Post on 03-Jul-2022
4. Funzioni elementari
algebriche
ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA
A. A. 2013-2014
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Sono dette elementari un insieme di funzioni dalle quali si ottengono, mediante composizione ed operazioni algebriche, le funzioni reali più comunemente usate in matematica
Fanno parte di tali funzioni quelle già incontrate nei corsi di geometria analitica e di trigonometria
sono noti i grafici delle funzioni elementari
Funzioni elementari
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Funzioni elementari: algebriche e trascendenti
– Funzioni lineari: y=mx+q
– Funzioni quadratiche: y=ax2+bx+c
– Funzioni potenza (e radici): y=x
– Funzioni esponenziali: y = ax
– Funzioni logaritmiche: y = logax
– Funzioni trigonometriche:
y=senx, y =cosx, y =tgx; y=cotgx
– Funzioni trigonometriche inverse:
y=arcsenx; y =arccosx; y =arctgx; y=arccotgx
Algebriche
Trascendenti
L’importanza delle funzioni elementari è anche dovuta al fatto che:
- sono spesso utilizzate nella costruzione di modelli matematici che descrivono le relazioni dinamiche relative al fenomeno che si sta analizzando
- a partire dai loro grafici si possono tracciare grafici di funzioni più complicate senza ricorrere a strumenti complessi (come avviene tradizionalmente nello “studio di funzione”)
Funzioni elementari
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FUNZIONI LINEARI
• Sono il tipo più semplice di funzione reale di variabile reale
• Le funzioni lineari sono tutte e sole le funzioni
f:RR definite da f(x) = mx + q con m,q R
(per m=0 si hanno le funzioni costanti)
• E’ noto dalla geometria analitica che il grafico di tali funzioni è sempre una retta
(per m=0, le rette sono parallele all’asse X)
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Funzioni lineari e grafici
• I grafici delle funzioni lineari sono esattamente le rette del piano non parallele all’asse Y delle ordinate
• Per avere tutte le rette del piano occorre considerare l’insieme delle equazioni ax + by + c = 0, con a, b, c R
Nota: le rette parallele all’asse Y non sono grafici di funzioni
Data la funzione f:RR definita da f(x) = mx + q con m,q R
cosa rappresentano m e q?
Funzioni lineari: significato di q
sul grafico: rappresenta l’incontro della retta con
l’asse delle Y, detto anche intercetta delle
ordinate
per la funzione:
poiché f(0)=m·0+q, segue che q = f(0) è il valore
della funzione in x=0
Domanda: cosa rappresenta invece per la funzione il
punto di incontro, xo, del suo grafico con l’asse delle X?
L’ordinata è 0, quindi f(x0)= 0: x0 è il punto in cui si annulla
la funzione
Funzioni lineari: significato di m
Significato di m sul grafico
- m ha un significato geometrico: quantifica l’inclinazione della retta (o pendenza della retta) rispetto all’asse X
• m è ottenuto come rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti qualunque del grafico
• m è anche uguale alla tangente dell’angolo che l’asse X forma con la retta con una rotazione in senso antiorario (per tale motivo m è anche detto coefficiente angolare della retta)
12
12
xx
yym
Funzioni lineari: significato di m
• Condizioni di parallelismo tra due rette di
equazioni y = m1x + q1 e y = m2x + q2:
m1 = m2
• Condizioni di perpendicolarità tra due rette di
equazioni y = m1x + q1 e y = m2x + q2:
m1 · m2 = -1
Funzioni lineari: significato del parametro m
m rappresenta anche una proprietà della funzione:
è il rapporto tra la variazione della variabile dipendente
e la variazione della variabile indipendente, ovvero il
tasso (o rapidità o velocità) di variazione (Δf/Δx)
della funzione, che è costante:
m
xx
xfxf
xx
xfxf
xx
xfxf
x
f
13
13
23
23
12
12
)()()()()()(
Le funzioni lineari sono utilizzate quindi per modellizzare
tutti quei fenomeni in cui le due grandezze coinvolte si
evolvono con una legge di proporzionalità diretta
Esercizio: dal grafico alla funzione
• Dato il grafico, determinare la rappresentazione
algebrica della funzione lineare
Osservando il
grafico, in
figura si
identifica
l’intercetta (-1)
e il
coefficiente
angolare (3/2)
12
Funzioni lineari e grafici
• Bastano due punti del grafico di una funzione lineare
P0(x0, y0) e P1(x1, y1) per ricavare l’espressione della
funzione f(x) = mx + q :
00
01
01 mxy q e x
f
xx
yym
• Viceversa, data una funzione lineare f(x)=mx+q, è facile
tracciarne il grafico: basta considerare due punti le cui
coordinate (x, y) soddisfano la condizione y = mx+q
Alcune proprietà delle funzioni lineari
• Dominio: R Immagine: R, o {q} se f(x) = q (cioè m=0)
• Invertibilità: le funzioni lineari con m0 sono biiettive, quindi invertibili
se f(x)= mx+q, allora la funzione inversa è definita da:
• Crescenza/decrecenza : se m>0 la funzione f(x)= mx+q è crescente su tutto il suo dominio, mentre se m<0 è decrescente
Descrivere la variazione della variabile y quando la variabile x aumenta sempre più o diminuisce sempre più
m
qx
m
1xf 1 )(
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Nella pratica sperimentale capita spesso di
ricavare dati relativi ad un fenomeno in cui è
ipotizzabile che una variabile dipenda in modo
lineare da un’altra (almeno in un certo ambito di
osservazione)
Problema: come trovare la legge che esprime
questa relazione a partire dai dati sperimentali?
