第四章 有限长单位脉冲响应（ FIR ）滤波器的设计方法 本章主要内容引言4.1 线性相位 FIR 数字滤波器的特性4.2 窗口设计法（时间窗口法） 4.3 频率采样法4.4 IIR与 FIR 数字滤器的比较

引言 为何要设计 FIR 滤波器？ 一、 IIR 滤波器的优缺点（回顾）IIR 数字滤波器的优点：可以利用模拟滤波器设

计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。

IIR 数字滤波器的缺点：相位的非线性，将引起频率的色散，若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校正 , 使滤波器设计变得复杂，成本也高。

N

i

ii

M

i

ii

zb

zazH

IIR

1

0

1)(

滤波器的系统函数：

二、 FIR 滤波器的优点

设 FIR 滤波器单位冲激响应 h(n) 长度为 N ，其系统函数 H(z) 为：

1

0

)(N

n

ni zazH

1

0

)()(N

ii inxany

FIR 数字滤波器的差分方程描述

例

差分方程 y[n] = x[n] + 0.5x[n-1] - 0.4x[n-2]

a. 单位脉冲响应有限 b. 单位脉冲响应无限

答案： a

系统函数说明H(z) 是 z-1 的 N-1 次多项式，它在 z 平面上

原点 z=0 是 N-1 阶重极点。即除原点外在Z 平面上没有极点， H(z) 总是稳定的。稳定和线性相位特性是 FIR 滤波器突出的优点，而且允许设计多通带（或多阻带）滤波器。其中线性相位和多通带滤波器设计都是 IIR 系统不易实现的

FIR 滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性。

三、 FIR 的缺点 1 、由于 FIR 系统只有零点 ( 只在原点有

极点 ) ，因此 FIR 系统不像 IIR 系统那样易取得比较好的通带与阻带衰减特性。要取得好的衰减特性，一般要 H(z) 的阶次要高，也即 N 大。

2 、 无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计 公式，要借助计算机辅助设计程序完成。

四、 FIR 滤波器应用（ 1 ）语音处理，图象处理以及数据传输要求线

性相位，任意幅度。（即要求信道具有线性相位特性）而 FIR 数字滤波器具有严格的线性相位，而且同时可以具有任意的幅度特性。

（ 2) 另外 FIR 数字滤波器的单位抽样响应是有限长的，因而滤波器一定是稳定的只要经过一定的延时，任何非因果有限长序列都变成因果的有限序列。

（ 3)FIR 可以用 FFT 算法来实现过滤信号。

五、 FIR DF 设计思路FIR 滤波器的设计方法和 IIR 滤波器的设计

方法有很大不同。 FIR DF 设计的含义是：根据设计指标，求解所选运算结构要求的

h(n) 或 H(z) ：1 ）线性卷积和快速卷积型结构，求 FIR D

F 的 h(n).2 ）级联和频率采样型结构，求 FIR DF 的

H(z).

4.1 线性相位 FIR 滤波器的特点4.1.1 线性相位的条件对于长度为 N 的 h(n), 传输函数为：

总是正值。负值，而称为幅度函数，可以取

的实函数，为不同于注意，这里

称为相位特性。称为幅度特性，式中，

)(

)(,)()(

)()(

)()(

)()(

)(

1

0

jw

jw

wjjw

N

n

jwnjw

eH

wwHeHwH

wwH

ewHeH

enheH

1、 H(ejw) 线性相位线性相位意味着一个系统的相频特性是频

率的线性函数，即

式中为常数，此时通过这一系统的各频率分量的时延为一相同的常数，系统的群时延为

d

dg

)(

，第二类线性相位或，第一类线性相位

)(

)(

补充定义 1 、时延：所谓时延是指信号通过传输通

道所需要的传输时间。 2 、群时延：

它是滤波器平均延迟的一个度量，定义为相频特性对角频率 w 的一阶导数的负值。即：

的线性函数。是即相频特性

具有线性相位，常数时，当

)(arg

)(

)())((arg)(

j

j

eH

DFd

d

d

eHd

幅频特性和相频特性输出信号与输入信号的幅值比是的非线性函数，称其

为系统的幅频特性，记为 A(ω) ．它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，反映幅值比随频率而变化的规律，其幅值的衰减（ A<1) 或增大 (A>1) 特性．

输出信号与输入信号的相位差 ( 或称相移 ) 也是的非线性函数，称为系统的相频特性．它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，反映相位差随频率而变化的规律，其相位产生超前 [Φ （ ω )> 0] 或滞后 [Φ （ ω ) <0]的特性．对于物理系统，相位一般是滞后的，即一般是负值 .

