Post on 22-Jun-2015
description
Docentencursus relativiteitstheorie
Derde collegeMarcel Vonk
14 oktober 2013
2/100
Inhoud 3e hoorcollege
1.Hoofdpunten eerste twee colleges
2.Lorentztransformaties
3.De ladderparadox
4.De tweelingparadox
5.Algemene relativiteit
6.Experimenteel bewijs
1. Hoofdpunten eerste twee colleges
4/100
Eerste hoorcollege
De ruimtetijd, bestaande uit alle gebeurtenissen, vormt één geheel. Elke inertiële waar-nemer verdeelt dit geheel op zijn eigen manier in ruimte en tijd.
5/100
Eerste hoorcollege
Het eindresultaat: in Einsteins wereldbeeld ziet de ruimtetijd er zo uit:
Gelijktijdigheid is waarnemerafhankelijk!
6/100
Tweede hoorcollege
We zagen in een animatie waar de ruimtetijdlijnen van een bewegende waarnemer zich bevinden:
7/100
Tweede hoorcollege
De ruimte- en tijdlijnen van een referentiekader dat met snelheid
v beweegt, staan een afstand √(1-β2) uit elkaar. (β=v/c)
8/100
Tweede hoorcollege
Aan de hand van een lichtklok zagen we dat een bewegende klok langzamer loopt dan diezelfde klok in stilstand: tijdsdilatatie.
9/100
Tweede hoorcollege
Een klok die in rust met tijdsintervallen Δt tikt, tikt als hij
met een snelheid v beweegt, met grotere tijdsintervallen Δt’ = γ Δt.
10/100
Tweede hoorcollege
De evenredigheidsfactor is de Lorentzfactor:
met β=v/c. Deze factor komt in de relativiteitstheorie veel voor.
21
1
11/100
Tweede hoorcollege
Verder zagen we dat bewegende voorwerpen korter zijn dan ze in stilstand zijn: Lorentzcontractie.
12/100
Tweede hoorcollege
Een intuïtieve manier om de Lorentzcontractie af te leiden, is aan de hand van muonen uit de hoge atmosfeer die ondanks hun korte vervaltijd het aardoppervlak bereiken.
13/100
Tweede hoorcollege
We kunnen dit resultaat op twee manieren begrijpen.
1) Tijdsdilatatie: doordat we het muon zo snel zien bewegen, lijkt zijn “klok” veel langzamer te lopen. De vervaltijd lijkt voor ons dus γ maal zo lang.
14/100
Tweede hoorcollege
We kunnen dit resultaat op twee manieren begrijpen.
2) Lorentzcontractie: voor het muon zelf is zijn vervaltijd gewoon 2,2 μs. De op hem af komende atmosfeer lijkt echter veel dunner.
15/100
Tweede hoorcollege
Een meetlat die in rust een lengte L heeft, heeft als hij met een
snelheid v beweegt een kortere lengte L’ = L/γ.
2. Lorentztransformaties
17/100
Lorentztransformaties
We hebben nu ook kwantitatief gezien wat de effecten van de relativiteits-theorie op ruimte en tijd zijn.
Lorentzcontractie tijdsdilatatie
18/100
Lorentztransformaties
Aangezien we weten hoe de ruimte- en tijdlijnen van de bewegende waarnemer lopen, kunnen we natuur-lijk ook willekeurige coördinaten van gebeurtenissen in elkaar omrekenen.
19/100
Lorentztransformaties
Deze Lorentztransformaties behoren niet tot de exameneisen, maar het kan voor de docent nuttig zijn ze toch te kennen:
)('
)('
txx
xtt
20/100
Lorentztransformaties
• De transformaties zijn in deze eenvoudige vorm geldig als we als eenheden seconden en licht-seconden gebruiken.
)('
)('
txx
xtt
21/100
Lorentztransformaties
• Als we meters en seconden gebruiken verschijnt een aantal extra factoren c.
)('
)('
txx
xtt
22/100
Lorentztransformaties
• Als we meters en seconden gebruiken verschijnt een aantal extra factoren c.
)('
)/(' 2
tvxx
cxvtt
23/100
Lorentztransformaties
• Een voordeel van deze vorm is dat we voor lage snelheden de Galileï-transformaties terug zien.
)('
)/(' 2
tvxx
cxvtt
BORD
24/100
Lorentztransformaties
• Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie zijn twee speciale gevallen van deze vergelijking.
