Post on 06-Apr-2016
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Auspreisen von Restriktionen
Lagrange-Multiplikatoren Kuhn-Tucker-Theorem
Schattenpreise
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Restriktionen
beschränken die Menge der wählbaren Handlungsmöglichkeiten im Entscheidungskalkül
Handlungsmöglichkeiten, die zu inakzeptablen Ergebnissen führen, weil die vorhandenen Mittel nicht ausreichen, um sie durchzuführen durch Vorentscheidungen festgelegte Ziele („Targets“) nicht
erreicht werdenwerden durch Restriktionen ausgeschlossen.
Im Folgenden betrachtet: Restriktionen in Gleichungs- oder Ungleichungsform mit stetig
differenzierbarer Abhängigkeit von den Entscheidungsvariablen keine explizite Berücksichtigung von Unsicherheit
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Darstellung der Handlungsmöglichkeiten als lineare Aktivitäten
Charakterisierung durch Einsatz und Aufkommen von Gütern in Abhängigkeit von Entscheidungsvariablen
Handlungsalternativen als Kombinationen von Aktivitäten Zielbeiträge Einfluss auf Zulässigkeitsbedingungen (Restriktionen)
insbesondere Güterbilanzen
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Optimierung kontinuierlich variabler Aktivitätsniveaus: Lineare Optimierung
Ein Gut des Plans wird als Zielgröße ausgewählt, für die übrigen sind Restriktionen einzuhalten.
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Lineare Optimierung: Formale DarstellungBezeichne
aij den Koeffizienten von Gut i in Aktivität j(i = 0 bezeichne die Zielgröße)
xj das Aktivitätsniveau von Aktivität j
bi die Verfügbarkeitsschranke für Gut i
A := (aij)i = 1,...,m; j = 1,...,n
a0• := (a0j)j = 1,...,n
b := (bi )i = 1,...,m
x 1 x 2 x 3 . . . x n
a 11 a 12 a 13 . . . a 1na 21 a 22 a 23 . . . a 2n
.
.a i1 a i2 a i3 . . . a in
.
.a m1 a m2 a m3 . . . a mn
b 1b 2..
b i..
b m
a 01 a 02 a 03 . . . a 0n Z
x
A b
a 0 z
in der Tabelle:
}0;|{max 0 xbAxxax
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Lineares Optimierungsproblem: Beispiel
Die Tiefkühlkost AG hat je eine Produktionsstätte in den Anbaugebieten SW und NO und Auslieferungslager in S und NW. Einige Daten der Produktionsstätten und Auslieferungslager:
Das Management sucht nach der kostengünstigsten Lösung, den Bedarf zu bedienen.
Produktionsstätten SW NO Ausl.-Lager Bedarf
200 100 NW 5000 t Transportkosten je Monatstonne von Produktionsstätte zu Auslieferungslager 50 150 S 2500 t
Vorhandene Kapazität in Monatstonnen 2000 6000 Kapazitätskosten je zusätzliche Monatstonne 125 25
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Aktivitäten: j = 1: Produktion in SW für NW; j = 2: ... in SW für Sj = 3: Produktion in NO für NW; j = 4: ... in NO für Sj = 5: Einrichtung zusätzlicher Kapazität in SW; j = 6: ... in NO.
Restriktionen: i = 1: Bedarf in NW; i = 2: Bedarf in S; i = 3: Kapazität in SW; i = 4: Kapazität in NO.LP-Formulierung:
min {200x1 + 50x2 +100x3 + 150x4 + 125x5 + 25x6 }u.d.N. x1 + x3 5000
x2 + x4 2500 – x1 – x2 + x5 2000
– x3 – x4 + x6 000
xi, 0 (alle i)
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Bedarf NW: 1 0 1 0 0 0 5000Bedarf S: 0 1 0 1 0 0 2500Kapazität SW: -1 -1 0 0 1 0 -2000Kapazität NO: 0 0 -1 -1 0 1 -6000
k T 200 50 100 150 125 25
ErgebnisbereichGüter:
x T 0 2000 3500 500 0 1000 35002500
Kosten: -2000675000 -3000
min {200 x1 + 50 x2 + 100 x3 + 150 x4 + 125 x5 + 25 x6
u.d.N. x1 + x3 5000 x2 + x4 2500
– x1 – x2 + x5 2000 – x3 – x4 + x6 000
xi, 0 (alle i)
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Knappheitspreise im Sensitivitätsbericht (Excel®)
Veränderbare ZellenLösung Reduzierter
Zelle Name Endwert Gradient$B$13 xT SW für NW 0 200,0005987$C$13 xT Ergebnisbereich 2000 0$D$13 xT NO für NW 5000 0$E$13 xT NO für S 500 0$F$13 xT SW 0 24,99970293$G$13 xT NO 0 25,00019073
NebenbedingungenLösung Lagrange-
Zelle Name Endwert Multiplikator$H$13 xT 5000 100$H$14 2500 150$H$15 Kosten: -2000 100$H$16 -5500 0
!!
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Nichtlineare Optimierung unter Restriktionen
Aufstellen der Zielfunktion F(x1,...,xn) Bewerten der Restriktionsverletzungen fi(x1,...,xn) mit
einem Knappheitspreis i (i = 1,...,m) Einbeziehung der bewerteten Restriktionsverletzungen
als Kosten in die Zielgröße (Lagrange-Funktion)L(x1,...,xn ,1..., m) : = F(x1,...,xn) 1 f1(x1,...,xn) ...
m fm(x1,...,xn) Ein System von Bedingungen für Knappheitspreise
und Entscheidungsvariablen ermöglicht die Bestimmung der optimalen Lösung
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Ökonomische Interpretation
Dem Entscheider bietet ein virtueller Partner einen bestimmten Knappheitspreis i , zu dem er fehlenden Spielraum fi(x1,...,xn) der Restriktion i kaufen und
überschüssigen Spielraum -fi(x1,...,xn) verkaufen kann. Die Lagrangefunktion ist die Zielfunktion des Entscheiders in
dieser Situation Der Knappheitspreis muss so gewählt werden, dass der
Entscheider effektiv weder kaufen noch verkaufen will, d.h. der Preis muss null sein, wenn die Restriktion nicht bindet eine Verbesserung der Zielgröße durch Zukauf von Spielraum
zum Knappheitspreis ausschließen.
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Joseph-Louis Lagrange
*1736 in Turin (Italien)† 1813 in Paris
1766 von Friedrich II. von Preußen als Nachfolger von Leonhard Euler nach Berlin berufen1787 von Louis’ XVI. nach Paris berufen 1797 folgte er einem Ruf an die neu gegründete École Polytechnique in Paris, wo er bis zu seinem Tode blieb.Napoleon I. erhob ihn in den Stand eines Comte (Grafen).
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Ökonomische Interpretation
Der Knappheitspreis muss so gewählt werden, dass er die mit der zusätzlichen Einheit des knappen Faktors erzielbare Verbesserung des Zielfunktionswerts gerade absorbiert.
Dann ist der Entscheider indifferent, ob er die zusätzliche Einheit nachfragt oder nicht.
Der Knappheitspreis kann nicht negativ sein, sonst könnte der Entscheider durch Erhöhen seiner Nachfrage nach dem knappen Faktor den Wert der Lagrangefunktion beliebig erhöhen.
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Optimalitätsbedingungen
Problem: max {F(x1,...,xn)| fi(x1,...,xn) 0 (i = 1,...,m), x1,...,xn 0}
Lagrangefunktion: L(x1,...,xn ,1..., m) : = F(x1,...,xn) 1 f1(x1,...,xn) ...
m fm(x1,...,xn) Optimalitätsbedingungen:
(Karush/Kuhn-Tucker-Bedingungen) ( bezeichnet hier die Ableitung der Funktion L nach der Variablen xj )
Stets gilt: xj 0 und Lxj
0 . Falls xj 0 , muss gelten Lxj
0;
stets gilt: i 0 und Li
0. i 0 kann nur gelten, falls Li
0.
jxL
xLj
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Geometrische Veranschaulichung I
Fall 1: x j 0 , daher muss im Maximum L xj0. gelten.