2、 FIR 滤波器具有线性相位的条件

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

)(

)sin()sin(

)cos()cos(

)sin()cos()sin()cos(

-

N

n

N

n

N

n

N

n

N

n

njjjj

nnhH

nnhH

nnhjnnhjHH

enheHeHeH

，）＝（若：明第一类线性相位条件证

式中 H(ω) 是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等 :

0sin

cossinsincos

cos

sin

cos

sin

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

N

n

N

n

N

n

N

n

N

n

nnh

nnhnnh

nnh

nnh

))((2

1-N)2

2

1)()1

:

10,12

1

0sin1

0

阶数的一半为群时延

处在为偶对称，其对称中心

要条件即第一类线性相位的充

利用数字归纳法可证得有解，此解必为唯一按付氏级数的性质，若

nh

Nnh

NnnNhnh

N

nnhN

n

1 ）第一类线性相位线性相位条件证明

)()()()(

)()()(

1

)1()()(

:)1()(

)(

1)1(1

0

1

1

0

)1(1

0

1(

1

0

1

0

zHzzHzmhzH

zmhzzmhzH

mnN

znNhznhzH

nNhnh

nh

NN

m

m

N

m

mNN

m

mN

N

n

nN

n

n

）

令

即有第一类线性相位特性为偶对称，该滤波器具

另外，证明方法

代入上式，得到：将

表示为则可将

jw

N

n

Nn

NnN

N

n

nNn

N

n

nNN

n

n

N

ez

zznhz

zzznh

znhzznh

zHzzHzH

zH

1

0

2

)1(

2

1

2

1

1

0

)1(

1

0

)1(1

0

1)1(

2)(

)(2

1

)()(2

1

)]()([2

1)(

:)(

有第一类线性相位。那么该滤波器就一定具

为偶对称，是实序列，且看出：只要

其群时延为

相位函数为

幅度函数为

)()(

)2

1()(

)2

1()(:

)2

1(cos)()(:

)2

1(cos)(

2

)()()(

1

0

1

0

)2

1(

1

0

)2

1()

2

1(

)2

1(

nhnh

Nw

wN

w

wN

nnhwH

wN

nnhe

eenheeH

N

n

N

n

wN

j

N

n

wN

njwN

njw

Nj

jw

2 、第二类线性相位条件证明

2

1)(

)(

)1()(2

2

1-N

)()(

)()(

)(

Nanh

nNhnh

eHeH

d

d

ajj

g

为奇对称，对称中心为

的充要条件即第二类线性相位

＝

＝

类似可以得出

，此时群延时若：

与前一种不同之处在于增加了 的相移

2

20

)1( N

20

)5.0( N

2

偶对称)(nh 奇对称)(nh

线性相位特性

注意从第二类线性相位看出：

零频率 w=0 有 2 的截距，说明不仅有：

也就是： h(n) 为奇对称时， FIR 滤波器是一个具有准确的线性相位的理想正交变换网络。

个抽样间隔的延时，而且还产生一个 90 的相移，这种使频率皆为 90 的网络，称为正交变换网络，它具有重要的理论和实际意义。

2

1

N

4.1.2 幅度特性由于 h(n) 的长度 N 取奇数还是偶数，对 H(w) 的特

性有影响，因此，对于两类线性相位，下面我们分四种情况讨论其幅度特性的特点：

（ 1 ） h(n)=h(N-1-n) ，即 h(n) 为偶对称 ,N=奇数（ 2 ） h(n)=h(N-1-n), 即 h(n) 为偶对称， N=偶数（ 3 ） h(n)=-h(N-1-n) ，即 h(n) 为奇对称 ,N=奇数（ 4 ） h(n)=-h(N-1-n), 即 h(n) 为奇对称， N=偶数

1 、第一种情况：h(n)=h(N-1-n)偶对称， N=奇数

2

12

3

0

1

1

2

1

2

112

1

0

1

0

2

1

2

1

)(

Nj

N

n

nNjnj

N

Nn

njN

j

N

n

nj

N

n

nj

jj

eN

heenh

enheN

henh

enh

eHeH

2

1

2

1cos2

2

1)()(

2

3

0

2

1

2

12

3

0

2

1

2

1

Nh

Nnnhe

NheenheeH

N

n

Nj

Nnj

N

n

Nnj

Nj

j

2/)3(

0 2

1cos)(2

2

1)(

N

n

Nnnh

NhH

2

1)(

N

2

1

0

2/)1(

1

cos)(

2

12)(,

2

1)0(

cos)2

1(2

2

1)(

2

1

N

n

N

m

nnaH

nN

hnaN

ha

mmN

hN

hH

Nnm

整理后得：

令

令

看出： cos(nw) 对于 w=0,,2皆为偶对称，所以幅度函数 H(w) 也对 w=0,,2皆为偶对称。且 H(0) 、 H(/2), H(),H(2) 都可不为零。 ( 只要 h ((N-1)/2) 不为零。所以 w 从 0 2 范围内，无任何约束，可以设计成任何一种滤波器。低通、高通、带通、带阻）

n对称中心

N=7

)(wH

w 0 22关于 w=0及 w= 偶对

称

)(nh

可以设计任何一种滤波器

2 、第二种情况h(n)=h(N-1-n)偶对称， N=偶数

12

0

2

1

12

0

1

12

0

1

12

0

2

1cos2

1

N

n

Nj

N

n

nNjnj

N

n

nNj

N

n

njj

Nnnhe

eenh

enNhenheH

2

1)(

N

nN

hnb

nnbH

mmN

hH

mN

n

NnnhH

N

n

N

m

N

n

12

2)(

2

1cos)(

2

1cos1

22

12

2

1cos)(2

2/

1

2/

1

12/

0

令

阻滤波器的滤波器，如高通、带）（时＝

况不能用于设计呈奇对称；所以这种情对所以

是奇对称，对且由于

处，必然有一个零点。在即

，（时，）当从上看出：（

其中：

上面式子可以表示成：

0H

)(

)]2

1(cos[)2(

1)(,0)(

0)]2

1(cos[1

2,2,1),

2(2)(

))2

1(cos()()(

2

1

wwH

wnw

zzHH

nww

Nnn

Nhnb

nwnbwH

N

n

w= 奇对称， H()=0 ( 总是 )

只能设计低通和带通滤波器。

n

对称中心

N=6

)(wH

w 0 22

)(nh

0

3、第三种情况 h(n)=-h(N-1-n)奇对称， N=奇数

2

3

0

22

1

2

3

0

1

1

2

1

2

3

0

2

1sin2

N

n

Nj

N

n

nNjnj

N

Nn

nj

N

n

njj

Nnnhe

eenh

enhenheH

2/)1(

1

2

1

1

2

3

0

sin2

12

sin2

12

2

1

)]2

1(sin[)(2)(

N

m

N

m

N

n

mmN

hH

mmN

hH

Nmn

NnnhH

令

2)

2

1(-)(

N

＝

nN

hnc

nncH

N

n

2

12)(

sin)(2

1

1

所以：

看出： sin(nw) 对于 w=0,,2 处皆为 0

即 H(w) 在 w=0,,2 处必为零。也即 H(z)在 z=1 处都为零。

(2) sin(nw) 对 w=0,,2呈奇对称形式

不能用于 的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。

n

对称中心

h(n)=-h(N-1-n) ， N=7奇数

)(wH

w 0 22

关于 w=0、 w= 奇对称

H(0)=0 、 H()=0 ( 总是 )

只能设计带通滤波器。

)(nh

0

4 、第四种情况h(n)=-h(N-1-n) ， N=偶数

)]2

1(sin[)1

2(2)(

12

2

1sin2

2

1

12

0

22

1

N

m

N

n

Nj

j

mmN

hH

Nnm

NnnheeH

令

2)

2

1()(

N

呈偶对称。处呈奇对称，对，对

：）由于（

处有一零点。在处为零。即在即

处为零，，在）由于由此看出：（

其中：

可设

由式子：

wwH

wn

zzHwwH

wwn

Nnn

Nhnd

wnndwH

wnnN

hwH

N

n

N

n

20)(

)2

1(sin2

1)(2,0)(

20)2

1(sin1

2,,3,2,1)1

2(2)(

)2

1(sin)()(

)2

1(sin)1

2(2)(

2/

1

2/

1

关于 w=0奇对称、 w=偶对称

H(0)=0 ( 总是 )

只能设计带通、高通滤波器。

n

对称中心

h(n)=-h(N-1-n) ， N=6偶数

)(wH

w 0 22

)(nh

0

总结第一种情况 ，偶、奇，四种滤波器都

可设计。第二种情况，偶、偶，可设计低、带

通滤波器，不能设计 高通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通

滤波器，其它滤波器 都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、

带通滤波器，不能设计低通和带阻

•四种 FIR 数字滤波器的相位特性只取决于 h(n) 的对称性，而与 h(n) 的值无关。•幅度特性取决于 h(n)。

•设计 FIR 数字滤波器时，在保证 h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。

例 1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2 ，求幅度函数 H (ω)。解 Ｎ为奇数并且 h(n) 满足偶对称关系a (0) = h (2) = 2a (1) = 2 h (3) = -1a (2) = 2 h (4) = -1H (ω) = 2 - cosω- cos2ω = 2- (cosω+cos2ω)

4.1.3 零点特性

)(

)k(

n-1-N,)n-1-N(

)1()(

FIR

11

1

0

11

0

)1(

1

0

1

0

zHz

zkhzzh

kzhzH

znhzH

nNhnh

N

N

k

kNN

k

kN

N

n

n

N

n

n

＝令

又

即：具有对称性滤波器的单位脉冲响应由于线性相位

0))

1(()

1(

0))(()(

))(())(())(()(

1

)()()2

0)(

))(()()(

)()(,0)(

)(1

1

0

1

0

1

11)1(11

1)1(

1

ii

ii

N

n

nN

n

n

ii

iNi

iN

ii

Ni

ii

zH

zH

zHzH

zHznhznhzH

zzzz

zHnh

zHz

zHzzH

zHzzHzH

zzzHzz

同理：

也必是零点及所以

，的零点还必须共轭成对是实数，由于

也是零点的零点，则是）若

讨论：

所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，这种共轭对共有四种

1 ）既不在单位园上，也不在实轴上，有四个互为倒数的两组共轭对，如图

zi z*

i

1/zi 1/z*i

2 ）在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的共轭，所以有一对共轭零点， zi,z

*i

3 ）不在单位圆上，但在实轴上，是实数 ,共轭就是自己，所以有一对互为倒数的零点 , zi, 1/zi

4 ）又在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以只有一个零点，只有两种可能， zi=1或 zi=-1

总结1) h(n)偶对称， N 为偶数 H(π)=0

z=-1是 H（ z ）的单根；2） h(n)奇对称， N 为奇数，因 H(0)=0,H(π)=0

所以 z=1， z=-1 都是 H（ z ）的单根；2) h(n)奇对称， N 为偶数， H（ 0） =0，

所以 z=1是 H（ z ）的单根。线性相位滤波器是 FIR 滤波器中最重要的一种，

应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵循其约束条件。

4.2 窗口设计法 4.2.1 设计思路 (1)先给定所要求设计的理想滤波器的频

率响应 Hd(ejw). (2) 设计一个可实现的 FIR 滤波器频率响应 H(ejw)。

(3) 由于设计是在时域中进行，使所设计滤波器的 h(n)去逼近理想单位取样响应hd(n)

如果希望得到的滤波器的理想频率响应为 ，那么 FIR 滤波器的设计就在于寻找一个传递函数

去逼近 ，逼近方法有三种： 窗口设计法（时域逼近） 频率采样法（频域逼近） 最优化设计（等波纹逼近） 时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着手，使 h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列 hd(n) 。我们知道hd(n) 可以从理想频响通过付氏反变换获得

