Post on 05-Jan-2016
description
4. Folytonos wavelet transzformáció (CWT)
–folytatás
Speciálkurzus 2009 tavasz
2
Kérdések
1. mennyire függ az eredmény a wavelet megválasztásától?
2. szignifikánsak-e a talált csúcsok?
3. a normalizáció korrekt-e?
4. hogyan értelmezzük a kapott eredményeket?
5. okoz-e problémát a konvolúció esetében annak periódikussága a DFT alkalmazásakor?
6. hogyan viszonyul az analízis a Fourier transzformációhoz?
7. inverz transzformáció?
3
Statisztikai hipotézisvizsgálatStatisztikai hipotézisvizsgálat:
H0 nullhipotézis
H1 ellenhipotézis (alternatíva)
Statisztikai próba: Minta alapján döntünk a nullhipotézisről
Ha a nullhipotézist
elfogadjuk elutasítjuk
H0 fennáll helyes döntés elsőfajú hiba (α)
H0 nem áll fenn másodfajú hiba (β) helyes döntés
4
KonfidenciaszintA k elemű minta alapján meghatározunk egy tartományt:
ha a H0 hipotézis igaz, csak egy előre adott igen kis α = 1 – p valószínűséggel (p: konfidenciaszint, általában 0,90; 0,95; 0,99) tartalmazza a mintát (kritikus tartomány)
kiegészítő halmaza: (elfogadási tartomány)
αβ
p = 1–αp’ = 1–β
elfogadási tartomány H0-ra kritikus tartomány H0-ra
H0 H1
5
Wavelet spektrum szignifikancia vizsgálata
A nullhipotézis konstrukciójához először megfelelő háttér spektrumot kell választani:
• fehérzaj (minden frekvencián azonos energia)
• vörös zaj (a frekvencia csökkenésével növekvő energia)
Ezután feltételezzük, hogy a sztochasztikus folyamat különböző realizációi e körül a várható (átlagos) háttér spektrum körül fognak ingadozni
Ezek a várható spektrumok adnak lehetőséget a talált csúcsok szignifikancia vizsgálatára (adott konfidencia szinten)
6
Fehér/vörös zaj PSDEgyszerű modell:
egyváltozós 1-késéses AR(1) autoregressziós (Markov) folyamat (speciális csak pólust tartalmazó IIR szűrő)
α: 1-késéses autokorreláció (α = 0 érték: fehérzaj)
zn: Gauss (normál) eloszlású fehérzaj
PSD (ACF (ατ) FT-ja; k =0 ,..., N/2 frekvencia index):
7
AR(1) fehér/vörös zaj PSD
(α = 0 érték: fehérzaj PSD)
Mi legyen α értéke?
8
α becslése zaj PSD-hez
Az AR(1) folyamat ACF függvénye egyszerű:ACF(xj) = α j
1. Becsüljük a folyamat ACF-et:
2. α –nak 1-es, 2-es, stb. időkésésekből számított α1 , α2 , stb. értékeinek az átlagát vesszük.
pl.:
9
α becslése El Niño SST-reMatlab acf.m
-15 -10 -5 0 5 10 15-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
becsült α érték: 0.72
10
Illeszkedés az El Niño PSD-hezMatlab psd.m
fehérzaj xn:
normalizáció:
11
Illeszkedés az El Niño PSD-hez
10-2
10-1
100
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
frekvencia (ciklus/év)
norm
aliz
ált
PS
D vörös zaj PSD
95%-os konfidencia szint
12
PSD konfidencia szintHa xn normális eloszlású, az xk Fourier transzformáltjának mind valós, mind komplex része szintén normális eloszlásúNormális eloszlású valószínűségi változó négyzete egy szabadsági fokú χ2 eloszlású Ekkor |xk|2 két szabadsági fokú χ2 eloszlású: χ2
2
A 95%-os konfidencia szint meghatározásához a fehér/vörös zaj háttér spektrum PSD-t a χ2
2 eloszlás 95%-os értékével szorozzukMatlab: chi2inv(0.95,2): értéke 5.9915
½ szorzó a szabadsági foktól való függést távolítja el a χ2
2 eloszlásból
13
Lokális wavelet PSDA Wn(s) wavelet transzformált az idősor sáváteresztő szűrő sorozattal történő szűrése
Ha ez az idősor 1-késleltetésű AR folyamat, ésszerű azt feltételezni, hogy a lokális wavelet PSD (a wavelet spektrum egy vertikális „szelete”) szintén Pk-val modellezhető
Torrence és Compo (1998) ezt a hipotézist 100 000 normális eloszlású fehérzaj és 100 000 AR(1) idősor felvételével tesztelték (Monte Carlo szimuláció)Eredmény: az átlagos lokális wavelet PSD azonos a Pk-val modellezett Fourier PSD-vel
14
Wavelet PSD konfidenciaszintA |Wn(s)|2 átlagos lokális wavelet PSD eloszlása
minden n idő és s skála értékre (valós wavelet, pl. DOG esetében nincs ½ szorzó)Pk értéke az s skálának megfelelő k Fourier frekvencián számítandó ki (ez wavelet függő)
A wavelet PSD simításával növelhető a szabadsági fok és javítható a konfidencia a spektrum jelentős jel energiájú részein
15
El-Niño SST konfidenciaszintMatlab: wavesst_signif.m
wave_signif.m (Torrence és Compo)
rajzolás:
16
El-Niño SST konfidenciaszint
normalizációs probléma? úgy tűnik, hogy a wavelet spektrum túlzottan kiemeli az alacsonyabb frekvenciákat
idõ (év)
perió
dus
(év)
NINO3 SST Morlet wavelet energiaspektrum
1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000
1
2
4
8
16
32
64
17
Kérdések
1. mennyire függ az eredmény a wavelet megválasztásától?