0 0.50
0.2
0.4
L x j
x j
Für ein inneres Maximumgilt die übliche Optimalitäts-
bedingung: Ableitung der Zielfunktion = 0
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Geometrische Veranschaulichung II
Fall 2: x j 0, daher kann im Maximum L xj0 gelten;
0 0.2 0.40
0.5
L x j
x j
Bei einem Randmaximumkann die Ableitung der Zielfunktion nur negativoder null sein; wäre sie positiv, würde eine Erhöhungvon xj den Zielfunktions-wert erhöhen.
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Vorsicht !
Es gibt Fälle, in denen eine optimale Lösung den genannten Bedingungen nicht genügt und
Fälle, in denen eine Lösung, die den Bedingungen genügt, nicht optimal ist.
Für diese Probleme muss auf mathematische Literatur verwiesen werden, z.B.:
Mangasarian, Olvi L., Nonlinear Programming, New York 1969, (McGraw-Hill), Chapter 7.
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Beispiel: Lagerhaltung bei beschränkter Annahmekapazität
Magdeburg-Frost vertreibt von einem Auslieferungslager Tiefkühl-produkte (j = 1,..., n), die mit Tiefkühl-LKW angeliefert werden. bj Kosten einer LKW-Lieferung qj Menge je LKW-Lieferung hj Lagerkosten pro to und Jahr. fj Lieferhäufigkeit pro Jahr fj qj Jahresabsatzmenge dj Bruttogewinn je Einheit Jahresabsatz Zahl der Lieferungen pro Jahr (für alle Produkte zusammen) darf
nicht größer sein als f. Jahresnachfrage Dj nach Produkt j muß befriedigt werden.
Wie groß sollten• Menge qj je Lieferung• und Lieferhäufigkeit fj
für jedes Produkt j sein ?
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Modellierung
max q1 ,..., qn { j = 1,...,n [dj fj qj – (hj qj)/2 – fj bj] }
u.d.N. fj = Dj/qj (in der Zielgröße substituieren!)
fj f ; (Knappheitspreis: )
qj 0.
LagrangefunktionL( q1 ,..., qn , m) =
j = 1,...,n [ Djdj – (hjqj )/2 – Djbj/qj ]
– (j = 1,...,n Dj /qj – f )
Jahres-absatz
Lagerkostenpro Jahr
Jahres-lieferkosten
j = 1
n
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Erläuterung
Die Zielgröße setzt sich zusammen aus den Erlösen: j = 1,...,n fj qj dj den Kosten der Anlieferung j = 1,...,n fj bj und den Kosten der Lagerung = durchschnittlicher Bestand
Lagerkostensatz = j = 1,...,n (hj qj)/2.Unterstellt: gleichmäßiger Lagerabgang, sofortige Anlieferung von qj , sobald Lager leer.
Dann ist im langfristigen zeitlichen Durchschnitt die halbe Bestellmenge am Lager.
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Lösung des Tiefkühlkost-Beispiels
qi = 0 ist ausgeschlossen, die Nachfrage könnte nicht bedient werden. Also muss gelten:
LL(( qq1 1 ,...,,..., qqnn , , ) ) = = jj [[ DDjjddjj ( (hhjjqqjj )/2 )/2 DDjjbbjj//qqjj ] ] j j DDjj//qqjj f f ))
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Erweiterung
Aufgabe: Man erweitere das vorherige Beispiel für den Fall, dass neben der Annahmebeschränkung auch noch der Lagerraum beschränkt ist. (Man nehme dazu an, dass die Lieferzeitpunkte so gewählt werden können, dass sich die Lagerraum-beschränkung nur auf den durchschnittlichen Lagerbestand auswirkt. Ihr Modell sollte den unterschiedlichen Lagerraumbedarf der Produkte je Werteinheit berücksichtigen.)