Post on 02-Mar-2016
description
1Hiptesis de la teora de vigas de Timoshenko
!"
#$
%&'
'(
2
dv/dx
+=dxdv
dv/dx
y
3
dvdx
-y(x)
y,v
M-p
u(x,y,z) = -y(x)
v(x,y,z) = v(x)
w(x,y,z) = 0
4
)x(dxdv)x(
dxdv
dydue2
dxdy
dxdue
)x(v)z,y,x(v)x(y)z,y,x(u
xy
x
=+=+=
==
=
=
En la teora de vigas clsica, la distorsin angular es cero, en la teora de vigasde Timoshenko, vale , por consiguiente, la teora de Timoshenko, equivalea considerar el efecto de la deformacin por corte, coincidiendo la magnitud dedicha deformacin con el giro adicional de la normal .
)x(
Distorsin angular en las vigas de Timoshenko
5)x(GAdA)x(GdAV
)x(EIdAy)x(EdAyM
)dxdv(G)x(GG
vigaladeejedelcurvatura
)x(yEdxdyEE
)z,y(A )z,y(A
xy
)z,y(A )z,y(A
2x
xyxy
xx
===
===
===
===
Momento Flector y Cortante
6
V V
V V
y
xy
y y y
yy
xy
xy xy
7
Energa de deformacin por corte
==
=====
==
==
===
==
===
L
0
*2xy
**Tc
**Tc
Jc
Jc
L
0
2xy
V
2xyT
c
Jc
L
0
2L
0 A2
2
V
2xyT
c
xy
A
xy
A
xy
xy
L
0
2Jc
A2
2
2
L
0 A2
2
2
2
V
2xyJ
cxy
AAcondx)x(2GAU
AAsiUU,Udx)x(2
AGdVG2
)x(U
Udx)x(VGA21dxdA
A)x(V
G21dV
G2)x(
U
)x(AdA)x(dA)x()x(V
:cinseclaenconstanteesTimoshenkodevigalaEn
dx)x(VGA21UdA
)y(b)z,y(
IA1
:formadefactorelDefiniendo
dxdA)y(b)z,y(
I)x(V
G21dV
G2U
)y(bI)z,y()x(V
8
Coeficiente de forma
9Energa potencial total
( )
( ) ( )( ) ( )
+=
+=
=
=
=
==
+=
i jjjii
LL
xy
L
L
xy
LT
LLTf
A
L
V V
Tf
Tc
Tf
T
MvPdxxvxqdxGAdxEI
dxGAdxEIU
dxEIdxdx
xdEIU
dxdAydx
xdEdVydx
xdEdVEeU
UUU
00
2*
0
2
0
2*
0
2
0
2
0
2
2
0
22
22
*
)()(22
22
2)(
2
)(2
)(22
10
En el integrando de la ecuacin de la energa de deformacin,aparecen nicamente derivadas primeras de la flecha y del giro. Esto exige solamente su continuidad para garantizar que sea integrable, lo cual permite la utilizacin de elementos finitos declase Co.
Elementos finitos para vigas de Timoshenko
Si consideramos el elemento de viga de Timoshenko mas simple,de dos nodos, a diferencia de lo que ocurra en la teora de vigas deNavier-Bernoulli, la flecha y el giro son variables independientes, y de continuidad Co
11
Viga de Timoshenko
12
v2
v1
v1v
v2
Elemento de viga de Timoshenko lineal
13
( ) ( )[ ]
[ ][ ]
( )( ) ( )
+=
=+
+=
==
=
=
+=
==
=====
=+==
1L11
L1Bcon
uBNNvd
dNvd
dNL2
dxd
ddv
dxdv
L10
L10Bcon
uBd
dNd
dNL2
dxd
dd
dxd
L2
dxd
N0N0NconuN)(
0N0NNconuN)(v
vvu
1N,1N
21
)e(21
)e(c
)e(c22112
21
1)e(xy
)e()e(f
)e(f2
21
1)e(
)e(
21f)e(
f
21f)e(
f
T2211
)e(21
221
1
Clculo de las matrices Bf y Bc
14
Matriz de Rigidez K=Kf+Kc
[ ]
=
==
=
=
=
=
==
==
101000001010
0000
LEIKu
101000001010
0000
LEIuuKuU
2dcomo
101000001010
0000
L11010
101
0
L1BB
udBBu4
EILU
uBBu)()()(
d)(4
EILdx)x(2EIU
f)e(T)e(
21)e(
fT)e(
21T
f
1
1
22fT
f
)e(1
1
fT
fT)e(T
f
)e(f
Tf
T)e(T2
1
1
2L
0
2Tf
15
=
==
==+==
++
+
=
+
+
=
=
==
=
3
21
623
21
21
3
21
623
21
21
31
41,
32
41,1
21,2
4)1(
2114
12
14
)1(2
112
11
211
211
21
12
1
1
4
)()()(
)(4
)(2
2
22
*)(
2
22
*)(
21)()(
21
1
1
21
1
21
1
1
1
2
2
22
22
)(1
1
)(*
)()(2
1
1
2*
0
2*
LSim
L
LLL
LL
LGAKu
LSim
L
LLL
LL
LGAuuKuU
ddL
dL
dcomo
Sim
LL
L
LLLL
LLL
L
BB
udBBuLGAU
uBBu
dLGAdxxGA
ceTee
cTeT
c
cT
c
ec
Tc
TeTf
ec
Tc
Texy
Txyxy
xy
L
xy
16
Vector de fuerzas nodales equivalentes
[ ]0qL0qLFdondeuFud)(NqLd)(vqLdx)x(qv
adistribuidnteuniformemeq
21
21T
q
)e(Tq
)e(1
1
f21
1
121
L
0
=
===
17
Observaciones sobre la integracin de la matriz de rigidez
Integrando numricamente con un nico punto de integracin se tieneun resultado exacto para la matriz Kf
La integracin exacta de la matriz Kc requiere dos puntos de Gauss,por aparecer en su integrando, trminos de segundo grado en .
18
Efecto del bloqueo de la solucin
V
M
[ ] FuKK )e(cf =+
19
241
2*
3
*2*22*
2
2**
**11
1
1
2
2
1
1
*
**
***
****
3Fijando
vigaladeesbeltezlaeshLdonde
15
12,)1(2
EG,bh65A,
56,bhA,
12bhI
GAP
16,
GALP
14v
LGAEI12Llamando
0Pv
LEI
3LGA
2GA
2GA
LGA
0,0v
0PMV
v
v
LEI
3LGASim
2GA
LGA
LEI
3LGA
2GA
LEI
3LGA
2GA
LGA
2GA
LGA
==
=+=+=====
+=++==
=
+
==
=
+
+
20
Este ejemplo, resuelto por la teora clsica de vigas da como resultado:
== *3
2 GALP4
EI3PLv
Para una viga esbelta donde los valores de son elevados, el efecto del cortante es despreciable, y la solucin de la flecha con las dos teorasdebe coincidir.
2v
Lamando:)3(4)43(3
vv
22
2
ex2
2
++==
El valor de debera tender a la unidad, a medida que la esbeltez de la viga aumenta, pero el
= 0iml
Esto implica que el elemento de viga de Timoshenko de 2 nodos, es incapazde reproducir en el lmite la solucin de la teora de vigas clsica. A medida que la esbeltez de la viga aumenta se produce un fenmeno de sobrerigidez numrica, que va tomando mayor importancia hasta llegar abloquear la solucin, haciendola en el lmite, infinitamente rgida.
21 22
Integracin reducida
Integrando Kc con un nico punto de integracin, se tiene:
=
4LSim
2L1
4L
2L
4L
2L1
2L1
LGAK
2
22*
rc
Para el problema anterior:
=
+
0Pv
LEI
3LGA
2GA
2GA
LGA
2
2**
**
43
2
2
43
*2
1GALP3v
=
+=+=
iml
Para tendiendo a cero, tiende a 3/4con lo cual se ha eleminado el efecto delbloqueo de la solucin.
23
Puede comprobarse, que el valor de converge rapidamente a 1 al aumentar elnmero de elementos, de hecho con solo dos elementos se obtiene el valor 0,938.
Por consiguiente, la integracin reducida de los trminos de Kc proporciona un elemento vlido para vigas de pequea y gran altura.
Una vez calculados los desplazamientos nodales, los esfuerzos se calculan en elpunto de Gauss central, que adems en este caso es el punto ptimo.
24
Observaciones sobre la integracin reducida
c
*
fcf KLGAK
LEIKKK +=+=
La solucin exacta para vigas esbeltaz es proporcional a EIL3
FFEILuK
EIGALKL
3)e(
c
*2
f2 ==
+
Para una seccin rectangular FuKEG
hL10KL )e(c
2
f2 =
+
Cuanto es esbelta es la viga, aumenta rpidamente, de manera que paravigas muy esbeltas el coeficiente de se hace progresivamente mucho masgrande que el de y la ecuacin anterior, tiende a donde en el lmite, para vigas infinitamente esbeltas tiende a infinito y
2
hL
cK
fK FuK )e(c =2hL
EG4
=
0F1uK )e(c =
25
A medida que la esbeltes aumenta, la solucin de elementos finitos se rigidiza cadavez mas con respecto a la solucin exacta (efecto de bloqueo) , y en el lmite se haceinfinitamente rgida . Para evitar la solucin trivial el determinante de Kc debe anularse.
La integracin numrica equivale a introducir k relaciones independientes, donde k es el nmero de componentes del vector deformacin que intervienen en Kc. As si p es el nmero total de puntos de integracin, y j el nmero de grados de libertad obtenidos una vez descontados los desplazamientos prescriptos, la matriz de rigidez ser singular si el nmero de relaciones introducidas no es suficiente paraequilibrar el nmero total de incognitas. j - p.k>0
Para obtener la singularidad de Kc hay que reducir el nmero de puntos de integracin. Esto debe hacerse, cuidando que la matriz de rigidez total K mantengael rango correcto, para evitar la singularidad de todo el sistema. En el ejemplo de la mnsula: k=1 ( solo interviene la distorsin angular en Kc),j=2 (desplazamiento y giro en el extremo libre),. Para una integracin exacta p=2 se tiene 2-1.2=0 y no se satisface la condicin desingularidad. Sin embargo al utilizar un nico punto de integracin, p=1 y 2-1.1=1 >0 Para la matriz de rigidez total K, k=2 (la curvatura y la distorsin angular), j=2 y como se utiliza un nico punto de integracin p=1, entonces 2-1.2=0 y la matriz derigidez total no es singular. 26
Interpretacin fisica de la integracin reducida
Las vigas de Timoshenko, por utilizar aproximaciones del mismo grado para la flechay el giro tienen una incapacidad intrnseca de satisfacer en el lmite la condicin de distorsin angular nula, lo que en definitiva causa el bloqueo de la solucin.
+=++== ba)()(L
vvdxdv
2121
212112
xy
Se observa que a es combinacin lineal de flechas y giros, mientras que b depende solamente de los giros nodales. La condicin de que =0 para vigas esbeltas exige que en el lmite a y b tiendan a 0 de la segunda condicin:
0LLdx
d, 2121 =+=== La curvatura se anula sobre todo el elemento, y esto conduce al bloqueo de lasolucin como consecuencia de imponer una condicin que imponer una condicinque fisicamente no es real entre los desplazamientos para satisfacer la condicin de distorsin angular nula.
27
Otras alternativas para eliminar el efecto del bloqueo
Parece claro que el trmino lineal en debe eliminarse para que pueda alcanzarsela condicin =0.Una forma evidente es calcular en el centro del elemento donde =0 y =a por lotanto el comportamiento del elemento es correcto.Esto es equivalente a integrar Kc con un solo punto de integracin.Otra forma es que los coeficientes a y b sean los dos combinacion de giros y flechasesto puede lograrse si la interpolacin polinmica para la flecha sea un grado mayor que la del giro
28
Viga de Timoshenko con interpolacin lineal de losgiros y cuadrtica de las flechas
29 30
31 32
Coincide con el resultado obtenido mediante integracin reducida de lamatriz de rigidez de corte.
33
Viga sobre fundacin elstica
Consideremos el efecto de la deformacin del terreno atraves de un coeficiente de balasto k el cual establece una relacin entre losdesplazamientos de los puntos de la estructura en contacto con elterreno y las correspondientes reacciones.
Suponemos que esta relacin es lineal, y que el coeficiente k debalasto es constante.
El modelo de fundacin Winkler, desciende solamente donde lacarga es aplicada; el material del terreno adyacente, se mantieneintacto como se muestra en la figura.
y,vy,v
34
Elemento finito de 2 nodos para viga sobre fundacin elstica
L dxxkv 0
221 )(
: trminoel agrega le se potencial energa la deexpresin laA
-k v(x)
v(x)
v1
35
Viga sobre fundacin elstica de Timoshenko
[ ]
=
=
==+
+
=
+
+=
==
=
==
001000001
kLK
0020000102
NN
31
41,
32
41
00)1(000010)1(
0)1(
0)1(
0)1(0)1(NN
dNNkLdxNNkK
uKuudxNNku
Nuv,uNv,dxkv(x)
21
31
31
fT
f
1
1
21
1
2
2
22
41
21
21
21
21
fT
f
1
1
fT
f21
L
0
fT
f
(e)T(e)21(e)
L
0
fT
fT(e)
21
Tf
T(e)T(e)f
L
0
221
SimSim
ddcomo
Sim
k
k
k
36
Viga sobre fundacin elstica de Navier-Bernoulli
=
==
=
+++=
==
2
22
4201
1
1
T21
L
0
T
(e)T(e)21(e)
L
0f
Tf
T(e)21
222v2111v1
TT(e)T(e)L
0
221
4LSim22L1563L13L4L13L5422L156
kLK
dNNkLdxNNkK
uKuudxNNku
()N()N()N()N)v(
Nuv,uNv,dxkv(x)
k
k
k
En ambos modelos Kk es la matriz de rigidez consistente para cimentacin elastica y es claro que se suma con la matriz de rigidez de la viga.