คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

จ านวนจรง (เนอหาตอนท 4) สมการพหนาม

โดย

ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง จ านวนจรง มจ านวนตอนทงหมดรวม 17 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง

- ระบบจ านวนจรง - สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การแยกตวประกอบ

4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ทฤษฎบทเศษเหลอ - ทฤษฎบทตวประกอบ

5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการพหนามดกรหนง - สมการพหนามดกรสอง - สมการพหนามดกรสง - การประยกตสมการพหนาม

6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสนจ านวนและชวง - อสมการทเกยวของกบพหนามดกรหนง - อสมการทเกยวของกบพหนามดกรสง

7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศษสวน - การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง - การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร - การประยกตโจทยการแกอสมการ

8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสมบรณ - สมการคาสมบรณ

9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ - อสมการคาสมบรณ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2

- โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ 10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ

- กราฟคาสมบรณ 11. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 12. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 13. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 14. แบบฝกหด (ขนสง) 15. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน 16. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 17. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง จ านวนจรง นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3

เรอง จ านวนจรง(สมการพหนาม) หมวด เนอหา ตอนท 4 (4/9) หวขอยอย 1. สมการพหนามดกรหนง

2. สมการพหนามดกรสอง 3. สมการพหนามดกรสง 4. การประยกตสมการพหนาม จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. สามารถหาค าตอบของสมการพหนามดกรหนงได 2. สามารถหาค าตอบของสมการพหนามดกรสองได

3. สามารถหาค าตอบของสมการพหนามดกรสงได 4. เหนประยกตของสมการพหนาม และน าไปใชในการแกปญหาในชวตประจ าวนได

ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ

1. อธบายความหมายของสมการได 2. อธบายวธการและด าเนนการหาค าตอบของสมการพหนามดกรหนงได 3. อธบายวธการและด าเนนการหาค าตอบของสมการพหนามดกรสองได 4. อธบายวธการและด าเนนการหาค าตอบของสมการพหนามดกรสงได

5. น าความรเกยวกบสมการพหนามไปใชในการแกปญหาในชวตประจ าวนได

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

4

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

5

1. สมการพหนามก าลงหนง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

6

1. สมการพหนามก าลงหนง

ในสอชวงน จะเปนการทบทวนเรองการแกสมการตวแปรเดยว ก าลงหนง

ตวอยาง จงแกสมการ 2 1 3 1x x วธท า 2 1 3 1x x

2 1 3 3

5 2

x x

x

2

5x #

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

7

แบบฝกหดเพมเตม เรองสมการพหนามก าลงหนง

1-10 จงแกสมการตอไปน

1. 3 1 2 5x x

2. 3 2 2 5 11

8 2 2

x x x

3. 3 7 88

4 2

x xx

4. 25

3 1x

5. 3 4

8 2 1x x

6. 17 5 1 5

8 3

x x

x x

7. 5 3 5 8

7 3

x x

x x

8. 3 4 5 2 2 3 8x x x x

9. 3 2 6 3

5 2 1

x x

x x

10.

1 30

2 1 2 1

x x

x x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

8

2. สมการพหนามดกรสอง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

9

2. สมการพหนามดกรสอง

ในหวขอนผเรยนจะไดเรยนการแกสมการพหนามดกรสอง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

10

การพสจนสตร 2 4

2

b b acx

a

ตวอยาง จงแกสมการ 220 9 20x x วธท า 220 9 20x x

220 9 20 0

5 4 4 5 0

x x

x x

4 5,

5 4x #

พสจน จาก 2 0ax bx c จะไดวา

2

2

2 2

2

2 2

2

2

2

2 2

4

2 4

4

2 2

4

2 2

ax bx c

b cx x

a a

b b b cx x

a a a a

b b acx

a a

b b acx

a a

b b acx

a a

2 4

2

b b ac

a

#

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

11

ตวอยาง จากสมการ 25 0x cx

1. จงหาคา c ทท าใหสมการ มค าตอบ 1 คาทเปนจ านวนจรง 2. จงหาคา c ทท าใหสมการ มค าตอบ 2 คาทเปนจ านวนจรง 3. จงหาคา c ทท าใหสมการ ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง วธท า จากสตรจะไดวา

2 20

2

c cx

ดงนน

1. คา x จะมคาเดยวเมอ 2

20 0

20

c

c

2. คา x จะม 2 คาทเปนจ านวนจรงเมอ 220 > 0c

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

12

นนคอ 20c หรอ 20c

3. ไมมคา x ทเปนจ านวนจรงกตอเมอ 220 < 0c นนคอ 20 20c #

แบบฝกหดเพมเตม

เรองสมการพหนามก าลงสอง

1-4 จงแกสมการตอไปน 1. 2 5 4 0x x 2. 2 3 18x x 3. 2 8 4 0x x 4. 23 2 4 0x x

5. จงหาคา c ทท าใหสมการ 2 4 0x x c 5.1 ม 1 ค าตอบทเปนจ านวนจรง 5.2 ม 2 ค าตอบทเปนจ านวนจรง 5.3 ไมมต าตอบทเปนจ านวนจรง

6-12 จงแกสมการตอไปน 6. 25 3 14x x 7. 9 25

225 9

x

x

8. 1014 31 0x

x

9. 2 4 7

1 2 3

x x

x x

10. 2 3 2x x 11. 23 2 8x x 12. 2 3 3x x

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

13

3. สมการพหนามดกรสง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

14

3. สมการพหนามดกรสง

ในขอนผเรยนจะไดทบทวนเรอง การแกสมการพหนามดกรสง ดงตวอยางตอไปน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

15

ผสอนอาจยกตวอยางตอไปนเพมเตม

ตวอยาง จงแกสมการ 4 3 210 35 50 24 0x x x x

วธท า ขนตอนท 1 แยกตวประกอบ 4 3 210 35 50 24x x x x ให 4 3 210 35 50 24p x x x x x เนองจาก 1 1 10 35 50 24 0p

ดงนน 1x หาร p x ลงตว โดยวธหารสงเคราะห

11 10 35 50 24

1 9 26 24

1 9 26 24 0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

16

(คมอสอ เรองจ านวนจรง ตอนท 3) จะไดวา 4 3 2 3 210 35 50 24 1 9 26 24 ............... 1x x x x x x x x

ให 3 29 26 24h x x x x จะไดวา 2 8 36 52 24 0h ดงนน 2x หาร h x ลงตว โดยวธการหารสงเคราะห

จะไดวา 3 2 29 26 24 2 7 12x x x x x x 2 3 4 ............... 2x x x

จาก 1 และ 2 จะไดวา 4 3 210 35 50 24 1 2 3 4x x x x x x x x

ขนตอนท 2 แกสมการ

4 3 210 35 50 24 0x x x x 1 2 3 4 0x x x x 1, 2, 3, 4x #

แบบฝกหดเพมเตม เรองสมการพหนามก าลงสง

จงแกสมการตอไปน

1. 3 2 4 4x x x 2. 4 3 210 2 24x x x x 3. 3 24 12 40 0x x x 4.

2

12

1 1

x

x x

5. 1 1 1x x 6. 4 25 4 0x x 7. 3 26 9 4 0x x x

21 9 26 24

2 14 24

1 7 12 0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

17

8. 2 3 1 4

3 4 2 5

x x x x

x x x x

9. 3 29 26 24 0x x x 10. 4 3 27 6 0x x x x 11.

22 220 9x x x x

12. จงหาคา a ทท าให x a หาร 3 24 5 2x x x ลงตว

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

18

4. การประยกตใชสมการพหนาม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

19

4. การประยกตใชสมการพหนาม

ในขอนผเรยนจะไดศกษาถงการประยตสมการในการแกปญหาตางๆ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

20

2x

x

2 1x

แบบฝกหดเพมเตม เรองการประยกตสมการพหนาม

1. จงหาความยาวดานตางๆ ของสามเหลยมมมฉากตอไปน 2. กลองใบหนงมความสงเปน 2 เทาของความยาว และมความยาวเปน 3 เทาของความกวาง ถากลองใบนม

ปรมาตร 144 ลกบาศกหนวย จงหาความสงของกลองใบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

21

3. ตนทนในการผลตสนคา x ชน มคาเทากบ 2500 2x x บาท ถาผผลตมตนทน 20,000 บาท จะสามารถผลตสนคาไดมากทสดกชน

4. พายเรอในน านงระยะทาง 5 กโลเมตร ใชเวลา 40 นาท และพายเรอทวนน าใชเวลา 1 ชวโมง จงหาวาถาพายเรอตามน าจะใชเวลาเทาไร

5. จ านวนเตม 2 จ านวนรวมกนได 50 และคณกนได 400 จงหาจ านวน 2 จ านวนน 6. นาย ก ซอผลไมไปจ านวน 1,000 บาท ถาราคาผลไมเพมขนกโลกรมละ 5 บาท จะซอผลไมไดลดลง 10

กโลกรม อยากทราบวาเดมผลไมกโลกรมละเทาไร 7. ในการขจกรยานจากเมอง ก ไปยงเมอง ข ซงหางกน 100 กโลเมตร ถาเพมอตราเรวขนอก 5 กโลเมตรตอ

ชวโมง จะใชเวลานอยลง 1 ชวโมง อยากทราบวาความเรวปกตคอเทาไร

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

22

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

23

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

24

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

25

แบบฝกหดระคน

1. ถา 2 3 4 5

3 4 5 6

x x x x

x x x x

แลว x มคาเทากบเทาไร

1. 0 2. 1 3. 9

2 4. 9

2

2. จ านวนคบวก 3 จ านวนเรยงกน มผลบวกของก าลง 2 ของแตละจ านวนเทากบ 200 ผลบวกของจ านวนคทง 3 จ านวนน มคาเทากบขอใด 1. 8 2. 14 3. 18 4. 24

3. ถา x a หาร 3 22 5 2x x x แลวเหลอเศษ 6 แลว a มคาเทากบเทาไร 1. 1, 1 2. 0,1 3. 0 4. 1

4. ให | 2 1 2 2A x x x และ 2| 3 2 0B x x x แลว A B มจ านวนสมาชกเทาไร

1. 2 2. 4 3. 6 4. 8

5. ผลบวกของทกค าตอบของสมการ 1 5

1 2

x x

x x

คอขอใด

1. 3 2. 6 3. 1 4. 5

2

6. ค าตอบของสมการ 2 33 1 3 1 2 2 2 3x x x อยในชวงใด

1. 0,1 2. 0,30 3. 1,1 4. 10,40 7. จงพจารณาขอความตอไปน

ก. ผลบวกของ x ทท าให 2 1

3 3 6 0x x คอ 20 ข. 2| 4 0x x ม 1 สมาชก ขอใดถกตอง 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด

8. ผลคณของรากของสมการ 2 22 9.2 2x x คอขอใด 1. 1 2. 2 3. 1 4. 2

9. ให 2p x x ax b โดยท ,a b ถา 1 เปนค าตอบของสมการ 6p x และ 2x เปนตวประกอบของ p x แลวเศษจากการหาร p x ดวย x a เปนเทาใด 1. 10 2. 20 3. 30 4. 40

10. ผลบวกของคาสมบรณของค าตอบของสมการ 6 64x คอขอใด 1. 0 2. 2 3. 4 4. 8

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

26

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

27

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองสมการพหนามก าลงหนง

1. 8 2. 2

9 3. 16

5 4. 7

15 5. 35

2

6. 43

73 7. 13

11 8. 9 9. 17

32 10. 5

9

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองสมการพหนามก าลงสอง

1. 1, 4x 2. 6, 3x 3. 4 2 3x 4. ไมมคา xทสอดคลอง 5. 5.1 4c 5.2 4c 5.3 4c

6. 1, 5

3x 7. 25

9x 8. 2 5

,7 2

x

9. 4,3

5x 10. 3 17

2x

11. 4

, 23

x

12. 3 21

2x

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองสมการพหนามก าลงสง

1. 1, 2, 2x 2. 3, 4x 3. 2,0,5x

4. 1 5

2x

5. 5

4x 6. 2, 1,1,2x

7. 4, 1x 8. ไมม xทสอดคลองกบสมการ 9. 4, 3, 2x

10. 3, 1,1, 2x 11. 1 21 1 17,

2 2x

12. 2, 1a

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

28

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรองการประยกตสมการพหนาม

1. 3

2หนวย 2. 2 หนวย 3. 200 ชน 4. 30 นาท

5. 10, 40 6. 18 บาท 7. 20 ก.ม./ชม.

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. 3 2. 4 3. 4 4. 2 5. 3 6. 2 7. 3 8. 2 9. 2 10. 3

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

29

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

30

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

31

เรอง ตอน

ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขชก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

ฟงกชนตรโกณมต 2

ฟงกชนตรโกณมต 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกของยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

32

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสสวนกลาง 3

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมบรณ 2

การกระจายสมบรณ 3

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได