluciones:Progresión:2,10,50,250,1250;obien:2,210,50,2250,1250.
31.Unapelotacaedesde64mdealtura.Silasalturasalcanza-dasenlossucesivosrebotesestánenprogresióngeométri-
caderazón12
34
:
a) ¿Quéalturaalcanzarátraselquintorebote?
b) ¿Cuántasvecesdeberebotarparaquelasiguienteal-turanosupere1metro?
a) Primerbote:a1
6434
485 5? .
Despuésdebotarcincoveces,laalturaquealcanzaes:
a
5
5
6434
24316
15 18755 5 5? , .
b) Hayquedeterminarnparaquean
,1.Estoes:
an
n
56434
1? , 34
164
n
, log log34
164
n
,
n log log34
164
, (comolog(3/4)esnegativo)
n.log( / )log( / )
,1 643 4
14 465 .
Despuésdelrebotedécimoquintolapelotanosuperarálaalturade1m.
32.Enunaprogresióngeométricadeseistérminoslasumadelostérminospareses3255,mientrasqueladelostérmi-nosimpareses651.Hallacadaunodeesosnúmeros.
Setiene:a a a
a a a2 4 6
1 3 5
3255
651
1 1
1 1
5
5
⎧⎨⎪
⎩⎪
a r a r a r
a a a1 3 5
1 3 5
3255
651
1 1
1 1
5
5
⎧⎨⎪
⎩⎪
( )a a a r1 3 5
32551 1 5 651 3255r 5 r 5 5Como a a a
1 12
145 5 6511 ? 1 ? 5 a
115 .
Losseisnúmerosson:1,5,25,125,625y3125.
Tipo V. Aplicaciones de las progresiones: planes de pensiones e hipotecas
33.Unempleadodebancahaestadoaportando80€mensua-les,durante20años,paraformarunplandepensiones.Sirecibeuninterésdel5%,¿cuántodinerotendráacumuladoalcabodeesos20años?
Lafórmulaquedalacantidadtotaldedineroquetendráensucuentaes:
CM r r
r
n
5( ) ( )1 1 11 1 2
,siendoMlacantidadmensual,nel
númerodemesesyrlatasamensual.Enestecaso:M 5 80€,n 5 12 ? 20 5 240yr 5 0,05/12 5 0,004166.Luego:
C 5580 1 004166 1 004166 1
0 004166
240?( , ) ( , )
,
−33 019,70€
34.Siseaportan120€mensualesaunplandepensiones,aun6%deinterésnominal,¿cuántodineroseacumularáalcabode32años?
r 5 0,06/12 5 0,005,n 5 12 ? 32 5 384
C 55120 1 0 005 1 0 005 1
0 0051396
384? 1 1 2( , ) ( , )
,116 32, €
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1250
69SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y APLICACIONES ECONÓMICAS 09
35.Unamujer subscribe un plan de pensiones con un cuotamensualde150€yaun interésanualdel8%.¿Cuántosañosdeberáestarpagandoesacantidadsiquiereacumular300000€?
Habrá quedespejarn en la fórmulaCM r r
r
n
5( ) ( )1 1 11 1 2
,
quedalacantidadacumulada.
CM r r
r
n
5( ) ( )1 1 11 1 2
Cr
M rr n
( )( )
11 1
11 15
log( )
log( )Cr
M rn r
11 1
11 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟5 n
CrM r
r5
log( )
log( )
11
1
11
1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟.
ComoC 5 300000,M 5 150yr 5 0,08/12 5 0,00666
n5
log,
( , )
log(
300000 0 00666150 1 00666
1?
1⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
11 0 0066614 23191 00666
400 041 , )
log ,log ,
,5 5 me-
ses 33añosy4meses.
36.Uncochecuesta24000€.Sisepagaaplazosmensuales,auninterésdel9%anual,¿cuántodeberápagarsemensual-mentedurante5años?
Al9%anualpagaderomensualmente,r 5 0,09/12 5 0,0075.Laamortizaciónmensual(n 5 60meses)será:
a 5524 000 1 0 0075 0 0075
1 0 0075 149
60
60
( , ) ,( , )
1 ?
1 288 2, €almes
37. Paraelmismopréstamode24000€al9%anual,¿cuántoserálacuotadeamortizaciónsilafrecuenciadepagoestrimestral?(Laprimeracuotasepagatresmesesdespuésdeconcedidoelpréstamo.)
Al 9% anual con cuotas trimestrales, r 5 0,09/4 5 0,0225. Laamortizacióntrimestral(n 5 20trimestres)será:
a 5524 000 1 0 0225 0 0225
1 0 0225 115
20
20
( , ) ,( , )
1 ?
1 2003 41, €almes.
38.Indica,pasoapaso,siguiendoelesquemadelapágina198dellibrodelalumnoelprocesodepagodeunpréstamode900€,al12%anual,mediante12cuotasmensuales.
Al 12% anual con cuotas mensuales, r 5 0,12/12 5 0,01. Laamortizaciónmensual(n 5 12meses)será:
a5 5900 1 0 01 0 01
1 0 01 179 96
12
12
( , ) ,( , )
,1 ?
1 2€almes.
(Vertablaenlaparteinferiordelapágina).
39.Unordenadorcuesta900€alcontado.Silopagasaplazosmensualesdurante2años,¿cuálserálacuotadepagosieltipodeinterésanuales:a) del15%; b) del21%; c) del27%?
a) Al15%anual,r 5 0,15/12 5 0,0125.Laamortizaciónserá:
a 55
900 1 0 0125 0 01251 0 0125 1
43 624
24
( , ) ,( , )
,1 ?
1 233€almes.
b) Al21%anual,r 5 0,21/12 5 0,0175.Laamortizaciónserá:
a 55
900 1 0 0175 0 01751 0 0175 1
46 224
24
( , ) ,( , )
,1 ?
1 255€almes.
c) Al27%anual,r 5 0,27/12 5 0,0225.Laamortizaciónserá:
a 55
900 1 0 0225 0 02251 0 0225 1
48 924
24
( , ) ,( , )
,1 ?
1 244€almes
40.Calculalacuotadeamortizaciónmensualquehayquepagarporuncréditode20000€al8%anualdurante5años.
Al 8% anual pagadero mensualmente, r 5 0,08/12. La amor-tizaciónmensual(n 5 60meses)será:
1 ?
/ )1 2a5
20000 1 0 08 12 0 08 121 0 08 12 1
60
60
( , / ) , /( ,
55405 53, €almes.
41. Paraelmismocréditode20000€al8%anual,durante5años:a) ¿Acuántoascenderá lacuotadeamortizaciónsemes-
tral?b) ¿Ylacuotadeamortizaciónanual?
a) Al8%anualpagaderosemestralmente,r 5 0,08/2 5 0,04. Laamortizaciónsemestral(n 5 10cuotas)será:
a5 5
20000 1 0 04 0 041 0 04 1
2465 8210
10
( , ) ,( , )
,1 ?
1 2€.
b) Paracuotasanuales(r 5 0,08yn 5 5),setendrá:
a5 5
20000 1 0 08 0 081 0 08 1
5009 135
5
( , ) ,( , )
,1 ?
1 2€.
Deuda inicial en cada periodo
Deuda al cabo de un mes
(Inicial 3 1,01)
Amortización (Pago de 79,96 €)
Pendiente tras amortización
Capital amortizado
Intereses pagados
Primer mes 900,00 909,00 79,96 829,04 70,96 9,00Mes 2º 829,04 837,33 79,96 757,37 71,67 8,29Mes 3º 757,37 764,94 79,96 684,98 72,39 7,57Mes 4º 684,98 691,83 79,96 611,87 73,11 6,85Mes 5º 611,87 617,99 79,96 538,03 73,84 6,12Mes 6º 538,03 543,41 79,96 463,45 74,58 5,38Mes 7º 463,45 468,09 79,96 388,13 75,33 4,63Mes 8º 388,13 392,01 79,96 312,05 76,08 3,88Mes 9º 312,05 315,17 79,96 235,21 76,84 3,12Mes 10º 235,21 237,56 79,96 157,60 77,61 2,35Mes 11º 157,60 159,18 79,96 79,22 78,38 1,58Mes 12º 79,22 80,01 79,96 10,05 0 79,17 0,79
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70 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y APLICACIONES ECONÓMICAS09
jCuESTIonES báSICAS
1.Hallaelsiguientetérminodelassucesiones:a) 1,10,18,25,… b) 10,9,7,4,…
a) Cadavezsesumaunomenos:19,18,17,16 31b) Cadavezrestaunomás:21,22,23,24 0
2.Hallaeltérminogeneraldelassucesiones:a) 2,20,200,2000,… b) 100,97,94,91,…
a) 2,20,200,2000,…(p.g.derazón10:an
n52 10 1? 2 )b) 100,97,94,91,…(p.a.dediferencia23: a n n
n5 5100 1 3 103 31 2 ? 2 2( ) ( )
3. Demuestraquelasucesiónannn
52 52
escreciente.
a ann
nnn n1
22
12
21
2 31
2 55 5
5( ) ( ) ( )
( ) ( )2 3 2 5 1
161
0n n n n
n n n n2 ? 2 2 ? 1
1 1.5
4. Dandovaloresgrandesanindicaelnúmeroalqueseacerca
lasucesiónannn
55 32 7
1
1.
a100
503207
2 429955 5 , ;a500
25031007
2 485605 5 , ;
a1000
50032007
2 492785 5 , an 2,5.
5. Delassiguientessucesionesindicalasquesonprogresio-nesaritméticasyhallasudiferencia:a) 3,3,1,3,01,3,001,…b) 3,3,6,4,2,4,8,…c) 10,9,8,7,…
a) Nob) Sí;d 5 0,6c) Sí;d 5 21
6.Delassiguientessucesionesindicalasquesonprogresio-nesgeométricasyhallasurazón:a) 3,3,1,3,01,3,001,…b) 1,1/2,1/4,1/8,…c) 1,1/2,1/3,1/4,…
a) Nob) Sí;r 5 c n n
n5 5
12
12
1 0 51 2( ) ,c) No
7. Calculalasumadelos18primerostérminosdelaprogre-sión:4,9,14,…
a18
4 17 5 895 51 ? S5 5( )4 89 18
2837
1 ?
8.Calculalasumadelos8primerostérminosdelaprogre-sión:1,2,4,8,…
a8
72 1285 5 S5 51 2 1
2 1255
8? 2
2
( )
9.Calcula la siguiente suma indefinida: 5 1 0,5 1 0,05 1 1 0,005 1 …
r 5 0,1;S5 55
1 0 15092 ,
10.¿Cuálserálacuotadeamortizaciónmensualparaunprés-tamode1000€,al12%anual,durante2años?
a5 51000 1 0 01 0 01
1 0 01 147 07
24
24
( , ) ,( , )
,1 ?
1 2€
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71
FUNCIONES PERIÓDICAS Y TRIGONOMÉTRICAS 10
jACTIVIDADES
1.LaincidenciadelosrayosdesolylatemperaturadelaguaenelmarCantábricoseajustanalsiguienteciclo:1)Laincidenciadelsolalcanzasumáximoenjunioyjulio
(conuna200horasdeinsolaciónmensuales);elmínimoendiciembreyenero(conunas85horasmensuales).
2)Latemperaturaalcanzaelmáximoenagostoyseptiem-bre (con unos 15 ºC); el mínimo en febrero y marzo(alrededorde8ºC).
Dibujadosciclosanuales,enlamismafigura,queilustrenlosfenómenosdescritos.
2. a) Expresa en radianes los siguientes ángulos: 230º, 2120º,210º,300º,450ºy720º.Represéntalosgráfica- menteenlacircunferencia.b) Expresaengrados4,5,3p/5,2p/2y23p/2radianes.
a) 2 2306
º5p
; 2 212023
º5p
; 21076
º5p
;
30053
º5p
; 45052
º5p
; 720º 5 4p
082p
p2308 5 2 ––6
5p3008 5 –––
32p
21208 52 3
5p2108 5 2 –––6
1808p
5p4508 5 –––
2
–––
Fig. 10.1.
b) 4rad 5 229,184º; 5rad 5 286,48; 3p/5rad 5 108º; 2p/2 5 290º; 23p/2rad 5 2270º
3.a) Sabiendoquesena 5 0,5y0 a 90,hallaelvalorde cosayeldetaga.
b) Sabiendoquecosa 5 0,8yque270 a 360,hallaelvalordesenaydetaga.
a) 0,52 1 cos2 a 5 1 ⇒ cos ,a51 0 75 (para ángulos delprimer cuadrante el coseno es positvo.) ⇒ tag a 5
5 0 5
0 750 577
,
,,5 ;
b) sen2a 1 (0,8)2 5 1 ⇒ sen2a 5 0,36 ⇒
sena 5 2 20 36 0 6, ,5 (paraángulosdelcuartocuadrante
elsenoesnegativo) ⇒ taga5 2
20 6
0 51 2
,,
,5 .
4.Dibujaapartirdelafunciónf x x( ) cos5 ,lasgráficasdelasfunciones:a) 5 2f x x( ) cos 1;b) ( ) cos( )5 2f x x 2 ;
c) f xx
( ) cos52.
a) Setrasladaunaunidadhaciaabajo.
21x
y
1 2 3 4 5 6
1
22
7
3p/2 2p
f(x) 5 cos x 2 1
p/2f(x) 5 cos x
Fig. 10.2.
b) Setraslada2 unidadeshacialaderecha.
21x
y
1 2 3 4 5 6
1
22
7
3p/2 2p
f(x) 5 cos (x 1 2)
p/2f(x) 5 cos x12
Fig. 10.3.
c) Superiodoesp 5 4p.
21x
y
1 2 3 4 5 6
1
22
7
3p/2 2p
f(x) 5 cos (x/2)
p/2f(x) 5 cos x
8 9
Fig. 10.4.
5.Utilizandolacalculadora,halla:a) arcsen(21)b) arccos(21)c)arctag 3 Daelresultadoengradosyenradianes.
a) arcsen(21) 5 290º 5 270º 5 2p/2 5 3p/2b) arccos(21) 5 180º 5 3,14... 5 p
c) arctag 3 5 60º 5 1,047… 5 p
3
6.Resuelvelasecuacionestrigonométricas:a) 1 2 2senx 5 3;b) cos2x 5 1/2 Representa gráficamente las funciones f x senx( )52 yg x x( ) cos5 2 ydauna interpretacióngráficade las solu-cioneshalladas.
a) 1 2 2senx 5 3 ⇒ senx 5 21 ⇒ x 5 arcsen(21)⇒
⇒ x k5p
p32
21 ;
b) cos2x 5 1/2 ⇒ 23
2x k5p
p1 o253
2x k5p
p1 ⇒
⇒ x k5p
p6+ ox k5
pp
56
1
Gráficamente:
a)
1
x
y
1 2 3 4 5 6
1
2
7
3p/2
8 9 102
/2
Fig. 10.5.
Sol_1CCSS_10.indd 71 12/5/08 15:57:26
72 FUNCIONES PERIÓDICAS Y TRIGONOMÉTRICAS10
b)
21
x
y
1 2 3 4 5 6
1
22
7
3p/2
8 9 1022
2p/2
Fig. 10.6.
7. Resuelvelaecuacióntrigonométricatag2x 5 3.Comprue-baqueelresultadoescorrecto.
tag2x5 3 2x2 arctag 3 arctag 3
x 52
Lassolucionessonx 5 p/6,x 5 2p/3.
8.La inclinaciónde la torredePisaesde4,6º respectodelavertical.Sabiendoqueunapiedradejadacaerdesdelomásaltodelatorreimpactaa4,4mdelabase,¿cuáleralaalturainicialdelaTorre?
Laalturainicialeralamedidadelladodelatorre,queeslahi-potenusadeuntriángulorectángulodelqueseconoceunlado,quevale4,4myelángulodelladodelatorreconelsuelo,quevale90 2 4,6º 5 85,4º.
Aplicandoelcoseno:
cos , º,
85 44 4
5h
h5 54 485 4
54 86,
cos ,, m
4,4
4,6°
Fig. 10.7.
jProblEmAS ProPuESToS
Tipo I. Fenómenos periódicos
1.Siadmitimosquelaprecipitaciónmediaesunfenómenocasi periódico, dibuja dos ciclos completos de precipi-taciónparalasestacionesmeteorológicasqueseindican:
Meses E F M A M J J A S O N DSantaCruz
36 39 28 13 6 0 0 0 3 31 45 51
Las Palmas
19 19 13 6 2 2 1 1 5 16 31 26
Pamplona 110 80 79 79 91 87 48 45 78 122 111 148
2 4 6 8 10 12
20
14 16 18 20 22
406080
100120140160
Precipitación media por mes
Meses
Santa CruzLas PalmasPamplona
Fig. 10.8.
LosnúmerosqueaparecenenelejeOXindicanmeses:1 5 ene-rodelprimeraño,2 5 febrero;13 5 enerodelsegundoaño,etc.
2.LahoradelamanecerydelocasoenBarcelonaparaelaño2008vienedadaenlasiguientetabla:
Día 1º 21º 41º 61º 81º 101º 121º 141º 161º 181º
Amanecer (hora)
7:21 7:15 6:56 6:25 5:52 5:18 4:48 4:26 4:16 4:20
Ocaso (hora)
16:31 16:52 17:18 17:44 10:07 18:29 18:51 19:12 19:29 19:32
Día 201º 221º 241º 261º 281º 301º 321º 341º 361º
Amanecer (hora)
4:34 4:54 5:15 5:36 5:57 6:20 6:45 7:07 7:20
Ocaso (hora)
19:23 19:01 18:30 17:56 17:21 16:51 16:29 16:20 16:27
Fuente: http://www.tutiempo.net/silvia_larocca/Programas/astronomia.htm(Losdatossehantomadoaintervalosde20días.Estoes,los días: 1º 5 12I; 21º 5 212I; 41º 5 102II;… Las horas(UTM)estánindicadasenhorasyminutos.)Representagráficamentecadaseriededatosycompruebaqueseajustaaunasinusoide.(Sugerencia:expresalashorasenelsistemadecimal.Así7:21 5 7,34h.)
1 2 3 4 5 64
7 8 9 10 11
68
1012141618
12 13 14 15 16 17 18
20
Ocaso
Amanecer
Fig. 10.9.
3.Conlosmismosdatosdelproblemaanterior,representalaevolucióndeladuracióndelaluzsolarparaeseaño.
1 2 3 4 5 64
7 8 9 10 11
6
8
10
12
14
16
12 13 14 15 16 17 18
Fig. 10.10.
4.EnelpuertodeValenciahaydosmareasaltasydosbajascada24horas,aproximadamente.Sientrelamareabajaylaaltahayunadiferenciadealturasde130cmrepresentagráficamentelaalturadelaguaenfuncióndeltiempo.Em-piezaalas0hconmareaalta.
Sol_1CCSS_10.indd 72 12/5/08 15:57:37
73
FUNCIONES PERIÓDICAS Y TRIGONOMÉTRICAS 10
2 4 6 8 10 12
20
14 16 18 20 22
406080
100120
Fig. 10.11.
Tipo II. Trigonometría elemental
5.Expresaenradianeslossiguientesángulos:a) 102,34º; b)80º25’;c) 245º; d)22,5º;e) 204º32’49,82’’; f)1º;g) 224º43’’; h)80º.
a) 1,786; b)1,4;c) 2p/4; d)p/8;e) 3,57; f)0,017;g) 20,419; h)4p/9.
6.Expresaengrados:a) 7p/3rad b)3,35radc) 24,5rad d)8rade) 20,05rad f)p/9rad
a) 420º; b)191,94º;c) 2257,83º; d)458,366º;e) 22,865º; f)20º.
