คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

ตอนท 58

แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1)

โดย

อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ ปงบประมาณ 2555

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน มจ านวนตอนทงหมดรวม 13 ตอน ซง

ประกอบดวย

1. บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน 2. เนอหาตอนท 1 ความสมพนธ

- แผนภาพรวมเรองความสมพนธและฟงกชน - ผลคณคารทเซยน - ความสมพนธ - การวาดกราฟของความสมพนธ

3. เนอหาตอนท 2 โดเมนและเรนจ - โดเมนและเรนจ - การหาโดเมนและเรนจโดยการแกสมการ - การหาโดเมนและเรนจโดยการวาดกราฟ

4. เนอหาตอนท 3 อนเวอรสของความสมพนธ และบทนยามของฟงกชน - อนเวอรสของความสมพนธ - บทนยามของฟงกชน

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนเบองตน - ฟงกชนจากเซต A ไปเซต B - ฟงกชนทวถง - ฟงกชนหนงตอหนง 6. เนอหาตอนท 5 พชคณตของฟงกชน

- พชคณตของฟงกชน - ตวอยางประเภทของฟงกชนพนฐาน

7. เนอหาตอนท 6 อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส - อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส - กราฟของฟงกชนอนเวอรส

8. เนอหาตอนท 7 ฟงกชนประกอบ - ฟงกชนประกอบ - โดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบ - สมบตของฟงกชนประกอบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2

9. แบบฝกหดตอนท 1 แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) - แบบฝกหดขนพนฐาน - แบบฝกหดขนสง - แบบทดสอบ

10. แบบฝกหดตอนท 2 แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) - แบบฝกหดขนพนฐาน - แบบฝกหดขนสง - แบบทดสอบ

11. แบบฝกหดตอนท 3 แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) - แบบฝกหดขนพนฐาน - แบบฝกหดขนสง - แบบทดสอบ

12. แบบฝกหดตอนท 4 แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) - แบบฝกหดขนพนฐาน - แบบฝกหดขนสง - แบบทดสอบ

13. แบบฝกหดตอนท 5 แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) - แบบฝกหดขนพนฐาน - แบบฝกหดขนสง - แบบทดสอบ

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอน

ส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ความสมพนธและฟงกชน นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆ ทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3

เรอง ความสมพนธและฟงกชน หมวด แบบฝกหด ตอนท 1 (1/5) หวขอยอย 1. แบบฝกหดขนพนฐาน 2. แบบฝกหดขนสง 3. แบบทดสอบ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. แกปญหาเกยวกบการเทากนของคอนดบได 2. นบจ านวนสมาชกของผลคณคารทเซยนของเซตได 3. ตรวจสอบวาคอนดบทก าหนดใหเปนสมาชกของความสมพนธทก าหนดใหหรอไม 4. นบจ านวนสมาชกของความสมพนธทเปนเซตจ ากดได 5. วาดกราฟของความสมพนธพนฐานได 6. หาโดเมนและเรนจของความสมพนธทก าหนดใหได

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

4

1. แบบฝกหดขนพนฐาน

แบบฝกหดขนพนฐาน ใชเพอวดความรความสามารถขนพนฐานของผเรยน ประกอบดวยขอค าถามแบบปรนยแบบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ พรอมเฉลย ครอบคลมตามจดประสงคการเรยนรทก าหนด โดยผจดท าไดออกแบบใหโปรแกรมสามารถสมขอค าถาม เพอสรางเปนแบบฝกหดทมความแตกตางกนไดมากถง 103 แบบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

5

1.1 ก าหนดให (2 1, 4) (11 3 , 5 )x x y ขอใดตอไปนเปนจรง

1. 1x y 2. 9x y

3. 2xy 4. 2x

y

เฉลย 1 จากโจทยจะไดวา 2 1 11 3x x และ 4 5 y ท าใหไดวา 2x และ 1y ดงนน

1, 3, 2x y x y xy และ 2x

y

1.2 ก าหนดให (1 4 , 3 5) (4, 6 )x y y ขอใดตอไปนเปนจรง

1. 2x y 2. 7

2x y

3. 33

4xy 4. 3

11

x

y

เฉลย 1

จากโจทยจะไดวา 1 4 4x และ 3 5 6y y ท าใหไดวา 3

4x และ 11

4y ดงนน

7 332, ,

2 16x y x y xy และ 3

11

x

y

1.3 ก าหนดให ( 2, 3 1) (2 , 3 )x y x y ขอใดตอไปนเปนจรง

1. 1x y 2. 1x y

3. 1xy 4. 1x

y

เฉลย 2 จากโจทยจะไดวา 2 2x x และ 3 1 3y y ท าใหไดวา 2x และ 1y ดงนน

3, 1, 2x y x y xy และ 2x

y

โจทยขอ 1 เนอหาหลก : การเทากนของคอนดบ จดประสงคของโจทยขอ 1 คอตองการทดสอบวา นกเรยนสามารถน าการเทากนของค

อนดบมาแกปญหาทก าหนดใหไดหรอไม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

6

โจทยขอ 2 เนอหาหลก : ผลคณคารทเซยนและจ านวนสมาชกของผลคณคารทเซยน จดประสงคของโจทยขอ 2 คอตองการทดสอบวา นกเรยนเขาใจบทนยามของผลคณคารท

เซยนหรอไม ตลอดจนสามารถค านวณจ านวนสมาชกของผลคณคารทเซยนระหวางเซตจ ากดสองเซตไดหรอไม

2.1 ก าหนดให {1, 2, 3}A และ { , , }B a b c ขอใดตอไปนเปนเทจ

1. ( ) 9n A B 2. {(1, ), (2, )}a b A B

3. A B B A 4. ( ) ( )n A A n B B เฉลย 3 1. เปนจรง เนองจาก ( ) ( ) ( ) 9n A B n A n B 2. เปนจรง เนองจาก 1, 2 A และ ,a b B ดงนน {(1, ), (2, )}a b A B

3. เปนเทจ เนองจาก (1, )a A B แต (1, )a B A 4. เปนจรง เนองจาก ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( )n A A n A n A n B n B n B B

2.2 ก าหนดให {1, 2, 3}A และ { , , }B a b c ขอใดตอไปนเปนเทจ

1. ( ) ( )n A B n B A 2. ( ) ( )A B B A 3. {(1, ), ( , )}a a a A B 4. ( ) ( )n A B n A A

เฉลย 3 1. เปนจรง เนองจาก ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( )n A B n A n B n B n A n B A 2. เปนจรง เนองจาก A B ท าใหไดวา ( ) ( )A B B A 3. เปนเทจ เนองจาก a A ดงนน ( , )a a A B ท าให {(1, ), ( , )}a a a A B

4. เปนจรง เนองจาก ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A n A n A A

2.3 ก าหนดให {1, 2, 3}A และ {2, 3, 4}B ขอใดตอไปนเปนจรง

1. ( ) 5n A B 2. ( ) ( )A B B A 3. [( ) ( )] ( ) ( )n A B B A n A B n B A 4. A B B A เฉลย 3 1. เปนเทจ เนองจาก ( ) ( ) ( ) 9n A B n A n B 2. เปนเทจ เนองจาก 2 A B ดงนน (2,2) ( ) ( )A B B A ท าให ( ) ( )A B B A 3. เปนจรง เนองจาก ( ) 2n A B ดงนน [( ) ( )] 4n A B B A ท าให

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

7

[( ) ( )] ( ) ( ) [( ) ( )]

9 9 4 14 9 9 ( ) ( )

n A B B A n A B n B A n A B B A

n A B n B A

4. เปนเทจ เนองจาก (1,2) A B แต (1,2) A B

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

8

โจทยขอ 3 เนอหาหลก : โดเมนและเรนจของความสมพนธ จดประสงคของโจทยขอ 3 คอตองการทดสอบวา นกเรยนสามารถเขยนความสมพนธจาก

เงอนไขทก าหนดใหไดหรอไม ตลอดจนระบโดเมนและเรนจของความสมพนธไดหรอไม

3.1 ให {1, 2, 3}A และ {( , ) | }r x y A A x y ขอใดตอไปนเปนจรง

1. rD A 2.

rR A 3. ( ) 3n r 4. ( ) ( )

r rn D n R

เฉลย 3 จากโจทยจะไดวา {(1,2), (1,3), (2,3)}r ท าใหไดวา {1, 2} , {2, 3} ,

r rD A R A

( ) 3n r และ ( ) 2 ( )r r

n D n R

3.2 ให {1, 2, 3}A และ {( , ) | }r x y A A x y ขอใดตอไปนเปนจรง

1. rD A 2.

rR A 3. ( ) 3n r 4. ( ) ( )

r rn D n R

เฉลย 3 จากโจทยจะไดวา {(2,1), (3,2), (3,1)}r ท าใหไดวา {2, 3} , {1, 2} ,

r rD A R A

( ) 3n r และ ( ) 2 ( )r r

n D n R

3.3 ให {1, 2, 3}A และ {( , ) | 1}r x y A A x y ขอใดตอไปนเปนเทจ

1. rD A 2. 3

rR 3. ( ) 3n r 4.

r rD R

เฉลย 3 จากโจทยจะไดวา {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3)}r ท าใหไดวา

{1, 2, 3} , {1, 2, 3},r rD A R ( ) 6n r และ

r rD R

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

9

โจทยขอ 4 เนอหาหลก : ความสมพนธ จดประสงคของโจทยขอ 4 คอตองการทดสอบวา นกเรยนมความสามารถแยกแยะไดหรอไมวาค

อนดบใดเทากน คอนดบใดตางกน

4.1 ให {(1,2), (3,4), (5,6)}r และ {(1,2), (2,1), (3,4), (4,3), (6,5)}s แลว s r เทากบเซตใน

ขอใดตอไปน 1. {(1,0), (2,1), (3,0), (4,3), (6,5)} 2. {(2,1), (4,3), (6,5)}

3. {(0,0), (2,1), (4,3), (6,5)} 4. {(5,6)}

เฉลย 2 เนองจาก {(1,2), (3,4)} r s ดงนน {(2,1), (4,3), (6,5)}s r

4.2 ให {(0,1), (1,0), (1,1), (2,3), (3,2)}r และ {(0,1), (1,1), (2,1), (3,3)}s แลว r s เทากบ

เซตในขอใดตอไปน 1. {(0,0), (1,0), (2,2), (3, 1)} 2. {(1,0), (2,3), (3,2)}

3. {(0,0), (1,0), (2,3), (3,2)} 4. {(2,3), (3,2)}

เฉลย 2 เนองจาก {(0,1), (1,1)} r s ดงนน {(1,0), (2,3), (3,2)}r s

4.3 ให {( 1,0), (0, 1), (1,2), (3,4)}r และ {( 1,3), (0,1), (1,2), (4,3)}s แลว r s เทากบ

เซตในขอใดตอไปน 1. 2. {( 1,0), (0, 1), (3,4)}

3. {( 1, 3), (0, 2), (1,0)} 4. {( 1,1), (0, 3), (0, 2), (0,0)}

เฉลย 2 เนองจาก {(1,2)} r s ดงนน {( 1,0), (0, 1), (3,4)}r s

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

10

-2 -1 1 2

X

-4

-3

-2

-1

Y

-2 -1 1 2X

1

2

3

4

Y

โจทยขอ 5 เนอหาหลก : กราฟของความสมพนธพนฐาน จดประสงคของโจทยขอ 5 คอตองการทดสอบวา นกเรยนสามารถรางกราฟของ

ความสมพนธพนฐานไดหรอไม

5.1 ขอใดตอไปนคอกราฟของความสมพนธ {( , ) | }r x y y x 1. 2. 3. 4. เฉลย 4 จากโจทยจะไดวา 0y และ 2y x จงไดกราฟในขอ 4

5.2 ขอใดตอไปนคอกราฟของความสมพนธ {( , ) | }r x y x y

1. 2. 3. 4.

-2 -1 1 2X

1

2

3

4

Y

-2 -1 1 2X

1

2

3

4

Y

-2 -1.5 -1 -0.5X

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y

0.5 1 1.5 2X

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y

0.5 1 1.5 2X

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y

0.5 1 1.5 2X

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

Y

0 0

0 0

0

0

0

0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

11

-2 -1 1 2

X

-4

-3

-2

-1

Y

-2 -1 1 2X

1

2

3

4

Y

เฉลย 4 จากโจทยจะไดวา 0x และ 2x y จงไดกราฟในขอ 4

5.3 ขอใดตอไปนคอกราฟของความสมพนธ {( , ) | }r x y y x 1. 2. 3. 4. เฉลย 4 จากโจทยจะไดวา 0y และ 2y x จงไดกราฟในขอ 4

-2 -1.5 -1 -0.5

X

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

Y

-2 -1.5 -1 -0.5X

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y

0 0

0 0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

12

-1 1 2 3 4X

-1

1

2

3

4

Y

-1 1 2 3 4X

-1

1

2

3

4

Y

โจทยขอ 6 เนอหาหลก : กราฟของความสมพนธพนฐาน จดประสงคของโจทยขอ 6 คอตองการทดสอบวา นกเรยนสามารถรางกราฟของ

ความสมพนธทมเงอนไขในรปอสมการไดหรอไม

6.1 ขอใดตอไปนคอกราฟของความสมพนธ {( , ) | 2 1}r x y y x 1. 2. 3. 4. เฉลย 2 จากโจทยจะไดวา 1 2(0) 1 ดงนน (0,1) r จงไดกราฟในขอ 2

6.2 ขอใดตอไปนคอกราฟของความสมพนธ {( , ) | 3 }r x y y x 1. 2.

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

X

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

X

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

X

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

X

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Y

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

13

-1 1 2 3 4X

-1

1

2

3

4

Y

-1 1 2 3 4X

-1

1

2

3

4

Y3. 4. เฉลย 2 จากโจทยจะไดวา 3 3 0 ดงนน (0, 3) r จงไดกราฟในขอ 2

6.3 ขอใดตอไปนคอกราฟของความสมพนธ {( , ) | 1 2 }r x y y x 1. 2. 3. 4. เฉลย 2 จากโจทยจะไดวา 0 1 2(0) ดงนน (0, 0) r แต (0,1) r จงไดกราฟในขอ 2

-2 -1 1 2X

-1

-0.5

0.5

1

Y

-2 -1 1 2X

-1

-0.5

0.5

1

Y

-2 -1 1 2X

-1

-0.5

0.5

1

Y

-2 -1 1 2X

-1

-0.5

0.5

1

Y

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

14

โจทยขอ 7 เนอหาหลก : โดเมนและเรนจของความสมพนธ จดประสงคของโจทยขอ 7 คอตองการทดสอบวา นกเรยนสามารถระบโดเมนและเรนจ

จากกราฟของความสมพนธทก าหนดใหไดหรอไม

7.1 ก าหนดให r เปนความสมพนธทมกราฟดงรป

ขอใดตอไปนเปนจรง 1. 0

r rD R 2.

r rD R 3. [0,2]

r rD R 4. {2}

r rD R

เฉลย 1 จากกราฟจะไดวา { 2} [0,2)

rD และ [0,2]

rR ดงนน 0

r rD R แต ,

r rD R

{ 2} [0,2]r rD R และ { 2}

r rD R

7.2 ก าหนดให r เปนความสมพนธทมกราฟดงรป

ขอใดตอไปนเปนจรง 1. 2

r rD R 2.

r rR D

3. ( 2,0) (0,3]r rD R 4. [0,3]

r rD R

เฉลย 1 จากกราฟจะไดวา [0,3]

rD และ ( 2,0] {2}

rR ดงนน 2

r rD R แต ,

r rR D

( 2,3]r rD R และ [0,2) (2,3]

r rD R

-2 -1 1 2X

0.5

1

1.5

2

Y

-3 -2 -1 1 2 3

X

-3

-2

-1

1

2

3

Y

2

2

0

0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

15

7.3 ก าหนดให r เปนความสมพนธทมกราฟดงรป

ขอใดตอไปนเปนจรง 1. 0

rR 2. 1

r rD R 3.

r rR D 4. [0, )

r rD R

เฉลย 1 จากกราฟจะไดวา { 1} (0, )

rD และ [0, )

rR ดงนน 0

rR แต 1

r rD R

r rR D และ { 1} [0, )

r rD R

-2 -1 1 2

X

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

Y

0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

16

โจทยขอ 8 เนอหาหลก : โดเมนและเรนจของความสมพนธ จดประสงคของโจทยขอ 8 คอตองการทดสอบวา นกเรยนสามารถระบโดเมนและเรนจ

จากเงอนไขของความสมพนธทก าหนดใหไดหรอไม

8.1 ก าหนดให 2 | | 1( , )

| | 2

xr x y y

x

พจารณาขอความตอไปน ก.

r rR D ข. {2}

r rD R

ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก และ ข ผด เฉลย 3

การหาโดเมน เนองจาก 2 | | 1

| | 2

xy

x ดงนน | | 2 0x นนคอ 2x และ 2x ท าให

{ 2, 2}rD

การหาเรนจ เนองจาก 2 | | 1

| | 2

xy

x ดงนน | | 2 2 | | 1y x y x หรอ | | ( 2) 2 1x y y

นนคอ 2 1| |

2

yx

y ท าใหไดวา 2 1

02

y

y ท าให 1

2y หรอ 2y จงสรปไดวา

1(2, )

2rR

ขอ ก ผด เนองจาก 2rR แต 2

rD ท าให

r rR D

ขอ ข ถก เนองจาก {2}r rD R

8.2 ก าหนดให 2

2

4 1( , )

2

xr x y y

x

พจารณาขอความตอไปน ก.

r rR D ข. { 2}

r rD R

ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก และ ข ผด เฉลย 3

การหาโดเมน เนองจาก 2

2

4 1

2

xy

x ดงนน 2 2 0x นนคอ 2x และ 2x ท าให

{ 2, 2}rD

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

17

การหาเรนจ เนองจาก 2

2

4 1

2

xy

x ดงนน 2 22 4 1yx y x หรอ 2( 4) 2 1x y y นนคอ

2 2 1

4

yx

y ท าใหไดวา 2 1

04

y

y ท าให 1

2y หรอ 4y จงสรปไดวา

1(4, )

2rR

ขอ ก ผด เนองจาก r rR D

ขอ ข ถก เนองจาก { 2}r rD R

8.3 ก าหนดให 1 2( , )

2

xr x y y

x

พจารณาขอความตอไปน

ก. 1,2r r

D R ข. ( 2)r rR D

ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก และ ข ผด เฉลย 4

การหาโดเมน เนองจาก 1 2

2

xy

x ดงนน 0x และ 2 0x นนคอ 0x และ 4x ท า

ให [0,4) (4, )rD

การหาเรนจ เนองจาก 1 2

2

xy

x ดงนน 2 1 2y x y x หรอ ( 2) 1 2x y y

นนคอ 1 2

2

yx

y ท าใหไดวา 1 2

02

y

y ท าให 2y หรอ 1

2y จงสรปไดวา

1( , 2) ,

2rR

ขอ ก ผด เนองจาก [0,4) (4, )r rD R

ขอ ข ผด เนองจาก ( 2) {4}r rR D

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

18

โจทยขอ 9 เนอหาหลก : โดเมนและเรนจของความสมพนธ จดประสงคของโจทยขอ 9 คอตองการทดสอบวา นกเรยนสามารถระบโดเมนและเรนจ

จากเงอนไขของความสมพนธทก าหนดใหไดหรอไม

9.1 ก าหนดให {( , ) | 1 2}r x y y x ขอใดตอไปนเปนจรง 1.

r r rD R D 2.

r r rD R R 3. [1,2)

r rD R 4. [1,2)

r rR D

เฉลย 4 การหาโดเมน เนองจาก 1 2y x ดงนน 2x ท าให [2, )

rD

การหาเรนจ เนองจาก 1 2y x ดงนน 1y ท าให [1, )rR

ดงนน [1, ) ,r r rD R D [2, ) ,

r r rD R R

r rD R และ [1,2)

r rR D

9.2 ก าหนดให {( , ) | 3 4}r x y x y ขอใดตอไปนเปนจรง

1. r r rD R D 2.

r r rD R R 3.

r rD R 4.

r rR D

เฉลย 3 การหาโดเมน เนองจาก 3 4x y ดงนน 3x ท าให [3, )

rD

การหาเรนจ เนองจาก 3 4x y ดงนน 4y ท าให [ 4, )rR

ดงนน [ 4, ) ,r r rD R D [3, ) ,

r r rD R R

r rD R และ

[ 4,3)r rR D

9.3 ก าหนดให {( , ) | | | 1}r x y y x ขอใดตอไปนเปนจรง

1. [0, )r rD R 2. [0, )

r rD R 3.

r rD R 4.

r rR D

เฉลย 4 การหาโดเมน เนองจาก | | 1y x ดงนน

rD

การหาเรนจ เนองจาก | | 1y x นนคอ | | 1x y ดงนน 1y ท าให [1, )rR

ดงนน ,r rD R [1, ),

r rD R ( ,1)

r rD R และ

r rR D

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

19

โจทยขอ 10 เนอหาหลก : กราฟของความสมพนธพนฐาน และ โดเมนและเรนจของความสมพนธ จดประสงคของโจทยขอ 10 คอตองการทดสอบวา นกเรยนสามารถรางกราฟจาก

ความสมพนธพนฐานทก าหนดใหไดหรอไม และ จากกราฟทไดสามารถระบโดเมนและเรนจของความสมพนธนนๆ ไดหรอไม

10.1 ก าหนดให 2{( , ) | 1r x y y x และ 2}x พจารณาขอความตอไปน ก. กราฟของความสมพนธ r คอ

ข. [5, )

rR

ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก และ ข ผด เฉลย 2 ขอ ก ถก ขอ ข ผด จากกราฟของความสมพนธ r ในขอ ก จะไดวา [1, )

rR

-3 -2 -1 1 2 3

X

-1

1

2

3

4

5

6

Y

0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

20

10.2 ก าหนดให 2{( , ) | 1r x y x y และ 2}y พจารณาขอความตอไปน ก. กราฟของความสมพนธ r คอ

ข. [5, )

rD

ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก และ ข ผด เฉลย 4 ขอ ก ผด เนองจากกราฟของความสมพนธทก าหนดใหคอ

ขอ ข ผด จากกราฟของความสมพนธ r ในขอ ก จะไดวา [1, )

rD

2 3 4 5 6

X

-2

-1

1

2

Y

2 3 4 5 6

X

-2

-1

1

2

Y

1 0

- 2

Y

0

- 2

Y

1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

21

10.3 ก าหนดให 2{( , ) | 1r x y y x และ 1}x พจารณาขอความตอไปน ก. กราฟของความสมพนธ r คอ

