คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ความสมพนธและฟงกชน (เนอหาตอนท 2) โดเมนและเรนจ

โดย

อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน มจ านวนตอนทงหมดรวม 16 ตอน

ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน 2. เนอหาตอนท 1 ความสมพนธ

- แผนภาพรวมเรองความสมพนธและฟงกชน - ผลคณคารทเซยน - ความสมพนธ - การวาดกราฟของความสมพนธ

3. เนอหาตอนท 2 โดเมนและเรนจ - โดเมนและเรนจ - การหาโดเมนและเรนจโดยการแกสมการ - การหาโดเมนและเรนจโดยการวาดกราฟ

4. เนอหาตอนท 3 อนเวอรสของความสมพนธ และบทนยามของฟงกชน - อนเวอรสของความสมพนธ - บทนยามของฟงกชน

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนเบองตน

- ฟงกชนจากเซต A ไปเซต B

- ฟงกชนทวถง - ฟงกชนหนงตอหนง

6. เนอหาตอนท 5 พชคณตของฟงกชน - พชคณตของฟงกชน - ตวอยางประเภทของฟงกชนพนฐาน

7. เนอหาตอนท 6 อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส - อนเวอรสของฟงกชนละฟงกชนอนเวอรส - กราฟของฟงกชนอนเวอรส

8. เนอหาตอนท 7 ฟงกชนประกอบ - ฟงกชนประกอบ - โดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบ - สมบตของฟงกชนประกอบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2

9. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 11. แบบฝกหด (ขนสง) 12. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธและฟงกชน 13. สอปฏสมพนธ เรอง อนเวอรสของความสมพนธและฟงกชนอนเวอรส 14. สอปฏสมพนธ เรอง โดเมนและเรนจ 15. สอปฏสมพนธ เรองพชคณตและการประกอบของฟงกชน 16. สอปฏสมพนธ เรองการเลอนแกน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ความสมพนธและฟงกชน นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3

เรอง ความสมพนธและฟงกชน หมวด เนอหา ตอนท 2 (2/7) หวขอยอย 1. โดเมนและเรนจ 2. การหาโดเมนและเรนจโดยการแกสมการ 3. การหาโดเมนและเรนจโดยการวาดกราฟ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. เขาใจบทนยามของโดเมนและเรนจของความสมพนธ 2. สามารถหาโดเมนและเรนจของความสมพนธทก าหนดมาในรปเซตแบบแจกแจงสมาชกได 3. สามารถหาโดเมนและเรนจของความสมพนธทก าหนดมาในรปเซตแบบบอกเงอนไขโดย

การแกสมการหรออสมการได 4. สามารถหาโดเมนและเรนจของความสมพนธทก าหนดมาในรปกราฟได 5. สามารถหาโดเมนและเรนจของความสมพนธทก าหนดมาในรปเซตแบบบอกเงอนไขโดย

การใชกราฟของความสมพนธมาชวยได

ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ 1. บอกบทนยามของโดเมนและเรนจของความสมพนธได 2. หาโดเมนและเรนจของความสมพนธทก าหนดมาในรปเซตแบบแจกแจงสมาชกได 3. หาโดเมนและเรนจของความสมพนธทก าหนดมาในรปเซตแบบบอกเงอนไขโดยการแก

สมการหรออสมการได 4. หาโดเมนและเรนจของความสมพนธทก าหนดมาในรปกราฟได 5. หาโดเมนและเรนจของความสมพนธทก าหนดมาในรปเซตแบบบอกเงอนไขโดยการอธบาย

ขนตอนการวาดกราฟและวาดกราฟของความสมพนธทก าหนดใหได

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

4

เนอหาในสอ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

5

1. โดเมนและเรนจ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

6

1. โดเมนและเรนจ

ในชวงนไดแนะน าใหนกเรยนรจกโดเมนและเรนจของความสมพนธ รวมถงใหตระหนกวาการเปลยน

เงอนไขของความสมพนธระหวางเซตสองเซตทก าหนดใหมผลตอโดเมนและเรนจของความสมพนธ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