7.Calcula todas las razones trigonométricasde los ángulosagudosdelsiguientetriángulorectángulo:
Lahipotenusaes7,6655cm.2 cm
7,4 cmA
B
C
Fig. 10.12.
senA 5 2
7 6655, 5 0,261; cosA 5
7 47 6655
,,
5 0,965;
tagA 5 2
7 4, 5 0,270; cotagA 5
7 42,
5 3,7;
senB 5 7 4
7 6655,
, 5 0,965; cosB 5
27 6655,
5 0,261;
tagB 5 7 42,
5 3,7.
8.Elcartabónqueseutilizaendibujolinealesuntriángulocuyosángulosmiden30º,60ºy90º.Utilizandolatrigono-metríademuestraqueelladomáslargomideeldoblequeelpequeño.
30°60° yx
Fig. 10.13.
sen30º 5 12
5yx ⇒ x 5 2y
9. Calcula lassiguientes razonestrigonométricasutilizandolacalculadoracientíficayexpresandoelresultadoredon-deadocontresdecimales:
a) sen32,85º; b)cos23º12’50’’;c) sec80º45’; d)tag2,3rad;e) cotag0,95rad; f)sen(2394,4º);g)cosec39º39’21’’; h)cos5,65;i)tag(23); j)sen10º50’’;k)cos(239º2’); l)cosec670º32’32’’;m)tag269º34’12’’; n)senp/5;ñ)cos170,9º; o)sec1,8756;p)cotag11p/7; q)tag15,567º.
a) 0,542; b)0,919; c) 6,221; d)21,119;e) 0,715; f)20,565;g) 1,567; h)0,806;i) 0,143; j)0,174;k) 0,777; l)21,316;m)133,243; n)0,588;ñ)20,987; o)23,332;p)20,228; q)0,279.
10. Indicarazonadamentesisonverdaderasofalsasparaalgúnánguloalassiguientesafirmaciones:
a) sena 5 1,5; b)cosa 5 0,0012;c) taga 5 3,03; d)cosa 5 21,8;e) cotaga 5 20,779; f)seca 5 1;g) taga 5 257; h)coseca 5 4,002.
Verdaderas:b),c),e),f),g),h),Falsas:a),d)Estoesasíporqueparacualquiervalordeasecumpleque:21#sena#1, 21#cosa#1,2` , taga , 1`, 2` , cotaga , 1`,21$seca$1, 21$coseca$1.
11. Sabiendoquecosa 5 0,9yque0º a 90º,hallaelvalordesenayeldetaga.
sen2a 1 0,92 5 1 sen2a 5 0,19sen a 5 1 0 19, 5 0,436 ya que el ángulo está en el primercuadrante.
taga 5 0 4360 9,,
5 0,484
12.Sabiendoquetaga 5 21,2yque90º a 180º,hallaelvalordelasrestantesrazonestrigonométricas.
cotaga 5 11 22 ,
5 20,833
1 1 (21,2)2 5 12cos a
cos2a 5 0,410 cosa 5 2 0 410, 5
5 2 0,640,yaqueelánguloestáenelsegundocuadrante.
seca 5 1
0 6402 , 5 21,563
21,2 5 sen a
20 640, sena 5 0,768
Sol_1CCSS_10.indd 73 12/5/08 15:57:44
74 FUNCIONES PERIÓDICAS Y TRIGONOMÉTRICAS10
coseca 5 1
0 768, 5 1,302
Tipo III. Funciones trigonométricas
13.Partiendodelagráficadey 5 senx,representalassiguien-tesfunciones:a) f(x) 5 1 1 senx b)f(x) 5 senx 2 1,5
a)
21
x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2
2
p/2 p 2p
f(x) 5 1 � sen x
y 5 sen x
Fig. 10.14.
b)
1
x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
2
/2 p/2 p 2p
y 5 sen x
2f(x) 5 sen x 2 1,5
Fig. 10.15.
14.Partiendodelagráficadey 5 senx,representalassiguien-tesfunciones:a) f(x) 5 sen(x 2 1) b)f(x) 5 sen(x 1 p)
a)
21 x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
y 5 sen x
f(x) 5 sen (x 2 1)
Fig. 10.16.
b)
21 x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
y 5 sen x
f(x) 5 sen (x 1 p)
Fig. 10.17.
15.Partiendodelagráficadey 5 senx,representalassiguien-tesfunciones:a) f(x) 5 2senx b)f(x) 523senx
a)
21 x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
y 5 sen x2
22f(x) 5 2sen x
Fig. 10.18.
b)
21 x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
y 5 sen x2
2223
f(x) 5 23sen x
3
Fig. 10.19.
16.Partiendodelagráficadey 5 senx,representalassiguien-tesfunciones:
a) f(x) 5 2 1 sen(x 2 1) b)f(x) 5 2 2 senx
a)
21 x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
y 5 sen x23
f(x) 5 sen (x 2 1)
f(x) 5 2 1 sen (x 2 1)
Fig. 10.20.
b)
21 x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
y 5 sen x23
f(x) 5 sen x
f(x) 5 2 2 sen x
Fig. 10.21.
17. Partiendodelagráficadey 5 sen x,representalafunciónf(x) 5 23sen(2x 1 p).
Lafuncióny 5 sen2xesperiódicadeperíodo22p
5p.
Unavezdibujadaestaúltima,setrasladapunidadesa la iz-quierda y seobtiene la función y 5 sen (2x 1 p). Finalmente,cadaordenadade lacurvaanteriorsemultiplicapor23paraobtenerlagráficadelafunciónf(x) 5 23sen(2x 1 p).
21 x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
y 5 sen x23
f(x) 5 sen x
f(x) 5 23sen (2x 1 p)
22
f(x) 5 sen 2x
f(x) 5 sen (2x 1 p)
Fig. 10.22.
18.Partiendodelagráficadey 5 cosx,representalassiguien-tesfunciones:a) f(x) 5 2 1 cosx b)f(x) 5 22,5 1 cosx
a)
y 5 cos x
f(x) 5 2 1 cos x
21
x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
22
23
Fig. 10.23.
b)
21
x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
222324 f(x) 5 22,5 1 cos x
y 5 cos x
Fig. 10.24.
Sol_1CCSS_10.indd 74 12/5/08 15:58:02
75
FUNCIONES PERIÓDICAS Y TRIGONOMÉTRICAS 10
19. Partiendodelagráficadey 5 cosx,representalassiguien-tesfunciones:a) f(x) 5 cos(x 1 1) b)f(x) 5 cos(x 2 p)
a)
21
x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
f(x) 5 cos (x 1 1)
y 5 cos x
Fig. 10.25.
b)
21
x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
f(x) 5 cos (x 1 p)
y 5 cos x
Fig. 10.26.
20.Partiendodelagráficadey 5 cosx,representalassiguien-tesfunciones:a) f(x) 5 3cosx;b)f(x) 5 22cosx;c)f(x) 5 20,5cosx.
a)
21 x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
2
2223
3
y 5 cos x
f(x) 5 3cos x
Fig. 10.27.
b)
21 x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
2
22y 5 cos x
f(x) 5 22cos x
Fig. 10.28.
c)
21
x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
f(x) 5 20,5cos x
y 5 cos x
Fig. 10.29.
21.Partiendodelagráficadey 5 cosx,representalassiguien-tesfunciones:a) f(x) 5 cos2xb)f(x) 5 cos2px
a) Elperiododef(x) 5 cos2xes22p
5p.
21
x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
f(x) 5 cos 2x
y 5 cos x
Fig. 10.30.
b) Elper ododef(x) 5 cos2px es22
1p
p5
21
x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
f(x) 5 cos 2px
y 5 cos x
Fig. 10.31.
22.Representalasgráficasdelassiguientesfunciones:a) f(x) 5 cosecx b)f(x) 5 cotagx
a)Lafunciónf(x) 5 cosecxeslainversadey 5 senx,esdecir,
f(x) 5 cosec x 5 1
sen x.Estafunciónnoestádefinidacuando
eldenominadorsehacecero,esdecir,cuandosenx 5 0.A la vistade la funcióny 5 sen x, sabemosqueestoocurrecuandox 5 0,p,2p,...
Podemosobtenersusvaloresconlacalculadoraenelmodoradianes.Algunosde susvalores sedanen la tablade laparteinferiordelapágina.
Teniendoencuentaque,aligualquesuinversa,elperíodoes2p,surepresentacióngráficaeslasiguiente:
21 x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
23
8
4
222324
Fig. 10.32.
x 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3 3,3
sen x 0,296 0,565 0,783 0,932 0,997 0,974 0,863 0,675 0,427 0,141 20,158
cosec x 3,378 1,770 1,277 1,073 1,003 1,027 1,159 1,481 2,342 7,092 26,329
x 3,6 3,9 4,2 4,5 4,8 5,1 5,4 5,7 6 6,3 6,6
sen x 20,443 20,688 20,872 20,978 20,996 20,926 20,773 20,551 20,280 0,017 0,312
cosec x 22,257 21,453 21,147 21,022 21,004 21,080 21,294 21,815 23,571 58,82 3,205
Sol_1CCSS_10.indd 75 12/5/08 15:58:11
i
76 FUNCIONES PERIÓDICAS Y TRIGONOMÉTRICAS10
b) Lafunciónf(x)5cotgxeslainversadey5tgx,esdecir,
f(x)5cotgx5 1
tgx.Estafunciónnoestádefinidacuando
eldenominadorsehacecero,esdecir,cuandotgx=0.Alavistadelafuncióny5tgx,sabemosqueestoocurrecuan-dox50,p,2p,...
Podemosobtenersusvaloresconlacalculadoraenelmodoradianes.Algunosde sus valores sedanen la tablade laparteinferiordelapágina.
Teniendoencuentaque,aligualquesuinversa,elperíodoesp,surepresentacióngráficaeslasiguiente:
21 x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
23
8
4
222324
Fig. 10.33.
23.Utilizandolacalculadoraydandolassolucionesengradoscomprendidasenelintervalo[0º,360º],calcula:a) arcsen(20,8); b) arccos0,856;c) arctag2,35.
Para todos los apartados, la calculadora debe estar en modoDEG.
a) Utilizandolafunciónsin21delacalculadoraseobtienequearcsen(20,8) 5 253,13º 5 306,87º.
La calculadora da un ángulo del cuarto cuadrante, pero,comoseobservaenlafigura,hayotroánguloeneltercercuadrantecuyosenotieneelmismovalor.Elángulodelter-cercuadrantees:180º 1 53,13º 5 233,13º.
Endefinitiva:arcsen(20,8) 5 306,87ºy233,13º
306,87°233,13°
Fig. 10.34.
b) Utilizandolafuncióncos21delacalculadoraseobtienequearccos0,856 5 31,13º.
La calculadora da un ángulo del primer cuadrante, pero,comoseobservaenlafigura,hayotroánguloenelcuartocuadrantecuyocosenotieneelmismovalor.Elángulodelcuartocuadrantees:360º 2 31,13º 5 328,87º.
Endefinitiva:arccos0,856 5 31,13ºy328,87º.
31,13°
328,87°
Fig. 10.35.
c) Utilizandolafuncióntan21delacalculadoraseobtienequearctag2,35 5 66,95º.
La calculadora da un ángulo del primer cuadrante, pero,comoseobservaenlafigura,hayotroánguloeneltercercuadrantecuyatangentetieneelmismovalor.Elángulodeltercercuadrantees:180º 1 66,95º 5 246,95º.
Endefinitiva:arctag2,35 5 66,95ºy246,95º.
66,95°
246,95°
Fig. 10.36.
24.Utilizandolacalculadora,halla:a) arccos(20,89);b) arctag(23,1);c) arctag0,5;
d) arcsen2
2;
e) arccos0,64;f)arcsen(20,356).
Dalassolucionesengradoscomprendidasenelintervalo[0º,360º].
a) arccos(20,89) 5 152,87º arccos(20,89) 5 180º 1 (180º 2 152,87º) 5 207,13ºb) arctag(23,1) 5 272,12º 5 287,88º arctag(23,1) 5 180º 2 72,12º 5 107,88ºc) arctag0,5 5 26,57º arctag0,5 5 180º 1 26,57º 5 206,57º
d) arcsen2
2 5 45º
arcsen2
2 5 180º 2 45º 5 135º
e) arccos0,64 5 50,21º arccos0,64 5 360º 2 50,21º 5 309,79ºf) arcsen(20,356) 5 220,85º 5 339,15º arcsen(20,356) 5 180º 1 20,85º 5 200,85º
x 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3 3,3
tg x 0,309 0,684 1,260 2,572 14,10 24,287 21,710 20,916 20,473 20,143 0,160
cotg x 3,237 1,462 0,794 0,389 0,071 20,233 20,585 21,092 22,114 26,993 6,25
x 3,6 3,9 4,2 4,5 4,8 5,1 5,4 5,7 6 6,3 6,6
tg x 0,493 0,947 1,778 4,637 211,38 22,450 21,218 20,660 20,291 0,017 0,328
cotg x 2,028 1,056 0,562 0,216 20,088 20,408 20,821 21,515 23,436 58,82 3,049
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77
FUNCIONES PERIÓDICAS Y TRIGONOMÉTRICAS 10
25.Utilizandolacalculadora,halla:a) arcsen(20,1);b) arcsen0,79;c) arccos0,96;
d) arccos22
2;
e) arctag5,8;f) arctag(20,95).
Dalassolucionesenradianescomprendidasenelintervalo[0,2p].
a) arcsen(20,1) 5 20,1 arcsen(20,1) 5 p 1 0,1 5 3,24b) arcsen0,79 5 0,91 arcsen0,79 5 p 2 0,91 5 2,23c) arccos0,96 5 0,28,arccos0,96 5 2p 2 0,28 5 6
d) arccos22
2 5 2,36
arccos22
2 5 p 1 (p 2 2,36) 5 3,92
e) arctag5,8 5 1,4,arctag5,8 5 p 1 1,4 5 4,54f) arctag(20,95) 5 20,76 arctag(20,95) 5 p 2 0,76 5 2,38
26.Elconsumodeenergíaeléctricadeunafamilia,enkilova-tioshora(kWh),vienedadoporlafunción
E(x) 5 600 1 450cos212
1p
( )x2
dondexindicalosmesesdelaño(enero 5 1).a) ¿Cuáleselconsumoenenero,enjulioyenoctubre?b) ¿QuéperíodotieneE(x)?c) RepresentadosciclosdeE(x).
a) E(1) 5 1050kWhE(7) 5 150kWhE(9) 5 600kWh
b) Período:2212
12p
p5
2 4 6 8 10 12
200
14 16 18 20 22
400600800
10001200
Meses
Cons
umo
(kW
h)
(c)
Fig. 10.37.
Tipo IV. Ecuaciones trigonométricas
27. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas paraángulosdelprimergiroexpresadosenradianes:a) senx 5 0,54;b) cosx 520,912;c) tagx 5 2.
a) x 5 arcsen0,54 ⇒ x 5 0,57yx 5 p 2 0,57 5 2,57b) x 5 arccos(20,912) ⇒ x 5 2,72y x 5 p 1 (p 2 2,72) 5 3,56c) x 5 arctag 2 ⇒ x 5 1,11yx 5 p 1 1,11 5 4,25
28.Representagráficamentelasfuncionesy 5 senx,y 5 cosxey 5 tagxydaunainterpretacióngeométricadelassolu-cioneshalladasenelejercicioanterior.
a) Las soluciones son los puntos de corte de la gráfica dey 5 senxconlarectahorizontaly 5 0,54.
21 x
y
1 2 3 4 5 6
1
722
y 5 sen x
0,57 2,57
y 5 0,54
Fig. 10.38.
b) Las soluciones son los puntos de corte de la gráfica dey 5 cosxconlarectahorizontaly 5 20,912.
21 x
y
1 2 3 4 5 6
1
722
y 5 cos x
y 5 20,912
2,72 3,56
Fig. 10.39.
c) Las soluciones son los puntos de corte de la gráfica dey 5 tagxconlarectahorizontaly 5 2.
21
x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
23
8
4
222324
1,11 4,25
y 5 tg x
y 5 2
Fig. 10.40.
29.Resuelvelassiguientesecuacionestrigonométricas: a) 2cosx 5 0,6 b) 2 tagx 5 4,75
a) 2cos x 5 0,6 ⇒ cosx 5 0,3 ⇒ x 5 arccos0,3 ⇒
⇒x k
x k
5
55
72 54 360
360 72 54 360 287
, º º
( º , º) º
1 ?
2 1 ? ,, º º46 3601 ?k
⎧⎨⎩⎪
b) 2tagx 5 4,75 ⇒ tagx 5 24,75 ⇒ x 5 arctag(24,75) ⇒ x 5 101,89º 1 k ? 180º
30.Resuelvelassiguientesecuacionestrigonométricas:a) sen3x 5 20,5 b)cos
x3
5 0,6
a) sen3x 5 20,5 ⇒ 3x 5 arcsen(20,5) ⇒
3 30 300 360 100 120x k x k5 5 52 1 ? 1 ?º º º º º
3x 5(180º130º)1 k?360º5210º1 k ?360ºx 570º1k ?120º
b) cosx3
5 0,6 ⇒ x3
5 arcos0,6⇒
Sol_1CCSS_10.indd 77 12/5/08 15:58:28
78 FUNCIONES PERIÓDICAS Y TRIGONOMÉTRICAS10
5(x3
xk x k
353 13 360 159 39 10805 5, º º , º º1 ? 1 ?
3360 53 13 360 306 87 360º , º) º , º º2 1 ? 1 ?k k5
x 5 920,61º 1 k ·120
31.Resuelvelassiguientesecuacionestrigonométricas:a) 4sec2x 5 5; b) 4 2 3sen2x 5 6;
c) 2 sen2x 5 0,5; d) 6cos x1p
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 5 5.
a) 4sec2x 5 5 ⇒ sec2x 5 1,25 ⇒ 12cos x
5 1,25 ⇒
⇒ cos2x 5 0,8 ⇒ 2x 5 arccos0,8⇒
5
2 36 87 360 18 435 180
2 360
x k x k
x
5 5
5
, º º , º º
( º
1 ? 1 ?
22 1 1 ?36 87 360 323 13 360, º) · º , º ºk kx 5161,565º 1 k ?180º
b) 4 2 3sen2x 5 6 ⇒ sen2x 5 20,667 ⇒ 2x 5 arcsen(20,667)⇒
2 1 ?, º , º º2 41 84 318 16 360x k5 5
41 84 360 221 84 360( , º) º , º º2x 180º5 51 1 ? 1 ?kk
x5159,08º1k ?180º
x 5 110,92º 1 k ? 180ºc) 2sen2x 5 0,5 ⇒ sen2x 5 0,25 ⇒ senx 5 60 5, senx 5 0,5 ⇒ x 5 arcsen0,5 ⇒
x k
k k
5
5 5
30 360
360 150 360
º · º
( º) º º
1
2 1 ? 1 ?x 180º 30 senx 5 20,5 ⇒ x 5 arcsen(20,5) ⇒
x k
k
5 5
5 5
2 1 ?
1 1 ?
30 330 360
30 360 210
º º º
( º) º ºx 180º 11 ?k 360º
d) Daremoslassolucionesenradianes,dadoqueelángulovie-nedadoenesaunidad.
