Post on 12-Jan-2017
主講:李健榮
104.9.9 (三)
9:30AM ~ 4:30PM
元智大學無線通訊射頻收發機技術課程
射頻發射機系統分析與設計
2
大綱
速覽:從電路學、傅立葉分析到通訊系統
線性調制:從類比通訊進入數位通訊的關鍵
複數波包與調制譜
線性發射機架構:直接轉頻與雙次轉頻發射機
固定波包發射機架構
波包消除與回復(EER)發射機
波包追蹤與波包追隨發射機
混合正交與極座標發射機
發射機設計參數:線性度
從RLC電路分析談起
4
電路基本定律與分析法
定律
歐姆定律 (Ohm’s Law)
克希荷夫電壓定律 (KVL)
克希荷夫電流定律 (KCL)
分析法
於電路迴路找出KVL或KCL方程式,欲解N個未知數
就需找到N道方程式聯立解之
節點電壓分析法 (搭 KCL)
網目電流分析法 (搭 KVL)
5
電容與電感之電壓電流關係
+
- C
+
-
Cdv t
i t Cdt
L
- +
L
di tv t L
dt
0
0
1 t
Lt
i t v t dt i tL
+
0
0
1 t
C Ct
v t i t dt v tC
+
C在一般情況均為定值,又由上式可知,當 v 為定值時,則 i = 0,換句話說,對直流穩態而言,理想電容器為開路。
當電感器外接直流電流源時,則 vL = 0,因此一個理想的電感器對直流穩態而言,理想電感器相當於短路。
i t
i t
Cv t
Lv t
6
無源RC與RL電路
R C v(t)
+
-
ic iR
+
-
v t ( ) L R
-
+
vR
i t ( )
由 KCL,可得 0c Ri i+
10 0
dv t v t dv tC v t
dt R dt RC+ +
0 0
di t di t RL Ri t i t
dt dt L+ +
由 KVL
dy tay t f t
dt+ 一階微分形式:
dy tay t f t
dt+ 一階微分形式:
• 求RC與RL電路之電壓或電流即是在求一階微分方程式之解。
7
外加電源之RC與RL電路(有源)
Vs C
+
-
v
vR + -
i t 0 R t 0 i L
+ - vL
R Vs
vs(t) C
+
-
v
vR + -
i R i L
+ - vL
R vs(t)
0f t
8
一階微分方程式與一階電路之響應
RC及RL電路為一階電路,形式為一階微分方程式:
其中 y 為響應或輸出,可為電壓 v(t)或電流i(t)、a為常數、f(t) 為輸入函數, f(t)可為常數或時間函數。
解一階微分方程式:積分因子法
c 可由初值條件 y(0) 決定之。
又
上式兩邊對 t 積分,可得
其中 c 為積分常數,再以 e-at 乘以上式可得
首先左右同乘 eat,則
dy tay t f t
dt+
at at at
dy te e ay t e f t
dt+
at at at at atdy t dy td
e y t e e ay t e ay t e f tdt dt dt
+ +
at
at at atd e y t
dt e f t dt e y t e f t dt cdt
+
at at aty t e e f t dt ce- - +
形式很固定
9
一階微分方程式與一階電路之響應
在微分方程中, 稱為完全解,在電路中則被稱為完全響應 (Complete response) 。
at at aty t e e f t dt ce- - +
at at aty t e e f t dt ce- - +
特解yp (Particular solution),在電路中被稱為激勵響應 (Forced response) ;又因此解為一固定值且不隨時間之增加而衰減或消失,故又稱為穩態響應(Steady-state response)。
齊次解(Homogeneous solution),此解和電路本身特性以及電路之初值有關,而與輸入函數無關,故被稱為自然響應 (Natural response),又因此解將隨t
之增加而衰減至零,故又被稱為暫態響應 (Transient response)。
t
A Be -
+
f ny y +
at at
fy A e e f t dt- t
at
ny Be ce-
-
1
a
解的形式也固定
10
一階微分方程式與一階電路之響應
若輸入函數為 f(t) 時,
零輸入情況:
有源情況:
上式被稱為無源電路之自然響應 (Natural response)。又因輸
入為零,故稱為零輸入響應。
f (t) = 0,其解為
電路含有初值且外接獨立電源情況時,若設 f (t) = b ,
因此
故其解為
at at at
dy tay t f t y t e e f t dt ce
dt
- -+ +
0at aty t ce y e- -
atby t ce
a
- + 0b
y ca
+ 0b
c ya
-
0 atb by t y e
a a
- + -
則 又
零態情況: 電路初值為零(y (0) = 0)且外接獨立電源情況時,若設 f (t) = b ,
因此
故其解為
atby t ce
a
- + 0 0y b
ca
-
atb by t e
a a
- -
則 又
此解通常被稱為零態響應
11
一階電路:小結
微分方程
定性的
抽象的
完全解
定性的 (穩態 + 暫態)
• 自我描述的
定量的
• 係數(R, L, C, sources)與邊界條件(B. C.) 將行為給具體化
(類)通解
從抽象走向具體化的過程,是千篇一律、固定的步驟
總是得到同一種樣子的解 (定性與定量,一次解決!)
f ny t y y +
dy tay t f t
dt+
0 atb by t y e
a a
- + -
12
範例
Department of Electronic Engineering, NTUT
試解一階微分方程式
(a) f (t) = 0 且 y(0) = 10 (零輸入但有初值)
(b) f (t) = 5 且 y(0) = 10 (直流輸入且有初值)
(c) f (t) = 5 且 y(0) = 0 (直流輸入但無初值=零態)
[SOL] 依 可得如下解:
5
dy ty t f t
dt+
at at aty t e e f t dt ce- - +
(a) 5ty t ce-
0 10y c
510 ty t e-
(b) 5 5 5 55 1t t t ty t e e dt ce ce- - - + + 0 10 1 9y c c +
51 9 ty t e- +
(c) 5 5 5 55 1t t t ty t e e dt ce ce- - - + +
0 0 1 1y c c + -
51 ty t e- -
0 atb by t y e
a a
- + -
如果你有帶筆,試試看用下面的通式來寫出解:
13
不同人的領悟
學生:「噢!背多分!」
工程師:「這個夠快!」 (懶~~~)
教授:「恩!必須出一題很難算的!」
14
二階電路與二階微分方程式(I)
考慮右圖之 RLC 串聯電路,
設 i(0) = I0 , v(0) = V0
,求 v(t)。
依 KVL,t > 0 時
對 t 微分,可得二階微分方程式
可得
00
1 t
s
diL Ri idt V V
dt C+ + +
2
2
sdVd i di iL R
dt dt C dt+ +
00
1 t
v idt VC
+
2
2
1 sdVd i R di i
dt L dt LC L dt+ +
2
2
SVd v R dv v
dt L dt LC LC+ +
2
2 S
d v dvLC RC v V
dt dt+ +
Vs
+
-
v(t)
L R
i(t)
C
或
由 dv
i Cdt
及
或
15
二階電路與二階微分方程式(II)
一般二階電路的電流及電壓方程式,皆可以二階
微分方程式描述,且其形式為
其中y為電流或電壓,a 及 b 為常數,f(t) 為激勵源或激勵源對時間 t 之微分。滿足上式的解如同一階電路方程式之完全響應,為
2
2
d y dya by f t
dt dt+ +
n fy y y +
16
二階電路的自然響應
二階微分方程式的解為
其中 yn 必須滿足
由於指數函數是唯一可重複對 t 微分後,仍能保持原來指數函數型態的函數,因此可令 來求解
可直接在 中以 s2 取代二階微分 ,
以s1 取代一階微分 , s0 取代零階微分 yn 而得
上式稱為特徵 (或特性) 方程式 (Characteristic Equation)
n fy y y +
2
20n n
n
d y dya by
dt dt+ +
st
ny Ae
2
20n n
n
d y dya by
dt dt+ +
ndy
dt
2
2
nd y
dt
2 0st st stAs e Asae Abe+ + 2 0stAe s as b+ +
2 0s as b+ + 由於 不能為零,因此 stAe
17
插播:導數 (Derivative)
Derivative
2y x
Isaac Newton (牛頓, 1643-1727)
Method of fluxions
流量: fluent
流數: fluxion
y對應x的導數(變化率)即兩個流數的比
代表對時間的微分
G. Wilhelm Leibniz (萊布尼茲, 1646-1716) dy
dx
y
x
J-Louis Lagrange (拉格朗日, 1736-1813)
y f x dy
y f xdx
2y x 2y x
2
2
d dy d yy f x
dx dx dx
2y x x 2y
x
x
18
插播:數學運算子 (Operators)
運算子執行特定的數學操作,如
導數:
Louis Arbogast (1759-1803) 定義了微分運算子符號,這是微積分改以代數方法處理的重要前身(拉格朗日與拉普拉斯)
+ -
dy d
y f x ydx dx
2 2 32d
x x xdx
2 2
2 2
d dy d y dy f x y
dx dx dx dx
2 2 32x Dx x
2 5 320D x x
微分運算子 (Differential operator)
dD
dx
nn
n
dD
dx
19
插播:微分方程式
英國電機工程師 Oliver Heaviside (1850-1925)
Heaviside是一個靠自學起家的工程師、數學家暨物理學家。他發明了一種求解微分方程式的方法,該方法曾經被視為是一種旁門左道,但最後已被印證他的方法就是後來使用Laplace轉換的方法。Heaviside的貢獻改變了日後數學、科學與工程的面貌。
Heaviside的思考
Heaviside想,只要遇到 這種形式的微分方程式,那麼其解必定為
同樣的概念,只要遇到 形式的微分方程,其解必為
xy e x x xdy e De e
dx Dy y
xy e xy Ce或 C 為常數係數
Dy y
kxy e kx kx xdy e De ke
dx Dy ky
kxy CeDy ky
20
插播:Heaviside的戲法
考慮一微分方程式
使用微分運算子的記法重寫
若將D視為代數,上式即變為單純的「代數方程式」
解:
2
27 8 0
d dy y y
dx dx+ - 7 8 0y y y + -
2 7 8 0D y Dy y+ -
2 7 8 0D D y+ -
8x xy Ae Be- +General Solution (通解):
2 7 8 1 8 0D D D D+ - - + 0y 或 1D 8D -
Dy y 8Dy y - xy Ae 8xy Be-
與 roots
put y back 與
solutions 與(或)
特徵方程式
21
自然頻率與自然響應
二次方程式 的解有二個,分別為
其中 s1 及 s2 被稱為電路的自然頻率 (Natural frequency)。因此,可得到兩
個形式的自然響應分量,即 與 ,因此
為方便分析,將二階微分方程式 改為如下形式:
其中ωn 被稱為自然無阻尼頻率或無阻尼共振頻率。α為阻尼比,一般稱 α> 1 之情況為過阻尼,α< 1 為欠阻尼,α = 1 為臨界阻尼 (不用記α ,看根即知)。
及
2 0s as b+ +
2
1
4
2
a a bs
- + -
2
2
4
2
a a bs
- - -
