2 - VETORES

Geométricamente, vetores são representados por segmentos orientados no plano ou no espaço.

Figura 1: Vetor

Segmentos orientados com mesma direção, mesmo sentido e mesmocomprimento representam o mesmo vetor.

Figura 2: Vetores iguais

2.1 Direção e Sentido

Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas suportesdesses vetores são paralelas ou coincidentes.

Dois vetores opostos, que possuem a mesma direção, têm sentidoscontrários.

uu

v

v

rs

r~s

r//s

Figura 3a: Vetores u e v com mesma direção e mesmo sentido.

2.1 Direção e Sentido

Dois vetores v e u não nulos têm a mesma direção se as retas suportesdesses vetores são paralelas ou coincidentes.

Dois vetores opostos, que possuem a mesma direção, têm sentidoscontrários.

uu

v

v

rs

r~s

r//s

Figura 3b: Vetores u e v com mesma direção e sentidos contrários.

2.2 Vetor unitário:

2.2 Vetor unitário:

2.3 Vetores colineares:

Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção.

2.2 Vetor unitário:

2.3 Vetores colineares:

Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção.

2.4 Vetores coplanares:

Dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares.Três vetores poderão ou não ser coplanares.

u v

w

Figura 4a: u, v e w são coplanares

u

v

w

Figura 4a: u, v e w são coplanares

v

w

Figura 4b: u, v e w não são coplanares

u

2.5 Soma de Vetores

u

2.5 Soma de Vetores

u v

2.5 Soma de Vetores

u v

u+v

Figura 5a: Soma de vetores

2.5 Soma de Vetores

u v

u+v

uv

u+v = v+u

Figura 5a: Soma de vetores

v u

A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.

Figura 5b: Soma de vetores

A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.

u

Figura 5b: Soma de vetores

A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.

u

v

Figura 5b: Soma de vetores

A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.

u

v

w

Figura 5b: Soma de vetores

A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.

u

v

w

u+v

Figura 5b: Soma de vetores

A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.

u

v

w

u+v

(u+v)+w

Figura 5b: Soma de vetores

A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.

u

v

wv+w

Figura 5b: Soma de vetores

A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.

u

v

wv+w

u+(v+w)

Figura 5b: Soma de vetores

A soma u+v é a diagonal do paralelogramo determinado por u e v.

u

v

wv+w

(u+v)+w = u+(v+w)

u+v

Figura 5b: Soma de vetores

Propriedades:

v

v + (-u) = v - u

Figura 6: Diferença de vetores

v

v + (-u) = v - u

u

Figura 6: Diferença de vetores

v

v + (-u) = v - u

u-u

Figura 6: Diferença de vetores

v

v + (-u) = v - u

u-u

Figura 6: Diferença de vetores

v

v + (-u) = v - u

u-u

v + (-u) = v - u

Figura 6: Diferença de vetores

v

v + (-u) = v - u

u-u

v + (-u) = v - u

v

u

Figura 6: Diferença de vetores

v

v + (-u) = v - u

u-u

v + (-u) = v - u

v

u

v - u

Figura 6: Diferença de vetores

2.6 Multiplicação por um escalar

2.6 Multiplicação por um escalar

2.6 Multiplicação por um escalar

2.6 Multiplicação por um escalar

2.6 Multiplicação por um escalar

2.6 Multiplicação por um escalar

2.6 Multiplicação por um escalar

2.6 Multiplicação por um escalar

v

Figura 7: Multiplicação de vetor por escalar

2.6 Multiplicação por um escalar

v

Figura 7: Multiplicação de vetor por escalar

2v

2.6 Multiplicação por um escalar

v

Figura 7: Multiplicação de vetor por escalar

2v-1.5v

2.6 Multiplicação por um escalar

v

Figura 7: Multiplicação de vetor por escalar

2v-1.5v

0.5v

2.7 Ângulo entre vetores

v

u .

.

.A

B

O

v

u

2.7 Ângulo entre vetores

v

u .

.

.A

B

O

v

u

v u

Figura 8: Ângulo entre vetores

vu

vu

u

v

u+v

v

u

.

2.8 Vetores no

Figura 9: Decomposição de um vetor no plano

0 x

y

(1,0)

(0,1)

Figura 10: Base canônica

0 x

y

Figura 11: Decomposição de umvetor no plano xy

0 x

y

0 x

y.

Figura 12:

Figura 13:

0 x

y . P(2,3)

2

3

0 x

y

Figura 14: Soma de vetores

0 x

y

Figura 14: Soma de vetores

0 x

y

42

1

3

0 x

y

642

1

3

4

0 x

y

Figura 15: Multiplicação de um vetor por um escalar

0 x

y

Figura 15: Multiplicação de um vetor por um escalar

0 x

y

2

3

0 x

y

2 4

3

6

0x

y

2

3

0x

y

2

3

-6

-9

O x

Figura 16: Vetor B - A

A

B

.

.

y

O x

Figura 16: Vetor B - A

A

B

.

.

y

O x

A

B

.

.y

431

1

2

3

4

-2

.D

.P

.

.C

O x

A

B

.

.y

431

1

2

3

4

-2

.D

.P

.

.C

.

..

. .

A B

C

M N

x

y

0

Figura 17: Vetor no plano

x

y

0-4

3

x

y

0

x

y

0

x

y

0

Placa

Placa

x

y

0

REFERÊNCIAS

[1] GEOMETRIA ANALÍTICA; Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.

[2] GEOMETRIA ANALÍTICA; Fabiano José dos Santos, Silvimar Fábio Ferreira.

[3] MATRIZES, VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA; Reginaldo J. Santos, Departamento de Matemática-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais