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5. Verhaltniszahlen, Messzahlen und Indexzahlen
Ziel dieses Kapitels:
• Grundlegende Maßzahlen der praktischen Wirtschaftsstatistik
5.1 Verhaltniszahlen
Definition 5.1: (Verhaltniszahl)
Eine Verhaltniszahl ist allgemein der Quotient zweier statistis-cher Großen. Die den beiden Großen zugrunde liegenden Grund-gesamtheiten konnen identisch oder verschieden sein. Als spezi-elle Verhaltniszahlen unterscheidet man Gliederungszahlen, Be-ziehungszahlen und Messzahlen.
139
Gliederungszahl:
• Aussage uber die Struktur der Grundgesamtheit G eines (me-trisch skalierten) Merkmals U
• Annahme: G zerfallt in J Teilgesamtheiten, d.h.
G = G1 ∪G2 ∪ . . . ∪GJ
• Es bezeichne uj die Merkmalssumme von U in der Teilge-samtheit Gj (j = 1, . . . , J), so dass gilt
u =J
∑
r=1ur = Merkmalssumme von U auf ganz G
• Definiere nun fur j = 1, . . . , J die Gliederungszahlen
gj =uj
u
140
Bemerkungen:
• Die Gliederungszahlen gj sind Anteile, d.h. es gilt
gj ≥ 0∑J
r=1 gr = 1
Beispiele:
• Anteile der Studierenden der unterschiedlichen Disziplinenam Fachbereich WiWi der WWU(Betriebs-, Volkswirte, Wirtschaftsinformatiker)
• Anteile von Bund, Landern und Kommunen an der Gesamtver-schuldung der BRD
141
Beziehungszahl: [I]
• Aussage uber die Struktur der Grundgesamtheit G in Bezugauf 2 (metrisch skalierte) Merkmale U und V
• Annahme: G zerfallt in J Teilgesamtheiten, d.h.
G = G1 ∪G2 ∪ . . . ∪GJ
• Es bezeichnen uj und vj die Merkmalssummen von U und Vin der Teilgesamtheit Gj (j = 1, . . . , J), so dass gilt
u =J
∑
r=1ur = Merkmalssumme von U auf ganz G
v =J
∑
r=1vr = Merkmalssumme von V auf ganz G
142
Beziehungszahl: [II]
• Definiere nun die Beziehungszahlen
b =uv
bzw. fur j = 1, . . . , J
bj =uj
vj
Beispiel: (Bundeslanderstatistik)
• Amtliche Statistik der BRD
143
Bundesland Einw. in 1000 BIP (Mrd. DM)Baden-Wurttemberg 10397 520.36Bayern 12066 614.97Berlin 3426 154.81Brandenburg 2573 75.72Bremen 674 40.34Hamburg 1705 141.25Hessen 6032 340.91Meck.-Vorpommern 1808 47.91Niedersachsen 7845 315.75NRW 17975 799.51Rheinland-Pfalz 4018 156.04Saarland 1081 43.92Sachsen 4522 124.08Sachsen-Anhalt 2702 69.71Schleswig-Holstein 2757 113.79Thringen 2478 64.93Summe 82059 3624.00
144
Gliederungszahlen: (vgl. Folie 146)
• Bevolkerungsanteil
• Anteil am BIP
Beziehungszahlen: (vgl. Folie 147)
• BIP pro Kopf
145
Bundesland Bev.-Anteil Anteil am BIPBaden-Wurttemberg 0.1267 0.1436Bayern 0.1470 0.1697Berlin 0.0418 0.0427Brandenburg 0.0314 0.0209Bremen 0.0082 0.0111Hamburg 0.0208 0.0390Hessen 0.0735 0.0941Meck.-Vorpommern 0.0220 0.0132Niedersachsen 0.0956 0.0871NRW 0.2190 0.2206Rheinland-Pfalz 0.0490 0.0431Saarland 0.0132 0.0121Sachsen 0.0551 0.0342Sachsen-Anhalt 0.0329 0.0192Schleswig-Holstein 0.0336 0.0314Thringen 0.0302 0.0179Summe 1 1
146
