Post on 27-Dec-2015
description
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 47
Phần 2: XÁC SUẤT
Chương 1: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
1. BIẾN CỐ
Phép thử là khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất, nhưng chưa có định nghĩa chính xác, có thể mô
tả phép thử như sau: Việc thực hiện một nhóm điều kiện xác định (chẳng hạn làm thí nghiệm) để
quan sát, nghiên cứu một hiện tượng.
Một phép thử có thể có nhiều kết quả xảy ra. Một kết quả có thể xảy ra hay không xảy ra trong phép
thử được gọi là biến cố. Các kết quả đơn giản nhất được gọi là biến cố sơ cấp.
Tập hợp chứa tất cả các biến cố sơ cấp của phép thử được gọi là không gian mẫu (còn được gọi là
không gian các biến cố sơ cấp), được kí hiệu là .
Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc để xem mặt trên cùng có bao nhiêu chấm là một phép thử. Các kết
quả “xuất hiện mặt i chấm” ( i 1,6 ) là các biến cố sơ cấp. Không gian mẫu của phép thử là
1 2 3 4 5 6, , , , , với i là biến cố “xuất hiện mặt i chấm” ( i 1,6 ).
Nhận xét:
i) Biến cố là tập con của không gian mẫu.
ii) Biến cố xảy ra khi và chỉ khi một biến cố sơ cấp thuộc nó xảy ra.
Phân loại biến cố: Căn cứ vào việc xảy ra hay không của biến cố, có thể phân loại biến cố như sau:
- Biến cố chắc chắn, kí hiệu , là biến cố chắc chắn xảy ra khi thực hiện phép thử.
- Biến cố không thể, kí hiệu , là biến cố chắc chắn không xảy ra khi thực hiện phép thử.
- Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra hoặc có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử,
thường dùng các chữ cái in hoa đầu bảng chữ cái 1 2 nA,B,C, ,A ,A , ,A 1 2 n, B , B , , B , để kí
hiệu cho các biến cố ngẫu nhiên.
2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
2.1.Quan hệ kéo theo. Biến cố A kéo theo biến cố B, kí hiệu A B, nếu A xảy ra thì B xảy
ra. Nói cách khác, biến cố A thuận lợi cho biến cố B.
2.2.Quan hệ tương đương. Biến cố A tương đương biến cố B, kí hiệu A B, nếu A xảy ra thì
B xảy ra và ngược lại B xảy ra thì A xảy ra, tức là A B A B và B A.
Ví dụ 2: Tung một con xúc xắc. Gọi A là biến cố số chấm là số lẻ, B là biến cố số chấm bằng 5 và
C là biến cố số chấm là số lẻ và lớn hơn 3. Khi đó: A,B,C là các biến cố ngẫu nhiên; B C, B A .
2.3.Tổng của các biến cố
Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu A B , biến cố này xảy ra khi và chỉ khi có ít
nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra.
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 48
Tổng của n biến cố 1 2 nA ,A , ,A là một biến cố, kí hiệu 1 2 nA A A , biến cố này xảy ra khi
và chỉ khi có ít nhất một trong n biến cố 1 2 nA ,A , ,A xảy ra.
2.4.Tích của các biến cố
Tích của hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu AB , biến cố này xảy ra khi và chỉ khi cả hai
biến cố A và B đều xảy ra.
Tích của n biến cố 1 2 nA ,A , ,A là một biến cố, kí hiệu 1 2 nA A A , biến cố này xảy ra khi và chỉ
khi cả n biến cố 1 2 nA ,A , ,A đều xảy ra.
Ví dụ 3: Lấy ngẫu nhiên 3 lần, mỗi lần 1 bi, từ một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Gọi iA là biến cố lần
thứ i lấy được bi xanh ( i 1,2,3 ). Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một bi xanh; B là biến cố lấy
được 3 bi xanh. Ta có
...............................................................................................................................................................................
2.5.Biến cố xung khắc
a) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra, tức là
AB .
b) Dãy biến cố 1 2 nA ,A , ,A được gọi là xung khắc từng đôi nếu 2 biến cố bất kỳ trong n biến cố
này xung khắc với nhau i ji j: A A .
2.6.Biến cố đối lập
Biến cố đối lập (còn được gọi là biến cố bù) của biến cố A, kí hiệu là A , biến cố này xảy ra khi và
chỉ khi biến cố A không xảy ra.
A là biến cố đối lập của A A
AAA
Ví dụ 4: Tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố số chấm là số lẻ; B là biến cố số chấm là số chẵn;
C là biến cố số chấm bằng 3. Ta có
B và C là hai biến cố ................................................................................................................................
A và B là hai biến cố ................................................................................................................................
Ví dụ 5: Kiểm tra 3 sản phẩm do nhà máy sản xuất. Gọi iA là biến cố sản phẩm thứ i là sản phẩm
tốt, (i 1,2,3) . Hãy biểu diễn các biến cố sau theo 1 2 3A ,A ,A :
a) A là biến cố được 3 sản phẩm tốt;
b) B là biến cố không được sản phẩm tốt nào;
c) C là biến cố được 1 sản phẩm tốt;
d) D là biến cố được 2 sản phẩm tốt;
e) E là biến cố được ít nhất 1 sản phẩm tốt;
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 49
f) F là biến cố được ít nhất 2 sản phẩm tốt.
Giải.
a) 1 2 3A A A A
b) 1 2 3B A A A
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
3. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT (cổ điển)
3.1. Tổ hợp
Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có thứ tự gồm k phần tử phân biệt được chọn
từ n phần tử đã cho.
Ví dụ 6: Các tổ hợp chập 3 của 4 phần tử a,b,c,d là a,b,c , a,b,d , a,c,d , b,c,d .
Các tổ hợp chập 2 của 4 phần tử a,b,c,d là a,b , a,c , a,d , b,c , b,d , c,d .
Số tổ hợp chập k của n phần tử, được kí hiệu là k
nC
k
n
n!C
k!(n k)!
Bài toán lựa chọn: Xét một tổng thể có N phần tử, trong đó có AN phần tử có tính chất A, còn lại
là các phần tử không có tính chất A. Số cách chọn ra n phần tử (0 n N) từ tổng thể, trong đó có
k phần tử có tính chất A là: A A
k n k
N N NC C .
Ví dụ 7: Một lớp có 50 sinh viên gồm 20 nam và 30 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 4
sinh viên từ lớp này, trong đó có 3 nam và 1 nữ. ..........................................................................................
3.2. Định nghĩa xác suất
Nếu trong một phép thử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng, trong đó có An biến cố sơ cấp
thuận lợi cho biến cố A thì xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A) , được tính bởi công thức
AnP(A)
n
Ý nghĩa của xác suất: Xác suất của một biến cố là một giá trị nằm trong miền từ 0 đến 1, đặc trưng
cho khả năng xảy ra của biến cố trong một phép thử ngẫu nhiên. Xác suất càng lớn (càng gần 1) thì
biến cố càng có khả năng xuất hiện cao; xác suất càng nhỏ (càng gần 0) thì biến cố càng có khả năng
xuất hiện thấp trong một phép thử.
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 50
Tính chất: Theo định nghĩa, ta có:
P( 0) .
P 1 .
0 P A 1
Nếu A B thì P A P B .
Ví dụ 8: Tung một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất
a) Xuất hiện mặt 1 chấm.
b) Xuất hiện mặt chẵn.
Giải. Các biến cố sơ cấp có thể xảy ra khi tung con xúc xắc là 1 2 3 4 5 6, , , , , với i là biến cố
xuất hiện mặt i chấm.
Số biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra khi tung con xúc xắc là n 6 .
a) Gọi A là biến cố xuất hiện mặt một chấm An 1. Do đó, xác suất xuất hiện 1 chấm là
1P(A)
6 .
b) Gọi B là biến cố xuất hiện mặt chẵn Bn 3 .Do đó, xác suất xuất hiện mặt chẵn là
3 1P(B)
6 2 .
Ví dụ 9: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II.
a) Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác suất lấy được sản phẩm loại I.
b) Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại lần lượt từng sản phẩm ra 2 sản phẩm, tính xác suất lấy được một sản
phẩm loại I.
c) Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm, tính xác suất lấy được một sản phẩm loại I.
Giải.
