Post on 19-May-2020
1
© Petr Kabele 2005-2009
3.3 Soustavy sil a silových momentů
• soustava sil a momentů =seskupení sil a momentů sil působících na těleso
• zvláštní případy:• svazek sil(paprsky všech sil soustavy se protínají v jednom bodě)
• soustava rovnoběžných sil(paprsky všech sil soustavyjsou navzájem rovnoběžné)
• rovinná soustava sil a momentů(paprsky všech sil soustavy leží v jedné rovině,vektory momentů jsou k ní kolmé )• rovinný svazek sil• rovinná soustava rovnoběžných sil
2
© Petr Kabele 2005-2009
3.3.1 Prostorová soustava sil a momentů sil
Výsledný účinek• výsledný účinek soustavy n sil {i} a m momentů {j}
určíme redukcí jednotlivých sil soustavy k počátkua vektorovým součtem redukovaných sil a momentů sil
x
y
z
Ox
y
z
O
r a O ... bivektor
1
i
i 1
y1
x1 z1zi
xi
yi
r
0
ψ
1j
1 1 1 1 1
)n n m n m
i i j i j= = = = =
= = + = × +∑ ∑ ∑ ∑ ∑jr Oi F jii0 iF M MF M FrM (� �
��� �� �
momenty sil i
3
© Petr Kabele 2005-2009
Složky:
1 1
1 1
1 1
cos
cos
cos
n n
ii i
n n
ii i
n n
ii i
α
β
γ
= =
= =
= =
= =
= =
= =
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
�
�
�
rx ix i
ry iy i
rz iz i
F F F
F F F
F F F
• Velikost vektoru 0:
|0| = (M0x2 + M0y
2 + M0z2)1/2
• Velikost vektoru r:
|r| = (Frx2 + Fry
2 + Frz2)1/2
• směrové úhly:
cos cos cosλ µ ν= = =� � �
0y0x 0z
0 0 0
MM M
M M Mcos cos cosr r rα β γ= = =� � �
ryrx rz
r r r
FF F
F F F
( )
( )
( )
1 1
1 1
1 1
n m
i j
n m
i j
n m
i j
= =
= =
= =
= − +
= − +
= − +
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
0x iy iz iy iz jx
0y iz ix iz ix jy
0z ix iy ix iy jz
M r F F r M
M r F F r M
M r F F r M
4
© Petr Kabele 2005-2009
Vzájemný úhel vektorůr a O: ψ
r .O = |r ||O| cos ψ = Frx M0x + Fry M0y + Frz M0z
= cos αr cos λ + cos βr cos µ + cos γr cos ν
Obecně cos ψ ≠ 0
1cos ψ = + +� � rx 0x ry 0y rz 0z
r 0
(F M F M F M )F M
5
© Petr Kabele 2005-2009
Zvláštní případy:
• r .O = 0, r a O jsou vzájemně kolmé⇒ výsledným účinkem jejediná síla r působící v takovém paprsku, aby její statický momentk počátku byl roven O. Pak rovnice ekvivalence momentu posunutésíly r a momentu O:
0zrxry0yrzrx0xryrz MyF-xFMxF-zFMzF-yF ===
určují rovnici paprsku posunuté síly r ... tzv. hlavní osy soustavy sil
y
x
z
Or
0
y
x
z
Or
y
x
z
O
rr
r* =-r
6
© Petr Kabele 2005-2009
• r ≠ , O = ⇒ výsledným účinkem je jediná síla r působící paprsku procházejícím počátkem
• r = , O ≠ ⇒
výsledným účinkem je dvojice sil působící v rovině kolmé k paprsku vektoru O a otáčejícímomentem Md=MO
• r = , O =⇒ soustava sil je v rovnováze
x
y
z
O
r
y
x
z
O
0
y
x
z
O d
d* =
-d
7
© Petr Kabele 2005-2009
Podmínky rovnováhy
( )
( )
( ) 00
00
00
111
111
111
=+=
=+=
=+=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
===
===
===
n
i
m
j
n
i
n
i
m
j
n
i
n
i
m
j
n
i
iixiiyjziz
iiziixjyiy
iiyiizjxix
yF-xFMF
xF-zFMF
zF-yFMF
Soustava n sil {i} a m momentů {j} je v rovnováze,jestliže je její výsledný účinek nulový:
8
© Petr Kabele 2005-2009
Úloha rovnováhy
00
00
00
11111
11111
11111
=++=+
=++=+
=++=+
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
=====
=====
=====
k
ll
n
i
m
j
k
ll
n
i
k
ll
n
i
m
j
k
ll
n
i
k
ll
n
i
m
j
k
ll
n
i
zRFizjzziz
yRFiyjyyiy
xRFixjxxix
MMMRF
MMMRF
MMMRF
Je dána soustava n sil {i} a m momentů {j}. Uveďte tuto soustavudo rovnováhy soustavouk sil {l}.
0011111
�������
=++=+ ∑∑∑∑∑=====
k
ll
n
i
m
j
k
ll
n
iOROFiji MMMRF
Ve složkách:
(6 rovnic - 6 neznámých)
9
© Petr Kabele 2005-2009
Úloha ekvivalence
Je dána soustava n sil {i} a m momentů {j}. Nahraďte tuto soustavusoustavouk sil {l} tak, aby účinek obou soustav byl stejný.
