Post on 11-Aug-2015
Tugas Kelompok OPTIMASI
GAME THEORY
Kelompok V
Abadi Gunawan Azis (H 121 10 287)Adi Suwandi (H 121 10 288) Ahmad Jamil (H 121 10 290)Edi Susilo (H 121 10 291) Siswanto (H 121 10 901)Musafirah (H 121 10 902)Andi Ammar Firaz (H 121 10 903)
PROGRAM STUDI STATISTIKAJURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR2012
BAB I
1 | P a g e
PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai kegiatan-kegiatan yang
bersifat kompetitif yang diwarnai persaingan atau konflik. Persaingan atau konflik ini
dapat terjadi antara dua orang (dua pihak) atau sejumlah orang (grup). Contohnya
adalah :
1. persaingan antara dua perusahaan dalam memasarkan produk baru,
2. permainan catur,
3. dua buah partai politik yang bersaing dalam kampanye untuk memperoleh suara
terbanyak.
Tidak setiap keadaan persaingan dapat disebut sebagai permainan (game).
Kriteria atau ciri-ciri dari suatu permainan adalah :
1. terdapat persaingan kepentingan diantara pemain,
2. setiap pemain mempunyai sejumlah pilihan, terbatas atau tidak terbatas, yang
disebut strategi,
3. aturan permainan untuk mengatur pilihan-pilihan itu disebutkan satu-satu dan
diketahui oleh semua pemain,
4. hasil permainan dipengaruhi oleh pilihan-pilihan yang dibuat oleh semua pemain.
(Aidawayati.2011)
Teori permainan merupakan teori dimana dua orang atau lebih yang memiliki
kepentingan berbeda terlibat dalam suatu permainan untuk mencapai tujuan sesuai
dengan yang diinginkan. Teori ini pertama kali dikembangkan oleh Emile Borel pada
tahun 1921, yang dikembangkan lebih lanjut oleh John Von Newmann dan Oscar
Morgenstern. Penerapan teori ini sukses dilakukan dalam bidang militer , dengan
berjalannya waktu penggunaan teori ini semakin luas digunakan khususnya dalam
bidang ekonomi dan sosial.
(Andi Wijaya.2011)
2 | P a g e
Ide dasar dari teori permainan adalah tingkah laku strategi dari pemain atau
pengambil keputusan (player or decision maker). Setiap pemain dianggap
mempunyai suatu seri rencana atau model tingkah laku dari mana dia bisa memilih,
kalau memiliki suatu set strategi. Strategi menunjukkan untuk setiap situasi yang
timbul dalam proses permainan, gerakkan khusus mana yang harus dipilih.
(Johannes Supranto. 1988)
Manfaat teori permainan diantaranya untuk mengembangkan suatu kerangka
untuk analisa pengambilan keputusan dalam situasi persaingan (kerja sama).
Menguraikan metode kualitatif yang sistematik bagi pemain yang terlibat dalam
persaingan untuk memilih strategi yang tradisional dalam pencapaian tujuan.
Memberikan gambaran dan penjelasan fenomena situasi persaingan/konflik seperti
tawar menawar dan perumusan koalisi.
(Andi Wijaya.2011)
3 | P a g e
BAB II
LANDASAN TEORI
Teori permainan (game theory) adalah suatu teori yang di dalamnya terdapat
bentuk persaingan antara dua orang atau pihak atau antara dua kelompok atau grup
yang saling berhadapan dan melaksanakan aturan-aturan yang diketahui oleh kedua
belah pihak yang saling berhadapan. Dalam permainan, pihak pertama disebut dengan
pemain baris sedangkan pihak kedua disebut pemain kolom. Aturan-aturan dalam
permainan antara lain :
1. langkah atau strategi yang dapat dipilih oleh tiap-tiap pemain,
2. pembayaran, yang didefinisikan secara numerik, yang harus dipenuhi oleh setiap
pemain setelah permainan selesai.
(Aidawayati.2011)
A. Permainan menggunakan Strategi Murni
Dalam permainan strategi murni, pemain baris mengidentifikasi strategi
optimalnya melalui kriteria maksimin (maksimum di antara minimum baris), sedang
pemain kolom menggunakan kriteria minimaks (minimum di antara maksimum
kolom). Pada kasus nilai maksimin sama dengan minimaks maka dikatakan titik
ekuilibrium telah dicapai yang biasa disebut sebagai titik sadel (saddle point). Bila
tidak dicapai keadaan seperti itu, maka strategi murni tidak dapat diterapkan dan
digunakan strategi campuran .
(Aminudin. 2005).
B. Permainan menggunakan Strategi Campuran
Dalam suatu permainan, dikenal strategi campuran dimana
strategi ini digunakan jika permainan tidak seimbang atau dengan kata
lain titik equilibriumnya tidak ada. Selanjutnya di strategi campuran
4 | P a g e
akan dicari suatu nilai optimal dari masing-masing pemain yang
terlibat di dalamnya. Untuk mendapatkan nilai optimal tersebut,
biasanya digunakan beberapa cara yaitu:
- Metode penyelesaian dengan grafik
- Metode penyelesaian dengan program linier
(Aidawayati.2011)
Saat permainan tidak memiliki titik pelana, teori permainan menyarankan tiap
pemain untuk menggunakan distribusi probabilitas pada kumpulan strateginya. Untuk
menyatakan hal ini secara matematis, misalkan
x i = probabilitas pemain 1 akan menggunakan strategi i (i=1 , 2 ,…, m)
y j = probabilitas pemain 2 akan menggunakan strategi j ( j=1 ,2 , …, n)
Dengan m dan n merupakan jumlah dari strategi yang tersedia. Oleh karena itu,
pemain 1 akan menetapkan rencananya dalam memainkan permainan ini dengan
menetapkan nilai untuk x1 , x2, …xm . Nilai-nilai ini adalah probabilitas sehingga nilai
ini harus non negatif dan berjumlah 1. Dengan cara yang sama, rencana untuk pemain
2 dinyatakan dengan nilai-nilai yang ia tetapkan untuk variabel keputusan y1 , y2 ,… yn
. Rencana-rencana ini (x1 , x2, …xm ) dan y1 , y2 ,… yn biasanya disebut strategi
campuran.