Bundesland BIP pro Kopf in DMBaden-Wurttemberg 50049.05Bayern 50967.18Berlin 45186.81Brandenburg 29428.68Bremen 59851.63Hamburg 82844.57Hessen 56516.91Meck.-Vorpommern 26498.89Niedersachsen 40248.57NRW 44479.00Rheinland-Pfalz 38835.24Saarland 40629.05Sachsen 27439.19Sachsen-Anhalt 25799.41Schleswig-Holstein 41273.12Thringen 26202.58Deutschland insgesamt 44163.35
147
Einige Zusammenhange: [I]
• Es gilt:
b =uv
=1v
J∑
j=1uj =
J∑
j=1
uj
v
=J
∑
j=1
vj
v·uj
vj
=J
∑
j=1hj ·
uj
vj
−→ Beziehungszahl b = uv ist gewogenes arithmetisches Mittel
der Beziehungszahlenujvj
mit den Gewichten hj =vjv
148
Einige Zusammenhange: [II]
• Ferner gilt:
b =(v
u
)−1=
∑Jj=1 vj
u
−1
=
J∑
j=1
uj
u·vj
uj
−1
=
J∑
j=1gj
(
uj
vj
)−1
−1
=1
∑Jj=1 gj · 1
bj
−→ b = uv ist gewogenes harmonisches Mittel der bj =
ujvj
mit den
Gewichten gj =uju
149
Messzahl:
• Quotient zweier sachlich aufeinander bezogener Maßzahlenfur zwei statistische Massen
Beispiele: [I]
• Geschlechterverhaltnis
Geschl.-Verhaltn. =Manner in der BRD am 1.1.2010Frauen in der BRD am 1.1.2010
(Messzahl des sachlichen Vergleichs)
150
Beispiele: [II]
• Einwohnerrelation zwischen 2 Landern
Einwohnerel. =Einwohner der BRD am 1.1.2010
Einwohner Frankreichs am 1.1.2010(Messzahl des raumlichen Vergleichs)
• Einwohnerrelation eines Landes an 2 Zeitpunkten
Einwohnerel. =Einwohner der BRD am 1.1.2010Einwohner der BRD am 1.1.2005
(Messzahl des zeitlichen Vergleichs)
151
5.2 Messzahlen des zeitlichen Vergleichs
Ausgangssituation und Begriffe: [I]
• Betrachte eine zeitlich geordnete Folge von Zeitpunkten t0 ≤t1 ≤ . . . ≤ tT sowie die Auspragungen eines (metrischen)Merkmals X zu diesen Zeitpunkten:
xt0, xt1, . . . , xtT
(alternative Schreibweise: xt, t = t0, . . . , tT )
• Der Index t steht fur die Zeit (time). Deshalb nennt man dieobige Urliste xt0, . . . , xtT eine Zeitreihe
152
Ausgangssituation und Begriffe: [II]
• Sind die Abstande zwischen den Zeitpunkten t0, t1, . . . , tT im-mer gleich, d.h.
t1 − t0 = t2 − t1 = . . . = tT − tT−1,
so spricht man von aquidistanten Zeitpunkten. In diesemFall benennt man die Zeitpunkte t0, t1, . . . , tT der Einfachheithalber um in 0,1, . . . , T und notiert die obige Zeitreihe als
x0, x1, . . . , xT
Beispiele fur Zeitreihen:
• Monatliche Arbeitslosenquoten
• Tagliche Wechselkurse zwischen Euro und US-$
153
Haufiges Vorgehen in der Empirischen Wirtschaftsforschung:
• Wahle aus der Menge aller moglichen Zeitpunkte einen Ba-siszeitpunkt s ∈ {t0, . . . , tT} und setze die gesamte Zeitreihext, t = t0, . . . , tT , ins Verhaltnis zur Beobachtung xs des Ba-siszeitpunktes. Fur einen beliebigen Berichtszeitpunkt t be-trachtet man also den Quotienten
ms,t =xt
xsfur t = t0, . . . , tT
• Begrundung:Man interessiert sich fur die Entwicklung der Zeitreihe relativzur Auspragung des Basiszeitpunktes s(in praxi wird oft s = t0 gewahlt)
154
Definition 5.2: (Messzahl mit fester Basiszeit)
Fur einen konkreten Basiszeitpunkt s ∈ {t0, . . . , tT} nennt manden Quotienten
ms,t =xt
xs
die Messzahl fur die Berichtszeit t.
