Post on 08-Jun-2020
1
Quantal_4b
2
Fermi
3
Gas de Fermi
f3/2(z)=λ3/v
z grande
z pequeño
4
Que pasaba con el gas de Fermi
=
5
Definimos
La población media
La energía
6
7
8
g
=== )()(
1)(
2
532
5
2
5 zfg
zgfv
zgfV
N
kT
P
λ
9
10
11
[ ]
2/5
33
32/3
3
22/3
3
1
2/5
22
22/3
2
1
1
2/5
4
2/5
3
2/5
2
2/3
4
2/3
3
2/3
2
2
2/3
4
2/3
3
2/3
2
32/3
4
2/3
3
2/3
2
21
322
3)3
22)2
)1
...432
...432
...432
...432
zza
za
za
zza
za
zza
zzzz
zzzz
zzzza
zzzzaa
=−+
−=−−
=⇒
−+−=
−+−•
•
−
−+−−+
−+−−+
12
)2
13
14
Pero λ va como 1/T 1/2
15
<np>
����(����p ��������)
16no
Comparando numeros de ocupacion
Bose
Fermi
17
BOSE
18
19
20
( ) ( ) z
z
ze
ne
npep −
=−
=−
=⇒−
= −− 111
1
1
1
1
10 µµµµββββµµµµββββ
1
1
111
11 00
0
0
00 +
=+
−=−⇒+
=⇒−
=NN
Nz
N
Nz
z
zN
Tenemos
⇒⇒⇒⇒
)1log(1
)1log(1
)1log(1
00
0 +≈+→−− NN
NV
zV
Resulta entonces que este termino se va a 0 con N0→∞
Este, no
con
pero
21
22
23
24
(µ≤µ≤µ≤µ≤0)
25
divergenn
como
n
pero
ng
zzzg
zzzzg
n
2/1
1
12/12/12/12/3
2/1
2
2/12/3
2/3
3
2/3
2
2/3
11
1
1...
3
1
2
11)1('
321)('
32)(
≤
∞=
=+++=
+++=
+++=
∑
∑
∞
=
∞
26
g3/2(z)
z
2.612
27
28
Tomando en cuenta el termino de población del fundamental
Tomar en cuenta que estamos considerando la población de unúnico nivel !!!!!
3λλλλ
Esto es lo que nos salva,pues de otra forma….
29
λλλλ3/ v
z
g3/2+(λλλλ3 /v)(z/(1-z))
30
3/2
5/2
31
[ 0 ≤ z ≤ 1 ]
Las poblaciones parciales de los niveles distintos del fund. son muy diluidasLuego es apropiado hablar del condensado por un lado y “el resto” por otro
Dejamos de lado el fundamental ⇒
...2
11)exp( 2 +++≈ xxx
( )
= 2
3/2
1
21
h
mV
ββε
32
,
(g3/2(1) ≅2)
)1(2/3
3
gvc =λλλλ
33
( ) ( )( )
( ) 2/32/33
2/3
2/32/3
32/3
1)1(
2
)1(
1
2
c
c
kTvg
h
m
vgm
hkT
=
⇒=
ππ
p
(o sea que g3/2 describe la parte normal)
ccTT νν << o
34
(expresado como diferencia)
35
z
ν ν ν ν/λλλλ3(2.612)-1
36
[ 0 ≤ z ≤ 1 ]
1z )1(2/3
3
=⇒≥ gv
λ
=⇒< )( de raiz z )1( 2/3
3
2/3
3
zgv
gv
λλ
37
38
Tiende a 0 con T →→→→0
[ ⇒ z = 1 ]
v
2/3ver
39
( ) ( )
=
=
=
=
=
)1(
)1()(
)1()1( 2
2)(
)1( 2
)1( 2
)1( 2
)(
2/3
2/5
2/5
2/33/2
2/3
22/3
2
3/2
2/3
2
2/52/3
2/3
22/52/5
2/3
2
g
gkT
V
NTP
gVg
N
mk
hk
h
mkTTP
Vg
N
mk
hT
gkTh
mkTgkT
h
mTP
cc
cc
c
cccc
ππ
π
ππ
40
mitad
41
42
+
++++
++++
+++=+++
2
2/3
3
2/3
2
32/3
3
2/3
2
21
2/3
3
2/3
2
2/5
3
2/5
2
...32
...32
*
*...32
...32
zzza
zzzaa
zzz
zzz
2/3
3
12/3
3
23
32/5
3
2/3
2
12
22/5
2
1
322
3
22z
az
azaz
zaza
z
zaz
++=
+=
=
Obtenemos
4332/32/32/32/52/5
2/32/32/32/532/5
2/3
3
12/3
3
23
32/5
3
2/32/522/322/5
2/3
2
12
22/5
2
11
3
1
2
2
2
1
2
1
3
1
3
1
2
1
2
1
2
12
3
1323
2
1
2
1
2
1
2
122
1
a
a
za
zaza
z
aa
zaza
z
azaz
=−
−−
⇒+
−+=
⇒++=
−=⇒+=
⇒+=
=⇒=
44
[]...1
0033.021
17678.0
...21
0033.021
17678.01
...0033.017678.01
2
2/32
2/1
32
32
2/32
2/3
2
63
Tmk
Nk
TNkTPV
mkTmkTNkT
PV
NkT
PV
−
−=
−
−=
−−=
h
hh
πν
πν
πν
νλ
νλ
Los valores resultantes son (comparar con Fermi)
45
Entonces para el gas de Bose la presión es menor que
VN
V
T
U
NkNk
C
kT
PV
TkTU
,
2
1
ln
∂∂=
∂∂=
Ξ∂∂−=β
Conocido P
→∂∂
⇒∝3
2/53
1
2
5
λλ TT
T
>
46
Recordemos que :
)1()( 2/53g
kTTP
TT c
λ=
<
32/32/52/32
32/52 11
)1()(λλ
∝∝⇒∝∂∂∝
∂∂= TCTT
TT
TVgkTTU V
47
Entonces para el gas de Bose la presión es menor que
VN
V
T
U
NkNk
C
kT
PV
TkTU
,
2
1
ln
∂∂=
∂∂=
Ξ∂∂−=β
Conocido P
→∂∂
⇒∝3
2/53
1
2
5
λλ TT
T
>
482/1
2/3
2/3
2/5
2/3
2/5
2/1
2/3
2/3
2/5
2/3
2/5
22/3
2/32/52/52/3
2/3
2/5
2/3
2/5
2/1
22/3
2/32/52/5
2/1
2/32/12/32/3
2/3
3
2/3
4
9
4
15
4
9
4
9
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
31
1
2
31
2
3
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
gT
T
g
ggggT
g
g
g
gT
T
pues
g
g
Tg
zT
zg
zT
zg
T
zT
z
g
g
Tg
zT
zg
zT
zg
T
ademas
gTvT
gT
TT
−=+−=
∂∂
∂−∂+=
∂∂
−=∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂=−⇒
∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂
−=∂∂=
∂∂ λ
entonces
49
el
50
51
cv/Nk
T/Tc
T3/2Límite clásico
52
z
v/λλλλ3(2.612)-1
53
54
55
56
57
582/3
2/5
2/1
2/3
2/3
2/5
2/3
2/5
22/3
2/32/52/52/3
2/3
2/5
2/3
2/5
2/1
22/3
2/32/52/5
2/1
2/32/12/32/3
2/3
3
2/3
4
9
4
9
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
31
1
2
31
2
3
g
g
g
g
g
g
g
gT
T
g
ggggT
g
g
g
gT
T
pues
g
g
Tg
zT
zg
zT
zg
T
zT
z
g
g
Tg
zT
zg
zT
zg
T
tambien
gTvT
gT
TT
+−=
∂∂
∂−∂+=
∂∂
−=∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂=−⇒
∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂
−=∂∂=
∂∂ λ
Entonces
Pero también