Post on 14-Sep-2015
Duina luka krive
Dr piro Gopevi
Sadraj
Uvod
Duina luka krive
Funkcija duine luka krive
Neautorizovani tekst. 2
Neautorizovani tekst. 3
Uvod
Duinu luka krive moemo dobiti merenjem metrom
Dobijena duina luka krive je priblina
to je kriva komplikovanijeg oblika merenje duine luka krive postaje sve tee
Neautorizovani tekst. 4
Uvod
Uvod
Ako je kriva poligonalna linija, njenu duinu je lakonai
Sabiramo duine linijskih odseaka od kojih je poligon sainjen
Za raunanje duine odseka moemo upotrebiti formulu za nalaenje rastojanja izmeu
dve susedne take poligona
ako su poznate koordinate
taaka poligona
Neautorizovani tekst. 5
Uvod
Problem: Potrebno je odrediti tanu duinu luka
Reenje: Definiciju duine luka krive moemo dobiti na slian nain kao to smo definisali povrinu ili zapreminu
Neautorizovani tekst. 7
Duina luka krive
Definiciju duine luka krive izvesti emo na sledei nain:
Krivu liniju emo aproksimirati poligonalnom linijom
Duina krive linije e biti jednaka graninoj vrednost sume duina strana poligona, kada se broj delova poligona uveava
Neautorizovani tekst. 8
Duina luka krive
Ovaj postupak je slian sa postupkom odreivanja obima kruga kao granine vrednosti sume duina strana upisanog poligona
Neautorizovani tekst. 9
Duina luka krive
Pretpostavimo da je kriva C:
definisana jednainom y = f(x)
f(x) je neprekidna na [a, b]
Neautorizovani tekst. 10
Duina luka krive
y = f(x)
a b
x
yC
Krivu C aproksimiramo poligonalnom linijom
Interval [a, b] delimo na n podintervala ije su krajnje take: x0, x1, . . . , xn
Take su na istom meusobnom rastojanju, te su podintervali iste duine x
Neautorizovani tekst. 11
Duina luka krive
C
Ako je yi = f(xi) tada
Taka Pi (xi, yi) lei na C
Poligon sa vorovima Po, P1, , Pn, je aproksimacija krive C
Neautorizovani tekst. 12
Duina luka krive
C
Duina L krive C je priblino jednaka duini poligona i aproksimacija je sve bolja kako raste broj strana npoligona
Neautorizovani tekst. 13
Duina luka krive
C
Duinu luka L krive C date jednainom y = f(x),a x b, definiemo kao graninu vrednost duine upisanog poligona (ako granina vrednost postoji):
11
limn
i in i
L P P
=
=
Neautorizovani tekst. 14
Duina luka krive
C
Predhodna definicija za duinu luka nije ba pogodna za korienje
Izveemo integralnu formulu za duinu luka Lu sluaju kada funkcija f:
Ima neprekidne izvode
Je glatka funkcija jer male promene po x daju male promene po f(x).
Neautorizovani tekst. 15
Duina luka krive
Neka je yi = yi yi1, tada je2 2
1 1 1
2 2
( ) ( )( ) ( )
i i i i i i
i
P P x x y y
x y
= +
= +
Neautorizovani tekst. 16
Glatka funkcija
C
Primenom Lagranove teoreme na f na intervalu [xi1, xi], nalazimo da postoji xi* izmeu xi1 i xi takvo da je
*
1 1( ) ( ) '( )( )i i i i if x f x f x x x = *
'( )i iy f x x =
Neautorizovani tekst. 17
Glatka funkcija
*1
1
( ) ( )'( )( )
i ii
i i
f x f x f xx x
=
Sada imamo
2 21
22 *
2* 2
2*
( ) ( )
( ) '( )
1 '( ) ( )
1 '( ) ( 0)
i i i
i
i
i
P P x y
x f x x
f x x
f x x x
= +
= +
= +
= + >
Neautorizovani tekst. 18
Glatka funkcija
Primenom predhodne definicije za duinu luka krive imamo
Integral postoji jer je funkcija neprekidna
[ ]
11
2*
1
2
lim
lim 1 '( )
1 '( )
n
i in i
n
in i
b
a
L P P
f x x
f x dx
=
=
= =
= + =
= +
Neautorizovani tekst. 19
Glatka funkcija
[ ]2( ) 1 '( )g x f x= +
Diferencijal je jednak
Geometrijska interpretacija
je na slici desno
Neautorizovani tekst. 20
Duina luka krive
2 2
2
2
( ) ( )1 ( )
1 ( )
dydx
dxdy
ds dx dy
dx
dy
= +
= +
= +
'( )dx dy g y='( )dy dx f x=
Ako je f neprekidna na [a, b], tada je duina luka krive y = f(x), a x b
[ ]21 '( )ba
L f x dx= +
Neautorizovani tekst. 21
Duina luka krive
2
1b b
a a
dyL dx dsdx
= + =
Primer: Nai duinu luka krive y = x3/2 izmeu taaka (1, 1) i (4, 8)
Reenje:
Neautorizovani tekst. 22
Duina luka krive
3 2y x=
1 232
dyx
dx=
24 4
941 1
1 1dyL dx x dxdx
= + = +
Neautorizovani tekst. 23
Duina luka krive
( )
4 10941 13/4
1 9 / 49 / 4 41
1, 13 / 4 94, 10
1 80 10 13 1327
u x
du dxL x dx udu
x u
x u
= +
=
= + = = == =
= =
=
2 2
22 4 4
dy x xdx x x
= =
2 22 2
220 02 1 2 1
44x xL dx dx
xx
= + = +
2
20
144
dxx
=
2
1
0
4 sin 22x
pi
= =
Duina luka krive Primer: Nai duinu luka krive na
intervalu [-2,2]24y x=
Ako kriva ima jednainu x = g(y), c y d, ig(y) je neprekidna, tada je duina luka krive jednaka
[ ]22
1 '( )
1
d
c
d
c
d
c
L g y dy
dx dydy
ds
= + =
= +
=
Neautorizovani tekst. 25
Duina luka krive
Primer: Nai duinu luka parabole y2 = x od (0, 0) do(1, 1).
Reenje: Poto je x = y2, tada je dx/dy = 2y
Neautorizovani tekst. 26
Duina luka krive
21 1 2
0 01 1 4dxL dy y dy
dy
= + = +
Neautorizovani tekst. 27
21 1 2
0 0
2 21 2
0
2
20
220
1 1 4
1 1tan1 2 2 cos2
12 0 0 arctan 22
1 1 12 tan2 2 2 cos
1 11 tan2 cos
dxL dy y dydy
y dy dy dy
y y
d
d
= + = +
= =
= + =
= = = = =
= +
= +
Duina luka krive
Neautorizovani tekst. 28
Duina luka krive
220
2 2
2 20
30
0
1 11 tan2 cos1 cos sin 12 cos cos1 12 cos1 1 tan 1ln tan2 2 cos cos
1 tan 1ln tan4 cos cos
L d
d
d
= +
+=
=
= + +
= + +
Iz
imamo tan = 2 i
( )ln 5 252 4
L+
= +
Neautorizovani tekst. 29
Duina luka krive
22
1 1 tan 5cos
= + =
arctan 2 = =
1 5cos
=
Problem: Odrediti funkciju koja daje duinu luka krive, ako je:
zadata poetna taka
krajnja taka je nije zadata
Neautorizovani tekst. 30
Funkcija duine luka krive
Reenje:
Pretpostavimo da imamo glatku krivu C datu jednainom y = f(x), a x
s(x) je rastojanje du
krive C od poetne
take P0(a, f(a))
do take Q(x, f (x))
Neautorizovani tekst. 31
Funkcija duine luka krive
s(x) je funkcija, koja se zove funkcija duine luka krive
Zamenili smo promenjivu integracije sa t
Neautorizovani tekst. 32
Funkcija duine luka krive
[ ]2( ) 1 '( )xa
s x f t dt= +
Jednaina pokazuje da deo promene s u odnosu na x je uvek najmanje jednako 1 ili jednako 1 kada je f(x), nagib krive, jednak 0
[ ]2
21 '( ) 1ds dyf xdx dx
= + = +
Neautorizovani tekst. 33
Funkcija duine luka krive
Primer: Nai funkciju duine luka krive y = x2 ln x uzimajui P0(1, 1) kao startnu taku
Reenje:
Neautorizovani tekst. 34
Funkcija duine luka krive
1'( ) 2
8f x x
x=
[ ]2
2 22
22
2
1 1 11 '( ) 1 2 1 48 2 64
1 142 6412
8
f x x xx x
xx
xx
+ = + = + +
= + +
= + [ ]2 11 '( ) 2
8f x x
x+ = +
Funkcija duine luka krive je:
[ ]
]
2
1
1
21
2
( ) 1 '( )128
1 ln81 ln 18
x
x
x
s x f t dt
t dtt
t t
x x
= +
= +
= +
= +
Neautorizovani tekst. 35
Funkcija duine luka krive
Duina luka krive od take (1, 1) do (3, f(3))
2 18(3) 3 ln 3 1
ln 388
8.1373
s = +
= +
Neautorizovani tekst. 36
Funkcija duine luka krive
Proraun duine luka krive esto nas dovodi u situaciju da moramo da reavamo teke integrala
Tada se koriste razliiti metodi numerike integracije
Neautorizovani tekst. 37
Duina luka krive
Neautorizovani tekst. 38
Review: Length of a Line Segment
y
x
s(a,b)
(c,d)
2 2( ) ( )s c a d b= +
2 2( ) ( )s x y= +