Man beachte:
• Aus Definition 5.2 folgt unmittelbar:
mt,t = 1
ms,t =xt
xs=
1xs/xt
=1
mt,s
155
Beispiel:
• Wechselkurszeitreihe ’Griechische Drachme zum Euro’(Tagesdaten)
Offensichtlich:
• Qualitativer Verlauf gleich
• Untere Grafik betont Kursverlauf relativ zum Startwert
156
320
325
330
335
340
345
15/12/98 3/07/99 19/01/00 6/08/00
Originale Zeitreihe
0.96
0.98
1.00
1.02
1.04
15/12/98 3/07/99 19/01/00 6/08/00
Zeitreihe zum Basiszeitpunkt s=0 (Basiswert: 328.388)
5.2.1 Umbasierung und Verkettung von Mess-zahlen
Definition 5.3: (Umbasierung)
Unter der Umbasierung einer Messzahl zum Basiszeitpunkt s ver-steht man den Ubergang zu einer Messzahl mit anderer Basiszeitr ∈ {t0, . . . , tT}.
Rechenregel fur Umbasierung: [I]
• Offensichtlich gilt fur jedes t ∈ {t0, . . . , tT}
mr,t =xt
xr=
xt/xs
xr/xs=
ms,t
ms,r
158
Rechenregel fur Umbasierung: [II]
−→ Zirkularitat von Messzahlen:
ms,t = ms,r ·mr,t
Verkettung von Messzahlen:
• Betrachtete aquidistante Zeitreihe x0, x1, . . . , xT und Folgenvon Messzahlen zu den Basiszeiten 0 bzw. s
m0,t fur t = 0,1, . . . , sms,t fur t = s, s + 1, . . . , T
• Gesucht: durchgehende (vollstandige) Folgen von Messzahlenzu den Basiszeiten 0 bzw. s
159
Losung:
• Messzahlenfolge fur die Basiszeit 0:
m0,t =
{
m0,t fur t = 0,1, . . . , sm0,s ·ms,t fur t = s + 1, s + 2, . . . , T
• Messzahlenfolge fur die Basiszeit s:
ms,t =
m0,tm0,s
fur t = 0,1, . . . , s− 1
ms,t fur t = s, s + 1, . . . , T
Zahlenbeispiel:
• In den Tutorien
160
5.2.2 Zuwachsraten und Zuwachsfaktoren
Betrachte:
• Aquidistante Zeitreihe xt, t = 0,1, . . . , T
• Messzahl mit fester Basiszeit
ms,t =xt
xs
(vgl. Definition 5.2, Folie 155)
161
Definition 5.4: (Zuwachsfaktor, Zuwachsrate)
Die Messzahl ms,t bzeichnet man auch als Zuwachsfaktor bzw. alsWachstumsfaktor. Die absolute Anderung xt − xs bezogen aufden Wert zur Zeit s
ws,t =xt − xs
xs= ms,t − 1
bezeichnet man als Zuwachsrate bzw. Wachstumsrate.
Bemerkungen:
• Zuwachsfaktoren und -raten werden oft in Prozent angegeben
• Es gilt
xt = ms,t · xs bzw. xt − xs = ws,t · xs
162
Beispiel:
• Bargeldumlauf in der BRD
Jahr Umlauf Zuwachsfaktor Zuwachsrate(in Mio. DM) (in Prozent)
1992 2272851993 238641 1.04996 4.9961994 250907 1.05140 5.1401995 263510 1.05023 5.0231996 275744 1.04643 4.6431997 276242 1.00181 0.1811998 270981 0.98096 −1.9041999 289972 1.07008 7.0082000 278143 0.95921 −4.0792001 162205 0.58317 −41.683
163
Definition 5.5: (Durchschnittlicher Zuwachsfaktor)
Als durchschnittlichen Zuwachsfaktor zwischen Anfangs- undEndzeitpunkt bezeichnet man das geometrische Mittel (vgl. Def-inition 4.7, Folie 98) der 1-periodigen Zuwachsfaktoren:
mG = T√
m0,1 ·m1,2 · . . . ·mT−1,T .