ข. ( ,0]rR

ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก และ ข ผด เฉลย 2 ขอ ก ถก ขอ ข ผด จากกราฟของความสมพนธ r ในขอ ก จะไดวา ( ,1]

rR

-2 -1 1 2

X

-3

-2

-1

1

Y

- 1 0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

22

2. แบบฝกหดขนสง

แบบฝกหดขนสง ใชเพอวดความรความสามารถขนสงของผเรยน ครอบคลมตามจดประสงคการ

เรยนรทก าหนด ประกอบดวยขอค าถามแบบปรนยแบบ 4 ตวเลอก จ านวน 13 ขอ พรอมเฉลยทผใชสอ

สามารถเลอกดค าอธบายไดจากสอการสอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

23

โจทยขอน มจดประสงคใหนกเรยนใชบทนยามของการเทากนของคอนดบมาแกปญหาทก าหนดให กลาวคอ ถา ( , ) ( , )a b c d แลว จะไดวา a b และ c d นอกจากนยงไดฝกฝนการแกสมการอกดวย

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

24

วตถประสงคของโจทยขอน คอตรวจสอบวานกเรยนสามารถนบจ านวนสมาชกของผลคณคารทเซยนของเซตจ ากดสองเซตได อกทงเขาใจบทนยามของผลคณคารทเซยนของเซตสองเซตจนน าไปประยกตแกปญหาได กลาวคอ

ถา ,a b A B แลว ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( ) ( )a a a b b a b b A B B A

เพอน าไปสผลสรปวา 2(( ) ( )) ( ( ))n A B B A n A B

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

25

วตถประสงคของโจทยขอน คอตรวจสอบวานกเรยนสามารถเขยนความสมพนธ หรอนบจ านวนสมาชกของความสมพนธจากเงอนไขทก าหนดใหไดหรอไม นอกจากนยงตรวจสอบวานกเรยนเขาใจบทนยามของความสมพนธบนเซต A หรอไม กลาวคอ ถา r เปนความสมพนธบนเซต A แลว r A A เพอน าไปสขอสรปทวา (( ) ) ( )n A A r n r

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

26

วตถประสงคของโจทยน คอ ตองการตรวจสอบวานกเรยนระบไดหรอไมวาความสมพนธท

ก าหนดใหคใดเปนความสมพนธเดยวกน ทงนการจะระบไดหรอไมนนตองอาศยความรพนฐานเกยวกบจ านวนจรง เชน 2 2| |x x ทกจ านวนจรง x เปนตน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

27

โจทยขอน มจดประสงคทจะทดสอบนกเรยนเรองการหาโดเมนและเรนจของความสมพนธทก าหนดเงอนไขมาให อยางไรกดโจทยขอนตองใชความรพนฐานในเรองเซต เชน เปนเซตทไมมสมาชกและเปนสบเซตของทกๆ เซต ตลอดจน ถา ( )B P A แลว B A เปนตน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

28

จดประสงคของโจทยขอน ตองการฝกฝนผเรยนในการนบจ านวนสมาชกของความสมพนธทก าหนดเงอนไขมาให นอกจากนการแกปญหาโจทยขอนยงตองอาศยความรพนฐานเกยวกบหลกการบวก ซงอยในหลกการนบเบองตน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

29

โจทยขอน ตองการทดสอบความรนกเรยนในเรองการรางกราฟของความสมพนธพนฐานท

ก าหนดให นอกจากนในการแกปญหายงตองใชความรพนฐานเกยวกบการแกระบบสมการเพอหาจดตดของกราฟตางๆ อกดวย

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

30

จดประสงคของโจทยขอน ตองการฝกฝนผเรยนในการรางกราฟของความสมพนธพนฐาน ในการ

แกปญหโจทยาขอนจ าเปนตองใชความรพนฐานเกยวกบจ านวนจรง กลาวคอ ; 0

| |; 0

x xx

x x และตอง

ใชความรเกยวกบกราฟของฟงกชนก าลงสองหรอกราฟพาราโบลานนเอง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

31

โจทยขอน ผ เรยนจะตองค านวณหาโดเมนของความสมพนธทก าหนดเงอนไขมาให ในการ

แกปญหาโจทยขอนจ าเปนตองใชความรพนฐานเกยวกบจ านวนจรง เชน ถา a b แลว , 0a b

ตลอดจนการแกอสมการในรปแบบตางๆ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

32

วตถประสงคของโจทยขอนคอ ตองการใหผเรยนค านวณหาโดเมนและเรนจจากความสมพนธทก าหนดเงอนไขมาให ส าหรบการแกปญหาโจทยขอนตองใชความรพนฐานเกยวกบเรองจ านวนจรง กลาวคอ ถา 2 2 0a b แลว 0a b และการจดก าลงสองสมบรณ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

33

ผเรยนสามารถหาโดเมนและเรนจของความสมพนธทก าหนดเงอนไขมาให โดยใชความรพนฐาน

เกยวกบการแกอสมการตางๆ และความรพนฐานเกยวกบจ านวนจรง เชน ถา 2a b แลว 0b และ ถา a

b เปนจ านวนจรง แลว 0b

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

34

วตถประสงคของโจทยขอนคอ ตองการใหผเรยนรางกราฟของความสมพนธทก าหนดเงอนไขมาในรปอสมการ และระบโดเมนและเรนจจากกราฟของความสมพนธทรางไวได ส าหรบการแกปญหาโจทยขอนตองอาศยความรพนฐานเกยวกบกราฟของพาราโบลา และ การแกระบบสมการเพอหาจดตดของกราฟ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

35

โจทยขอน มจดประสงคใหผเรยนรางกราฟของความสมพนธทก าหนดเงอนไขมาในรปอสมการ

และระบโดเมนและเรนจจากกราฟของความสมพนธทรางไวได ส าหรบการแกปญหาโจทยขอนตองอาศยความรพนฐานเกยวกบกราฟของพาราโบลา และ การแกระบบสมการเพอหาจดตดของกราฟ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

36

3. แบบทดสอบ

แบบทดสอบ ใชเพอทดสอบความรความสามารถขนสงของผเรยน ประกอบดวยขอค าถามแบบปรนยแบบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ พรอมเฉลย ครอบคลมตามจดประสงคการเรยนรทก าหนด โดยผจดท าไดออกแบบใหโปรแกรมสามารถสมขอค าถาม เพอสรางเปนแบบฝกหดทมความแตกตางกนไดมากถง 103 แบบ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

37

โจทยขอ 1 เนอหาหลก : การเทากนของคอนดบ

1.1 ก าหนดให 103, 1 , 2

2 4

x xy x แลว x y เทากบคาในขอใดตอไปน

1. 25 2. 12 3. 3 4. 1 เฉลย 4

จากโจทยจะไดวา 103

2 4

x x และ 1 2y x สมการแรกท าใหไดวา 2 12 10x x นน

คอ 2x ท าให 1 2(2) 4y ดงนน 3y ท าใหไดวา 1x y

1.2 ก าหนดให ( 10,2 ) (2 , 2)y x x y ขอใดตอไปนเปนจรง 1. 3 2 1x y 2. 4 13x y 3. 4 3 0x y 4. 2 3 18x y เฉลย 4 จากโจทยจะไดวา 10 2y x และ 2 2x y นนคอ 2 10x y และ 2 2x y จะไดวา

2 8y ดงนน 4y และ 103

2

yx ดงนนจะไดวา

3 2 17 1x y , 4 13 13x y , 4 3 24 0x y และ 2 3 18x y

1.3 ก าหนดให 1 262 , ,3

3 7

y xx x แลว xy เทากบคาในขอใดตอไปน

1. 28 2. 4 3. 4 4. 28 เฉลย 2

จากโจทยจะไดวา 262

7

xx และ 1

33

yx ดงนนจากสมการแรกจะไดวา 2x และ

สมการทสองจะกลายเปน 11

3

y ดงนน 2y ท าให 4xy

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

38

โจทยขอ 2 เนอหาหลก : ผลคณคารทเซยน

2.1 ก าหนดให {1, 2, {1}, {1, 2}}A และ ( )P A คอพาวเวอรเซตของ A ขอใดตอไปนเปนเทจ

1. ({1},{1, {1, 2}}) ( )P A A 2. {({1},{1, 2})} ( )P A A

3. ( ,{{1, 2}}) ( ) ( )P A P A 4. ({1},{1, {1}}) ( )A P A

เฉลย 1 1. เทจ เพราะวา {1, {1, 2}} A

2. จรง เพราะวา ({1},{1, 2}) A A

3. จรง เพราะวา A และ {{1, 2}} A

4. จรง เพราะวา {1} A และ {1, {1}} A

2.2 ก าหนดให {1, {1}, {1, {1}}}A และ ( )P A คอพาวเวอรเซตของ A ขอใดตอไปนเปนเทจ

1. ({1, {1, {1}}},{1}) ( )A P A 2. ({1}, ) ( ) ( )P A P A

3. {({1, {1}},1)} ( )P A A 4. ({1, {1}},{1}) ( )P A A

เฉลย 1 1. เทจ เพราะวา {1, {1, {1}}} A

2. จรง เพราะวา {1} ( )P A และ ( )P A 3. จรง เพราะวา ({1, {1}},1) A A

4. จรง เพราะวา {1, {1}} ( )P A และ {1} A

2.3 ก าหนดให {1, {1}, {{1}}}A และ ( )P A คอพาวเวอรเซตของ A ขอใดตอไปนเปนเทจ

1. ({1},{1, {{1}}}) ( )P A A 2. {(1,{1})} ( )P A A

3. ({{1}}, ) ( ) ( )P A P A 4. ({1},{1, {1}}) ( )A P A

เฉลย 1 1. เทจ เพราะวา {1, {{1}}} A

2. จรง เพราะวา (1,{1}) A A 3. จรง เพราะวา {1} A และ ( )P A 4. จรง เพราะวา {1} A และ {1, {1}} A

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

39

โจทยขอ 3 เนอหาหลก : จ านวนสมาชกของผลคณคารทเซยน

3.1 ก าหนดให A และ B เปนเซตซง ( ) 3 ( )n A n B และ ( ) 2n A B ขอใดตอไปนมคาเทากบ

[( ) ( )]n A B B A 1. 0 2. 5 3. 7 4. 9 เฉลย 2 เนองจาก ( ) 2n A B สมมตวา ,a b A B จะไดวา

( ) ( ) {( , ), ( , ), ( , ), ( , )}A B B A a a a b b a b b ดงนน [( ) ( )] ( ) [( ) ( )]

( ) ( ) 4 9 4 5

n A B B A n A B n A B B A

n A n B

3.2 ก าหนดให A และ B เปนเซตซง ( ) 2n A B และ ( ) 1 ( )n A B n B A ขอใดตอไปนมคาเทากบ [( ) ( )]n A B B A 1. 0 2. 5 3. 7 4. 9 เฉลย 2 จากโจทยจะไดวา ( ) 3 ( )n A n B เนองจาก ( ) 2n A B สมมตวา ,a b A B จะไดวา

( ) ( ) {( , ), ( , ), ( , ), ( , )}A B B A a a a b b a b b ดงนน [( ) ( )] ( ) [( ) ( )]

( ) ( ) 4 9 4 5

n A B B A n A B n A B B A

n A n B

3.3 ก าหนดให A และ B เปนเซตทมจ านวนสมาชกเทากน ถา ( ) 2n A B และ ( ) 9n A B ขอใดตอไปนมคาเทากบ [( ) ( )]n A B B A 1. 0 2. 5 3. 7 4. 9 เฉลย 2 จากโจทย ( ) 2n A B สมมตวา ,a b A B จะไดวา( ) ( ) {( , ), ( , ), ( , ), ( , )}A B B A a a a b b a b b

ดงนน [( ) ( )] ( ) [( ) ( )] 9 4 5n A B B A n A B n A B B A

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

40

โจทยขอ 4 เนอหาหลก : จ านวนสมาชกของความสมพนธ 4.1 ก าหนดให A และ B เปนเซตใดๆ

ก. ถา A และ B เปนเซตจ ากดแลวความสมพนธจากเซต A ไปเซต B ทกความสมพนธเปนเซตจ ากด ข. ถา A และ B เปนเซตอนนตแลวความสมพนธจากเซต A ไปเซต B ทกความสมพนธเปนเซตอนนต ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก และข ผด เฉลย 2

ก. ถก เนองจาก ความสมพนธจากเซต A ไปเซต B ทกความสมพนธเปนสบเซตของ A B ซงถา A และ B เปนเซตจ ากดแลว A B เปนเซตจ ากดดวย

ข. ผด เนองจาก เปนสบเซตของ A B ดงนน เปนความสมพนธจากเซต A ไปเซต B ทเปนเซตจ ากด แมวาA และ B จะเปนเซตอนนต

4.2 ก าหนดให A และ B เปนเซตใดๆ โดยท ,A B

ก. ถา A เปนเซตจ ากด และ B เปนเซตอนนตแลวจะมความสมพนธจากเซต A ไปเซต B ท เปนเซตอนนต ข. ถา A เปนเซตจ ากด และ B เปนเซตอนนตแลวทกความสมพนธจากเซต B ไปเซต A เปนเซตอนนตเสมอ ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก และข ผด เฉลย 2

ก. ถก เนองจาก ให a A ความสมพนธ {( , ) | }r a b b B เปนเซตอนนต ข. ผด เนองจาก เปนสบเซตของ B A ดงนน เปนความสมพนธจาก B ไป A ทเปนเซต

จ ากด แมวาA และ B จะเปนเซตอนนต

4.3 ก าหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ก. ถา A และ B เปนเซตจ ากดแลวจะมความสมพนธ r จากเซต A ไปเซต B ทเปนเซตอนนต ข. ถา A และ B เปนเซตอนนตแลวจะมความสมพนธ r จากเซต A ไปเซต B ทเปนเซตจ ากด ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก และข ผด เฉลย 3

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

41

ก. ผด เนองจาก r A B ซง A B มจ านวนสมาชกเพยง ( ) ( )n A n B ตว ดงนน r มจ านวนสมาชกไดมากทสดเพยง ( ) ( )2n A n B ตว นนคอความสมพนธ r จากเซต A ไปเซต B เปนเซตจ ากด

ข. ถก เนองจาก เปนสบเซตของ A B ดงนน ทเปนเซตจ ากดและเปนความสมพนธจาก Aไป B แมวาA และ B จะเปนเซตอนนต

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

42

โจทยขอ 5 เนอหาหลก : ความสมพนธ

5.1 ก าหนดให {1, {1}}A และ ( )P A คอพาวเวอรเซตของ A ถา {( , ) ( ) | }r x X A P A x X

และ {( , ) ( ) | }s x X A P A x X แลวขอใดตอไปนเปนเทจ 1. r s 2. ( ) ( ( )) ( )n r n A P A n s 3. ( ) ( )n r n s 4. ( )r s A P A เฉลย 3

จากโจทยจะไดวา ( ) { , {1}, {{1}}, {1, {1}}}P A และ ( ) {(1, ),A P A (1,{1}),

(1,{{1}}), (1,{1, {1}}), ({1}, ), ({1},{1}), ({1},{{1}}), ({1},{1, {1}})} ดงนน

{(1, ), (1,{{1}}), ({1}, ), ({1},{1})}r และ {(1,{1}),s (1,{1, {1}}), ({1},{{1}}),