7

ครอาจยกตวอยางเพมเตมเชน ตวอยาง 1 ก าหนดให {1, 2}A , {2, 3}B และ ( )P A และ ( )P B เปนพาวเวอรเซตของ A และ B ตามล าดบพจารณา

{( , ) ( ) ( ) | }r X Y P A P B X Y และ {( , ) ( ) ( ) | ( ) 1}s X Y P A P B n X Y จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธทงสองน วธท า เนองจาก {( , ), ( ,{2}), ( ,{3}), ( ,{2, 3}), ({2},{2}), ({2},{2, 3})}r ท าใหไดวา

{ , {2}}rD และ { , {2}, {3}, {2, 3}}

rR

ตอมาเนองจาก {({1}, ), ({1},{2}), ({1},{3}), ({2}, ), ({2},{3}), ({1, 2},{2}), ({1, 2}, {2, 3})}s

ท าใหไดวา {{1}, {2}, {1,2}}rD และ { , {2}, {3}, {2, 3}}

rR

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

8

2. การหาโดเมนและเรนจโดยการแกสมการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

9

2. การหาโดเมนและเรนจโดยการแกสมการ

ในชวงนไดแนะน าการหาโดเมนและเรนจของความสมพนธทก าหนดมาในรปเซตแบบบอกเงอนไข โดยใชการแกสมการและอสมการ

ครควรทบทวนเรองการแกสมการ อสมการ ตลอดจนสมบตตางๆ ของจ านวนจรงใหนกเรยน เชน สมบตเกยวกบรากทสองทเปนบวกของจ านวนจรง หรอสมบตของคาสมบรณของจ านวนจรง และพยายามเนนย าใหนกเรยนเขาใจวาหากนกเรยนมความรสกวาเรองการหาโดเมนและเรนจของความสมพนธเปนเรองยงยาก อาจเปนเพราะพนฐานเรองจ านวนจรงตางๆ ทนกเรยนควรรไมดพอ นอกจากนครอาจยกตวอยางเพมเตมเชน ตวอยาง 2 ส าหรบจ านวนจรง a , b , c และ d ททงสตวไมเปนศนย จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

( , )ax b

r x y ycx d

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

10

วธท า การหาโดเมน 0cx d ดงนน d

xc

นนคอ r

dD

c

การหาเรนจ จากเงอนไขของความสมพนธจะไดวา cxy dy ax b นนคอ

( )x cy a cxy ax dy b ดงนน dy b

xcy a

ท าใหไดวา 0cy a นนคอ ayc

และ r

aR

c

ในชวงนไดคอยๆ สรปผานตวอยางตางๆ ใหนกเรยนเหนวาการหาโดเมนและเรนจของความสมพนธจาก

สตรระหวาง x และ y ทก าหนดใหนนจะมขนตอนอยางไร

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

11

ในชวงนย าเกยวกบเงอนไขทตองพจารณากอนการเปลยนแปลงสมการเพอน าไปสการหาโดเมนหรอเรนจ

เมอถงตอนนครอาจใหตวอยางเพมเตม

ตวอยาง 3 ก าหนดให 1( , )

3r x y y

x จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธน

วธท า การหาโดเมน จากเงอนไขทก าหนดใหจะไดวา 3 0x นนคอ 3x ดงนน ( ,3)

rD

การหาเรนจ จากเงอนไขทก าหนดใหจะไดวา 13 x

y ดงนนตองมเงอนไขกอนวา 1 0

y และ

0y นนคอ 0y จากนนจะไดวา 2

13xy

ซงมเพยงเงอนไขวา 0y ดงนนเมอรวมเงอนไขทงหมด

เกยวกบ y จะไดวา (0, )rR

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

12

ตวอยาง 4 ก าหนดให 2

2

4( , )

4

xr x y y

x จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธน

วธท า การหาโดเมน จากเงอนไขทก าหนดใหจะไดวา 2

2 2

( 2)( 2) 40

4 4

x x x

x x แต เนองจาก

24 0x ทกจ านวนจรง x ท าใหไดวา ( 2)( 2) 0x x นนคอ 2 2x ดงนน [ 2,2]rD

การหาเรนจ จากเงอนไขทก าหนดใหตองมเงอนไขกอนวา 0y จากนนจะไดวา 2

2

2

4

4

xy

x นนคอ

2 2 2 24 4y x y x ท า ใ ห ไ ด ว า 2

2

2

4 4

1

yx

y น น ค อ

2

2

4 4

1

yx

y ด ง น น

2

2 2

4( 1)( 1) 4 40

1 1

y y y

y y เ น อ ง จ า ก 21 0y ท ก จ า น วนจ ร ง y ท า ใ ห ไ ด ว า

( 1)( 1) 0y y นนคอ 1 1y ดงนนเมอรวมเงอนไขทงหมดเกยวกบ y จะไดวา [0,1]rR

ในตอนนย าวาบางครงอาจไมจ าเปนตองเขยน y เปนพจนทเกยวของกบ x เพยงอยางเดยวหรอ x เปน

พจนทเกยวของกบ y เพยงอยางเดยวในการหาโดเมนหรอเรนจ นกเรยนอาจเขยนเปน | |y หรอ ny เปนพจนทเกยวของกบ x เพยงอยางเดยวหรอ | |x หรอ nx เปนพจนทเกยวของกบ y เพยงอยางเดยวในการหาโดเมนหรอเรนจไดเชนกน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

13

เมอถงตอนนครอาจยกตวอยางเหลานเพมเตม

ตวอยาง 5 ก าหนดให 2

1( , )

4r x y y

x จงหาโดเมนและเรนจของ r

วธท า การหาโดเมน จากเงอนไขของความสมพนธจะไดวา 2( 2)( 2) 4 0x x x ดงนน

( , 2) (2, )rD

การหาเรนจ จากเงอนไขของความสมพนธจะไดวา 2 14xy

ดงนนตองมเงอนไขกอนวา 1 0y

และ 0y นนคอ 0y จากนนจะไดวา 2

2 14x

y เพราะวา 2 0x ดงนน

21

4 0y

อยางไรกด 21

4 0y

ทกจ านวนจรง 0y ดงนนเมอรวมเงอนไขทงหมดเกยวกบ y จะไดวา

(0, )rR

ตวอยาง 6 ก าหนดให ( , )| | 1

xr x y y

x จงหาโดเมนและเรนจของ r

วธท า การหาโดเมน จากเงอนไขของความสมพนธจะไดวา | | 1 0x ดงนน { 1, 1}

rD

การหาเรนจ จากเงอนไขของความสมพนธจะไดวา | |x y y x นนคอ | |x y x y

กรณ 0x จะไดวา ( 1) | |x y x y x y นนคอ 1

yxy

เนองจาก 0x ดงนน 01

y

y

จะไดวา ( , 0] (1, )y

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

14

กรณ 0x จะไดวา ( 1) | |x y x y x y นนคอ 1

yx

y เนองจาก 0x ดงนน

0( 1)

y

y จะไดวา ( , 1) (0, )y

ดงนนจากทงสองกรณนจะไดวา rR

ตวอยาง 7 ก าหนดให 2 2{( , ) | 4 9 8 36 4 0}r x y x y x y จงหาโดเมนและเรนจของ r วธท า การหาโดเมน จากเงอนไขของความสมพนธจะไดวา

2 2 2 2

2 2

0 4( 2 ) 9( 4 ) 4 4( 2 1) 9( 4 4) 4 4(1) 9(4)

4( 1) 9( 2) 36

x x y y x x y y

x y

นนคอ 2 29( 2) 36 4( 1) 4( 4)( 2)y x x x เนองจาก 29( 2) 0y ท าใหไดวา ( 4)( 2) 0x x นนคอ [ 2,4]

rD

การหาเรนจ จากเงอนไขของความสมพนธจะไดวา 2 24( 1) 36 9( 2) 9(2 2)(2 2) 9 ( 4)x y y y y y เนองจาก 24( 1) 0x

