แบบฝึกหัด-ตรีโกณมิติ 6-1-1a4%d9%e8%c1%d7%cd%a4%b3… ·...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

ตอนท 72

แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 6)

โดย

รองศาสตราจารย จตรจวบ เปาอนทร

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ ปงบประมาณ 2555

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

สอการสอน เรอง ตรโกณมต

สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 18 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ตรโกณมต

2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต

- สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส

- อตราสวนตรโกณมต

- อตราสวนตรโกณมตของมม 30 , 45 และ 60

3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย

- เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต

- วงกลมหนงหนวย การวดมมและหนวยของมม

4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1

- ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม

- คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 , 45 และ 60

- ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต

กบฟงกชนตรโกณมต

- คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตางๆ

- คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมม

- สตรผลคณ ผลบวกและผลตางของฟงกชนตรโกณมต

7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและกฎของโคไซน

- กฎของไซน

- กฎของโคไซน

8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต

- การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต

- กราฟของฟงกชนตรโกณมต

9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน

- ฟงกชนตรโกณมตผกผน

- สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

10. แบบฝกหดตอนท 1 แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 1)

- แบบฝกหดขนพนฐาน

- แบบฝกหดขนสง

- แบบทดสอบ

15. แบบฝกหด ตอนท 6 แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 6)

16. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย

17. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน

18. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวาสอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอน

ส าหรบครและนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตรเรอง

ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆ ทคณะผจดท าได

ด าเนนการไปแลวทานสามารถดชอเรองและชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร

ทงหมดในตอนทาย ของคมอฉบบน

เรอง ตรโกณมต

หมวด แบบฝกหด

ตอนท 6 (6/6)

หวขอยอย 1. แบบฝกหดขนพนฐาน

2. แบบฝกหดขนสง

3. แบบทดสอบ

จดประสงคการเรยนร

เพอใหผเรยน

1. เขาใจมโนทศนของตวผกผนของฟงกชนตรโกณมต และเงอนไขทท าใหตวผกผนของ

ฟงกชนตรโกณมตเปนฟงกชนได

2. สามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผนได

3. สามารถเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผนได

4. เขาใจสมบตตางๆ ของฟงกชนตรโกณมตผกผน โดยพจารณาจากกราฟ

1. แบบฝกหดขนพนฐาน

แบบฝกหดขนพนฐาน ใชเพอวดความรความสามารถขนพนฐานของผเรยน ประกอบดวยขอค าถาม

แบบปรนยแบบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ พรอมเฉลย ครอบคลมตามจดประสงคการเรยนรทก าหนด โดย

ผจดท าไดออกแบบใหโปรแกรมสามารถสมขอค าถาม เพอสรางเปนแบบฝกหดทมความแตกตางกนได มาก

ถง 310 แบบ

โจทยขอ 1 เนอหาหลก : การหาคาฟงกชนตรโกณมตและคาฟงกชนตรโกณมตผกผน

จดประสงคของโจทยขอ 1 คอ ใหหาคาฟงกชนตรโกณมตและคาฟงกชนตรโกณมตผกผน

1.1 จงหาคาของ 1

tan arcsin 2

1. 2 2. 3 3. 13

เฉลย 3

1 1tan arcsin = tan =

csc arccos 2

1. 2 2. 3 3. 13

เฉลย 1

2csc arccos = csc = 2

1.3 จงหาคาของ cos arctan 1

1. 2 2. 3 3. 13

เฉลย 4

2 1cos arctan 1 = cos = =

จดประสงคของโจทยขอ 2 คอ ใหหาคาฟงกชนตรโกณมต โดยอาศยขอมลจากฟงกชนตรโกณมตผกผน และใชรปสามเหลยมมมฉากหาอตราสวนตรโกณมต

sin arctan 7

1. 2425

2. 2425

3. 725

4. 725

เฉลย 2

ให 24

x = arctan 7

ดงนน 24

tan x = 7 แลว

24sin x =

ฉะนน

24 24sin arctan = sin x =

tan arccos 5

เฉลย 4

ให 4

x = arccos 5 ดงนน

4cos x =

5 แลว

3tan x =

ฉะนน

4 3tan arccos = tan x =

cos arccot 12

1. 1213

2. 1213

เฉลย 3

ให 5

x = arccot 12

ดงนน 5

cot x = 12

แลว 5

cos x = 13

ฉะนน

5 5cos arccot = cos x =

จดประสงคของโจทยขอ 3 คอ ใหหาคาฟงกชนตรโกณมตและคาฟงกชนตรโกณมตผกผน

3.1 จงหาคาของ arctan 2 sin 3

เฉลย 3

arctan 2 sin = arctan 3 = arctan 3 = 3 3

3.2 จงหาคาของ arcsec 2 tan 4

เฉลย 4

arcsec 2 tan = arcsec 2 = 4 3

arccot cosec 2 6

เฉลย 1

1arc cot cosec = arccot 1 =

โจทยขอ 4 เนอหาหลก : การหาโดเมนและพสยของฟงกชนตรโกณมตผกผน

จดประสงคของโจทยขอ 4 คอ ใหหาโดเมนและพสยของฟงกชนตรโกณมตผกผน

4.1 จงพจารณาวาขอใดตอไปน ผด

1. โดเมนของฟงกชน arcsin คอ [ 1 , 1 ] 2. โดเมนของฟงกชน arccot คอ

3. พสยของฟงกชน arccos คอ , 2 2

4. พสยของฟงกชน arcsec คอ [ 0 , ]

เฉลย 3

พสยของฟงกชน arccos คอ [ 0 , ]

1. โดเมนของฟงกชน arccos คอ [ 1 , 1 ] 2. พสยของฟงกชน arccsc คอ , 2 2

3. โดเมนของฟงกชน arcsec คอ ( 1 , 1) 4. พสยของฟงกชน arctan คอ , 2 2

เฉลย 2

พสยของฟงกชน arccsc คอ , 02 2

1. พสยของฟงกชน arcsin คอ [ 0 , ] 2. โดเมนของฟงกชน arccsc คอ ( 1 , 1 )

3. พสยของฟงกชน arccot คอ ( 0 , ) 4. โดเมนของฟงกชน arccos คอ [ 1 , 1 ]

เฉลย 1

พสยของฟงกชน arcsin คอ , 2 2

โจทยขอ 5 เนอหาหลก : การหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผนและคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก หรอ

ผลตางของมม

จดประสงคของโจทยขอ 5 คอ ใหหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผน โดยอาศยฟงกชนตรโกณมตของ

ผลบวก หรอผลตางของมม

5.1 จงหาคาของ arctan 2 arctan 3

arctan 7

1arctan

เฉลย 1

ให x = arctan 2 และ y = arctan 3 แลว tan x = 2 และ tan y = 3

tan x tan y 2 3 1tan ( x y) = = =

1 + tan x tan y 1 + 6 7

ดงนน 1

x y = arctan 7

5.2 จงหาคาของ arcsin 1

3 arcsin

1. 8 15arcsin

2. 15 8arcsin

arcsin 12

เฉลย 2

ให 1

x = arcsin 3

และ 1

y = arcsin 4 แลว

1sin x =

3 และ

1sin y =

sin ( x y ) = sin x cos y cos x sin y

1 15 8 1 15 8

= = 3 4 3 4 12 12

แลว 15 8x y = arcsin

5.3 จงหาคาของ 3 1

arccos + arccos 5 3

arccos 15

3. 3 + 4 3arccos

4. 3 4 8arccos

เฉลย 4

ให 3

x = arccos 5 และ

1y = arccos

3 แลว

3cos x =

5 และ

1cos y =

cos ( x + y ) = cos x cos y sin x sin y

3 1 4 8 3 4 8

= = 5 3 5 3 15

จดประสงคของโจทยขอ 6 คอ ใหหาคาฟงกชนตรโกณมต โดยอาศยขอมลจากฟงกชนตรโกณมตผกผน และสมบตของฟงกชนตรโกณมต

cos arctan + arccot 15 15

1. 1 2. 1 3. 0 4. 7

เฉลย 3

ให 7

x = arctan 15

และ 7

y = arccot 15

แลว 7

tan x = 15

และ

ดงนน tan x = tan y2

จะได x = y

2 แลว cos x + y = cos = 0

6.2 จงหาคาของ 1 8 8

sec arcsin + arccos 2 9 9

1. 2 2. 12

3. 0 4. 1

เฉลย 1

ให 8

x = arcsin 9 และ

8y = arccos

9 แลว

8sin x =

9 และ

8sin y = cos y =

ดงนน sin x = sin y2

จะได x = y

2 แลว

x + ysec = sec = 2

sin arcsin + arccos 3 3

1. 1 2. 12

2 4. 1

เฉลย 4

ให 2

x = arcsin 3 และ

2y = arccos

3 แลว

2sin x =

3 และ

2sin y = cos y =

ดงนน sin x = sin y2

จะได x = y

2 แลว sin ( x + y ) = sin = 1

7tan y = cot y =

โจทยขอ 7 เนอหาหลก : การหาผลเฉลยของสมการตรโกณมต จดประสงคของโจทยขอ 7 คอ ใหหาผลเฉลยของสมการตรโกณมต โดยใชความสมพนธของฟงกชน

ตรโกณมตผกผน 7.1 ถา arcsin x = arccos x จงหาคาของ arcsec ( 4x2 )

เฉลย 1

ใชความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน arccos x = arcsin x2

จากโจทยจะได arcsin x = arcsin x2

แลว 2 arcsin x = 2

ได arcsin x = 4 ฉะนน 1

x = sin = 4 2 แลว 2arcsec ( 4x ) = arcsec 2 =

7.2 ถา arccos x arcsin x = 6

จงหาคาของ arctan ( 2x )

เฉลย 2

จาก arccos x = arcsin x2 และจากโจทยจะได 2 arcsin x =

แลว 1 1 2

arcsin x = = = 2 2 6 2 6 6

ดงนน

1x = sin =

ฉะนน arctan ( 2x ) = arctan 1 = 4

7.3 ถา arcsin x arccos x = 6

จงหาคาของ arccot ( 2x )

เฉลย 4

จาก arccos x = arcsin x2

และจากโจทยจะได arcsin x arcsin x = 2 6

แลว 4

2 arcsin x = + = 6 2 6

ดงนน 3

x = sin = 3 2

ฉะนน arc cot ( 2x ) = arccot 3 = 6

โจทยขอ 8 เนอหาหลก : สมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผน

จดประสงคของโจทยขอ 8 คอ ใชสมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผน

1. 2cos ( arcsin x ) = 1 x เมอ x [ 1 , 1 ]

tan ( arccot x ) = x

เมอ x 0

1sin ( arccot x ) =

1 + x เมอ x

xcos ( arctan x ) =

1 + x เมอ x

เฉลย 4

1cos ( arctan x ) =

1 + x เมอ x

1. 2sin ( arccos x ) = 1 x เมอ x [ 1 , 1 ]

cot ( arctan x ) = x

เมอ x 0

1cos ( arccot x ) =

1 + x เมอ x

xsin ( arctan x ) =

1 + x เมอ x

เฉลย 3

xcos ( arccot x ) =

1 + x เมอ x

xsin ( arccot x ) =

1 + x เมอ x

tan ( arccot x ) = x

เมอ x 0

1cos ( arctan x ) =

1 + x เมอ x

4. 2sin ( arccos x ) = 1 x เมอ x [ 1 , 1 ]

เฉลย 1

1sin ( arccot x ) =

1 + x เมอ x

โจทยขอ 9 เนอหาหลก : สมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผน

จดประสงคของโจทยขอ 9 คอ ใชสมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผน 9.1 จงพจารณาวาขอใดตอไปน ถกตอง

1. arccsc

3 = arcsin 3

2. 1 1

arcsin + arccos = 4 4 2

arcsec 2 = arccos 2

4. arctan = arctan

เฉลย 2

ใชสมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผน arcsin x + arccos x = 2

9.2 จงพจารณาวาขอใดตอไปน ถกตอง

1. arccsc1

4 = arcsin 4

2. 1 1

arcsin + arccos = 3 3

3. 1 1

arccos = arccos 5 5

4. arctan = arctan

เฉลย 1

ใชสมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผน arccsc1

x = arcsin x

9.3 จงพจารณาวาขอใดตอไปน ถกตอง

1. arcsin

1 1 + arccos =

5 5 2 2.

1 1arccos = arccos

3. arctan + arccot = 2

4. arcsin = arcsin 5 5

เฉลย 3

ใชสมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผน arctan x + arccot x = 2

โจทยขอ 10 เนอหาหลก : กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน

จดประสงคของขอ 10 คอ เขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผนตางๆ

10.1 กราฟในขอใดตอไปน เปนของฟงกชน y = arccsc x

เฉลย 3 10.2 กราฟในขอใดตอไปน เปนของฟงกชน y = arcsin x

ตวเลอกเหมอนโจทยขอ 10.1

เฉลย 1

10.3 กราฟในขอใดตอไปน เปนของฟงกชน y = arccos x

ตวเลอกเหมอนโจทยขอ 10.1

เฉลย 2

2. แบบฝกหดขนสง

แบบฝกหดขนสง ใชเพอวดความรความสามารถขนสงของผเรยน ครอบคลมตามจดประสงคการ

เรยนรทก าหนด ประกอบดวยขอค าถามแบบปรนยแบบ 4 ตวเลอก จ านวน 15 ขอ พรอมเฉลยทผใชสอ

สามารถเลอกดค าอธบายไดจากสอการสอน

โจทยขอ 1 เนอหาหลก : การหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผน คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกของมม

จดประสงคของโจทยขอ 1 คอ ใหนกเรยนหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผนงายๆ เชน ของคา 3

และใชบทนยามของฟงกชนตรโกณมตผกผน ตอไปน

x = arccos y กตอเมอ y = cos x

และน าความรเรองคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกของมมมาใชรวมดวย

sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B

โจทยขอ 2 เนอหาหลก : การหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผน คาฟงกชนตรโกณมตของผลตางของมม

จดประสงคของโจทยขอ 2 คอ ใหนกเรยนใชบทนยามของฟงกชนตรโกณมตผกผน

x = arctan y กตอเมอ y = tan x

และน าความรเรองคาฟงกชนตรโกณมตของผลตางของมมมาใชรวมดวย

tan x tan ytan ( x y) =

1 + tan x tan y

โจทยขอ 3 เนอหาหลก : การหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผน

จดประสงคของโจทยขอ 3 คอ ใหนกเรยนหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผนโดยใชสมบตของ

ฟงกชนตรโกณมตผกผน ดงน

arccos ( x ) = arccos x

หรอสามารถใชบทนยามของฟงกชนตรโกณมตผกผน และใชสมบตของฟงกชนโคไซนไดเชนกน

y = arccos x กตอเมอ x = cos y cos ( x ) = cos x

โจทยขอ 4 เนอหาหลก : การหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผน

จดประสงคของโจทยขอ 4 คอ ใหนกเรยนหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผน โดยใชบทนยามของ

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

y = arcsin x กตอเมอ x = sin y

แลวน าขอมลมาประกอบการหาคาของฟงกชนแทนเจนต โดยในสอการสอนจะใชรปสามเหลยมมมฉาก

ชวยในการหาอตราสวนตรโกณมตของมม โดยทนกเรยนตองพจารณาเครองหมายของมมประกอบดวย

โจทยขอ 5 เนอหาหลก : การหาคาของฟงกชนตรโกณมตผกผน

จดประสงคของโจทยขอ 5 คอ ใหนกเรยนหาคาฟงกชนตรโกณมต โดยใชบทนยามของฟงกชน

ตรโกณมตผกผน

x = arctan y กตอเมอ y = tan x

และใชสมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผน

arctan ( z ) = arctan z

โจทยขอ 6 เนอหาหลก : การหาผลเฉลยของสมการตรโกณมต

จดประสงคของโจทยขอ 6 คอ ใหนกเรยนหาผลเฉลยของสมการตรโกณมต โดยใชบทนยามของ

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

y = arccos x กตอเมอ x = cos y

และใชรปสามเหลยมมมฉากในการหาคาฟงกชนตรโกณมต

โจทยขอ 7 เนอหาหลก : การหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผน คาฟงกชนตรโกณมตของมมสองเทา

จดประสงคของโจทยขอ 7 คอ ใหนกเรยนใชบทนยามของฟงกชนตรโกณมตผกผน และใชสตร

หาคาฟงกชนไซนของมมสองเทา

โจทยขอ 8 เนอหาหลก : ความสมพนธ และสมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผน

จดประสงคของโจทยขอ 8 คอ ใหนกเรยนใชสตรแสดงความสมพนธของฟงกชนตรโกณมต

ผกผน และสมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผนตางๆ

arcsin x + arccos x = 2

arcsin ( x ) = arcsin x

arctan x + arccot x = 2

arccos ( x ) = π arccos x

arctan ( x ) = arctan x

arccsc x = arcsin 1x

arccsc ( x ) = arccsc x

arcsec x = arccos 1x

arcsec ( x ) = π arcsec x

arccot ( x ) = π arccot x

โจทยขอ 9 เนอหาหลก : สมบตของฟงกชนตรโกณมตกบฟงกชนตรโกณมตผกผน

จดประสงคของโจทยขอ 9 คอ ใหนกเรยนใชสมบตตางๆ ของฟงกชนตรโกณมตผกผน

cos ( arcsin x ) = sin ( arccos x ) = 21 x

tan ( arccot x ) = cot ( arctan x ) = 1x

cos ( arctan x ) = sin ( arccot x ) = 2

sin ( arctan x ) = cos ( arccot x ) = 2

จดประสงคของโจทยขอ 10 คอ ใหนกเรยนเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผนทง 6 แบบได

จดประสงคของโจทยขอ 11 คอ ใหนกเรยนเขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน

y = arcsec x และยายแกนตอ

ในกรณทจ าไมได สอการสอนนไดเรมตนเขยนกราฟ y = cos x กอนตามดวย y = sec x แลว

เขยนกราฟ y = arcsec x ตอจากนนยายแกนไปทจด

2 ไดเปนกราฟ y = arcsec x

โจทยขอ 12 เนอหาหลก : การหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผน คาฟงกชนตรโกณมตของมมสองเทา

หาคาฟงกชนไซนของมมสองเทา แลวหาผลเฉลยของสมการตรโกณมตได

โจทยขอ 13 เนอหาหลก : ใชสมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผนในการหาผลเฉลยของสมการ

ตรโกณมต

จดประสงคของโจทยขอ 13 คอ ใชสมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผนในการหาผลเฉลยของ

สมการ แลวแปลงสมการตรโกณมตเปนสมการพชคณต หาผลเฉลยไดตามตองการ

ส าหรบโจทยขอน เราใช arctan ( ) = arctan ( )

โจทยขอ 14 เนอหาหลก : การหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผน คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก

ของมม

หาคาฟงกชนแทนเจนตของผลบวกของมม

โจทยขอ 15 เนอหาหลก : การหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผน คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก

ของมม

การหาคาฟงกชนแทนเจนตของมมสองเทา ของผลบวกของมม พรอมกนนใหใชรปสามเหลยมมมฉากหา

คาฟงกชนตรโกณมตตอ

3. แบบทดสอบ

แบบทดสอบ ใชเพอทดสอบความรความสามารถขนสงของผเรยน ประกอบดวยขอค าถามแบบ

ปรนยแบบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ พรอมเฉลย ครอบคลมตามจดประสงคการเรยนรทก าหนด โดยผจดท า

ไดออกแบบใหโปรแกรมสามารถสมขอค าถาม เพอสรางเปนแบบฝกหดทมความแตกตางกนไดมากถง 310

แบบ

โจทยขอ 1 เนอหาหลก : การหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผน และคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก หรอผลตางของมม จดประสงคของโจทยขอ 1 คอ ใหหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผน และหาคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก หรอผลตางของมม

cos arctan 1 arcsin 2

1. 6 2

2. 6 + 2

4. 3 + 2

เฉลย 2

3cos arctan 1 arcsin

= 2 + 6

tan arcsin 2 arccos 2 2

3. 3 4. 3

เฉลย 1

1 3tan arcsin 2 arccos

sin arccos + 2 arctan 32

1. 6 2

2. 6 + 2

4. 2 6

เฉลย 1

2sin arccos + 2 arctan 3

sin + 2 = sin + 4 3 4 3

sin cos + cos sin 4 3 4 3

= 2 1 2 3 2 + 6

+ = 2 2 2 2 4

2 1 2 3cos = cos cos + sin sin = +

4 3 4 3 4 3 2 2 2 2

1tan 2 = tan = tan =

6 6 6 3 6 3

โจทยขอ 2 เนอหาหลก : การหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผน คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก หรอผลตางของมม จดประสงคของโจทยขอ 2 คอ ใหหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผน คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก หรอผลตางของมม หรอมมสองเทา

sin arcsin arccos 13 5

1. 5665

2. 5665

3. 1665

4. 1665

เฉลย 3

ให 5

x = arcsin 13

และ 4

y = arccos 5 แลว

5sin x =

13 และ

4cos y =

จาก 5 4 12 3 16

sin ( x y ) = sin x cos y cos x sin y = = 13 5 13 5 65

tan 2 arcsin 5

เฉลย 2

ให 1

x = arcsin 5 แลว

1sin x =

5 ได

1tan x =

แลว 2

1 2 tan x 1 4tan 2 arcsin = tan 2x = = = 15 1 tan x 31

cos 2 arctan 2

เฉลย 4

ให 1

x = arctan 2 แลว

1tan x =

2 ได

1sin x =

21 1 3

cos 2 arctan = cos 2x = 1 2 sin x = 1 2 = 2 5 5

โจทยขอ 3 เนอหาหลก : การหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผน คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก หรอผลตางของมม จดประสงคของโจทยขอ 3 คอ ใหหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผน โดยอาศยสตรคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก หรอผลตางของมม หรอมมสองเทา

3.1 จงหาคาของ 2 23 5arcsin cos sin

เฉลย 1

จาก 5 5 3

sin = sin = sin 8 8 8

ดงนน 2 2 2 23 5 3 3cos sin = cos sin

8 8 8 8

ฉะนน 2 23 5arcsin cos sin

arcsin cos = arcsin = 4 2 4

3.2 จงหาคาของ arctan 2 + arctan 3

เฉลย 1

ให x = arctan 2 และ y = arctan 3 แลว tan x = 2 และ tan y = 3

จะได tan x + tan y 2 + 3 5

tan ( x + y ) = = = = 11 tan x tan y 1 2 3 1 6

ดงนน x + y = 4

3.3 จงหาคาของ arccos ( 0.9 ) + arccos ( 0.9 )

2. 3. 32

เฉลย 2

ให x = arccos ( 0.9 ) และ y = arccos ( 0.9 ) แลว cos x = 0.9 และ

ดงนน cos x = cos ( y ) จะได x = y ฉะนน x + y =

2 23 3 3arcsin cos sin = arcsin cos 2

cos y = cos y = 0.9

โจทยขอ 4 เนอหาหลก : การหาคาฟงกชนตรโกณมตผกผน คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกของมม จดประสงคของโจทยขอ 4 คอ ใหหาคาของฟงกชนตรโกณมต โดยอาศยขอมลจากฟงกชนตรโกณมตผกผน และสตรคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกของมม

1 cos + arccos + arctan 2 5 3

1. 0 2. 2 3. 1 4. 1 เฉลย 2

ให 4

x = arccos 5 และ

4y = arctan

3 แลว

4cos x =

5 และ

4tan y =

cos + x + y2

= sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y

= 3 3 4 4 9 + 16

+ = = 15 5 5 5 25

จะได 4 4

1 cos + arccos + arctan = 1 + 1 = 22 5 3

4.2 จงหาคาของ 21 1sin 2 arctan + cot arcsin

1. 2.8 2. 4.8 3. 6.8 4. 8.8 เฉลย 4

ให 1

x = arctan 2 และ

1y = arcsin

3 แลว

1tan x =

2 และ

1sin y =

2 2 21 2 4sin ( 2x ) + cot y = 2 sin x cos x + ( cosec y 1 ) = 2 + 3 1 = + 9 1 = 8.8

4.3 จงหาคาของ 1 3 3

sec arcsin + arccos 3 5 5

1. 2 2. 23

3. 2 4. 23

เฉลย 2

ใชความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน arcsin x + arccos x = 2 เมอ

แลว 1 3 3 1 2

sin arcsin + arccos = sec = sec = 3 5 5 3 2 6 3

cos + x + y = cos x + y

โจทยขอ 5 เนอหาหลก : การหาผลเฉลยของสมการตรโกณมต จดประสงคของโจทยขอ 5 คอ ใหหาผลเฉลยของสมการตรโกณมต โดยอาศยความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

5.1 จงหาผลคณของผลเฉลยทงหมดของสมการ 2 1arccos sin + arccos x =

เฉลย 3

เนองจาก arccos ( 1) = ดงนน 2 1sin + arccos ( x ) = 1

จะได 2 1 3 + arccos x = ,

ฉะนน 2 1 3

arccos x = = 2 2 2

แลว 2 1x = 0

2 ฉะนน

2 จะไดผลเฉลย คอ

12 และ

จะไดผลคณของผลเฉลย คอ 1 1 1

= 2 2 2

5.2 จงหาผลคณของผลเฉลยทงหมดของสมการ 2cos 2 arcsin x + 2 = 4 sin arccos x

เฉลย 2

ใชความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน 2cos ( arcsin x ) = sin ( arccos x ) = 1 x

จาก 2 2 2cos ( 2 arcsin x ) = 2 cos ( arcsin x ) 1 = 2 ( 1 x ) 1 = 1 2x

และ 2 2sin ( arccos x ) = 1 x

จะไดสมการ ( 1 2x2 ) + 2 = 4 ( 1 x2 )

2x2 = 4 3

x2 = 12

ผลเฉลย คอ 12 และ

จะไดผลคณเทากบ

1 1 1 =

5.3 จงหาผลคณของผลเฉลยทงหมดของสมการ 2cos ( 2 arccos ( 1 x ) ) = x

1. 1 2. 1 3. 2 3 4. 2 + 3

เฉลย 3

เนองจาก 2cos ( 2 arccos ( 1 x ) ) = 1 2 sin ( arccos ( 1 x ) ) และ

2sin ( arccos ( 1 x ) ) = 1 (1 x) ดงนนไดสมการ

21 2 ( 1 (1 x) ) = 2x

21 2 ( 1 1 + 2x x ) = 2x

21 4x + 2x = 2x

2x 4x + 1 = 0

x = 4 16 4

พจารณา 1 x , 1 x = 1 2 3 = 1 3

แต 1 3 โดเมนของฟงกชน arccos

ดงนน ผลเฉลย คอ 2 3 เทานน

จะไดผลคณของผลเฉลย คอ 2 3

โจทยขอ 6 เนอหาหลก : การหาผลเฉลยของสมการตรโกณมต จดประสงคของโจทยขอ 6 คอ ใหหาผลเฉลยของสมการตรโกณมต โดยอาศยคาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกของมม หรอมมสองเทา

6.1 ผลเฉลยทงหมดของสมการ arctan ( 1 + x ) + arctan ( 1 x ) = 4

อยในชวงใด

1. ( 1 , 2 ) 2.