6cos x 1p
2 5 5 ⇒ cos x 1
p
2 5 0,833 ⇒
x 1p
2 5 arcos0,833 ⇒
⇒x k x k
x k
1 1 1
1 2 1
p5
pp 5
pp
p5 p
pp
2 62
32
22
62 55
pp 5
pp
116
243
21 1k x k
Tipo V. Aplicaciones de la trigonometría a la resolución de problemas
32.Loscatetosdeuntriángulorectángulomiden5my7m.Hallalahipotenusaylosángulos.
c 5 5 7 742 21 5 58,60m
tagA 5 57
5 0,714 A 5 arctag0,714 5 35,53º
B 5 90º 2 35,53º 5 54,47º
33.Elcatetomenordeuntriángulorectángulomide12mylahipotenusa35m.Hallaelotrocatetoylosángulos.
A
B
Cb
35 12
Fig. 10.42.
b 5 35 12 10812 22 5 532,88m
senA 5 1235
5 0,343 ⇒ A 5 arcsen0,343 5 20,06º
B 5 90º 2 20,06º 5 69,94º
34.Si una escalera de mano de 3,2 m de larga la apoyamossobre la fachadadeunedificiodemaneraque formeunángulo de 60º con el suelo, ¿podremos llegar hasta unaventanasituadaa2,9mdealtura?
608
3,2x
Fig. 10.43.
Suponiendoquelafachadadeledificioesperpendicularalsue-lo,seobtieneuntriángulorectángulocomoeldelafigura.Enesecaso:
sen60º 5 x
3 2, ⇒ x 5 2,77m
Laescalerallegahastaunaalturade2,77m.Portanto,conesainclinación,nosepuedellegarhastalaventana.
35.Queremosmedirlaalturadeunatorredecomunicacionessituadasobrenuestromismoplano.Paraellosituamosunteodolitoa50metrosdesubaseparamedirelángulodeelevacióndesuextremosuperior.Sabiendoquedichoán-guloesde58ºyqueelteodolitoestásobreuntrípodede1,5mdealto,¿cuáleslaalturadelatorre?
588
x
50 1,5
h
Fig. 10.44.
Enlafiguradeallado,dondeseexponelasituacióndelproble-ma,heslaalturadelatorre.
tag58º 5 x
50 x 5 50 ? tag58º 5 80,02m
Laalturadelatorreesh 5 80,02 1 1,5 5 81,52m.
A7
5
B
C
c
Fig. 10.41.
Sol_1CCSS_10.indd 78 12/5/08 15:58:45
79
FUNCIONES PERIÓDICAS Y TRIGONOMÉTRICAS 10
36.Latorredeuncastilloestásituadaalbordedeunfosoconagua.Elángulodeelevacióndesuextremosuperiordesdeelotrobordedelfosoesde62º.Sinosalejamosdelfoso52m,elángulodeelevaciónesde28º.Calculalaanchuradelfosoylaalturadelatorre.
Seahlaalturadelatorreyxlaanchuradelfoso.
288 628
52 x
h
Fig. 10.45.
tag 28ºh
x
tag 62ºhx
5
5
521 ⇒
h x
h x
5
5
27 649 0 532
1 881
, ,
,
1⎧⎨⎩⎪
⇒
⇒27,649 1 0,532x 5 1,881x ⇒ x 5 20,50h 5 1,881 ? 20,50 5 38,56.Laanchuradelfosoes20,5mylaalturadelatorre38,56m.
37.Cuandolosrayosdelsolincidenconunángulode78ºlato-rreEiffelproyectaunasombrade69,5m.Calculasualturaaproximada.
Hayquecalcularelcatetoverticaldeltriánguloadjunto:h 5 69,5 ? tag78º 5 327m
h
69,5 m
78º
78º
69,5 m
h
Fig. 10.46. Fig. 10.47.
jCuESTIonES báSICAS
1.Diquétipodeprocesosteparecenperiódicos.Sieselcaso,indicaelperiodo.a) Latemperaturamensualmediadetuciudad.b) Laalturadelaválvuladeunaruedadebicicletaenmo-
vimiento.c) Lafrecuenciaconquesonríetuprofesoroprofesorade
matemáticas.d) Lasfaseslunaresalolargodeltiempo.
Periodos: a) 1año; b) dependedelavelocidad;c) no; d)29,5días.
2. Unanoriadeferiade15metrosdediámetrocomienzaagirar.Hazungráficoqueindiquelaalturadeunadesusbarcasdurantedosvueltas.¿Quéperiodotiene?
15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3
6
9
12
12 13 14 15 16 17 18 19
Fig. 10.48.
Periodo 5 dependedelavelocidad;amplitud 5 15m
3.Dibujaunafunciónperiódicadeperiodo5,conunmáximoenx 5 2quevale6,yunmínimoenx 5 4cuyovalores1.
21 x
y
1 2 3 4 5 6
1
722
23456
9 10 11
Fig. 10.49.
4.¿Cuántosradianesson60º,90º,180ºy240º?
p/3;p/2;p,4p/3
5.¿Cuántosgradossonp/4y5p/3?
45º,300º
6.Hallaconlacalculadora:sen60º,cos80º,tagp/3.
0,866;0,1734;1,732
7.Hallaconlacalculadoraarcsen(21/2)yarccos0,6428.
210ºy330º;50ºy310º
8.CalculalalongituddelparalelocorrespondientealCírculoPolarÁrtico,sisulatitudes66º30´N.(PuedestomarelradiodelaTierraR 5 6370km.)
L 5 2p ? 6370 ? cos66º30´515959km
9.A partir de la función y 5 cos x dibuja la gráfica def x x( ) cos512 .
21 x
y
1 2 3 4 5 6
1
7
3p/2
22
2p/2 p/2 p 2p
23
y 5 cos x
y 5 1 2 cos x
Fig. 10.50.
10.Resuelvelasecuaciones:a) senx 5 20,5 b) cosx 5 0,866
a) x 5 arcsen(20,5) 5 210ºy330º(másvueltas)b) x 5 arccos0,866 5 30ºy330º(másvueltas)
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80 ESTADÍSTICA BÁSICA11
jACTIVIDADES
1.Laedaddelas130personasquerealizaronelexperimentoanteriorsedaacontinuación:
15171921221819221519232418171616192419181722232117232416171819202021221817191921151719182218192321171722232117232324161724161718192120212218171918211517192122181923211723242321171820192115171617161719202021221817181917202324161716171819201921221817191921151719
a)Agrupalasedadesporaños. b)Daunatabladefrecuenciasyporcentajes,simple(para
cadaaño)yacumulada.
Edad fi % Fi
15 6 4,62 616 9 6,92 1517 25 19,23 4018 16 12,31 5619 22 16,92 7820 8 6,15 8621 16 12,31 10222 10 7,69 11223 11 8,46 12324 7 5,38 130
2.Elprecio(eneuros)delasdiferentescorbatasqueseven-denenunosgrandesalmaceneses:81017342516121218151812.Construyeeldiagramadetalloyhojas.0 81 0 2 2 2 5 6 7 8 82 5 3 4
0 8 representa 8 €
3.SegúnlaEncuestadePresupuestosFamiliares(deEspaña),elgastomedioporhogarenelaño2004sedistribuyócomoseindicaenlatablaadjunta.
Alimentación 4 215Vestido y calzado 1 451Vivienda 5 963Gastos de casa 1 679Gastos diversos 9 381Total 22 689
Representaestosdatosmedianteundiagramadesectores.
Alimentación421519%
Vestido14516%
Vivienda596323%
Casa16797%
Diversos938142%
Fig.11.1.
4.Paralosmismosalumnos,hallalosdecilesprimeroynove-noyladiferenciaD9 2 D1.
D1 (posición 21ª): 90 932
921 ?8≈
D9(posición 189ª): 122 1217
1281 ?8≈
D9 2 D1 5 36
5. ConlosdatosdelatablaComparativadepreciosen2006,determinaelprecioeneurosdeunacajetilladetabacoencadaunodelospaísesconsiderados,suponiendoquesupre-cioenEspañaesde3€.
Para Alemania:
Si a 64 3 € a 119 PALE PALE 5
3·119
64 5 5,58 €
De manera análoga, los precios en los demás países serán:
PBEL 5 3·100
64 5 4,69; PDIN 5
3·115
64 5 5,39; PALE 5 3
PEST 5 3·41
64 5 1,92; PFRA 5
3·133
64 5 6,23;
PIRL 5 3·186
64 5 8,72; PITA 5
3·99
64 5 4,64;
PPOL 5 3·44
64 5 2,06; PRUM 5
3·32
64 5 1,5 €
Por orden: 5,58; 4,69; 5,39; 3; 1,92; 6,23; 8,72; 4,64; 2,06; 1,5 euros.
6.Elpesodelasalumnasanterioresera,respectivamente,51,53,55,57,49y56.
a) Hallasumediaydesviacióntípica. b) Despuésde leer el apartado siguiente, indica cuálde
lastresdistribuciones2altura,pesoozapato2esmásdispersa.
a) x 5 53,5; s 5 2,81 b) CV(altura) 5 0,027; CV(zapato) 5 0,043; CV(peso) 5 0,053 La distribución de pesos es la más dispersa.
jProblEmAS ProPuESToS
Tipo I. Tablas y gráficos estadísticos
1. Losmédicosdeguardiadeuncentrodesaludatendieronen30nocheslassiguientesurgencias:
220613251023163 140110104023140
Hazunatabladefrecuenciasyporcentajes,simpleyacu-mulada.Dibujaelcorrespondientediagramadebarras.
Sol_1CCSS_11a14.indd 80 12/5/08 15:35:12
81ESTADÍSTICA BÁSICA 11
Urgencias fi Fi fri % %a0 7 7 0,233 23,3 23,31 8 15 0,267 26,7 502 5 20 0,167 16,7 66,73 4 24 0,133 13,3 804 3 27 0,100 10 905 1 28 0,033 3,3 93,36 2 30 0,067 6,7 100TOTALES 30 1 100
Fig. 11.2.
2. EnlasiguientetablasedanlosdatoscorrespondientesalasnotasdeMatemáticasde60alumnosde1ºBachillerato.
NOTAS IN[1, 5)
SF[5, 6)
BI[6, 7)
NT[7, 9)
SB[9, 10]
Nº de alumnos 20 13 12 10 5
a)Haz una tabla de frecuencias y porcentajes, simple yacumulada.
b) Dibujaelcorrespondientehistograma.c) Representalosdatosmedianteundiagramadesectores
ymedianteunapoligonalacumulativa.
a) Notas M.c. fi Fi fri % %a[1, 5) 3 20 20 0,333 33,3 33,3[5, 6) 5,5 13 33 0,217 21,7 55[6, 7) 6,5 12 45 0,200 20 75[7, 9) 8 10 55 0,167 16,7 91,7[9, 10] 9,5 5 60 0,083 8,3 100TOTALES 60 1 100
b) La altura de cada rectángulo se halla dividiendo la frecuen-cia que representa entre la longitud del intervalo:
20 : 4 5 5; 13 : 1 5 13; 12 : 1 5 12; 10 : 2 5 5; 5 : 1 5 5.
Fig. 11.3.
00123456789
1 2 3 4 5 6 7Urgencias
Frec
uenc
ia
00123456789
1 2 3 4 5 6 7Urgencias
Frec
uenc
ia
0
2468
101214
1Notas
2 3 4 5 6 7 8 9 100
2468
101214
1Notas
2 3 4 5 6 7 8 9 10
c) La asignación de sectores para cada nota es:
IN: 120º; SF: 78º; BI:72º; NT: 60º; SB: 30º.
Fig. 11.4.
Fig. 11.5.
3.Los perímetros de35pinos de unparque,medidos a unmetrodelsuelo,fueronlossiguientes(encm):
465465477548546549735057 704958637161737259626660 6763716057616749525562 a) Agrupaestosdatosenintervalosdeamplitud5, indi-
candomarcasdeclaseyfrecuencias. b) Representaelhistogramaasociado.
a)
Intervalo M.c. fi
45,5 2 50,5 48 750,5 2 55,5 53 455,5 2 60,5 58 660,5 2 65,5 63 865,5 2 70,5 68 470,5 2 75,5 73 6
b) La altura de cada rectángulo se halla dividiendo la frecuen-cia que representa entre la longitud del intervalo:
7 : 5 5 1,4; 4 : 5 5 0,8; 6 : 5 5 1,2; 8 : 5 5 1,6; 4 : 5 5 0,8; 6 : 5 5 1,2.
Fig. 11.6.
IN33%SB
8%
NT17%
BI20%
SF22%
IN33%SB
8%
NT17%
BI20%
SF22%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
20
30
40
50
60
Notas
Núm
ero
de a
lum
nos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
20
30
40
50
60
Notas
Núm
ero
de a
lum
nos
0,4
45,5Diámetro (cm)
50,5 55,5 60,5 65,5 70,5 75,5
0,81,21,6
0
1,4
0,81,2
1,6
0,81,2
0,4
45,5Diámetro (cm)
50,5 55,5 60,5 65,5 70,5 75,5
0,81,21,6
0
1,4
0,81,2
1,6
0,81,2
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82 ESTADÍSTICA BÁSICA11
4. Organizalosdatosanterioresmedianteundiagramadeta-lloyhojas,yrepresentaelgráficodecajasybigotesco-rrespondiente.
Ordenamos los datos de menor a mayor:46 47 48 49 49 49 50 52 54 54 55 57 57 58 59 60 60 61 61 62 62 63 63 65 65 66 67 67 70 71 71 72 73 73 75Ahora confeccionamos el siguiente diagrama.
4 6 7 8 9 9 95 0 2 4 4 5 7 7 8 9
6 0 0 1 1 2 2 3 3 5 5 6 7 7
7 0 1 1 2 3 3 5
4 6 indica 46 cm
Como hay 35 datos, la mediana es el valor del dato que ocupa la posición 18ª, que es 61: los cuartiles C1 y C3 valen, respectiva-mente, 54 y 67 (posiciones 9ª y 27ª). Se obtiene así:
Fig. 11.7.
5.ElnúmerodeturismosmatriculadosenEspaña,paraelpe-ríodo199622005,sedaenlasiguientetabla:
Año 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005Miles de turismos
911 1 016 1 193 1 406 1 381 1 426 1 332 1 382 1 517 1 529
a)Tomandocomobase100elnúmerodeturismosmatri-culadosenelaño1996,expresaennúmerosíndiceslavariacióndelaserie.
b)Representalosdatosmedianteunapoligonalsimple.
a) Si asignamos a 1996 la base 100, multiplicando el número
de vehículos matriculados en cada año por 100911
, se obtiene:
Año 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Miles de turismos
911 1 016 1 193 1 406 1 381 1 426 1 332 1 382 1 517 1 529
Índice 100 111,5 131 154,3 151,6 156,5 146,2 151,7 166,5 167,8
b)
Fig. 11.8.
40 50 60 70 80
54 61 677546
40 50 60 70 80
54 61 677546
1996
200
400
600
800
1000
1200
199719981999200020012001200320042005
1400
1600
Año
Mile
s de
tur
ism
os
1996
200
400
600
800
1000
1200
199719981999200020012001200320042005
1400
1600
Año
Mile
s de
tur
ism
os
6.Lasuperficie(enmilesdekm2)delos7paísesmásgrandesdelmundoes:
País Superficie (miles de km2)
Rusia 17 075
Canadá 9 976
China 9 561
Estados Unidos 9 373
Brasil 8 512
Australia 7 687
India 3 288
a)Dalasextensionesenmilesdekm2ennúmerosíndice,tomandocomobaselaextensióndeAustralia.
b)Sabiendoquelasuperficiehabitable(tierrafirme)delmundoes133342000km2,representaenundiagramade sectores las superficiesde los7paísesanterioresjuntoconladelrestodelmundo.
a) Si asignamos a Australia la base 100, multiplicando la
superficie de cada país por 1007687
se obtiene:
Rusia: 222,1 Canadá: 129,8 China: 124,4 Estados Unidos: 121,9 Brasil: 110,7; India: 42,8
La superficie del resto del mundo es: 67 870 000 km2. La asignación de sectores para cada superficie es: Rusia: 46,1º; Canadá: 26,9º; China: 25,8º Estados Unidos: 25,3º; Brasil: 23º; Australia: 20,8 India: 8,9º; Resto del mundo: 183,2º
b)
Fig. 11.9.
7.Laesperanzadevidaendiversaspartesdelmundoenelaño2001era:
Hombres MujeresTotal mundial 63,9 68,1África 50,5 52,1Asia 65,8 69,2Europa (sin Rusia) 69,6 77,9España 75,4 82,3América del Sur 66,7 73,6América del Norte 74,7 80,5Oceanía 72 76,9Federación rusa 60 72,5
Rusia
CanadáChina
EstadosUnidos
Brasil
AustraliaIndia
Resto del mundo
Rusia
CanadáChina
EstadosUnidos
Brasil
AustraliaIndia
Resto del mundo
Sol_1CCSS_11a14.indd 82 12/5/08 15:35:29
83ESTADÍSTICA BÁSICA 11
Representagráficamenteestosdatosmedianteundiagra-madebarras.
Fig. 11.10.
8.Laprecipitación(P)y la temperaturamediamensual(T)registradasenSoriaalolargodelañoson:
Mes E F M A M J J A S O N DP (mm) 44 45 48 47 62 55 32 31 47 46 49 55T (ºC) 1,3 3,1 5,6 7,5 10,6 15,6 18,1 18,1 15 9,4 5,6 3,1
Representagráficamenteestosdatosmedianteunclimo-grama.
Fig. 11.11.
Tipo II. Parámetros estadísticos
9.Sieteestudianteshanleídoestecursoelsiguientenúmerodelibros:
3456575 Paraestosdatos,determina: a) Lamedia; b) Lamediana; c) Lamoda; d) Elrango.
a) 5 b) 5c) 5d) 4
010203040506070
Espe
ranz
a de
vid
a (a
ños)
8090
Total
mun
dialÁf
rica
Asia
Europ
a (sin
Rusia
)
Espa
ña
Améri
ca de
l Sur
Améri
ca de
l Nort
e
Ocea
nía
Fede
ración
rusa
Hombres
Mujeres
010203040506070
Espe
ranz
a de
vid
a (a
ños)
8090
Total
mun
dialÁf
rica
Asia
Europ
a (sin
Rusia
)
Espa
ña
Améri
ca de
l Sur
Améri
ca de
l Nort
e
Ocea
nía
Fede
ración
rusa
Hombres
Mujeres
0
10
20
30
40
0E F M A M J J A S O N D
1020304050607080
SoriaT (ºC) P (mm)
0
10
20
30
40
0E F M A M J J A S O N D
1020304050607080
SoriaT (ºC) P (mm)
10.Enunaempresahay3directivos,50operariosy8vende-dores.Lossueldosmensuales,eneuros,decadacategoríasonlossiguientes:directivos,4000;operarios,1400;ven-dedores,2000.
a) Hallalamoda,lamedianaylamediadelossueldos. b) ¿Quémedidaesmásrepresentativadelpromedio?
a) Mo 5 1 400 €; Me 5 1 400 €; xp 5 1 606,56 €.
b) Las tres.
11.Enprimerodebachilleratodeun centroescolarhay tresgrupos,A,ByC,con30,35y25alumnos,respectivamen-te.LanotamediaenMatemáticasfue,tambiénrespectiva-mente,de5,3,6,5y5,6.HallalanotamediadeMatemáti-casdetodoslosalumnosdeprimero.
xp5
30 5 3 35 6 5 25 5 690
? 1 ? 1 ?, , , 5 5,85
12.Lasalturasencentímetrosde20personasson: 162,176,189,178,167,185,160,171,167,173, 183,182,172,165,176,177,169,186,171,179. Calculalamediaaritmética. Agrupalosdatosenseisintervalosdeamplitud5ycalcula
lamediadealturasutilizandoladistribuciónobtenida. Siambosvaloresnocoinciden,explicaporqué.
a) x 5 174,4 cm
b) Intervalo M.c. fi159,5 2 164,5 162 2164,5 2 169,5 167 4169,5 2 174,5 172 4174,5 2 179,5 177 5179,5 2 184,5 182 2184,5 2 189,5 187 3
x 5 174,5 cm
c) Debido a la agrupación de los datos.