Ketika permainan benar-benar dimainkan, perlu bagi tiap pemain untuk
menggunakan satu dari strategi murni mereka. Bagaimanapun, strategi murni ini akan
dipilih dengan menggunakan alat pengacak untuk memperoleh nilai acak dari
distribusi probabilitas yang ditetapkan oleh strategi campuran, dengan nilai ini akan
mengindikasikan strategi murni mana yang akan digunakan.
(Gerald Frederick, 2008).
C. Permainan menggunakan Metode Grafik
5 | P a g e
Pemain kolom
Pemain baris
j . . . i . . . = 1- . . .
Metode grafik merupakan salah satu metode yang digunakan untuk mencari
nilai optimum dari setiap pemain yang terlibat di dalamnya. Metoda grafik dapat
digunakan untuk menyelesaikan masalah permainan yang mempunyai matriks pay off
berukuran 2 x n atau m x 2. Penyelesaian dengan menggunakan metode grafik ini
diawali dengan melihat nilai pay off yang diharapkan untuk setiap strategi murni
yang digunakan oleh lawan. Yang mana pada masalah ini nilai pay off yang
diharapkan ditentukan oleh peluang penggunaan setiap strategi. Untuk lebih jelasnya,
akan dijelaskan permainan 2 x n (baris) dan m x 2(kolom)
(Aidawayati.2011)
1) Permainan 2 x n
Bila matriks suatu permainan berukuran 2 x n, maka permainan tersebut dapat
diselesaikan dengan metode grafik didasarkan pada cara penyelesaian berikut :
- Bila X1 = X1* adalah peluang penggunaan strategi I dan X2 = X2
* adalah peluang
penggunaan strategi 2 oleh pemain baris, maka X1 + X2 = 1
- Nilai pay off yang diharapkan bagi pemain baris dapat diketahui untuk setiap
strategi murni yang digunakan oleh pemain kolom dengan didasarkan pada
peluang setiap strateginya tersebut (X1 danX2 ).
- Dilakukan pembuatan grafik hubungan nilai pay off yang diharapkan bagi
pemain baris pada setiap peluang untuk setiap strategi murni pemain kolom.
- Berdasarkan kriteria maksimin dapat ditentukan peluang penggunaan strategi
secara optimal untuk setiap pemain baris dan nilai permainannya.
(Aidawayati.2011)
Perhatikan permainan (2 xn) berikut ini:
Bentuk matriks pembayaran untuk permainan 2 xn
6 | P a g e
Diasumsikan bahwa permainan ini tidak memiliki titik sadel. Maka hasil yang
diperkirakan yang bersesuaian dengan strategi murni dari Pemain Kolom diketahui:
Tabel pembayaran harapan pemain 1
Strategi murni Pemain kolom Pembayaran harapan pemain baris
1
2
.
.
.
N
a11 x1+a21.(1-X1)=(a11-a21)X1+a21
a12 x1+a22..(1-X1)=(a12-a21)X1+a22
.
.
.
a1n X1+a2n-(1-X1)=(a1n-a2n)X1+a2n
2) Permainan m x 2
Bila matriks suatu permainan berukuran m x 2, maka permainan tersebut dapat
diselesaikan dengan metode grafik didasarkan pada cara penyelesaian berikut :
- Bila Y1 = Y1*adalah peluang penggunaan strategi 1 dan Y2 = Y2* adalah
penggunaan strategi 2 oleh pemain kolom, maka Y1 + Y2 = 1
- Nilai pay off yang diharapkan bagi pemain kolom dapat diketahui untuk setiap
strategi murni yang digunakan oleh pemain baris dengan didasarkan pada
peluang penggunaan setiap strateginya tersebut( Y1 dan Y2 ).
- Dilakukan pembuatan grafik hubungan nilai pay off yang diharapkan bagi
pemain kolom pada setiap peluang untuk setiap strategi murni pemain baris.
- Berdasarkan kriteria minimaks dapat ditentukan peluang penggunaan setiap
strategi yang optimum untuk pemain kolom dan nilai permainannya.
(Aidawayati.2011)
7 | P a g e
Perhatikan permainan (mx 2) berikut ini:
Bentuk matriks pembayaran untuk mx 2
Pemain kolom
y1 y2=1− y1
Pemain x1
baris x2
.
.
xm
J 1 2
i
1 a11 a12
2 a21 a22
.
.
m am1 am2
Dan adapun Pembayaran harapan yang berkaitan dengan strategi murni Pemain Baris
adalah sebagai berikut:
Tabel pembayaran harapan Pemain 2
Strategi murni pemain baris Pembayaran harapan pemain kolom
1
2
.
.
.
M
¿¿ - a12)y1+ a12
(a21 - a22)y1+a22
.
.
.
8 | P a g e
(am1 - am2)y1+am2
Tabel di atas menunjukkan bahwa pembayaran harapan (rata-rata
pembayaran) bagi pemain P2 bervariasi secara linear dengan y1. Berdasarkan kriteria
minimax untuk pemain P2 harus memilih nilai y1 yang akan meminimumkan
pembayaran harapan (rata-rata pembayaran) maksimumnya (prinsip minimax). Hal
ini dapat dilakukan dengan cara menggambarkan garis-garis lurus di atas sebagai
fungsi dari y1. Sumbu vertikal menunjukkan pembayaran harapan (rata-rata
pembayaran) dan sumbu horizontal menunjukkan variasi dari y1 (0 ≤ y1 ≤ 1). Dalam
grafik ini dicari titik minimaxnya.
Penyelesaian dengan metode grafik dapat terjadi jika dan hanya jika salah
satu pemain yang terlibat dalam permainan tersebut mempunyai 2 strategi. Adapun
matriks pay off untuk dua pemain sebagai berikut :
Pemain II
Y1 Y2 … Yn
X1=X1*
a11 a12 … a1n
Pemain I X2
* = 1 – X1* a21 a22 … a2n
Keterangan :X1 = X1
* = probabilitas pemain 1 memainkan strategi kesatu
X2 = X2* = probabilitas pemain 1 memainkan strategi kedua
Yn = probabilitas pemain 2 memainkan strategi ke-n
Diasumsikan bahwa grafik ini tidak memiliki titik equilibrium. Karena
pemain I memiliki dua strategi dan pemain I merupakan pemain baris, maka peluang
terlaksananya setiap strategi adalah X1+ X2 = 1 sehingga dapat dituliskan sebagai
berikut X2 = 1- X1 , X1 ≥ 0, X2 ≥ 0. Maka langkah-langkah penyelesaiannya adalah
1. Menghitung nilai X1 dan X2 pada pemain I dengan menganggap pemain II
menggunakan strategi murni. Maka tabel pembayaran harapan bagi pemain I
adalah sebagai berikut :
9 | P a g e
Tabel pembayaran harapan untuk pemain I
Strategi MurniPemain 2
Pembayaran Harapan Pemain I
12׃
N
a11.x1+a21.(1-x1)=(a11-a21) X1+a21
a12.x1+a22.(1-x1)=(a12-a22) X1+a22
׃a1n.x1+a2n.(1-x1)=(a1n-a2n ) X1+a2n
Tabel di atas menunjukkan bahwa pembayaran harapan (rata-rata
pembayaran) bagi pemain P1 bervariasi secara linear dengan X1. Berdasarkan
kriteria minimax untuk pemain P1 harus memilih nilai X1 yang akan
memaksimalkan pembayaran harapan (rata-rata pembayaran) minimumnya
(prinsip maximin). Hal ini dapat dilakukan dengan cara menggambarkan
garis-garis lurus di atas sebagai fungsi dari X1 dalam suatu grafik yang mana
sumbu vertikal menunjukkan pembayaran harapan (rata-rata pembayaran) dan
sumbu horizontal menunjukkan nilai dari x1 (0 ≤ X1 ≤1).
2. Selanjutnya akan dicari nilai optimum pada pemain I (X1 dan X2) serta nilai
permainannya (v*). Nilai optimal maupun nilai permainan itu sendiri
diperoleh dengan mencari titik perpotongan dari dua garis yang
berlainan tanda dan paling mendekati sumbu horizontal dan titik inilah
yang disebut dengan titik maksimin. Dalam hal ini, harus memilih nilai X1
yang akan memaksimalkan pembayaran harapan minimum pada pemain I.
Setelah nilai optimal X1 diperoleh, maka nilai permainan dapat juga diketahui
dengan cara mensubstitusi nilai X1 ke dalam salah satu garis yang
berpotongan dan melalui titik maksimin.
3. Karena nilai optimal dari pemain I sudah diketahui maka untuk mencari nilai
optimal pemain II, digunakan titik perpotongan sebelumnya. Titik ini
menunjukkan banyaknya strategi pemain II yang dapat digunakan.
Maksudnya adalah dengan menggunakan rumus
10 | P a g e
v ¿=∑i=1
m
∑j = 1
n
aij X i¿ Y j
¿
sehingga nilai dari Y1, Y2,…, Yn dapat ditentukan. Dengan bantuan
rumus ini, maka akan terbentuk matriks pembayaran pemain II
yang baru, yang mana pemain I akan melakukan strategi murni
dan dalam pencarian nilai optimum pemain II, harus memilih
nilai Y1 (yang berpotongan pada dua buah garis) yang dapat
meminimumkan pembayaran harapan yang maksimum.
4. Setelah mendapatkan tabel pembayaran harapan yang baru
untuk pemain II atau pemain kolom maka dapat dibuatkan grafik
untuk mencari nilai optimalnya. Yang pada grafik, sumbu
horizontalnya menunjukkan nilai peluang Y dan sumbu
vertikalnya menunjukkan nilai pembayaran (pay off).
Perpotongan garis yang berlainan tanda dan paling
menjauhi sumbu horizontal dinamakan titik minimaks.
Dan titik inilah yang diperlukan dalam mencari nilai optimum
untuk pemain kolom.
(Aidawayati.2011)
11 | P a g e
BAB III
PEMBAHASAN
Soal 1 Strategi Campuran
Consider the game having the following payoff table.
B (S1) (S2) (S3)
A
(S1) 5 0 3 (S2) 2 4 2 (S3) 3 2 4
finding optimal mixed strategies ?