({1},{1, {1}})} ท าใหไดวา

1. จรง เนองจาก r s 2. จรง เนองจาก ( ) 4 8 4 ( ( )) ( )n r n A P A n s 3. เทจ เนองจาก ( ) ( )n r n s 4. จรง เนองจาก ( )r s A P A

5.2 ก าหนดให {1, 2, 3, ..., 10}A ถา {( , ) | 2r x y A A หาร x y ลงตว} และ

{( , ) | 2s x y A A หาร x y ไมลงตว} แลวขอใดตอไปนเปนเทจ 1. r s 2. ( ) ( ) ( )n r n A A n s 3. ( ) ( )n r n s 4. r s A A เฉลย 3

1. จรง เนองจากถา ( , )x y r แลว 2 หาร x y ลงตว ดงนน ( , )x y s 2. จรง จากนยามของ r จะไดวา คอนดบทจะเปนสมาชกของ r จะตองมาจาก A A และเปน

จ านวนเตมคทงค หรอ เปนจ านวนเตมคทงค ซงจะมวธในการสรางคอนดบในลกษณะดงกลาวทงหมด (5 5) (5 5) 50 วธ นนคอ ( ) 50n r ตอมาคอนดบทจะเปนสมาชกของ s จะตองมาจาก A A และเปนจ านวนเตมค กบ จ านวนเตมค หรอ เปนจ านวนเตมค กบ จ านวนเตมค ซงจะมวธในการสรางคอนดบในลกษณะดงกลาวทงหมด (5 5) (5 5) 50 วธ นนคอ ( ) 50n s ดงนน ( ) 50 10 10 50 ( ) ( )n r n A A n s

3. เทจ เนองจาก ( ) ( )n r n s 4. จรง เนองจากขอ 2 เหนไดชดวา r s A A

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

43

5.3 ก าหนดให {1, 2, 3, ..., 100}A ถา {( , ) |r x y A A x หาร y ลงตว} และ

{( , ) |s x y A A y หาร x ลงตว} แลวขอใดตอไปนเปนจรง 1. r s 2. r s 3. ( ) ( )n r n s 4. r s A A เฉลย 3

1. เทจ เนองจาก 1 หาร 1 ลงตว ดงนน (1,1) r s 2. เทจ เนองจาก 1 หาร 2 ลงตว แต 2 หาร 1 ไมลงตว ดงนน (1,2) r แต (1,2) s 3. จรง ถา ( , )x y r แสดงวา x หาร y ลงตว ดงนน ( , )y x s ท าใหไดวา ( ) ( )n r n s 4. เทจ เนองจาก 2 หาร 3 ไมลงตว และ 3 หาร 2 ไมลงตว ดงนน (2, 3) r และ (2, 3) s แต (2,3) A A

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

44

โจทยขอ 6 เนอหาหลก : กราฟของความสมพนธพนฐาน

6.1 ก าหนดให r เปนความสมพนธจาก ไป โดยทส าหรบแตละสมาชกใน r ระยะหางระหวางสมาชกตวหนา

ของคอนดบใน r กบ 1 เทากบ ระยะหางระหวางสมาชกตวหลงของคอนดบใน r กบ 2 ขอใดตอไปนคอกราฟของความสมพนธ r 1. 2. 3. 4. เฉลย 3 จากโจทยจะไดวา {( , ) || 1 | | 2 |}r x y x y ดงนน จากเงอนไขในความสมพนธท าให

ไดวา 2 2 2 2( 1) | 1 | | 2 | ( 2)x x y y นนคอ

(( 2) ( 1))(( 2) ( 1)) 0y x y x ดงนน 1y x หรอ 3y x ซงเขยนเปนกราฟเสนตรงสองเสนไดดงทเหนในขอ 3

6.2 ก าหนดให r เปนความสมพนธจาก ไป โดยทส าหรบแตละสมาชกใน r ก าลงสองของสมาชกตวหนาของคอนดบใน r เทากบ ก าลงสองของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r ขอใดตอไปนคอกราฟของความสมพนธ r

1. 2.

-2 -1 1 2

X

-1

1

2

3

Y

-1 1 2 3X

-2

-1

1

2

3

4

Y

-4 -2 2 4X

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Y

2 1 1 2

1

2

3

4

0.5 1.0 1.5 2.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1 1 2 3 4

1

1

2

3

4

5

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

45

3. 4. เฉลย 3 จากโจทยจะไดวา 2 2{( , ) | }r x y x y ดงนน จากเงอนไขในความสมพนธท าใหไดวา

2 20 ( )( )x y x y x y นนคอ y x หรอ y x ซงเขยนเปนกราฟเสนตรงสองเสนได

ดงทเหนในขอ 3 6.3 ก าหนดให r เปนความสมพนธจาก ไป โดยทส าหรบแตละสมาชกใน r ก าลงสองของผลบวกของ

สมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงของคอนดบใน r เทากบ ผลบวกของสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงของคอนดบใน r ขอใดตอไปนคอกราฟของความสมพนธ r

1. 2. 3. 4. เฉลย 3

2 1 1 2

2

1

1

2

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

2 1 1 2

1

2

3

4

0.5 1.0 1.5 2.0

1.0

0.5

0.5

1.0

2 1 1 2

2

1

1

2

3

1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

46

จากโจทยจะไดวา 2{( , ) | ( ) }r x y x y x y ดงนน จากเงอนไขในความสมพนธท าให

ไดวา 20 ( ) ( ) ( )( 1)x y x y x y x y นนคอ y x หรอ 1y x ซงเขยนเปน

กราฟเสนตรงสองเสนไดดงทเหนในขอ 3

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

47

โจทยขอ 7 เนอหาหลก : กราฟของความสมพนธพนฐาน และโดเมนและเรนจของความสมพนธ

7.1 ก าหนดให {( , ) | 1}r x y y x ขอใดตอไปนเปนจรง 1. กราฟของความสมพนธ r คอ 2. กราฟของความสมพนธ r คอ 3. [0, )

r rD R 4. [0,1)

r rD R

เฉลย 4 จากความสมพนธทก าหนดใหจะไดกราฟเปน

ท าใหไดวา 1 และ 2 เปนเทจ และยงไดดวยวา [0, )

rD และ [1, )

rR ท าให [1, )

r rD R

และ [0,1)r rD R นนคอ 3 เปนเทจ แต 4 เปนจรง

7.2 ก าหนดให {( , ) | 1}r x y x y ขอใดตอไปนเปนจรง

1. กราฟของความสมพนธ r คอ 2. กราฟของความสมพนธ r คอ

0.5 1 1.5 2X

0.5

1

1.5

2

2.5

Y

1.5 2 2.5 3X

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y

0 1

Y

-2 -1 1 2X

2

3

4

5

Y

1 1 2 3

0.5

1.0

1.5

2.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

1

2

3

4

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

48

3.

r rD R 4.

r rR D

เฉลย 4 จากความสมพนธทก าหนดใหจะไดกราฟเปน

ท าใหไดวา 1 และ 2 เปนเทจ และยงไดดวยวา [ 1, )

rD และ [0, )

rR ท าให

[0, )r rD R และ

r rR D นนคอ 3 เปนเทจ แต 4 เปนจรง

7.3 ก าหนดให {( , ) | 1 }r x y y x ขอใดตอไปนเปนจรง 1. กราฟของความสมพนธ r คอ 2. กราฟของความสมพนธ r คอ 3. ( ,1]

r rD R 4. ( ,0)

r rD R

เฉลย 4 จากความสมพนธทก าหนดใหจะไดกราฟเปน

1 1 2 3

5

10

15

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

4

3

2

1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

49

ท าใหไดวา 1 และ 2 เปนเทจ และยงไดดวยวา ( ,1]

rD และ [0, )

rR ท าให

[0,1]r rD R และ ( ,0)

r rD R นนคอ 3 เปนเทจ แต 4 เปนจรง

3 2 1 1

0.5

1.0

1.5

2.0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

50

โจทยขอ 8 เนอหาหลก : โดเมนและเรนจของความสมพนธ

8.1 ก าหนดให 2{( , ) | 64}r x y y x ขอใดตอไปนเปนจรง 1. ( 8] [0, )

r rD R 2. ( 8] [8, )

r rD R

3. [0,8)r rD R 4. ( 8,8)

r rR D

เฉลย 1

การหาโดเมน เนองจาก 2 64y x ดงนน 2 64 0x ท าใหไดวา ( 8] [8, )rD

การหาเรนจ เนองจาก 2 64y x ดงนน 0y และ 2 2 64y x นนคอ 0y และ 2 2 64x y ท าใหไดวา [0, )

rR จงสรปไดวา

1. จรง เนองจาก ( 8] [0, )r rD R

2. เทจ เนองจาก [8, )r rD R

3. เทจ เนองจาก ( , 8]r rD R

4. เทจ เนองจาก [0,8)r rR D

8.2 ก าหนดให 2{( , ) | 64 }r x y y x ขอใดตอไปนเปนจรง

1. [ 8,8]r rD R 2. [ 8,8]

r rD R

3. r rD R 4.

r rR D

เฉลย 1

การหาโดเมน เนองจาก 264y x ดงนน 264 0x ท าใหไดวา [ 8,8]rD

การหาเรนจ เนองจาก 264y x ดงนน 0y และ 2 264y x นนคอ 0y และ 2 264x y ท าใหไดวา [0,8]

rR จงสรปไดวา

1. จรง เนองจาก [ 8,8]r rD R

2. เทจ เนองจาก [0,8]r rD R

3. เทจ เนองจาก [ 8,0)r rD R

4. เทจ เนองจาก r rR D

8.3 ก าหนดให 2{( , ) | 4 1}r x y y x ขอใดตอไปนเปนจรง

1. 1, [0, )2r r

D R 2. 10,2r r

D R

3. ( ,0)r rD R 4.

r rR D

เฉลย 1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

51

การหาโดเมน เนองจาก 24 1y x ดงนน 24 1 0x ท าใหไดวา 1 1, ,2 2r

D

การหาเรนจ เนองจาก 24 1y x ดงนน 0y และ 2 24 1y x นนคอ 0y และ 2 24 1x y ท าใหไดวา [0, )

rR จงสรปไดวา

1. จรง เนองจาก 1, [0, )2r r

D R

2. เทจ เนองจาก 1,2r r

D R

3. เทจ เนองจาก 1,2r r

D R

4. เทจ เนองจาก 10,2r r

R D

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

52

โจทยขอ 9 เนอหาหลก : โดเมนและเรนจของความสมพนธ

9.1 ก าหนดให {1, 2, 3, 4}A และ {1, 2, 3, ..., 100}B ถา {( , ) |r a b A B a หาร b แลว

เหลอเศษ 3} ขอใดตอนเปนจรง 1.

rD A 2. ( ) 25n r 3. 3

rR 4. 4

r rD R

เฉลย 2 จากโจทยจะไดวา {(4,3), (4,7), (4,11), ..., (4,99)}r ดงนน

1. เทจ เนองจาก {4}rD

2. จรง เนองจาก 3 4(1) 1 และ 99 4(25) 1 ดงนน ( ) 25n r 3. เทจ เนองจาก 3

rR

4. เทจ เนองจาก 4r rD R

9.2 ก าหนดให {1, 2, 3, 4}A และ ( )P A คอพาวเวอรเซตของ A

ถา {( , ) ( ) | }r x X A P A x X ขอใดตอนเปนเทจ 1.

rD A 2. ( )

rR P A 3.

rR 4. ( )( ) 2n An r

เฉลย 2 1. จรง เนองจาก ให a A จะม ( )P A ซง ( , )a r 2. เทจ เนองจาก ( )A P A และ 1, 2, 3, 4 A ดงนน

rA R

3. จรง จากขอ 1 จะได rR

4. จรง เนองจาก ถา 1x จะไดวา ( )X P A ทจะท าให ( , )x X r มาจากสบเซตทงหลายของ {2, 3, 4} ซงมทงหมด 32 เซต

ถา 2x จะไดวา ( )X P A ทจะท าให ( , )x X r มาจากสบเซตทงหลายของ {1, 3, 4} ซง

มทงหมด 32 เซต ถา 3x จะไดวา ( )X P A ทจะท าให ( , )x X r มาจากสบเซตทงหลายของ {1, 2, 4} ซง

มทงหมด 32 เซต ถา 4x จะไดวา ( )X P A ทจะท าให ( , )x X r มาจากสบเซตทงหลายของ {1, 2, 3} ซง

มทงหมด 32 เซต ดงนน 3 4 ( )( ) 4(2 ) 32 16 2 2n An r

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

53

9.3 ก าหนดให {1, 2, 3, 4}A และ ( )P A คอพาวเวอรเซตของ A

ถา {( , ) ( ) | }r x X A P A x X ขอใดตอนเปนเทจ 1.

rD A 2. ( )

rR P A 3.

rA R 4. ( )( ) 2n An r

เฉลย 2 1. จรง เนองจาก ให a A จะม { } ( )a P A ซง ( ,{ })a a r 2. เทจ เนองจาก ( )P A ท a ทก a A ดงนน

rR

3. จรง เนองจาก a A ทก a A ดงนน r

A R 4. จรง เนองจาก ถา 1x จะไดวา ( )X P A ทจะท าให ( , )x X r คอ {1}X สบเซต

ทงหลายของ {2, 3, 4} ซงมทงหมด 32 เซต

ถา 2x จะไดวา ( )X P A ทจะท าให ( , )x X r คอ {2}X สบเซตทงหลายของ {1, 3, 4} ซงมทงหมด 32 เซต

ถา 3x จะไดวา ( )X P A ทจะท าให ( , )x X r คอ {3}X สบเซตทงหลายของ {1, 2, 4} ซงมทงหมด 32 เซต

ถา 4x จะไดวา ( )X P A ทจะท าให ( , )x X r คอ {4}X สบเซตทงหลายของ {1, 2, 3} ซงมทงหมด 32 เซต

ดงนน 3 4 ( )( ) 4(2 ) 32 16 2 2n An r

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

54

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0

2

4

6

8

โจทยขอ 10 เนอหาหลก : กราฟของความสมพนธพนฐาน

10.1 ขอใดตอไปนเปนกราฟของความสมพนธ {( , ) || | | | 1r x y y x และ 0}xy

1. 2. 3. 4. เฉลย 4

เนองจาก | | | | 1x y แยกไดเปน | | 1; 0

| | 1; 0

x yy

x y เมอรวมกบเงอนไข 0xy จะไดกราฟ

ในขอ 4

10.2 ขอใดตอไปนเปนกราฟของความสมพนธ 2{( , ) | 2r x y y x และ 0}xy 1. 2.

