Post on 17-Jun-2022
1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié
2) Norme d’un vecteur2) Norme d’un vecteur
3) Opérations sur les vecteurs3) Opérations sur les vecteurs
4) Système de référence4) Système de référence
2/13
5) Solide indéformable5) Solide indéformable
6) Paramétrage d’un point 6) Paramétrage d’un point
7) Angles d’Euler7) Angles d’Euler
8) Exemples8) Exemples
1) Vecteur, vecteur libre, vecteur lié1) Vecteur, vecteur libre, vecteur liéUn vecteur (libre ou lié) est un élément de l’espace vectoriel R3
il peut être défini de manière unique par 3 grandeurs (composantes)dans une base donnée de cet espace vectoriel R3
un vecteur libre n’est attaché à aucun point de l’espace.un vecteur lié est attaché à un point de l’espace.
3/13
Exemple : soit la base ( )000 ,, zyxrrr
000 zcybxaABrrr ++=
Autre notation :
( ) 0000 Bzyxc
b
a
c
b
a
AB
=
=rrr
un vecteur lié est attaché à un point de l’espace.
ExempleSolide
indéformableExemplesOpérations Système de
référenceParamétrage Angles
d’EulerNormeVecteurVecteur
2) Norme d’un vecteur2) Norme d’un vecteur
Dans une base orthonormée ( )000 ,, zyxBrrr
on définit la normed’un vecteur la grandeur positive:
222 cbaAB ++=000 zcybxaABrrr ++=
Le résultat est indépendant
4/13
Exemple
Une base est dite orthonormée quand :
les vecteurs la composant sont orthogonaux entre eux.la norme de chacun de ses vecteurs vaut 1 (vecteurs unitaires).
Solide indéformable
ExemplesVecteur Opérations Système de référence
Paramétrage Angles d’Euler
NormeNorme
Le résultat est indépendantde la base d’écriture.
3) Opérations sur les vecteurs3) Opérations sur les vecteursSomme de vecteurs :
aa +
Soient deux vecteurs exprimés dans la mêmebase B0 :
01
1
1
Bc
b
a
U
=
02
2
2
Bc
b
a
V
=
5/13
=+VU
021
21
21
Bcc
bb
aa
+++
Nota : VUVU +≠+
ExempleSolide
indéformableExemplesVecteur Système de
référenceParamétrage Angles
d’EulerNorme OpérationsOpérations
( ) ( ) ( ) =+++++ 021021021 zccybbxaarrr
Multiplication par un scalaire :
=× ABα
=
× b
a
α
000 zcybxarrr ααα ++( ) =++× 000 zcybxa
rrrα
b
a
αα
0Bc
b
a
AB
=
6/13
=
×
0Bc
bα=
Nota : UU ×=× αα uniquement si αααα est positif ou nul
ExempleSolide
indéformableExemplesVecteur Système de
référenceParamétrage Angles
d’EulerNorme OpérationsOpérations
0Bc
b
αα
Produit scalaire :
Le produit scalaire de deux vecteurs vaut :
Le résultat d’un produit scalaire est un réel.
Autre expression si les deux vecteurs sont écrits dans la même base :
7/13
( )VUVUVU ,cos. ××=
Autre expression si les deux vecteurs sont écrits dans la même base :
ExempleSolide
indéformableExemplesVecteur Système de
référenceParamétrage Angles
d’EulerNorme OpérationsOpérations
iBc
b
a
U
=
1
1
1
iBc
b
a
V
=
2
2
2
=VU . 212121 ccbbaa ×+×+×
Le résultat est indépendant de la based’écriture (identique aux deux vecteurs)
( ) WUVUWVU ... +=+
Distributivité par rapport à l’addition :
UVVU .. =Symétrie :
Propriétés du produit scalaire :8/13
Nullité : le résultat d’un produit scalaire est un nul si :
l’un des deux vecteurs est nul ous’ils sont orthogonaux.
Signe du produit scalaire :
ExempleSolide
indéformableExemplesVecteur Système de
référenceParamétrage Angles
d’EulerNorme OpérationsOpérations
−2
;2
ππ0. >VU ( )∈VU ,si
Si 1=V alors VU . correspond à la projection
en valeur algébrique de
axU =0.r
Si est une base orthonormée directe alors : ( )0000 ,, zyxBrrr
Cas d’un vecteur de norme unitaire :
Cas d’une base orthonormée directe :
U sur V
a
9/13
000 zcybxaUrrr ++=
axU =0.