(Sumber : Frederick S. Hillier dan Gerald J. Lieberman.Introduction to Operations
Research Seventh Edition.2005.Number 14.5-2 page 747)
Penyelesaian :
Langkah 1
Mula-mula akan dicoba dulu dengan menggunakan strategi murni. Bagi pemain baris
akan menggunakan aturan maximin dan pemain kolom akan menggunakan aturan
minimax. Untuk pemain baris (A) , pilih nilai yang paling kecil untuk setiap baris
(Baris satu nilai terkecilnya 0 , untuk baris kedua nilai terkecilnya 2 dan baris tiga
12 | P a g e
nilai terkecilnya 2). Selanjutnya dari dua nilai terkecil tersebut, pilih nilai yang paling
besar, yakni nilai 2.
BMaksimin
(S1) (S2) (S3)
A
(S1) 5 0 3 0 (S2) 2 4 2 2 (S3) 3 2 4 2
Langkah 2
Untuk pemain kolom (B), pilih nilai yang paling besar untuk setiap kolom (kolom
satu nilai terbesarnya 5, kolom dua nilai terbesarnya 4, dan kolom tiga nilai
terbesarnya 4). Selanjutnya dari tiga nilai terbesar tersebut, pilih nilai yang paling
kecil bagi B, yakni nilai 4.
BMaksimin
(S1) (S2) (S3)
A
(S1) 5 0 1 0 (S2) 2 4 2 2 (S3) 3 2 4 2
Minimax 5 4 4
Langkah 3
Dari tabel di atas terlihat bahwa pemain baris-A dan pemain kolom-B tidak sama,
dimana pemain A maksiminnya adalah 2 dan pemain B minimaksnya adalah 4,
dengan demikian maka permainan ini dapat dikatakan belum optimal karena belum
ditemukan nilai permainan (titik keseimbangan) yang sama. Oleh karena itu perlu
dilanjutkan dengan menggunakan strategi campuran, yang langkahnya adalah sebagai
berikut :
Langkah 4
13 | P a g e
Masing-masing pemain akan menghilangkan strategi yang menghasilkan keuntungan
atau kerugian paling buruk. Bila diperhatikan pada tabel sebelumnya, untuk pemain
A, strategi S1 adalah paling buruk, karena bisa menimbulkan kemungkinan kerugian
bagi A. Dan bagi pemain B, strategi S1 adalah paling buruk karena kerugiannya yang
bisa terjadi paling besar (perhatikan nilai-nilai kerugian di strategi S1
pemain/perusahaan B).
Langkah 5
Setelah pemain A membuang strategi S1 dan pemain B membuang stretgi S1,
diperoleh tabel sebagiai berikut :
B (S2) (S3)
A
(S2) 4 2 (S3) 2 4
Setelah mendapatkan pay off yang baru, tentukan minimaks dan maksimin jika telah
mendapatkan titik keseimbangan maka nilai sudah optimal, karena pay off yang baru
maksiminnya 2 dan minimaksnya 4 maka belum optimal sehingga dilanjutkan untuk
mengoptimalkan nilai pembayaran tersebut.
Perhatikan bahwa setelah masing-masing membuang strategi yang paling buruk,
maka sekarang persaingan atau permainan dilakukan dengan kondisi, perusahaan A
menggunakan strategi S2 dan S3, sementara perusahaan B menggunakan strategi S2
dan S3.
Langkah 6
14 | P a g e
Langkah selanjutnya adalah dengan memberikan nilai probabilitas terhadap
kemugkinan digunakannya kedua strategi bagi masing-masing perusahaan. Untuk
perusahaan A, bila kemungkinan keberhasilan penggunaan strategi S2 adalah sebesar
p, maka kemungkinan keberhasilan digunakannya strategi S3 adalah (1-p). Begitu
pula dengan pemain B, bila kemungkinan keberhasilan penggunaan strategi S2 adalah
sebesar q, maka kemungkinan keberhasilan digunakannya strategi S3 adalah (1-q).
B(S2)(q)
(S3)(1-q)
A
(S2)(p)
4 2
(S3)(1-p)
2 4
Langkah 7
Selanjutnya mencari nilai besaran probabilitas setiap strategi yang akan digunakan
dengan menggunakan nilai-nilai yang ada serta nilai probalitas masing-masing
strategi untuk menghitung titik keseimbangan yang optimal, dengan cara sebagai
berikut :
Untuk perusahaan A
Bila, apapun strategi yang digunakan A, perusahaan B meresponnya dengan strategi
S2, maka :
4p + 2(1-p) = 4p + 2 – 2p = 2 + 2p
Bila, apapun strategi yang digunakan A, perusahaan B meresponnya dengan strategi
S3, maka :
2p + 4(1-p) = 2p + 4 – 4p = 4 - 2p
15 | P a g e
Bila kedua hasil persamaan tersebut digabung, maka :
2 + 2p = 4 - 2p
-2=-4p
P = 2/4 = 0,5
Dan apabila nilai p = 0,5, maka nilai (1-p) adalah (1 – 0,5) = 0,5, sehingga kedua nilai
probabilitas untuk strategi S2 dan S3 milik perusahaan A sudah diketahui nilainya.
Apabila kedua nilai probabilitas tersebut dimasukkan dalam kedua persamaan di atas,
maka keuntungan yang diharapkan oleh perusahaan A adalah :
Dengan persamaan ke-1 Dengan persamaan ke-2
= 4p + 2(1-p) = 2p + 4(1-p)
= 4 (0,5) + 2 (0,5) = 2 (0,5) + 4 (0,5)
= 3 = 3
Perhatikan, bahwa keduanya menghasilkan keuntungan yang diharapkan adalah
sama, yakni sebesar 3. Coba diingat di atas, bahwa sebelum menggunakan strategi
campuran ini keuntungan perusahaan A hanya sebesar 2, berarti dengan digunakan
strategi campuran ini, keuntungan perusahaan A bisa meningkat 1 menjadi 3.
Untuk perusahaan B
Bila, apapun strategi yang digunakan B, perusahaan A meresponnya dengan strategi
S2, maka :
4q + 2(1-q) = 4q + 2 – 2q = 2 – 2q
Bila, apapun strategi yang digunakan B, perusahaan A meresponnya dengan strategi
S3, maka :
2q + 4(1-q) = 2q + 4 – 4q = 4 - 2q
2 – 2q = 4 - 2q
-2 = -4q
q = 2/4 = 0,5
16 | P a g e
Dan apabila nilai q = 0,5, maka nilai (1-q) adalah (1 – 0,5) = 0,5, sehingga kedua nilai
probabilitas untuk strategi S2 dan S3 milik perusahaan B sudah diketahui nilainya.
Apabila kedua nilai probabilitas tersebut dimasukkan dalam kedua persamaan di atas,
maka kerugian minimal yang diharapkan oleh perusahaan B adalah :
Dengan persamaan ke-1 Dengan persamaan ke-2
= 4q + 2(1-q) = 2q + 4(1-q)
= 4 (0,5) + 2 (0,5) = 2 (0,5) + 4 (0,5)
= 3 = 3
Perhatikan, bahwa keduanya menghasilkan kerugian minimal yang diharapkan adalah
sama, yakni sebesar 3. Coba diingat di atas, bahwa sebelum menggunakan strategi
campuran ini kerugian minimal perusahaan B adalah sebesar 4, berarti dengan
digunakan strategi campuran ini, kerugian minimal perusahaan B bisa menurun
sebesar 1 menjadi 3.
Kesimpulan :
Kerena penggunaan strategi murni belum mampu menemukan nilai permainan (titik
keseimbangan) yang sama, maka penyelesaian masalah permainan/persaingan di atas
dilanjutkan dengan digunakannya strategi campuran. Penggunaan strategi campuran
ini terbukti disamping mampu menemukan nilai permainan (titik keseimbangan) yang
sama, strategi campuran ini juga mampu memberikan hasil yang lebih baik bagi
masing-masing perusahaan. Perusahaan A keuntungan yang diharapkan naik menjadi
3 dan kerugian minimal yang diterima perusahaan B juga dapat turun hanya sebesar
3. Sudah optimal.
Soal 2 Metode Grafik 2 xn
For each of the following payoff tables, use the graphical procedure
B1 B2 B3
A1 4 3 1
17 | P a g e
A2 0 1 2
(Sumber : Frederick S. Hillier dan Gerald J. Lieberman.Introduction to Operations
Research Seventh Edition.2005.Number 14.4-3 page 746)
Penyelesaian :
Dengan menggunakan strategi murni, dilakukan aturan maximin bagi pemain A
(pemain baris) dan aturan minimax bagi pemain B (pemain kolom)
Langkah 1
Untuk pemain baris (pemain A), pilih nilai yang paling kecil untuk setiap baris
(baris pertama nilai terkecilnya 1 dan baris kedua nilai terkecilnya 0). Selanjutnya
dari dua nilai terkecil tersebut, pilih nilai yang paling baik atau besar, yakni nilai 1
(Maximin).
Langkah 2
Untuk pemain kolom (pemain B), pilih nilai yang paling besar untuk setiap
kolom (kolom pertama nilai terbesarnya 4, kolom kedua nilai terbesarnya 3, dan
kolom ketiga nilai terbesarnya 2). Selanjutnya dari tiga nilai terbesar tersebut, pilih
nilai yang paling kecil, yakni nilai 2 (minimax).
Pem
ain
A
Pemain BMaximinStrategi
1 Strategi 2
Strategi 3
Strategi 1
4 3 1 1
Strategi 2
0 1 2 0
Minimax 4 3 2 Langkah 3
18 | P a g e
Karena nilai Maximin (1) dan Minimax (2) ini tidak sama (tidak optimal), maka
akan diselesaikan dengan menggunakan Metode Grafik sbb:
Metode Grafik :
Grafik ini akan menggunakan strategi baris
StrategiPemain B
Y1 Y2 Y31 2 3
Pem
ain
A
X1 1 4 3 1
X2=1−X1 2 0 1 2
Penyelesaian :
X1 = probabilitas pemain 1 memainkan strategi kesatu
X2 = probabilitas pemain 1 memainkan strategi kedua
Yj = probabilitas pemain 2 memainkan strategi ke-j
maka pembayaran harapan bagi pemain A yang berkaitan dengan strategi murni B
adalah :
19 | P a g e
Strategi Murni Pemain B Pembayaran Harapan Pemain A1
2
3
4 x1+0 (1−x1)=4 x1
3 x1+1 (1−x1 )=2 x1+1
x1+2 (1−x1)=−x1+2
Catatan :
1. 4 x1
2. 2 x1+1
3. −x1+2
Karena yang ditinjau pertama kali adalah pemain baris, maka harus memilih nilai x1
yang akan memaksimalkan pembayaran harapan minimumnya (kriteria maksimin)
yaitu :
v¿=max ( x1 ) {min (4 x1 ,¿2 x1+1 ,−x1+2)}¿
karena hanya garis (1) dan (3) yang melalui titik maximin maka :
v¿=max ( x1 ) {min (4 x1 ,¿−x1+2)}¿
dari sini nilai optimum x1 = titik potong garis (1) dengan garis (3) :
20 | P a g e
4 x1=−x1+2=¿>5 x1=2
x1=x1¿=2
5
x2¿=1−x1
¿=35
Jadi, strategi campuran optimal A X* = [ 25
,35 ]
Nilai permainan yang diperoleh :
v¿=4 x1¿=4.