2

2

1)(

o

njjdd deeHnh

但一般来说，理想频响 是矩形频率特性，所以，这样得到的理想单位脉冲响应 hd(n)往往都是无限长序列，而且是非因果的。但 FIR的 h(n)是有限长的，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的 hd(n) 。最简单的办法是直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。这种截取等效于在 hd(n) 上施加了一个长度为 N 的矩形窗， h(n) 是通过一个“窗口”所看到的一段，因此 ， h(n) 也可表达为 h(n) 和一个“窗函数”的乘积，即

h(n)=w(n) hd(n)

这一方法通常称为窗口设计法。

设计步骤：

)()()()( nwnhnheH ddj

d

)()( nheH j

)()( nheH dj

d 设

1 ）由定义

)())(()2 jeHnhDFT 3 ）卷积

插值

给 FIR 滤波器加窗的目的在于

a. 使得单位脉冲响应有限长 b. 获得理想滤波器特性 c. 产生一正弦变化

练习

答案： a

4.2.2 矩形窗口法以一个截止频率为 ωc 的线性相位理想低通滤波器为例 ,

讨论 FIR 的设计问题。

a. 对于给定的理想低通滤波器 ，计算

)(

))(sin(

2

12

1)(

0

1)(

n

ndee

deeHnh

ae

eH

cnjj

njjdd

c

cj

jd

c

c

为低通滤波器的延时，

)(nhd

这是一个以 N-1/2 为中心的偶对称的无限长非因果序列，如果截取一段 n=0～ N-1的 hd(n)作为h(n) ，则为保证所得到的是线性相位 FIR 滤波器，延时 a 应为 h(n) 长度 N 的一半 , 即 2/)1( N

)()(

0

1)()()()(

)(.

nRnw

n

Nnonhnwnhnh

nhb

NR

dRd

其中：

为其它值

计算

)2/sin(

)2/sin()(

2

1

)()(

)2/sin(

)2/sin(

1

1)()(

)(

)(*)()(

)(.

R

2

1

1

0R

NW

N

eWeW

Ne

e

eeenweW

eW

eWeHeH

eHc

R

jR

j

Nj

n

N

nj

jNnjnj

Rj

jR

jR

jd

j

j

＝，＝其中

来表示用幅度函数和相位函数

为窗口函数的频谱设

计算

2/sin

2/sin

N

WR

对频响起作用的是它的幅度函数

理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式

Hd(ejω)=Hd(ω)e-jωα

其中幅度函数为

两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有

||0

||1)(

c

cdH

deWeHeWeHeH jR

jd

jR

jd

j

][)(2

1)(*)()( )(

deWeH jR

jd

)()()(2

1

dWHe Rdj )()(

2

1

如果也以幅度函数 和相位函数来表示 H（ ejω） ,

则实际 FIR 滤波器的幅度函数 H（ ω ）为

正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。

 

jj eHeH )()(

dWHH Rd )()(

2

1)(

矩形窗的卷积过程（ P95 的图 4.5 来说明）

4 个特殊频率点看卷积结果：（ 1）ω=0 时 , H(0)等于 在 [-ωc, ωc] 内的积分面积，（ 2）ω=ωc 时，一半重叠， H(ωc)=0.5 H(0);（ 3 ） ω=ωc –2π/N 时，第一旁瓣（负数）在通带外，出现正肩峰； （ 4 ） ω=ωc +2π/N 时，第一旁瓣（负数）在通带内，出现负肩峰。

)(RW

( )H 随 ， 绕零值波动

( ) (0)H H 随 ， 绕 波动

2c N

2c N

窗口函数对理想特性的影响：

①改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，其宽度取决于窗函数的主瓣宽度， WR(ω) 的主瓣宽度为 。

②过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于

WR(ω) 的旁瓣，旁瓣所包围的面积越大，通带波动增加，阻带衰减减少。

③N增加 , 过渡带宽减小 ,肩峰值不变。

因主瓣附近

其中 x=Nω/2, 所以 N 的改变只能改变窗谱的主瓣宽度，，不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变 WR（ω ）的绝对值大小和起伏的密度，当 N增加时，幅值变大，频率轴变密，而最大肩峰永远为 8.95% ，这种现象称为吉布斯（ Gibbs ）效应。

x

xN

N

NN

NWR

sin

2/

)2/sin(

)2/sin(

)2/sin()(

N4

肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响

改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求：

①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；

②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。

但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。

例 用矩形窗设计一个 FIR 线性相位低通数字滤

波器。已知求出并 h(n) 的表达式。

21,5.0 Nc

为其他

故：

其中

，

n

nn

n

nwnhnh

N

n

ndee

deeHnh

eeH

d

c

c

ccnjj

njjdd

c

cj

jd

c

c

,0

200,)10(

]2

sin[

)()()(

5.0 102/)1(

)(

)](sin[

2

1

)(2

1)(

0

1)(

0 0.25 0.5 0.75 1-40

-30

-21

-10

0N=15N=31

用矩形窗设计的 c=/2 FIR 滤波器的幅度响应

几种常用的窗函数：

1. 矩形窗，上面已讲过，不再细述

2. 汉宁窗（升余弦窗）

)(]1

2cos1[

2

1)( nR

N

nnw N

)(25.0)(5.0 1

2

1

2

nReenR NN

nj

N

nj

N

3. 汉明窗（改进的升余弦窗）

  4. 布莱克曼窗（三阶升余弦窗）

)(1

2cos46.054.0)( nR

N

nnw N

)(1

4cos08.0

1

2cos5.042.0)( nR

N

n

N

nnw N

窗函数 主瓣宽度 过渡带宽 旁瓣峰值衰减(dB)

阻带最小衰减(dB)

矩形 N/4 N/8.1 -13 -21

汉宁 N/8 N/2.6 -31 -44

汉明 N/8 N/6.6 -41 -53

布莱克曼 N/12 N/11 -57 -74

对窗函数的总的要求 希望它频谱的主瓣尽量地窄，旁瓣尽量地小，使频域的能量能主要集中在主瓣内。

采用窗函数法，设计简单，方便，也实用。但要求用计算机，且边界频率不易控制 . 长度 N 也不易一次确定，要反复几次才能求得满意结果。

FIR DF 设计的窗函数法不但可以用来设计普通的 LP， HP， BP及 BS 滤波器，也可以用来设计一些特殊的滤波器，例如差分滤波器，希尔伯特滤波器。

3. 矩形窗设计的 FIR 滤波器过渡带最窄。

错 对

工程上，常给定频域上的技术指标，。因此，采用频率采样法更为直接，尤其对于 Hd(ejw) 公式较复杂，或 Hd(ejw) 不能用封闭公式表示而用一些离散值表示时，频率采样设计法更为方便，有效。

内插公式

§4.3 频率采样法

窗函数法与频率采样法的区别 1 、窗 函 数 法 是 从 时 域 出 发， 把 理 想 的 hd(n) 用 一 定 形 状 的 窗 函 数 截 取 成 有 限 长 的 h(n) ， 以 此 h(n) 求 近 似 理 想 的 hd(n) ， 这 样 得 到 的 频 率 响 应 H(ejw) 逼 近 于 所 求 的 理 想 频 率 响 应 Hd(ejw) 。

2 、频 率 抽 样 法 则 从 频 域 出 发， 把 给 定 的 理 想 频 率 响 应 Hd(ejw) 加 以 等 间 隔 抽 样 然 后 以 此 Hd(k) 作 为 实 际 FIR 滤 波 器 的 频 率 特 性 的 抽 样 值 H(k) ，知 道 H(k) 后， 由 DFT 定 义， 可 用 频 域 的 这 N 个 抽 样 值 H(k) 求 唯 一 确 定 的 有 限 长 序 列 h(n) ， 利 用 这 N 个 频 域 抽 样 值 H(k) 同 样 可 得 FIR 滤 波 器 的 系 统 函 数 H(z) 及 频 率 响 应 。

4.3.1 频率抽样法基本原理 频 率 抽 样 法 从 频 域 出 发， 把 给 定

的 理 想 频 率 响 应 Hd(ejw) 加 以 等 间 隔 抽 样得到 Hd(k) ，即

1

0

2

2

1,,2,1,0,)(1

)(

).()(

1,,2,1,0,)()(

N

k

knN

j

d

d

kN

w

jwdd

NnekHN

nh

nhIDFTkHN

NkeHkH

，得到进行点再对

。型）式适合频率采样结构（滤波器）式可用来设计直接型（

。形成滤波器的系统函数采样值上式就是直接利用频率看出：

令

（

（

其系统函数为

FIR

FIR

kH

zW

kH

N

zzHeW

ze

kH

N

zzH

znhzH

d

N

kk

NNj

N

k kN

j

dN

N

n

n

2

1

)(

1

)(1)(,

)2(

1

)(1)

)1()()

1

01

/2

1

0 12

1

0

单位圆上的频响为：

1,,1,00

1)(

,1,,1,0,2

2//2sin

)2/sin(1

)(

2//2sin

2/sin)(1

1

)(1

2

2

1

1

0

1

0

2

1

1

0/2

Niki

kie

NiiN

eNk

N

Ne

ekH

eNk

NkH

N

ee

kH

N

eeH

iN

j

k

N

kNj

jk

N

k

jk

N

k

N

kNj

N

kjNkj

Njj

则令

式中

这是一个内插公式。内插公式表明：

•在每个采样点上， 逼近误差为零，频响 严格地与理想频响的采样值 H(k) 相等；

•在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；反之，误差大。在理想频率响应的不连续点附近， 会产生肩峰和波纹。

• N增大，则采样点变密，逼近误差减小。

抽样点上，频率响应严格相等 抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加 变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小

4.3.2. 用频率采样法设计线性相位滤波器的约束条件

为了设计线性相位的 FIR 滤波器，单位脉冲响应序列，要满足一定的约束条件。

另外，前已指出 , 具有线性相位的 FIR 滤波器，其单位脉冲响应 h(n) 是因果，有限长，实序列，由此得到的幅频和相频特性，就是对 H(k) 的约束。

)1()( nNhnh

1 、第一种情况线性相位 FIR 滤波器

kNkk

k

jk

jk

Nj

kN

j

wN

jjw

HHH

Nkk

N

N

eHekN

HeHkH

eHkH

wHwHwH

ewHeH

Nnh

kk

必须满足偶对称：得出：

（

也用幅值与相角表示：（如果抽样值

（即应为偶对称。其中幅度函数

（

为奇数；是偶对称，

)1

1(2

)2

1(

)2

()()

)()

)2())(

)()

)(

2

2

2

)1(

2 、第二种情况线性相位 FIR 滤波器

kNkk

k

jk

jk

Nj

kN

j

wN

jjw

HHH

Nkk

N

N

eHekN

HeHkH

eHkH

wHwHwH

ewHeH

Nnh

kk

必须满足奇对称：得出：

（

也用幅值与相角表示：（如果抽样值

（即应为奇对称。其中幅度函数

（

为偶数；是偶对称，

)1

1(2

)2

1(

)2

()()

)()

)2())(

)()

)(

2

2

2

)1(

3、第三种情况线性相位 FIR 滤波器

kNkk

k

jk

jk

Nj

kN

j

wN

jjw

HHH

Nkk

N

N

eHekN

HeHkH

eHkH

wHwHwH

ewHeH

Nnh

kk

必须满足偶对称：得出：

（

也用幅值与相角表示：（如果抽样值

（即应为偶对称。其中幅度函数

（

为奇数；是奇对称，

)1

1(2

)2

1(

)2

()()

)()

)2())(

)()

)(

2

2

2

)1(

4 、第四种情况线性相位 FIR 滤波器

kNkk

k

jk

jk

Nj

kN

j

wN

jjw

HHH

Nkk

N

N

eHekN

HeHkH

eHkH

wHwHwH

ewHeH

Nnh

kk

必须满足奇对称：得出：

（

也用幅值与相角表示：（如果抽样值

（即应为奇对称。其中幅度函数

（

为偶数；是奇对称，

)1

1(2

)2

1(

)2

()()

)()

)2())(

)()

)(

2

2

2

)1(

例：设计一个 FIR 数字 LP 滤波器，其理想特性为

采样点数 N=33 ，要求线性相位。

解：能设计低通线性相位数字滤波器的只有单位脉冲响应偶对称两种情况，因 N 为奇数，所以只能选择第一种情况。

即 h(n)=h(N-1-n) ， 幅频特性关于 π偶对称，也即 HK 偶对称。

利用 HK 的对称性 , 求频响采样值。

5.00

5.001jd eH

根据指标要求，共有 33 个取样点，所以第 k 点对

应频率为 而截止频率 0.5π 位于 之间

，所以， k=0～ 8 时，取样值为 1；根据对称性，

故 k=25～ 32 时，取样值也为 1 ，因 k=33 为下一周期，所以 0～ π区间有 9 个值为 1 的采样点， π～ 2π区间有 8个值为 1 的采样点，因此：