ท าใหไดวา ( 4) 0y y นนคอ [0,4]rR

ตวอยาง 8 ก าหนดให {( , ) | }r x y x x y y จงหาโดเมนและเรนจของ r วธท า จากเงอนไขของความสมพนธจะไดวา

2 21 1 1 1

04 4 2 2

y y x x y y x x y x นนคอ

1 1 1 10

2 2 2 2y x y x จะไดวา 0y x

หรอ 1 0y x

ซงในกรณหลงนไมมจ านวนจรง x และ y ใดๆ ทสอดคลองกบสมการดงกลาว ดงนน y x จะไดวา [0, )

r rD R

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

15

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การหาโดเมนและเรนจโดยการแกสมการ

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธทก าหนดใหตอไปน 1. {( , ) | 1}r x y y x

2. 2

1( , ) | |

4r x y y

x

3. 2{( , ) | 3}r x y y x

4. 2

1( , )

5r x y y

x

5. {( , ) | 5 5 2 }r x y y x 6. 2 2{( , ) | 6 14 41 0}r x y x x y y 7. 2{( , ) | 2 | |}r x y y x x

8. 2

( , )1

xr x y y

x

9. 2 2{( , ) | 3 0}r x y x y x y 10. {( , ) | (3 )(2 )}r x y y x x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

16

3. การหาโดเมนและเรนจโดยการวาดกราฟ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

17

3. การหาโดเมนและเรนจโดยการวาดกราฟ

ในชวงนตองการใหนกเรยนสามารถหาโดเมนและเรนจจากกราฟของความสมพนธทก าหนดใหได ทงนครควรย าวาหากในกรณทจดปลายของกราฟไมชดเจนใหพจารณาดงน หากกราฟมจดทบหรอจดโปรงทจดปลายดานใดดานหนงของกราฟ แสดงวาไมมสวนของกราฟของความสมพนธทก าหนดมาเลยจดดงกลาวไป ทงนจดทบจะหมายถงจดนนอยบนกราฟของความสมพนธดวย สวนจดโปรงจะหมายถงจดนนไมอยบนกราฟของความสมพนธ ในขณะทกราฟทจดปลายไมมจดทบหรอจดโปรง หรอบางครงอาจมลกศรทจดปลายแสดงวากราฟนนยงลากไปตอไดในแนวเดมอยางไมมทสนสด

หมายเหต ในตวอยางทเหนนแมวาจะไมมจดทบหรอจดโปรงทจดปลายของกราฟ แตพอเขาใจไดจากภาพวาไมมสวนของกราฟตอไปจากจดปลายทงสองนน

ครอาจยกตวอยางเหลานเพมเตมเพอเสรมความเขาใจของนกเรยนยงขน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

18

ตวอยาง 9 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r ทมกราฟดงรป

วธท า จากกราฟจะไดวา [ 3,3]rD และ [ 2,2]

rR

ตวอยาง 10 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r ทมกราฟดงรป วธท า จากกราฟจะไดวา ( ,2]

rD และ [0, ]

rR

3 2 1 1 2 3

2

1

1

2

4 2 2 4

5

10

15

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

19

ตอมาในกรณทไมไดวาดกราฟของความสมพนธมาให หากนกเรยนสามารถวาดกราฟของความสมพนธแบบตางๆ ไดกสามารถหาโดเมนและเรนจจากกราฟเหลานนไดเชนกน

เมอถงตอนนครอาจยกตวอยางเหลานเพมเตม ตวอยาง 11 ก าหนดให {( , ) | | 1 | 2}r x y y x จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r

วธท า จากความสมพนธทก าหนดใหสามารถวาดเปนกราฟไดดงน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