byU =0.r
czU =0.r
1. 00 =xxrr
1. 00 =yyrr
1. 00 =zzrr
0. 00 =yxrr
0. 00 =zyrr
0. 00 =zxrr
�
�
�
ExempleSolide
indéformableExemplesVecteur Système de
référenceParamétrage Angles
d’EulerNorme OpérationsOpérations
)( 000 zyxc
b
a
U
rrr
=
Produit vectoriel :
Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteuret vaut :
Autre expression si les deux vecteurs sont écrits dans la même base :
avec le vecteur unitaire orthogonal au plan formé par etU VW
10/13
( ){ } WV,UsinVUVU ××=∧
Autre expression si les deux vecteurs sont écrits dans la même base :
=∧ VU =
∧
002
2
2
1
1
1
BBc
b
a
c
b
a
02121
2121
2121
Babba
caac
bccb
×−××−××−×
ExempleSolide
indéformableExemplesVecteur Système de
référenceParamétrage Angles
d’EulerNorme OpérationsOpérations
( ) WUVUWVU ∧+∧=+∧
Distributivité par rapport à l’addition :
UVVU ∧−=∧Antisymétrie :
Nullité : le résultat d’un produit vectoriel est nul si
Propriétés du produit vectoriel : 11/13
Nullité : le résultat d’un produit vectoriel est nul si
l’un des deux vecteurs est nul ous’ils sont colinéaires.
0=∧ UU
000 zyxrrr =∧ 000 xzy
rrr =∧ 000 yxzrrr =∧
Si est une base orthonormée directe alors : ( )000 ,, zyxBrrr
ExempleSolide
indéformableExemplesVecteur Système de
référenceParamétrage Angles
d’EulerNorme OpérationsOpérations
Double produit vectoriel :
( ) ( ) ( )VUWWUVWVU .. ×−×=∧∧
Produit mixte :
( ) ( ) ( )VUWUWVWVU ∧=∧=∧ ...
Le résultat est un vecteur.
12/13
( ) ( ) ( )VUWUWVWVU ∧=∧=∧ ...
Invariance par permutation circulaire.
Le résultat est un scalaire.
ExempleSolide
indéformableExemplesVecteur Système de
référenceParamétrage Angles
d’EulerNorme OpérationsOpérations
4) Système de référence4) Système de référence
En mécanique on se place dans un système constituédu temps et d’un espace physique :
le temps (noté t) permet de repérer tout instant par sa date.
l’espace physique est associé à un repère ( )00000 ,,,0 zyxRrrr
0zr
1/14
Ce repère est défini par :
un point d’origine (centre du repère)
On parle d’espace-temps, de référentiel, d’observateur ou de repère.
0yr
0xr O0
une base orthonormée directe ( )0000 ,, zyxBrrr
ExempleSolide
indéformableExemplesVecteur Paramétrage Angles
d’EulerNorme Opérations Système de Système de
référenceréférence
5) Solide indéformable5) Solide indéformable
On considèrera toujours que les pièces mécaniques étudiées sont toutes indéformables.
Un solide est dit indéformable si quels que soient deuxpoints A et B de ce solide
La distance AB reste constante au cours du mouvement ( )t∀
2/14
La distance AB reste constante au cours du mouvement ( )t∀
A
B
Exemple ExemplesVecteur Paramétrage Angles d’Euler
Norme Opérations Système de référence
Solide Solide indéformableindéformable
6) Paramétrage d’un point dans un repère6) Paramétrage d’un point dans un repère
Pour définir la position d’un solide (S)
dans un repère ( )zyxRrrr
,,,0il faut d’abord commencer par lier à ce
solide un repère ( )SSSSS zyxRrrr
,,,0et ensuite définir la position de RS par
rapport à R :
3/14
Nota : comme le solide est supposé indéformable il y aéquivalence entre le solide et son repère associé.
définir la position de l’origine OS
définir l’orientation de la base ( )SSSS zyxBrrr
,,
Exemple ExemplesVecteur Angles d’Euler
Norme Opérations Système de référence
Solide indéformable
ParamétrageParamétrage
yr
Paramétrage dans le plan coordonnées cartésiennes
( )yxRrr
,,0 est un repère orthonormé direct de ce plan.
La position d’un point M est définie par ses deux projections
Le problème se situe dans le plan( )yxrr
,
)( yxy
xM
rr
orthogonales sur chacun des axes.
4/14
yr
xrO
Mx
y
OM
Exemple ExemplesVecteur Angles d’Euler
Norme Opérations Système de référence
Solide indéformable
ParamétrageParamétrage
=OM
)( yxy
x
rr
=
Vecteur position
yyxxrr +
yr
xirθθθθj
r
La position d’un point M est définie par le rayon r et l’angleθθθθ
Le problème se situe dans le plan( )yxrr
,
OM)(
0ji
rM
rr
)(sin
cos
yxr
rM
rr
θθ
coordonnées polaires
( )yxRrr
,,0 sont deux repères orthonormés directs.( )jiRrr
,,0'et
5/14
Paramétrage dans le plan
xrO
Mx
yθθθθ
=OM
== irOMr
)(0
ji
rrr
)(sin
cos
yxr
r
rr
θθ
=
OM
Exemple ExemplesVecteur Angles d’Euler
Norme Opérations Système de référence
Solide indéformable
ParamétrageParamétrage
Vecteur position
yrxrrr θθ sincos +
Coordonnées cartésiennes (dans l’espace) :
( )zyxRrrr
,,,0 est un repère orthonormé direct.