เฉลย 3

ให y = arctan ( 1 + x ) และ z = arctan ( 1 x ) แลว tan y = 1 + x และ tan z = 1 x

จากสมการ เราม y + z = 4 จะได tan ( y + z ) = tan = 1

จาก 2 2

tan y + tan z ( 1 + x ) + ( 1 x ) 2tan ( y + z ) = = =

1 tan y tan z 1 ( 1 x ) x

จะไดสมการ 2

x จะได x = 2

พจารณาตวเลอกตางๆ

32 , 2 2 ,

6.2 ถา 12 4

x = arcsin arccos 13 5

จงหาคาของ tan x

1. 1663

2. 1663

3. 6316

4. 6316

เฉลย 4

ให 12

y = arcsin 13

และ 4

z = arccos 5 แลว

12sin y =

13 และ

4cos z =

จากสมการ เราม x = y z ดงนน tan x = tan ( y z ) = tan ( y + z ) 12 3

+ tan y + tan z 48 + 15 63 635 4tan x = = = = = 12 31 tan y tan z 20 36 16 1615 4

6.3 ถา 22 arcsin x + arcsin 2 x 1 x = 3

จงหาคาของ arcsin x

เฉลย 4

ให y = arcsin x และ 2z = arcsin 2 x 1 x แลว sin y = x และ 2sin z = 2 x 1 x

และ

y , z ,

2 2 ดงนน >cos y 0 แลว 2cos y = 1 x

ฉะนน sin z = 2 sin y cos y = sin 2y ดงนน z = 2y

จากสมการ เราม 2y + z = 3

2y + 2y = 3

y = 12

นนคอ arcsin x = 12

โจทยขอ 7 เนอหาหลก : การหาผลเฉลยของสมการตรโกณมต จดประสงคของโจทยขอ 7 คอ ใหหาผลเฉลยของสมการตรโกณมต

7.1 ถา arccos x arcsin x = 6

จงหาคาของ arccos x arctan 2x

2. 712

เฉลย 1

ใชความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน arccos x + arcsin x = 2 แทนในสมการ

จะได arcsin x arcsin x = 2 6

arcsin x = = = 2 2 6 2 3 6

ดงนน

ฉะนน 1

arccos x arctan 2x = arccos arctan 1 = = 2 3 4 12

7.2 จงหาผลเฉลยของสมการ 1 1

arctan x = arctan 2 arctan 4 2

1. 1613

2. 1613

3. 1316

4. 1316

เฉลย 3

ให 1

y = arctan 4 และ

1z = arctan

2 แลว

1tan y =

4 และ

1tan z =

จากสมการ เราม arctan x = y 2z นนคอ x = tan ( y 2z )

จาก tan y tan 2z

tan ( y 2z ) = 1 + tan y tan 2z

และ 2

2 tan ztan 2z =

1 tan z

จะได

12 42tan 2z = = 1 31

และ

1 4 3 16 134 3tan ( y 2z ) = = = 1 4 12 + 4 161 +

7.3 ถา arctan x arccot x = 3

จงหาคาของ cos arctan x +

เฉลย 2

ใชความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกน arctan x + arccot x = 2 แทนในสมการ

จะได arctan x arctan x = 2 3

1 1 5 5

arctan x = + = = 2 3 2 2 6 12

แลว

5 5 + 3 8 2 1cos arctan x + = cos + = cos = cos = cos =

4 12 4 12 12 3 2

โจทยขอ 8 เนอหาหลก : สมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผน จดประสงคของโจทยขอ 8 คอ ใชสมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผน

1. arcsin ( x) = arcsin x เมอ x [ 1 , 1 ]

2. arccos ( x) = arccos x เมอ x [ 1 , 1 ]

3. arctan x + arccot x = 2

เมอ x

4. arcsin x arccos x = 2

เมอ x [ 1 , 1 ]

เฉลย 4

arcsin x + arccos x = 2

เมอ x [ 1 , 1 ]

1. arctan ( x) = arctan x เมอ x

2. arcsin x + arccos x = 2

เมอ x [ 1 , 1 ]

3. arccos ( x ) = arccos x เมอ x [ 1 , 1 ]

4. arccsc

1 = arcsin x

x เมอ x [ 1 , 1 ] { 0 }

เฉลย 3

arccos ( x ) = arccos x เมอ x [ 1 , 1 ]

1. arccsc

1 = arcsin x

x เมอ x [ 1 , 1 ] { 0 }

2. arctan x + arccot x = 2

เมอ x

3. arctan ( x ) = arctan x เมอ x

arccos ( x ) = arccos x2

เมอ x [ 1 , 1 ]

เฉลย 4

arccos ( x ) = arccos x เมอ x [ 1 , 1 ]

โจทยขอ 9 เนอหาหลก : การหาผลเฉลยของสมการตรโกณมต จดประสงคของโจทยขอ 9 คอ หาผลเฉลยของสมการตรโกณมต

9.1 ก าหนดให tan ( arccos x ) = 3 จงหาคาของ x sin ( 2 arccos x )

เฉลย 3

จากสมการ เราได arccos x = 3 และ

1x = cos =

ดงนน 1 2 1 3 3

x sin ( 2 arccos x ) = sin = = 2 3 2 2 4

9.2 จงหาผลเฉลยทเปนบวกของสมการ 4

sin ( 2 arctan x ) = 5

2. 2 3. 12

และ 2 4. 14

และ 4

เฉลย 3

ให y = arctan x แลว tan y = x ดงนน 2

xsin y =

1 + x และ

1cos y =

จากสมการ เราม 4

sin 2y = 5

2 sin y cos y = 5

2x 4 =

1 + x 5

22x 5x + 2 = 0

( 2x 1 ) ( x 2 ) = 0

x = , 22

9.3 จงหาผลคณของผลเฉลยทไมเปน 0 ของสมการ sin ( 2 arcsin x ) = x

เฉลย 1

ให y = arcsin x แลว sin y = x แทนคาตางๆ ในสมการ จะได

sin 2y = sin y

2 sin y cos y = sin y

เนองจาก x 0 แลว sin y 0 ดงนน 1

cos y = 2 ได

จะได ผลเฉลยทไมเปน 0 คอ 3

2 และ

ฉะนน ผลคณของผลเฉลยเทากบ 3 3 3

= 2 2 4

2 1 3sin y = 1 cos y = 1 =

โจทยขอ 10 เนอหาหลก : กราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน จดประสงคของโจทยขอ 10 คอ เขยนกราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน

10.1 กราฟในขอใดตอไปนเปนฟงกชน y = arccos x

เฉลย 2

เนองจาก arccos x = arccos ( x ) ดงนนเราเขยนกราฟ y = arccos x กอน

แลวหาภาพสะทอนกบแกน Y จะไดกราฟ y = arccos ( x ) หรอ y = arccos x นนเอง

10.2 กราฟในขอใดตอไปนเปนฟงกชน y = arcsec x

เฉลย 2

เนองจาก arcsec x = arcsec ( x ) ดงนนเราเขยนกราฟ y = arcsec x กอน

แลวหาภาพสะทอนกบแกน Y จะไดกราฟ y = arcsec ( x ) หรอ y = arcsec x นนเอง

10.3 กราฟในขอใดตอไปนเปนของฟงกชน y = arccot x

เฉลย 2

เนองจาก arccot x = arccot ( x ) ดงนนเราเขยนกราฟ y = arccot x กอน

แลวหาภาพสะทอนกบแกน Y จะไดกราฟ y = arccot ( x ) หรอ y = arccot x นนเอง

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน

ประจาปงบประมาณ 2555

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน (ประจาปงบประมาณ 2555)

เรอง ตอน

คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ บทนาเรองคณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2) เซต แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3) ทฤษฎจานวน แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) จานวนจรง แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 5) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 6) เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย บทนาเรองเรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จดและสวนของเสนตรง ความชนและเสนตรง ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย ความสมพนธและฟงกชน แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) เมทรกซ บทนาเรองเมทรกซ ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซขนาด 2x2 ดเทอรมแนนต อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน

เรอง ตอน เวกเตอร บทนาเรองเวกเตอร เวกเตอรในเชงเรขาคณต

เวกเตอรในระบบพกดฉาก

การคณเวกเตอรเชงสเกลาร

การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร จานวนเชงซอน บทนาเรองจานวนเชงซอน จานวนเชงซอน

สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน

พกดเชงขว

รากของจานวนเชงซอน ตรโกณมต แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 6) คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน ภาษและเครดต ดอกเบยและคางวด

ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน ลาดบและอนกรม แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 4)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) แคลคลส บทนาเรองแคลคลส ลมต

ความตอเนอง

อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ

อนพนธ

คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ

การประยกตคาสดขด

ปรพนธ 1

ปรพนธ 2 หลกคณตศาสตร หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต

เรอง ตอน สถต แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 4)

ปงบประมาณ 2554-2555

คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง บทนา คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ แบบฝกหด ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2)

เซต บทนา เซต การใหเหตผลและตรรกศาสตร เนอหา ความหมายของเซต บทนา การใหเหตผลและตรรกศาสตร เซตกาลงและการดาเนนการบนเซต เนอหา การใหเหตผล เอกลกษณของการดาเนนการบนเซตและ ประพจนและการสมมล แผนภาพเวนน-ออยเลอร สจนรนดรและการอางเหตผล แบบฝกหด เซต (ตอนท 1) ประโยคเปดและวลบงปรมาณ เซต (ตอนท 2) แบบฝกหด การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) สอปฏสมพนธ แผนภาพเวนน-ออยเลอร การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3)

จานวนจรง สอปฏสมพนธ หอคอยฮานอย บทนา จานวนจรง ตารางคาความจรง เนอหา สมบตของจานวนจรง การแยกตวประกอบ ทฤษฎจานวนเบองตน ทฤษฎบทตวประกอบ บทนา ทฤษฎจานวนเบองตน สมการพหนาม เนอหา การหารลงตวและจานวนเฉพาะ อสมการ ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย เทคนคการแกอสมการ แบบฝกหด ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) คาสมบรณ ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) การแกอสมการคาสมบรณ กราฟคาสมบรณ เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย แบบฝกหด จานวนจรง (ตอนท 1) บทนา เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จานวนจรง (ตอนท 2) เนอห จดและสวนของเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 3) ความขนและเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 4) ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 5) วงกลม จานวนจรง (ตอนท 6) พาราโบลา สอปฏสมพนธ ชวงบนเสนจานวน วงร สมการและอสมการพหนาม ไฮเพอรโบลา กราฟคาสมบรณ การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย

ความสมพนธและฟงกชน ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม บทนา ความสมพนธและฟงกชน บทนา ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม เนอหา ความสมพนธ เนอหา เลขยกกาลง โดเมนและเรนจ ฟงกชนเลขชกาลง อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของ ฟงกชนลอการทม ฟงกชน อสมการเลขชกาลง ฟงกชนเบองตน อสมการลอการทม พชคณตของฟงกชน อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส ตรโกณมต ฟงกชนประกอบ บทนา ตรโกณมต แบบฝกหด ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) เนอหา อตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) และวงกลมหนงหนวย ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) ฟงกชนตรโกณมต 1 ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) ฟงกชนตรโกณมต 2 ฟงกชนตรโกณมต 3