Bemerkungen: [I]
• Es gilt:
mG = T√
m0,1 ·m1,2 · . . . ·mT−1,T
= T
√
x1
x0·x2
x1·x3
x2· . . . ·
xT−1
xT−2·
xTxT−1
= T
√
xTx0
(Durchschnittl. Zuwachsfaktor hangt nur von x0 und xT ab)
164
Bemerkungen: [II]
• Wenn x0 jede Periode um den durchschnittlichen Zuwachs-faktor steigt, ergibt sich nach T Perioden xT :
t = 0 : x0
t = 1 : x0 ·mG
t = 2 : x0 ·mG ·mG = x0 ·m2G
... ...
t = T : x0 ·mTG = x0 ·
(
T
√
xTx0
)T= xT
165
Definition 5.6: (Durchschnittliche Zuwachsrate)
Als durchschnittliche Zuwachsrate bezeichnet man den um 1 ver-minderten durchschnittlichen Zuwachsfaktor:
w = mG − 1 = T
√
xTx0
− 1.
166
5.2.3 Logarithmische Zuwachsraten
Definition 5.7: (Logarithmische Zuwachsrate)
Unter der logarithmischen Zuwachsrate (auch stetige Zuwach-srate) zwischen den Zeitpunkten s, t versteht man die Große
rs,t = ln(xt
xs
)
= ln(xt)− ln(xs).
Bemerkungen: [I]
• Es gilt:
xt = xs · ers,t
167
Bemerkungen: [II]
• Zwischen der log. Wachstumsrate rs,t und der Zuwachsratews,t aus Definition 5.4 gilt in ’guter’ Naherung:
rs,t = ln(xt)− ln(xs) ≈xt − xs
xs= ws,t
Vorteile der logarithmischen Wachtumsrate: [I]
• Addierbarkeit:
r0,T = ln(xT )− ln(x0) =T
∑
t=1
[
ln(xt)− ln(xt−1)]
=T
∑
t=1rt−1,t
(Wachstumsrate r0,T ist Summe der 1-periodigen Wachs-tumsraten rt−1,t)
168
Vorteile der logarithmischen Wachtumsrate: [II]
−→ Durchschnittliche logarithmische Zuwachsrate r zwischen denZeitpunkten 0 und T ist arithmetisches Mittel der 1-periodigenlogarithmischen Wachstumsraten
r =1T·
T∑
t=1rt−1,t =
1T· r0,T
• ’Symmetrie’:Verandert sich der Wert xt in der Folgeperiode t+1 auf xt+1und fallt dann in t+2 auf xt zuruck (also xt+2 = xt), so sinddie log. Wachstumsraten rt,t+1 und rt+1,t+2 vom Betrage hergleich (mit entgegengesetzen Vorzeichen)
169
Beispiel: Symmetrische Aktienkursbewegung
Periode Kurs rt,t+1 wt,t+1t 100
t + 1 110 0.0953 0.1t + 2 100 −0.0953 −0.0909
Summe: 0 0.0091
Anwendungsgebiete der log. Zuwachsrate:
• Finanzmathematik (stetige Verzinsung)
• Finanzmarkte (Aktien- und Wechselkursanderungen)
• Modelle der Wachstums- und Konjunkturtheorie
170
5.3 Indexzahlen
Bisher:
• Zeitliche Entwicklung einer okonomischen Große uber Mess-zahlen
Jetzt:
• Zeitliche Entwicklung mehrerer Großen gleichzeitig
171
Beispiele:
• Preisentwicklung fur Guter des privaten Konsums
Problem:Preise einiger Guter steigen, Preise anderer Guter fallen
−→ Aggregation aller Messzahlen zu einer Indexzahl (Index)
• Aktienindizes (DAX, Dow Jones, Euro Stoxx)
Aggregation von Kursen verschiedener Aktien zu einemAktienkorb
Ziel:Darstellung der Entwicklung des Gesamtmarktes
172
Voraussetzungen und Notationen:
• Betrachte einen Warenkorb (Kollektion von Gutern)
• Jedes Gut des Korbes hat einen Preis und eine Menge
• n: Anzahl der Guter im Warenkorb
• pt(i): Preis des Gutes i zur Zeit t
• qt(i): Menge des Gutes i zur Zeit t