25=8
5atau v¿=−x1
¿+2=−25
+2=−25
+105
=85
Selanjutnya akan dihitung strategi optimal pemain B . Nilai yang optimal bagi pemain
pembayaran B dapat diperoleh dari nilai pembayaran harapan permainan, yaitu; :
v ¿=∑i=1
m
∑j = 1
n
aij X 2¿ Y j
¿
v ¿= y1¿ {(a11 −a21 ) X2
¿ + a21 } + y2¿ {(a12 −a22 ) X2
¿ + a22 } +⋯+ yn¿ {(a1 n − a2 n) X2
¿+ a2n }Sehingga :
y1¿ (4 x1
¿ )+ y2¿ (2 x1+1 )+ y3
¿ (−x1+2 )=85
85
y1
¿
+ 95
y2¿+ 8
5y
3
¿
=85
85
y1
¿
+0+ 85
y3
¿
=85
85
y1
¿
+ 85
y3
¿
=85
¿¿ = 0 karena tidak melalui titik maximin )
Solusi untuk pemain A adalah perpotongan garis (1) dan (3). Dengan
menggunakan titik perpotongan tersebut, dapat dibentuk matriks pembayaran II yang
baru.
21 | P a g e
Strategi Pemain B
Y 1 Y 3=1−Y 1
1 3
Pemain A1 4 1
2 0 2
Setelah mendapatkan pay off yang baru, tentukan minimaks dan maksimin telah
didapatkan titik keseimbangan maka nilai sudah optimal, karena pay off yang baru
maksiminnya 1 dan minimaksnya 2 maka belum optimal sehingga dilanjutkan untuk
mengoptimalkan nilai pembayaran tersebut.
Tabel pembayaran harapan untuk pemain B yang bersesuaian dengan strategi
murni pemain A adalah :
Strategi Murni Pemain A Pembayaran Harapan Pemain B1
2
4 y1+1 (1− y1 )=3 y1+1
0 y1+2 (1− y1 )=−2 y1+2
22 | P a g e
Keterangan :
1. 3 y1+1
2. −2 y1+2
Karena B menginginkan untuk meminimumkan kekalahan yang maksimum maka
pemain B harus memilih nilai yang maksimum, yaitu:
v¿=min ( y1 ) {max (3 y1+1 ,−¿2 y1+2)}¿
karena kedua garis (1) dan (2) melalui titik minimax maka nilai optimum titik potong
kedua garis tersebut, diperoleh
3 y1+1=−¿2 y1+2¿
5 y1=1
y1=15
y1= y1¿=1
5
y3¿=1− y1
¿=45
Nilai permainan yang diperoleh :
23 | P a g e
v ¿=∑i=1
m
∑j = 1
n
aij X i¿ Y 2
¿
v ¿= X1¿ {(a11 −a12)Y 2
¿ + a12 } + X2¿ {(a21 −a22 )Y 2
¿ + a22 } +⋯+ Xn¿ {(a1n − a2n ) Y 2
¿+ a2n }
v¿=3 y1¿+1=3.
15+1=8
5
atau v¿=−2 y1¿+2=−2.
15+2=−2
5+10
5=8
5
jadi strategi optimal B y* = [15
, 0,45
], dan nilai permainan v* = 85
Soal 3 Metode Grafik m x2
Solve the following by graphical method
B1 B2
A1 1 2
A2 5 4
A3 -7 9
A4 -4 -3
A5 2 1
(Sumber : N.V.R. Naidu, K.M. Babu, G. Rajendra.Operations Research
Question.2007.I K International. Page 153. Number 19)
Penyelesaian :
Dengan menggunakan strategi murni, dilakukan aturan maximin bagi pemain A
(pemain baris) dan aturan minimax bagi pemain B (pemain kolom)
Langkah 1 :
24 | P a g e
Untuk pemain baris (pemain A), pilih nilai yang paling kecil untuk setiap baris
(baris pertama nilai terkecilnya 1, baris kedua nilai terkecilnya 4, baris ketiga nilai
terkecilnya -7, baris keempat nilai terkecilnya -4 dan baris kelima nilai terkecilnya 1).
Selanjutnya dari dua nilai terkecil tersebut, pilih nilai yang paling baik atau besar,
yakni nilai 4 (Maximin).
Langkah 2 :
Untuk pemain kolom (pemain B), pilih nilai yang paling besar untuk setiap
kolom (kolom pertama nilai terbesarnya 5, dan kolom kedua nilai terbesarnya 9).
Selanjutnya dari tiga nilai terbesar tersebut, pilih nilai yang paling kecil, yakni nilai 5
(minimax).
Pem
ain
A
Pemain BStrategi 1
Strategi 2
Maximin
Strategi 1
1 2 1
Strategi 2
5 4 4
Strategi 3
-7 9 -7
Strategi 4
-4 -3 -4
Strategi 5
2 1 1
Minimax 5 9
25 | P a g e
Langkah 3:
Karena nilai Maximin (4) dan Minimax (5) ini tidak sama (tidak optimal), maka
akan diselesaikan dengan menggunakan Metode Grafik sbb:
Metode Grafik :
Membuat matriks pay off permainan seperti di bawah ini :
Pem
ain
A
Pemain B
Strategi 1 Strategi 2
Strategi 1 1 2
Strategi 2 5 4
Strategi 3 -7 9
Strategi 4 -4 -3
Strategi 5 2 1
Untuk pemain B
Mendahulukan pemain B karena pemain B yang juga merupakan pemain kolom
mempunyai tipe permainan m x 2. Untuk mencari stategi campuran optimum untuk
pemain B maka ada beberapa langkah yang harus dilakukan yaitu :
Langkah 4 :
Membuat tabel pembayaran harapan pada pemain B dengan memisalkan peluang
terlaksananya strategi 1 pada pemain B = Y1 dan peluang terlaksananya strategi 2 =
Y2 = 1-Y1. Adapun tabelnya sebagai berikut :
Tabel pembayaran (pay off)
26 | P a g e
Pem
ain
A
Pemain B
Y 1 Y 2=1-Y1
X1 1 2
X 2 5 4
X3 -7 9
X4 -4 -3
X5 2 1
Langkah 5 :
Selanjutnya pada langkah ini, akan ditentukan nilai pembayaran yang diharapkan
(expected pay off) pada pemain kolom (pemain B) dengan menganggap pemain baris
(pemain A) menggunakan strategi murni. Hal ini dapat ditunjukkan dalam tabel
seperti di bawah ini :
Strategi Murni A Pembayaran harapan B
1 Y1+2(1-Y1) = 2-Y1
2 5Y1+4(1-Y1) = 4+Y1
3 -7Y1+9(1-Y1) = 9-16Y1
4 -4Y1+(-3)(1-Y1) = -3-Y1
5 2Y1+1(1-Y1) = 1+Y1
Langkah 6 :
Setelah diketahui persamaan pembayaran harapannya (expected pay off), maka
selanjutnya akan digambarkan lima garis lurus fungsi dari Y1 ke dalam grafik, yang
mana grafik itu sendiri merupakan hubungan peluang dengan nilai pay offnya. Sumbu
horizontal menunjukkan nilai peluang penggunaan strategi (Y1) dan sumbu verikal
menunjukkan nilai pay offnya/ average pay off. Adapun nilai-nilai Y1 dari setiap
strategi adalah :
Strategi 1 : 2− y1
27 | P a g e
Strategi 2 : 4+ y1
Strategi 3 : 9−16 y1
Strategi 4 : −3− y1
Strategi 5 : 1+ y1
Maka kelima garis lurus fungsi dari Y1 tersebut dapat digambarkan pada grafik
sebagai berikut :
Keterangan :
1. 2− y1
2. 4+ y1
3. 9−16 y1
4. −3− y1
5. 1+ y1
Menurut kriteria minimaks Pemain B, mengharuskan pemain B memilih strategi
campuran yang meminimumkan nilai pembayaran harapan maksimumnya.
v¿=min ( y1 ) {max (2− y1 ,¿4+ y1 , 9−16 y1 ,−3− y1 , 1+ y1)}¿
karena hanya garis 3 dan garis 5 yang melalui titik maksimin yang ditunjukkan oleh
titik pada perpotongan garis yang paling mendekati sumbu horizontal maka :
28 | P a g e
v¿=min ( y1 ) {max (9−16 y1 ,¿1+ y1)}¿
dari sini nilai optimum Y1 adalah titik potong garis 2 dan garis 3 :
9−16 y1=¿1+ y1¿
9−1=16 y1+ y1
8=17 y1
y1=8
17
y1= y1¿= 8
17
y2=1− y1¿=1− 8
17=17
17− 8
17= 9
17
Jadi strategi campuran optimum untuk pemain B, Y*= [8
17,
917
]
Nilai permainan yang diperoleh :
v¿=9−16 y1¿=9−16.
817
=9−12817
=15317
−12817
=2517
Atau
v¿=1+ y1¿=1+ 8
17=17
17+ 8
17=25
17
Langkah 7 :
Selanjutnya akan dihitung strategi optimum pemain A. Nilai yang optimum bagi
pemain A dapat diperoleh dari nilai pembayaran harapan permainan, yaitu
v ¿=∑i=1
m
∑j = 1
n
aij Y 2¿ X i
¿
v ¿= X1¿ {(a11 −a21)Y 2
¿ + a21 } + X2¿ { (a12 −a22 )Y 2
¿ + a22 } +⋯+ Xn¿ {(a1n − a2n ) Y 2
¿+ a2 n}sehingga
29 | P a g e
v ¿= X1¿ {(2−Y 1
¿) } + X2¿ {(4+Y 1
¿ )} +X3¿ {(9−16 Y 1
¿ )}+ X4¿ {(−3−Y 1
¿) }+X 5¿ {(1+Y 1
¿) }2517
= 2617
X1¿ + 32
17X2
¿ +2517
X 3¿−32
17X 4
¿+2517
X5¿
2517
=0+ 0+ 2517
X3
¿ −0+2517
X5
¿
2517
= 2517
X3¿ +25
17X5
¿
¿, karena tidak melalui titik maksimin)
Jadi strategi kesatu,kedua dan keempat pemain A tidak dimainkan, sehingga
matriks pembayaran menjadi :
Tabel pembayaran (pay off) :
Pem
ain
A
Pemain B
Y1 Y2 = 1- Y2
X3 = X3* -7 9
X5= X5* = 1- X3 2 1
Setelah mendapatkan pay off yang baru, tentukan minimaks dan maksimin jika telah
mendapatkan titik keseimbangan maka nilai sudah optimal, karena pay off yang baru
maksiminnya 1 dan minimaksnya 2 maka belum optimal sehingga dilanjutkan untuk
mengoptimalkan nilai pembayaran tersebut.