(cioè, come trovare per il modello matematico
f(x) = mx + q i valori di m e q) ?
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Esercizio
La concentrazione di monossido di carbonio a Milano è
passata da circa 10 mg/m3 nel gennaio 1990 a circa
4.8 mg/m3 nel gennaio 2000.
1. Trovare la relazione tra il tempo t (in anni) e la
concentrazione C di monossido di carbonio (in mg/m3)
supponendo che sia espressa da una funzione lineare.
[C(t) = - 0,52 t + 1044,8]
2. Quale concentrazione di monossido di carbonio si
sarà avuta nel gennaio 1997? In quale anno la
concentrazione di monossido di carbonio sarà stata di
7,4 mg/m3 ?
[6,36 mg/m3 circa ; nel gennaio 1995 ]
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3. Secondo la modellizzazione stabilita quando la
concentrazione di monossido di carbonio scenderà sotto
il valore di 2.2 mg/m3 ?
[ t >2005]
Nota
• Le risposte del punto 2 sono un esempio di
interpolazione perché si sono stimati valori intermedi tra
quelli ottenuti tra due rilevazioni
• La risposta del punto 3 è un esempio di estrapolazione
perché si è stimato un valore esterno rispetto alla
regione di osservabilità (le estrapolazioni sono sempre
più rischiose delle interpolazioni!)
Interpretazione geometrica di equazioni e disequazioni di primo grado:
• risolvere l’equazione mx+q = 0 (con m0) significa trovare l’ascissa del punto di intersezione della retta, grafico di f(x) =mx+q, con l’asse X
• risolvere la disequazione mx+q>0 [risp. mx+q<0] equivale a cercare l’insieme delle ascisse dei punti della retta che si trovano al di sopra [risp. al di sotto] dell’asse X
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Risoluzione grafica di disequazioni lineari
18 18
FUNZIONI POLINOMIALI
• Una funzione polinomiale è una funzione
f: R R in cui l’espressione algebrica della legge è un polinomio di grado n:
f(x) = anxn+an-1x
n-1+…+a0
dove a0, a1,…, an(0) R sono i coefficienti del polinomio
e n N è il grado del polinomio
- a0 è il termine noto
- an(0) è il coefficiente direttivo (o direttore)
Se il polinomio è di grado 0 si ha una funzione costante, se di grado 1 si ha una funzione lineare, se di grado 2 si
ha una funzione quadratica
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FUNZIONI QUADRATICHE
• Le funzioni quadratiche sono tutte e sole le funzioni f: R R definite da:
f(x) = ax2 + bx+ c con a, b, c R e a0
• Il grafico di una funzione quadratica è una curva detta parabola con asse di simmetria parallelo all’asse Y
Proprietà del grafico delle funzioni quadratiche
La forma del grafico, cioè della parabola, e la sua posizione rispetto agli assi cartesiani dipendono dai valori di a, b e c
• Se a>0 la parabola ha la concavità verso l’alto, se a<0 ha la concavità verso il basso
• Il grafico è simmetrico rispetto alla retta x = -b /2a (asse della parabola)
• Il punto V =(-b /2a ; -Δ /4a) con Δ =b2-4ac è il vertice della parabola ed è il punto di minimo (cioè il punto in cui la funzione assume il suo minimo valore) se a>0, oppure di massimo (cioè il punto in cui la funzione assume il suo massimo valore) se a<0
• c individua l’intersezione della parabola con l’asse Y: il punto di intersezione è infatti P=(0, c)
• Cosa si può dire della parabola se b o c sono 0?
Se solo c=0, la parabola passa per l’origine; se solo b=0 la parabola ha vertice sull’asse Y nel punto (0,c); se b=c=0, il vertice della parabola è in O(0,0).
Descrivere la variazione della variabile y quando la variabile x aumenta sempre più o diminuisce sempre più
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• Data una funzione quadratica siamo in grado di disegnare il suo grafico
• Viceversa: una funzione quadratica è completamente determinata dalla conoscenza di 3 punti del suo grafico (dipende infatti da tre parametri a, b, c)
Interpretazione geometrica di equazioni e disequazioni di secondo grado:
• risolvere l’equazione ax2+bx+c=0 significa trovare le ascisse dei punti di intersezione della parabola, grafico di f(x) =ax2+ bx+ c, con l’asse X (dipendono dal segno di )
• risolvere la disequazione ax2+ bx+ c>0 [risp. ax2+ bx+ c<0] equivale a cercare l’insieme delle ascisse dei punti della parabola che si trovano al di sopra [risp. al di sotto] dell’asse X
Esempio: moto di un corpo che cade
Si tratta di un moto uniformemente accelerato
La funzione s che descrive la variazione della coordinata
verticale del corpo in funzione del tempo t (cioè la sua
altezza rispetto al suolo) è data da
dove s0 è la posizione iniziale, v0 la velocità iniziale nella
direzione dell’asse verticale e g = 9,8 m/s2 è
l’accelerazione di gravità
Si tratta di una funzione quadratica il cui grafico è una
parabola con la concavità rivolta verso il basso
2
00 gt2
1tvs)t(s
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FUNZIONI POTENZA
Sono funzioni della forma f(x) = xb dove b è un
numero reale (esponente della funzione
potenza)
Qual è il dominio di tali funzioni?