1
1 1
s t
ny Ae 2
2 2
s t
ny A e 1 2
1 2
s t s t
ny Ae A e +
2
2
d y dya by f t
dt dt+ +
2
2
22 n n
d y dyy f t
dt dt + +
特徵方程式為
其中
2 22 0n ns s + +
2
n b
2 n a
n b
=2 2n
a a
b
22
判別式與自然響應間關係(I)
s1 及 s2 為相異實根 1. 或 2 4 0a b- 2 4a b
1 2 3
1 2 1 2
s t s t t t
ny Ae A e Ae A e- - + +
例: 右圖為 之波形。 2 84 2t t
ny e e- - -
=2 2n
a a
b
且 ,因此
過阻尼 (Overdamped)
2 4a b >1
t 0
過阻尼曲線
24 te-
2 84 2t te e- --
82 te--
2 0s as b+ +
2
1
4
2
a a bs
- + -
2
2
4
2
a a bs
- - -
由於
yn 為隨時間逐漸衰減的函數
自然響應:
23
判別式與自然響應間關係(II)
2. 或
根據尤拉公式 (Euler's Formula) 及
yn可改寫為
為一種阻尼振盪弦波
2 4 <0a b- 2 <4a b 1,2s j
1 2
j t j t
ny C e C e + -
+
cos sinje j + cos sinje j - -
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
cos sin cos sin
cos sin
cos sin
t j t j t
n
t
t
t
y e C e C e
e C t j t C t j t
e C C t jC jC t
e A t A t
- +
+ + -
+ + -
+
41/65
s1 及 s2 為共軛複數根
自然響應:
因 ,故
欠阻尼 (Underdamped)
2 <4a b = 12
a
b
若 即 項不存在,則
上式為不隨時間衰減的弦波函數。
無阻尼 (Undamped)
0 0dy
dt
衰減 振盪
t
-5
0
5
之波形5 sin3t
ny e t-
5 te-
5 sin 3te t-
5 te--
2
3
4
3
24
判別式與自然響應間關係(III)
3. 或
此種情況被稱為臨界阻尼,因
且此時 s1 及 s2 為相等實根,即
2 4 =0a b- 2 =4a b
1 22
as s -
= 12
a
b
之波形 21 2
at
ny At A e-
+
t 0
臨界阻尼曲線
21 2
at
ny At A e-
+
25
範例
某電路的方程式為 ,且已知 ,
若(a) a = 3, b = 2 ;(b) a = 2, b = 10 試求 y(t) 。
B. 特徵方程式為 , ,
所以 ,
因此
因此 A1 = 5 , A2 = -4 所以
A. 特徵方程式為 因此 ,
, , ,
2
20
d y dya by
dt dt+ + 0 1y
03
dy
dt
2 3 2 1 2 0s s s s+ + + +
2
1 2
t ty t Ae A e- - + 1 20 1y A A + 2
1 22t tdy t
Ae A edt
- - - -
1 2
02 3
dyA A
dt - -
25 4t ty t e e- - -
2 2s -1 1s -
1 1 3s j - +
4
cos3 sin33
ty t e t t- +
2
4
3A
1 2
03 3
dyA A
dt - +
10 1y A
1 2 1 2cos3 sin3 3 sin3 3 cos3t t
dy te A t A t e A t A t
dt
- - - + + - +
1 2cos3 sin3ty t e A t A t- +
2 2 10 0s s+ + 2 1 3s j - -
26
領 悟
簡諧運動
27
二階電路的零態響應 (I)
電路中未含初值,但外加獨立電源時電路的響應,其響應的形式為
其中 yn 為自然響應,其響應的形式和電路的特徵
方程式的解有關,而 yf 為外加電源所引起的激勵
響應或稱為穩態響應,其響應的形式與外加電源
之形式有關。
n fy y y +
28
範例 考慮右圖之電路,設 i(0) = v(0) = 0,且輸入為 10 V之直流電壓,此電路之電壓方程式為
因vf 和外加電源之形式 (此例為直流 ) 有關,故可設 (K 為常數)
1 H 3 W
1
2 F
+
-
v t ( )
i t ( ) 10 V
因此
及
可得 即
將 代入得
2
2
sVd v R dv v
dt L dt LC LC+ +
2
23 +2 20
d v dvv
dt dt+
若已知 ,其中 vn 為滿足
之解 2
23 +2 0
d v dvv
dt dt+
n fv v v +
0+0+2 20K
fv K
10K
2
1 2 10t t
n fv t v v Ae A e- - + + +
1 2
0 02 0
dv iA A
dt C - -
1 20 10 0v A A + +
2
1 22t tdv t i t
Ae A edt C
- - - + -
220 10 10t tv t e e- - - + + V
fv K
1 220, 10A A -
由於上式之特徵方程式為 因此 2 3 2 0s s+ + 1 21, 2s s - -
2
1 2
t t
nv Ae A e- - +即
29
二階電路的零態響應 (II)
從上面的討論,我們可以歸納以下幾點:
1) 二階電路的零態響應 y 包含自然響應 yn 與激勵響應 yf。
2) 自然響應可由齊次方程式 ( f (t) = 0 ) 求出。
3) 激勵響應 yn 與輸入函數有相同的形式,因此 yf 之形式可依
輸入函數之種類而事先假設,再代入方程式求解係數。
4) 最後由初值條件決定自然響應之係數,即可求出完整的解。
右表為常見輸入函數與其激勵響應之
對照表。由此表,可依據輸入函數之形式而預測之形式。若輸入函數有兩種或兩種以上可利用重疊定理求解之。
f(t) yf
C K
t At + B
t2 At2 + Bt + C
eσt Aeσt
sinωt Asinωt + Bcosωt
cosωt Asinωt + Bcosωt
eσt sinωt eσt (Asinωt + Bcosωt)
eσt cosωt eσt (Asinωt + Bcosωt)
30
範例
求下圖所示電路之 v(t) 及 i(t),設 v(0) = i(0) = 0。
特徵方程式:
由於 v(0) = 0 因此
因此
又
故
又因 Vs 為直流電壓,故設 ,代入 可得
1 H 2 W
1
10 F
+
-
v t ( )
i t ( ) 10 V
2
2
sVd v R dv v
dt L dt LC LC+ +
2
2 10 100d v dv
vdt dt
+ +
2 3 10 0s s+ +
2 1 3s j - -
1 1+ 3s j -
2
2 10 100d v dv
vdt dt
+ +
1 2cos3 sin3t
nv e A t A t- +
10fv
1 2sin3 cos3 10t
n fv t v v e A t A t- + + +
fv K
2 10A - 20 10 0v A +
2 1
10 3 0
10i A A - +
1 2 1 2
1sin3 cos3 3 cos3 3 sin3
10
t tdv t
i t C e A t A t e A t A tdt
- - - + + -
1
10
3A -
10
10 sin3 10cos33
tv t e t t- - +
V
10sin 3
3
ti t e t- A
可得
,
31
二階電路的完全響應
電路中含有初值,且外加獨立電源時電路之響應。 其響應的形式為 y = yn + yf 其中 yn 為自然響應,yf 為激勵響應。
考慮右圖之電路,設 i(0) = 1 A , v(0) = 2 V,
v(t) 之解為
所以 A1 = – 14 , A2 = 6
此電路之 i(t) 可由上式微分而得
由於 v(0) = 2
又
因此 v(t) 之完全響應為
1 2
02 2 0 2
dvA A i
dt - -
1 22 2t t
dv t i tAe A e i t
dt C
- - - -
2
1 2 10t tv t Ae A e- - + +
214 6 10t tv t e e- - - + +
2 2114 12 7 6
2
t t t tdvi t C e e e e
dt
- - - - - -
1 20 10 2v A A + + 1 2 8A A+ -
完全響應
1 H 3 W
1 2 F
+
-
i(t) 10 V v(t)
214 6 10 Vt tv t e e- - - + +
零輸入響應
1 H 3 W
1 2 F
i(t) v(t) +
-
26 4 Vt tv t e e- - -
零態響應
1 2
i(t) 10 V v(t)
+
-
1 H 3 W
220 10 +10 Vt tv t e e- - - +
59/65
32
0 atb by t y e
a a
- + -
回 到 一 階
你可以把它丟掉了
0s a+
at
ny t Ae-
ssy t
正弦激勵、相量與 正弦穩態分析
34
弦波的奇妙性質讓我們化繁為簡
正弦曲線的性質
正弦激勵電路分析(時域分析)
複數激勵電路分析(時域分析)
相量激勵電路分析(頻域分析)
Department of Electronic Engineering, NTUT 2/41
35
正弦曲線的性質(I)
正弦函數 其波形如下圖所示。 sinmv t V t
峰值電壓: Vm (volt)
週期: T (sec)
描述弦波性質的參數
Vm
t (sec)
T
-Vm
2
3
2
2
5
2
6
2
0
T 波峰
波谷
峰值電壓
v t
頻率: f (Hz, cycle/sec)
角頻率: (rad/sec)
2 f
36
正弦曲線的性質(II)
正弦函數 其波形如下圖所示。
sinmv t V t +
相位: (rad)
1 12 2ft t T
Vm
t (sec)
-Vm
2
3
2
2
5
2
6
2
0
T
1t
v t
除了振幅、頻率(週期)以外,還有一樣
相位的資訊讓我們能夠「比較」兩個頻率、振幅一樣的弦波
37
正弦激勵電路分析(時域分析)
在電路中,電阻器的電壓與電流關係為 vR = iR ;電壓
(或電流)為正弦函數,則電流 (或電壓) 亦為正弦函數。
電感與電容中電壓與電流之關係分別為 ,
正弦函數之微分及積分仍為正弦形式且其頻率不變,只是其振幅及相位會有改變。
上述電阻、電容與電感元件的正弦輸入響應均為正弦形式,且頻率亦相同。
R, L, C組成之電路 正弦激勵 完全響應 = 自然響應 + 激勵響應
輸入 輸出
(無源) (有源/正弦)
L
div L
dt
1 t
Cv idtC -
38
範例
一個正弦激勵RL串聯電路如下圖所示,求電流i(t)的
激勵響應 if (t) 。
等式兩邊相同項的係數相等所以 ,
KVL:
設穩態解
代入 可得激勵響應為
其中 和
因為自然響應是 故電流完全響應為
cosm
di tL Ri t V t
dt+
cos + sinfi t A t B t
cosm
di tL Ri t V t
dt+
mRA LB V+ 0LA RB- +
sin cos cos sin cosmL A t B t R A t B t V t - + + +
故 , 2 2 2
mLVB
R L
+2 2 2
mRVA
R L
+
將穩態解代入 得
fi t
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos tan cos A
R
m m mf m
RV LV V Li t t t t I t
R L R L R L
- + - +
+ + +
2 2 2
mm
VI
R L
+
1tanL
R
- -
f ni t i t i t + 1
RtL
ni t A e-
L
+
- R i(t)
cos Vs mv t V t
sv t
煩!