13.Para los datos anteriores, agrupados en los intervaloshallados, dibuja el histograma y la poligonal acumuladacorrespondiente.
Fig. 11.12.
0,2
162
0,40,60,8
0167 172 177 182 187
1
2
4 45
23
10
2025
5
159,5
15
0164,5 169,5 174,5 179,5 184,5 189,5
0 26
1015
1720
0,2
162
0,40,60,8
0167 172 177 182 187
1
2
4 45
23
10
2025
5
159,5
15
0164,5 169,5 174,5 179,5 184,5 189,5
0 26
1015
1720
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84 ESTADÍSTICA BÁSICA11
14.Elgráficosiguienterepresentalospesos(enkg)deungru-posimilardehombresymujeres.
Fig. 13.13.
a)Indicalosvaloresdelasmedianasrespectivas.b)¿Cuántovaleencadacasoelrangointercuartílico?c)¿Hayalgúnelementoextraño?¿Cuálessupeso?d) ¿Quéporcentajedemujerespesaentre40y50kg?e)¿Dónde se da más homogeneidad de pesos, entre los másflacosoentrelosmáspesados?
a) Mujeres: Me 5 56, Hombres: Me 5 70b) Mujeres: C3 2 C1 5 64 2 50 5 14; Hombres: C3 2 C1 5 79 2 63 5 16c) En el caso de los hombres hay dos elementos extraños, que pesan 110 y 115 kgd) El 25%.e) En los dos caso, entre los más flacos, pues la longitud del bigote de la izquierda es más pequeña.
15.Elcocienteintelectualdelos210alumnosdeuncentrodebachilleratosedaenlatablaadjunta:a) Calculaloscuartilesyelrangointercuartílico.b) Hallaladiferenciaentrelosdeciles3y6.c) Calculalapuntuaciónnecesariaparaperteneceral15%
dealumnosconmayorcocienteintelectual.
Intervalo [82,90) [90,98) [98,106) [106,114) [114,122) [122,130) [130,138) [138,146)Frecuencia 12 32 49 54 30 17 11 5
Para contestar a estas preguntas es necesario hallar la tabla de frecuencias acumuladas.
Intervalo [82,90) [90,98) [98,106) [106,114) [114,122) [122,130) [130,138) [138,146)Frecuencia 12 32 49 54 30 17 11 5Frecuencia acumulada
12 44 93 147 177 194 205 210
a) La posición de C1 es 53. Por tanto, C1 5 98 1 9 ? 849
5 99,5.
La posición de C2 es 105.
Por tanto, C2 5 106 1 12 ? 122 1217
1281 ?8≈ 5 107,8.
La posición de C3 es 158.
Por tanto, C3 5 114 1 11 ? 830
5 116,9
Recorrido intercuartílico: C3 2 C1 5 17,4.
b) La posición de D3 es 63.
Por tanto, D3 5 98 1 19 ? 849
5 101,1.
La posición de D6 es 126.
Por tanto, D6 5 106 1 33 ? 854
5 110,9.
D6 2 D3 5 9,8
40 50 60 70 80
7963 7010347
30 90 100 110 120
56 648240
50
115
Kg40 50 60 70 80
7963 7010347
30 90 100 110 120
56 648240
50
115
Kg
c) Hay que calcular el percentil 85, cuya posición es 179.
Por tanto, P85 5 122 1 2 ? 817
5 122,9.
16.Hallalamediayladesviacióntípicadelosdatoscorres-pondientesaldiagramadetalloyhojasdadoenelEjem-plo2,cuyosdatoseran:
3 74 35566777895 0012345676 01237 7
3 7representa37kilos
x 5 52,04 kg; s 5 8,08 kg
17. En 2001, la mortalidad infantil (total por 1000 nacidosvivos)paralospaísesafricanosqueseindicanera:País Burundi Eritrea Etiopía Kenya Madagascar MalawiMortalidad 111 82 106 59 91 130
Calculalamediayladesviacióntípicadelatasademorta-lidadinfantilparaesosseispaíses.
x 5 96,5; s 5 22,6
18.En2001,lamortalidadinfantilparalospaíseseuropeosqueindicanera:País Albania Bosnia Croacia Eslovenia España GreciaMortalidad 25 14 8 6 5 6
Calculalamediayladesviacióntípicadelatasademortali-dadinfantilparaesosseispaíses.
x 5 10,67; s 5 7,1
19.EnelProblemaresuelto1sedanlosdatosdetemperaturayprecipitacióndeCastellón.CompáralosconlosdeSoria(Problemapropuesto8),hallando:a) Medias.b) Desviacionestípicas.c) Coeficientesdevariación.
C representa a Castellón y S a Soria.a) Temperatura: x(C) 5 17,125; x(S) 5 9,42 Precipitación: x(C) 5 37,25; x(S) 5 46,75
b) Temperatura: s(C) 5 5,007; s(S) 5 5,77 Precipitación: s(C) 5 14,77; s(S) 5 8,43 c) Temperatura: CV(C) 5 29,2%; CV(S) 5 61,3% Precipitación: CV(C) 5 39,7%; CV(S) 5 18% Las temperaturas de Castellón son menos dispersas que las de
Soria, sin embargo son más dispersas las precipitaciones.
20.Losrendimientosmedios(enkilogramosporhectárea)enEspaña,paraloscerealesqueseindican,fueron:
Año 1999 2000 2001 2002 2003Trigo 2 150 3 100 2 300 2 830 2 840Maíz 9 450 9 220 9 720 9 510 9 110
Hallalosrendimientosmediosparaelquinqueniodecadacereal.¿Quécerealesmásfiable?
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85ESTADÍSTICA BÁSICA 11
T representa al trigo y M al maíz.x(T) 5 2 644 kg/ha s(T) 5 358,7 kg/hax(M) 5 9 402 kg/ha s(M) 5 216 kg/haCV(T) 5 13,57% CV(M) 5 2,3%Es más fiable el maíz.
Tipo III. Problemas varios
21.Auncongresoasistenseismujerescuyasedadesson: 273438423336
a) Calculalamediayvarianzadesusedades.b) Cinco años después coinciden las mismas mujeres.
Apartirdeloscálculosanteriores,hallalanuevamediayvarianzadesusedades.
a) x 5 35 años. s2 5 21,33b) Pasados 5 años las edades son: 32, 39, 43, 47, 38, 41. Como vimos en el problema resuelto 10, la nueva me-
dia x[15] 5 x 1 5 5 35 1 5 5 40 y la nueva varianza s2[15] 5 s2 5 21,33.
22.UnapersonaviajadePontevedraaValladolidaunaveloci-dadmediade90km/hyregresaaunamediade110km/h.Hallalavelocidadmediadelviajecompleto.
Tiempo de ida: t1 5 e90
Tiempo de vuelta: t2 5 e
110
Velocidad media 5 2
1 2
et t1
5 99 km/h.
23.Elsiguientegráficorepresentauntotalde600elementos.¿Cuáleslafrecuenciadecadacategoría?
Categoría fi
A 40B 110C 120D 150E 180
Fig. 11.14.
24.Hallalatabladefrecuenciasasociadaaestehistograma:
Fig. 11.15.
Intervalos [1, 4) [4, 6) [6, 7) [7, 11)fi 6 12 3 4
A
B
C
D
E66º
24º
72º90º
108º
A
B
C
D
E66º
24º
72º90º
108º
0
2
4
6
1
3
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110
2
4
6
1
3
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
jCuESTIonES báSICAS
1. Representaestosdatosmedianteundiagramadesectores.
Europeos1 500
Suramericanos1 000
Africanos750
Asiáticos250
Otros500
Fig. 11.16.
2. ¿Seríaadecuadorepresentarlosconunhistograma?Justifi-caturespuesta.No: son datos de carácter discreto.
3. ¿Ymedianteunalíneapoligonalsimple?¿Yacumulativa?Tampoco. Por lo mismo y porque son heterogéneos.
4. Apartirdeesosdatos, indica,explicandoelporqué,quémedidadecentralizaciónpodríacalcularse:a)¿Lamedia?;b)¿Lamediana?;c)¿Lamoda?La moda.
5. Representalapoligonalacumuladacorrespondiente.
Fig. 11.17.
6.Hallalamediadevisitantesmensuales.
x 524700
6 5 4 116,7
7.Hallaelrangodeedades,lamodaylamediana.
Rango: 52 2 18 5 34; moda: 24; mediana: (elemento 11º) 28.
8.Calcula,conayudadelacalculadoraenelmodoestadísti-co,lamediayladesviacióntípicadelasedades.
x 5 29,43, s 5 8,9
9. Hallaelcoeficientedevariacióndelaedad.
CV 5 8 9
29 43,,
50,302
10.Si la estatura de esos ciclistas se distribuye con media172cmydesviacióntípica18cm,quévariableesmásdis-persa,¿laedadolaestatura?
CV(Estaturas) 5 18172
5 0,105.
Es más dispersa la variable edad.
10 000
20 00025 000
5 000
15 000
0Ene Feb Mar Abr May Jun
30 000
2 500 4 3007 300
12 700
18 900
24 700
10 000
20 00025 000
5 000
15 000
0Ene Feb Mar Abr May Jun
30 000
2 500 4 3007 300
12 700
18 900
24 700
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86 DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES12
jACTIVIDADES
1.Ochoalumnos,tomadosalazar,teclean40líneasdetextoenunordenador.Eltiempoempleado,enminutos,yelnú-merodeerrorescometidos,fueron:
Tiempo (X) 9 10 12 13 15 15 22 25
Errores (Y) 18 20 30 15 21 10 32 20
a) ¿Existecorrelaciónentrelosdatos?b)Da una explicación de las diferencias respecto al ejercicioanterior.
a) La nube de puntos asociada sugiere una correlación lineal muy débil.
Fig. 12.1.
b) En el ejemplo 1, las 8 personas tenían una destreza similar; por tanto, a más tiempo, menos errores. Aquí, los 8 alumnos han sido elegidos al azar.
2. Hallaelcoeficientedecorrelacióndeladistribucióndadaporlasiguientetabla:
X 4 7 3 9
Y 3 6 7 5
x 5 5,75; sx 5 2,385 y 5 5,25; sy 5 1,479sxy 5 20,188; r 5 20,053
3. a) Hallalarectaquemejorseajustealosdatos:
X 1 3 4 5 6
Y 3 4 6 6 8
b)Medianteesa recta, estimael valor deY parax 5 2y x 5 7.
a) y x51 7027 0 972973, ,1 ; r 5 0,96 b) 3,648 y 8,5135
4.Enunapoblación,lamediadelpesodesushabitantesesde65kgyladelaestaturaes170cm,siendosusdesviacionestípicasde5kgy10cm,respectivamente.Sesabeademásqueelcoeficientedecorrelaciónlinealentreambasvaria-blesesde0,8.
5 10 15 20 25 30
51015202530
Tiempo
Erro
res
5 10 15 20 25 30
51015202530
Tiempo
Erro
res
a)Hallalasdosrectasderegresión.b)¿Cuánto se estimaquepesará un individuo quemide 180cm?¿Quéalturacorrespondeaunpesode75kg?
a) y x2 2170 1 6 655 , ( ); x y2 265 0 4 1705 , ( ). b) 69 kg; 186 cm.
jProblEmAS ProPuESToS
Tipo I. Correlación a partir de nubes de puntos
1.Elnúmerodeespañolesocupados(enmillones)enlaagri-cultura,paralosañosqueseindican,era:
Año 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994
Ocupados 2,1 2,04 1,96 1,74 1,69 1,49 1,25 1,16
a) ¿Podríaexplicarsesuevoluciónmedianteunarectade regresión?b) ¿Qué limitaciones tendrían las estimaciones hechas poresarecta?
a) Sí, pues la nube de puntos se ajusta bien a una recta.
Fig. 12.2.
b) Esta recta de regresión no sería válida para hacer estimacio-nes alejadas de los años considerados. Por ejemplo, para el año 2011 obtendríamos 20,0341 millones de ocupados en la agricultura; cifra que carece de sentido.
(La recta de regresión es Y 5 20,071369 (X 2 1980) 1 2,17833. El coeficiente de correlación lineal vale r 5 20,986392.)
2.Eldepartamentodecontroldecalidaddeunaempresadeinstalacióndecomponenteselectrónicosdeseadeterminarlarelaciónentrelassemanasdeexperienciadesustraba-jadores(X)yelnúmerodecomponentesrechazadosaesostrabajadores(Y)lasemanaanterior.
Trabajador examinado A B C D E F G H I J
Semanas deexperiencia (X)
7 8 10 1 4 5 15 18 4 8
Número derechazos (Y)
22 35 15 42 26 30 16 20 31 23
a) Representaeldiagramadedispersiónasociadoaesos datos.¿Sugierelagráficaalgunaasociaciónlineal?b) ¿Cómocalificaríaslacorrelación?
y
x80 82 84 86 88 90
123
92 94
y 5 20,0714x 1 7,8879
r2 5 0,973
y
x80 82 84 86 88 90
123
92 94
y 5 20,0714x 1 7,8879
r2 5 0,973
Sol_1CCSS_11a14.indd 86 12/5/08 15:36:27
87DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES 12
a)
Fig. 12.3.
Podrá ajustarse la recta trazada.b) La correlación parece fuerte e inversa.
3. Dosconjuntosdedatosbidimensionalestienencomocoefi-cientesdecorrelaciónr 5 20,83,r 5 0,51.a)Representa gráficamente dos conjuntos de puntos cuyas correlaciones reflejen aproximadamente las dadas.b) Razonacuáldelosdosconjuntosestarámásconcentrado respectoasuscorrespondientesrectasderegresión.
a) Por ejemplo:
Fig. 12.4.
b) La concentración será mayor cuando la correlación sea más fuerte, y esto sucede cuando r 5 20,83.
4. Asocialasrectasderegresión y 5 2x 116,y 5 2x 2 12,y 5 0,5x 1 5 alasnubesdepuntossiguientes:
Fig. 12.5.
y 5 2x 116 (c); y 5 2x 2 12 →(b); y 5 0,5x 1 5 →(a)
5.Asigna los coeficientes de correlación lineal r 5 0,4,r 5 20,85yr 5 0,7,alasnubesdepuntosdelproblemaan-terior.
a) 0,4; b) 0,7; c) 20,85.
4 8 12
51015202530303540
16Experiencia
Nº d
e re
chaz
os
204 8 12
51015202530303540
16Experiencia
Nº d
e re
chaz
os
20
x
yr = 20,83
x
y r = 0,51
x
yr = 20,83
x
y r = 0,51
8 16
48
1216
4 12
y
x
(a)
8 16
48
1216
4 12
y
x
(b)
8 16
48
1216
4 12
y
x
(c)
8 16
48
1216
4 12
y
x
(a)
8 16
48
1216
4 12
y
x
(b)
8 16
48
1216
4 12
y
x
(c)
6. Enelaño1995,larentapercápitaporhabitanteylaes-peranzadevidaparalamujer,enseispaíses,sedaenlasiguientetabla:
Renta (miles de $) 11,7 0,6 2,4 1,7 3,1 10Esperanza de vida 75 54 70 55 70 72
a)Representalanubedepuntosasociada.b)¿Qué tipo de correlación observas? ¿Piensas que es
lineal?(Tedamosotrospuntosparaquecontrastestuopinión:(1,5,72),(15,7,79),(0,9,61),(8,5,75).)
a)
Fig. 12.6.
b) Con los puntos dados inicialmente podría suponerse que la correlación es lineal; de hecho, r 5 0,7547. No obs-tante, la correlación adecuada es exponencial (o loga-rítmica) aunque con los nuevos datos no termine de verse claro. Piénsese que para países con esperanza de vida muy baja, un mínimo incremento en la renta produce notables aumentos en la esperanza de vida, mientras que para países con vida media muy alta es muy difícil aumen-tarla.
La relación renta2esperanza de vida se ajustaría a una curva como la siguiente.
Fig. 12.7.
7. Sehantomadoochomedidasdelatemperatura(X) deunabateríaydesuvoltaje(Y),y seobtuvieron lossiguientesdatos:
X: temperatura 10,0 10,0 23,1 23,5 34,0 34,5 45,0 45,6Y: voltaje 430 425 450 460 470 480 495 510
a) Sinefectuarcálculos,razonacuáldelassiguientesrec-taseslarectaderegresióndeYsobreXparalosdatosanteriores:
y 5 350 2 2,1x y 5 460 2 2,1x y 5 406 1 2,1x b)Para25grados,¿quévoltajeseríarazonablesuponer?
a) Puede observarse que al aumentar la temperatura también lo hace el voltaje; por tanto, la correlación es positiva. Como el signo de la correlación es el mismo que el de la pen-diente de la recta de regresión, la única recta posible es y 5 406 1 2,1x.
b) Para esa ecuación, si x 5 25 se tiene y 5 406 1 2,1 ? 25 5 5 458,5.
4 8
50607080
2 6 10
Espe
ranz
a de
vid
a
Renta4 8
50607080
2 6 10
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vid
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Renta
4 8
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vid
a
Renta4 8
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2 6 10
Espe
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vid
a
Renta
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88 DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES12
Tipo II. Cálculo de la correlación y regresión
8. ¿Quéseentiendeporcorrelaciónentrevariables?¿Quéesel coeficiente de correlación lineal? ¿Qué valores puedetomaresecoeficiente?Sielcoeficientedecorrelaciónescero,¿cómosonlasvariables?
Ver parte teórica.
9. Paralosdatosdelproblema2,hallaconayudadelacalcu-ladora:a)Lasmediasydesviacionestípicasmarginales.b)Lacovarianza.c)Elcoeficientedecorrelaciónlineal.d)LarectaderegresióndeYsobreX.e)El número de rechazos que hay que esperar para una personacon20semanasdeexperiencia.
Sumas:
xi∑ 5 80; y
i∑ 5 260; xi2∑ 5 884; y
i2∑ 5 7 420;
x yi i∑ 5 1 788
a) x 5 8; sx 5 4,93963; y 5 26; sy 5 8,12403b) sxy 5 178,8 2 8 ? 26 5 229,2c) r 5 229,2 /(4,93963 ? 8,12403) 5 20,72763d) y 5 21,19672x 1 35,5737e) 11,6, que aproximamos a 12.
10.a) CalculalarectaderegresióndeY sobreX enladistribu- ciónsiguienterealizandotodosloscálculosintermedios.
X 10 7 5 3 0Y 2 4 6 8 10
b) ¿Cuáleselvalorquecorresponderíasegúndicharecta aX 5 7?
Formamos la tabla:
X Y X2 Y2 X?Y
10 2 100 4 20
7 4 49 16 28
5 6 25 36 30
3 8 9 64 24
0 10 0 100 0
SXi 5 25 SYi 5 30 SXi2 5 183 SYi
2 5 220 SXiYi 5 102
Se obtiene.
a) x 55; sx2 2183
55 11 65 52 , ; y 56; s
xy5 5
1025
5 6 9 62 ? 2 ,
La ecuación de la recta de regresión es
y y
s
sx xxy
x
2 252( ) ⇒ y 5 20,8276x 110,138
b) Si X 5 7 ⇒ Y 5 4,3448.