258

,312321330 ......,,

HH

HHHHHH

所以

代入内插公式，求将

258,0

2/33/2sin

33233sin

33

1

2//2sin

2/sin1

)()(

32033

32

2

1

24~90

32~25;8~01

1632

0

1

0

1632

2

kH

ek

kH

eeNk

NH

NeH

eHeHkH

kkN

k

kH

k

j

k

k

N

k

N

kj

N

kj

kj

jjk

kN

k

k

k

8

1

8

1

8

1

8

1

32

25

332sin

33233sin

332sin

33233sin

2sin

233

sin

33

1)(

332sin

33233sin

332sin

33233sin

33/)33(2

sin

33)33(

233sin

2/33/2sin

33233sin

k

j

n n

nk

k

k

k

k

k

eH

n

n

k

n

n

n

k

kH

小结频率采样设计法优点：

①   直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；

② 适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值。

典型应用：用一串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，覆盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度；

缺点：截止频率难以控制。

因频率取样点都局限在 2π/N 的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板。 充分加大 N ，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。

4.5 IIR 和 FIR 滤波器的比较 前面讨论了 IIR 和 FIR两种滤波器传输函数

的设计方法。 这两种滤波器究竟各自有什么特点？在实际

运用时应该怎样去选择它们呢？ 为此对这两种滤波器作一简单的比较。 1.从性能上比较 2.从结构上比较 3.从设计工具上比较

1 、从性能上进行比较 从性能上来说， IIR 滤波器传输函数的极点可位于

单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存贮单元少，所以经济而效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。选择性越好，则相位非线性越严重。相反， FIR 滤波器却可以得到严格的线性相位，然而由于 FIR 滤波器传输函数的极点固定在原点，所以只能用较高的阶数达到高的选择性；对于同样的滤波器设计指标，FIR 滤波器所要求的阶数可以比 IIR 滤波器高 5~10倍，结果，成本较高，信号延时也较大；如果按相同的选择性和相同的线性要求来说，则 IIR 滤波器就必须加全通网络进行相位较正，同样要大增加滤波器的节数和复杂性。

从结构上看 IIR 滤波器必须采用递归结构，极点位置必

须在单位圆内，否则系统将不稳定。相反，FIR 滤波器主要采用非递归结构，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，运算误差也较小。此外， FIR滤波器可以采用快速付里叶变换算法，在相同阶数的条件下，运算速度可以快得多。

从设计工具看 IIR 滤波器可以借助于模拟滤波器的成果，

因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供准确计算，计算工作量比较小，对计算工具的要求不高。 FIR 滤波器设计则一般没有封闭形式的设计公式。窗口法虽然仅仅对窗口函数可以给出计算公式，但计算通带阻带衰减等仍无显式表达式。一般，FIR 滤波器的设计只有计算程序可循，因此对计算工具要求较高。

另外 IIR 滤波器虽然设计简单，但主要是用于设计

具有片段常数特性的滤波器，如低通、高通、带通及带阻等，往往脱离不了模拟滤波器的格局。而 FIR 滤波器则要灵活得多，尤其它能易于适应某些特殊的应用，如构成微分器或积分器，或用于 Butterworth 、 Chebyshev等逼近不可能达到预定指标的情况，例如，由于某些原因要求三角形振幅响应或一些更复杂的幅频响应，因而有更大的适应性和更广阔的天地。

总结 从上面的简单比较我们可以看到 IIR 与 FIR 滤

波器各有所长，所以在实际应用时应该从多方面考虑来加以选择。例如，从使用要求上来看，在对相位要求不敏感的场合，如语言通讯等，选用 IIR 较为合适，这样可以充分发挥其经济高效的特点，而对于图像信号处理，数据传输等以波形携带信息的系统，则对线性相位要求较高，如果有条件，采用 FIR 滤波器较好，当然，在实际应用中应考虑经济上的要求以及计算工具的条件等多方面的因素。

重点习题 4.1 ， 4.6， 4.8