39
範例
右圖為正弦 RLC串聯電路,求電壓v(t)及電流i(t)的穩態
由 KVL:
因此
因此
電流為
+ -
+
-
5
3R W 5 HL
i t
v t1
F25
C sv t
17cos3sv t t
2
2
1 sd v t dv t v tRv t
dt L dt LC LC+ +
2
25 85cos3
d v t dv tRv t t
dt L dt+ +
20cos3 +5sin 3 =5 17 cos 3 2.9 5 17 cos 3 166 Vv t t t t t - - -
1 1 3 17 3 17
60sin 3 15cos3 cos 3 1.33 cos 3 76 A25 25 5 5
dv t dv ti t C t t t t
dt dt + - -
比較係數後得 ,
令 代入上式
經整理可得
1 2cos3 sin 3v t A t A t +
1 2 1 24 cos3 4 sin3 85cos3A A t A A t t- + + - -
1 24 85A A- + 1 24 0A A- - 1 20A -
2 5A
超煩!!
40
複數 (Complex Number)
複數之加減運算
a
b
A a jb +
Re
b
Im
| | A
直角坐標表示法: +A a jb
極坐標表示法: jA A e A
Re cosa A A
Im sinb A A
2 2A a b + 1tanb
a -
1j -1 1 1A a jb + 2 2 2A a jb +
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2+A A a jb a jb a a j b b + + + + + +
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2A A a jb a jb a a j b b- + - + - + -
• 共軛複數
+A a jb A a jb -
• 複數乘法
2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 1 2 2 1
A A a jb a jb a a ja b ja b j b b
a a b b j a b a b
+ + + + +
- + +
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2A A A A A A +
• 複數除法
1 1 2 21 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a jb a jbA a jb a a b b b a a bj
A a jb a jb a jb a b a b
+ -+ + - +
+ + - + +
111 2
2 2
AA
A A -
直角座標運算
極座標運算
41
(a+jb) 轉 (I)
複數的直角座標與極座標相互轉換須特別注意直角座標轉換極座標時其所在的象限,以免造成角度的錯誤。
如圖 (a) ,A = 4 + j3 在第一象限,
則 ,
因此 A 的極座標形式為
如圖 (b) ,A = –4 + j3 在第二象限,
則
因此
A
2 24 3 5A + 1 3
= tan 36.94
-
5 36.9A
1 13 3= tan 180 tan 180 36.9 143.1
4 4 - -
- - -
2 24 3 5A - +
5 143.1A
(a)
4
- tan 1 3
4
| | A 5
Re
3
j
o
o
A
A
j A
9 . 36 5
9 . 36 4 3
tan
5 3 4
3 4
1
2 2
+
+
-
Re
j
-
180°- 3 4
1 tan
- 4
| | A 5 3
o o
o o
A
A
j A
1 . 143 5 1 . 143
9 . 36 180 4 3
tan
5 3 4
3 4
1
2 2
- -
+ -
+ -
-
(b)
42
(a+jb) 轉 (II)
如圖 (c) ,A = –4 – j3 在第三象限,
則
因此
o
o o
o o
A
A
j A
9 . 36 5
9 . 36 1 . 323
9 . 36 360 4 3
tan
5 3 4
3 4
1
2 2
-
-
- -
- +
-
-
j
| | A 5
Re
- 3
4
-
360°- 3 4
1 tan
- 3
Re
j
- 4
| | A 5
o
o o
o o
A
A
j A
1 . 143 5
1 . 143 9 . 216
9 . 36 180 4 3
tan
5 3 4
3 4
1
2 2
-
-
+ - -
- + -
- -
-
-
180° + 3 4
1 tan
A
2 2
4 3 5A - + -
1 13 3 = tan 180 tan
4 4
180 36.9 216.9 143.1
- -- -
-
+ -
5 143.1A -
如圖 (d) ,A = 4 – j3 在第四象限,
則
因此
224 3 5A + -
1 13 3 = tan =360 tan
4 4
323.1 36.9
- -- -
-
5 36.9A -
(c)
(d)
43
複數激勵電路分析(I)
指數微分比正弦微分更容易,故使用指數激勵比
正弦激勵更容易求得激勵響應。
由複數分析知 其中
下圖之 RL 串聯電路,若以複激勵 (Complex
excitation)函數 取代實激勵(Real excitation)
,求解電流 i(t)。
KVL:
cos sinj t
m m mV e V t jV t +cos Re
sin Im
j t
m m
j t
m m
V t V e
V t V e
1
j t
mv V e
1cos Reg mv t V t v
+ -
L
R i(t) cosmV t
11+ j t
m
diL Ri V e
dt
1
j ti Ae
j t j t
mj L R Ae V e +
-1tan
2 2 2
Lj
m m RV V
A eR j L R L
-
+ +
1tan
1 2 2 2
Lj t
RmVi e
R L
- -
+
因此
假設i1為i(t)的複數響應,令
44
複數激勵電路分析(II)
與第38頁演算結果相同,此為RL電路的正弦激勵響應。
i(t)即為取 i1 的實響應(因本題vg(t)為v1的實響應)
若 i1 是複激勵函數 v1 的複響應,則 if (t)= Re[i1] 是 vg = Re[v1] 所造成的響應
此原理適用於所有線性電路。
即 或 可得
1tan
1 2 2 2
Lj t
RmVi e
R L
- -
+
已得
1tan
1
12 2 2 2 2 2
Re Re cos tan
Lj t
Rm mV V Li t i e t
RR L R L
- -
-
- + +
11 1Re Re
diL Ri v
dt
+
1 1Re Re cosm
dL i R i V t
dt+ 1Refi t i t i
45
有沒有更方便的方法
回顧複激勵方法:
遊戲規則?
KVL: 並令 11+ j t
m
diL Ri V e
dt
1
j ti Ae
j t j t
mj L R Ae V e +
-1tan
2 2 2
Lj
m m RV V
A eR j L R L
-
+ +
1tan
1 2 2 2
Lj t
RmVi e
R L
- -
+
代入上式得
可知在求取A的過程中,
其實是不需用到 項。
但是:
遇到”微分”會跑出
一個 項。
同理, 遇到”積分”
會跑出一個 項。
j te
j te
j
j te
1 j
典型在夙昔 j te
46
頻域相量電路分析 (I)
根據尤拉公式 (Euler’s formula)可知一個時域弦波可表示為:
為了計算的便利性,我們可以先將 給忽略掉,因此剩下的項 才是會在計算中起作用的,而這個除了 之外的項稱為相量(Phasor)。
有些情況亦有使用 rms 值表相量的大小,如
在其他教科書中,相量可能用粗體或上標”-”表示:
cos Re Rej j t j t
m mv t V t V e e Ve +
j
m mV V e V
2
j mrms rms
VV V e V
j
m mV e V V 或 j
m mV V e V
j te
j te
(習慣上常用peak值,而非rms值)
頭 尾巴
47
頻域相量電路分析 (II)
頻域
I
R
+
-
V RI
時域
i
R
+
-
v Ri
頻域
I
+
- 時域
i
L
+
-
div L
dt V j LI j L
頻域
+
-
V
1I j CV V I
j C
1
j C
時域
C
+
-
v
dvi C
dt
電阻
電感
電容
R R
L j L
C1
j C
電阻
電抗
(感抗)
電抗
(容抗)
基因遺傳
48
頻域相量電路分析 (III)
+ -
L
R i(t) cosmV t + -
R I 0mV V
j L
j LI R V + 1
2 2 2
0tan
L
m mV VV LI
R j L R j L RR
- -
+ + +
1 1tan tan
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2Re Re cos tan
L Lj j t
j tR Rm m mV V V Li t e e e t
RR L R L R L
- - - -
-
- + + +
遊戲規則2:基因遺傳
遊戲規則1:斷尾求生
代數方程式!
