LA REGLA DE LA CADENA Y DE LA POTENCIA

Cálculo en una Variable

Regla 7

REGLA DE LA CADENA.

Si 𝑦 es una función diferenciable de 𝑢, y 𝑢 es una función diferenciable de 𝑥, entonces 𝑦 es una función diferenciable de 𝑥 y entonces

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥

Sea 𝑦 = 8𝑢 + 5 y 𝑢 = 2𝑥 − 3.

Si 𝑥 varía en una unidad, ¿cómo cambia 𝑢? Respuesta: 𝑑𝑢/𝑑𝑥 = 2. Pero, para cada cambio unitario en 𝑢, existe un cambio en 𝑦 de 𝑑𝑦/𝑑𝑢 = 8. Por lo tanto, ¿cuál es el cambio en 𝑦 si 𝑥 varía en una unidad, es decir, cuánto vale

𝑑𝑦/𝑑𝑥? Respuesta: 8 ∙ 2, que es 𝑑𝑦

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥. Por ello,

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥

EJEMPLO 1

Si 𝑦 = 2𝑢2 − 3𝑢 − 2

y 𝑢 = 𝑥2 + 4,

determinar 𝑑𝑦/𝑑𝑥.

Solución

Por la Regla 7, regla de la cadena,

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥

=𝑑

𝑑𝑢(2𝑢2 − 3𝑢 − 2) ∙

𝑑

𝑑𝑥(𝑥2 + 4)

= (4𝑢 − 3)(2𝑥)

Se puede escribir la respuesta en términos solo de 𝑥 reemplazando 𝑢 por 𝑥2 + 4.

𝑑𝑦

𝑑𝑥= [4(𝑥2 + 4) − 3](2𝑥) = [4𝑥2 + 13](2𝑥)

= 8𝑥3 + 26𝑥

DIFERENCIAR UNA FUNCIÓN COMPUESTA

La regla de la cadena establece que si 𝑦 = 𝑓(𝑢) y 𝑢 = 𝑔(𝑥), entonces

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥

En realidad, la regla de la cadena se aplica a una función compuesta porque

𝑦 = 𝑓(𝑢) = 𝑓 𝑔 𝑥 = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)

Por consiguiente, 𝑦, como función de 𝑥 es 𝑓 ∘ 𝑔. Esto significa que se puede utilizar la regla de la cadena para diferenciar una función cuando se sabe que la función es compuesta. Sin embargo, primero debe descomponerse la función en sus partes.

EJEMPLO

Diferenciar

𝑦 = 𝑥3 − 𝑥2 + 6 100

Solución

Se considera que la función es una función compuesta. Sean

𝑦 = 𝑓(𝑢) = 𝑢100

y 𝑢 = 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 6

Entonces, 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥2 + 6 100 = 𝑓 𝑔 𝑥 .

Ahora que se tienen las partes de la composición, se diferencia. Puesto que 𝑦 = 𝑢100 y 𝑢 = 𝑥3 − 𝑥2 + 6, por la regla de la cadena

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥

= (100𝑢99)(3𝑥2 − 2𝑥)

= 100(𝑥3 − 𝑥2 + 6)99(3𝑥2 − 2𝑥)

Regla 8

REGLA DE LA POTENCIA.

Si 𝑢 es unu función diferenciable de 𝑥 y 𝑛 es cualquier número real, entonces

𝑑

𝑑𝑥𝑢𝑛 = 𝑛𝑢𝑛−1

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Otra forma de escribir la citada regla es

𝑑

𝑑𝑥[𝑢(𝑥)]𝑛 = 𝑛[𝑢(𝑥)]𝑛−1𝑢′(𝑥)

EJEMPLO 2

Si

𝑦 = 𝑥3 − 1 7

encontrar 𝑦′.

Solución

Debido a que 𝑦 es potencia de una función de 𝑥, se aplica la regla de la potencia. Haciendo 𝑢(𝑥) = 𝑥3 − 1 y 𝑛 = 7,

𝑦′ = 𝑛[𝑢(𝑥)]𝑛−1𝑢′(𝑥)

= 7 𝑥3 − 1 7−1𝑑

𝑑𝑥(𝑥3 − 1)

= 7 𝑥3 − 1 6 3𝑥2 = 21𝑥2 𝑥3 − 1 6

Producto de ingreso marginal

Ahora, se utilizará lo que ya se ha analizado del Cálculo para desarrollar un concepto que es importante en estudios económicos. Supóngase que un fabricante contrata a 𝑚 trabajadores que fabrican un total de 𝑞 unidades de un producto al día. Se puede considerar a 𝑞 como una función de 𝑚. Si 𝑟 es el ingreso total que el fabricante recibe por la venta de esas unidades, entonces también puede considerarse que 𝑟 es función de 𝑚.

Por ello, hay que analizar 𝑑𝑟/𝑑𝑚, que es la tasa de variación del ingreso con respecto al número de empleados. A la derivada 𝑑𝑟/𝑑𝑚 se le denomina producto de ingreso marginal, es aproximadamente el cambio que resulta en los ingresos cuando un fabricante contrata un empleado adicional.

EJEMPLO 4

Un fabricante determina que 𝑛 trabajadores fabricarían un total de 𝑞 unidades de un producto al día, en donde 𝑞 = 10𝑚2/

𝑚2 + 19. Si l a ecuación de demanda para el producto es 𝑝 = 900/(𝑞 + 9), determinar el producto de ingreso marginal cuando 𝑛 = 9.

Solución

Se debe evaluar 𝑑𝑟/𝑑𝑚, en donde 𝑟 son ingresos. Obsérvese que, mediante la regla de la cadena,

𝑑𝑟

𝑑𝑚=

𝑑𝑟

𝑑𝑞∙𝑑𝑞

𝑑𝑚

La función de ingreso está dada por

𝑟 = 𝑝𝑞 =900

𝑞 + 9𝑞 =

900𝑞

𝑞 + 9

por lo que, mediante la regla del cociente,

𝑑𝑟

𝑑𝑞=

𝑞 + 9 900 − 900𝑞(1)

𝑞 + 9 2 =

8100𝑞

𝑞 + 9 2

Con objeto de evaluar lo anterior cuando 𝑚 =9, se utiliza en primer lugar la ecuación dada

𝑞 = 10𝑚2/ 𝑚2 + 19 para obtener el correspondiente valor de 𝑞.

𝑞 =10(92)

92 + 19= 81

Por lo que 𝑑𝑟

𝑑𝑞 𝑚=9

=𝑑𝑟

𝑑𝑞 𝑞=81

=8100

81 + 9 2= 1

Ahora, de las reglas del cociente y la potencia, 𝑑𝑞

𝑑𝑚=

𝑑

𝑑𝑚

10𝑚2

𝑚2 + 19

=𝑚2 + 19 1/2 𝑑

𝑑𝑚10𝑚2 − (10𝑚2)

𝑑𝑑𝑚

[ 𝑚2 + 19 1/2]

𝑚2 + 19 1/2 2

=𝑚2 + 19 1/2 20𝑚 − (10𝑚2)[

12

𝑚2 + 19 −1/2(2𝑚)]

𝑚2 + 19

por lo que 𝑑𝑞

𝑑𝑚 𝑚=9

=81 + 19 1/2 20 ∙ 9 − (10 ∙ 81)[

12 81 + 19 −1/2(2 ∙ 9)]

81 + 19= 10.71

Por tanto, de la regla de la cadena, 𝑑𝑟

𝑑𝑚 𝑚=9

= 1 10.71 = 10.71

Esto significa que si se contrata a un décimo empleado, el ingreso aumentaría aproximadamente en 10.71 (unidades monetarias) por día.