20

ดงนน

rD และ [2, )

rR

ตวอยาง 12 ก าหนดให 2{( , ) | 9r x y y x และ 0}xy จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r วธท า จากความสมพนธทก าหนดใหจะไดวา 2 2 9x y โดยท 0y และ 0xy ซงกราฟของความสมพนธ 2 2 2x y R จะเปนรปวงกลมรศม R และมจดศนยกลางอยทจดก าเนด ดงนนความสมพนธ r สามารถวาดเปน

กราฟไดดงน จะไดวา [ 3,0] {3}

rD และ [0,3]

rR

2 0 2 4

1

2

3

4

5

6

4 2 2 4

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

21

ในชวงนอธบายถงการเลอกอาณาบรเวณส าหรบความสมพนธทก าหนดเงอนไขมาในรปอสมการ

เมอมาถงตอนนครอาจน าปญหาชวนคดทเคยทงไวในสอเรองความสมพนธและฟงกชน ตอนท 1 มาใหนกเรยนลองชวยกนวาดกราฟและเลอกอาณาบรเวณกนอกครง หลงจากไดกราฟของความสมพนธดงกลาวแลวใหนกเรยนหาโดเมนและเรนจจากกราฟทได ชวนคด (จากสอเรองความสมพนธและฟงกชน ตอนท 1) 1. {( , ) | 10}r x y x y 2. {( , ) || | | | 10}r x y x y

นอกจากนยงครยงอาจยกตวอยางเหลานเพมเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

22

ตวอยาง 13 ก าหนดให {( , ) | | |}r x y x y จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r

วธท า จากความสมพนธทก าหนดใหสามารถวาดเปนกราฟไดดงน ดงนน

rD และ

rR

ตวอยาง 14 ก าหนดให 2{( , ) | 1 }r x y y x จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r วธท า จากความสมพนธทก าหนดใหสามารถวาดเปนกราฟไดดงน

ดงนน ( ,1]

rD และ

rR

X

Y

Y

X 1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

23

ในตอนนไดอธบายถงความสมพนธทประกอบดวยเงอนไขมากกวาหนงเงอนไขและแตละเงอนไขเชอมกนดวย “และ” ท าใหสามารถแยกออกเปนความสมพนธยอยๆ ทเชอมกนดวยอนเตอรเซกชนได ดงนนกราฟของความสมพนธทตองการจะมาจากกราฟของความสมพนธยอยๆ เหลานนอนเตอรเซกชนกนนนเอง

เมอมาถงตอนนอาจย าวาไมจ าเปนทเงอนไขของความสมพนธจะตองอยในรปอสมการทงหมดจงจะท าเชนนได โดยครอาจยกตวอยางเหลานประกอบ ตวอยาง 15 ก าหนดให 2{( , ) | 1r x y y x และ 1}y จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

24

วธท า จากความสมพนธทก าหนดใหจะไดวา 1 2

r r r เมอ 2

1{( , ) | 1 }r x y y x และ

2{( , ) | 1}r x y y ซงเหมอนกบการวาดกราฟ

1r แลวตดเฉพาะทอนทกราฟอยเหนอเสนตรง 1y

โดยไมรวมเสนตรงดงกลาว ท าใหไดวากราฟของ r คอ ดงนน ( ,1]

rD และ ( 1, )

rR

ตวอยาง 16 ก าหนดให 2 2{( , ) | 9r x y x y และ 0}xy จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r วธท า จากความส มพนธท ก าหนดให จะไดว า

1 2r r r เม อ 2 2

1{( , ) | 9}r x y x y และ

2{( , ) | 0}r x y xy เนองจากจด ( , )x y ในจตภาคท 1 และ 3 (ไมรวมจดบนแกน X และ แกนY )

สอดคลองอสมการ 0xy ดงนนกราฟของความสมพนธ r คอกราฟของความสมพนธ 1r ซงเปนวงกลมรศม

3 หนวยทมจดศนยกลางอยทจดก าเนดแลวตดเฉพาะทอนทกราฟอยในจตภาคท 1 และ 3 เทานน โดยไมรวมจดทอยบนแกน X และ แกนY ท าใหไดวากราฟของ r คอ ดงนน ( 3,0) (0,3)

rD และ ( 3,0) (0,3)

rR

3 2 1 1 2

2

1

1

2

X

Y

-3

-3

3

3

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

25

ส าหรบตวอยางทยกไวในสอตอนนยงไมไดหาจดตดของเสนตรง 2y x และเสนโคง 2y x

ซ ง จ ดต ดด ง กล า วหาได จ ากก ารแก ระบบสมการท งสองน น นค อจะได ว า 2 2x x ด งน น 20 2 ( 2)( 1)x x x x ท าให 2x หรอ 1 ซงจะสงผลให 4y และ 1 ตามล าดบ จะ

ไดวาจด ( , )a b ในตวอยางดงกลาวคอจด ( 1,1) และจด ( , )c d ในตวอยางดงกลาวคอ (2, 4) ท าใหไดวาส าหรบตวอยางน ( 1,2)

rD และ (0,4)

rR นนเอง

เมอมาถงตอนนครอาจยกตวอยางเหลานเพมเตม ตวอยาง 17 ก าหนดให 2 2{( , ) | 9r x y x y และ 2}y x จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r ว ธ ท า จ ากความสมพ นธท ก าหนดให จะได ว า

1 2r r r เม อ 2 2

1{( , ) | 9}r x y x y และ

2

2{( , ) | }r x y y x เนองจากจด (0, 0) สอดคลองอสมการ 2 2 9x y ดงนนกราฟของความสมพนธ

1r คออาณาบรเวณภายในวงกลมรศม 3 หนวยทมจดศนยกลางอยทจดก าเนดทรวมจดบนขอบของเสนรอบวงกลมดวย ในขณะทจด (0,1) สอดคลองอสมการ 2y x ดงนนกราฟของความสมพนธ

2r คออาณาบรเวณ

เหนอเสนโคง 2y x ทไมรวมจดบนเสนโคงน ในการหาจดตดของเสนโคงทงสองนท าไดโดยแกระบบสมการ

2 2 9x y และ 2y x น นค อ 2 9y y ด งน น 2 9 0y y ห รอ 1 37

2y แต

เนองจาก 2y x ดงนน 1 37

2y เทานน ท าให 1 37

2x ท าใหไดวากราฟของ r คอ

อาณาบรเวณทแรเงาน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

26

เมอ 1 37 1 37,

2 2A และ 1 37 1 37

,2 2

B ดงนน

1 37 1 37,

2 2rD และ (0,3]

rR

X

Y

A B

3

0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

27

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การหาโดเมนและเรนจโดยการวาดกราฟ

จงหาโดเมนและเรนจจากกราฟของความสมพนธทก าหนดใหตอไปน 1. 2. 3. 4. 5. จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธทก าหนดใหตอไปนโดยการวาดกราฟ 6. {( ,| |) | 2 4}r x x x 7. {( , ) |r x y x y และ 2 2 3}y x x

8. 2( , )r x y y x และ 25 19

y x

9. 2{( , ) | 1r x y y x และ 0}xy 10. {( , ) | 0, 0 5r x y x y และ 2 2 2 6 8}x y x y

2 1 1 2

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

2

4

6

8

2 1 1 2

3

2

1

2 1 0 1 2

2

4

6

8

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

28

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

29

สรปสาระส าคญประจ าตอน

เมอมาถงชวงสดทายครควรย ากบนกเรยนอกครงวาเทคนคการแกสมการ อสมการ การแยกตวประกอบ ตลอดจนสมบตตางๆ ของจ านวนจรงมความส าคญอยางยงในการหาโดเมนและเรนจ นอกจากนการทนกเรยนสามารถวาดกราฟของความสมพนธพนฐานตางๆ ไดกจะเปนประโยชนอยางมากในการหาโดเมนและเรนจเชนเดยวกน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

30

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

31

แบบฝกหดระคน

1. ก าหนดให {( , ) | 4 2}r x y y x เมอ คอเซตของจ านวนเตม ขอใดตอไปนคอเรนจของความสมพนธ r

1. 2

xx เปนจ านวนค 2.

