Semestre Primavera 2015

Tudela, Woywood

Métodos de Optimización

Tópicos Avanzados

Contenido

• Programación entera

• Optimización flujo en redes

• Optimización multiobjetivo

• Programación dinámica

• Metaheurísticas

Programación Dinámica

3

Motivación

Considere una familia que está planificando sus vacaciones y

desea viajar a través de Chile. Para ello, ha elegido n

ciudades para visitar en un orden predeterminado, donde el

número de días dedicados a visitar cada ciudad debe ser

determinado previamente.

Programación Dinámica

4

Motivación (cont.)

La familia dispone de M días para sus vacaciones. De

acuerdo al interés turístico y las preferencias familiares, a

cada ciudad i se le ha asignado una función de utilidad g(xi) ,

que representa el grado de satisfacción de la familia cuando

se dedican xi días a esa ciudad. Este valor debe ser un valor

entero.

Programación Dinámica

5

Motivación (cont.)

Se asume que:

• el tiempo de viaje entre ciudades es despreciable

• los días son dedicados completamente a una sola ciudad

• el orden de las ciudades que se visitarán corresponde al

índice asignado, es decir, la ciudad i-ésima está en el lugar i-

ésimo.

Formular el programa de visitas de tal manera de maximizar

la utilidad total de las vacaciones

La programación dinámica es un enfoque

general para la solución de problemas en los

que es necesario tomar decisiones en etapas

sucesivas.

Objetivo

Ejemplo

¿Cuánta agua extraer desde un embalse en

cada periodo con tal de minimizar los impactos

totales, considerando que se conocen los

aportes hídricos a éste?

Vt Vt+1

Qet ¿Qst?

It

Ejemplo

QQVV

a.s

)Q;Q;V(Imin

stett1t

stettt

t

Ejemplo

En el problema anterior se conoce el estado

inicial del embalse (V0) y el estado deseado al

final de un cierto número de periodos (Vn).

V0

Vn

Vt

ttnt0

Programación Dinámica

Permite abordar procesos de decisión

secuenciales, donde se debe optimizar lo que

ocurre en cada periodo.

Trabajo personal (en casa u otro sitio)

Identifique diferentes problemas del tipo

secuencial, señalando qué se desea optimizar

y cuál sería la variable de decisión.

Programación Dinámica y

Control Óptimo

P.D. C.O.

Bellman (50’s) Pontryagin (50’s)

Análisis Discreto Análisis Continuo

Programación Dinámica: definiciones

Variable de estado: variable que informa la situación del

sistema en un instante

Variable de control, instrumental o decisión: variables

sobre las cuales actúa el tomador de decisión y que afectan el

estado y la función de costos

Función de costo o retorno: objetivo general del problema

de planificación

Programación Dinámica:

definiciones

En el problema del embalse y su regulación

Variable de estado: volumen del embalse

Variable de control, instrumental o decisión:

volumen de agua a extraer

Función de costo o retorno: impacto

xn

yn yn-1

rn

n

yn: Variable de Estado periodo n

xn: Variable de Control o Decisión periodo n

rn: Función de Costo o Retorno periodo n

Decisiones secuenciales

xn

yn yn-1

rn

n

xj

yj yj-1

rj

j

x1

y1 y0

r1

1. . . . . .

Cada decisión xj, para un estado yj del

sistema, genera un costo rj y modifica el

estado del mismo, dando origen a yj-1.

Decisiones secuenciales

xn

yn yn-1

rn

n

yn: Variable de Estado periodo n

xn: Variable de Control o decisión periodo n

rn: Función de Costo periodo n

Las relaciones funcionales entre las variables de

estado, control y costo corresponden a

yj-1 = Tj(xj, yj) j = 1, … , n

rj = rj(xj, yj) j = 1, … , n

Decisiones secuenciales

xn

yn yn-1

rn

n

T

min Ψ(x) = Ψ(r1(x1, y1), … , rn(xn, yn))

s.a

yj-1 = Tj(xj, yj) j = 1, … , n

n variables de decisión, n+1 variables de

estado y n restricciones

Problema de optimización Tipo 1

min Ψ(x) = Ψ(r1(x1, y1), … , rn(xn, yn))

s.a

yj-1 = Tj(xj, yj) j = 1, … , n

Este problema se puede resolver aplicando

Lagrange y las condiciones de optimalidad ya

vistas en la asignatura.

Problema de optimización Tipo 1

Aplicando recursividad

yj = Tj+1(xj+1, yj+1) = Tj+1(xj+1, Tj+2(xj+2, yj+2))

yj = hj(xj+1, xj+2, … , xn, yn)

…

y0 = h0(x1, … , xn, yn) = h0(x, yn)

El estado del sistema en el periodo j depende de

las decisiones anteriores y la información inicial.

Problema de optimización Tipo 2

min Ψ(x1, … , xn, yn) = Ψ(x, yn)

s.a

h(x) = h0(x, yn) - y0 = 0

n variables de decisión, y 1 restricción

Problema de optimización Tipo 2

min Ψ(x1, … , xn, yn) = Ψ(x, yn)

s.a

h(x) = h0(x, yn) - y0 = 0

Este tipo de problemas se puede transformar en

uno tipo 1 agregando variables artificiales, a

través de la redefinición de las variables de

estado.