11.Elnúmerodebacteriasporunidaddevolumen,presentesenuncultivodespuésdeunciertonúmerodehoras,vieneexpresadoenlasiguientetabla:
X: Nº de horas 0 1 2 3 4 5Y: Nº de bacterias 12 19 23 34 56 62
Calcula:a)Las medias y desviaciones típicas de las variables, númerodehorasynúmerodebacterias.b) Lacovarianzadelavariablebidimensional.c) Elcoeficientedecorrelacióneinterpretación.d) LarectaderegresióndeYsobreX.
Sumas:
xi∑ 5 15; y
i∑ 5 206; xi2∑ 5 55; y
i2∑ 5 9 170;
x yi i∑ 5 701
a) x 5 2,5; sx 5 1,70782; y 5 34,3333; sy 5 18,6964b) sxy 5 31c) r 5 0,97086d) y 5 10,6285x 1 7,7619
12.Seestáexperimentadolaresistenciaalaroturadeunade-terminadfibratextil.Paraello,sehamedidoeldiámetrodelafibrayelpesoquesoportahastalarotura,obtenién-doselossiguientesdatos:
Diámetro en mm (X) 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2Peso a la rotura en kg (Y) 12,5 18 25 32 41 52
a)Representaeldiagramadedispersiónasociadoaesos datos.¿Sugierelagráficaalgunaasociaciónlineal?b)¿Cómocalificaríaslacorrelación?
a)
Fig. 12.8.
Claramente se adivina una correlación linealb) Positiva y muy fuerte.
13.Conlosdatosdelproblemaanterior,halla:a)LarectaderegresióndeYsobreXydeterminalaresis-
tenciaalaroturadeunafibrade2,5mmdediámetro.b) LarectaderegresióndeXsobreYydeterminaeldiáme-
tromínimodeunafibraparaquesoportemásde60kg.Utilizando la calculadora:a) Y 5 39,0714 ? X 2 28,5238. Para X 5 2,5 mm, Y 5 69,1547 kgb) X 5 0,02522 ? Y 1 0,74112 Para Y 5 60 kg, X 5 2,25 mm
20,5 1 1,5
510152025303035404550
Diámetro (mm)
Resi
sten
cia
(kg)
20,5 1 1,5
510152025303035404550
Diámetro (mm)
Resi
sten
cia
(kg)
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89DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES 12
14.Sehamedidolatemperatura(enºC)ylapresiónatmosfé-rica(enmm)enunaciudad,alamismahoradesietedíasseguidos.Losdatosfueron:
Temperatura 15 16 17 20 18 16 12
Presión 800 810 800 820 810 780 750
a)Representaestosvaloresenformadenubedepuntos.b)¿De la representación anterior se puede deducir el tipodedependenciaquehayentrelatemperaturayla presión?c)Calculaelcoeficientedecorrelación.d) Halla la recta de regresión de presión sobre tempe- ratura.
a)
Fig. 12.9.
b) Directa.c) r 5 0,868655d) Presión 5 661,45 1 8,244 ? Temperatura. Observa: En vez de denominar a las variables correlacionadas
por las letras X e Y (o sus minúsculas), para evitar confusio-nes escribimos el nombre completo o una abreviatura lógica: esto es muy frecuente en los manuales de Estadística para Ciencias Sociales.
También es usual escribir la recta en la forma Y A BX5 1 , pues así aparece, en las calculadoras y en los programas por ordenador.
15.Latemperaturamediaanual,enºC,devariasciudades,yelgastomedioanualencalefacciónporhabitante(eneuros)fue:
Temperatura 10 12 15 16 18 22
Presión 250 200 140 100 80 20
a) Representa lanubedepuntosasociada.¿Quécorrela- ciónobservas?¿Esfuerte?b) Hallaelcoeficientedecorrelaciónylarectaderegre- sióndelgastosobrelatemperatura.c) ¿Quégastocabeesperarenciudadescontemperatura mediade8,17y26ºC?¿Teparecelógicoelresultado?
a)
Fig. 12.10.
14 18
750
775
800
825
12 16 20 T
P
14 18
750
775
800
825
12 16 20 T
P
8 1 6
50
100
150
200
4 12 20 T
G250
228 1 6
50
100
150
200
4 12 20 T
G250
22
Es inversa y muy fuerte.b) r 5 20,98792 G 5 430,655 2 19,2896Tb) G(8) 5 276,34 €; G(17) 5 102,71 €; G(26) 5 270,89 €. Los dos primeros resultados son lógicos. El tercer valor es
un disparate: por encima de una determinada temperatura el gasto en calefacción suele ser nulo, pero nunca negativo.
16.Latablasiguientemuestralasnotasobtenidaspor8alum-nos en un examen, las horas de estudio dedicadas a supreparación y las horas que vieron la televisión los díaspreviosalexamen.
Nota 5 6 7 3 5 8 4 9Horas de estudio 7 10 9 4 8 10 5 14Horas de TV 7 6 2 11 9 3 9 5
a) Representagráficamentelosdiagramascorrespondien- tesanota-estudioynota-TV.b) ¿Se observa correlación entre las variables estudia- das? ¿Dequé tipo? ¿Enqué caso estimasqueesmás fuerte?
a)
Fig. 12.11.
b) Sí. Directa; inversa. Parece más fuerte en la directa.
17. Conlosdatosdelproblemaanterior,hallaelcoeficientedecorrelacióndenota-estudioynota-TV.¿Quépuedededu-cirseconmásprecisiónconociendolanotaqueobtuvounapersonaenelexamen:eltiempoquededicóalestudiooelquededicóaverlatelevisión?
r(nota2estudio) 5 0,943382.r(nota2TV) 5 20,846283.El tiempo que dedicó al estudio.
18.Conlosdatosdelproblema16,hallalasrectasderegresióncorrespondientesyestimaparaunalumnoquesacóun2 enelexamen:a)Lashorasqueestudió.b)LashorasqueviolaTV.
Estudio 5 20,246753 1 1,46753 ? Nota.TV 5 14,1299 2 1,2987 ? Nota.2,7 horas; 11,5 horas.
19. Laaltura(encm),elpesoyelnúmerodezapatoqueusanochoalumnasdeprimerodebachilleratosedanenlasi-guientetabla:
6 1 2
3
6
9
12
3 9
Nota
Hor
as d
e es
tudi
o
6 1 2
3
6
9
12
3 9
Nota
Hor
as d
e TV
6 1 2
3
6
9
12
3 9
Nota
Hor
as d
e es
tudi
o
6 1 2
3
6
9
12
3 9
Nota
Hor
as d
e TV
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90 DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES12
Altura 164 158 162 166 168 172 174 170Peso 52 55 53 50 51 56 52 53
Zapato 37 37 36 38 39 40 41 40
a)Representa lasnubesdepuntosasociadasa lospares devariablesaltura/pesoyaltura/zapato.¿Quécorrela- ciónobservas?b)Hallaelcoeficientedecorrelaciónencadaunodelos casos.
a)
Fig. 12.12.
En el primer caso no se observa correlación. En el segundo, la correlación es directa y fuerte.b) Altura2peso: r 5 20,0877557. Altura2zapato: r 5 0,920761.Nota: Para chicas jóvenes, en contra de lo que muchos suponen, no existe correlación clara entre la altura y el peso. En diversos muestreos, con alumnas entre 16 y 20 años, hemos obtenido valores de r muy próximos a cero, tanto positivos como nega-tivos.
20.Losgastosdeinversión(X),enmilesdeeuros,enlamoderni-zacióndeequiposinformáticosyelporcentajedeincrementodebeneficios(Y) dediezempresasdesimilarescaracterísti-cas,fueron:
Inversión (€) 3 3,5 8 11 2,5 8 6,5 5 15 7,5Incremento de beneficios(%)
3 4 10 8 6 9 7 5 12 7
Halla la rectade regresióndel incrementodebeneficiossobrelainversión.
Sean Y 5 incremento de beneficio; X 5 inversión.Se obtiene: Y 5 2,74444 1 0,00062222 ? X
Tipo III. Estimación a partir de la recta de regresión. Aplicaciones
21.Laaltura,encm,de8padresydelmayordesushijosvaro-nes,son:
Padre 170 173 178 167 171 169 184 175Hijo 172 177 175 170 178 169 180 187
a)Calculalarectaderegresiónquepermitaestimarlaal-turadeloshijosdependiendodeladelpadre;yladelpadreconociendoladelhijo.
160 170
50
52
54
56
155 165 175Altura
Peso
160 170
36
38
40
42
155 165 175Altura
Zapa
to
160 170
50
52
54
56
155 165 175Altura
Peso
160 170
36
38
40
42
155 165 175Altura
Zapa
to
b) ¿Quéalturacabríaesperarparaunhijosisupadremide174?¿Yparaunpadre,sisuhijomide190cm?
a) Hijo 5 68,1853 1 0,621859 ? Padre. Padre 5 77,4406 1 0,545082 ? Hijo.b) 176,4 para el hijo; 181 para el padre.
22.Losañosde7árbolesyeldiámetrodesutronco,encm,sedanenlasiguientetabla:
Años 2 4 5 8 10 14 20Diámetro 10 15 17 20 23 25 27
a) Calcula, utilizando la recta de regresión, el diámetroquesepuedepredecirparaárbolesde10y20años.
b) Comparaelresultadoanteriorconlosvaloresobserva-dosenlatabla.Razonaelporquédelasdiferencias.
a) X 5 años; Y 5 diámetro. x 59; sx 5 5,83; y 519 57, ; sy 5 5,55; r 5 0,93563 y 5 11,55 1 0,89 ? x.b) Y(10) 5 20,45; Y(20) 5 29,35. Las diferencias son debidas a que la recta de regresión da
una media del valor esperado.
23.Durante su primer año de vida han pesado aMarta cadames.Enlatablasiguientesedansuspesos:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12y 3,2 3,7 4,2 5,3 5,7 6,5 6,8 7,2 7,9 7,7 8 8,5
Enestatabla,xrepresentalaedadenmeseseyelpesoenkilogramos.a) Calculalamediayladesviacióntípicadelospesos.b) Determina la ecuación de la recta de regresión de y
sobre x, explicando detalladamente los cálculos quehacesylasfórmulasqueutilizas.
Utilizando calculadora se obtiene.a) y 56 225, , s
y51 7181,
b) y 5 0,48706x 1 3,05909 Otros resultados: r 5 0,97861; x 56 5, ; s
x53 45205,
24. Losmejoressaltosanuales(enmetros),deJonathanEdwards,plusmarquistamundialdetriplesaltoen1995,fueron:
Año 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995Salto 16,05 16,35 16,74 17,28 16,51 16,43 17,34 17,44 17,44 18,29
a) Calculalacorrelaciónaños-longituddesaltos. b)¿Puedeemplearselarectaderegresiónparaestimarlo
queEdwardssaltóen1980?;¿yenelaño2002?
Aconsejamos hacer el cambio X´ 5 2 1 986. Así, los datos anua-les son 0, 1, 2, …, 9.a) r 5 0,843038.b) No. En 1980 podría ser muy joven para saltar lo esperado. En el año 2002 puede ser viejo para seguir saltando. La recta de regresión es Salto 5 16,13 1 0,19 ? Año (Y 5 16,13 1 0,19 ? X´), que para los dos años indicados da- ría 14,99 y 19,17 m, respectivamente. Observa: En junio de 2006 el récord de Edwards no había sido batido.
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91DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES 12
25.Utilizando la recta de regresión de x sobre y correspon-dientealadistribuciónsiguiente:
x 5 altura sobre el nivel del mar 0 184 231 481 911y 5 temperatura media en ºC 20 18 17 12 10
Calculalaaltituddeunaciudadenlaquelatemperaturamediaesde15º.
Hay que calcular la recta de regresión de x sobre y:
x xs
sy yxy
y
2 252( ).
Con la calculadora se obtiene: x 5 1 595,7 2 80,2yPara y 5 15º, x 5 392,7 metros.(Otros parámetros: x 5 361,4; y 5 15,4; sx 5 314,8;sy 5 3,77)
26.Paraonceciudadesinglesassehamedidosualtitud(A,enmetros)y laprecipitacióntotal( ,enmm)paraunaño.Losdatossonlossiguientes:
Altitud 12 99 10 48 2 39 23 162 45 20 40Precipitación 658 1259 809 839 786 853 1150 1307 786 894 774
a) Representalosparesdedatos.¿seobservacorrelación linealentreellos?b) Hallaelcoeficientedecorrelaciónlinealycoméntalo.c) Hallayrepresentalarectaderegresióndelaprecipitación
sobre laaltitud.¿Haygarantíasdequeesarectapuedautilizarseparaestimarunavariableapartirdelaotra?
a)
40 80
600700800900
20 60 100
Prec
ipit
ació
n (m
m)
Altitud (m)
1000110012001300
110120140160
Fig. 12.13.
Hay correlación lineal directa.b) r 5 0,77362. Su valor es alto, por tanto podemos estimar
que, en general, a mayor altitud corresponderá mayor preci-pitación.
c) y 5 3,57x 1 757,24. El coeficiente de determinación vale r 2 5 0,598. Por tanto,
la altitud explica casi el 60 % de la variación de las precipi-taciones.
27.Sequiereconstruirunaescuelaalaqueacudanlosniñosyniñasde6pequeñosnúcleosdepoblacióndeunacomarca.Laposiciónsobreelplanoyelnúmerodeniñosdecadapueblosedanenlatabla:
Pueblo A B C D E FNiños 30 15 10 35 8 5
Posición (3, 4) (2, 5) (5, 4) (2, 2) (6, 6) (9, 4)
a) Determinaelpueblomásadecuadoparaconstruirlaes-cuela,sintenerencuentaelnúmerodeniños.
b) Hazlomismoteniendoencuentasunúmero.
a) Las coordenadas del centro medio son x 5 4,5, y 5 4,17. El pueblo más cercano a ese punto es C.b) Las coordenadas del centro medio ponderado son:
xp 5 3,23, y
p 5 3,62.
El pueblo más cercano a ese punto es A. (Quizá sea esta la mejor solución.) Véase el gráfico.
Fig. 12.14.
jCuESTIonES báSICAS
1. ¿Quétipodecorrelaciónexisteentrelassiguientesparesdevariables?
a) Precipitaciónmensual/ventadeparaguas. b) Númerodehabitantespormédico/mortalidad infantil
enunpaís. c)Númerodehabitantespormédico/consumodegasolina. d)Edad/reflejos.
a) Directa; b) Inversa; c) Inversa (es espuria, pues, aunque a mayor número de perso-
nas en un país por cada médico el consumo de gasolina es menor, lo primero no es causa de lo segundo; la causa está en que el país es más pobre y, por tanto, hay menos médi-cos, menos coches, menos escuelas, etc.);
d) Inversa.
2. Consideralossiguientesdiagramasdepuntos.
Fig. 12.15.
4 8
2
4
6
8
2 6
AB
C
D
E
F
Pp
P
4 8
2
4
6
8
2 6
AB
C
D
E
F
Pp
P
4 8
2468
2 6
(a)
4 8
2468
2 6
(b)
4 8
2468
2 6
(c)
4 8
2468
2 6
(d)
4 8
2468
2 6
(a)
4 8
2468
2 6
(b)
4 8
2468
2 6
(c)
4 8
2468
2 6
(d)
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P
92 DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES12
¿Encuáldeelloslacorrelaciónlinealesmásfuerte?
En a), aunque podría dudarse entre a) y c)
3. Indica alguna situación real que se ajuste, aproximada-mente,acadaunadelasnubesdadas.
Por ejemplo:a) Velocidad de un coche y distancia de frenada.b) La descrita en la cuestión anterior, apartado a).c) La descrita en la cuestión anterior, apartado b).d) Edad y simpatía.
4.¿Quécoeficientedecorrelaciónasignaríasacadaunadelasnubesdepuntosdelacuestión2?
(a) r 5 20,8 (b) r 5 20,2 (c) r 5 0,7 (d) r 5 0,93 a) → c); b) → d); c) → b); d) → a)
5.Asocia las siguientes rectas de regresión a las nubes depuntosdelacuestión2:
a) y 5 20,5x 1 4 b) y 5 x 2 2 c) y 5 2x 1 1 d) y 5 2x 1 5
a) → d);b) → b); c) → a); d) → c).
6.Representalanubedepuntosasociadaalsiguienteconjun-todedatosbidimensionales:
X 1 2 3 4 5Y 2,1 2,5 3,1 4,2 4,5
Fig. 12.16.
7.Con los datos anteriores, y sin efectuar cálculos, razonacuáldelossiguientesvaloresessucoeficientedecorrela-ción:0,3,20,9,20,1,0,98.
La correlación es directa y fuerte: la única posibilidad es 0,98.
8. Paralosmismosdatos,sinefectuarcálculos,¿cuáldelassiguientesrectasesladeregresióndeYsobreX?:
y 5 2,1 1 4,5x; y 5 1,33 2 0,37x; y 5 1,33 1 0,65x; y 5 4 1 0,65x.
La recta de regresión tiene pendiente positiva y corta al eje OY entre 1 y 2; la única posibilidad es y 5 1,33 1 0,65x.
9.Larectaderegresiónasociadaaunconjuntodedatosesy 5 1,33 1 0,65x.Paraelvalorx 5 3,5,¿quéprediccióndelavariableYesrazonableefectuar?
y(3,5) 5 1,33 1 0,65 ? 3,5 5 3,605.
10.Lasestimacioneshechasapartirdeunarectaderegresiónsonmásfiablescuandosuecuaciónsehaobtenidoapartirde:a) 2 paresdedatos.b)20paresdedatos.c)200paresdedatos.d)Esindependientedelosdatosconsiderados.
Toda estimación es más fiable cuando aumenta el tamaño de la muestra, siempre y cuando los elementos se obtengan por algún procedimiento aleatorio.
x2 4
1234
1 3 5
y
x2 4
1234
1 3 5
y
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93LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 13
jACTIVIDADES
1. Enellanzamientodetresmonedas,calculalaprobabilidaddelossucesos:
a) Obtenertrescaras. b) Sacardoscaras,almenos. c) Sacardoscarasodoscruces. d) Sacardoscarassisehaobtenidounacruz.
El espacio muestral es de 8 sucesos elementales: E 5 {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}, entonces aplicando Laplace:a) P(CCC) 5 1/8 b) P(CCC, CCX, CXC, XCC) 5 4/8 c) P(CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC) 5 6/8 d) P((CCX, CXC, XCC)/”tener una X”) 5 3/7 pues los casos posibles son 7.
2.El24%delosalumnosdeuncentrodeenseñanzasmediassonextranjeros.Deellos,el40%estánbecados,asícomoun27%de losnacionales.Si seeligeunalumnoalazar¿quéprobabilidadhaydequeelalumnoestébecado?
Sea B 5 «estar becado», E 5 «ser extranjero» y N 5 «ser nacio-nal», aplicamos la probabilidad total: P(B) 5 0,24·0,4010,76·0,27 5 0,3012.
3. Encuentra la distribución de probabilidad de la variablealeatoriaX quemideladiferenciaentrelaspuntuacionesobtenidasallanzardosdados.
La diferencia de puntuaciones queda medida por la variable X: 0, 1, 2, 3, 4, 5 que asignando probabilidades a cada valor se tiene:
X 0 1 2 3 4 5P(X) 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36
4.Enunjuegodeapuesta,selanzandosdados,obteniéndoseeldobledeloapostadosi lasumadepuntoses7yper-diéndoselamitaddeaquéllasilasumaesdistintade7.¿Apostaríasenestejuego?
Sea X la cantidad apostada. Como P(«suma 5 7») 5 6/36, la es-peranza del juego es:E(X) 5 2X· 6/36 1 (2X/2)·30/36 5 2X/12, que al ser negativa indica que es desfavorable al apostante.
5. ParaunavariableX 5 B(10,0,2)calculalasprobabilidadessiguientes:
a) P(X 5 8); b)P(X 9); c)P(3 X 6).
Mirando en la tabla obtenemos:a)P(X 5 8) 5 0,0001b) P(X , 9) 5 1 2 P(X 5 9) 2 P(X 510) 5 5 1 2 0,0000 2 0,0000 5 1 c) P(3 , X # 6) 5 P(X 5 4) 1 P(X 5 5) 1 P(X 5 6) 5 5 0,0881 1 0,0264 1 0,0055 5 0,12
jProblemas propuestos
Tipo I. Espacio muestral. Probabilidad
1.Encuentralosespaciosmuestralesdelossiguientesexpe-rimentos:
a)Lanzartresmonedas. b)Mayorpuntuaciónallanzardosdados.
a) El espacio muestral es de 8 sucesos elementales: E 5 {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}. b) En este caso, los sucesos elementales son seis: E 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Describe y enumera los sucesos elementales correspon-dientesalaexperiencia:
a)Diferencia entre las puntuaciones de una ficha de dominó.
b)Extraerdosbolas, sin reemplazamiento,deunabolsa quecontiene3rojas,2negrasyunablanca.
a) Sea X la variable que cuenta la diferencia de puntuacio- nes, X puede valer: X50 para los sucesos elementales {020. 121, 222, 323, 424, 525, 626} X51 para {120, 221, 322, 423, 524, 625} X52 para {220, 321, 422, 523, 624} X53 para {320, 421, 522, 623} X54 para {420, 521, 622} X55 para {520, 621} X56 para {620}b) El espacio muestral es: E5{RR, RN, RB, NR, NN, NB, BR, BN}, designando por B, N y R, sacar bola blanca, negra y roja, respectivamente,
3.Alextraerunacartadeunabarajade40cartascalculalaprobabilidaddequesea:
a)Unrey. b)Elreydecopas. c)Noseaunafigura.
a) P(Rey)54/40 b) P(Rey de copas)5 1/40 c) P(No figura) 5 28/40 (hay 12 figuras: 4 sotas, 4 caballos y 4 reyes)
4.Undadododecaédrico (de12 caras) tiene carasblancas,negrasyrojas.Silaprobabilidaddesacarcarablancaesde2/3ydenegra1/6,¿cuántascarashaydecadacolor?
P(blanca) 5 23
812
5 , P(negra) 5 16
212
5 ,
P(roja) 5 1 2 [P(blanca) 1 P(negra)] 5 16
212
5 . Luego, hay 8 ca-
ras blancas, 2 negras y 2 rojas.
5.Siseconsideranfamiliascontreshijos,¿cuáleslaprobabi-lidaddequeunaelegidaalazartenga,almenos,unaniña?
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94 LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL13
P(al menos una niña) 5 12 P(todos varones) 5 1 2 1/8 5 7/8, ya que el espacio muestral tiene 8 sucesos elementales: {HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}, siendo H 5 hombre y M 5 mujer.
6.Calculalaprobabilidaddequeallanzarundadodosveces: a)saquesalmenosunas. b)saquesdosases.
El espacio muestral consta de 36 sucesos elementales (6 3 6)a) P(al menos un as) 5 12 P(ningún as)5 1 2 25/36 5 11/36b) P(2 ases) 5 1/36Nota: Conviene confeccionar el espacio muestral
7.CalculalaprobabilidadP(A <B),sabiendoqueP(A) 5 0,3,P(B) 5 0,5yP(A/B) 5 0,2.
Como P(A/B) 5 P A B
P BP A B
( )( )
, ( ) , , ,>
>5 5 50 2 0 2 0 5 0 1⇒ ? ,
entonces P(A < B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A > B) 5 0,310,520,1 5 0,7
8.La probabilidades de los sucesos A 5 {llueve hoy} yB5 {lloverámañana}son,P(A) 5 0,3yP(B) 5 0,5,ademáslaP(A > B) 5 0,2.¿Cuálserálaprobabilidad?
a)Dequelluevaalmenosunodelosdosdías. b)Dequenolluevaninguno. c)Dequelluevamañanasilohahechohoy.
a) P(A < B) 5 0,310,5 2 0,2 5 0,6b) P[(A < B)]5 12 p(A < B) 5 1 2 0,6 5 0,4
c) P(B/A) 5 p A B
p A( )
( ),,
>5 5
0 20 3
23
9. EnunIES,losalumnosseclasificansegúnsusexoyprácti-cadelanatación,segúnmuestralasiguientetabla:
Nadador No nadador TOTALVarón 189 301 490Mujer 165 335 500TOTAL 354 636 990
A la vistadeestosdatos, calcula laprobabilidaddequeelegidounalumnoalazar:
a)Seanonadador. b)Seamujerynonadadora. c)Seanadadorasabiendoqueesmujer. d)Seavarónsielalumnoelegidonopracticanatación.
Aplicamos, en todos los casos, la regla de Laplace:a) P(«no nadador») 5 636/990b) P(«mujer y no nadadora») 5 335/990
c) P(«nadadora»/«ser mujer») 5 ser mujer nadadora
ser mujer 5 165/500
d) P(«varón”/«no nadador») 5 varón no nadador
no nadador 5 301/636
10.Dosjóvenesaficionadosalosjuegosdeazarseencuentranrealizandounsolitarioconunabarajaespañolade40car-tas.Extraenunacartadedichabarajaydeseansabercuáles la probabilidad deobtener rey condicionado al sucesoobtener figura.Caracterizaambossucesos.
En una baraja de 40 cartas hay 12 figuras de las que 4 son reyes, así que P(Rey/figura) 5 4/12 5 1/3
11. Selanzandosdados.Halla: a) La probabilidad de que una de las puntuaciones sea
parylaotraimpar. b) Laprobabilidad(condicional)dequeunadelaspuntua-
cionesseapar,sabiendoquelasumadelasdoses7.
a) P(par e impar) 5 P(1º dado par y 2º impar) 1 P(1º dado
impar y 2º par) 5 9/36 1 9/36 5 18/36 5 816
12
5
b) P(par/suma 7) 5 1, ya que para sumar 7 un dado debe ser de puntuación par
12.Deunaurnaquecontiene10bolasblancasy8negrassehacen dos extracciones sin reemplazamiento. Calcula laprobabilidaddesacar:
a)Dosbolasblancas. b)Sólounanegra. c)Dedistintocolor. Hallalasmismasprobabilidadessilasextraccionessehi-
cieranconreemplazamiento.
Sin reemplazamiento:
a) P(B >B) 5 1018
917
b) P(sólo 1 negra) 5 P(N >B) 1 P(B >N)5
5
1018
817
818
1017
21018
817
1 5
c) P(distinto color) 5 P(una negra y otra blanca)5 P(sólo 1 negra)Con reemplazamiento:
a) P(B >B) 5 1018
1018
b) P(sólo 1 negra) 5 P(N >B) 1 P(B >N)5
5 1018
818
818
1018
21018
818
1 5
c) P(distinto color) 5 P(una negra y otra blanca) 5 P(sólo 1 negra)
13.Un individuo llevados llaverosenelbolsillo:elprimerocontresllaves,unadelascualesabresucasa;elsegundoconcuatrollaves,delasquetambiénunaabrelapuertadecasa.Sieligeunllaveroyunallavedelmismo,alazar,¿quéprobabilidadtienedequeabralapuertadesucasa?
Aplicamos la probabilidad total: P(«abrir la puerta») 5
5 12
13
12
14
724
1 5
14.Enuncentroescolar,entrelosalumnos,un80%poseemó-vil, un 45% un mp3 y un 30% ambos. Seleccionado unalumnoalazar,calculalaprobabilidaddequetenga:a)Algunodeesosaparatos.b)Mp3sabiendoquetienemóvil.c)Móvilsinotienemp3.
a) P(Móvil < Mp3) 5 0,8 1 0,45 2 0,3 5 0,95
b) P(Mp3/Móvil) 5 ( )P Mp Móvil
P Móvil( ),,
3 0 30 8
38
>5 5
c) P(Móvil/No Mp3) 5
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95LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 13
5 P Móvil NoMp
P NoMpP Móvil P Móvil NoM( )
( )( ) (> >3
35
2 p31 0 45
),2
5
0 8 0 30 55
0 50 55
1011
, ,,
,,
25 5 5
15.Una urna contiene 2 bolas negras y 2 bolas blancas. Serealizancuatroextraccionesconreemplazamiento.
Sepide:a) Obtenerelespaciomuestralcorrespondienteaesteex-
perimentoaleatorio.b) Determinarquéelementosdelespaciomuestralconsti-
tuyenelsucesoA:«Sólosaleunabolanegra»ycuáleselsucesoB:«Lasegundabolaextraídaesnegra».
c)Hallar lasprobabilidadescorrespondientesalossuce-sosAyBylascorrespondientesasuuniónyasuinter-sección.
Si n designa bola negra y b bola blanca.a) El espacio muestral es: E 5 {nnnn, nnnb, nnbn, nbnn, bnnn, nnbb, nbnb, nbbn, bnbn, bbnn, bnnb, bbbn, bbnb, bnbb, nbbb, bbbb}b) A 5{bbbn, bbnb, bnbb, nbbb}; B 5 {nnnn, nnnb, nnbn, bnnn, nnbb, bnbn, bnnb, bnbb}
c) P(A) 5 416
14
5 ; P(B) 5 816
12
5
Como A >B 5 {bnbb} ⇒ P(A >B) 5 116
Por tanto: P(A <B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A <B) 5
5 416
816
116
1116
1 2 5
Tipo II. Distribuciones de probabilidad
16.Una variable aleatoria X toma los valores i 5 1, 2,...,5conprobabilidadP(X 5 i) 5 m ? i.CalculaelvalordemylaprobabilidadP(X 3).
La suma de las probabilidades ha de ser la unidad, entonces:m 1 2m 1 3m 1 4m 1 5m 5 1 ⇒ m 5 1/15Por otro lado, P(X , 3) 5 P(X 5 1) 1 P(X 5 2) 55 1/15 1 2/15 5 3/15 5 1/5
17.Deunaurnaque contiene5bolasblancas y3negras sehacen tresextraccionessin reposición.Halla ladistribu-cióndeprobabilidaddelavariableX 5 «númerodebolasblancassacadas»,ycalculasumedia.
La variable X 5 0, 1, 2, 3, mide el número de bolas blancas extraídas.Sus probabilidades son:
P(X50) 5 38
27
16
156
5 (las tres bolas son negras)
P(X51)5 358
37
26
1556
? 5 (una blanca y dos negras)
P(X52) 5 358
47
36
3056
? 5
P(X53) 5 58
47
36
1056
5
Su media es: E(X) 5S xi pi 5
5 0156
11556
23056
31056
10556
? 1 ? 1 ? 1 ? 5
18.Construyeladistribucióndeprobabilidaddelamayorpun-tuaciónobtenidaallanzardosdados.
La variable puede tomar los valores X 5 1, 2, 3, 4, 5, 6, con probabilidades:
P(X51) 5 136
, suceso elemental (1, 1)
P(X52) 5 336
, sucesos elementales: (1, 2), (2, 1), (2, 2)
P(X53) 5 536
, sucesos elementales: (1, 3), (2, 3), (3, 3),
(3, 1), (3, 2)
P(X54) 5 736
, sucesos elementales: (1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4),
(4, 1), (4, 2), (4, 3)
P(X55) 5 936
, sucesos elementales: (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5),
(5, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)
P(X56) 5 1136
, sucesos elementales: (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6),
(5, 6), (6, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)
19.El número de llamadas que se reciben en una centralitatelefónica,enmediahora,sedistribuyensegúnlatabla:
X 0 1 2 3 4 5 6P(X) 0,01 0,05 0,1 0,1 0,2 0,3 0,24
Calculaelnúmeromediodellamadasysudesviacióntípica.
La media de la distribución resulta ser:m50 0 001 1 0 05 2 0 1 3 0 1 4 0 2? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1, , , , ,15 0 3 6? 1 ?, 00 24 4 29, ,5La varianza se calcula por: s 5 m 52 2 2x p
i i? 2∑ 2,28 y la des-
viación típica s 5 1,51
20.SeaXelnúmerodecasosnuevosdesida,diagnosticadosenunimportantehospital,duranteundía.LafuncióndeprobabilidadparaX es:
Casos de sida, x 0 1 2 3 4 5 6Probabilidad, p 0,1 0,1 0,1 0,3 0,2 0,1 0,1
a)Halla laprobabilidaddequeundíacualquiera,por lomenos3casosnuevosseandiagnosticados.
b)Hallalamediadecasosdiagnosticadosaldíaylades-viacióntípica.
a) P(al menos 3 casos nuevos) 5 P(x 5 3) 1 P(x 5 4) 1 1 P(x 5 5) 1 P(x 5 6) 5 0,3 1 0,2 1 0,1 1 0,1 5 0,7
b) m50 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 3 4 0 2 5 0 1 6 0 1? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?, , , , , , , 5 553 10,
s 5 m 52 2 2x pi i
? 2∑ 0 0 1 1 0 1 4 0 1 9 0 3? 1 ? 1 ? 1 ? 1, , , ,
16 0 2 25 0 1 36 01 ? 1 ? 1 ?, , ,1 3 1 2 8922 , ,5 y s 5 1,7
Sol_1CCSS_11a14.indd 95 12/5/08 15:38:15
96 LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL13
21.Silavariabledeunadistribucióndeprobabilidad,conme-diam 5 0yvarianzas2 5 3/2,alcanzasólolosvalores21,0y2,hallalaprobabilidadconquelostoma.
Si la distribución toma los valores 21, 0 y 2 con probabilidades x, y, z, respectivamente, se tiene.• Media 5 (21) ? x 1 0 ? y 1 2 ? z 5 0• Varianza 5 (21)2·x1 0·y 1 22·z 2 0 5 3/2
Igualdades que nos proporcionan x 5 112
12
12
14
? 1 2 ? 5, y 5 z 5 112
12
12
14
? 1 2 ? 5
22.Enunexamende10preguntastipotest,unalumnotieneunaprobabilidadde1/2deacertarcadaunadelaspregun-tas.Siporcadapreguntaelalumnoobtieneunpunto,pero,por cada pregunta fallada el alumno resta medio punto,¿cuáleslanotafinalesperadasicontestaalas10pregun-tas?¿Cuáltendríaqueserlaprobabilidaddeacertarparaquelanotaesperadafueseun3?
Puntuación esperada en cada pregunta: 112
12
12
14
? 1 2 ? 5 ,
luego en 10 preguntas esperará sacar 10·1/4 5 2,5
Llamemos x la probabilidad de acertar, entonces:
10 112
1 3[ ( )]? 1 2 ? 2x x 5 que nos da el valor de x5 8/15
23.Contabilizamosladiferenciadepuntuacionesobtenidasalcomparardosfichasdedominó.Hallalamediayladesvia-cióntípicadelavariableasociada.
La variable X 5 “diferencia de puntuaciones en una ficha de do-minó”, se distribuye:
X 0 1 2Probab. 7/28 5 1/4 6/28 5 3/14 5/28
X 3 4 5 6Probab. 4/28 5 1/7 3/28 2/28 5 1/14 1/28
(Para obtener esta tabla conviene confeccionar el espacio mues-tral.)
55m 014
1314
2528
317
4328
5114
6128
56? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?
22825
s 52 014
1314
4528
917
16328
25114
361
? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?228
222 5
5 7 2 4 5 3 ⇒s 5 3
24.¿Qué precio equilibrado habría que pagar por participaren una lotería en la que puedes ganar 15000€ con unaprobabilidaddel0,2o50000conprobabilidad0,05?
La esperanza matemática de ganancia es:m 5 15000 ? 0,2 1 50 000 ? 0,05 5 5 500 €, por lo que ese debe ser el precio de la apuesta.
25.Unhinchadefútbolpuedeganar100€sisuequipovenceypierde10€sifueraderrotado.¿Cuáleslagananciaespera-daporelhincha,silaprobabilidaddequesuequipovenzaesdel55%?
La ganancia esperada es: m 5 100·0,551(210)·0,45 5 55 2 4,5 5 50,5 €
Tipo III. Distribución binomial
26.Un examen consta de 10 preguntas del tipo verdadero- falso.Seapruebacon8omáspreguntasacertadas.Siserespondenalazarlascuestiones,¿quéprobabilidadhaydeaprobar?
Las X preguntas acertadas se distribuye B(10, 0,5), entonces:P (X $ 8) 5 P (X 5 8) 1 P (X 5 9) 1 P (X 5 10) 5 0 ,04391 1 0,0098 1 0,0010 5 0,0547
27.Sehanreunido1 000familiascon3hijos.¿Encuántassepodráncontabilizar2 chicas?¿Yencuántasalmenosunachica?(Tomalaprobabilidaddenacimientodeniña0,5.)
El número de niñas en familias de 3 hijos se distribuye B(3, 0,5), por tanto:P(X 5 2) 5 0,375 ⇒ 1 000 ? 0,375 5 375 familias tendrán 2 niñas P(“al menos una chica”) 5 1 2 P(X 5 0) 5 1 2 0,125 5 0,875 ⇒1 000 ? 0,875 5 875 familias tendrán al menos, una niña.
28.Un laboratorio farmacéuticohacomprobadoqueun40%delosquetomanunanalgésicosufrenefectossecundarios.De5usuarios,hallalaprobabilidaddequesufranefectossecundarios:a) Másde3. b) Almenos2.El número de usuarios con efectos secundarios, X, se distribuye B(5, 0,4), así que:a) P(X . 3) 5 P(X 5 4) 1 P(X 5 5) 5 0,0768 1 0,0102 5 0,087b) P(X $ 2) 5 12 P(X50) 2 P(X51) 5 1 2 0,0778 2 0,2592 5 5 0,663
29.Enunprocesodefabricaciónseproduceun5%depiezasdefectuosas.Siseexaminan6deellasalazar,quéproba-bilidadexistedeque:a)Hayaalosumo4defectuosas.b)Hayaunaodosdefectuosas.
El número de defectuosas, X, se distribuye B(6, 0,05)a) P(X # 4) 5 1 2 P(X 5 5) 2 P(X 5 6) 5 1 2 0,0000 2 0,0000 5 5 1 (la probabilidad exacta es 0,9999982031)b) P(X 5 1) 1 P(X 5 2) 5 0,2321 1 0,0305 5 0,2626
30.El30%delosclientesdeunbancopidenadelantodenó-minaunavezalaño.Seleccionados7clientesalazar,¿quéprobabilidad existe de que entre 4 y 6 hayan solicitadoadelantodehaberes?
Sea X el nº de clientes que piden adelanto de nómina, se dis-tribuye B(7, 0,3). Así que P(X54) 1 P(X55)1 P(X56) 5 0,09721 0,025 1 0,0036 5 5 0,1258
31.Untestderespuestamúltiplesecomponede10preguntasycadaunadeellaspresentaunaúnicarespuestacorrectadelascuatroposibles.a) Sieltestsesuperacon3omásrespuestascorrectas,¿cuál
eslaprobabilidaddesuperarlorespondiendoalazar?b)¿Cuáleslaprobabilidaddeacertarlas10preguntasres-
pondiendoalazar?
Sol_1CCSS_11a14.indd 96 12/5/08 15:38:23
97LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 13
La probabilidad de respuesta correcta es 1/4, luego el problema puede estudiarse como una binomial B(10, 1/4) 5 B(10, 0,25).Si X es la variable que mide el número de aciertos se tendrá:
a) P(X $ 3) 5 1 2 P(X , 3) 5 1 2 P(X 5 0) 2 P(X 5 1) 2 P(X 5 2) 5 1 2
10
00 25 0 75
10
10 25 0 750 10 1? ? 2 ? ?, , , , 99 2
2 810
20 25 0 752 ? ?, , 5
5 1 2 0,0563 2 0,1877 2 0,2816 5 0,4744
b) P(X 5 10) 5 10
100 25 0 75 0 2510 0 10? ?, , ,5 5 9,5 · 1027
32.Unafamiliasecomponedelospadresy6hijos.Suponiendoiguallaprobabilidaddenacimientodeniñooniña,calcula:a)Probabilidaddetenermásdeunaniña.b)Almenosunniño.c)Comomáximodosniños.d)Elnúmeromediodehijas.
El número de hijas se distribuye B(6, 0,5):a) P(X $ 1) 5 12 P(X50) 2 P(X51) 5 1 2 0,0156 2 0,0938 5 5 0,8906b) P(X , 6) 5 12 P(X56) 5 1 2 0,0156 5 0,9844c) P(X $ 4) 5 P(X 5 4) 1 P(X55) 1 P(X56) 5 0,2344 1 1 0,0938 1 0,0156 5 0,3438d) La media de hijas es 6·0,5 5 3
33.LaprobabilidaddequeunalumnodeMedicinafinalicelacarrera es de 0,45.Halla la probabilidad de que entre 9alumnoselegidosalazar,almenos6finalicenlacarrera.¿Conquéprobabilidadterminaránlos9?
Se trata de una binomial B(9, 0,45) y P(X $ 6) 5 0,1160 1 0,0407 1 0,0083 1 0,0008 5 0,1658P(X5 9) 5 0,0008
34.Cuatropersonasdeedadesyestadodesaludsemejanteshancontratadounapólizadevida.Lastablasdemortali-dadprevénun0,7deprobabilidaddequeesosaseguradosvivandentrode25años.Encuentralaprobabilidaddequedentrode25años:a)Vivanlos4.b)Novivaninguno.c)Elnúmeromediodesupervivientes.
X 5 nº de supervivientes es B(4, 0,7)a) P(X54) 5 0,74 5 0,2401b) P(X50) 5 0,34 5 0,0081c) La media es 4 · 0,7 5 2,8
35.Enunjuegoselanzan4monedas.Seganan6€,sisalenlas4carasiguales,3€sisalieran3igualesy0,6€sisalen2idénticas.¿Cuáldebeserelpreciodelaapuestaparaqueseaunjuegoequitativo?
La esperanza de ganancia es:
6· 116
116
3416
416
0 6616
1 1 ? 1 1 ?, 5 2,48 €
36.Untiradortieneestimadoen60elnúmerodeintentosparaconseguir20dianas.¿Quénúmerodepruebashadereali-zarparatenerunacertezadel90%deconseguiralmenosunadiana?
El número de dianas logradas, X, es B(n, 2060
13
5 )
Queremos que P(X $ 1) 5 12 P(X50) 5 10
13
23
0 90
2n n
5 ,
⇒ 23
0 1n
5 ,
Aplicando logaritmos: log log ,23
0 1n
5 ⇒n5 5
log ,log( / )
,0 12 3
5 68
→ Tendrá que realizar 6 pruebas.
Nota: también se podría hacer por tanteo: 23
0 135
5 ,
y
23
0 096
5 , . Por tanto, ha y que tomar n 5 6.
37.Enlaconsultadeunodontólogo,acudeel90%delospa-cientescitados.Sisólopuedeatenderaseispacientespordíayhacitadoa8personas¿quéprobabilidadexistedeatenderatodoslosqueacuden?
La variable que contabiliza el número de pacientes que acude a consulta es una B(8, 0,9); y atender a todos los pacientes supone que X tome, como máximo, el valor 6: esto es, X # 6.Su probabilidad es: P(X#6) 5 1 2 P(X . 6) 51 2 P(X57) 2 P(X58). Consultando la tabla de la binomial correspondiente a n 5 8, p 5 0,9, r 5 7 y r 5 8, tenemos:P(X#6)5120,382620,4305 50,1869
38.Segúnestudiosrecientes,un40%delasmujerespadecenalgúngradodealopecia(calvicie).Sisetomaunamuestrade14mujeres,¿quéprobabilidadexistedequecomomáxi-mo12presentencalvicie?
Dejemos que X represente el número de mujeres con alopecia. Esta variable se distribuye B(14, 0,4), así que:P(X#2)512P(X513)2P(X514) 5
13
14512 (0,4)13
?0,6214
14(0,4)14
512(56 1 ) · 1026 50,9999
13
14512 (0,4)13
?0,6214
14(0,4)14
512(56 1 27) · 1026 50,9999
39.SegúnunaencuestarecienterealizadaporelCentrodeIn-vestigacionesSociológicas,el90%delosespañolesdeclaraserfielasupareja.Siseescogenaleatoriamente12perso-nascasadas,averigualaprobabilidaddequealmenosnueveseanfielesasupareja.Enunconjuntode800casados,¿quénúmeromediodepersonassemantendríanfieles?
El número, X, de personas fieles se distribuye B(12, 0,9). Por tanto, P(X$29)5P(X59)1P(X510)1P(X511)1P(X512)5
9
12⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟5 (0,9)9(0,1)3
110
12⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
11
12⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟(0,9)10(0,1)2
1 (0,9)110,1112
12⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟(0,9)12
5
12?11?106
5 0,00039112?11
20,0035112?0,03110,28245
50,085810,23110,37210,282450,9712
Sol_1CCSS_11a14.indd 97 12/5/08 15:38:44
2,7
98 LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL13
Para 800 casados se mantendrán fieles, en media: 800·0,95720 personas.
40. En un centro hospitalario, los fines de semana hay una plantilla de cinco médicos para atender las urgencias. Si sólo un 10 % de éstas exigen atención con una UVI móvil, calcula el número de UVI que deben estar disponibles si queremos que la probabilidad de que se necesite un núme-ro mayor sea sólo de 0,05.
Si llamamos X 5 nº de UVI móviles que se necesitan, X es B(5, 0,1) pues cada UVI ha de ser dirigida por un médico y queremos que P(X # n) 5 0,95 ⇔ P(X50)1 P(X51)1 P(X52) 1…1P(X5n) 5 5 0,95 ⇔ 0,5905 1 0,3280 1 0,0729 5 0,9914 . 0,95. Así que con 2 UVIs se tiene cubierto el servicio en el 99,14 % (más de 95%) de los casos.
TipoIV.Ajusteporunadistribuciónbinomial
41. Completa la siguiente tabla de distribución de frecuencias y encuentra los parámetros de la distribución binomial que mejor se ajuste a la misma:
Xi0 1 2 3
Fri0,25 0,43 222 0,05
La frecuencia relativa que falta es 0,27 (para la suma igual a 1).La media de la distribución es
550 0 25 1 0 43 2 0 27 3 0 05 1 12? 1 ? 1 ? 1 ?, , , , ,x y la binomial de mejor ajuste es 3·p 5 1,12 ⇒ p5 1,12/3 5 0,37, o sea una B(3, 0,37)
42. En una playa se han computado el número de servicios diarios prestados por el puesto de salvamento y socorrismo, obte-niéndose la siguiente distribución, tras 30 días de recuento:
Número de servicios 0 1 2 3
Número de días 16 11 2 1
Se pide:a) Evaluar la media diaria de actuaciones del puesto y, a par-
tir de ella, ajustar una binomial suponiendo que n53.b) Evalúa la diferencia entre la frecuencia teórica calcula-
da y la experimental correspondiente. ¿Te parece bueno el ajuste realizado?
a) La media de actuaciones diarias es:
x 5 50 16 1 11 2 2 3 1
300 6
? 1 ? 1 ? 1 ?, , entonces 3·p 5 0,6 ⇒
p 5 0,2 y la distribución que ajustamos es B(3, 0,2).b) Elaboramos la siguiente tabla:
X Probabilidad Fr. Teórica Fr. observada0 0,512 15,36≈ 15 161 0,384 11,52≈12 112 0,096 2,88≈3 23 0,008 0,24≈ 0 1
30 30 El ajuste es apreciablemente correcto.
43. En un taller de confección, las prendas montadas diariamen-te han de pasar cuatro controles de calidad, observándose el siguiente número de fallos en 1 000 prendas examinadas:
Fallos 0 1 2 3 4Nº de prendas 811 172 15 2 0
Ajusta una distribución binomial a estos datos y calcula las frecuencias teóricas.
La media de la distribución es:
550 811 1 172 2 15 3 2 4 0
10000 2
? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?,x y la binomial más
ajustada sería B(4, 0 24
0 05,
,5 ).
Las frecuencias teóricas se calculan:
X Probabilidad Fr. Teórica Fr. observada0 0,8145 814,5 ≈ 815 8111 0,1715 171,15 ≈ 171 1722 0,0135 13,5 ≈ 14 153 0,0005 0,5 ≈ 1 24 0,000 0 0
1001 1000
jcuesTIonesbásIcAs
1. En el experimento lanzar dos monedas ¿qué sucesos elemen-tales componen el suceso contrario a sacar dos caras?
(«Sacar 2 caras»)c 5 {CX, XC, XX}
2. Si A y B son sucesos incompatibles, ¿a qué es igual la pro-babilidad P(A ø B)?
P(A ø B) 5 P(A) 1 P(B), pues P(Ø) 5 0
3. ¿Cómo puedes calcular la probabilidad del suceso unión P(A ø B), conociendo P(Ac) 5 0,6, P(B) 5 0,3 y P(A ù B) 5 0,2? (Sugerencia: haz un diagrama de Venn.)
P(A ø B) 5 12 0,6 10,3 2 0,2 5 0,5
4. En una urna compuesta de 3 bolas blancas y 5 negras, se hacen dos extracciones sin reposición. ¿Cuál es la probabi-lidad de sacar dos bolas del mismo color?
P(BB) 1 P(NN) 5 38
27
58
47
2656
1 5
5. La variable discreta X es tal que P(X 5 0) 5 0,6 y P(X 5 a) 5
5 0,4. Si la media de la distribución es μ 5 2, ¿cuál es el valor el valor de a?
2 5 0·0,6 1 a·0,4 ⇒ a55
6. Al lanzar cinco monedas, la variable que mide el número de caras obtenidas, ¿de qué tipo es?
La variable es binomial de parámetros B(5, 0,5)
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99LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 13
7.DeunadistribuciónbinomialB(n, p)seconocequesuva-rianzaes3/2ysumedia3.Hallaelvalordep.
Se tiene que: • n·p 5 3• n·p·q 5 3/2, ⇒ p 5 q 5 1/2
8.UnavariableXsedistribuyecomounaB(6,0,1),calculalaprobabilidadP(X52).
P(X52) 5 0,0984, obtenido de la tabla de la binomial
9.UnavariableX condistribuciónbinomialB(n, p),tienequeP(X 1)50,93¿cuántovaleP(X50)?
P(X50) 5 1 2 P(X $ 1) 5 0,07
10.Enunexamende8preguntasconrespuestasdeltipover-dadero-falso, si se responde al azar, ¿qué es más fácil,acertartodasofallartodas?
Las probabilidades son iguales: P(X50) 5 P(X58).
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100 DISTRIBUCIONES CONTINUAS. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL14
jACTIVIDADES
1. La función de densidad de una variable aleatoria X es,
f xk x x
( )( )
51 , ,4 0 40
sien otro caso
⎧⎨⎩⎪
si0 x 4enotrocaso
a) Calculaelvalordek.b)Representagráficamentef(x).c)HallalaprobabilidaddequeX ∈[2,4].
a) rea5 ⇒? 2 5 54k 8k
2(4 0) 24 k
124
1
b)
1 2 3 4
0,2
0,4y 5 x/24 1 1/6
Fig. 14.1.
c) P(2 X 4# # )5
14
13
22
712
1? 5
2.Para la misma distribución de pilas del ejemplo anterior,calculalaprobabilidaddequeunapiladure:a)Entre42y71h.b)Menosde28h. c)Másde66h.
a) P(42,X,71)50,986120,000250,9859b) P(X,28)50c) P(X.66)50,1151
3.Enelejemploanterior,¿cuálseríalaalturamáximadel15%delosmuchachosdemenoraltura?
El valor de Z0 tal que P X 168
8z 0,150
2# 5 , resulta ser, aproxi-
madamente, z0521,035 (la media entre los valores 1,03 y 1,04). Así, X516828?1,0355159,72 ø 160 cm.
4.El46%de los residentesen cierta localidad sonhinchasdelequipolocaldefútbol.Elegidos60habitantesalazar,¿quépro-babilidadhaydeque35deellosseanhinchasdelclublocal?
B(60, 0,46)øN(27,6, 3,86) yP(X535)5P(34,5,X ’,35,5)50,979820,963350,0165.
jProblEmAS ProPuESToS
Tipo I. Función de densidad
1. Hallaelvalordekparaquelafunciónf x
k si xresto
( )50 4
0
seaunafuncióndedensidad.
Ha de cumplir que el área del rectángulo sea 1, entonces 4?k 5 1 ⇒ k 5 1/4
2.El tiempodeesperaa la llegadadeltrenMetrosigueuna
distribucióndefinidaporf x
si x
resto( )5
15
0 5
0
Calculalaprobabilidaddequeeltiempodeesperasea: a)Superiora3minutos.
b) Entre2y4minutos.
a) P(X.3) 5 2? 1/5 5 2/5b) P(2,X,4) 5 (422)?1/5 5 2/5
3. Lafuncióndedensidaddeciertavariablecontinuaestáre-presentadaenlagráficaadjunta.
2 3 4
1/4
1/2
121
Fig. 14.2.
Calculalaprobabilidad P(1 X 5/2).
P(1,X,5/2) 5 1/4?(221)11/2(5/222) 5 2/451/2
4. Calculaelvalordek paraquelafunciónrepresentadaenlafiguraseadedensidad;unavezhalladoelvalordekencuen-tralaprobabilidadP(1/2,X,2).
2 3 4
K
121
Fig. 14.3.
Área del trapecio: 2 32
125
1k k5 5⇒
P(1/2,X,2)5 P(1/2,X,1) 1P(1,X,2)5
5
12
25
25
21
12
2 125
320
25
1120
? 12 1 2 ? 1( ) 5 5
5. UnavariablealeatoriaXmidelasdiferencias,envalorab-soluto,delacapacidaddememoriaenlafabricacióndelá-picesópticos(pen drives)de1Gb.Sufuncióndedensidadvienedadapor:
( ) /2 # #200 1 100 0 1 100f x
x si xen otro caso
( )50
⎧⎨⎩⎪
si0 x 1/100enotrocaso
CalculaP 2500
1200
X yexplicasusignificado.
0resto
Sol_1CCSS_11a14.indd 100 12/5/08 15:39:11
Á
101DISTRIBUCIONES CONTINUAS. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 14
P 2
5001
200# #X 5
200 125
200 112
21
2002
500
2 1 2
? 2 5
5 5120 100
21
10000 11
1? ,
6. Dadoslossiguientesparesdevalores: a) m5 s52 0 5y , ; b) m5 s52 2 2y , ; c) m52,5 y s510. Asígnalosacadaunadelasfuncionesdedensidadrepresen-
tadas:
2 3 410 2 3 410
a) b)
2 3 410
c)
Fig. 14.4.
Observando la abscisa de cada máximo de la función de densi-dad, simétrica, y su amplitud, tenemos:A la figura a) le corresponde el par µ 5 2, σ 5 2,2A b) asignamos µ 5 2,5, σ 5 10A c) será, por tanto, µ 5 2, σ 5 0,5
7. Lafunciónf(x)51
1x2si2 x e11,esdedensidaddela
variableX.RepreséntalaycalculaP(2,4 X 2,8)aproxi-mandoeláreadeltrapeciocurvilíneoqueresultaporladeunorectángulo.
1 2
0,2
0,4
0,5
0,6
0,3
0,1
y 5 x/6 1 1/3
Fig. 14.5.
P(2,4 , X , 2,8)5
1 1
2( ,4) 0,1 4 1 8 2 8 2 254, , ,
1
2 5
TipoII.Distribuciónnormal.Tipificación
8. SiendoXunavariablequesedistribuyeN(4,1,5),hallaelvalortipificadode:
a) 7; b) 5,5; c) 1,5.
a) Z5 57 41 5
22
,;
b) Z5 55 5 4
1 51
,,2
;
c) Z5 51 5 4
1 553
,,2
2 .
9. SeaZunavariablenormalestándar;hallalasprobabilidades: a)P(Z 2,22); b)P(Z 22,22); c)P(21,5 Z 3).
a) P(Z # 2,22) 5 0,9868 b) P(Z# 22,22)5 120,9868 5 0,0132 c) P(21,5 ,Z , 3) 5 0,998710,9332215 0,9319
10.Elretrasoenlallegadadeavionesdeciertoaeropuertovienemedidoporunavariabledemedia14minutos.Siaunvueloconretrasode9minutoslecorrespondeunvalortipificadode20,625,¿cuáleselvalordesudesviacióntípica?
z5s
5 s59 14
0 625 82
2 , ⇒
11. SiXesunavariablecontinuaN(28,5),halla: a) P(X 31); b) P(28 X 35,5); c) P(20 X 38).
a) P(X . 31) 5P(Z.31 28
50 6 1 0 6
22 ,5 5 5, ) ( , )P Z 120,7257 5
5 0,2743
b) P(28 , X,35,5)5P(0,Z, 35 5 28
51 5 1 5
12
,, ) ( , )
2, 25 5 5P Z
50,4332
c) P(20 , X,38)5 P(20 285
38 285
1 6 22
, ,2
2 , ,Z P Z) ( , )5 5
50,9224
12.En un país tropical la temperatura media diaria (medidaenºC)vienedescritaporunavariableTquesedistribuyeN(28º,5º).¿Cuántosdíasalañosutemperaturaestaráen-tre20ºy30º?
P(20,X,30)5P(20 285
30 285
1 6 0 42
, ,2
2 , ,Z P Z) ( , , )5 5
50,60060,6006 ? 365 días 5 219 días
13.SiXesunavariable N(m,s)ysetienequeP(X 2)50,5987yP(X 6)50,6915,hallalosvaloresdemys.
P(Z,42m
s)5 0,2546
40 66
22
m
s5 ,
P(Z,72m
s)5 0,9082
71 33
2m
s5 ,
El sistema nos proporciona la solución: µ 5 5 y σ 5 3/2
14.Enunadistribuciónnormal,hallaelporcentajedevaloresquedistandelamedia:
a)Menosde1,2desviacionestípicas. b)Entre0,5y1desviacióntípica.
a) |X2m|,1,2?s ⇒21,2,Z,1,2, luego P(1,2,Z,1,2)50,7698 ⇒ 76,98% de valoresb) , 2 , , ,0,5 | X | 0,5 Z 1s m s y P(0,5,Z,1)50,1498
Sol_1CCSS_11a14.indd 101 14/5/08 09:38:11
102 DISTRIBUCIONES CONTINUAS. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL14
15.Lasventasdiariasdecintasdev deoenuncentrocomercialsedistribuyen segúnunanormalN(50,10). ¿Quéesmásprobablequesevendaenundía,másde65cintasomenosde30?
P(X.65)50,0668 y P(X,30)50,0228.Más de 65
16.LosarchivosdesonidoMP3tienenuntamaño,enMb,quepuedeconsiderarsequesedistribuyeN(4,1).De160archi-vos¿cuántostendránunvolumenentre2,5y5,5Mb?
P(2,5,X,5,5)5P2 5 4
15 5 4
11 5 1 5
, ,( , , )
2, ,
22 , ,Z P Z5 5
2 1 5 1( , )? , 2P Z5 55
0,8664
De 160, habrá entre esas capacidades 160 ? 0,8664 5 139 ar-chivos
17.UnaenvasadoradeaceitedegirasolllenabotellasvertiendolíquidosegúnunavariableX,medidaencL,N(100,s).SiP(X 109) 5 0,9641, halla s y calcula de 1000 botellascuántascontienenmásde90cL.
P Z 0,,2109 100
9641s
5 9 8 5s
5 s51,
Ahora, P(X.90)5P(Z.22) 5 P(Z,2) 5 0,9772 ⇒ 978 botellas.
18.Unafábricadecementosuministrasuproductoensacosde50kg.Lasdeficienciasdelempaquetadomecánicoprovocan,sinembargo,fluctuacionesenelcontenidodelossacos,demaneraqueestacantidadsigueenrealidadunadistribuciónnormaldemedia51kg.¿Cuáldebeserladesviacióntípicaparaquelossacosconmenosde50kgseansóloel5%deltotal?
N(m, s), se tipifica mediante el cambio ZX
5m
s
2.
Aquí, m 5 51 y s es desconocida.
Se desea que P(X , 50) 5 0,05 ⇒ P(X , 50) 5 P Z ,250 51s
5 P Z ,21s
5 0,05 ⇒ 1 − P Z ,1s
5 0,95 ⇒ (Por la ta-
bla normal) ⇒ 1 1 645s
5 , ⇒ s 5 0,608.
19.Enunaprueba,el35%delapoblaciónexaminadaobtuvounanotasuperiora6,el25%,entre4y6,yel40%infe-riora4.Suponiendoquelasnotassiguenunadistribuciónnormal,calcula lanotamediay ladesviacióntípica.¿Quéporcentajedepoblacióntieneunanotaquesediferenciadelamediaenmenosde2unidades?
Se tiene: P(X . 6) 5 0,35, P(4 ≤ X ≤ 6) 5 0,25, P(X , 4) 5 0,40Sea m la media y s la desviación típica; normal que se tipifica
haciendo el cambio ZX
5m
s
2, luego:
P(X . 6) 5 P
Z .26 m
s 5 0,35 ⇒ (Por la tabla normal)
60 385
2m
s5 ,
P(X , 4) 5 P Z ,24 m
s 5 0,40 ⇒ (por la tabla normal)
40 255
22
m
s5 ,
Se tiene el sistema: 6 − m 5 0,385s
4 − m 5 −0,255s ⇒ m 5 4,797; s 5 3,125Con esto:P(m − 2 , X , m 1 2) 5 P(2,797 , X , 6,797) 5
5 P 2
, ,2
3 1252
3 125, ,Z 5 P(−0,64 , Z , 0,64) 5
5 P(Z , 0,64) − P(Z , −0,64) 5 0,7389 − (1 − 0,7389) 5
5 0,4778 5 47,78 %
Tipo III. búsqueda de abscisas de la normal
20.SiZesnormaldeparámetros0y1,hallakenloscasos: a)P(Z k)50,0643 b)P(k Z 2)50,7506
Leyendo directamente en la tabla de la normal estándar:a) P(Z $ k)5 0,0643 ⇒ L(k) 5 0,0643 ⇒ k51,52b) P(k # Z , 2)5 0,7506 ⇒ L(2)2L(k) 5 0,7506; como L(2) 5 5 0,9772 ⇒ L(k) 5 0,2266 ⇒ k 5 20,75
21.Sea XvariableN(50,6),encuentraelvalordek en: a)P(X 2k)50,15; b)P(X k)50,9756
a) P(X # k) 5 0,15 ⇒ P(Z,k 250
60 15) ,5 ⇒
L(22k 506
0 85) ,5 ⇒22k 506
1 0355 , ⇒ k543,79
b) P(X # k) ⇔ P(2k,X,k) 5 0,9756 ⇒ 2L(k) – 1 5 0,9756
⇒ L(k) 5 1 0 9756
20 9878
1 ,,5 ⇒ k52,25
22.Sehaaplicadountestdefluidezverbala500alumnosdeprimerodeESOdeuncentrodesecundaria.Sesuponequelaspuntuacionesobtenidassedistribuyensegúnunanor-maldemedia80ydesviacióntípica12.Sepide:a)¿Quépuntuaciónseparael25%delosalumnosconme-
nosfluidezverbal?b)¿Apartirdequépuntuaciónseencuentrael25%delos
alumnosconmayorfluidezverbal?
a) Hay que calcular el valor de Z0 tal que P(Z , Z0) 5 0,25 Z0
≈0,675.
Luego, 20,675 5 X 280
12 X 5 71,9.
b) En este caso, hay que calcular el valor de Z0 tal que P(Z , Z0) 5 0,75 Z0
≈0,675.
Luego, 0,675 5 X 280
12 X 5 88,1.
Sol_1CCSS_11a14.indd 102 12/5/08 15:40:05
í
103DISTRIBUCIONES CONTINUAS. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 14
23.LasnotasmediasfinalesdelosalumnosdeprimerodeBa-chilleratodeuncentrosedistribuyennormalmenteconme-dia5,6ydesviacióntípica1,4.El15%delosalumnosconmejornotafinalpodránaccederaunabeca.¿Cuálhadeserlanotamínimaparapoderserbecario?
El valor de X0 que verifica:
P x 5,61,4
z 0,15 x 5,6 1,4 1,03500 0
25 5 57,05 7≈
de nota.
24.Laspuntuacionesdeunexamen, calificadoentre0y100puntos,siguenunadistribuciónnormaldemediam550.El7%delosalumnostieneunapuntuaciónporencimade75.¿Quétantoporcientodelosalumnosesdeesperarquetenganunapuntuaciónpordebajode40puntos?
Es una N(50, s) y como P Z75 50
0,07.2
s5
251,4757 16,94 17
s5 s5⇒ ≈ .
Ahora, P(X,40)50,2776 ⇒ 27,76 %.
25.Enunapiscifactoríahay8500truchascuyopesosigueunadistribuciónnormaldemedia150gydesviacióntípica35g.Silanormativaprohíbelaventadetruchasdepesoinferiora200g,¿cuántastruchaspuedeponeralaventalapiscifac-toría?¿Cuáltendríaqueserelpesomínimorequeridoporlanormativaparaquelapiscifactoríapudieravender2500truchas?
Para N(150, 35),
P(X . 200) 5 P Z .2200 15035
5 P(Z . 1,43) 5
5 1 2 0,9236 5 0,0764.A la venta puede poner 0,0764 ? 8 500 5 649 truchas.
Hay que encontrar X0 tal que: P(X . X0) 5 25008500
⇒
⇒ P(X . X0) 5 0,2941
P ZX
.2
0150
35 5 0,2941 ⇒
X0
150
350 54
25 , ⇒ X0 5 168,9
gramos.
Tipo IV. Ajuste de la normal a una distribución empírica
26.Ajusta,aladistribucióndelossiguientesdatos,unavaria-blenormal.
X 0,5 0,9 1,3 1,7 2,1 2,5 2,9
fi 4 12 16 28 18 10 4
La media y desviación típica de la distribución dada son: x 1 1 y s , 85 5, ,69 7 0 5≈ . Vamos a ajustar una N(1,7, 0,58)
27.Paramedirlaprecisióndeunaenvasadoradeharinaenpa-quetesde1kg,sehanpesado250paquetesobteniéndoselasiguientedistribucióndepesos:
Pesos (g) [950,970) [970,990) [990,1010) [1010,1030) [1030,1050)
Paquetes 3 22 113 106 6
Ajustaunadistribuciónnormalalosdatosyobservasilasdesviaciones registradas pueden considerarse debidas alazar.
La media y la desviación típica de la distribución de pesos es: x 1000,8 1001 y s 16,18 16,25 5≅ ≈ kg.
Marcas de
Clase (X)
(2) fi
(3)
Clases [ai21, ai)
(4) Clases tipificadas
ti 5 ai 21 7
0 58
,
,
(4) Probabilidades
teóricas pi5L(ti)2L(ti21)
(5) 92?pi
0,5 4 [0,3, 0,7) [22,41, 21,72) .0347 5 .0427 2 .008 3
0,9 12 [0,7, 1,1) [21,72, 21,03) .1088 5 .1515 2 .0427 10
1,3 16 [1,1, 1,5) [21,03,20,34) .2154 5 .3669 2 .1379 20
1,7 28 [1,5, 1,9) [20,34, 0,34) .2662 5 .6331 2 .3669 25
2,1 18 [1,9, 2,3) [0,34, 1,03) .2154 5 .8485 2 .6331 20
2,5 10 [2,3, 2,7) [1,03, 1,72) .1088 5 .9573 2 .8485 10
2,9 4 [2,7, 3,1) [1,72, 2,41) .0347 5 .9920 2 .9573 3
TOTAL 92 0.9668 91
El ajuste se muestra en la tabla:
Clases fi ta
ii5100116 2,
Pr. Teóricas
Pi
250?Pi
[950, 970)[970, 990)[990,1010)[1010,1030)[1030,1050)
362
113666
[23,15,21,91)[21,91,20,68)[20,68, 0,56)[0,56, 1,79)[1,79, 3,02)
0,028120,000850,02730,248220,028150,22010,712320,248250,46410,963320,712350,25100,998720,963350,0354
755
116639
TOTAL 250 0,9979 250
Tipo V. Aproximación de la binomial
28.Selanzaundado720veces.Calculalaprobabilidadaproxi-madadequesalgan,almenos,110seises.
Se trata de un experimento binomial: B 720, 16 .
Puede aproximarse mediante la normal de media m5 572016
120?
y s5 72016
56
? ? 5 10: N(120, 10).
Con esto, P(X $ 110) 5 P(X´ . 109,5), haciendo la corrección de continuidad.
Luego, P(X´ . 109,5) 5 P Z .2109 5 120
10,
5
P(Z . 21,05) 5 0,8531.
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104 DISTRIBUCIONES CONTINUAS. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL14
29.Selanzaunamoneda300vecesylavariableXcontabilizaelnúmerodecarassacadas.Hallalaprobabilidadde:
a) sacarmásde180caras; b)queelnúmerodecarasobtenidoestéentre120y160.
Se trata de una binomial B(300, 1/2) que aproximamos por la nor-
mal de media m5300 ? 1/2 y desviación típica, 300 12
12
? ? ,
es decir, N(150, √ 75)a) P(X.180)5P(X ’.180,5)5
5180 5 180
753 52 0
,( , )
2.. 5 5P ZP Z
b) P(160,X,180)5P(160,5,X’,179,5)5 5 P(21,1,Z,3,40)50,999720,886950,1101
30.Supongamosque la tasadedesempleoenunaComunidadautónomaesdel18%.Sienellaseseleccionaunamuestraaleatoriade100trabajadores,calculalaprobabilidaddequeenlamuestrahaya:
a)Almenos10desempleados. b)Nomásde5desempleados. c)Exactamente8desempleados.
La B(100, 0,18)≈N(18, 3,84), entoncesa) P(X.5 10)5P(X’.5 9,5)5P(Z.5 22,21) 5 0,9864b) P(X,5)5P(X’,4,5)5P(Z,23,52)50c) P(X518)5P(17,5,X’,18,5)5P(20,13,Z,0,13) 5 0,1034.
31.Deunaurnaquecontieneunabolablancaydosnegrassehacen extracciones sucesivas de una bola con reemplaza-miento.LlamamosXalnúmerodebolasextraídas.
a)Sisehacencincoextracciones,¿cuálesladistribución deprobabilidaddex?¿Cuántovalensumediaysudes- viacióntípica?¿CuáleselvalordeP(X 2)?
b)Si sehacen288extracciones, ¿cuál es laprobabilidad dequesalganmásde90bolasblancas?
El experimento es de tipo binomial, con P(blanca) 5p513 . Para
n 5 5, será B 5,
13
.
Para n 5 288, será B 288,
13
.
Como sabemos, para una B(n, p) se cumple:
P(X 5 r)5 n
rp qr n r2 ; q 5 1 –p
Su media es m5np; su desviación típica vale s5 npq
a) Para la B 5,
13
, se tiene: P(X 5 r) 5 n
r13
23
r 52r
P(X 5 0) 5 5
013
23
0 5
5 32243
P(X51) 5 5
113
23
1 4
5 80243
P(X 5 2) 5 5
213
23
2 3
5 80243
P(X5 3) 5 5
313
23
3 2
5
40243
P(X 5 4) 5 5
413
23
4 1
5 10243
P(X55) 5 5
513
23
5 0
5 1
243
Media: m5 5513
53
? .
Desviación típica: s5 513
23
? ? 5103
P(X $ 2) 5 P(X 5 2) 1 P(X 5 3) 1 P(X 5 4) 1 P(X 5 5) 5
5
80 40 10 1243
131243
1 1 15
La binomial B 288,
13
se puede aproximar mediante la nor-
mal de media m5288?13
596 y s5 28813
23
? ? 58: N(96, 8).
Con esto, P(X . 90) 5 P(X´ . 90,5), haciendo la correc- ción de continuidad.
Así, P(X´ . 90,5) 5 P Z .
290 5 968
,
5 P(Z . 20,6875) 5
5 0,7549.
32. Enunapruebadetipotest,cadapreguntacontiene4op-cionesdelasquesólounaesverdadera.Sisecontestan20preguntasalazar,¿quéprobabilidadhaydeacertaralmenos12correctamente?
La Binomial B(20, 1/4) la aproximamos por una normal N(5, 1,94)P(X $ 12) 5 P(X’ $ 11,5) 5 P(Z $ 3,35) 5 1 2 0,9996 5 0,0004
33.En una facultad universitaria el 60%de los alumnos fina-lizansusestudiosencincocursos.Enciertapromociónco-menzaron 1200 alumnos. ¿Qué probabilidad hay de queexactamente700 alumnoshayan finalizado en cinco años?
La binomial B(1 200, 0,6) ø N(720, 17)P(X 5 700) 5 P(699,5,X ’,700,5) 5 P(21,21,Z,1,15) 5 0,012
34.Untiradordecompeticióntieneunaprobabilidaddehacerblanco de0,8. Efectúa dos series de tiradas de20 lanza-mientoscadauna.Hallalaprobabilidaddequeenalgunadelastiradashayaconseguidoalmenos17blancos.
El número de blancos sigue B(20, 0,8) que se aproxima por N(16, 1,79)P(X $ 17) 5 P(X ’$ 16,5) 5 P(Z $ 0,28) 5 0,3897, así que la probabilidad pedida es:P(“De la unión”) 5 P(X $ 17 en la 1ª tirada ) 1 P(X $ 17 en la 2ª tirada) 2 P(X $ 17 en la 1ª tirada ) ? P(X $ 17 en la 2ª tirada) 5 0,3897 1 0,3897 2 (0,3897)2 5 0,6275
35.Enciertacomunidadelporcentajedeindividuosconestu-diosmediosesdel35%.Elegidos8individuosalazar,cal-culalaprobabilidaddequeentre3y5(ambosincluidos)tenganestudiosmedios,aplicando:
a)Ladistribuciónbinomial. b)Laaproximaciónnormalalabinomial.
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105DISTRIBUCIONES CONTINUAS. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 14
a) Estamos ante una binomial B(8, 0,35), por ello: P(X5 3) 1 P(X5 4) 1 P(X5 5) 5 0,278610,187510,0808 5 5 0,5469
b) La normal que mejor aproxima la binomial dada es N(8 ? 0,35, √ 8 ? 0,35 ? 0,65)5 N(2,8, 1,35). Entonces P(3 , X , 5) 5 P(2,5 , X’, 5,5)5 P(20,22 , Z , 2) 5 5 P(Z ,2) 2 P(Z , 20,22) 5 0,9772 2 0,4129 5 0,5643
36.Unclubdeocio,delqueformanparte65socios,haorgani-zadounapartidamúltipledeajedrez,contandoconlapre-senciadeunGranMaestro.Laprobabilidaddequeunsocioseapuntealapartidaesdel40%.Averiguacuántostableroshandedisponersesisedeseaque laprobabilidaddequetodoelquequieraparticipardispongadetableroseamayordel90%.
La distribución de socios que se apunten a la partida múlti-ple sigue una B(65, 0,4) que aproximaremos por N(26, 3,95); llamemos n el número de tableros disponibles que deseamos satisfagan que:
P(X # n) $ 0,9 ⇒ P(X ’ # n10,5) 5 P Z , n1 2
$0 5 263 95
0 9,,
) , $ 0,9.
Como P(Z # 1,28) # 0,9 , para n1 2
$0 5 263 95
1 28,,
, se cumpli-
rá que la probabilidad supera 0,9, así que n$ 125 5 5 1 30 6, , ,5 por lo que será suficiente disponer de 31 tableros.
jCuESTIonES báSICAS
1. Calculaelvalordekparaquelafunción
f(x)5k si x
en otro caso0 10
0, ,⎧
⎨⎩⎪
k si0 x 100 enotrocaso
seadedensidaddeciertavariable. (Recuerda: láreapordebajodelacurvadebevaler1.)
Como k?(1020) 5 1⇒ k5 1/10
2.Cita3procesoscuyocomportamientopuedeajustarsealascondicionesllamadasnormales.
a) La altura de un colectivo de personas; b) Los diámetros de los cojinetes fabricados por un torno; c) El índice de aceptación de un político.
3. ¿QuésignificadotieneelparámetrosenunadistribuciónN(7,s)?
Es la desviación típica de la distribución.
4.SiZesN(0,1)calcula: a)P(Z 1,52; b) P(Z 20,5)
a) 0,9357; b) 0,6915
5. Calculael valorde laprobabilidadP(12 X 22)siendoXuna variableque sedistribuye segúnunanormalN(17,5).
P(12,X,22)5 P(21,Z,1) 5 2 ? 0,3413 5 0,6826
6.Alavistadelafigura,señalalasrelacióncorrecta:
N(�2, σ 2)
N(�1 1, σ )
Fig. 14.6.
a)m1,m2ys1,s2 b)m1.m2ys1,s2 c)m1.m2ys1.s2 d)m1,m2ys1.s2
c) 2 1 2 1ym m s s, ,
7.ParalaN(0,1)calculaelvalordektalque: a)P(Z k)50,8599 b) P(Z k)50,0287
a) 1,08 b) −1,90
8.Lascalificaciones,X,deunexameneliminatoriohanresul-tadodistribuirsecomounanormalN(65,18).Silaprobabi-lidadP(X k)50,9192¿cuántovalek?
P ZX 65
180, x 65 18 1,0
0# ⇒2
1 ?5 5 59192 4 90 2,
24 puntos.
9.La distribución N(50, 5) puede considerarse una buenaaproximacióndeladistribuciónbinomialB(n,p).¿Cuántovalennyp?
Formamos el sistema: np
npqq p
5
55 5
50
512
122
⇒ ⇒⎧⎨⎩⎪
.
Como np550 ⇒n5100 ⇒p50,5
10.Laprobabilidaddefallardianaenuntiradorprofesionalesde0,2.Sirealiza100disparos,¿cuáleslaprobabilidaddequefalle25omás?
La binomial B(100, 0,2) se aproxima por una N(20, 4) y P(X.25)5P(X . 24,5)5P(7 . 1,125) 5 0,1314
Sol_1CCSS_11a14.indd 105 12/5/08 15:41:12
e
,
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notas
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notas