• vt(i) = pt(i) · qt(i): Wert des Gutes i zur Zeit t
173
Benennungen:
• Preise: GeldeinheitenMengeneinheit (z.B. 1 Euro / Liter)
• Mengen: Mengeneinheiten
• Wert: Geldeinheiten
Betrachtung zweier Zeitpunkte:
• Berichtszeit (notiert mit t)
• Basiszeit (Setzung auf 0)
174
Generelles Ziel:
• Beschreibung der Veranderungen von Preisen, Mengen undWerten des gesamten Warenkorbes zwischen der Berichtszeitt und dem Basiszeitpunkt 0
Zunachst fur einzelnes Gut i (i = 1, . . . , n):
• pt(i)p0(i)
: Preismesszahl fur das Gut i
• qt(i)q0(i)
: Mengenmesszahl fur das Gut i
• vt(i)v0(i)
: Wertmesszahl fur das Gut i
175
Offensichtlich:
vt(i)v0(i)
=pt(i) · qt(i)p0(i) · q0(i)
=pt(i)p0(i)
·qt(i)q0(i)
(Wertmesszahl = Preismesszahl × Mengenmesszahl)
Bisher:
• Anderungen des Warenkorbes durch 3 · n Messzahlen
Jetzt:
• Aggregation einzelner Messzahlen zu Indexzahlen
176
5.3.1 Preisindizes
Ziel:
• Indexzahlen zur Messung der Preisentwicklung
Definition 5.8: (Laspeyres-Preisindex)
Die Mittelwertform des Preisindexes vom Typ Laspeyres ist defi-niert durch
IpLa;0,t =
n∑
i=1
pt(i)p0(i)
·p0(i) · q0(i)
∑nj=1 p0(j) · q0(j)
.
177
Bemerkungen: [I]
• In seiner Mittelwertform ist der Preisindex IpLa;0,t ein gewo-
genes arithmetisches Mittel der Preismesszahlen
pt(i)p0(i)
, i = 1, . . . , n.
• Die Gewichtep0(i) · q0(i)
∑nj=1 p0(j) · q0(j)
sind die Ausgabenanteile fur jedes einzelne Gut i zum Ba-siszeitpunkt 0
178
Bemerkungen: [II]
• Durch Kurzen von p0(i) ergibt sich die Aggregatform desLaspeyres-Indexes:
IpLa;0,t =
∑ni=1 pt(i) · q0(i)
∑ni=1 p0(i) · q0(i)
Definition 5.9: (Paasche-Preisindex)
Die Mittelwertform des Preisindexes vom Typ Paasche ist definiertdurch
IpPa;0,t =
1n
∑
i=1
1pt(i)p0(i)
·pt(i) · qt(i)
∑nj=1 pt(j) · qt(j)
.
179
Bemerkungen: [I]
• In seiner Mittelwertform ist der Preisindex IpPa;0,t ein gewo-
genes harmonisches Mittel der Preismesszahlen
pt(i)p0(i)
, i = 1, . . . , n.
• Die Gewichtept(i) · qt(i)
∑nj=1 pt(j) · qt(j)
sind die Ausgabenanteile fur jedes einzelne Gut i zum Bericht-szeitpunkt t
180
Bemerkungen: [II]
• Durch Umformung des Doppelbruchs ergibt sich die Aggre-gatform des Paasche-Indexes:
IpPa;0,t =
∑ni=1 pt(i) · qt(i)
∑ni=1 p0(i) · qt(i)
Beispiel: [I]
• Warenkorb mit n = 3 Gutern
Gut Basiszeit t = 0 Berichtszeit t = 1i p0(i) q0(i) p1(i) q1(i)1 14.30 2.20 14.70 1.802 1.19 8.00 1.05 18.003 0.94 18.00 0.99 14.00
181
Beispiel: [II]
• Arbeitstabelle zur Indexberechnung in Aggregatform
i p1(i) · q0(i) p0(i) · q0(i) p1(i) · q1(i) p0(i) · q1(i)1 32.34 31.46 26.46 25.742 8.40 9.52 18.90 21.423 17.82 16.92 13.86 13.16∑
58.56 57.90 59.22 60.32
• Berechnung der Indizes:
IpLa,0,t =
58.5657.90
= 1.0114, IpPa,0,t =
59.2260.32
= 0.9818
182
Offensichtliches Dilemma:
• Laspeyres-Index zeigt Preiserhohung an, Paasche-Index dage-gen Preissenkung
Frage:
• Wie hangen die beiden Indizes zusammen?