遊戲規則3:還我尾巴來!
49
R、L及C的電壓/電流相量關係
頻域
I
R
+
-
V RI 時域
(a)
i
R
+
-
v Ri t
v i , v i
(b)
時域 頻域
i
L
+
-
I
+
-
(a) (b)
div L
dt V j LI j L
v i
t
v i ,
v
i
t
v i ,
時域 頻域
C
+
-
v
+
-
I
1
j C
dvi C
dt
(a) (b)
1V I
j C
50
阻抗和導納 (I)
電路的阻抗 Z (Impedance)定義為電壓相量和電流相量的比值:
1cosmv t V t +
2cosmi t I t +2mI I
1mV V
1 2= m
m
VVZ Z R jX
I I - + W
(a) 時域電路
時域電路 +
- 頻域電路
+
- V
I
(b) 頻域(相量)電路
v t
i t
ImX Z
ReR Z
電抗 (Reactance)
電阻 (Resistance)
通常Z會記成 表示阻抗是 ω 的
複函數,而實部電阻 和虛部電抗 是 ω 的實函數。
Z j
R R
X X
R
X Z R jX +
Re
Im 2 2Z R X +
1tanX
R -
cosR Z
sinX Z
51
阻抗和導納 (II)
根據阻抗定義,電阻器、電感器、和電容器的阻抗:
電阻器
電感電抗為
電容電抗為
阻抗的倒數 ,稱為導納(Admittance)。
因為 Z 是一個複數,所以 Y 也是複數,Y 的一般表示式
為 Y = G + jB ,其中 G = Re[Y] 和 B = Im[Y] 分別稱為
電導和電納(Susceptance)。Y 和 G、B 的單位都是姆歐。
R
VZ R
I
LX LL L
VZ jX j L
I
1CX
C -
1C C
VZ jX j
I C -
1Y
Z
2 2 2 2
1 1=
R jX R XY j G jB
Z R jX R jX R jX R X R X
- - +
+ + - + +
52
克希荷夫定律與阻抗組合
如圖(a)的RL串聯時域電路,其對應的頻域相量電路如圖(b),其電流相量為?
而
KVL: 或
得電流相量是
+ -
L
Ri cos VmV t
(a) 時域電路
+ -
R
j L
I0mV
(b) 等效相量電路
0L mZ I RI V+ 0mj L R I V +
1
2 2 2cos tanmV L
i t tRR L
- -
+
1
2 2 2
0tanm mV V L
IR j L RR L
- -
+ +
Z j L R +0mVV
IZ R j L
+
53
範例7
在圖(a)的時域電路中,求電壓 v(t) 和電流 i(t) 之穩態值。
1. 將圖(a)轉成頻域相量電路如圖 (b)。
3. 圖(c)可得出
穩態電流為
10 0V 2 rad sec
Z 2 L j L j W 1
1 CZ j jC
- - W
1 2
10 0 10 04 36.9
2.5 36.9TI
Z Z
-
+
1 4 36.9
2.83 8.1 A1 1 2 45
TI Ij
-
- -
2.83sin 2 8.1 Ai t t +
+ -
+
- 10sin 2 Vt
1.5 W 1 H
0.5 F 1 W Ti t i t
v t
(a) 時域電路
+
-
+
-
10 0 1 W
2 j W
1 j- W
1.5 W
TII
V
(b) 相量電路
+
-
+
-
TI
10 0 V
1Z
2Z
(c) 相量電路
,
,
2. 圖 (c) 的等效阻抗為
穩態時域電壓為
1 1.5 2Z j +
2
1 10.5 0.5
1 1
jZ j
j
- -
- +
0.283sin 2 81.9 Vv t t -
,
2
1 2
0.5 0.510 0 10 0
1.5 2 0.5 0.5
Z jV
Z Z j j
-
+ + + -
0.283 81.9 V -
54
領 悟
時域分析的代數化:通解
暫態:特徵方程式 (求齊次解, 無源)
穩態:特解 (求特解, 有源)
求穩態還是有點囉嗦阿!!
相量分析(頻域)繼續貫徹代數化 > 週期性旋轉的尾巴 out!!
> 親愛的,我把「時變的」變成非時變了!
j te
拉普拉斯分析(頻域)完整代數化
55
領 悟
L LZ jX j L 1
C CZ jX jC
-
大水桶理論:容量與收放
0@
56
source load 收 放
水桶接力賽
放 收
正在收 正在放
還回去
(虛功)
真正能倒給負載的
(實功)
57
諧 振
source load 收 放
放 收
正在收 正在放
恰恰好!
倒給負載
58
諧 振
LC水桶互倒
自己玩自己的(隱形了)
抽掉source與load
振盪
59
領 悟
諧振:要有一收一放的水桶們
振盪:要有一收一放的水桶們
(抽掉source/load === 負阻)
有 Ringing!不可能是一階電路!
是否一定要有L跟C才可能振盪?
60
濾波器
61
62
63
64
65
66
67
68
傳輸線
Source
Source
impedance Load
impedance
傳輸線(Transmission line)
sv
sZ
LZ
l
Lv
G x
L xR x
C xsZ
sv LZ
dx dx dx
一小段傳輸線
分配式電路模型
69
在傳輸線上的電壓與電流是位置與時間的函數
輸入:
輸出:
R: 有限導電性,G: 介電損耗
, , ,v x t i x t
, , ,v x x t i x x t+ +
,v x x t+
,i x x t+ R x L x
G x C x ,v x t
,i x t
8/47
一小段傳輸線
70
• 根據克希荷夫電壓定理(KVL):
• 根據克希荷夫電流定理(KCL):
,
, , ,i x t
v x t v x x t R x i x t L xt
- + +
,
, , ,v x x t
i x t i x x t G x v x x t C xt
+ - + + +
,v x x t+
,i x x t+ R x L x
G x C x ,v x t
,i x t
9/47
傳輸線(電報)方程式(I) – 無限長傳輸線
71
, ,,
v x t i x tRi x t L
x t
- -
, ,,
i x t v x tGv x t C
x t
- -
, , ,,
v x t v x x t i x tRi x t L
x t
- + +
, , ,,
i x t i x x t v x x tGv x x t C
x t
- + + + +
• 重新整理後可得
• 假設Δx非常小,上式可寫為
這兩道偏微分方程式描述了一條傳輸線上電壓與電流在不同位置的大小與變化,稱為傳輸線方程式(transmission-line equation),也稱為電報方程式(telegrapher equation)。
10/47
傳輸線(電報)方程式(II) – 無限長傳輸線
72
• 根據克希荷夫電壓定理(KVL):
• 根據克希荷夫電流定理(KCL):
V x V x x R x I x j L x I x- + +
I x I x x G x V x x j C x V x x- + + + +
V x x+
I x x+ R x j L x
G x1
j C x V x
I x
, cosv x t V x t
11/47
傳輸線方程式(III) - 用相量來推導
73
dV xRI x j LI x
dx - -
dI xGV x j CV x
dx - -
V x V x xRI x j LI x
x
- + +
I x I x xGV x x j CV x x
x
- + + + +
• 重新整理後可得
• 假設Δx非常小,上式可寫為
這兩道微分方程式描述了一條傳輸線上電壓相量與電流相量在不同位置的大小與變化,稱為傳輸線方程式(transmission-line equation),也稱為電報方程式(telegrapher equation)。
12/47
傳輸線方程式(IV) - 用相量來推導
74
, cos Re Rej t x j x j tv x t f x t x f x e f x e e
+
+
, cos Re Rej t x j x j ti x t g x t x g x e g x e e
+
+
j xI x g x e
j xV x f x e
, Re j tv x t V x e
, Re j ti x t I x e
• 時域表示式:
f(x) 與 g(x) 是與位置有關的函數,而 與 則是用來描述與位置相關的相位。
x x
• 相量表示式:
time-domain
14/47
正弦穩態分析
75
• 對無損耗的傳輸線而言,R = G = 0
,v x x t+
,i x x t+ L x
C x ,v x t
,i x t
無損耗傳輸線
V xj LI x
x
-
I xj CV x
x
-
dV xj LI x
dx -
dI xj CV x
dx -
V x dV x
x dx
(Think that if approaches zero?)
