Post on 07-Jul-2020
2019年7月2日小テスト解答
〆 、
'-(1);-(W)'-(1)ゞします(1)L(",6)の正規'貞交基底風ウ.を求めましょう.
(2) (1)を使ってざのL("j)への直交射影価'を求めましょう(3)5-⑯2を使ってL(6,61E)の正規直交基底を求めましよう
、 ノ
→
解答(1)6の5方向への直交射影t万は
(5,6)
| |51 12
↓α
2’4
千7④
一〃し
14|ワ会
→
uノー= 二二二
と求めら…≦蝿と譽厨の皿直なべ外ルとして‘-噸=(り-;G」)-このとき厨と6-価を正規化した
111’33
/j11、
1’2
が求まります
'=向圃-3(j,) (#!)1 1
マ赤り
-11
↓bi
→
9= →
' '6-価| ’
がL(",6)の正規直交基底となります
(2)ざのL(亙り6)への直交射影が
→
uノ2= (ap)"+/→一へ→
(c,9ノ9
-((I);G));G{H(1)v;s(#'))‐:(恥茄(#‘)一命(;‘)
となります. L(",6)に亜直なL(5,6,司中のベクトルとして
〃-m。-(I)-h(i!)-h(*)
jlll33i
l
マ元
を考えると, これを正規化して
’-, ,言湿曾Iに-m,'-vfr(÷)
密…蔭ゞ。…と定めると夙晶F
Lcf)こぎ}-{)《西ベ →
uノf6~B をcfIR
Dく/;[te lR 上
82
L(司辱)1
一八 →
‐-、
f戸 61111〆
(α0
r
1I111 、
ノし
↓もい-胴
ノ
奇of
一一
今吋
、8
う
---う一うい』
一~PL-
、凸
兎
で(_(司蓉 )
r3、し
可
○
つ
一一
一一、
、ノ、j
一角八U
「p~
ノ
『も風一
一
『私但困
J
つ
(1
「。/nIAI1U
う
t
《C
l罰司り
十言叩飛
フーパ斗勘
ご
Zノ
(L『山一Qく
二一L
(蝿包
う
う今P争肖0
狐~司り
↓
z
「い
「c
一・
く
「cf
II「吃
I‐‐迄
『凶
一「c
一価1
1
’1
息
一一
一一両
蓉ノ
?く
=O
○一
一7マベbrL○一
一
一一
7
J司りl「qO
/「雷し
「卜
乙
C‘---う
の未定乗数法Lagrange
戸瀬信之
November29,2017
ロ 旬 壜 = 三二 OQe'
1/11
戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法
制約条件付き極値問題
U~.
3)=oUをR2の開集合とする. 2関数
f,9:U→R
が与えられているとき
問題
9(",I/)=0の下でz=f(",z/)を極大化(極小化)する--.一
口 包 = 三二 OQG
2/1
二
’ 戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法
心(( 1君。『,初二つG十丁-Iご◎一一
(q(C- う
"II 'L-一二
工一○卜 --やメーー冠活=O
工一P
制約条件付き極値問題一例
例1
9(",I/)="2+z/2-1=0の下でz=f(",I/)=2"+z/
例21,p,q>0とする.予算制約
9(",I/)=I-p躯一qz/=0 (",zノ>0)
の下で効用関数
u(",I/)=、/W
を最大化する. この問題は第1財,第2財の価格がplqのときに,予算Iをすべて支出して第1財を錘,第2財をg購入して効用を最大化するという問題である.
ロ 罰 =暉晉,
三二 、OQG'
3/1
{
b
一
一
戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法
陰関数定理
::c'=31
8』 cCL C2-
F岫眺PFFB
一一J
13/
x
)ず
~冬lq
l〔
定理
9(a,b)=0, 9"(q,b)≠0
ならば, (q,b)の近くで{(",")EU;9(",")=0}は0
"=P(")
と表すことができる.
口 包 三二
F昌OQG
4/1戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法
陰関数定理一例
33=21-
単位円
9(",")="2+I/2_1=0
において考える。除一ぅDI-
ツー、/'一範2
上の点(q,b)b>0のとき
ご祷外
b<0のとき
ツー-、/1-麺2
画 印 壜 ==
三= 、")QG'
5/1戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法
l
i
解法
9(q,b)=0, 99(q,b)≠0
を仮定して,陰関数定理を適用する. (q,6)の近くで
ツーや(錘)
と曲線9((E,")=0を表す.
)
(
(q,b)で極大(極小)ならば
F(t)=f(t,P(t))
とするとF'(α)=0が従う.
ロ 旬 ~二睡三
三三 OQG'
戸瀬信之 の未定乗数法Lagrang /16e
雷輝 露、瀞 一一一一
解法(2)
ChainRuleを使うと F(-(.)-ず「も,ざ〔十')
F'(t)=/Z(t,P(t))・1+jiJ(t,P(t))・P'(t)
から
0=F'(a)=fc(q,b)+fg(q,6
が分かります。 さらに9(t, (P(t))=0の両辺をtt) ・紀奴Lで微分して
g"(t,<P(t))・1+9y(t,P(t)) ・ <P'(t)=0
から -t-=A-了慌>、
g錘(a,b)g錘(q,6)+ )=0すなわちP'(α) 二==-
g似(q,b)
が分かります.ロ 鄙 =
崔璽昼
三二 、OQO'
7/11
声
戸瀬信之 Lagl'angeの未定乗数法
P'(Q)の別の求め方
(Q,6)における曲線9(",zJ)=0の接線は
c、)
(ナ
接線の傾きを考えると
で (サニ:})[8)[q{6)ノ 二○▽c87(91a)g"(q,b)
P'(α)=-gg(q,6)Z
IO
cVQvL
、一一一一
9vRU4 要ロ 旬 芦 薑
二 、OQO'
8/1戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法
’ ’陶狸W靴、 .:,霊-i及丞塩露 認
鈴>、 角去3弱 ( )
jj
bb
う,
ααく
錘y
gg九(q,b)+fy(q,b) ・ を代入して
九(a,6) =二0
、ヘを得ます. ここでLagrangeの未定乗数
入=-ん(Q,6)
通1雑,b)
申I細時の才釦〈 易汽ムrCI,)<Q(6)1,、、、
を定めると
吃jj
bb
l,
aαく
九九
77
aαI
韮〃
99
入入
b)b)丁
++詞閑eIR
bい.宿徒{
が導けます.
(L)-
0ニーニ
口 鄙 鐸一一一一一 OQG'
9/11
一』{
’ I Lagrang戸瀬信之
■
定理
→
▽(;)(q1・a)=oマ(r)(qIt')十入
穂懲蜘毒(帝
定理
9(Q,b)=0,99(q,b)≠0を満たす(fm,b)EUにおいて制約条件付き極値問題が極大値(極小値)をとるとします. このとき(L)を満たす入ERが存在します. 口
ロ 罰 二二 三
二 o1
QJJ
om戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法
-一
_lLagrangeの未定乗数法(その2)
戸瀬信之
DecemberO6, 2017
鄙一
一
一
一
三 三三 、OQG'
1/16
ロ
戸瀬信之 の未定乗数法(その 2)Lagrange
制約条件付き極値問題
UをR2の開集合とする. 2関数
ノ,9:U→R
が与えられているとき
問題
9(",z/)=0の下でZ 」/(躯,〃)を極大化(極小化)するニーニ
ロ 旬 弓二 弓二一 、OQG'
2/16
一
岬
一
一
戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法(その2)
復習一定理
定理
9(Q,b)=0,9y(q,6)≠0を満たす(cm,b)EUにおいて制約条件付き極値問題が極大値(極小値)をとるとします. このとき次の(L)を満たす入ERが存在します.
出
jjj
(L)
l' 9("'b){=0 (3ここで(')と(2)を接線条件と呼びます. 、
-、
▽q>(cf(則十八▽(8)"(、e・)=、
ロ 鄙 薑 ~二.言
~三一 、OQO'
3/16戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法(その2)
接線条件
接線条件は
▽(9)(Q,b)=-入.▽(/)(Q,b)
と表せます.▽(/)(q,b)はノの等高線
f(錘,〃)-f(q,b)=0
の(q,b)における法線ベクトルです. /(Ⅲ
2曲線g(",zノ)=0とf(",")-ノ(q,b)=0は接線を共有しますから,接していることが分かります.
口 包 一 弓三 三三 、OQG
4/16戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法(その2)
制約条件付き極値問題一ミクロ経済学の例
1,L:=-や
例I,p,q>0とする.予算制約 83-‐$
9(",")=I-p犯一qz/=0 (",l/>0)
の下で効用関数
u(",z/)=、/河
を最大化する. この問題は第1財,第2財の価格がp9qのときに,予算Iをすべて支出して第1財を躯,第2財をツ購入して効用を最大化するという問題である.
“※-鵲,"、一等ロ 罰 堂
F二三 三二 OQG'
5/16戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法(その2)
制約条件付き極値問題一ミクロ経済学の例(2)
(",zノ)で極大・極小であるとすると
| , " |を満たす入ERが存在します. (1)×錘, (2)×〃を考えると
11聖1419
ー一ーーー ‐
x(po
、/あす=2入p"=2入”
であることが分かります. (1)を考えると入≠0であることが分かりますから
p"=9"
さらに(3)から
,錘="=;従つ “=上, 〃=圭2p口 タ ミ 三 三 oQOQO'
6/16戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法(その2)
’
制約条件付き極値問題一ミクロ経済学の例(3)
1 1
"(p'9'I)==' y(p。''I)="を需要関数と呼びます. さらに(1)からLagrangeの未定乗数が
/~了
V万 11|助
入 二==
I/¥ 2,/両と求まります. この状況で入(p,9,1)を所得の限界効用と呼びます.
一侃
偏’一零
入一一↓い)
三一1も
三二ロ 鄙
一
二
歪 OQO'
7/16’ 戸瀬信之 Laglangeの未定乗数法(その2)
’
所得の限界効用
"し×,;)=FE一
剛(…="{…"川”"川=崎伝I
ニーニ
2、/両
を間接効用関数と呼びます. このとき
at) 1ニーニ
となります. これが入(p,9,1)が所得の限界効用と呼ばれる理由です.の等式
a"
訂=入(p,9,1)
一」
は一般的に成立します.
ロ 旬 再三 三二 、OQO'
8/16
医。
’戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法(その2)
砿
解法(3)
Cz-
『い:=↑外ァさらに9(t,P(t))=0の両辺をtで微分して(13),し=3い.
9"(t, <P(t)) ・1+9y(t,P(t))・ (P'(t)=0〆、-〆ヘー〆、-/~ /=、-〆~_ノーーノ、-ヶ
g錘錘(t,P (t))+29""(t, (P(t)) ・や'(t)+9"(t,P(t))・ (P'(t)2gy(t,<P(t))・ <P''(t)=0
(℃イ3(T-')・1十$,L3Lt'!w'f)) ' ff 'r)十$'賎,(3),‘い,『‘州{『“〕州ャ 3腓 (も‘rIf、》・手‘ (+)三。
ロ 旬 ‘垂 三 三 のQG'
を得ます.
1,‘,《.,
戸瀬信之 Lagrangoの未定乗数法(その2) 11/16
蕊噸 涯
P。(cI(t,) 解法(4)
1,f>L(P。)十堅:,L8(P&)・r(《、}十$;3 (P。).f((q)2u
+36(PJ)、了cG,1=ot==αとするとき凡(a,6)と定めて
や'(.)=-9""gy(H)
1
や"(α) (9鰯錘(H)+29"U(R)・P'(Q)+9"(R)・ (P'(")2)二二二一
g沙(a,b)
となります.
ロ 己 三三
三三 、OqG'
12/16戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法(その2)
定理
定理
士 ' 三を満たす入ERが存在するとします. さらに
(1)
(2)
(3)
000
(L)
’g麺(q,6)
L錘錘(Q,b,入)
Lg"(cm,b,入)
gり(q,b)L"g(q,b,入)L"(q,6,入)
jj
bb
7?
(Uαα
くI
妃g
gg
B(fm,b,入) :=
に対してB(q,b,入)<0ならば(q,6)で極小となります.B(q,6,入)>0ならば(q,b)で極大となります. ここで
L(",",入) :=ノ(”,")+入9(",z/)
と定めています。一一一一
==
三二ロ 鄙 、")QO'
15/16‘’戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法(その2)
| 〆I⑳…二』( 。…祐〕 寺'‘。,=--36(ハ〕
g"(:、6) ('嘩側+29"y(R)・P'(Q)+ggy(R)(P"(Q)=-
g,I&6,。('"(PbM(Ph''-2,"(PbMIH冒==
+9"(Fb).g"(H)21
g鎚錘(局) .g似(H)2-29錘沙(局)・9"(H
,)p"(Pb)2)
P'(α)2)
)9"(R)
0 9"(q,6)
g"(fz,6) 9…(q,b)
gシ(a,b) 99"(q,b)11
句bb
97
りαα
αrIfl
刎迦伽
1ニーニ
g沙(q,b)3
口 包一一一
言
三三 、OQO'
16/16
一一一
戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法(その2)
工 $ (X/可〕=Xユヤf--I=o と 式ろ
ざ (q(e-)=o -e>o
(cI(い、小EI,- Ef(メ)=旧苣弓とゞ
3,写何宝令い{嵜豆/華、L
、'(",こつ.
エェノP,診〉。と刑so州)=r--"-Ⅷ=o. '[@3>・
ノ
-L
u(X/ (㈹ミ又≧43u
d 萱毫zも停鯨心やい‐
皿 u側川=;'。,パャゴ,。”