Qual è il loro grafico?
Dipende dalla natura dell’esponente!
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Funzioni potenza f(x) = xb con particolari valori
dell’esponente
Caso II: f(x) = xn, n >0 intero,
n dispari (n = 1, 3, 5,…)
Caso I: f(x) = xn, n >0 intero,
n pari (n = 2, 4, …)
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Caso III: f(x) = x−n, n >0 intero,
n pari (n = 2, 4, …)
Caso IV: f(x)=x−n, n >0 intero,
n dispari (n = 1, 3, 5,…)
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Caso V: f(x) = x 1/n, n >0 intero,
n pari (n = 2, 4, …)
Caso VI: f(x) = x 1/n, n >0 intero,
n dispari (n = 1, 3, 5,…)
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FUNZIONE f(x) = a/x = ax-1, a reale non nullo
• La funzione f(x) = a/x = ax-1 con a0
é il tipo più semplice di funzione razionale
(o fratta) (caso particolare f(x)=1/x)
Il suo dominio è R-0
• Rappresenta una relazione di proporzionalità
inversa: un punto (x, y) appartiene al grafico di f se e solo se xy = a, quindi il prodotto fra l’argomento ed il valore della funzione è costante su tutto il dominio della funzione
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Qual è il grafico di f ? Come influisce l’essere a>0 o a<0?
Si tratta di un’iperbole equilatera con gli assi di simmetria coincidenti con gli assi coordinati e il centro di simmetria coincidente con il punto (0,0); il grafico si trova nel I e III quadrante se a>0, e nel II e IV quadrante se a<0
a > 0 a < 0
Descrivere il comportamento della variabile dipendente al quando x tende a + o a - e quando x si avvicina a 0
• Nel 1662 con i suoi esperimenti Robert Boyle determinò che
“a temperatura costante, per ogni quantità di gas il prodotto dei valori della pressione e del volume rimane costante”
• Come possiamo esprimere questo con una
formula?
Esempio: legge di Boyle per i gas
costante una è k dove ,P o V cui da V
k
P
kkPV
Il grafico di V in funzione di P (o di P in funzione di V) è
un’iperbole equilatera
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E’ un fatto geometrico del tutto generale che se S
è un solido del quale dilatiamo le dimensioni lineari
di un fattore k risulta che:
- le misure lineari variano proporzionalmente a k
- le aree di superfici variano proporzionalmente a k2
- i volumi variano proporzionalmente a k3
Un’applicazione: il confronto tra funzioni
potenza con diverso esponente può fornire
interessanti conseguenze sul piano biologico
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Esempio: una sfera di raggio r ha volume
V = 4/3 r3 e area superficiale A = 4 r2
Se dilatiamo la sfera, moltiplicando il suo raggio
per un numero k >0, si ha:
raggio = k r
area = 4 (k r)2 = k2 A,
volume = 4/3 (k r)3= k3 V
Quindi se il raggio varia proporzionalmente a k, l’area varia con il quadrato di k e il volume con il cubo di k
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In molti romanzi e film di fantascienza, la Terra
viene invasa da enormi insetti aggressivi
Oltre all’assenza di prove dell’esistenza di forme
di vita extraterrestri
esistono motivi biologici
per cui questo evento non può accadere, almeno
allo stato delle nostre conoscenze, e
la matematica li giustifica!
Perché non saremo mai invasi dalle formiche
giganti?
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Immaginiamo che una formica lunga 3 mm venga ingrandita con un coefficiente di dilatazione k = 1000
• il nuovo insetto sara’ lungo 3 metri
• il suo volume sara’ (1000)3= (103)3= 109 volte quello originale
• l’area di una sezione di una zampa sara’ di (1000)2= (103)2= 106 volte l’originale
Perché non saremo mai invasi dalle formiche giganti?
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Nell’ipotesi che la composizione dei tessuti e dello scheletro rimanga la stessa
il nuovo insetto sara’ un miliardo di volte piu’ pesante dell’originale e poggera’ su zampe la cui sezione e’ soltanto un milione di volte maggiore
La pressione che il corpo esercitera’ sulle zampe sara’
dunque 1000 volte quella originale e le ossa e i tessuti non potranno reggere lo sforzo
l’insetto gigante non sara’ in grado di
muoversi!
Perché non saremo mai invasi dalle formiche giganti?