76
V xj LI x
x
-
I xj CV x
x
-
dV xj LI x
dx -
dI xj CV x
dx -
V x dV x
x dx
2
2
2
d V x dI xj L LCV x
dx dx - -
• 拉普拉斯方程式
2 2
2 2
2 20
d V x d V xLCV x V x
dx dx + +
LC • 相位傳播常數
• 通解:
j x j xV x Ae Be - + ,其中A與 B 為複常數(complex constant)
• 無損傳輸線方程式(Phasor)
( 表示波行進每公尺所改變的相位量。)
這是Phasor
15/47
電壓波之解
77
, Re Rej x t j x tj tv x t V x e Ae Be
- - + +
0 0
, Re Rej x t j x tj t A B
i x t I x e e eZ Z
- - + -
cos cosA x t B x t - + +
0 0
cos cosA B
x t x tZ Z
- - +
j x j xV x Ae Be - +
0 0
j x j xA BI x e e
Z Z
- -
• 將Phasor回復成時域波形
電壓波
電流波
20/47
傳輸線上的時域波形
78
1 1 j x j x
dV xI x A j e B j e
j L dx j L
- - + - -
LC
• 定義 0
L L LZ
CLC
j x j xA e B eL L
- -
j x j xV x Ae Be - +
dV x
j LI xdx
-已知電壓波 且
,其中
Z0 稱為傳輸線的特徵阻抗,它表示傳輸線上電壓波與電流波之比值。在無損耗的情況下,Z0 為實數。
0 0
j x j xA BI x e e
Z Z
- -
16/47
Z0為實數? 這是什麼意思?
特徵阻抗
79
我們先用很簡單的電路學來看一下梯型網路的視入阻抗:
1Z
2Z 3Z 3 1 2Z Z Z +
1Z
2Z2Z
1Z
2Z
1Z
3Z
1Z
4Z5Z
4 2 3||Z Z Z
17/47
特徵阻抗 - 另一種觀點 (I)
80
無限長的梯型網路:
2 01 1 0
2 0
2 0
1
1 1ab
Z ZZ Z Z Z
Z Z
Z Z
+ + +
+
可解得
2
1 10 1 2
2 4
Z ZZ Z Z
+ +
Z0稱為無限長梯狀網路的特徵阻抗
既然梯型網路是無限長,那麼在它前面再增加一個梯型網路,它仍然是無限長。我們若說這個無限長的梯型網路由a-b往右視入的阻抗為Z0,那麼我們也可以說從c-d往右視入的阻抗也是Z0(仍然是無限長的梯型網路)。
1Z
2Z2Z
1Z
2Z
1Z 1Zc
d
a
b
a
b
c
d
2Z
1Z
0Z0Z
a
b
18/47
特徵阻抗 - 另一種觀點 (II)
81
1Z j L
2
1Z
j C
L
C C
La
b
領 悟
無限長(無損)傳輸線
前方總是有人源源不絕地幹走能量
Source源源不絕地提供這能量
就好像
有一顆電阻!
2
1 10 1 2
2 4
Z Z LZ Z Z
C
+ +
若切的夠細
實數特徵阻抗的物理意義表明「傳播」的思考!
(複數特徵阻抗表明傳播與損耗)
82
1Z j L
2
1Z
j C
L
C C
La
b
有限長(無損)傳輸線
如果我在傳輸線末端真的接了顆電阻
而這顆電阻剛剛好等於 Z0
完美的欺敵戰術!
load
0
term
L
term
V xR Z
I x
83
1Z j L
2
1Z
j C
L
C C
La
b
有限長(無損)傳輸線
傳輸線末端開/短路/非Z0負載(邊界條件)
load
電流 = 0
反射
1Z j L
2
1Z
j C
L
C C
La
b
load
LR
0LR
電壓 = 0 反射
84
領 悟
反射
入射波與反射波互相干涉
導致線上處處位置的 不再是定值
V x
I x
阻抗轉換
(傳輸線效應)
01Z 02Z
不連續處:一樣的道理
細說相量
Department of Electronic Engineering, NTUT
86
在一些書上,phasor 的符號可能記為
尤拉公式 (Euler’s Formula)
尤拉公式
一實數訊號 可寫為
相量(phasor)
cos sinjxe x j x +
cos Re Rej t j j t
p p pv t V t V e V e e
+ +
cos sindef
j
p p pV V e V V j +
不要與向量(Vector)的符號 搞混了。 A
phasor
V V
cospv t V t +
87
尤拉公式的由來:小把戲、新發現
尤拉心血來潮:令 ,其中
他發現,這裡面不正是….鼎鼎大名的
2 3
lim 1 11! 2! 3!
n
x
n
x x x xe
n
+ + + + +
x jx
2 3 2 4 3 5
1 11! 2! 3! 2! 4! 3! 5!
jxjx jxjx x x x x
e j x
+ + + + - + - + + - + - +
1j -
1lim 1
n
ne
n
+
6/33
2 4
cos 12! 4!
x xx - + - +
3 5
sin3! 5!
x xx x - + - +
cos sinjxe x j x +
cos sinjxe x j x- -
cos2
jx jxe ex
-+
sin2
jx jxe ex
j
--
然後就得到了
與
88
座標系統 (Coordinate Systems)
x-axis
y-axis
x-axis
y-axis
P(r,θ)
θ
r
P(x,y)
2 2r x y +
1tany
x -
cosx r
siny r
直角座標系統
(Cartesian Coordinate System)
極座標系統
(Polar Coordinate System)
(x,0)
(0,y)
cos ,0r
0, sinr
Projection
on x-axis
Projection
on y-axis
89
正弦波形(sine)
一個點,繞圓一圈,該點在圓上各處於y軸投影量(離原點距離)形成正弦波形。
x-axis
y-axis
P(x,y)
x
y r
θ θ θ
y
θ 0 π/2 π 3π/2 2π
90
x
θ
0
π/2
π
3π/2
餘弦波形(cosine)
x-axis
y-axis
θ
一個點,繞圓一圈,該點在圓上各處於x軸投影量(離原點距離)形成餘弦波形。
弦波與圓太有關係了!
當一個點,繞圓一圈,角度轉了2π rads將回到出發點。再繼續繞下去,周而復始,其投影量所展現的弦波波形亦同。
91
複數平面 (I)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) 定義了複數平面,他將虛軸的單位長度訂為一個 “ j ” 。因此一個複數Z = x + jy 即可以座標形式表示為(x, yj)。
這與 x-y 平面一樣,對吧!
Re-axis
Im-axis
Re-axis
Im-axis
P(r,θ)
θ
r
P(x,yj)
2 2r x y +
1tany
x -
cosx r
siny r
(x,0j)
(0,yj)
cos ,0r
0, sinr
1j -
92
複數平面 (II)
乘上一個 j 往哪個方向旋轉多少度?這很好驗證!
每次只要你把某個東西乘上 j,那個東西將會旋轉 90度
1j - 2 1j - 3 1j - - 4 1j
Re-axis
Im-axis
1
1*j=j
j
j*j=-1
-1
-j
-1*j=-j -j*j=1
(0.5,0.2j)
(-0.2, 0.5j)
(-0.5, -0.2j)
(0.2, -0.5j)
93
弦波 – 複數平面上圓軌跡的投影
Re-axis
Im-axis
P(x,y)
x
y r
θ θ θ
y = rsinθ
θ 0 π/2 π 3π/2 2π
94
相量表示法 (I) – 以sine為基底
sin Im Imj j t j j
sv t A t Ae e Ae e +
Re-axis
Im-axis
P(A,ϕ)
y = Asinϕ
θ 0 π/2 π 3π/2 2π
ϕ
t
time-domain waveform
在複數平面上的給定一個不動的點(相量),它代表的
正是時域上的弦波。
把「會動的」轉成「不會動」的 => 尾巴不含資訊
相量的另一個物理意義是什麼?
95
Re-axis
Im-axis
P(A, ϕ)
y = Acos ϕ
θ 0 π/2 π 3π/2 2π
ϕ
t
time-domain waveform
相量表示法 (II) – 以cosine為基底
cos Re Rej j t j j
sv t A t Ae e Ae e +
96
相量表示法 (III)
1
1 1 1 1sin Imj j tv t A t A e e +
Re-axis
Im-axis
P(A1, ϕ1)
ϕ1
P(A2, ϕ2)
P(A3, ϕ3)
θ 0 π/2 π 3π/2 2π
t
A1sin ϕ1
2
2 2 2 2sin Imj j tv t A t A e e +
3
3 3 3 3sin Imj j tv t A t A e e +
A2sin ϕ2
A3sin ϕ3
14/51
弦波的合成使用相量可以很容易地處理 => 複數相加
97
到處都是相量
電路學、電子學
相量通常是複常數
電磁學、微波工程
相量通常隨空間位置而變動
通訊系統
相量隨時間變動,也稱為複數波包
5cos 1000 30sv t t + 5 30sV
, cos cos Rej x t j x t
v x t A x t B x t Ae Be
- - +
- + + +
j x j xV x Ae Be - +
Re j tV x e
時變相量、調制與 收發機基本架構
99
調變 (Modulation)
為什麼需要調變(調制)?