La position d’un point M est définie par ses trois projectionsorthogonales sur chacun des axes.
Bz
y
x
M
zr
y
6/14
Bz
=
=
Bz
y
x
OM zzyyxxrrr ++
yr
xr
OMz
x
OM
Exemple ExemplesVecteur Angles d’Euler
Norme Opérations Système de référence
Solide indéformable
ParamétrageParamétrage
Vecteur position
kzrr =
Coordonnées cylindriques :
( )zyxRrrr
,,,0 est un repère orthonormé direct.
La position d’un point M est définie par le rayon rl’angle θθθθ et la hauteur z
=+= kzirOMrr
)(
0
kjiz
r
rrr
)(
0
kjiz
r
Mrrr
Vecteur position
7/14
yr
xr
O
M
zθθθθ
ir
jr
rθθθθ
=OM
)( kjiz rrr
)(
sin
cos
zyxz
r
r
rrr
θθ
=
OM
Exemple ExemplesVecteur Angles d’Euler
Norme Opérations Système de référence
Solide indéformable
ParamétrageParamétrage
zzyrxrrrr ++ θθ sincos
Coordonnées sphériques (dans l’espace):
Dans la base ( )wvuBrrr
,,
La position d’un point M est définie parle rayon ρρρρ l’angle θθθθ et l’angle ϕϕϕϕ
kzrr =
wr
( )zyxRrrr
,,,0 est un repère orthonormé direct.
Vecteur position
8/14
=OM
)(0
0
wvurrr
ρ
yr
xr
O M
zθθθθ
ir
jr
ρρρρϕϕϕϕ
ur
OM
Exemple ExemplesVecteur Angles d’Euler
Norme Opérations Système de référence
Solide indéformable
ParamétrageParamétrage
=urρ
Dans la base ( )kjiBrrr
,,kzrr =
wr
La position d’un point M est définie parle rayon ρρρρ l’angle θθθθ et l’angle ϕϕϕϕ
( )zyxRrrr
,,,0 est un repère orthonormé direct.
Coordonnées sphériques (dans l’espace):9/14
kiOMrr
ϕρϕρ sincos +=
)(sin
0
cos
kjirrr
ϕρ
ϕρ=
Exemple ExemplesVecteur Angles d’Euler
Norme Opérations Système de référence
Solide indéformable
ParamétrageParamétrage
yr
xr
O M
zθθθθ
ir
jr
ρρρρϕϕϕϕ
ur
OM
kzrr =
yr
xr
O M
zθθθθ
ir
jr
ρρρρϕϕϕϕ
ur
wr
Dans la base ( )zyxBrrr
,,
10/14
=OM
)(sin
sincos
coscos
zyxrrr
ϕρθϕρθϕρ
=
Dans la base ( )zyxB ,,
Exemple ExemplesVecteur Angles d’Euler
Norme Opérations Système de référence
Solide indéformable
ParamétrageParamétrage
zyxrrr ϕρθϕρθϕρ sinsincoscoscos ++
Toutes les bases sont orthonormées
7) Angles d’Euler7) Angles d’Euler( )zyxB
rrr,,
Rotation de ψψψψzr
autour de
Rotation de θθθθir
autour de
( )kjiBrrr
,, kzrr =
précession
nutation
et directes.
zr
θθθθ
1zwrr =
ψψψψ1
3ϕϕϕϕ
kr
=
11/14
iautour de
( )wvuBrrr
,, uirr
=
Rotation de ϕϕϕϕwr
autour de
( )111 ,, zyxBrrr
1zwrr =
rotationpropre
Exemple ExemplesVecteur Norme Opérations Système de référence
Solide indéformable
Paramétrage Angles Angles d’Eulerd’Euler
yr
xr
uirr
=ϕϕϕϕ
ψψψψ
1xr
θθθθ2
kzrr =
yr
xr
θθθθ
ϕϕϕϕψψψψ
1zwrr =
xr
ψψψψ
2
1
3ϕϕϕϕ
12/14
uirr
=ϕϕϕϕ
1xr
θθθθ2
yr
xr
ψψψψir
ψψψψjr
kzrr =
précession
kr
jr
θθθθvr
θθθθwr
uirr
=
nutation
vr
ur
ϕϕϕϕ1xr
ϕϕϕϕ1yr
1zwrr =
rotationpropre
8) Exemples8) Exemples
Ecrire les vecteurs de la base dans la base( )zyxBrrr
,,( )w,v,u'Brrr
yr
θθθθ
θθθθur
vr
13/14
xr
θθθθ
wzrr =
Ecrire le vecteur dans la base( )zyxBrrr
,,U
)( wvuc
b
a
U
rrr
=
ExempleVecteur Norme Opérations Système de référence
Solide indéformable
Paramétrage Angles d’Euler
ExemplesExemples