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
3.3. Công thức tính xác suất lựa chọn
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 51
Xét một tổng thể có N phần tử, trong đó có AN phần tử có tính chất A, còn lại là các phần tử không
có tính chất A. Chọn ngẫu nhiên từ tổng thể ra n phần tử (0 n N). Khi đó, xác suất trong n
phần tử lấy ra có k phần tử có tính chất A là:
A A
k n k
N N N
k n
N
C CP(A )
C
Ví dụ 10: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II. Lấy ngẫu
nhiên không hoàn lại từ hộp ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để có 2 sản phẩm loại I trong 3 sản phẩm
lấy ra từ hộp.
Giải. Gọi A là biến cố có 2 sản phẩm loại I trong 3 sản phẩm lấy ra
...............................................................................................................................................................................
4. CÔNG THỨC CỘNG
a) Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì P(A B) P(A) P(B) .
b) Nếu 1 2 nA ,A , ,A là các biến cố xung khắc từng đôi thì
1 2 n 1 2 nP(A A A ) P(A ) P(A ) P(A )
c) Nếu A, B là hai biến cố bất kỳ thì P(A B) P(A) P(B) P(AB) .
d) Nếu 1 2 nA ,A , ,A là các biến cố bất kỳ thì
nn 1
1 2 n i i j 1 2 n
i 1 1 i j n
P(A A A ) P(A ) P(A A ) ( 1) P(A A A )
Ví dụ 11: P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)
e) Biến cố đối lập: P(A) 1 P(A) .
Ví dụ 12: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản
phẩm từ hộp để kiểm tra. Tính xác suất để có không quá 1 phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra.
Giải. Gọi A là biến cố không có phế phẩm; B là biến cố có 1 phế phẩm; C là biến cố có không quá
1 phế phẩm. .........................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
5. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Xác suất của biến cố A được tính trong điều kiện biến cố B đã xảy ra, kí hiệu là P(A | B) . Công
thức tính
P(AB)P(A | B)
P(B)
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 52
Trong trường hợp không gian mẫu có số biến cố sơ cấp hữu hạn và đồng khả năng ta có thể tính theo
công thức AB
B
nP(A | B)
n .
Xác suất có điều kiện P(A | B) cho phép chúng ta sử dụng thông tin về sự xuất hiện của biến cố B
để dự báo khả năng xuất hiện biến cố A.
Xác suất có điều kiện cũng có các tính chất như xác suất thông thường:
0 P B 1; P B | B 1; P A | B(A | 1 P A | B) ( ) ( ) ( );
1 2 1 2( ) (P A A | B P A | B P )B) (A | nếu 1 2A A ;...
Ví dụ 13: Trong hộp có 10 sản phẩm gồm 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên không hoàn
lại ra 2 sản phẩm, mỗi lần 1 sản phẩm. Tính xác suất
a) Lần thứ hai lấy được chính phẩm, biết lần thứ nhất đã lấy được chính phẩm.
b) Lần thứ hai lấy được chính phẩm, biết lần thứ nhất đã lấy được phế phẩm.
Giải. Gọi A là biến cố lần thứ hai lấy được chính phẩm; B là biến cố lần thứ nhất lấy được chính
phẩm.
a) Ta cần tính P(A | B)
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
b) Ta cần tính P(A | B)
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
6. CÔNG THỨC NHÂN
a) Nếu A,B là hai biến cố bất kỳ thì P(AB) P(A)P(B | A) P(B)P(A | B) .
a) Nếu A,B là hai biến cố độc lập thì P(AB) P(A)P(B) .
b) Nếu 1 2 nA ,A , ,A là các biến cố bất kỳ thì
1 2 3 n 1 2 1 3 1 2 n 1 2 3 n 1P(A A A A ) P(A )P(A | A )P(A | A A ) P(A | A A A A )
c) Nếu 1 2 nA ,A , ,A là các biến cố độc lập thì
1 2 3 n 1 2 3 nP(A A A A ) P(A )P(A )P(A ) P(A )
Ví dụ 14: Ba người chơi bóng rổ, mỗi người ném một quả vào rổ từ một vị trí cố định một cách độc
lập với nhau. Xác suất ném vào rổ của từng người lần lượt là 0,5; 0,6; 0,7.Tính xác suất
a) Cả 3 người đều ném vào rổ.
b) Có ít nhất một người ném vào rổ.
c) Có 2 người ném vào rổ.
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 53
d) Người thứ ba ném không vào rổ, biết rằng có 2 người ném vào rổ.
Giải. Gọi iA là biến cố người thứ i ném vào rổ, (i 1,2,3) .
Ta có 1 2 3A ,A ,A độc lập với nhau.
a) Gọi A là biến cố cả 3 người đều ném vào rổ.
1 2 3A A A A
1 2 3P(A) P(A )P(A )P(A ) 0,5.0,6.0,7 0,21
b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 người ném vào rổ.
1 2 3B A A A
1 2 3 1 2 3P(B) 1 P B 1 P A A A 1 P A P A P A
1 0,5.0,4.0,3 0,94
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
7. CÔNG THỨC BERNOULLI
Dãy n phép thử được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu thỏa các điều kiện sau
a) Các phép thử độc lập với nhau;
b) Trong mỗi phép thử, xác suất biến cố A ta quan tâm có xác suất xảy ra như nhau, iP(A ) p .
Khi đó, xác suất biến cố A xảy ra k lần trong n lần thử, kí hiệu nP (k;p), là
k k n k
n nP (k;p) C p (1 p) , k 0,...,n
Ví dụ 15: Xạ thủ bắn từng viên đạn vào bia. Xác suất bắn trúng bia trong mỗi lần bắn đều là 0,8.
a) Xạ thủ bắn 10 viên đạn. Tính xác suất có 6 viên đạn trúng bia.
b) Xạ thủ cần bắn ít nhất bao nhiêu viên đạn để xác suất có ít nhất 1 viên đạn trúng bia tối thiểu là
0,9999.
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 54
Giải. Xạ thủ bắn n viên đạn tương ứng với dãy n phép thử Bernoulli với xác suất bắn trúng mỗi
viên là 0,8.
a) 6 6 4
10 10P (6;0,8) C .0,8 .0,2 0,0881 .
b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 viên đạn trúng bia
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
8. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ và CÔNG THỨC BAYES
Định nghĩa
Nhóm các biến cố 1 2 nA ,A , ,A n 2 của một phép thử được gọi là một nhóm đầy đủ nếu
các biến cố 1 2 nA ,A , ,A xung khắc từng đôi và luôn có một trong các biến cố 1 2 nA ,A , ,A xảy ra
khi thực hiện phép thử, tức là
i j
1 2 n
A A , i j
A A A
Công thức xác suất đầy đủ
Nếu 1 2 nA ,A , ,A n 2 là một nhóm đầy đủ và A là một biến cố bất kỳ của phép thử thì
1 1 2 2 n nP(A) P(A )P(A | A ) P(A )P(A | A ) P(A )P(A | A )
n
i i
i 1
P(A )P(A | A )
Công thức Bayes
Nếu 1 2 nA ,A , ,A n 2 là một nhóm đầy đủ và A là một biến cố bất kỳ của phép thử thì
i i i ii n
i i
i 1
P(A )P(A | A ) P(A )P(A | A )P(A | A)
P(A)P(A )P(A | A )
Ví dụ 16: Một phân xưởng có 3 máy cũng sản xuất một loại sản phẩm. Sản lượng của các máy này
lần lượt chiếm 50%, 40%, 10% sản lượng của phân xưởng. Tỉ lệ phế phẩm của các máy này lần lượt
là 1%, 2%, 3%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.
a) Tính xác suất sản phẩm kiểm tra là phế phẩm. Nêu ý nghĩa thực tế của giá trị xác suất này.
b) Giả sử sản phẩm kiểm tra là phế phẩm, tính xác suất phế phẩm đó do máy 1 sản xuất. Nêu ý
nghĩa thực tế của giá trị xác suất này.
c) Giả sử sản phẩm kiểm tra là phế phẩm, khả năng phế phẩm nàydo phân xưởng nào sản xuất là
cao nhất?
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 55
Giải. Gọi B là biến cố sản phẩm kiểm tra là phế phẩm;
iA là biến cố sản phẩm kiểm tra là của máy thứ i (i 1,2,3) .