溝通需要
頻寬 (Bandwidth)
天線尺寸 (Antenna Size)
安全性(Security)、避免干擾等…
Voice
Electric signal
Audio
Equipment
Audio
Equipment Modulator Demodulator
Electric signal
Voice
100
振幅調變 (Amplitude Modulation)
cos 2m BB cs t s t A f t
基頻實訊號
Baseband real signal
Voice
Electric signal
Audio
Equipment
Audio
Equipment Modulator Demodulator
Electric signal
Voice
BBs tcos2 cA f t
載波 (Carrier or local)
High-frequency sinusoid
振幅調變訊號
Amplitude-modulated signal
(AM signal)
101
頻率調變 (Frequency Modulation)
cos 2m c f BBs t A f K s t t +
Voice
Electric signal
Audio
Equipment
Audio
Equipment Modulator Demodulator
Electric signal
Voice
BBs tcos2 cA f t
頻率調變訊號
Frequency-modulated signal
(FM signal)
基頻實訊號
Baseband real signal
載波 (Carrier or local)
High-frequency sinusoid
102
相位調變 (Phase Modulation)
Voice
Electric signal
Audio
Equipment
Audio
Equipment Modulator Demodulator
Electric signal
Voice
cos 2m c p BBs t A f t K s t +
cos 2 c BBA f t t + BBs tcos2 cA f t
相位調變訊號
Phase-modulated signal
(PM signal)
基頻實訊號
Baseband real signal
載波 (Carrier or local)
High-frequency sinusoid
103
線性調變 (Linear Modulation)
cos 2m BB c BBs t A t f t t +
Voice
Electric signal
Audio
Equipment
Audio
Equipment Modulator Demodulator
Electric signal
Voice
BBs tcos2 cA f t
線性調變訊號
Linear-modulated signal
BBs t , ?BB BBA t t
基頻實訊號
Baseband real signal
載波 (Carrier or local)
High-frequency sinusoid
104
線性調變之通式
考慮一調變訊號,資訊同時載於弦波之振幅與相位
2cos 2 Re c BBj f t t
m BB c BB BBs t A t f t t A t e
+ +
2 2Re Re cos sinBB c cj t j f t j f t
BB BB BB BBA t e e A t t j t e +
cos sinBBj t
l BB BB BB BBs t A t e A t t j t
+
cos sinBB BB BB BBA t t jA t t I t jQ t + +
Re cos2 sin 2m c cs t I t jQ t f t j f t + +
cos 2 sin 2c cI t f t Q t f t -
Time-varying phasor (information in both amplitude and phase)
BBs t : real
ls t : complex
調變訊號是一個實數訊號,數學上表明它是 I(t)、Q(t)與載波的線性組合。因此,線性調制器也稱作I/Q調制器(I/Q Modulator),此調制器是一種通用型調變器(universal modulator)。
105
計算紙
106
線性調制器 (I/Q調制器)
調制器的功能就是完成線性調變的數學操作而已
Re cos sin cos2 sin 2m BB BB BB c cs t A t t j t f t j f t + +
cos cos2 sin sin 2BB BB c BB BB cA t t f t A t t f t -
cos2 sin 2c cI t f t Q t f t -
I t
cos ctsin ct-
Q t
ms t
I t
cos ctsin ct
Q t
ms t
+
- 90
I t
cos ct
Q t
ms t
I component Q component
I channel Q channel
107
發射機架構 (I)
線性發射機
90
I t
cos ct
Q t
ms t
Power Amplifier
(PA)
Antenna
Bas
eban
d
Pro
cess
or
90
cos ct ms t
Power Amplifier
(PA)
Antenna
Matching /
BPF Matching
I t
Q t
Bas
eban
d
Pro
cess
or
108
發射機架構 (II)
極座標發射機
22cos 2 Re Re c BBc
j f t tj f t
m BB c BB l BBs t A t f t t s t e A t e
+ +
BBA t
cos ct
ms t
Switching-mode
PA
Antenna
Phase
Modulator Matching
BBA t
BB t
Bas
eban
d
Pro
cess
or
Amplitude
Modulator
• Linear regulator
• PWM modulator
• Class-S modulator
• Linear modulator to generate PM signal
• Frequency synthesizer or PLL-based PM modulator
• Analog scheme: EER
2Re c BBj f t t
e +
109
線性解調變 (Linear Demodulation)
cos 2 cos2 sin 2m BB c BB c cs t A t f t t I t f t Q t f t + -
2 1 1cos2 cos 2 sin 2 cos2 cos4 1 sin 4 sin 0
2 2m c c c c c cs t f t I t f t Q t f t f t I t f t Q t f t - + - +
2 1 1sin 2 cos2 sin 2 sin 2 sin 4 sin 0 1 cos4
2 2m c c c c c cs t f t I t f t f t Q t f t I t f t Q t f t - - + - + + -
cos 4 sin 4
2 2 2c c
I t I t Q tf t f t
+ -
sin 4 cos4
2 2 2c c
Q t I t Q tf t f t
- +
?
Receiver ms t BBs t
接收到的調變訊號:
Multiplied by “cosine”:
Multiplied by “- sine”:
High-frequency components
(這是我們不想要的,應該要被濾除)
High-frequency components
(這是我們不想要的,應該要被濾除)
110
線性解調器
I t
cos ctsin ct-
Q t
ms t
LPF
LPF
I t
Q t
ms t
LPF
LPF
90
cos ct
BBj t
l BBs t A t e I t jQ t
+ 2 2
BBA t I t Q t +
1tanBB
Q tt
I t -
Baseband
Processing Original Information (or data)
I t
Q t
111
接收機架構
線性接收機 (以直接降頻為例)
90
I t
cos ct
Q t
ms t
Low Noise Amplifier
(LNA)
Bas
eban
d
Pro
cess
or
LPF
LPF
Matching /
BPF 90
I t
cos ct
Q t
ms t
Low Noise Amplifier
(LNA)
Bas
eban
d
Pro
cess
or
LPF
LPF
Matching
112
數位調制 (Digital Modulation)
I(t) 跟 Q(t) 用於數據傳輸?
若 I(t) 跟 Q(t) 在發射端為脈波,理論上在接收端所解出來的 I(t) 與 Q(t) 波形也正是脈波。
cos 2 sin 2m c cs t I t f t Q t f t -
I t
cos ctsin ct-
Q t
ms t
LPF
LPF
I t
cos ctsin ct-
Q t
TX RX
Assume the LPF has a
sufficiently wide bandwidth to
recover the pulse waveform.
113
四相位鍵移調制 (QPSK)
QPSK訊號是一個很好的說明範例
I t
Q t
1,1
1, 1- 1, 1- -
1,1-
cA+
cA+cA-
cA-
Constellation
I t
cos ctsin ct-
Q t
S/P
Converter
Binary
Baseband
Data I t
Q t
Binary
Baseband
Data
bT
2 bTt
S/P Converter
根據數據的線性組合結果,QPSK訊號共有4種不同的相位狀態 (1 symbol = 2 bits = 4 states). Symbol
114
由於QPSK的I(t)與Q(t)可能同時變化,而造成調制訊號瞬間有劇烈的180度相位變動。
調制訊號之相位變化 (Phase Transition)
I t
Q t
S/P
Converter
Binary
Baseband
Data
I t
Q t
t
I t
Q t
1,1
1, 1- 1, 1- -
1,1-
cA+
cA+cA-
cA-
Constellation
Constant
envelope
115
頻寬的考量 (I)
脈波波形(rectangular waveform)是由很多的頻率成分所組成,因此頻寬很寬,而這種寬頻的訊號譜在實際的情況中通常不被允許(特別是在無線通道中)。
cos 2 sin 2m c cs t I t f t Q t f t -
I t
cos ctsin ct-
Q t
TX
f
f
f
mS f
How to limit the
bandwidth?
cf
cff
0
0
116
頻寬的考量 (II)
在通帶(passband)限制頻寬,這會是好辦法嗎?
I t
cos ctsin ct-
Q t
TX
BPF
cff
channel
f
I t
cos ctsin ct-
Q t
BPF2
BPF1
BPFn channel
f
channel channel
Requiring many BPFs for each channel is impractical
selector
cf
117
頻寬的考量 (III)
在基頻就限制頻寬 – 脈波整形技術 (Pulse Shaping)
I t
cos ctsin ct-
Q t
LPF
LPF
f
t
0
f
t
0
f0
f0
cff
The low-pass filter is use to shape the
waveform, thus called “pulse shaping
filter,” or “shaping filter.”
Constant envelope
(before shaping) 180 18090
Time-varying envelope
(after shaping)
Smooth the sharp transition
1,1 1,1-
Q t
I t
1, 1- 1, 1- -
118
限制頻寬與符碼間干擾 (I)
Nyquist Filter :
使用Nyquist濾波器濾波可以在每個取樣瞬間避免符碼間干擾(ISI)
Brick-wall LPF
IFT
Sinc shape
Raised Cosine Filter
119
限制頻寬與符碼間干擾 (II)
Gaussian Filter :
高斯濾波器的時域響應亦為高斯,能使時域波形在濾波後沒有overshot或
ringing現象。這樣的響應並無法避免ISI,但限制訊號頻寬的效果較好。
Reduce bandwidth : 小的BT值具有更陡峭的頻率響應,但ISI問題會更嚴重
Relative bandwidth BT = (filter BW) / (Bite rate)
Power spectra of MSK and GMSK Signals for varying BT
BT=0.2
BT=0.25
BT=0.3
Impulse response
MSK : BT is infinite
(no filter)
120
最佳接收機 (Optimum Receiver)
先知道你的樣子,我就會更容易認出你來!
I t
cos ctsin ct-
Q t
ms t
LPF
LPF
I t
cos ctsin ct-
Q t
LPF
LPF
TX RX
Matched Filter
121
較接近真實收發機的說明
I t
cos ctsin ct-
Q t
LPF Filter
Filter
DAC
DAC LPF
Digital Processor
Digital pulse shaping filter
Waveform recovery filter
for DAC
Data (bits) Waveform
(digital, M-bits)
Quantized Waveform (analog) Recovered Waveform (analog)
I t
cos ctsin ct-
Q t
ms t
LPF
LPF
Filter
Filter
Digital Processor
Matched filter or
correlator
ADC
ADC
Demodulated Waveform (analog)
Sampled Waveform
(digital)
Decision
Decision
Data (bits)
Mixing spurs remover
Encoder and decoder are not
included here for simple.