3 2 1 0 1

2

4

6

8

-2 -1 1 2

X

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Y

-2 -1 1 2

X

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Y

-2 -1 1 2

X

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Y

-2 -1 1 2

X

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Y

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

55

3. 4. เฉลย 4 เนองจาก 2 2y x มกราฟเปน

เมอรวมกบเงอนไข 0xy จะไดกราฟในขอ 4

10.3 ขอใดตอไปนเปนกราฟของความสมพนธ {( , ) || | | | 1r x y y x และ 0}xy

1. 2. 3. 4. เฉลย 4

3 2 1 1 2 3

2

2

4

6

3 2 1 1 2 3

6

4

2

2

3 2 1 1 2 3

2

2

4

6

-2 -1 1 2

X

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Y

-2 -1 1 2

X

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Y

-2 -1 1 2

X

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Y

-2 -1 1 2

X

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Y

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

56

เนองจาก | | | | 1x y แยกไดเปน | | 1; 0

| | 1; 0

x yy

x y เมอรวมกบเงอนไข 0xy จะไดกราฟ

ในขอ 4

ผ-1

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน

ประจาปงบประมาณ 2555

ผ-2

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน (ประจาปงบประมาณ 2555)

เรอง ตอน

คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ บทนาเรองคณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2) เซต แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3) ทฤษฎจานวน แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) จานวนจรง แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 5) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 6) เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย บทนาเรองเรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จดและสวนของเสนตรง ความชนและเสนตรง ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย ความสมพนธและฟงกชน แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) เมทรกซ บทนาเรองเมทรกซ ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซขนาด 2x2 ดเทอรมแนนต อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน

ผ-3

เรอง ตอน เวกเตอร บทนาเรองเวกเตอร เวกเตอรในเชงเรขาคณต

เวกเตอรในระบบพกดฉาก

การคณเวกเตอรเชงสเกลาร

การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร จานวนเชงซอน บทนาเรองจานวนเชงซอน จานวนเชงซอน

สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน

พกดเชงขว

รากของจานวนเชงซอน ตรโกณมต แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 4)

แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 5)

แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 6) คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน ภาษและเครดต ดอกเบยและคางวด

ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน ลาดบและอนกรม แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 4)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) แคลคลส บทนาเรองแคลคลส ลมต

ความตอเนอง

อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ

อนพนธ

คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ

การประยกตคาสดขด

ปรพนธ 1

ปรพนธ 2 หลกคณตศาสตร หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต

ผ-4

เรอง ตอน สถต แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 4)

ผ-5

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 169 ตอน

ปงบประมาณ 2554-2555

ผ-6

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 169 ตอน

คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง บทนา คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ แบบฝกหด ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2)

เซต บทนา เซต การใหเหตผลและตรรกศาสตร เนอหา ความหมายของเซต บทนา การใหเหตผลและตรรกศาสตร เซตกาลงและการดาเนนการบนเซต เนอหา การใหเหตผล เอกลกษณของการดาเนนการบนเซตและ ประพจนและการสมมล แผนภาพเวนน-ออยเลอร สจนรนดรและการอางเหตผล แบบฝกหด เซต (ตอนท 1) ประโยคเปดและวลบงปรมาณ เซต (ตอนท 2) แบบฝกหด การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) สอปฏสมพนธ แผนภาพเวนน-ออยเลอร การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3)

จานวนจรง สอปฏสมพนธ หอคอยฮานอย บทนา จานวนจรง ตารางคาความจรง เนอหา สมบตของจานวนจรง การแยกตวประกอบ ทฤษฎจานวนเบองตน ทฤษฎบทตวประกอบ บทนา ทฤษฎจานวนเบองตน สมการพหนาม เนอหา การหารลงตวและจานวนเฉพาะ อสมการ ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย เทคนคการแกอสมการ แบบฝกหด ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) คาสมบรณ ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) การแกอสมการคาสมบรณ กราฟคาสมบรณ เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย แบบฝกหด จานวนจรง (ตอนท 1) บทนา เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จานวนจรง (ตอนท 2) เนอห จดและสวนของเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 3) ความขนและเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 4) ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 5) วงกลม จานวนจรง (ตอนท 6) พาราโบลา สอปฏสมพนธ ชวงบนเสนจานวน วงร สมการและอสมการพหนาม ไฮเพอรโบลา กราฟคาสมบรณ การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย

ผ-7

ความสมพนธและฟงกชน ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม บทนา ความสมพนธและฟงกชน บทนา ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม เนอหา ความสมพนธ เนอหา เลขยกกาลง โดเมนและเรนจ ฟงกชนเลขชกาลง อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของ ฟงกชนลอการทม ฟงกชน อสมการเลขชกาลง ฟงกชนเบองตน อสมการลอการทม พชคณตของฟงกชน อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส ตรโกณมต ฟงกชนประกอบ บทนา ตรโกณมต แบบฝกหด ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) เนอหา อตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) และวงกลมหนงหนวย ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) ฟงกชนตรโกณมต 1 ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) ฟงกชนตรโกณมต 2 ฟงกชนตรโกณมต 3

เมทรกซ กฎของไซนและโคไซน บทนา เมทรกซ กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ฟงกชนตรโกณมตผกผน การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซ แบบฝกหด ตรโกณมต (ตอนท 1) ขนาด 2×2 ตรโกณมต (ตอนท 2) ดเทอรมแนนต ตรโกณมต (ตอนท 3) อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว ตรโกณมต (ตอนท 4) การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน ตรโกณมต (ตอนท 5) ตรโกณมต (ตอนท 6)

เวกเตอร สอปฏสมพนธ มมบนวงกลมหนงหนวย บทนา เวกเตอร กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา เวกเตอรในเชงเรขาคณต กฎของไซนและกฎของโคไซน เวกเตอรในระบบพกดฉาก การคณเวกเตอรเชงสเกลาร กาหนดการเชงเสน การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร บทนา กาหนดการเชงเสน เนอหา การสรางแบบจาลองทางคณตศาสตร

จานวนเชงซอน การหาคาสดขด บทนา จานวนเชงซอน เนอหา จานวนเชงซอน คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน สารคด ภาษและเครดต พกดเชงขว ดอกเบยและคางวด รากของจานวนเชงซอน ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน

ผ-8

ลาดบและอนกรม สถตและการวเคราะหขอมล บทนา ลาดบและอนกรม บทนา สถตและการวเคราะหขอมล เนอหา ลาดบ เนอหา บทนา เนอหา การประยกตลาดบเลขคณตและเรขาคณต แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 ลมตของลาดบ แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 ผลบวกยอย แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 อนกรม การกระจายของขอมล ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม การกระจายสมบรณ 1 แบบฝกหด ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) การกระจายสมบรณ 2 ลาดบและอนกรม (ตอนท 2) การกระจายสมบรณ 3 ลาดบและอนกรม (ตอนท 3) การกระจายสมพทธ ลาดบและอนกรม (ตอนท 4) คะแนนมาตรฐาน ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) ความสมพนธระหวางขอมล 1 ความสมพนธระหวางขอมล 2

แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 1 บทนา แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 2 เนอหา ลมต แบบฝกหด สถต (ตอนท 1) ความตอเนอง สถต (ตอนท 2) อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ สถต (ตอนท 3) อนพนธ สถต (ตอนท 4) คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ การประยกตคาสดขด แบบจาลองทางคณตศาสตร ปรพนธ 1 สารคด แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ปรพนธ 2 ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต

การนบและความนาจะเปน โครงงานทางคณตศาสตร บทนา การนบและความนาจะเปน วจย การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย เนอหา การนบเบองตน ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส การเรยงสบเปลยน การถอดรากทสาม การจดหม เสนตรงลอมเสนโคง ทฤษฎบททวนาม กระเบองทยดหดได การทดลองสม ความนาจะเปน 1 ความนาจะเปน 2

หลกคณตศาสตร เนอหา หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร