فصل دوم

مبانی روش هاي عددي

53

انواع مدل هاي اقیانوسی

،ه ي مرزي، درجنوع شرط مدل هاي اقیانوسی براساس معیار هاي جغرافیاي حوضه، فرآیند هاي فیزیکیشوند بندي می و تغییرات چگالی دسته ) الیه بندي در راستاي قائم(آزادي در راستاي قائم

54

مدل اقیانوسی و مختصه ي قائم

در محاسبات انجام ي نحوه مناسب، اقیانوسی مدل انتخاب در کننده تعیین عوامل از یکی غییراتت از کمتر بسیار اقیانوسی قائم تغییرات سرعت که آن وجود با .است قائم راستاي

رخ منی مانند اقیانوس مختلف نواحی در پدیده هر تغییرات قائم رخ نیم اما است آن افقی وجودρ وσ،z اصلی قائم ي مختصه سیستم سه .دارد خاصی شکل ، ترموکالین ي الیه دمایی هستند معایبی و مزایا داراي یک هر که دارد

55

56 قائم ي مختصه ،z میگیرد نظر در قائم محور عنوان به را عمق که.

در تواند می که دارد، وجود اقیانوس عمق تا سطح از ثابتی تعداد گیرد قرار بیشتر وضوح با سطحی ي الیه

57 σمختصه ي قائم

ر همه در این نوع مدل، مختصه ي قائم از عمق سنجی پیروي می کند، تعداد نقاط شبکه قائم د. بدون توجه به عمق ستون آب، حفظ می گرددجاي حوضه

58 ρقائممختصه ي

بی در یک اقیانوس. این مدل از چگالی که به فشار ستون قائم اشاره دارد استفاده می کندواخت از بندي شده، پتانسیل چگالی عمدتاً حفظ شده و یک الیه بندي یکننسبتاً الیه درروي

مگن این سیستم اساساً ستون آب را به الیه هاي مجزاي ه. شودتعریف می جریان اقیانوسی ه تواند از جایی به جاي دیگر و هم چنین از یک زمان بهامی تقسیم می کند که ضخامت الیه . زمان مرحله ي بعد متفاوت باشد

59 ي قائم عمومی مختصه

ظر خود ي ترکیبی که کاربر را قادر میسازد تراکم الیه ها را در مناطق مورد نسیستم مختصه رود ي قائم عمومی در مدلهاي پیشرفته ي اقیانوسی به کار میعنوان مختصه تغییر دهد با

افقیبندي شبکه

لیک صورت دو به افقی ي شبکه .دارد وجود معادالت عددي حل براي مختلفی افقی هاي شبکه:دارد وجود نامنظم و منظم ي شبکه

مجاور ايه سلول تعداد و یکسان شبکه سلول اضالع تعداد :ساختاریافته یا منظم ي شبکه دارد یکسانی

مربع، ندمان مختلف هندسی هاي شکل از استفاده با ساختاریافته غیر یا نامنظم ي شبکه در حوضه لک و شوند می جفت یکدیگر کنار در بهینه صورت به ضلعی شش و ضلعی پنج مثلث،

الزاماً حوضه سراسر در شبکه سلول یک مجاور هاي سلول تعداد .شود می داده پوشش نیست بفرد منحصر

60

61

ها PDEطبقه بندي

:گیرندزیر قرار می سه طبقه بسیاري از مسائل آب و هوا شناسی در یکی از

مرزيمسائل مقدار

اولیهمسائل مقدار

مسائل مقدار ویژه

62

مسائل مقدار مرزي

معادالت حل به آن ها در که است ریاضیات مسائل از دسته اي عنوان مقدارمرزي مسئله رایطش مفروض، مجموعه یک مرزيِ نقاط در می باید معادله پاسخ که می پردازند دیفرانسیلیباشد دارا را مشخص شده

63

�" � + � � = 0 حل نمایید y(π/2)=2و y(0)=0را با استفاده از شرایط مرزي معادله:مثال

64

انواع شرایط مرزي

ده مجهول بر روي میدان مکان دامقدار تابع چنانچه شرایط مرزي فقط بر حسب : شرط دیریکله:مثال. شده باشد، آن را شرط دیریکله گویند

ا شده باشـد، آن رداده مجهول مشتق تابع اگر شرایط مرزي فقط بر حسب مقدار : شرط نیومن: مثال .نیـومن گویندشـرط

هاي قسمتو در مقدار تابع اگر شرایط مرزي در قسمتهایی از مرز بر حسب ): مخلوط(شرط روبین:مثال. گویندرا شرط مرزي روبین باشـد، آن داده شده مقدار مشتق تابع دیگر بر حسب

ابع در دو و همچنین تفاضل مقدار مشتق ت) بازهاي متناهی(اگر تفاضل مقدار تابع در دو سر بازه:مثال. مرزي را متناوب گویندباشـد، شرط داده شـده ) بازهاي متنـاهی(سر بازه

65

اولیهمسائل مقدار

ته مقدار آغازي به مسئله اي در ریاضیات گفمسئله مقدار اولیه یا مسئله است بهمعادله دیفرانسیل می شود که در آن هدف یافتن پاسخی از یک

شرایط مشخصی را دارا باشد) t=0(مفروضطوري که این پاسخ در نقطه اي

66

�´ � − 0.85� � = 0 حل نمایید y(0)=19را با استفاده از شرط اولیه اگر:مثال

67

مسائل مقدار ویژه

به شکلی است که � و �مساله تعیین� � = ارضا Dدر دامنه معین �� .از این دست در مطالعات ناپایداري هاي چگال گرا اتفاق می افتند .شود

68

69دوم دو متغیرههاي خطی مرتبۀ PDEطبقه بندي جایگزین براي

:هستند به این شکل طبقه بندي می شوند X,Yتوابعی از A,B,C,D,E,Fکه در آن

.دمعادالت هذلولوي و سهموي مسائل مقدار اولیه هستند در حالیکه معادلۀ بیضوي یک مسالۀ مقدار مرزي می باش

70مثال

وجود و یکتایی جواب ها

له یک و این معاداگر از مسالۀ فیزیکی است که می خواهیم حل کنیم تقریبی ما از آنجا که معادلۀ دباشفقط یک جواب نداشته باشد، نمی تواند نمایش خوبی از فرآیند فیزیکی مورد نظر

کجا بدانیم که مسالۀ مقدار اولیه واقعاً جواب دارد؟از

دارد؟وجود مسالۀ مقدار اولیه براي از کجا بدانیم که فقط یک جواب

71

;, ytfdt

dy 00 yty

ty

توالی پیکارد

نوعبراي اثبات وجود یک حل از

72

ty

رشته اي از توابعایجاد tyu و نزدیکتر می شوندنزدیک که به حل

داراي حد در بازه مناسب است نشان دادن اینکه رشته توابع tyu ty;00 ttt

.این بازه استدر یک حل از معادلۀ اثبات اینکه

. تقریب متوالی یا توالی پیکارد نامیده می شوداصطالحاً این روش

ty

,�اگر ��

��مقدار اولیۀباشد مسالۀ پیوسته و : که Rناحیۀ مستطیلی از اعداد حقیقی در ;00 tttbyy 0

00 yty ;, ytfdt

dy

داراي یک جواب واحد tyدر بازه می باشد. ;00 ttt

73

گسسته سازي

صورتی را توضیح می دهند حل تحلیلی ندارند حتی دراتمسفري -اقیانوسیمعادالت غیر خطی که تحولزیکی داده یک تابع تحلیلی بهترین راه براي نمایش یک میدان فی. که مساله به خوبی مطرح شده باشد

شده است زیرا مقادیر این میدان را در هر یک از بینهایت نقاط مکانی و در هر لحظه اي از زمان به ما.می دهد

ینی از اگر هیچ راه حل تحلیلی وجود نداشت، مجبوریم به روش هاي عددي روي بیاوریم تا به تقریب معیامپیوترها اما ک. جواب اصلی دستگاه معادالت برسیم، و به همین علت باید از کامپیوتر استفاده کنیم

ود را با توانند با تعداد بیشماري از اعداد کار کنند و بنابراین ما مجبوریم میدان هاي آب و هوایی خنمی.این فرآیند را گسسته سازي می نامند. تعداد محدودي از مقادیر ارائه دهیم

74

روش هاي گسسته سازي

روش با ها آن حل و است خطی غیر جمالت شامل اقیانوسی هاي مدل در شده استفاده معادالت قاضلت تر شده شناخته روش سه با معادالت بنابراین .نیست پذیر امکان ریاضی معمول هاي

شود می حل متناهی حجم و متناهی اجزاي ، متناهی

محبوب ردد،گ می بیان مشتق تعریف ي ساده کاربرد و تیلور بسط براساس که متناهی تفاضل دارد نیاز ساختارمند بسیار ي شبکه به اما است؛ روش ترین ساده و ترین

شکل شرایط و دارد وجود غیرمنتظم هاي چهارخانه از استفاده توانایی متناهی اجزاي روش آورد می فراهم را معادالت حل جهت حوضه هندسی فضاي اشکال به توجه با المانهایی گرفتن

انتگرال تقریب روش آن در که است متناهی اجزاي روش نوعی واقع در محدود حجم روش اسباتیمح سیاالت دینامیک مسائل حل براي بیشتر و است متفاوت متناهی اجزاي روش با ها است مناسب حرارت انتقال و

75

)Finite Difference(تفاضل متناهی

ب ترین و بیان می گردد، محبوتعریف مشتق تفاضل متناهی که براساس بسط تیلور و کاربرد ساده ي. ساده ترین روش است؛ اما به شبکه ي بسیار ساختارمند نیاز دارد

کنید فاصله اي به طول فرضL داریم که توسطN+1 نقطه شبکه با فواصل مساوي پوشش داده شده:با استفاده از بسط تیلور داریم. است

76

Finite Difference(77(تفاضل متناهی

پس از حذفE ه دست ، این عبارات تقریب تفاضل متناهی پیشرو، پسرو و مرکزي را براي مشتق مرتبۀ اول ب. می دهند

خطاي برشی باE در توانداده می شود و مرتبۀ تقریب با کمترینE بنابراین طرحواره .تعریف می شودهاي پیشرو و پسرو از مرتبۀ اول و طرحوارة مرکزي از مرتبۀ دوم می باشد

xD

78 از بسط تیلور عبارات و بدست آوردیک طرحوارة مرتبۀ چهارم را می توان با استفاده xx j D 2 xx j D 2

:است از بدست می آید عبارت بسط تیلورمتناهی معمول براي مشتق مرتبۀ دوم که از ل ضتفاتقریب

معادلۀ خطی فرارفت

معادلۀ یک بعدي خطی شدة فرارفت عبارت است از:

79

:در نظرگرفته می شود x=lو x=0در شرایط مرزي تناوبی براي

80معادلۀ خطی فرارفت

81معادلۀ خطی فرارفت

Therefore we get a function propagating without change of shape along the positive axis with speed u0(phase speed).

82معادلۀ خطی فرارفت

It is interesting to consider the "energy" defined by

طرح واره ها

وانت می مکانی سازي گسسته بر عالوه را فرارفت خطی معادله نظیر معادالتیو نوع به محاسبات زمانی گام تعیین اما کرد گسسته نیز زمان به نسبت اتمشخص به چنین هم و پدیده بر حاکم معادالت عددي حل بندي فرمول ي شیوه امگ مانند پارامترهایی به مدل همگرایی و پایداري واقع در .دارد بستگی مدل

ونیگوناگ زمانی گام هاي واره طرح .دارد بستگی شبکه افقی ي فاصله و زمانی ودش می گرفته کار به مدل رویکرد و پدیده هاي ویژگی به توجه با که دارد وجود .نیستند پایدار ها واره طرح ي همه

83

روش هاي گسسته سازي

ریح سازي می گردد، در روش صگسسته ضمنی و معادالت به دو روش کلی صریح دل مپایداري معموال براي آینده محاسبه میشود، گذشته،مقادیر که از مقادیر

در یک معلومضمنی که اما در روش . باشدبرقرار ) عدد کورانت(شرایطی باید زمان حال و سه مجهول در زمان آینده دارد، همیشه پایدار است

راي در یک مساله خاص باید ببینیم کدام روش مناسب تر است و چه پاسخی ب:سواالت زیر داریم

چه باید کرد؟ xDو گام مکانی tDدر رابطه با گام زمانی

تاثیر انتخاب گام مکانی در حل چیست؟

آیا روش حل پایدار خواهد بود و از دقت کافی برخوردار است؟

...

84

) صریح(روش هاي گسسته سازي

)FTCS(پیشرو نسبت به زمان و تفاضل مرکزي نسبت به مکان

به عنوان مثال براي معادله

:داریم

.استکه از مرتبه

می توان نشان داد حل این معادله در صورتی پایدار است که

85

) صریح(روش هاي گسسته سازي

)FTCS(پیشرو نسبت به زمان و تفاضل مرکزي نسبت به مکان

86

) صریح(روش هاي گسسته سازي

روش ریچاردسون

.در این روش از تقریب تفاضل مرکزي براي مشتق هاي زمانی و مکانی استفاده می شود

به عنوان مثال براي معادله

:معادله تفاضل متناهی بدست آمده به صورت زیر است

.استکه از مرتبه

بی قید و شرط ناپایدار است و بنابراین هیچ ارزش عملی نداردمی توان نشان داد حل این معادله

87

) صریح(روش هاي گسسته سازي

روش دوفورت فرانکل

ه با یک رابطه تفاضل متناهی مرکزي مرتبه تقریب زد در این روش مشتق زمانی تقریب مشتق مرتبه دوم مکانی نیز با یک رابطه تفاضل محدود مرکزي مرتبه. می شود

ط تنها براي پایدار شدن طرحواره عبارت در جمله انتشار با مقدار متوس.تعیین می شود

):این طرح واره در واقع تغییر یافته الگوي ریچاردسون است(و جایگزین می گردد

88

) صریح(روش هاي گسسته سازي

روش دوفورت فرانکل

این طرح واره بی قید و شرط پایدار است و از مرتبه

.که عبارت از تحلیل پایداري بدست می آید

89

) صریح(روش هاي گسسته سازي

روش دوفورت فرانکل

90

) ضمنی(روش هاي گسسته سازي

اگر معادله

از یک به شکل زیر گسسته سازي شود؛ آن را معادله ضمنی می نامیم زیرا بیش:مجهول در معادله تفاضل محدود ظاهر می شود

باعث که کرد حل باید همزمان طور به را معادالت از اي مجموعه نتیجه در ريپایدا مهم مزیت داراي لیکن شود می زمانی گام هر در محاسبه زمان افزایش.ارندپاید شرط و قید بی ها واره طرح بیشتر و هستند منتاهی تفاضل معادالت

91

) ضمنی(روش هاي گسسته سازي

السوننروش

یک شد، اعمال )n+1( زمانی مرحله در ها گره تمام در فوق معادله اینکه از پس به ار معادالت از اي مجموعه نتیجه در.آید می بدست خطی جبري معادالت دستگاه

می زمانی گام هر در محاسبه زمان افزایش باعث که کرد حل باید همزمان طور شتربی و هستند منتاهی تفاضل معادالت پایداري مهم مزیت داراي لیکن شود.پایدارند شرط و قید بی ها واره طرح

92

) ضمنی(روش هاي گسسته سازي

نیکولسون-کرانکروش

با مقدار متوسط تفاضل هاي مرکزي در مقاطع اگر عبارت انتشار را در معادله:جایگزین کنیم n+1و nزمانی

:سمت چپ تقریب تفاضل مرکزي با گام زمانی است

93

) ضمنی(روش هاي گسسته سازي

نیکولسون-کرانکروش

94

) ضمنی(روش هاي گسسته سازي

نیکولسون-کرانکروش

:این روش حاصل جمع محاسبات در دو گام زمانی به شکل زیر است

:با استفاده از روش صریح

:با استفاده از روش ضمنی

95

) ضمنی(روش هاي گسسته سازي

نیکولسون-کرانکروش

:با استفاده از روش صریح

:با استفاده از روش ضمنی

:از جمع دو عبارت داریم

این روش همیشه پایدار و از مرتبه

.یا مرتبه دوم است

96

) ضمنی(روش هاي گسسته سازي

فرمول بندي بتاروش

:شکل کلی معادله تفاضل متناهی به صورت زیر استبراي معادله

97

پایداريهمگرایی، سازگاري و

:همگرایی

که میهنگا اگر شود می گفته همگرا دیفرانسیل معادلۀ یک از گسسته حل یک .شود نزدیک پیوسته معادلۀ حل به شوند می کوچکتر و کوچک گسستگی نقاط

هاي روش در یا شود می کمتر شبکه بین نقاط فاصلۀ متناهی تفاضل روش در(.)یابد می افزایش پایه توابع تعداد طیفی و محدود المان

98

پایداريهمگرایی، سازگاري و

خطاي هک جزئی دیفرانسیل معادله یک از است عبارت سازي گسسته تکنیک :)همسازي(سازگاري .کند می میل صفر به شود تر ظریف و ظریف سازي گسسته که هنگامی آن برشی

اما ت،اس پیوسته معادلۀ مانند شده سازي گسسته معادلۀ که است معنی این به تنها سازگاري .)باشند همگرا( باشند نزدیک همدیگر به مربوطه هاي حل که کند نمی تضمین سازگاري

معادلۀ حل کنید فرض

:نتیجه در باشد زمان و نقطۀ در

شود، می نزدیک صفر به زمانی گام و شبکه طول که طور همان شود، نزدیک صفر به برشی خطاي اگراست سازگار شبکه طرح

99

nj

~

H

t

jxnt

EHt

n

j

n

j

~

پایداريهمگرایی، سازگاري و

ۀهم که است پایدار هنگامی شده سازي گسسته شبکه طرح یک : پایداري رقد به از مقداري هر ازاي به که باشند اولیه حالت از توابعی آن هاي حل

به عددي حل یابد افزایش t اگر که طوري به باشند دار وکران کوچک کافینکند میل بینهایت سمت

:نظریه هم ارزي الکس

مگرا نیز اگر یک طرح شبکه گسسته سازي شده پایدار و سازگار باشد، آنگاه ه.خواهد بود

100

tD

روش هاي تحلیل پایداري

نمایی یک روش تفاضل محدود زمانی پایدار است که خطاهاي تولیدي در محاسبه یک گام زمانی باعث بزرگانند یک روش پایدار ذاتی ،روشی است که خطاها در طول محاسبات ثابت بم.خطاها درادامه ي محاسبه نشود

در غیر این صورت.اگر خطا ها کاهش بیابند و در آخر از بین بروند ،روش عددي پایدار خوانده می شود . . اگر خطاها با گذر زمان رشد کنند روش عددي را ناپایدار می خوانند

اجتناب از رشد انرژي از هر گام به گام دیگر نیاز داریم: روش انرژي

داريپای. نیومن که در آن تنها رفتار یک هماهنگ فوریه مورد مطالعه قرار میگیرد -روش سریهاي فون. همه ي هماهنگ هاي قابل قبول، شرط الزم براي پایداري طرح واره است

101

روش هاي تحلیل پایداري

انرژيروش:

قبالً فهمیدیم که براي معادلۀ فرارفت با شرایط مرزي تناوبی، انرژي بقا دارد

102

) د جریانپا(به عنوان مثال یک معادلۀ فرارفت را با تفاضل پیشرو در زمان و تفاضل پسرو در مکان در نظر بگیرید

103

:با جایگذاري از رابطه مقابل داریم

با جمع بر روي تمام نقاط شبکه و استفاده از شرایط مرزي

که داریم نیاز دیگر گام به گام هر از انرژي رشد از اجتناب براي بنابراین

104