122
領 悟
線性發射機/極座標發射機
只是用電路表達出調制的數學式
架構絕對單調!
Re cos sin cos 2 sin 2BB BB BB c cA t t j t f t j f t + +
cos2 sin 2c cI t f t Q t f t -
2cos 2 Re BB cj t j f t
m BB c BB BBs t A t f t t A t e e +
123
cos ctsin ct-
推 廣
是不是長這副德性的都是調制器?
如果是的話,我幹嘛這樣問….
124
領 悟
Hilbert Transform
90度相移器
Re
Im
Re
Im
Re
Im
2
Aj+
2
A
2
A
2
Aj-
c-
c+
cos2
c cj t j t
c
AA t e e
- +
9090cos 90
2
ccj tj t
c
AA t e e
- -- - +
2 2c cj t j tA A
je je -
- +
sin cA t
125
Pre-envelope
Re
Im
2
Aj+
2
A
2
Aj-
c-
c+
sin2
c cj t j t
c
e eA t A
j
-
-
2
A-
sin cjA t
Re
Im
2
A
2
Ac-
c+
cos ct
Re
Im
Ac-
c+
cos sinc ct jA t +
複數譜 cos sinc cA t jA t +
(SSB spectra)
sine is the Hilbert transform of the cosine
To get a SSB spectra: (1) real signal (2) its Hilbert transform (3) = (1)+j(2)
126
Re
Im
X
c+
c-
X jX
jX -
90
sgnX X j -
Re
Im
S
c+
c-
S jS
jS -
Re
Im
S
c+
c-
S -
jS
jS -
Re
Im
ˆS jS +
c+
S ˆjS
ˆs t js t+
有點眼熟耶!
127
Re cos sin cos2 sin 2BB BB BB c cA t t j t f t j f t + +
cos2 sin 2c cI t f t Q t f t -
2cos 2 Re BB cj t j f t
m BB c BB BBs t A t f t t A t e e +
ˆs t js t+
cos ctsin ct-
s t
s t
cos ctsin ct-
s t
s t 90度
I t Q t
128
I t
cos ctsin ct-
Q t
IFs t
I t
cos IFtsin IFt-
Q t
IFs t
Modulated signal (real signal)
f0 Hz
USB LSB
IFfIFf-
cos 2 cf t
RF 0 Hz
cfcf-
USB LSB LSB USB
IF cf f+c IFf f-IF cf f-c IFf f- -
Double sideband (DSB)
mixing
upconversion
IF LO By filtering (or by Hartley/Weaver), you can choose
only USB or LSB transmission, which is call the
single-sideband (SSB) transmission.
cos ctsin ct- ms t
90度
Hartley TX
I t
cos ctsin ct
Q t
cos ctsin ct ms t
Weaver TX 0 Hzcfcf-
USB USB
IF cf f+c IFf f-IF cf f-c IFf f- -
SSB TX
(Phasing Techniques)
129
同樣的概念用在 RX
就是
免用濾波器的
鏡像拒絕接收機 (Image Rejection Architectures)
130
cos ctsin ct
cos ctsin ct
cos ctsin ct
cos ctsin ct ms t
然後你就會在 paper 上看到
幾百萬顆莫名其妙的mixers
Phasing Techniques!
Quadrature XXXX
這張圖是亂兜的~示意圖而已
送給每天讀 paper 的研究生:「請保重!!」
131
在頻域上看調制譜的形成
複習週期性訊號的傅立葉級數表示法(Fourier Series)
非週期性訊號與傅立葉轉換(Fourier Transform)
實數訊號的頻譜長相
AM、PM與線性調制訊號
複數波包(Complex Envelope)的概念
132
傅立葉級數 (Fourier Series)
週期性訊號 的三種傅立葉級數表示法 :
Sine-cosine form
Amplitude-phase form
Complex exponential form
0 1 1
1
cos sinn n
n
x t A A n t B n t
+ +
0 1
1
cosn n
n
x t C C n t
+ +
1jn t
n
n
x t X e
-
x t
t
x(t)
t
t
t
X j
1f 13 f 15 f
.etc
T1
1 1C
2 2C
3 3C
133
Sine-Cosine Form
除了直流(DC)外,一時變訊號在各諧波頻率上是由兩種成分組成:一個是cosine,另一個是sine,他們各自的振幅大小可用An與Bn來表示。
00
area under curve in one cycle
period T
1 T
A x t dtT
10
2cos , for 1 but not for 0
T
nA x t n tdt n nT
10
2sin , for 1
T
nB x t n tdt nT
is the DC term (average value over one cycle)
(A complete cycle can also be noted
from ) ~2 2
T T-
1
1 10 0
cos 0cos 22 2cos cos 1
2 2
T T
n
n tA n t n tdt dt
T T
+
1 1
1 10 0
cos 2 1 cos2 2cos 1 cos 0
2 2
T T
n
n t tA n t n tdt dt
T T
- - +
1
1 10 0
sin 0sin 22 2sin cos 0
2 2
T T
n
n tA n t n tdt dt
T T
-
檢查法!
134
Amplitude-Phase Form
同樣頻率的弦波相加後,仍得到相同頻率的弦波。
因此相同頻率的cosine波與sine波相加後,可用單一個弦波來表示,因此傅立葉級數又可寫作:
0 1
1
cosn n
n
x t C C n t
+ +
0 1
1
sinn n
n
x t C C n t
+ +
2 2
n n nC A B +
或
0 0C A 為 DC 項
表示在頻率nf1上cosine與sine合成後的振幅。通常會以cosine做為基底,所寫出複數係數即為該頻率下的相量。
其中
135
Complex Exponential Form (I)
尤拉公式的啟發:
1
1 1cos sinjn t
e n t j n t +
1
1 1cos sinjn t
e n t j n t -
-
1 1
1cos2
jn t jn te e
n t
-
+
1 1
1sin2
jn t jn te e
n tj
-
-
cos sinjxe x j x +
cos sinjxe x j x- -
cos2
jx jxe ex
-+
sin2
jx jxe ex
j
--
回顧:
尤拉公式說明了一個數學上的事實:
若想要使用complex exponential form來完整表達出cosine或sine波,必定要存在正頻與負頻的項。或者說cosine是一個實數,它必定由正頻與負頻的成分組合而成;更推廣地來說,世界上任何的實數訊號,必定要由正頻與負頻成分所組合而成。
1n 稱為正頻率,而
1n- 為負頻率。 此處
136
Complex Exponential Form (II)
以complex exponential form寫成的傅立葉級數
有一弦波具有頻率kf1 (k > 0),該弦波的譜線具有兩個成分:
1 1jk t jk t
k kX e X e -
-+ where kkX X-
1jn t
n
n
x t X e
-
1
0
1 Tjn t
nX x t e dtT
-
where Xn is a complex value
第一項為正頻成分之貢獻,而第二項為負頻成分之貢獻。雖然他們各自為複數量,但是在相加之後便可創造出一個實數量。(想想看一元二次方程式的問題?)
檢查法!讓頭曝露出來!
137
當訊號週期趨近於無限大
T 2T 3T 4T 5T
x t
f
nX
T 2T
T
T
f
nX
f
nX
f
nX
Single pulse T
138
傅立葉轉換 (Fourier Transform)
傅立葉轉換與其反轉換
數學操作的過程為
傅立葉轉換後的結果 通常是複數函數,包含振幅與相位
2 X j f F x t F 1 2x t F X j f- F
j tX j x t e dt
-
-
2 j tx t X j f e df
-
2 f
X j
jX j X j e X j
2X j f
f
對於非週期性的訊號,其頻譜為「連續的」,並且在該譜所佔有頻寬內的所有頻率皆有成分。
每個頻率下的頭都一一檢查
每顆頭都接回尾巴
X
X
139
調制譜 (Modulation Spectrum) (I)
根據尤拉公式:
AM signal (DSB-SC)
cos2
jx jxe ex
-+
可知一個實數訊號是由「正頻」及「負頻」成分所組成
Two-sided amplitude frequency spectrum
2 1000 2 1000150cos 2 1000
2
j t j tt e e - +
25 25
0 Hz 1 kHz1 kHz-f
One-sided amplitude frequency spectrum
50
0 Hz 1 kHz
50cos 2 1000t
f
cos2m cs t A t f tt BBs t A t
ff
cf0 Hzcf-0 Hz
USB LSB USB LSB LSB USB
cos2 cf t“real signal”
140
Phase
Modulator
調制譜 (Modulation Spectrum) (II)
t BBs t
f
0 Hz
USB LSB
cos2 cf t
2 2
2 2c cj t j tj f t j f tA A
e e e e - -
+
cos 2m cs t A f t t +
2 2Re Rec c
j f t t j t j f tA e A e e
+
“real signal”
fcf0 Hzcf-
USB LSB LSB USB
“complex” “complex” “real”
Complex conjugate
PM signal
141
調制譜 (Modulation Spectrum) (III)
I/Q
Modulator t BBs t
f
0 Hz
USB LSB
cos2 cf t
2 2
2 2c cj t j tj f t j f tA t A t
e e e e - -
+
cos 2m cs t A t f t t +
2Re cj t j f t
A t e e
“real signal”
I t
Q t
fcf0 Hzcf-
USB LSB LSB USB
“complex” “complex” “real”
Complex conjugate
I/Q modulated signal
142
複數波包的觀念 (I)
帶通實數訊號(Bandpass real signal),即調制訊號:
2 2
cos 22 2
c cj t j tj f t j f t
m c
A t A ts t A t f t t e e e e
- -
+ +
2 21 1
2 2c cj t j tj f t j f t
A t e e A t e e - -
+
ls t ls t
lS f lS f
Complex timed value
Spectrum
2 21 1
2 2c cj t j tj f t j f t
A t e e A t e e - -
+
2 cj f t
ls t e
2 cj f t
ls t e-
l cS f f - - l cS f f-
Complex timed value
Spectrum
1
2m l c l cS f S f f S f f - + - -
fcf0 Hzcf-
USB LSB LSB USB
1
2l cS f f-
1
2l cS f f - -
Spectrum of the bandpass signal
143
複數波包的觀念 (II)
等效低通訊號 (Equivalent low-pass signal,即complex envelope):
f0 Hz
lS f
cfcf-
21
2cj f t
ls t e
21
2cj f t
ls t e-
j t
ls t A t e I t jQ t
+
1
2m l c l cS f S f f S f f - + - -
fcf0 Hzcf-
USB LSB LSB USB
1
2I t jQ t+
Spectrum of the bandpass signal
1
2I t jQ t-
ms t
BBj t
ls t A t e I t jQ t
+
complex envelope
2cos 2 Re cj t j f t
m cs t A t f t t A t e e +
2Re cj f t
I t jQ t e
+
complex envelope
carrier carrier 2 cj f te
carrier
144
終 於
複激勵+尤拉公式告訴我們:弦波的尾巴
不是重點,弦波的頭(相量)才重要,因為資訊都藏在頭裡面
資訊都藏在弦波相量裡,所以「時變訊息」一旦藏到相量中,就產生了「時變相量」,而這個過程稱之為「調制」。
發射機架構
146
Transmitter Architectures
Basic Direct Conversion Transmitter (DCT)
Modern DCT
Heterodyne Transmitters
OOK Transceivers
Open-loop Phase Modulation Techniques
Closed-loop Phase Modulation Techniques
Polar Transmitter
147
Quadrature upconverter:
Server as the modulator.