1 2 3A ,A ,A là một nhóm đầy đủ
a) Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:
1 1 2 2 3 3P(B) P(A )P(B | A ) P(A )P(B | A 0 P(A )P(B | A )
0,5.0,01 0,4.0,02 0,1.0,03 0,016 1,6%
...............................................................................................................................................................................
b) Áp dụng công thức Bayes, ta được:
1 11
P(A )P(B | A ) 0,5.0,01P(A | B) 0,3125 31,25%
P(B) 0,016
...............................................................................................................................................................................
c) Áp dụng công thức Bayes, ta được:
2 22
P(A )P(B | A ) 0,4.0,02P(A | B) 0,5
P(B) 0,016
3 33
P(A )P(B | A ) 0,1.0,03P(A | B) 0,1875
P(B) 0,016
...............................................................................................................................................................................
Ví dụ 17: Một thiết bị gồm 3 loại linh kiện loại 1, 2, 3. Chúng chiếm tương ứng 35%, 25%, 40%
tổng số linh kiện của thiết bị. Khả năng mộtlinh kiện loại 1, 2, 3 bị hỏng tương ứng là 15%, 25%,
5%. Thiết bị đang hoạt động bỗng nhiên bị hỏng. Theo bạn nhiều khả năng nhất linh kiện loại nào bị
hỏng (giả sử các linh kiện không hỏng đồng thời).
Giải. ....................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
BÀI TẬP
Bài 1.1. Kiểm tra ba sản phẩm. Gọi kA là biến cố sản phẩm thứ k là sản phẩm tốt. Hãy biểu diễn
các biến cố sau theo các biến cố kA :
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 56
a) A là biến cố tất cả đều xấu.
b) B là biến cố có ít nhất một sản phẩm tốt.
c) C là biến cố có ít nhất một sản phẩm xấu.
d) D là biến cố không phải tất cả các sản phẩm đều tốt.
e) E là biến cố có đúng một sản phẩm xấu.
f) F là biến cố có ít nhất hai sản phẩm tốt.
Bài 1.2. Để được tuyển vào làm trong một ngân hàng, một người phải qua ba vòng phỏng vấn. Xác
suất để người đó được tuyển ở vòng 1, vòng 2, vòng 3 lần lượt là: 0,8; 0,9 và 0,85. Tính xác suất để
người đó được nhận vào làm trong ngân hàng.
Bài 1.3. Một cuộc thi có 3 vòng. Vòng một lấy 90% thí sinh. Vòng 2 lấy 80% thí sinh của vòng 1 và
vòng 3 lấy 90% thí sinh của vòng 2.
a) Tính xác suất để một thí sinh lọt qua 3 vòng thi.
b) Tính xác suất để một thí sinh bị loại ở vòng 2 nếu biết rằng thí sinh đó bị loại.
Bài 1.4. Trong một xưởng có 3 máy làm việc độc lập. Trong một ca, máy thứ nhất cần sữa chữa với
xác suất 0,15; máy thứ hai với xác suất 0,1 và máy thứ ba với xác suất 0,12. Tính xác suất sao cho
trong một ca
a) Cả 3 máy cần sửa chữa.
b) Có 1 máy được sửa chữa.
c) Có 2 máy được sửa chữa.
d) Có ít nhất 1 máy cần sữa chữa.
e) Biết rằng có 1 máy cần sửa chữa, tính xác suất máy thứ nhất cần sửa chữa.
Bài 1.5. Một người đầu tư vào 3 loại cổ phiếu A, B, C. Xác suất trong thời gian T các cổ phiếu này
tăng giá là 0,6; 0,7; 0,8. Tính xác suất trong thời gian T:
a) Có cổ phiếu tăng giá.
b) Có 1 cổ phiếu tăng giá.
c) Giả sử có 2 cổ phiếu tăng giá. Tính xác suất cổ phiếu B không tăng giá.
Biết rằng các cổ phiếu A, B, C hoạt động độc lập.
Bài 1.6. Một mô hình đơn giản về biến đổi giá chứng khoán như sau: trong một phiên giao dịch xác
suất giá tăng lên một đơn vị là p, và xác suất giá giảm một đơn vị là 1 – p, sự thay đổi giá của các
phiên giao dịch là độc lập.
a) Tính xác suất sau 3 phiên giao dịch giá tăng so với thời điểm ban đầu 1 đơn vị.
b) Giả sử sau 3 phiên giao dịch giá tăng so với thời điểm ban đầu 1 đơn vị, tính xác suất giá tăng
trong phiên thứ 2.
Bài 1.7. Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm. Xác suất máy sản xuất ra phế phẩm là 0,05. Tính
xác suất:
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 57
a) Trong 10 sản phẩm do máy sản xuất ra có 3 phế phẩm.
b) Trong 10 sản phẩm do máy sản xuất ra có phế phẩm.
c) Trong 10 sản phẩm do máy sản xuất ra có ít nhất 2 phế phẩm.
d) Cần kiểm tra tối thiểu bao nhiêu sản phẩm do máy sản xuất ra để xác suất có phế phẩm hơn 90%.
Bài 1.8. Hộp thứ nhất có 8 chai thuốc (trong đó có 3 chai kém phẩm chất), hộp thứ hai có 5 chai
thuốc (trong đó có 2 chai kém phẩm chất). Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 chai.
a) Tính xác suất lấy được 2 chai thuốc tốt.
b) Tính xác suất lấy được một chai thuốc tốt và một chai kém phẩm chất.
c) Nếu lấy được một chai tốt và một chai kém phẩm chất, tính xác suất để chai kém phẩm chất là
của hộp thứ nhất.
Bài 1.9. Hộp thứ nhất có 8 chai thuốc (trong đó có 3 chai kém phẩm chất), hộp thứ hai có 5 chai
thuốc (trong đó có 2 chai kém phẩm chất). Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đã chọn lấy ngẫu
nhiên ra 2 chai.
a) Tính xác suất lấy được 2 chai thuốc tốt.
b) Tính xác suất lấy được một chai thuốc tốt và một chai kém phẩm chất.
c) Nếu lấy được một chai tốt và một chai kém phẩm chất, tính xác suất hộp thứ nhất được chọn.
Bài 1.10. Một cửa hàng bán máy vi tính cá nhân có 3 nhãn hiệu: 1 2 3A ,A ,A . Tỉ lệ của 1A là 50%, của
2A là 30%, của 3A là 20%. Các máy bán ra được bảo hành 1 năm. Chủ nhân của cửa hàng ghi nhận:
10% máy 1A cần sửa chữa trong thời gian bảo hành, của 2A là 20%, của 3A là 25%.
a) Một khách hàng mua một máy, tính xác suất để máy tính được mua cần phải sửa chữa trong thời
gian bảo hành. Nêu ý nghĩa thực tế của giá trị xác suất này.
b) Giả sử máy của khách hàng mua bị hỏng cần sửa chữa trong thời gian bảo hành, cho biết khả
năng cao nhất máy đó là loại nào?
Bài 1.11. Một nhà máy sản xuất bóng đèn có tỉ lệ bóng đèn đạt tiêu chuẩn là 80%. Trước khi xuất
xưởng ra thị trường mỗi bóng đèn đều được qua kiểm tra chất lượng. Vì sự kiểm tra không thể tuyệt
đối hoàn hảo nên một bóng đèn tốt có xác suất 0,9 được công nhận là tốt, một bóng đèn hỏng có xác
suất bị loại là 0,95.
a) Tính tỉ lệ bóng đạt tiêu chuẩn sau khi qua kiểm tra chất lượng.
b) Tính xác suất một bóng đèn của nhà máy có kết quả kiểm tra không đúng với bản chất của nó.
c) Nếu một bóng đèn có kết quả kiểm tra là đạt tiêu chuẩn thì khả năng kết quả đó không đúng là
bao nhiêu?
Bài 1.12. Tỉ lệ phế phẩm của một loại sản phẩm là 0,1. Để đảm bảo chất lượng người ta kiểm tra sản
phẩm trước khi đưa ra thị trường. Thiết bị kiểm tra tự động có độ chính xác là 95% đối với chính
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 58
phẩm và 98% đối với phế phẩm. Sản phẩm được đưa ra thị trường nếu được thiết bị kiểm tra báo là
chính phẩm.
a) Tính tỉ lệ sản phẩm được đưa ra thị trường.
b) Với một sản phẩm được đưa ra thị trường thì khả năng nó là phế phẩm là bao nhiêu?
c) Tính tỉ lệ sản phẩm được kiểm tra bởi thiết bị không đúng với bản chất của nó.
d) Một người mua 5 sản phẩm được đưa ra thị trường. Tính xác suất trong 5 sản phẩm này có 2 phế
phẩm.
Bài 1.13. Một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm, tỉ lệ phế phẩm của xí nghiệp là 5%. Mỗi sản
phẩm sản xuất ra được lần lượt qua 2 trạm kiểm tra độc lập.