)('
)('
txx
xtt
BORD
25/100
Lorentztransformaties
Een veel voorkomende verwarring: als ruimte en tijd zo symmetrisch voorkomen…
Hoe kan het dan dat tijd oprekt en ruimte krimpt?
)('
)('
txx
xtt
26/100
Lorentztransformaties
Het antwoord zien we het duidelijkst in een plaatje:
AB geeft de lengtecontractie weer, AC de tijdsdilatatie.
27/100
Lorentztransformaties
Om AD te meten zouden we een nogal vreemd experiment moeten verzinnen, waarin de bewegende waarnemer als zijn klok tikt ook iets op een andere plaats laat gebeuren.
28/100
Lorentztransformaties
Dit experiment zou het “tijds-equivalent” van het meten van Lorentzcontractie zijn.
29/100
Lorentztransformaties
Willekeurige ruimtetijdcoördina-ten kunnen we omrekenen met
)('
)('
txx
xtt
3. De ladderparadox
31/100
De ladderparadox
Om tijdsdilatatie en Lorentzcontractie beter te begrijpen zullen we twee bekende paradoxen bekijken.
De eerste is de zogenaamde ladder-paradox.
32/100
De ladderparadox
“Iemand rent met een ladder, die precies in een schuur past, met enorme snelheid de schuur in. Past de ladder nog altijd in de schuur?”
33/100
De ladderparadox
34/100
De ladderparadox
• Vanuit de rennende waarnemer gezien wordt de schuur korter, en past de ladder dus niet.
• Vanuit de stilstaande waarnemer gezien wordt de ladder korter, en past de ladder dus ruim.
Hoe kan dit?
35/100
De ladderparadox
Dat er geen tegenspraak is, zien we als we het ruimtetijddiagram bekijken.
36/100
De ladderparadox
• Om te bepalen of de ladder past, moeten we tegelijkertijd de positie van zijn begin- en eindpunt meten.
37/100
De ladderparadox
• Maar... Elke waarnemer heeft zijn eigen notie van gelijktijdigheid!
38/100
De ladderparadox
• Het “passen” van de ladder is dus niet iets wat waarnemeronaf-hankelijk gedefinieerd kan worden.
39/100
De ladderparadox
• De bewegende waarnemer meet bijvoorbeeld AC, en ziet dat de ladder inderdaad niet past.
40/100
De ladderparadox
• De stilstaande waarnemer meet bijvoorbeeld AB, en ziet dat de ladder inderdaad wel past.
41/100
De ladderparadox
Toch lijkt er nog iets vreemds aan de hand: wat gebeurt er als de stilstaande waarnemer, zodra de ladder in de schuur is, snel de deuren sluit?
42/100
De ladderparadox
Ook deze vraag kunnen we beant-woorden met een ruimtetijddiagram:
43/100
De ladderparadox
• De stilstaande waarnemer ziet bij gebeurtenis (A) de achterkant van de ladder de schuur in vliegen, en sluit de deuren.
44/100
De ladderparadox
• Bij (B) botst vervolgens de voorkant van de ladder tegen de dichte voordeur van de schuur.
45/100
De ladderparadox
• Voor de meebewegende waarne-mer is deze gebeurtenis gelijktijdig met (C) – voor hem is de achter-kant van de ladder nog buiten.
46/100
De ladderparadox
• De meebewegende waarnemer ziet de ladder dus samengeperst worden tot bij (A) ook de achterkant de schuur in vliegt.
47/100
De ladderparadox
• Kunnen we geen ladder maken die “oneindig stijf” en dus niet samen te persen is?
48/100
De ladderparadox
• Nee: de schokgolf van de botsing rechts beweegt met hooguit de lichtsnelheid door de ladder heen – het duurt dus even voor de achterkant “weet” dat de voorkant stilstaat!
49/100
De ladderparadox
• Uiteindelijk bereikt de schokgolf natuurlijk de voorkant van de ladder wel, en zal de ladder in stukken uit elkaar spatten.
4. De tweelingparadox
51/100
De tweelingparadox
Een tweede paradox geeft meer inzicht in de tijdsdilatatie: de tweelingparadox.
52/100
De tweelingparadox
“Ronald reist met een enorme snelheid naar een ver sterrenstelsel, keert daar om en reist met dezelfde snelheid weer terug. Is Ronald bij terugkomst jonger dan Frank, of andersom?
53/100
De tweelingparadox
• Frank ziet Ronald steeds met grote snelheid bewegen. Hij ziet Ronalds klok langzamer lopen, dus Ronald zou jonger moeten zijn.
• Ronald ziet Frank steeds met grote snelheid bewegen. Hij ziet Franks klok langzamer lopen, dus Frank zou jonger moeten zijn.
54/100
De tweelingparadox
De situatie lijkt volkomen symme-trisch, maar is dat niet!
We hebben het tot nu toe alleen over bewegingen met constante snelheid gehad, maar hier is meer aan de hand: Ronald keert namelijk om, en verandert zijn snelheid.
55/100
De tweelingparadox
Hoewel “snelheid relatief is” (we kunnen niet definiëren wie beweegt en wie stilstaat) is verandering van snelheid dat niet!
We kunnen zonder problemen ontdekken wie er van snelheid verandert en wie niet.
56/100
De tweelingparadox
Frank verandert niet van snelheid, dus zijn waarnemingen zouden juist moeten zijn. Ronald moet bij thuis-komst jonger zijn. Hoe kunnen we dit uit Ronalds perspectief begrijpen?
57/100
De tweelingparadox
Wederom helpt een ruimtetijddiagram om de oplossing te begrijpen.
58/100
De tweelingparadox
• De steile groene lijn is een tijdlijn van Ronald op de heenreis. De vlakke groene lijn is een van zijn ruimtelijnen.
59/100
De tweelingparadox
• Deze ruimtelijn gaat door de gebeurtenis “Ronald keert om”. De onderste rode stip (op Franks wereldlijn) is dus voor Ronald hiermee gelijktijdig.
60/100
De tweelingparadox
• De steile blauwe lijn is een tijdlijn van Ronald op de terugreis. De vlakke blauwe lijn is een van zijn ruimtelijnen.
61/100
De tweelingparadox
• Deze ruimtelijn gaat ook door de gebeurtenis “Ronald keert om”. De bovenste rode stip (op Franks wereldlijn) is dus voor Ronald hiermee gelijktijdig.
62/100
De tweelingparadox
• Kortom: zodra Ronald omkeert “slaat hij een stuk van Franks geschiedenis over”. Dit is de reden dat Frank voor hem bij terugkomst ouder is.
63/100
De tweelingparadox
• Opmerking (1). Als Ronald vertraagt en weer versnelt in plaats van abrupt omkeert, zal zijn ruimtelijn snel “over de missende geschiedenis heen zwiepen”.
64/100
De tweelingparadox
• Opmerking (2a). Ronald krijgt de “gemiste” geschiedenis van Frank wel te zien: het licht daarvan beweegt immers naar hem toe.
65/100
De tweelingparadox
• Opmerking (2b). Alleen als Ronald corrigeert voor de lichtsnelheid merkt hij dus dat hij een stuk geschiedenis overslaat.
66/100
De tweelingparadox
• Opmerking (3). Hoewel de verandering van snelheid hier een centrale rol speelt hoeven we niets te weten over versnelling of de algemene relativiteitstheorie!
5. De algemene relativiteitstheorie
68/100
Algemene relativiteit
Tot nu toe hebben we het alleen gehad over waarnemers die eenparig (met constante snelheid) bewegen. Maar hoe ervaart een versnelde waarnemer de ruimtetijd?
69/100
Algemene relativiteit
Het kostte Einstein 10 jaar om de relativiteitstheorie uit te breiden tot versnelde waarnemers.
Verrassenderwijs speelt de zwaarte-kracht daarbij een centrale rol!
70/100
Algemene relativiteit
Centraal in Einsteins redenering staat het equivalentieprincipe.
Net als bij het relativiteitsbeginsel viel het Einstein op dat twee ogenschijnlijk verschillende situaties dezelfde waarnemingen opleveren.
71/100
Algemene relativiteit
Bekijk een waarnemer in een stilstaande lift op aarde.
72/100
Algemene relativiteit
In het zwaartekrachtsveld van de aarde ziet deze waarnemer objecten met de valversnelling (9,8 m/s2) omlaag vallen.
Deze valversnelling is voor objecten van elke massa hetzelfde!
73/100
Algemene relativiteit
Overigens voelen we de “druk” van de zwaartekracht pas als iets (bijvoor-beeld de liftbodem) de valversnelling tegenwerkt.
74/100
Algemene relativiteit
Een waarnemer in een versnelde lift in de ruimte neemt hetzelfde waar!
75/100
Algemene relativiteit
Einsteins conclusie: zwaartekracht is experimenteel niet van versnelling te onderscheiden.
De aanname dat dit algemeen geldig is, heet het equivalentieprincipe.
76/100
Algemene relativiteit
De kleine lettertjes: de aarde heeft een radieel zwaartekrachtsveld.
Om de situaties echt identiek te maken moeten we een parallel zwaartekracht-veld gebruiken.
77/100
Algemene relativiteit
Wat heeft het equivalentieprincipe voor gevolgen voor de ruimtetijd?
Laten we weer eens kijken naar het gedrag van licht. In Newtons wereld-beeld heeft licht geen massa, en on-dervindt het dus geen zwaartekracht.
78/100
Algemene relativiteit
Een foton valt een versnellende lift in de ruimte binnen.
79/100
Algemene relativiteit
Voor de waarnemer in de lift lijkt het foton een paraboolbaan te beschrijven.
80/100
Algemene relativiteit
De stilstaande waarnemer op aarde zou dus eenzelfde baan moeten zien.
81/100
Algemene relativiteit
• Onder de invloed van de zwaarte-kracht beweegt alles in gekromde banen.
• De kromming van de baan hangt niet af van eigenschappen van het voorwerp zoals zijn massa.
De kromming door de zwaarte-kracht lijkt dus een eigenschapte zijn van de ruimtetijd zelf!
82/100
Algemene relativiteit
Einstein ontdekte dat het inderdaad mogelijk is om de zwaartekracht te beschrijven als een kromming van de ruimtetijd.
83/100
Algemene relativiteit
In een zwak zwaartekrachtsveld (zoals op de aarde) reproduceert zijn theorie nauwkeurig de zwaartekrachtswet van Newton.
84/100
Algemene relativiteit
Zwaartekracht is dus niets anders dan een versnelling die ontstaat door de kromming van de ruimtetijd.
Let op: zwaartekracht is versnelling, maar niet alle versnelling komt door de zwaartekracht!
85/100
Algemene relativiteit
Zwaartekracht is niet van versnelling te onderscheiden. Zwaartekrachtsversnelling is niets anders dan gekromde
ruimtetijd.
6. Experimenteel bewijs van de relativiteitstheorie
87/100
Experimenteel bewijs
Een drietal experimenten zijn we al eerder tegengekomen:
1) Experimenten zoals dat van Michelson en Morley tonen aan dat de lichtsnelheid waarnemeronaf-hankelijk is.
88/100
Experimenteel bewijs
Een drietal experimenten zijn we al eerder tegengekomen:
2) Hafele en Keating stuurden in 1971 atoomklokken mee met interconti-nentale vliegtuigen, en controleer-den zo de tijdsdilatatie.
89/100
Experimenteel bewijs
Een drietal experimenten zijn we al eerder tegengekomen:
3) Dat muonen hoog uit de damkring de aarde bereiken is een test voor tijdsdilatatie en Lorentzcontractie.
90/100
Experimenteel bewijs
Een eerste test voor het gekromd zijn van de ruimtetijd werd in 1919 uitgevoerd door Arthur Eddington.
91/100
Experimenteel bewijs
Hij reisde naar Afrika om een totale zonsverduistering waar te nemen.
92/100
Experimenteel bewijs
Door het afbuigen van licht in een zwaartekrachtsveld zien we bij zo’n verduistering sterren op een andere plaats aan de hemel staan.
93/100
Experimenteel bewijs
Eddington vond de juiste afbuiging. Tegenwoordig zien we hetzelde effect op nog veel spectaculairder wijze: gravitatielenzen.
94/100
Experimenteel bewijs
Een ander bewijs voor de kromming van de ruimtetijd zien we aan de baan van de planeet Mercurius. Deze baan vertoont periheliumprecessie.
95/100
Experimenteel bewijs
Dit effect was al in 1859 opgemerkt door Urbain Le Verrier. Het kon niet verklaard worden door de invloed van andere planeten of de vorm van de zon.
96/100
Experimenteel bewijs
De relativiteitstheorie gaf wel de juiste “voorspelling” voor de grootte van de precessie.
97/100
Experimenteel bewijs
Tenslotte: om GPS te laten werken moet rekening worden gehouden met de kromming van de ruimtetijd.
98/100
Experimenteel bewijs
Zie voor nog meer voorbeelden bijvoorbeeld de lijsten op Wikipedia.
Volgende keer…
100/100
Volgende keer…
• E=mc2 en de lichtsnelheid• Zwarte gaten• Verzoeknummers?