Post on 06-Apr-2016
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Graphentheorie
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert?
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Königsberger Brückenproblem
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Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert?
Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein
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Was ist ein Graph?
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Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemeinund begründete damit die Graphentheorie
Ein Graph besteht aus einer Eckenmengeund einerKantenmenge
( , )G E K
Jede Kante verläuft von Ecke zu Ecke.
Ecken=verticesKanten=edges
V
E Mindestens eine Ecke
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Gundbegriffe
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Die Adjazenz-Matrix gibt an,durch wie viele Kanten die Ecken verbunden sind.
Der Grad einer Ecke ist die Anzahl der abgehenden Kanten.
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Eulersche Begriffe
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Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein
In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor.
Ein geschlossener Eulerscher Weg heißtEulerscher Kreis.
Kanten, die zu ihrer Startecke zurückkehren, heißen Schlingen.
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Eulersche Begriffe
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Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein
In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor.
Ein geschlossener Eulerscher Weg heißtEulerscher Kreis.
In welchen Graphengibt es einenEulerschen Kreis?
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Eulers Lösung:
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Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein
Eulerscher Satz:
Einen Eulerschen Kreis gibt es genau dann, wenn alle Ecken einen geraden Grad haben.
Beweis: ???
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Eulers Lösung:
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Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein
Eulerscher Satz:
Einen Eulerschen Kreis gibt es genau dann, wenn alle Ecken einen geraden Grad haben.
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Eulers Lösung:
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Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein
Eulerscher Satz:
Einen Eulerschen Kreis gibt es genau dann, wenn alle Ecken einen geraden Grad haben.
Im Königs-berg-Graphen gibt es keinen Eulerschen Kreis.
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Das Haus des Nikolaus
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In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor.
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Das Haus des Nikolaus
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Eulerscher Satz:
Einen offenen Eulerschen Weg gibt es genau dann, wenn genau zwei Ecken einen ungeraden Grad haben.
In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor.
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Graphen in unserer Welt
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Graphen in unserer Welt
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Mit Graphen schafft man sichein Modell der Wirklichkeit,
das einen bestimmten Zusammenhang deutlich macht und andere Aspekte der Wirklichkeit ausblendet.
Die geometrische Lage und Form spielt bei Graphen eigentlich gar keine Rolle.
Bei Streckenplänen wird allerdings ganz grob die gegenseitige Lage wiedergegeben.
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Graphen in unserer Welt
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Mit Graphen schafft man sichein Modell der Wirklichkeit,
das einen bestimmten Zusammenhang deutlich macht und andere Aspekte der Wirklichkeit ausblendet.
Die geometrische Lage und Form spielt bei Graphen
eigentlich gar keine Rolle.
Bei Streckenplänen wird allerdings ganz grob die gegenseitige Lage wiedergegeben.
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Routenplaner und Graphen
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Die Routenplanerarbeiten mit
bewertetenGraphen
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Routenplaner und Graphen
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Die Routenplanerarbeiten mit bewertetenGraphenDie Bewertung kann Entfernung,Zeit, Kosten ....bedeuten.
Erstmal leichtereProbleme:
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Stadtplanung und Graphen
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die Bewertung Baukostenbedeuten.
Für das Stadt-bauamt kann
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Optimierung und Graphen
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Bewertung BaukostenRadwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist.
Greedy-AlgorithmusProtokoll
greedy=gierig
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Optimierung und Graphen
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Bewertung Baukosten
Eine Kante davon
wählen.
Nicht nehmen,
sonst wirdes ein Kreis. Radwegbelag
möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist.
Greedy-AlgorithmusProtokoll
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Optimierung und Graphen
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Bewertung BaukostenRadwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist.
ProtokollGreedy-Algorithmus
Entstanden ist ein
„minimaler Spannbaum“
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Optimierung und Graphen
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Bewertung Baukosten
Ein Baum ist ein zusammenhängender Graph ohne Kreise.
Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist.
Entstanden ist ein
„minimaler Spannbaum“
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Optimierung und Graphen
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Bewertung BaukostenLeitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten.
Greedy-Algorithmus
Übrigens: gibt es hier einen Eulerschen Weg?
Markiere solange die billigstenKanten, solange kein Kreisentsteht. Mache dann mit einer nächst teureren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht.ProtokollSelber
machen
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Optimierung und Graphen
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Bewertung BaukostenLeitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten.
Greedy-Algorithmus
Eulerschen Weg? Ja, denn genau zwei Ecken haben ungeraden Grad.
Markiere solange die billigstenKanten, solange kein Kreisentsteht. Mache dann mit einer nächst teuren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht.Protokoll
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Optimierung und Graphen
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Bewertung BaukostenLeitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten.
Greedy-Algorithmus
Eulerschen Weg? Ja, denn genau zwei Ecken haben ungeraden Grad.
Markiere solange die billigstenKanten, solange kein Kreisentsteht. Mache dann mit einer nächst teuren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht.Protokoll
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Graphen-Theorie
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ist eins der spannendstenund dynamischsten mathematischen Themen zur Zeit.
Zwei Mathematikergreifen die Idee von „Sofies Welt“ auf…….
http://www-m9.ma.tum.de/Ruth/WebHome
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Kürzeste-Wege-Bäume
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Das ist das Routenplaner-Problem.
Dijkstra-Algorithmus.Wir suchen die kürzesten Wege von A aus zu allen anderen EckenDer „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A.
Niederländischer Mathematiker Edsger Dijkstra, 1960
Sprich ij wie ei
Erstmal so wie Sie es in der Klausur machen sollten!
Es ist schwieriger zu lösen.
An der gefordertenEcke anfangen
Zu den Nachbarecken auf billigste Art mit „Grips“
Weg anmalen, Ecken mit Ihrem Abstandswert beschriftenweiter so
Weg anmalen, Ecken mit Ihrem Abstandwert beschriften27
Kürzeste-Wege-Bäume
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Das ist das Routenplaner-Problem.
Dijkstra-Algorithmus.Wir suchen die kürzesten Wege von A aus zu allen anderen EckenDer „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A.
Niederländischer Mathematiker Edsger Dijkstra, 1960
Sprich ij wie ei
Lassen Sie sich im Folgenden lediglich auf den Grundgedanken ein.
Es ist schwieriger zu lösen.
An der gefordertenEcke anfangen
Zu den Nachbarecken auf billigste Art mit „Grips“weiter so
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Kürzeste-Wege-Bäume
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Das ist das Routenplaner-Problem.
Dijkstra-Algorithmus.Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger.
Fertige Ecken: AUnfertige Ecken: B1A, E9A, D2A,
Unbetretene Ecken: C F G H I
Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A.
Aktive Ecke wird: B1A
Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke.
Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken.
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Kürzeste-Wege-Bäume
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Das ist das Routenplaner-Problem.
Dijkstra-Algorithmus.Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger.
Fertige Ecken: A, B1A, Unfertige Ecken: E9A, E8B, D2A, C7B,
Unbetretene Ecken: F G H I
Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A.
Aktive Ecke wird: D2A
Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke.
Die aktive Ecke ist fertig.
Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken.
Dabei werden ggf. Ecken neu bewertet.
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Kürzeste-Wege-Bäume
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Das ist das Routenplaner-Problem.
Dijkstra-Algorithmus.Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger.
Fertige Ecken: A0, B1A, D2A,Unfertige Ecken: E8B, C7B, E7D, H5D,
Unbetretene Ecken: F G I
Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A.
Aktive Ecke wird: H5D
Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke.
Die aktive Ecke ist fertig.
Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken.
Dabei werden ggf. Ecken neu bewertet.
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Kürzeste-Wege-Bäume
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Das ist das Routenplaner-Problem.
Dijkstra-Algorithmus.Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger.
Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D
Unfertige Ecken: C7B, E7D, E6H, I9H
Unbetretene Ecken: F G
Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A.
Aktive Ecke wird: E6H, Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke.
Die aktive Ecke ist fertig.
Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken.
Dabei werden ggf. Ecken neu bewertet.
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Kürzeste-Wege-Bäume
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Das ist das Routenplaner-Problem.
Dijkstra-Algorithmus.Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger.
Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H
Unfertige Ecken: C7B, I9H, I8E, F11E
Unbetretene Ecken: G
Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A.
Aktive Ecke wird: C7BEine Ecke mit minimalem
Wert wird neue aktive Ecke.
Die aktive Ecke ist fertig.
Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken.
Dabei werden ggf. Ecken neu bewertet.
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Kürzeste-Wege-Bäume
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Das ist das Routenplaner-Problem.
Dijkstra-Algorithmus.Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger.
Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H, C7B
Unfertige Ecken: I8E, F11E, F9C, G13 C,
Unbetretene Ecken:
Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A.
Aktive Ecke wird: I8EEine Ecke mit minimalem
Wert wird neue aktive Ecke.
Die aktive Ecke ist fertig.
Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken.
ggf. Ecken neu bewertet.
Unfertige Ecken: F9C, G13 C, G12I,
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Kürzeste-Wege-Bäume
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Das ist das Routenplaner-Problem.
Dijkstra-Algorithmus.Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger.
Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H, C7B, I8E
Unbetretene Ecken:
Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A.
Aktive Ecke wird: F9C Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke.
Die aktive Ecke ist fertig.
ggf. Ecken neu bewertet.
Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken.
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Kürzeste-Wege-Bäume
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Das ist das Routenplaner-Problem.
Dijkstra-Algorithmus.Mit Wert und Vorgänger für jede Ecke haben wir den gesuchten Baum.
Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H, C7B, I8E, F9C, G10F
Unfertige Ecken: G12I, G10F
Unbetretene Ecken:
Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A.
Aktive Ecke wird: G10F
Die aktive Ecke ist fertig.
Die letzte aktive Ecke ist fertig.
ggf. Ecken neu bewertet.
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Kürzeste-Wege-Bäume
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Das ist das Routenplaner-Problem.
Dijkstra-Algorithmus.
Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H, C7B, I8E, F9C, G10F
Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A.
Das ist nun ein kürzeste-Wege-Baum.
Mit Wert und Vorgänger für jede Ecke haben wir den gesuchten Baum.
http://www-m9.ma.tum.de/Allgemeines/DijkstraApplet
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Kürzeste-Wege-Bäume
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Das ist das Routenplaner-Problem. Es wird gelöst vom Dijkstra-Algorithmus.
http://www-m9.ma.tum.de/Allgemeines/DijkstraApplet
InteraktiveVersion an der TU München
Dies ist Aufgabenblatt 6 bei der TUM
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Logistik
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1.Modellierung des Problems mit Graphen2.Bewertung des Graphen mit
1.Fahrzeiten oder2.Fahrkosten3.Streckenlänge….
Lösung des Kürzeste-Wege-Problems
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Landkarten färben
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Wie viele Farben brauchtman, wenn benachbarte Länder verschieden gefärbt sein sollen?
Modellierung desProblems mit Graphen:
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Landkarten färben mit Graphentheorie
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Wie viele Farben brauchtman, wenn benachbarte Hauptstädteverschieden gefärbt sein sollen?
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Landkarten färben mit Graphentheorie
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Wie viele Farben brauchtman, wenn benachbarte Hauptstädteverschieden gefärbt sein sollen?Vier-Farben-SatzEs reichen immer vier Farben
Erst 1976 mit Computereinsatzbewiesen (Appel, Haken)
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Eckenfärbung von Graphen
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Die Ecken sollen so gefärbt werden, dassbenachbarte Ecken verschiedene Farbenhaben
Achtung: Der 4-Farbensatz gilt nur für Graphen ohne Kantenkreuzungen.
Gibt es einen hierEulerschen Weg?
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Eckenfärbung von Graphen
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Die Ecken sollen so gefärbt werden, dassbenachbarte Ecken verschiedene Farbenhaben
Achtung: Der 4-Farbensatz gilt nur für Graphen ohne Kantenkreuzungen.
Eulerschen Weg?Nein, 3 Ecken mit ungeradem Grad, durften höchstens 2 sein.
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Mobilfunk-Konfliktgraphen
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Überlappende Handybereiche brauchen verschiedene Sendefrequenzen. Eine Eckenfärbung des Konflikt-graphen zeigt, wie man Frequenzen zuordnen kann.
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Mobilfunk-Konfliktgraphen
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Überlappende Handybereiche brauchen verschiedene Sendefrequenzen. Eine Eckenfärbung des Konflikt-graphen zeigt, wie man Frequenzen zuordnen kann.
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Konflikt-Graphen
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Die Verkehrsströme werden Ecken.Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden.
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Konflikt-Graphen
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Die Verkehrsströme werden Ecken.Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden.
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Konflikt-Graphen
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Die Verkehrsströme werden Ecken. Wenn zwei in Konflikt geraten,werden sie durch eine Kante verbunden.Eine zulässige Eckenfärbung des Graphen zeigt: Verkehrsströme mit der gleichen Farbe dürfen gleichzeitig „Grün“ an ihrer Ampel haben.
Adjazenzmatrix dazu
Mehr dazu im Buch Nitzsche: Graphentheorie, tw.moodle Kap 11
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Graphentheorie in Büchern
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Kombinatorische Optimierung erleben: Im Studium und Unterricht Stephan Hußmann (Autor), Brigitte Lutz-Westphal (Autor)
Manfred Nitzsche
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Fuzzy-Logik
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„weiche Logik“
www.mathematik-verstehen.de Bereich Algebra, Logik
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Knotentheorie
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www.mathematik-verstehen.de Bereich Knotentheorie, moodle Kap. 11
Zöpfe
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Fraktale, Chaostheorie
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www.mathematik-verstehen.de Bereich Fraktale
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Fraktale, Chaostheorie
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www.mathematik-verstehen.de Bereich Fraktale
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Fraktale, Chaostheorie
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www.mathematik-verstehen.de Bereich Fraktale, moodle Kap.10