- Ở trạm 1: xác suất nhận biết đúng với chính phẩm là 90% và nhận biết sai một phế phẩm là 3%.
- Ở trạm 2: xác suất nhận biết đúng với chính phẩm là 95% và nhận biết đúng với một phế phẩm là
98%.
Một sản phẩm được đưa ra thị trường nếu lần lượt qua hai trạm kiểm tra đều được coi là chính phẩm.
Tính xác suất để:
a) Một phế phẩm được đưa ra thị trường.
b) Một chính phẩm bị loại trong quá trình kiểm tra.
c) Một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên trong số các sản phẩm chưa kiểm tra được đưa ra thị
trường.
d) Một sản phẩm đươc đưa ra thị trường là phế phẩm.
Bài 1.14. Một nhà đầu tư phân loại các dự án trong một chu kỳ đầu tư thành 3 loại: ít rủi ro; rủi ro
trung bình; rủi ro cao. Tỉ lệ dự án các loại đó tương ứng là 20%; 45%; 35%. Kinh nghiệm cho thấy tỉ
lệ dự án gặp rủi ro khi đầu tư tương ứng là 5%; 20%; 40%.
a) Tính tỉ lệ dự án gặp rủi ro trong kỳ đầu tư.
b) Nếu một dự án không gặp rủi ro sau kỳ đầu tư thì khả năng dự án đó thuộc loại rủi ro cao là bao
nhiêu?
Bài 1.15. Một hộp có 10 chính phẩm và 3 phế phẩm không rõ chất lượng cụ thể. Một khách hàng rút
ngẫu nhiên 1 sản phẩm để kiểm tra thì được chính phẩm, vì vậy khách hàng dự định sẽ mua hộp sản
phẩm đó nếu rút ngẫu nhiên tiếp 1 sản phẩm nữa là chính phẩm. Tính xác suất khách hàng mua sản
phẩm đó. Biết rằng mọi giả thiết về số chính phẩm có trong hộp đều đồng khả năng.
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 59
Chương 2: BIẾN NGẪU NHIÊN
1. KHÁI NIỆM
Biến ngẫu nhiên là một hàm số đi từ không gian mẫu vào tập số thực .
X :
X( )
Có thể hiểu biến ngẫu nhiên là một qui tắc (hoặc hàm) gán các giá trị bằng số cho những kết quả của
phép thử.
Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc. Gọi X là số chấm xuất hiện. X là biến ngẫu nhiên,
(X 1),(X 2),(X 5), là các biến cố.
Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của Đại học Ngân Hàng để kiểm tra chiều cao. Gọi Y(cm)
là chiều cao của sinh viên được chọn. Y là biến ngẫu nhiên.
Biến ngẫu nhiên thường được kí hiệu bằng các chữ cái cuối của bảng chữ cái, X,Y,Z,
Tập giá trị của biến ngẫu nhiên X thường được kí hiệu là X( ) . Căn cứ vào tập giá trị X( ) , biến
ngẫu nhiên được chia làm 2 loại:
Biến ngẫu nhiên rời rạc nếu X( ) là hữu hạn hay vô hạn đếm được, tức là
1 2 nX( ) x ,x , ,x hay 1 2 nX( ) x ,x , ,x , .
Biến ngẫu nhiên liên tục nếu X( ) chứa một khoảng liên tục của tập số thực .
2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
2.1. Bảng phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc
Bảng phân phối xác suất dùng để biểu diễn phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc.
Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 1 2 nx ,x , ,x với các xác suất tương ứng
1 1 2 2 n nP(X x ) p ,P(X x ) p , ,P(X x ) p .
Khi đó, bảng phân phối xác suất của X là:
X 1x 2x
nx
P 1p 2p
np
Nhận xét: ip 0 và n
i
i 1
p 1
.
Ví dụ 3: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản
phẩm từ hộp để kiểm tra. Gọi X là số phế phẩm lấy được. Tìm luật phân phối của X. Tính
P( 1 X 1) .
Giải. .....................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 60
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
2.2. Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục
Hàm mật độ xác suất dùng để biểu diễn phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục.
Hàm số f (x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu thỏa các điều
kiện sau:
i) f (x) 0, x
ii) f (x)dx 1
iii) b
a
P(a X b) f (x)dx
Nhận xét:
Do
a
a
P(X a) f (x)dx 0 , nên đối với biến ngẫu liên tục ta quan tâm xác suất để X nhận giá
trị trong một khoảng, chứ không quan tâm tới xác suất để X nhận một giá trị cụ thể.
Xác suất của các biến cố (a X b),(a X b),(a X b),(a X b) như nhau.
Với biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f (x) thì P(x X x dx) f (x)dx với
dx đủ bé.
Về mặt hình học, xác suất P(a X b)
bằng số đo diện tích hình thang cong giới hạn
bởi x a,x b,y f x và trục Ox. Như vậy,
diện tích hình thang cong này cho ta biết xác
suất.
Ví dụ 4: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:
cx x [0,2]
f (x)0 x [0,2]
neáu
neáu
a b
f(x)
y
x 0
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 61
Tìm c. Tính P( 1,5 X 1)
Giải.
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
2.3. Hàm phân phối
Hàm phân phối xác suất của X , kí hiệu F(x) hoặc XF (x) , là hàm số thực xác định như
sau: F(x) P(X x) .
Hàm phân phối xác suất cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên trái của x .
Với biến ngẫu nhiên rời rạc: i i
i i
x x x x
F(x) P(X x ) p
Với biến ngẫu nhiên liên tục:
x
F(x) f (t)dt
Tính chất của hàm phân phối xác suất:
1. 0 F(x) 1, x
2. F(x) không giảm
3. x x
F( ) lim F(x) 0;F( ) lim F(x) 1
4. P(a X b) F(b) F(a)
Liên hệ với phân phối xác suất:
Với biến ngẫu nhiên rời rạc: i i 1 ip F(x ) F(x ) .
Với biến ngẫu nhiên liên tục, ta có: F(x) liên tục, F'(x) f (x) tại những điểm f (x) liên tục.
Như vậy, nếu biết được hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên thì ta hoàn toàn xác định được
phân phối xác suất của nó.
Ví dụ 5: Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất:
X - 2 0 1 3
P 0,1 0,4 0,3 0,2
Tìm hàm phân phối xác suất của X .
Giải.
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 62
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
Ví dụ 6: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:
xx [0,2]
f (x) 2
0 x [0,2]
neáu
neáu
Tìm hàm phân phối xác suất của X .
Giải. Ta có
x
F(x) f (t)dt
Khi x 0 :
x
F(x) 0dt 0
Khi 0 x 2 :
0 x 2 2
0
xt t xF(x) 0dt dt
02 4 4
Khi 2 x :
0 2 x 2
0 2
2t tF(x) 0dt dt 0dt 1
02 4
Vậy hàm phân phối xác suất của X
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
3. ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
a) Giá trị tin chắc nhất (mode)
Giá trị tin chắc nhất của biến ngẫu nhiên X kí hiệu là Mod(X).
Với biến ngẫu nhiên rời rạc: Mod(X) là giá trị của X mà xác suất X nhận giá trị đó lớn nhất, tức
là Mod(X) là giá trị của X nhiều khả năng xảy ra nhất.
Với biến ngẫu nhiên liên tục: Mod(X) là giá trị làm hàm mật độ xác suất đạt giá trị lớn nhất.
Ví dụ 7: Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất:
X - 2 0 1 3
P 0,1 0,4 0,3 0,2
Giải. .....................................................................................................................................................................
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 63
b) Kì vọng (trung bình)
Kì vọng của biến ngẫu nhiên X kí hiệu là E(X).
Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với i ip P(X x ) thì i i
i
E(X) x p .
Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f (x) thì E(X) xf (x)dx.
Ý nghĩa của kì vọng:
- Kì vọng là giá trị trung bình theo xác suất của biến ngẫu nhiên, phản ánh giá trị trung tâm của
biến ngẫu nhiên.
- Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, nếu cần chọn phương án cho năng suất cao (hay lợi
nhuận cao) thì ta chọn phương án cho năng suất kì vọng cao (hay lợi nhuận kì vọng cao).
Ví dụ 8: Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất:
X - 2 0 1 3
P 0,1 0,4 0,3 0,2
Tìm kì vọng của X.
Giải. .....................................................................................................................................................................
Ví dụ 9: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:
xx [0,2]
f (x) 2
0 x [0,2]
neáu
neáu
Tìm kì vọng của X.
Giải. ........................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
Tính chất của kì vọng:
1. E(C) C , C là hằng số
2. E(aX) aE(X)
3. E(aX bY C) aE(X) bE(Y) c
4. Nếu X,Y độc lập (nghĩa là hai biến cố (X x),(Y y) độc lập với mọi x,y ) thì
E(XY) E(X).E(Y) .
5. Nếu Y (X) thì
i i
i
(x )p X
E(Y)
(x)f (x)dx X
vôùi rôøi raïc
vôùi lieân tuïc
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 64
Ví dụ 10: Một phân xưởng có 2 máy hoạt động độc lập. Xác suất trong một ngày làm việc các máy
đó hỏng tương ứng là 0,1; 0,2.
a) Tìm số máy bị hỏng trung bình trong một ngày làm việc.
b) Nếu mỗi máy bị hỏng phải sửa hết 150 ngàn đồng, tính số tiền sửa máy trung bình trong một
ngày làm việc.
Giải. Gọi X là số máy bị hỏng trong một ngày làm việc
Bảng phân phối xác suất của X :
X 0 1 2
P 0,72 0,26 0,02
a) E(X) 0.0,72 1.0,26 2.0,02 0,3
b) Gọi Y (ngàn đồng) là tiền sửa máy trong một ngày làm việc.
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
c) Phương sai – Độ lệch chuẩn
Phương sai của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu V(X), được xác định như sau:
2
i i
i2
2
x E(X) p X
V(X) E X E(X)
x E(X) f (x)dx X
vôùi rôøi raïc
vôùi lieân tuïc
Trong tính toán, ta hay dùng công thức:
22V(X) E(X ) EX với
2
i i
i2
2
x p X
E(X )
x f (x)dx X
vôùi rôøi raïc
vôùi lieân tuïc
Ý nghĩa của phương sai:
X E(X) là sai lệch giữa giá trị của X so với trung bình của nó. Do đó, phương sai chính là
trung bình của bình phương sai lệch giữa giá trị của X so với trung bình của nó. Phương sai đặc
trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình, nghĩa là phương sai nhỏ thì độ
phân tán nhỏ vì vậy độ tập trung lớn, ngược lại phương sai lớn thì độ phân tán lớn.
Trong kĩ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bị. Trong kinh doanh, phương sai
đặc trưng cho độ rủi ro của các quyết định.
Vì đơn vị đo của V(X) bằng bình phương đơn vị đo của X , để tiện cho việc so sánh giữa các
đặc trưng, ta đưa ra đặc trưng độ lệch tiêu chuẩn, kí hiệu X , X V(X) . Như vậy, X
và X có cùng đơn vị đo.
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 65
Tính chất của phương sai:
1. V(C) 0 , C là hằng số
2. 2 2V(aX) a V(X);V(aX b) a V(X)
3. Nếu X,Y độc lập thì 2 2V(aX bY c) a V(X) b V(Y);
Hệ quả: Nếu X,Y độc lập thì V(X Y) V(X) V(Y)
Ví dụ 11: Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất:
X - 2 0 1 3
P 0,1 0,4 0,3 0,2
Tìm phương sai của X .
Giải. .....................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
Ví dụ 12: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:
xx [0,2]
f (x) 2
0 x [0,2]
neáu
neáu
Tìm phương sai của X .
Giải. .....................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
BÀI TẬP
Bài 2.1. Một thiết bị có 3 bộ phận hoạt động độc lập. Xác suất trong thời gian t các bộ phận bị hỏng
tương ứng là 0,1; 0,15; 0,2.
a) Tìm phân phối xác suất của số bộ phận bị hỏng X trong thời gian t.
b) Lập hàm phân phối của X; tìm ModX; MedX.
c) Tính xác suất trong thời gian t có không quá một bộ phận bị hỏng.
Bài 2.2. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
2kx x 0,3]
f (x)0 x 0,3]
[
[
a) Tính kì vọng của X.
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 66
b) Tính P(X 2),P( X EX 0,5),P( X EX 1)
c) Cho Y 2 X , tìm hàm mật độ của Y.
Bài 2.3. Tìm hàm mật độ xác suất của Y=X2. Biết hàm mật độ của X cho như sau:
X
2(1 x), x (0;1)f (x)
0 x (0;1)
Bài 2.4. Một trạm cung cấp ga có dung lượng kho chứa là 600 thùng và được cung cấp ga 1 lần
trong 1 tuần. Dung lượng ga bán trong một tuần của trạm là X (đơn vị: ngàn thùng) có hàm mật độ
xác suất: m
f x m 1 1– x khi x[0;1]; f(x) = 0 khi x[0;1]. Biết xác suất hết ga trong một
tuần là 0,01. Tính lượng ga trung bình bán ra trong tuần.
Bài 2.5. Cho biến ngẫu nhiên X (đơn vị là tháng) là tuổi thọ của một loại thiết bị có hàm mật độ xác
suất:
x
2cxe x 0f (x)
0 x 0.
Tìm c; Tìm hàm phân phối xác suất của X; Tính xác suất để trong 6 thiết bị này hoạt động độc lập có
3 thiết bị có tuổi thọ ít nhất 5 tháng; Tìm tuổi thọ trung bình của thiết bị; Tuổi thọ có thể hi vọng của thiết
bị là bao nhiêu.
Bài 2.6. Nhu cầu hàng ngày về một loại thực phẩm tươi sống có bảng phân phối xác suất:
Nhu cầu (kg) 30 31 32 33 34 35
P 0,15 0,2 0,35 0,15 0,1 0,05
Mỗi kg thực phẩm mua vào với giá 2,5 ngàn và bán ra với giá 4 ngàn. Nếu bị ế cuối ngày phải
bán hạ giá còn 1,5 ngàn mới bán hết được. Phải đặt mua hàng ngày bao nhiêu kg thực phẩm để có lãi
nhất.
Bài 2.7. Một công ti bảo hiểm sẽ chi một lượng tiền là A nếu biến cố E xuất hiện trong năm. Nếu
công ti ước lượng E xuất hiện trong năm với xác suất p thì một khách hàng cần phải mua bảo hiểm
mức bao nhiêu để kì vọng lợi tức của công ti sẽ là 10% của A.
Bài 2.8. A BX ,X (%) là lãi suất thu được trong một năm khi đầu tư vào hai công ty A, B một cách
độc lập. Cho biết quy luật phân phối xác suất tương ứng như sau:
AX 4 6 8 10 12
P 0,05 0,1 0,3 0,4 0,15
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 67
BX -4 2 8 10 12 16
P 0,1 0,2 0,2 0,25 0,15 0,1
a) Đầu tư vào công ty nào có lãi suất kì vọng cao hơn?
b) Đầu tư vào công ty nào có rủi ro ít hơn?
c) Nếu muốn đầu tư vào cả hai công ty thì nên đầu tư theo tỉ lệ như thế nào sao cho:
i) Thu được lãi suất kì vọng lớn nhất.
ii) Mức độ rủi ro về lãi suất thấp nhất.
Bài 2.9. Phí qua cầu đối với một xe nhỏ là 10 ngàn đồng, một xe lớn là 15 ngàn đồng. Theo thống
kê, trong một giờ có 60% xe nhỏ qua cầu, còn lại là xe lớn. Nếu có 100 xe qua cầu trong một giờ thì
doanh thu trung bình là bao nhiêu?
Bài 2.10. Cho hai máy, tỉ lệ sản phẩm loại A của hai máy tương ứng là 20%, 30%. Cho mỗi máy sản
xuất lần lượt từng sản phẩm ra 2 sản phẩm.
a) Lập bảng phân phối xác suất có số sản phẩm loại A trong 4 sản phẩm sản xuất ra.
b) Tính số sản phẩm loại A tin chắc nhất; phương sai của số sản phẩm loại A trong 4 sản phẩm.
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 68
Chương 3: CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
1. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
1.1. Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức với tham số n,p , kí hiệu X ~ B(n,p) , nếu tập giá trị
X( ) 0,1, ,n và
x x n x
nP(X x) C p q với x X( ),q 1 p .
Khi n 1: X ~ B(1,p) thì X còn được gọi là có phân phối không – một hay phân phối Bernoulli, kí
hiệu X ~ A(p).
Nhận xét: Nếu X là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử Bernoulli với P(A) p , thì
X ~ B(n,p) .
Ví dụ 1: Xí nghiệp có 10 chiếc máy hoạt động độc lập. Xác suất để trong một ngày mỗi máy bị hỏng
là 0,15.
a) Tính xác suất trong một ngày có 2 máy bị hỏng.
b) Tính xác suất trong một ngày có không quá 2 máy bị hỏng.
Giải. .....................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
a) Xác suất có 2 máy bị hỏng
...............................................................................................................................................................................
b) Xác suất có không quá 2 máy bị hỏng
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
1.2. Các số đặc trưng
Nếu X ~ B(n,p) thì
E(X) np;Var(X) npq
(n 1)p 1 Mod(X) (n 1)p
Ví dụ 2: Xí nghiệp có 10 chiếc máy hoạt động độc lập. Xác suất để trong một ngày mỗi máy bị hỏng
là 0,15.
a) Tính số máy bị hỏng trung bình trong một ngày.
b) Tính số máy bị hỏng nhiều khả năng nhất.
Giải. Gọi X là số máy bị hỏng trong 1 ngày.
X có phân phối nhị thức, X ~ B(10;0,15)
...............................................................................................................................................................................
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 69
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
2. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
2.1. Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên X có phân phối siêu bội với tham số AN, N ,n, kí hiệu AX ~ H(N, N ,n) , nếu X
nhận giá trị nguyên dương từ Amax 0,n (N N ) đến Amin n, N và
A A
x n x
N N N
n
N
C .CP(X x)
C
2.2. Mô hình của phân phối siêu bội
Một tổng thể có N phần tử, trong đó có AN phần tử có tính chất A. Lấy ngẫu nhiên n phần tử từ
tổng thể. Gọi X là số phần tử có tính chất A trong n phần tử lấy ra. Khi đó, X có phân phối siêu bội,
AX ~ H(N, N ,n) .
2.3. Các số đặc trưng
Nếu AX ~ H(N, N ,n) thì
E(X) np với AN
pN
N nVar(X) npq.
N 1
với q 1 p
Ví dụ 3: Một kiện gồm 10 sản phẩm, trong đó 6 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II. Một khách
hàng chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm để mua.
a) Tính xác suất khách hàng mua được 2 sản phẩm loại I.
b) Tính xác suất khách hàng mua được ít nhất 1 sản phẩm loại I.
c) Tính sản phẩm loại I trung bình trong 3 sản phẩm lấy ra.
Giải. G ..................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 70
3. PHÂN PHỐI POISSON
3.1. Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số ( 0) , kí hiệu X ~ P( ) , nếu tập giá trị
X( ) 0,1, ,n, và
keP(X k) ; k X( )
k!
3.2. Các số đặc trưng
Nếu X ~ P( ) thì
E(X) V (X)ar
1 Mod(X)
Ví dụ 4: Một tổng đài điện thoại các cuộc gọi đến một cách ngẫu nhiên, độc lập và trung bình có 10
cuộc gọi trong 1 phút. Giả sử số cuộc gọi đến tổng đài trong 1 phút có phân phối Poisson. Tính xác
suất:
a) Có đúng 5 cuộc gọi đến trong 1 phút.
b) Có ít nhất 2 cuộc gọi trong 1 phút.
Giải. .....................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
4. PHÂN PHỐI CHUẨN
4.1. Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với tham số và 2 ( 0) , kí hiệu
2X ~ N( , ) , nếu hàm mật độ xác suất là
2
2
(x )
21
f (x) e2
f (x) là hàm mật độ xác suất vì f x 0 và
f (x)dx 1
.
Đồ thị f(x) có dạng hình chuông, trục đối xứng
+ z1 z
1
e2
1
2
f(x)
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 71
x , các điểm uốn 1
;e2
, nhận trục hoành làm
tiệm cận ngang.
Các số đặc trưng: Nếu 2X ~ N( , ) thì 2E(X) ,Var(X) .
Z được gọi là có phân phối chuẩn tắc nếu Z ~ N(0,1) , tức hàm mật độ xác suất của Z là
2x
21
f (x) e2
.
Tính chất: Nếu 2X ~ N( , ) thì X
Z ~ N(0,1)
.
4.2. Tính xác suất của phân phối chuẩn
a) Hàm Laplace:
2x t
2
0
1(x) e dt
2
Giá trị của hàm Laplace được cho trong bảng hàm Laplace.
- Hàm Laplce là hàm lẻ, ( x) (x) .
- Với x 5 : (x) 0,5 .
- ( ) 0,5; ( ) 0,5
b) Tính xác suất:
- Nếu X ~ N(0,1) thì P(a X b) b a .
- Nếu 2X ~ N( , ) thì b a
P(a X b) .
Ví dụ 5: Cho Z ~ N(0,1) . Tính P( 0,25 Z 1,36), P(Z 2,37), P(Z 2,58) .
Giải. .....................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
Ví dụ 6: Trọng lượng của một gói bột giặt là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng lượng
trung bình là 5(kg) và độ lệch chuẩn 0,1(kg). Tính tỉ lệ gói bột giặt có trọng lượng từ 4,8kg đến 5,1
kg.
Giải.
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 72
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
4.3. Giá trị tới hạn của phân phối chuẩn tắc
Định nghĩa: Cho biến ngẫu nhiên X và số (0,1) . Số g được gọi là giá trị tới hạn mức của
X nếu P X g .
Giá trị tới hạn mức của biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn tắc, kí hiệu z , là số thỏa điều kiện
P(X z )
Tính chất:
1. (z ) 0,5
2. 1z z
3. Nếu Z ~ N(0;1) thì /2 /2 /2 /2P(Z z ) P(Z z ) , P( z Z z ) .2
Ví dụ 7: 0,025 0,975 0,01z 1,96;z 1,96;z 2,33
4.4. Tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn
Mệnh đề: Nếu X ~ N(; 2) thì aX + b ~ N(a + b;a)2) (với a 0).
Định lí: Nếu các biến ngẫu nhiên Xi độc lập và Xi ~ N(i ; i2) thì tổ hợp tuyến tính Y= c1X1 + c2X2
+ …+ cnXn có phân phối chuẩn, với trung bình c11 + c22 + …+ cnn , phương sai c121
2+ c222
2 +
…+ cn2n
2.
Hệ quả 1: Nếu các biến ngẫu nhiên Xi độc lập cùng phân phối chuẩn trung bình , phương sai 2 thì
i) Tổng X1 + X2 + …+ Xn có phân phối chuẩn trung bình n, phương sai n2;
ii) Trung bình cộng
n
i 1
iX
X=
n
có phân phối chuẩn trung bình , phương sai 2
Hệ quả 2: Nếu các biến ngẫu nhiên Xi độc lập cùng phân phối và Xi ~ N(; 2) thì μ
σ
X-Z= ~N(0;1).
Ví dụ 8: Một công ti bán 3 loại hàng: A, B, C với giá bán một đơn vị tương ứng là 21,2; 21,35; 21,5
(USD). Gọi 1 2 3X ,X ,X tương ứng là số đơn vị hàng bán của các loại hàng A, B, C trong 1 tuần.
1 2 3X ,X ,X là các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 1=1000, 2=500, 3=300 và
độ lệch chuẩn 1=100, 2 =80, 3 =50. Tính xác suất doanh thu Y của công ti trong 1 tuần vượt
45000 USD.
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 73
Giải. .....................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................
4.5. Xấp xĩ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn
Định lí (Định lí giới hạn địa phương Moivre-Laplace). Cho X ~ B n;p với p không quá gần 0 và
không quá gần 1 thì:
n
k
P{X k}lim 1
1.f (x )
npq
với
2x
21
f (x) e2
là hàm Gauss.
Định lí (Định lí giới hạn Moivre-Laplace). Gọi X ~ B n;p , với p không quá gần 0 và không quá
gần 1 và n
X npS
npq
thì
F
nS N 0, 1 .
Ý nghĩa của hai định lí trên:
Trong thực hành: Cho X ~ B(n,p) và n đủ lớn, p không quá lớn, cũng không quá bé ( np 5 và
nq 5 ) thì X N(np;npq) . Khi đó,
i) k
1P(X k) f x
npq với
2x
2k
k np 1x ,f (x) e
npq 2
.
ii) 2 11 2
k np k npP(k X k )
npq npq
.
Ví dụ 8: Xác suất nảy mầm của mỗi hạt giống là 0,8. Gieo thử 100 hạt giống.
a) Tính xác suất có đúng 75 hạt nảy mầm
b) Tính xác suất có ít nhất 70 hạt nảy mầm.
Giải.
Gọi X là số hạt nảy mầm trong 100 hạt được gieo
X có phân phối nhị thức, X ~ B(100;0,8)
Vì n 100 đủ lớn, p 0,8 không quá lớn, cũng không quá bé nên 2X N(80;4 ) .
a) 2( 1,25)
2 161 75 80 1 1 1
P(X 79) f f 1,25 . e 0,09504 4 4 4 2
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 74
b) 101 80 70 80
P(X 70) P(70 X 101)4 4
5,25 2,5 0,5 0,4938 0,9938
5. PHÂN PHỐI KHI BÌNH PHƯƠNG
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối khi bình phương với n bậc tự do, kí hiệu
2X ~ (n) , nếu hàm mật độ xác suất là
x n1
2 2
n/2
1.e x x 0
n2f (x)
2
0 x 0
vôùi
vôùi
ở đây x 1 t
0
t e dtx
(hàm Gamma).
Tính chất:
- Nếu n
2
i
i 1
X X
với iX độc lập, iX ~ N(0,1) thì 2X ~ (n) .
- Nếu 2X ~ (n) thì E(X) n,Var(X) 2n .
Giá trị tới hạn mức của biến ngẫu nhiên 2X ~ (n), kí hiệu 2
(n, ) , là số thỏa điều kiện
2
(n, )P(X )
Ví dụ 9: 2 2
(25;0,975) (25;0,025)13,120; 40,646.
6. PHÂN PHỐI STUDENT
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Student với n bậc tự do, kí hiệu X ~ t(n) ,
nếu hàm mật độ xác suất là
n 12 2
n 1
1 x2. . 1 x 0
nf (x) nn
2
0 x 0
vôùi
vôùi
ở đây x 1 t
0
t e dtx
(hàm Gamma).
+ Đồ thị hình chuông tương tự như đồ thị
của phân phối chuẩn nhưng có đỉnh thấp hơn
và 2 phần đuôi cao hơn so với đồ thị của
f(x)
x
Đồ thị
Đồ thị
phân phối chuẩn
Đồ thị
phân phối t(n)
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 75
phân phối chuẩn.
Các số đặc trưng: E(X) 0 (bậc tự
do n 1 ); n
V(X)n 2
(với n 2 ).
Nếu Z
XY
n
với 2Z ~ N(0,1);Y ~ (n) và Z, Y độc lập thì X ~ t(n) .
Giá trị tới hạn mức của biến ngẫu nhiên X ~ t(n), kí hiệu (n, )t , là số thỏa điều kiện
(n, )P(X t ) .
Ví dụ 10: (25;0,01) (17;0,025) (19;0,005)t 1,316;t 2,110;t 2,861
7. PHÂN PHỐI FISHER
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Fisher – Snedecor với n và m bậc tự do,
kí hiệu X ~ F(n,m) , nếu hàm mật độ xác suất là
n m
2 2n 2 n m
2 2
n mn m
2x m nx x 0
n mf (x)
2 2
0 x 0
vôùi
vôùi
Tính chất:
- Nếu 1
2
X / nX
X / m với 1 2X ,X độc lập và 2 2
1 2X ~ (n),X ~ (m) thì X ~ F(n,m) .
- Nếu X ~ F(n,m) thì 2
2
m 2n (m n 2)E(X) ;Var(X)
n 2 m(n 2) (n 4)
Giá trị tới hạn mức của biến ngẫu nhiên X ~ F(n,m), kí hiệu (n,m, )f là số thỏa điều kiện
(n,m, )P(X f ) .
Tính chất: (n,m, )
(m,n,1 )
1f
f
Ví dụ 15: (12;19;0,05) (12;19;0,95)
(12;19;0,05)
1 1f 2,28;f .
f 2,28
BÀI TẬP
Bài 3.1. Tuổi thọ của một bóng đèn là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình là
1500 giờ, độ lệch chuẩn là 150 giờ. Nếu thời gian sử dụng không quá 1251 giờ thì bảo hành miễn
phí.
a) Tìm tỉ lệ bóng đèn phải bảo hành.
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 76
b) Phải qui định thời gian bảo hành là bao nhiêu để tỉ lệ bóng đèn phải bảo hành chỉ còn 1%?
Bài 3.2. Một lô hàng có 1000 sản phẩm trong đó có 400 sản phẩm loại A. Lấy ngẫu nhiên không
hoàn lại từ lô hàng 10 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất có 3 sản phẩm loại A có trong 10 sản
phẩm lấy ra kiểm tra.
Bài 3.3. Trong một đợt thi tay nghề, mỗi công nhân dự thi sẽ chọn ngẫu nhiên một trong hai máy và
với máy đã chọn sản xuất 10 sản phẩm. Nếu trong 10 sản phẩm sản xuất ra có từ 9 sản phẩm loại I
trở lên thì được nâng bậc thợ. Giả sử đối với công nhân A, xác suất để sản xuất được sản phẩm loại I
đối với hai máy tương ứng là 0,7 và 0,9. Tính xác suất để công nhân A được nâng bậc thợ.
Bài 3.4. Cho 2 lô hàng, mỗi lô có 1000 sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm loại B trong từng lô lần lượt là
10%, 20%. Người mua lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra. Nếu trong 10 sản phẩm lấy ra từ lô
hàng nào có không quá 2 sản phẩm loại B thì mua lô hàng đó. Tính xác suất có lô hàng được mua.
Bài 3.5. Một phân xưởng có 2 dây chuyền cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỉ lệ phế phẩm của các
dây chuyền này tương ứng là 0,5%; 0,6%. Mỗi ca sản xuất mỗi dây chuyền sản xuất được 500 sản
phẩm. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm của dây chuyền 1 và 6 sản phẩm của dây chuyền 2 để kiểm tra.
Tính xác suất trong các sản phẩm lấy ra có 2 phế phẩm.
Bài 3.6. Có 3 lô hàng, mỗi lô hàng gồm 10000 sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm loại I của từng lô tương
ứng là 60%; 70% và 80%. Người ta lần lượt lấy từ mỗi lô ra 10 sản phẩm để kiểm tra (lấy không
hoàn lại). Nếu trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra có từ 8 sản phẩm loại I trở lên thì mua lô hàng đó.
a) Tính xác suất để lô hàng có tỉ lệ sản phẩm loại I là 80% được mua.
b) Tính xác xuất có ít nhất một lô hàng được mua.
c) Nếu chỉ có một lô hàng được mua, tính xác suất để lô đó là lô hàng có tỉ lệ sản phẩm loại I là
80%.
Bài 3.7. Tuổi thọ của một máy điện tử là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tuổi thọ
trung bình là 4,2 năm, độ lệch chuẩn là 1,5 năm. Bán được 1 máy thì lời 100 ngàn đồng, nhưng nếu
máy phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng. Vậy để tiền lãi trung bình khi bán một máy là 30 ngàn
đồng thì phải qui định thời gian bảo hành trong bao lâu?
Bài 3.8. Gọi X là thời gian (tính bằng tháng) từ lúc vay đến lúc trả tiền của khách hàng tại một ngân
hàng. Giả sử X~N(18,16). Tính tỉ lệ khách hàng trả tiền lại cho ngân hàng: a) trong khoảng 13 tháng
đến 25 tháng; b) ít hơn 8 tháng; c) không ít hơn một năm; d) Với khoảng thời gian tối thiểu là bao
nhiêu để có 99,5% khách hàng trả tiền lại cho ngân hàng.
Bài 3.9. Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án trong năm là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Theo
đánh giá của Ủy ban đầu tư thì khả năng đầu tư vào dự án cho lãi suất cao hơn 20% là 15,87% và
khả năng cho lãi suất cao hơn 25% là 2,28%.
a) Tính khả năng đầu tư vào dự án có lãi suất trên 15%.
b) Tính khả năng đầu tư vào dự án bị lỗ.
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 77
Bài 3.10. Tuổi thọ của một loại động cơ có phân phối chuẩn trung bình 10 năm và độ lệch tiêu chuẩn
2 năm. Nhà sản xuất sẽ thay thế động cơ hỏng trong thời gian bảo hành. Thời gian bảo hành sẽ là
bao nhiêu nếu nhà sản xuất chỉ muốn thay thế 3% động cơ trong thời gian này.
Bài 3.11. Thời gian ông A đi làm hàng ngày từ nhà đến cơ quan có phân phối chuẩn trung bình 24
phút, độ lệch tiêu chuẩn 3,8 phút.
a) Tính xác suất ông A đi làm tối thiểu mất nửa giờ.
b) Nếu buổi sáng cơ quan làm việc lúc 7giờ 30 nhưng ông ta rời nhà lúc 7giờ 15 phút thì khả năng
ông ta bị trễ giờ là bao nhiêu.
c) Nếu buổi sáng ông ta rời nhà lúc 7 giờ và dự định ăn sáng tại căn tin cơ quan từ 7 giờ 20 phút
mất 10 phút để bắt đầu làm việc lúc 7 giờ 30 phút thì khả năng ông ta không kịp ăn sáng là bao
nhiêu.
d) Tính xác suất trong một tuần ông ta đi làm 5 lần, có ít nhất một lần thời gian đi mất hơn nửa giờ.
Bài 3.12. Một nhà đầu tư dự định đầu tư vào cổ phiếu của ngân hàng A hay ngân hàng B nhưng phải
đảm bảo lợi nhuận tối thiểu là 10%. Giả sử lợi nhuận đầu tư (đơn vị %) vào cổ phiếu của A là biến
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 14 độ lệch tiêu chuẩn 2; của B là biến ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn trung bình 13 độ lệch tiêu chuẩn 1. Theo bạn nhà đầu tư nên đầu tư vào cổ phiếu của
ngân hàng nào.
Bài 3.13. Tuổi thọ của một loại bóng đèn là X (đơn vị: năm) với X ~ N(4,2; 2,25). Khi bán một bóng
đèn được lãi 100 ngàn đồng, song nếu bóng đèn phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng. Vậy để tiền lãi
trung bình khi bán mỗi bóng đèn là 30 ngàn đồng thì cần quy định thời gian bảo hành là bao lâu?
Bài 3.14. Số yêu cầu phục vụ tại một một tổng đài có phân phối Poisson với trung bình 4 yêu cầu
trong 1 giờ.
a) Tính xác suất tổng đài có 10 yều cầu trong 2 giờ.
b) Nếu người trực tổng đài phải nghỉ ăn trưa mất 30 phút thì xác suất người đó không bị mất yêu
cầu nào là bao nhiêu. Theo bạn nhiều khả năng nhất có bao nhiêu yêu cầu tổng đài phục vụ trong
khoảng thời gian này.
Bài 3.15. Một trạm cho thuê xe tắc xi có 3 xe. Hàng ngày phải nộp thuế 8 USD cho 1 xe (dù xe có
được thuê hay không). Mỗi chiếc xe được thuê với giá 20 USD. Giả sử yêu cầu thuê xe của trạm là
X có phân phối Poisson với tham số = 2,8.
a) Gọi Y là số tiền thu được trong 1 ngày của trạm (nếu không ai thuê thì bị lỗ là 24 USD). Tìm
phân phối xác suất của Y từ đó tính số tiền trung bình thu được của trạm trong 1 ngày.
b) Giải bài toán trong trường hợp có 4 xe.
c) Trạm nên có 3 hay 4 xe.
Bài 3.16. Mô hình chuyển động giá của một chứng khoán được cho như sau: Giá hiện tại là s, sau
một phiên giao dịch giá sẽ là u.s với xác suất p và là d.s với xác suất 1 p. Sự tăng hay giảm giá của
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 78
chứng khoán trong các phiên giao dịch là độc lập. Tính xác suất giá chứng khoán sẽ lên ít nhất 30%
sau 1000 phiên giao dịch nếu u=1,012; d = 0,99; p = 0,52.
Bài 3.17. Tổng doanh số mỗi tuần của một khách sạn là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với
trung bình 2200 USD và độ lệch tiêu chuẩn 230 USD. Tính xác suất:
a) Tổng doanh số của cả 2 tuần sau không vượt quá 5000 USD.
b) Doanh số vượt quá 2000 USD ít nhất 2 trong 5 tuần sau.
Giả sử doanh số từng tuần của một khách sạn là độc lập với nhau.
Bài 3.18. Một loại chi tiết máy được gọi là đạt kĩ thuật nếu trị tuyệt đối sai lệch giữa đường kính của
nó với đường kính thiết kế không quá 0,33mm. Biết đường kính của trục máy là biến ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn 0,3mm.
a) Tính xác suất lấy ngẫu nhiên 5 chi tiết loại này có 3 chi tiết đạt kĩ thuật.
b) Tính xác suất để trong 100 chi tiết loại này có hơn 80 chi tiết đạt kĩ thuật.
Bài 3.19. Chiều cao của một loại cây lấy gỗ là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với chiều cao
trung bình là 20m và độ lệch tiêu chuẩn là 2,5m. Cây đạt tiêu chuẩn khai thác là cây có chiều cao tối
thiểu là 15m. Hãy tính tỉ lệ cây đạt tiêu chuẩn khai thác. Nếu cây đạt tiêu chuẩn sẽ lãi 100 ngàn
đồng, ngược lại cây không đạt tiêu chuẩn sẽ lỗ 30 ngàn đồng. Người ta khai thác ngẫu nhiên 1 lô 100
cây. Tính tiền trung bình và phương sai của số tiền lãi của lô cây đó.
Bài 3.20. Số điểm của Hùng và Minh chơi Bowling tương ứng có phân phối chuẩn N(170; 202);
N(160; 152). Nếu Hùng và Minh mỗi người chơi một lần và giả sử điểm của họ là độc lập với nhau.
Tính xác suất:
a) Minh cao điểm hơn.
b) Tổng số điểm của họ trên 350.
Bài 3.21. Một kĩ sư xây dựng cho rằng tổng trọng lượng W mà một chiếc cầu chịu đựng được không
bị phá vỡ cấu trúc, có phân phối chuẩn với trung bình 400 và độ lệch chuẩn 40. Giả sử rằng trọng
lượng của một ôtô có trung bình 3 và độ lệch tiêu chuẩn 0,3. Số ôtô trên cầu là bao nhiêu để xác suất
cầu bị phá vỡ cấu trúc vượt quá 0,1 (đơn vị trong bài toán này là tấn).
Bài 3.22. Cho trọng lượng của một trái cây (tính bằng kg) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
Một mẫu điều tra 650 trái cây loại này có 30 trái có trọng lượng dưới 1,8kg và 130 trái có trọng
lượng trên 2,4kg.
a) Tính trọng lượng trung bình và độ lệch chuẩn của trái cây loại này.
b) Những trái cây có trọng lượng dưới 1,8kg là thứ phẩm. Giả sử có một lô gồm rất nhiều trái cây
loại này. Người ta phân loại lô trái cây như sau: Lấy mẫu ngẫu nhiên 20 trái cây từ lô trái cây để
kiểm tra, nếu không có trái thứ phẩm nào thì xếp loại 1; nếu có 1 hoặc 2 trái thứ phẩm thì xếp
loại 2; nếu có hơn 2 trái thứ phẩm thì xếp loại 3. Nhiều khả năng nhất lô trái cây được phân loại
mấy?
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 79
Bài 3.23. Lãi suất cổ phiếu của 2 công ti A và B độc lập. Lãi suất cổ phiếu của công ti A có phân
phối chuẩn 2
A AN , với A 12% và A 6% . Lãi suất cổ phiếu của công ti B có phân phối
chuẩn 2
B BN , với B 15% và B 10% . Một người muốn đầu tư 1 tỉ đồng vào cổ phiếu của 2
công ti A và B. Người này nên đầu tư bao nhiêu tiền tương ứng vào cổ phiếu của công ti A và B để
xác suất có lãi là lớn nhất.
Bài 3.24. Nhu cầu hàng tuần về lượng tiền mặt X ( đơn vị: tỉ đồng ) tại một chi nhánh ngân hàng có
phân phối chuẩn 2
1 1N , với 1 1585, 15 . Lượng tiền Y ( đơn vị: tỉ đồng ) chi nhánh này
huy động được trong một tuần có phân phối chuẩn không phụ thuộc vào nhu cầu X. Xác suất để
lượng tiền mặt chi nhánh này huy động được trong một tuần cao hơn nhu cầu là 0,99744. Chi nhánh
này có lãi khi lượng tiền huy động không được không vượt quá 1,3 lần nhu cầu. Xác suất chi nhánh
này có lãi là 0,99861. Tính lượng tiền mặt trung bình chi nhánh này huy động được trong tuần.
Đại Học Ngân Hàng Tp. Hồ Chí Minh Phần 2: Xác suất 2014
Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 80