2. szignifikánsak-e a talált csúcsok?
3. a normalizáció korrekt-e?
4. hogyan értelmezzük a kapott eredményeket?
5. okoz-e problémát a konvolúció esetében annak periódikussága a DFT alkalmazásakor?
6. hogyan viszonyul az analízis a Fourier transzformációhoz?
7. inverz transzformáció?
18
Normalizáció – anya waveletanya wavelet FT egységnyi energiára normalizált:
Parseval egyenlőség miatt ψ0 is energiára normalizált:
az anya waveletet átskálázzuk:
illetve:
19
Normalizáció – leány waveletaz átskálázott leány wavelet megőrzi normalizációját:
illetve
a Fourier transzformáció skálázási összefüggése
miatt is normalizált
miatt a leány wavelet normalizált transzformáltja:
20
Normalizáció – diszkrét eltolásdiszkrét n eltolással a normalizált leány wavelet FT:
ezzel mindegyik s skálára:
Matlab wave_bases.m: norm = (2πs/δt)1/2
Matlab wavelet.m: k(2) = 2π / (N δt)
21
Wavelet teljesítmény spektrumTorrence és Compo (1998) definíciója (szokásos):
wavelet teljesítmény spektrum (power spectrum)
Liu et al. alternatív definíciója: Liu et al.(2007):Rectification of the Bias in the Wavelet Spectrum, Journal of Atm. Oceanic Techn. Vol.24, pp. 2093-2102
a skála inverzével van szorozva
22
Normalizáció teszt3 szinuszhullám azonos (egységnyi) amplitúdóval de különböző T periódussal:
Matlab sin3.m:
23
Normalizáció teszt 1.Torrence és Compo (1998) definíciójával
0 20 40 60 80 100 120-5
0
5
idõ (év)
3 sz
inus
z, a
mpl
.
3 szinusz, periódus 1, 4, 16 év
idõ (év)
perió
dus
(év)
3 szinusz Morlet wavelet energiaspektrum, torzított
0 20 40 60 80 100 120
1
2
4
8
16
32
640 50
ampl. négyzet
glob. wavelet spektr.
közel sem azonosak
24
0 20 40 60 80 100 120-5
0
5
idõ (év)
3 sz
inus
z, a
mpl
.
3 szinusz, periódus 1, 4, 16 év
idõ (év)
perió
dus
(év)
3 szinusz Morlet wavelet energiaspektrum, korrigált
0 20 40 60 80 100 120
1
2
4
8
16
32
640 5
ampl. négyzet
glob. wavelet spektr.
Normalizáció teszt 2.Liu et al. (2007) definíciójával
közel azonosak
peremhatás
25
Korrigált El Niño SST spektrum
a) torzított b) korrigált
idõ (év)
perió
dus
(év)
NINO3 SST Morlet wavelet energiaspektrum, torzított
1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000
1
2
4
8
16
32
64
idõ (év)
perió
dus
(év)
NINO3 SST Morlet wavelet energiaspektrum, korrigált
1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000
1
2
4
8
16
32
64
de van egy bökkenő...
26
Fehérzaj korrigált spektrumaa fehérzaj korrigált spektruma nem azonos teljesítményű az összes frekvencián!Matlab: wn.m
0 50 100 150 200 250-5
0
5
idõ (év)
fehé
rzaj
, am
pl.
fehérzaj, egységnyi szórás
idõ (év)
perió
dus
(év)
fehérzaj Morlet wavelet energiaspektrum, korrigált
0 50 100 150 200 250
1
2
4
8
16
32
640 1 2
ampl. négyzet
glob. wavelet spektr.
0 50 100 150 200 250-5
0
5
idõ (év)
fehé
rzaj
, am
pl.
fehérzaj, egységnyi szórás
idõ (év)
perió
dus
(év)
fehérzaj Morlet wavelet energiaspektrum, torzított
0 50 100 150 200 250
1
2
4
8
16
32
640 1 2
ampl. négyzet
glob. wavelet spektr.
tehát a szignifikancia vizsgálathoz a nem korrigált érték kell!