Problema de optimización Tipo 2

fn(yn) = minx Ψ(r1(x1, y1), … , rn(xn, yn))

s.a

yj-1 = Tj(xj, yj) j = 1, … , n

Si la FO es separable, es decir,

Ψ(x) = r1(x1, y1) + … + rn(xn, yn) = Σi(ri(xi, yi))

Entonces fn(yn) se puede re-escribir como:

Problema de optimización Tipo 1

fn(yn) = minxn{rn(xn, yn) + fn-1(yn-1)}

s.a

yj-1 = Tj(xj, yj) j = 1, … , n

donde

fn-1(yn-1) = minxi[r1(x1, y1) + … + rn-1(xn-1, yn-1)]

Problema de optimización Tipo 1

fn-2 (yn-2) = min …

El problema anterior se puede re-escribir como:

fj(yj) = minxjΩj(xj, yj) j = 1, … , n

donde

Ω1(x1, y1) = r1(x1, y1)

Ωj(xj, yj) = rj(xj, yj) + fj-1(Tj(xj, yj)) j = 2, … , n

Problema de optimización Tipo 1

El conjunto de ecuaciones anteriores es del tipo

recursivo, comenzando desde j = 1 (el estado

futuro), retrocediendo hacia j = n (el estado

actual conocido), realizando una optimización

en cada retroceso.

Problema de optimización Tipo 1

xn

yn yn-1

rn

n

xj

yj yj-1

rj

j

x1

y1 y0

r1

1. . . . . .

Problema de optimización Tipo 1

Principio de Optimalidad de Bellman

Una solución óptima tiene la propiedad que

cualquiera que sea el estado inicial, yn, y la

decisión inicial, xn, las decisiones restantes, (xn-1,

xn-2, … , x1), deben constituir una solución óptima

con respecto al estado resultante de la primera

decisión, yn-1 (Bellman, 1957).

Principio de Optimalidad de Bellman

(alternativamente)

Las decisiones xn-1, xn-2, … , x1 deben optimizar el

sistema a partir de la decisión inicial xn,

independiente de cual haya sido esta decisión.

Ejemplo

0x

0y

xyy

a.s

]x1.0y10[Vmax

t

0

tt1t

4

0t

2tt

rt

Tt

Condición inicial

Nota: en este caso t = 0 es el presente

Ejemplo

y0

x0

y1

r0

0

x1

y2

r1

1

x2

y3

r2

2

x3

y4

r3

3

x4

r4

4

fj(yj) = minxjΩj(xj, yj) j = 1, … , n

donde

Ω1(x1, y1) = r1(x1, y1)

Ωj(xj, yj) = rj(xj, yj) + fj-1(Tj(xj, yj)) j = 2, … , n

Ejemplo

Ejemplo

0x

a.s

x1.0y10max

4

244

t= 4

Puesto que V disminuye para todo x4, salvo para

x4 nulo, entonces x4* = 0

f4 = 10y4

fj(yj) = minxjΩj(xj, yj) j = 1, … , n

donde

Ω1(x1, y1) = r1(x1, y1)

Ωj(xj, yj) = rj(xj, yj) + fj-1(Tj(xj, yj)) j = 2, … , n

Ejemplo

Ejemplo

0x

xyy

y10f

a.s

fx1.0y10max

3

334

44

4233

t= 3

Ejemplo

0x

a.s

)xy(10x1.0y10max

3

33233

t= 3

Resolviendo para x3, x3* = 10/0.2 = 50

f3 = 20y3 + 250

Ejemplo

0x

xyy

250y20f

a.s

fx1.0y10max

2

223

33

3222

t= 2

Ejemplo

0x

a.s

250)xy(20x1.0y10max

2

22222

t= 2

Resolviendo para x2, x2* = 20/0.2 = 100

f2 = 30y2 + 1.250

Ejemplo

0x

xyy

250.1y30f

a.s

fx1.0y10max

1

112

22

2211

t= 1

Ejemplo

0x

a.s

250.1)xy(30x1.0y10max

1

11211

t= 1

Resolviendo para x1, x1* = 30/0.2 = 150

f1 = 40y1 + 3.500

Ejemplo

0x

xyy

500.3y40f

a.s

fx1.0y10max

0

001

11

1200

t= 0

Ejemplo

0x

a.s

500.3)xy(40x1.0y10max

0

00200

t= 0

Resolviendo para x0, x0* = 40/0.2 = 200

f0 = 50y0 + 7.500 = 7.500

Ejemplo

0

2002

00

-4.000

0

150

35

0

-250

1

100

45

0

2500

2

50

50

0

4.250

3

0

5.000

4

Ejemplo

0x

0y

xyy

a.s

]x1.0y10[Vmax

t

0

tt1t

4

0t

2tt

t x y r f

0 200 0 -4.000 7.500

1 150 200 -250 11.500

2 100 350 2.500 11.750

3 50 450 4.250 9.250

4 0 500 5.000 5.000

Más para revisar o leer: aplicaciones

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0968090X13000570

http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11269-014-0862-1

http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.3846/13923730.2014.893909

http://ascelibrary.org/doi/10.1061/%28ASCE%29WR.1943-5452.0000342

http://ascelibrary.org/doi/10.1061/%28ASCE%29WR.1943-5452.0000361

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0968090X15000091

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