2o ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΘΕΩΡΗΜΑ Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες γωνίες ίσες μια προς μια,τότε τα τρίγωνα είναι ίσα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1)Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και στις πλευρές ΑΒ,ΑΓ παίρνω σημεία Δ,Ε έτσι ώστε ΑΔ=ΑΕ.Φέρνουμε ΔΚ⊥ΑΒ,ΛΕ⊥ΑΓ με Κ,Λ ανήκουν στις ΑΓ,ΑΒ.Να δειχθεί ότι ΑΚΛ ισοσκελές

Απόδειξη

Για να αποδείξουμε ότι ΑΚΛ ισοσκελές πρέπει ΑΚ=ΑΛ

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΕΛ και ΑΚΔ Έχουμε ΑΕ=ΑΔ(υπόθεση)

την γωνία Α κοινή °=ΛΕΑ=Κ∆Α 90��

Άρα από το 2ο κριτήριο ισότητας τριγώνων Έχουμε ότι τα τρίγωνα ΑΕΛ και ΑΚΔ είναι ίσα

Άρα ΑΚ=ΑΛ

2)Έστω ισοσκελές τρίγωνο και σημεία της βάσης Δ,Ε έτσι ώστε ΒΔ=ΕΓ με ΒΔ,ΓΕ

2ΒΓ⟨ .Φέρνουμε ΔΚ⊥ΒΓ και ΕΛ⊥ΒΓ όπου Κ,Λ σημεία των

ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα.Να δειχθεί ότι ΚΕ=ΛΔ

Απόδειξη Συγκρίνω τα τρίγωνα ΚΒΔ και ΛΕΓ.

Έχουν ΒΔ=ΕΓ(υπόθεση) Γ=Β �� (επειδή ΑΒΓ ισοσκελές)

°=ΓΕΛ=Β∆Κ 90�� (υπόθεση) Άρα τα δύο τρίγωνα είναι ίσα από το 2ο κριτήριο ισότητας τρίγωνων

άρα έχουμε ΚΔ=ΛΕ Συγκρίνω τα τρίγωνα ΚΒΕ και ΛΕΔ

Έχουν ΔΕ κοινή ΚΔ=ΛΕ(αποδείχθηκε)

Ε∆Κ=∆ΕΛ �� (υπόθεση) Άρα τα δύο τρίγωνα είναι ίσα από το 1ο κριτήριο ισότητας τρίγωνων

και έχουμε ΚΕ=ΛΔ

3)Αν δύο ύψη ενός τριγώνου είναι ίσα τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και το αντίστροφο

Απόδειξη Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΔΓ

Έχουμε ΒΕ=ΓΔ(υπόθεση) °=Γ∆Α=ΒΕΑ 90�� Α−=∆ΓΑ=ΕΒΑ �90��

Άρα τα δύο τρίγωνα είναι ίσα από το 2ο κριτήριο ισότητας τρίγωνων

και έχουμε ΑΒ=ΑΓ Αντίστροφα

Συγκρίνω τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΒΕΓ Έχουμε ΒΓ κοινή

Γ=Β �� (επειδή ΑΒΓ ισοσκελές) ΕΒΓ=Γ−=Β−=∆ΓΒ ��90�90�

Άρα τα δύο τρίγωνα είναι ίσα από το 2ο κριτήριο ισότητας τρίγωνων

και έχουμε ΕΒ=ΔΓ

4) Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και Μ μέσο της βάσης ΒΓ από το Μ φέρνω κάθετες στις πλευρές ,ΜΚ⊥ΑΒ και ΜΛ⊥ΑΓ.Να δειχθεί ότι α)ΜΚ=ΜΛ β) ΛΜΑ=ΚΜΑ ��

Απόδειξη

α) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΜΒΚ και ΜΛΓ έχουμε ΒΜ=ΜΓ(Μ μέσο της ΒΓ)

Γ=Β �� (επειδή ΑΒΓ ισοσκελές) ΛΜΓ=ΚΜΒ �� (επειδή ΛΜΓ=Γ−=Β−=ΚΜΒ ��90�90� )

Άρα τα δύο τρίγωνα είναι ίσα από το 2ο κριτήριο ισότητας τρίγωνων

και έχουμε ΜΚ=ΜΛ β)Γνωρίζουμε ότι ΑΜ διάμεσος άρα και

διχοτόμος της Α� άρα 21

�� Α=Α και έχουμε ΑΜΛ=Α−=Α−=ΑΜΚ °° ��90�90�

21