Maka pembayaran harapan bagi pemain A yang berkaitan dengan strategi murni
pemain B adalah :
Strategi Murni B Pembayaran harapan A
1 -7X3 + 2(1-X3) = 2-9X3
2 9X3 +1(1-X3) = 1 +8X3
30 | P a g e
Kedua garis lurus fungsi dari X3 tersebut dapat digambarkan pada grafik :
Keterangan :
1. 2-9X3
2. 1 +8X3
Karena pemain A menginginkan untuk memaksimumkan keuntungan yang minimum
maka pemain A harus memilih nilai X3 sesuai dengan kriteria minimaks yaitu :
v¿=max ( x3 ) {min (2−9 X3 ,¿1+8 x3)}¿
karena kedua garis 1 dan 2 melalui titik maksimin maka nilai optimum X3* adalah
titik potong kedua garis tersebut, diperoleh :
2−9 x3=¿1+8 x3 ¿
2−1=8 x3+9 x3
1=17 x3
x3=1
17
x3=x3¿= 1
17
x5=1−x3¿=1− 1
17=17
17− 1
17=16
17
31 | P a g e
Nilai permainan yang diperoleh :
v ¿=∑i=1
m
∑j = 1
n
aij X 2¿ Y j
¿
v ¿= Y 1¿ {(a11 −a21 ) X2
¿ + a21 } + Y 2¿ {(a12 −a22 ) X2
¿ + a22 } +⋯+ Y n¿ {(a1 n − a2n ) Y 2
¿+ a2n }
v¿=2−9 x3¿=2−9.
117
=2− 917
=3417
− 917
=2517
Atau
v¿=1+8 x3¿=1+8.
117
=1717
+ 817
=2517
Jadi strategi optimal pemain A, X* = [0, 0, 1
17, 0,
1617
] dan nilai permainan v* = 2517
sama dengan nilai permainan pada pemain B.
BAB IV
PENUTUP
Kesimpulan
Teori permainan (game theory) adalah suatu teori yang di dalamnya terdapat
bentuk persaingan antara dua orang atau pihak atau antara dua kelompok atau
grup yang saling berhadapan dan melaksanakan aturan-aturan yang diketahui
oleh kedua belah pihak yang saling berhadapan.
Permainan dengan menggunakan Strategi Murni.Dalam permainan strategi
murni, pemain baris mengidentifikasi strategi optimalnya melalui kriteria
maksimin (maksimum di antara minimum baris), sedang pemain kolom
menggunakan kriteria minimaks (minimum di antara maksimum kolom). Pada
kasus nilai maksimin sama dengan minimaks maka dikatakan titik ekuilibrium
telah dicapai yang biasa disebut sebagai titik sadel (saddle point). Bila tidak
dicapai keadaan seperti itu, maka strategi murni tidak dapat diterapkan dan
digunakan strategi campuran . (Aminudin. 2005).
32 | P a g e
Permainan dengan menggunakan Strategi Campuran.Dalam suatu permainan,
dikenal strategi campuran dimana strategi ini digunakan jika permainan tidak
seimbang atau dengan kata lain titik equilibriumnya tidak ada. Selanjutnya di
strategi campuran akan dicari suatu nilai optimal dari masing-masing pemain
yang terlibat di dalamnya. Untuk mendapatkan nilai optimal tersebut,
biasanya digunakan beberapa cara yaitu:
- Metode penyelesaian dengan grafik
- Metode penyelesaian dengan program linier
(Aidawayati Rangkuti.Modul Optimasi game theory. Makassar.)
Metode grafik merupakan salah satu metode yang digunakan untuk mencari
nilai optimum dari setiap pemain yang terlibat di dalamnya. Metoda grafik
dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah permainan yang mempunyai
matriks pay off berukuran 2 x n atau m x 2. Penyelesaian dengan
menggunakan metode grafik ini diawali dengan melihat nilai pay off yang
diharapkan untuk setiap strategi murni yang digunakan oleh lawan. Yang
mana pada masalah ini nilai pay off yang diharapkan ditentukan oleh peluang
penggunaan setiap strategi. Untuk lebih jelasnya, akan dijelaskan permainan
2 x n (baris) dan m x 2(kolom)
(Aidawayati Rangkuti.Modul Optimasi game theory. Makassar.)
33 | P a g e
DAFTAR PUSTAKA
Aminudin. 2005. Prinsip-prinsip Riset Operasi. Erlangga
Hiller Frederick S. dan Gerald J. Lieberman.Introduction to Operations Research
Seventh Edition.2005.
Johannes Supranto. 1988. Riset Operasi Untuk pengambilan Keputusan.
Universitas Indonesia
N.V.R. Naidu, K.M. Babu, G. Rajendra.Operations Research Question.2007.I K
International
Rangkuti,Aidawayati.Modul Optimasi Game Theory. Makassar.
34 | P a g e
Wijaya, Andi.2011. Pengantar Riset Operasi. Jakarta: Penerbit Mitra Wacana
Media.
35 | P a g e