183
Mathematisches Resultat:
• Es gilt
IpPa,0,t < Ip
La,0,t
genau dann, wenn die beiden Folgen der Preis- und Mengen-messzahlen (fur i = 1, . . . , n)
pt(i)p0(i)
undqt(i)q0(i)
’negativ korreliert’ sind(Zum Begriff der Korrelation, vgl. Kapitel 6)
Jetzt:
• Ein letzter Preis-Index-Typ
184
Definition 5.10: (Fisher-Preisindex)
Der Preisindex vom Typ Fisher ist definiert durch
IpF i;0,t =
√
IpLa;0,t · I
pPa;0,t.
Bemerkungen:
• Fisher-Index ist geometrisches Mittel aus Laspeyres- undPaasche-Index
• Es gilt:
min{
IpLa;0,t, I
pPa;0,t
}
≤ IpF i;0,t ≤ max
{
IpLa;0,t, I
pPa;0,t
}
• Fur das obige Warenkorbbeispiel gilt:
IpF i;0,t =
√1.0114 · 0.9818 = 0.9965
(Preisreduktion des Warenkorbes um 0.35%)
185
5.3.2 Mengenindizes
Jetzt:
• Ubertragung des Konzeptes der Preisindizes auf Mengenin-dizes durch einfache Vertauschung der Rollen von Preisenund Mengen
186
Definition 5.11: (Mengenindizes)
Die Mittelwert- bzw. Aggregatformen des(a) Mengenindexes nach Laspeyres sind definiert durch
IqLa;0,t =
n∑
i=1
qt(i)q0(i)
·p0(i) · q0(i)
∑nj=1 p0(j) · q0(j)
=∑n
i=1 qt(i) · p0(i)∑n
i=1 q0(i) · p0(i),
(b) Mengenindexes nach Paasche sind definiert durch
IqPa;0,t =
1n
∑
i=1
1qt(i)q0(i)
·pt(i) · qt(i)
∑nj=1 pt(j) · qt(j)
=∑n
i=1 qt(i) · pt(i)∑n
i=1 q0(i) · pt(i).
(c) Der Mengenindex nach Fisher ist definiert durch
IqF i;0,t =
√
IqLa;0,t · I
qPa;0,t.
187
5.3.3 Wertindizes
(Kanonische) Definition eines Wertindexes:
• Man beachte hierbei, dass die Werte des Warenkorbes zu denZeitpunkten 0 bzw. t gegeben sind durch
n∑
i=1v0(i) =
n∑
i=1p0(i) · q0(i) bzw.
n∑
i=1vt(i) =
n∑
i=1pt(i) · qt(i)
Definition 5.12: (Wertindex)
Ein geeigneter Wertindex ist in naturlicher Weise definiert durch
Iv0,t =
∑ni=1 vt(i)
∑ni=1 v0(i)
=∑n
i=1 pt(i) · qt(i)∑n
i=1 p0(i) · q0(i).
188
Bemerkungen:• Strukturell analog zu den Preis- und Mengenindizes konnte
man Wertindizes vom Typ Laspeyeres, Paasche bzw.Fisher definieren als
IvLa;0,t =
n∑
i=1
vt(i)v0(i)
·v0(i)
∑nj=1 v0(j)
IvPa;0,t =
1n
∑
i=1
1vt(i)v0(i)
·vt(i)
∑nj=1 vt(j)
IvF i;0,t =
√
IvLa;0,t · I
vPa;0,t
• Man uberpruft leicht, dass gilt:
IvLa;0,t = Iv
Pa;0,t = IvF i;0,t = Iv
0,t
189
5.3.4 Umbasierung und Verkettung von Indizes
Jetzt:
• Umbasierung und Verkettung beliebiger Indizes (Preis, Menge,Wert) in Analogie zur Umbasierung und Verkettung von Mess-zahlen(vgl. Folien 158, 159)
190
Definition 5.13: (Umbasierung von Indizes)
Gegeben sei eine Folge von Indizes zur Basiszeit s:
I∗s,t, t = t0, t1, . . . , tT .