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
=====
=====
=====
=+=
=+=
=+=
k
ll
n
i
m
j
k
ll
n
i
k
ll
n
i
m
j
k
ll
n
i
k
ll
n
i
m
j
k
ll
n
i
11111
11111
11111
zRFizjzziz
yRFiyjyyiy
xRFixjxxix
MMMRF
MMMRF
MMMRF
∑∑∑∑∑=====
=+=k
ll
n
i
m
j
k
ll
n
i 11111OROFiji MMMRF�����
Ve složkách:
(6 rovnic - 6 neznámých)
10
© Petr Kabele 2005-2009
Příklady úloh rovnováhy/ekvivalence
Př. 1: Náhrada dané soustavy sil {i} dvěma
mimoběžnými silami 1 a 2.
1. Výsledný účinek soustavy {i}:
bivektor r , 0
2. Vektor 0 nahradíme dvojicí sil {2, }
v rovině kolmé k 0 ; v počátku.
Takže = -2
0 = d x 2
2 . 0 = 0
d . 0 = 0
yx
z
0
r0
y
x
z
r
2
d
0
1
2
n
11
© Petr Kabele 2005-2009
3. Složímer+ = 1
y
x
z
r
2
d
1
y
x
z
2
d
1
12
© Petr Kabele 2005-2009
Pozn.:Nulové přímky soustavy sil= přímky ke kterým má soustava sil
nulový statický moment
Nahradíme-li soustavu sil dvěma mimoběžnými silami, pak každápřímka protínající současně paprsky těchto sil je nulovou přímkousoustavy.
1
2
13
© Petr Kabele 2005-2009
Příklady úloh rovnováhy/ekvivalence
Př. 2: Náhrada soustavy {i} silou C působící v hlavní ose soustavy c
a hlavním momentem C
Definice: C ||r , |C | = |r |, C a C jsou koaxiální
Dáno: {i}, velikost a směr C a směr C
Vypočítat: paprsekC a velikost |C|
a) Soustavu nahradíme výslednou silou r
a statickým momentem k počátku O
yx
z
0
r0
ψ
1
2
n
14
© Petr Kabele 2005-2009
b) Moment O nahradíme momentem C
koaxiálním s r a n⊥ r
|C| = |O| cosψ, |n| = |O| sinψ
yx
z
0
r
0
ψC
n
složky vektoru C: MCx = |C| cos αrMCy = |C| cos βrMCz = |C| cos γr
složky vektoru n= O - C : Mnx =MOx - MCxMny =MOy - MCyMnz =MOz - MCz
15
© Petr Kabele 2005-2009
Podobně bychom formulovali úlohu rovnováhy. Další příklady viz cv.
c) Vzájemně kolmé vektory narvázané na počátek O nahradímesilou C = r působící v hlavníose c, jejíž rovnice jsou:
nzrxrynyrzrxnxryrz MyF-xFMxF-zFMzF-yF ===
d) Moment C posuneme do hlavní osy
yx
z
0
r
ψC
nc
c
yx
z
0
C
c
c
16
© Petr Kabele 2005-2009
3.3.2 Prostorová soustava rovnoběžných sil
je zvláštním případem obecné prostorové soustavy, kdy paprskyvšech sil soustavy jsou vzájemně rovnoběžné.
y
x
z
O1
i
n
i {i} = { Fi}
Pozn.: pokud má síla i opačnou orientaci než jednotkový vektor , uvažujeme Fi se znaménkem mínus.
17
© Petr Kabele 2005-2009
Výsledný účinek (k počátku O)
( ) ( ) ( )∑∑∑∑
∑∑∑
====
===
×=×=×==
====
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
1111
111
fF rfFrFrMM
Ff FffFFF
iiiiiiOFiO
riiir
�
�
�
��
���
�����
…(r || )
... z definice vektorového součinu ⇒O ⊥ r
Velikost a orientace výslednice:
1
n
i=
=∑r iF F
y
x
z
O
1
i
n
rO
je-li Fr > 0 ... shodná orientace s je-li Fr < 0 ... opačná orientace než
18
© Petr Kabele 2005-2009
Obecně r ≠ a O ≠ ⇒ výsledným účinkem je jedinásíla r působící v hlavní ose soustavy. Rovnice
určují paprsek posunuté síly r (t.j. hlavní osu c)
0zrxry0yrzrx0xryrz MyF-xFMxF-zFMzF-yF ===
y
x
z
Or
O
r
c
19
© Petr Kabele 2005-2009
• r ≠ , O = ⇒ výsledným účinkem jejediná síla r působící v paprsku procházejícímpočátkem
• r = , O ≠ ⇒ výsledným účinkem jedvojice sil působící v rovině kolmé k paprskuvektoru O a otáčející momentem Md=MO
• r = , O =⇒ soustava sil je v rovnováze
Zvláštní případy:
y
x
z
O
r c
y
x
z
Od
d* =-d
20
© Petr Kabele 2005-2009
Příklad: Určete výsledný účinek soustavy rovnoběžných sil {i}působících v paprscích rovnoběžných s osou z
Pro všechny síly soustavy: Fix = Fiy = 0
⇒ Fzi = Fi
⇒ Mzi = 0
Pak: Frx = Fry = 0, M0z=0
( )
( ) ( )∑∑∑
∑∑∑
∑∑
===
===
==
=−==
=−==
==
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
111
111
11
iiiiziixiy0y
iiiiyiizix0x
iizrz
xF-xFzFMM
yFzFyFMM
FFF
y
x
z
O1
i
n
y
x
z
O
r O
My
Mx
21
© Petr Kabele 2005-2009
Působiště výslednice:
( )r
ii
rrrii0y
r
ii
rrrii0x
F
xFxxFxF-M
F
yFyyFyFM
∑∑
∑∑
=
=
=
=
−=⇒−==
=⇒==
n
in
i
n
in
i
1
1
1
1
y
x
z
O
r
|xr|
|yr |
22
© Petr Kabele 2005-2009
Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětuStavební mechanika 1 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze.Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby.
Datum poslední revize: 6.10.2009