Post on 16-Apr-2015
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Objetivos:
Factorizar polinomios mediante las Factorizar polinomios mediante las
técnicas de factorización.técnicas de factorización.
Factor ComúnFactor Común
Diferencia de CuadradosDiferencia de Cuadrados
Diferencia o Adición de CubosDiferencia o Adición de Cubos
TanteoTanteo
Agrupación Agrupación
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Aclaración: La factorización es el
proceso que se utiliza para expresar
un polinomio como una multiplicación.
3392 xxx
4228 23 xxxx
Ejemplo:
Factores del polinomio
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Un factor se dice que es factor común si es un factor de todos los términos de unpolinómio. Esta técnica consiste en encontrar los factores comunes entre todoslos términos del polinomio.
:polinomio cada Factorice
3223 18104 xyyxyx
xy2 yx22 x5 29y
Ejemplos:
Factores Comunes
1.
5
xyx 364
xx 62 3
2423 xxx
x4 1 y9
x2 2x 3
2x 43 x
2.
3.
4.
6
4 2 57 3 5 3 5 3 5 3x x x x
Ejemplo:Ejemplo:
Simplifique mediante factorización:Simplifique mediante factorización:
43 5 3x x 7 3 5 3 5x x
43 5 3x x 7 21 15 25x x
43 5 3x x 22 4x
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Ejemplo:Ejemplo:
Simplifique mediante factorización:Simplifique mediante factorización:
51 4 1
3 4 3 45 1 4 3 5 1 4 3x x x x
1 1
3 45 1 4 3x x 34
4 34 3 5 1x x
1 1
3 45 1 4 3x x 4 3 5 1x x
1 1
3 45 1 4 3x x 4 3 5 1x x
8
1 1
3 45 1 4 3x x 4 3 5 1x x
1 1
3 45 1 4 3x x 2x
1 1
3 45 1 4 3x x 2x
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Una diferencia de cuadrados es un binomio de la forma a 2 – b 2.
La factorización de una diferencia de cuadrados es a 2 – b 2 =(a + b)(a –b).
Esta técnica se aplica a polinomios que cumplan con los siguientes requisitos:
Que el polinomio sea un binomio.La operación es resta.Los términos se pueden escribir comocuadrados.
Diferencias de cuadradosDiferencias de cuadrados
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Ejemplos:Ejemplos:Factorice completamente:Factorice completamente:
21. 36x
22. 16 9y
x x 6 6
y4 y4 3 3
x5 x5 3
1
3
12 13. 25
9x
11
y5
7y
5
7 8 8
4 4 5z 5z
4 5z 4 5z
9z 1 z
9z 1z
2494. 64
25y
25. 16 ( 5)z
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Una diferencia de cubos es un binomio de laUna diferencia de cubos es un binomio de laformaforma aa3 3 – b– b33 ..
La factorización de una diferencia de cubos es;La factorización de una diferencia de cubos es;aa3 3 – b– b33 =(a – b)(a =(a – b)(a22 +ab + b +ab + b22))Una suma de cubos es un binomio de la formaUna suma de cubos es un binomio de la formaaa3 3 + b+ b33 ..
La factorización de una suma de cubos es;La factorización de una suma de cubos es;aa33 + b + b33 =(a + b)(a =(a + b)(a2 2 - ab + b- ab + b22))
Para aplicar esta técnica el polinomio debePara aplicar esta técnica el polinomio debe:Ser un binomio con términos cúbicosSer un binomio con términos cúbicosLa operación puede ser suma o restaLa operación puede ser suma o resta
La suma y la diferencia de cubos
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Ejemplos: Factorice completamenteFactorice completamente
31. 8x x 2 2x x2 4
32. 27y y 32y y3 9
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3 33. 64x y x4 y 216x xy4 2y
74. 4 4x x x4 6x 1
3x 1 3x 1
x 1 2x x 1 x 1 2x x 1
x4
x4
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Para poder aplicar esta técnica el polinomio debe;Para poder aplicar esta técnica el polinomio debe;1.1. Ser un trinomio de forma cuadrática y estar en forma Ser un trinomio de forma cuadrática y estar en forma
descendente o ascendente de acuerdo a los exponentes.descendente o ascendente de acuerdo a los exponentes.2.2. No ser un polinomio primo.No ser un polinomio primo.
La técnica consiste en encontrar factores del La técnica consiste en encontrar factores del primer término y el último término que primer término y el último término que combinados bajo suma o resta produzcan el combinados bajo suma o resta produzcan el término del medio. término del medio. Si el primer y el último término tienen signosSi el primer y el último término tienen signosiguales la combinación de los factores se suma,iguales la combinación de los factores se suma,si son diferentes se resta. si son diferentes se resta.
El método de Tanteo para trinomios cuadráticos
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Ejemplo: Factorice completamenteFactorice completamente
21. 3 2x x
22. 12x x
x x2 1
x x 34
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23. 6 5 1x x
4 2 2 44. 20 7 6x x y y
x3 x2 1 1
25x 24x 23y22y
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Generalmente esta técnica se aplica cuando elGeneralmente esta técnica se aplica cuando el
polinomio tiene cuatro términos o más.polinomio tiene cuatro términos o más.
Se utiliza en combinación con las otras Se utiliza en combinación con las otras
técnicas especialmente con la de factores técnicas especialmente con la de factores
comunes.comunes.
El método de agrupación
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Ejemplo:Factorice completamenteFactorice completamente
3 21. 3 2 12 8x x x
33x 22x 812 x
2x x3 2 4 x3 2
x3 2 2x 4
20
x3 2 2x 4
x3 2 x x 2 2
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2 2 2 22. 12 8 15 10x z y z x w y w
zx212 zy28 wx215 wy210 4 z 23x 22y 5 w 23x 22y
22 23 yx z4 w5
22
3. 6 3 2ax ay bx by
ayax 36 bybx 2
a3 x2 y b x2 y
yx 2 a3 b