2

xx เปนจ านวนค

3. เซตของจ านวนคทงหมด 4. เซตของจ านวนคทงหมด

2. ก าหนดให 2

( , ) 11

xr x y y

x และ 2{( , ) | 1}s x y y x จงหา

r sD D

3. ก าหนดให 2{( , ) | ( 2) }r x y y x และ {( , ) | | 1 | 1}s x y y x จงหา r sD R

4. ก าหนดให 3 2 2 2{( , ) | 2 3 0}r x y x xy x y และ 2 4

( , )2

xs x y y

x จงหา

r sD D 5. ก าหนดให 2{( , ) |r x y y x และ 2 }y x จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r 6. ก าหนดให {( , ) | | | | | 2}r x y x y จงวาดกราฟของความสมพนธ r พรอมทงหาโดเมน

และเรนจของความสมพนธน 7. ก าหนดให 2 4 2{( , ) | 16 25 8 10 2}r x y x y x y จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r

8. ก าหนดให 2

2

1( , ) 1

4

yr x y

x จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r

9. ส าหรบจ านวนจรงบวก k ก าหนดให {( , ) | }r x y x y k จงหาโดเมนและเรนจของ r 10. ก าหนดให 2{( , ) |r x y y x และ 2 }y x จงวาดกราฟของความสมพนธ r พรอมทงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

32

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

33

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรอง การหาโดเมนและเรนจโดยการแกสมการ

1. [0, )

rD ; [1, )

rR 2. ( , 2) (2, )

rD ; {0}

rR

3. ( , 3] [ 3, )rD ; [0, )

rR 4.

rD ; 1

0,5

rR

5. 5,102r

D ; [0, 5]rR 6. ( , 4] [ 2, )

rD ;

rR

7. rD ; [ 1,0]

rR 8. { 1, 1}

rD ; {0}

rR

9. 3( ,0] [ 12, )rD ;

3

1( ,0) 0,

12rR

10. [ 3,2]rD ; 5

0,2r

R

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรอง การหาโดเมนและเรนจโดยการวาดกราฟ

1. ( 1,0) (0, )

rD ; ( 1,0) (1, )

rR

2. ( 1, )rD ; [0,1) (4, )

rR

3. {0}rD ;

rR

4. rD ; [1, )

rR

5. (0, )rD ; [0, )

rR

6.

( 2,4)rD ; [0,4)

rR

4 2 2 4

1

2

3

4

5

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

34

7. เมอ 1 13 1 13,

2 2A และ

1 13 1 13,

2 2B ดงนน

1 13 1 13,

2 2rD ;

1 134,

2rR

8.

3 3,2 2r

D ; 90,4r

R

9.

( 1,0) (0, )rD ; ( , 1) (0,1)

rR

2 1 1 2

1

2

3

4

2 1 1 2

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

3 2 1 1 2

4

2

2

4

A

B

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

35

10.

[0,4]rD ; [0,5]

rR

หมายเหต เสนกราฟของความสมพนธในขอ 6, 9 และ 10 ทกเสนเปนเสนทบ

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. 1 2. ( 1,1) (1, ) 3. [0,1) 4. 1,4 (4, )3

5. ( ,0] [2, )rD ;

rR

6. rD ;

rR

7. 1

4rD ;

1 1,5 5

rR 8. ( 1] [1, )

rD ; ( 2,2)

rR

9. 2[0, ]rD k ; 2[0, ]

rR k

10. (0,1)rD ; (0,1)

rR

X

Y

(0,0)

(1,1)

X

Y

-2

-2

2

2

2 2 4

2

4

6

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

36

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

37

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

38

เรอง ตอน

ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

ฟงกชนตรโกณมต 2

ฟงกชนตรโกณมต 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

39

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสสวนกลาง 3

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมบรณ 2

การกระจายสมบรณ 3

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได