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BARBETTA, REIS e BORNIA Estatstica para Cursos de Engenharia e Informtica. Atlas, 2004
Estatstica para Cursos deEstatstica para Cursos deEngenharia e InformticaEngenharia e Informtica
Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia
So Paulo: Atlas, 2004
Cap. 4Cap. 4 -- ProbabilidadeProbabilidade
APOIO:Fundao de Apoio Pesquisa Cientfica e Tecnolgica do Estado de Santa Catarina(FAPESC)Departamento de Informtica e Estatstica UFSC (INE/CTC/UFSC)
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Modelos probabilsticosModelos probabilsticos
Construo demodelos deprobabilidade paraentender melhor os
fenmenosaleatrios
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Modelos probabilsticosModelos probabilsticos
Definio do
experimento
Definio dosresultados possveis do
experimento
Definio de uma regra queobtenha a probabilidade de
cada resultado ocorrer.
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Espao amostralEspao amostral
O conjunto de todos os possveis resultados doexperimento chamado de espao amostral e denotado pela letra grega .
Um espao amostral dito discreto quando ele forfinito ou infinito enumervel; dito contnuoquando for infinito, formado por intervalos de
nmeros reais.
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EventosEventos
Chamamos de evento a qualquer subconjunto doespao amostral:
A um evento A
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Operaes entre eventosOperaes entre eventos
A
B
A A
B
(c) complementar:(b) interseo:A B
(a) Unio:A B
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Operaes entre eventosOperaes entre eventos
ocorre quando no
ocorrer o eventoA (noA)
formado pelos
elementos que noesto emA
c) Complementar
ocorre quando ocorrerambos os eventos (A eB)
formado somentepelos elementos queesto emA e B
b) InterseoA B
ocorre quando ocorrerpelo menos um deles (A,B ou ambos)
rene os elementosde ambos osconjuntos
a) UnioA B
EventoConjuntoOperao
A
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Eventos mutuamente exclusivosEventos mutuamente exclusivos
Eventos so ditos mutuamente exclusivos se e
s se eles no puderem ocorrer simultaneamente.
A e B so mutuamente exclusivos A B =
A
B
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Probabilidade de eventosProbabilidade de eventos
Espaos amostrais discretos equiprovveis
n
nAP
A=)(
sendo: n resultados igualmente provveis,
nA destes resultados pertencem a um certo eventoA
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Probabilidade de eventosProbabilidade de eventos
Espaos amostrais discretos
SeA = {1, 2, 3, ... }, ento:
=Ai
i
i
PAP
:
)()(
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PropriedadesPropriedades P() = 0
P() = 1
Probabilidade do evento complementar
)(1)( APAP =A
A
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PropriedadesPropriedades
Regra da soma das probabilidades
)()()()( BAPBPAPBAP +=
A
B
A B
)()()( BPAPBAP +=
Se A e B mutuamente exclusivos,ento:
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Probabilidade condicional.Probabilidade condicional. Ex. de motivaoEx. de motivao
685015504770530Total
3505027030fora das especificaes (F)
650015004500500dentro das especificaes (D)TotalUHT (U)C (C)B (B)Condio do peso
Tipo do leite
051,06850
350)( ==FP 032,0
1550
50)|( ==UFP
Notar que:)(
)(
68501550
685050
1550
50)|(
UP
UFPUFP
===
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Probabilidade condicionalProbabilidade condicional
SejamA e B eventos quaisquer, sendo P(B) > 0.Definimos aprobabilidade condicional de A dado Bpor
)()()|(
BPBAPBAP =
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Probabilidade condicional. ExemploProbabilidade condicional. Exemplo
Seja o lanamento de 2 dados no viciados e aobservao das faces voltadas para cima. Calcule aprobabilidade de ocorrer faces iguais, sabendo-se que a
soma menor ou igual a 5.
=
)6,6()5,6()4,6()3,6()2,6()1,6(
)6,5()5,5()4,5()3,5()2,5()1,5()6,4()5,4()4,4()3,4()2,4()1,4(
)6,3()5,3()4,3()3,3()2,3()1,3(
)6,2()5,2()4,2()3,2()2,2()1,2(
)6,1()5,1()4,1()3,1()2,1()1,1(
E1 = faces iguais = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
e
E2 = soma das faces menor ou igual a 5=
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3,2), (4, 1)}.
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Probabilidade condicional. ExemploProbabilidade condicional. Exemplo
2,010
2
361036
2
)(
)()|(
2
2121 ===
= EP
EEP
EEP
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Regra do produtoRegra do produto
)(
)()|(
BP
BAPBAP
=
)|()()( BAPBPBAP =
)(
)()|(
AP
BAPABP
=
)|()()( ABPAPBAP =
ou
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Eventos independentesEventos independentes Dois ou mais eventos so independentes quando
a ocorrncia de um dos eventos no influencia a
probabilidade da ocorrncia dos outros. Nessecaso:
)()|( APBAP =
A e B so independentes
)().()( BPAPBAP =
)()|( BPABP =e
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Teorema da probabilidade totalTeorema da probabilidade total Ilustrao da formao de um lote de peas
provindas de 4 fornecedores
Fornecedor:
(1) (2) (3) (4)
Grupo de peasextradas para a
formao do lotePeas no conformes
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Teorema da probabilidade totalTeorema da probabilidade total
E2
E1
E3 E7
E4 E5 E6
F
FE5FE7
FE3 FE4
)(...)()( 21 kEFEFEFF =
)(...)()(
)](...)()[()(
21
21
k
k
EFPEFPEFP
EFEFEFPFP
+++=
==
=
=k
i
iiEFPEPFP
1
)|()()(
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Teorema deTeorema de
BayesBayes
E2
E1
E3 E7
E4 E5 E6
F
FE5FE7
FE3 FE4
)(
)()|(
FP
FEPFEP
i
i
=
)( )|()()|( FP
EFPEP
FEP iii
=