เมทรกซ กฎของไซนและโคไซน บทนา เมทรกซ กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ฟงกชนตรโกณมตผกผน การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซ แบบฝกหด ตรโกณมต (ตอนท 1) ขนาด 2×2 ตรโกณมต (ตอนท 2) ดเทอรมแนนต ตรโกณมต (ตอนท 3) อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว ตรโกณมต (ตอนท 4) การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน ตรโกณมต (ตอนท 5) ตรโกณมต (ตอนท 6)

เวกเตอร สอปฏสมพนธ มมบนวงกลมหนงหนวย บทนา เวกเตอร กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา เวกเตอรในเชงเรขาคณต กฎของไซนและกฎของโคไซน เวกเตอรในระบบพกดฉาก การคณเวกเตอรเชงสเกลาร กาหนดการเชงเสน การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร บทนา กาหนดการเชงเสน เนอหา การสรางแบบจาลองทางคณตศาสตร

จานวนเชงซอน การหาคาสดขด บทนา จานวนเชงซอน เนอหา จานวนเชงซอน คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน สารคด ภาษและเครดต พกดเชงขว ดอกเบยและคางวด รากของจานวนเชงซอน ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน

ลาดบและอนกรม สถตและการวเคราะหขอมล บทนา ลาดบและอนกรม บทนา สถตและการวเคราะหขอมล เนอหา ลาดบ เนอหา บทนา เนอหา การประยกตลาดบเลขคณตและเรขาคณต แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 ลมตของลาดบ แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 ผลบวกยอย แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 อนกรม การกระจายของขอมล ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม การกระจายสมบรณ 1 แบบฝกหด ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) การกระจายสมบรณ 2 ลาดบและอนกรม (ตอนท 2) การกระจายสมบรณ 3 ลาดบและอนกรม (ตอนท 3) การกระจายสมพทธ ลาดบและอนกรม (ตอนท 4) คะแนนมาตรฐาน ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) ความสมพนธระหวางขอมล 1 ความสมพนธระหวางขอมล 2

แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 1 บทนา แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 2 เนอหา ลมต แบบฝกหด สถต (ตอนท 1) ความตอเนอง สถต (ตอนท 2) อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ สถต (ตอนท 3) อนพนธ สถต (ตอนท 4) คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ การประยกตคาสดขด แบบจาลองทางคณตศาสตร ปรพนธ 1 สารคด แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ปรพนธ 2 ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต

การนบและความนาจะเปน โครงงานทางคณตศาสตร บทนา การนบและความนาจะเปน วจย การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย เนอหา การนบเบองตน ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส การเรยงสบเปลยน การถอดรากทสาม การจดหม เสนตรงลอมเสนโคง ทฤษฎบททวนาม กระเบองทยดหดได การทดลองสม ความนาจะเปน 1 ความนาจะเปน 2

หลกคณตศาสตร เนอหา หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร

แบบฝึกหัด-ตรีโกณมิติ 6-1-1a4%d9%e8%c1%d7%cd%a4%b3… ·...

Documents

Transcript of แบบฝึกหัด-ตรีโกณมิติ 6-1-1a4%d9%e8%c1%d7%cd%a4%b3… ·...

วิชาคณิตศาสตร์ - etvthai.tv fileลิมิตของล ำดับเศษส่วนพหุนำม -พหุนาม ดูดีกรีสูงสุด

7 วิชาสามัญ ปี 2555 วิชาคณิตศาสตร์

วิชาคณิตศาสตร์ · 2016-10-06 · ล าดับเลขคณิต คือล าดับที่มีผลต่างของพจน์ที่

ชุดที่1 แนวข้อสอบ O-NETวิชาคณิตศาสตร์ ประถมศึกษา · แนวข้อสอบ o-netวิชาคณิตศาสตร์

เฉลย O-NET 55 วิชาคณิตศาสตร์ ม.3

47 ตรีโกณมิติ ตอนที่4_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ2

เฉลย วิชาคณิตศาสตร์vichakan.nisit.ku.ac.th/download/ontour20/Quiz 04 Solutions.pdfเฉลย: วิชาคณิตศาสตร์ 1.ก

48 ตรีโกณมิติ ตอนที่5_ฟังก์ชันตรีโกณมิติ3

49 ตรีโกณมิติ ตอนที่6_กฎของไซน์และโคไซน์

แผนการจัดการเรียนรู้ รหัส 2000-1406 วิชาคณิตศาสตร์ ... · คณิตศาสตร์พาณิชยกรรม

ข้อสอบ วิชาคณิตศาสตร์ O net ปี 51

1.2.1.2.2 การหาปริพันธ์โดยการแทนค่าด้วยฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ ...math.kku.ac.th/nimana_n/wp-content/uploads/2019/12/... ·

วิชาคณิตศาสตร์ 2

ข้อสอบ7วิชาสามัญ วิชาคณิตศาสตร์

Pisa วิชาคณิตศาสตร์

ข้อสอบโควตา ม.อ. 60 วิชาคณิตศาสตร์

เฉลยตัวอย่างข้อสอบเก่า วิชาคณิตศาสตร์ ม.2 ปีการศึกษา 2553

งานวิจัยในชั้นเรียนfve.ac.th/car/2555/term1/008.pdf · ตรีโกณมิติ ใหมีผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนสูงขึ้นและผานเกณฑ์ที่ก

50 ตรีโกณมิติ ตอนที่7_กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติ (TRIGONOMETRY) คอร์ส PAT1 …21cf6ad8.dl-one2up.com/onetwo/content/2016/5/14/21cf6ad87519b68fd... · ตรีโกณมิติ (trigonometry)