Eine Folge von Indizes Ir,t zu einer alternativen Basiszeit r ∈{t0, t1, . . . , tT}, r 6= s, erhalt man durch
Ir,t =I∗s,tI∗s,r
, t = t0, t1, . . . , tT .
191
Definition 5.14: (Verkettung von Indizes)
Gegeben seien zwei Folgen von Indizes zu aquidistanten Zeiten:
I∗0,t fur t = 0,1, . . . , s,
I∗∗s,t fur t = s, s + 1, . . . , T.
Als verkettete Folge zur Basiszeit 0 verwendet man
I0,t =
{
I∗0,t fur t = 0,1, . . . , sI∗0,s · I
∗∗s,t fur t = s + 1, . . . , T
.
Durch Umbasierung der Indizes I∗0,t erhalt man die verketteteFolge zur Basiszeit s:
Is,t =
I∗0,tI∗0,s
fur t = 0,1, . . . , s− 1
I∗∗s,t fur t = s, s + 1, . . . , T.
192
Problem:
• Umbasierung und Verkettung von Indizes ist im allgemeinennicht typerhaltend
Beispiel: [I]
• Umbasierung des Laspeyres-Preisindexes IpLa;91,t vom Basiszeit-
punkt 91 auf Basiszeitpunkt 95
193
Beispiel: [II]
• Fur den Berichtszeitpunkt t = 96 ergibt sich:
I95,96 =IpLa;91,96
IpLa;91,95
=
∑ni=1 p96(i) · q91(i)
∑ni=1 p91(i) · q91(i)
∑ni=1 p95(i) · q91(i)
∑ni=1 p91(i) · q91(i)
=∑n
i=1 p96(i) · q91(i)∑n
i=1 p95(i) · q91(i)
6=∑n
i=1 p96(i) · q95(i)∑n
i=1 p95(i) · q95(i)= Ip
La;95,96
194
5.3.5 Formale Indexkriterien (Fisher-Proben)
Offensichtlich:
• Es gibt mehrere Indizes fur ein Messproblem
Frage:
• Welcher Index ist der ’beste’?
Losungsmoglichkeit:
• Postuliere ’sinnvolle’ Kriterien, die ein Index erfullen sollte
195
Vorschlag von I. Fisher (1922): [I]
• Ein Index Is,t (zur Basiszeit s und Berichtszeit t) sollte diefolgenden 7 Kriterien erfullen:
(1) Identitatsprobe
It,t = 1
(2) Zeitumkehrprobe
It,0 =1
I0,t
(3) Rundprobe (fur die Zeitpunkte t1, t2, . . . , tT )
It1,tT = It1,t2 · It2,t3 · . . . · ItT−1,tT
196
Vorschlag von I. Fisher (1922): [II](4) Faktorumkehrprobe
Iv0,t = Ip
0,t · Iq0,t
(5) Proportionalitatsprobe
Ip0,t = 1 + α,
wenn alle Preise um α · 100% steigen
(6) DimensionswechselsprobeDer Wert der Indizes hangt nicht davon ab, in welchen Ein-heiten Preise und Mengen gemessen werden
(7) BestimmtheitsprobeDer Index soll auch dann bestimmt sein, wenn einzelne Preiseoder Mengen gleich 0 sind
197
Frage:
• Welche Kriterien (Fisherproben) erfullen die alternativen In-dizes vom Typ Laspeyres, Paasche, Fisher?
Fisherprobe Laspeyres Paasche FisherIdentitatsprobe + + +Zeitumkehrprobe − − +Rundprobe − − −Faktorumkehrprobe − − +Proportionalitatsprobe + + +Dimensionswechselprobe + + +Bestimmtheitsprobe + + +
Fazit:
• Der Fisher-Index erfullt die meisten, aber auch nicht alle Kri-terien (6 von 7)
198