Power amplifier:
Amplify the signal.
Matching network :
Provide maximum power delivery to antenna and filter out-of-band components that result from the PA nonlinearity.
xBB,I(t) and xBB,Q(t) are generated by BB circuits and hence has a sufficiently large amplitude, the noise of the mixers is much less critical here than in receivers.
A predriver is typically interposed between the upconverter and the PA to serve as a buffer.
Direct-Conversion Transmitter (DCT)
cos ctMatching
Network
PA
sin ct-
cos cx t A t t t +
cos cos sin sinc cA t t t A t t t -
, cosBB Ix t A t t
, sinBB Qx t A t t
148
I/Q Mismatch
I/Q mismatch in the DCT:
Constellation:
1 2cos sinc c c c cx t A A t A t + + +
1 2 1cos cos sin sinc c c c c c cA A t A A A t + + - +
1 2, 1
1 21 cos , 1 1 sinc c
c c
A A
A A
+ + - +
1 21 cos , 1 1 sinc c
c c
A A
A A
+ + - - +
1 21 cos , 1 1 sinc c
c c
A A
A A
- + + +
1 21 cos , 1 1 sinc c
c c
A A
A A
- + - + +
I
Q
Ideal
I
Q
Ideal
149
I/Q Calibration (I)
Applying a sinusoidal to one BB input while the other
is set to zero for gain mismatch calibration.
The gain mismatch can be adjusted so as to drive this difference to zero.
0 cos inV t
cos ct
sin ct1outV
cos ct
sin ct
0 cos inV t
2outV
1 0 1 cos cosout in cV t V t t + + 2
2 201 0
2out
VV t V +
2 0 cos sinout in cV t V t t 2
2 02
2out
VV t
2 2 2
1 2 0out outV t V t V -
150
I/Q Calibration (II)
Apply a single sinusoidal to both inputs of the
upconverter to reveal phase mismatch.
It can be shown that the output contains two sidebands of equal amplitudes
and carries an average power equal to
We observe that ε is forced to zero as described above, then .
Thus, the calibration of phase mismatch proceeds to drive this quantity to zero.
cos ct
sin ct0 cos inV t 3outV
+
-
3 0 01 cos cos cos sinout in c in cV t V t V t + + -
0 cos 1 cos cosin cV t +
2 2
3 0 1 1 sinoutV t V + +
2 2
3 1 sinout outV V -
0 cos 1 sin 1 sinin cV t t - + +
151
Carrier Leakage (I)
The analog BB circuitry producing the quadrature
signals exhibits dc offsets, and so does the baseband
port of each upconvertion mixer:
The upconverter therefore contains a fraction of the
unmodulated carrier, called “carrier leakage”:
1 2cos cos sin sinout OS c OS cV t A t V t A t V t + - +
1 2cos cos sinout c OS c OS cV t A t t V t V t + + -
2 2
1 2
2
Relative Carrier Leakage OS OSV V
A t
+
152
Carrier Leakage (II)
RX BB outputs suffer from dc offsets.
In the presence of carrier leakage, if
the TX power is controlled by varying
BB signals, it is difficult for the base
station to measure the actual signal
power.
0 2OSV V+ +
Q
I
0 1OSV V+ +0V- 0V+
0V-
0V+
cos ct
sin ct
PA
Receiver
Base Station
Bas
eban
d
Pro
cess
or
Carrier Leakage
c
153
Reduction of Carrier Leakage
Bas
eban
d
Pro
cess
or
DACQ
DACI
Register ADC
Power
Detector
cos ct
sin ct
The BB swing, A(t), must be chosen sufficiently larger to reduce
carrier leakage. However, as A(t) increases, the input port of mixers
becomes more nonlinear. A compromise is therefore necessary.
2 2
1 2
2
Relative Carrier Leakage OS OSV V
A t
+
• Use BB offset control to reduce
the carrier leakage. During carrier
leakage cancellation, the BB
processor produces a zero output
so that the detector measures only
the leakage. Thus, the loop can
use the DACs to drive the
leakage toward zero.
154
Transmitter Linearity (I)
Upconversion mixers in TX sense no interferers, however,
excessive nonlinearity in the mixer BB port can corrupt the
signal or raise the adjacent channel power.
In most cases, as the BB signal swings increase, the PA
output begins to compress before the mixer nonlinearity
manifests itself.
Power back-off is required for
variable envelope signal to avoid
spectrum regrowth at PA output.
1-dB Compression Point
outV
inV0V
t
155
Transmitter Linearity (II)
In the TX chain, the signal may experience compression in any
of the stages. Since the largest voltage swing occurs at the output
of the PA, this stage dominates the compression of the TX. In a
good design, the preceding stages must remain well below
compression as the PA output approaches P1dB. To ensure this,
we must maximize the PA gain and minimize the output swing of
the predriver and the stage preceding it.
cos ct
sin ct
,BB IV
,BB QV
PA Predriver
XVdrV outV
XVdrV
outV
BBV
156
Oscillator Pulling
The PA output (very large swing) would couple to various
parts of the system through the silicon substrate, package
parasitics, and traces on the printed-circuit board. Thus, it is
likely that an appreciable fraction of PA output couples to
the LO to pull the oscillator.
outLO
LO
LO
PA
LO
I
LO
Q
Output
Spectrum
inj
inj
b
+
2in
jb
+
3in
jb
+
157
Avoid LO Pulling (I)
Most of today’s DCTs avoid an oscillator frequency to the PA
output frequency by using frequency division and mixing.
Since the PA nonlinearity produces a finite amount of power at
the second harmonics of the carrier, the LO may still be pulled
by using the following architecture.
Very high speed divider is needed, but even a substantial effort
on divider design to enable this architecture is well justified.
I
2LO c
Q
LO 2
PA
c 2 c
158
Avoid LO Pulling (II)
Use a frequency doubler is possible to avoid LO pulling,
but the doubler typically dose not provide quadrature
phases, necessitating additional quadrature generation
stages such as the poly phase filter.
Advantage: no harmonic can pull the LO.
Disadvantage: the doubler and polyphase filter suffer from
a high loss, requiring the use of power-hungry buffers.
I
2
cLO
Q
LO 2X Polyphase
Filter
PA
c
159
Avoid LO Pulling (III)
Homodyne with Dual LOs
160
Avoid LO Pulling (IV)
Offset PLL
?
PFD LPF
Frequency Divider
reff outf
/N
offsetf
PFD LPF
Frequency Divider
reff outf
/N
offsetf
PFD LPF outf
/M2nd loop
161
Avoid LO Pulling (V)
Clock Generator and Management
Broadcom 54Mbps 2.4 GHz 802.11b/g WLAN Solution:
BCM2050 RF Front-end
Clock generator within Atheros 802.11a
5-GHz CMOS Transceiver Dual transmit conversion
162
Heterodyne Transmitter
Another approach to avoiding injection pulling involves
performing the signal upconversion in two steps so that the
LO frequency remains far from the PA spectrum.
Smaller I/Q mismatch
1sin t
1cos t
2cos t
I
BPF
PA
Q
1
2
1 2 +
12
-
12
+
163
OOK Transceivers
On-off keying (OOK) modulation is a special case of ASK where
the carrier amplitude is switched between zero and maximum.
Less bandwidth-efficient as unshaped binary pulses modulated
on one phase of the carrier occupy a wide spectrum.
LO
PA
LO
PA
LNA Envelope
Detector
Direct LO switching PA switching
OOK RX
OOK TX
164
Open-loop Modulation
Open-loop modulation based-on a frequency synthesizer (or
phase-locked loop).
Wideband (high data rate).
Poor accuracy due to VCO frequency drifting.
reff
DAC
VCO
PFD Loop Filter
Div-by-N
BBs n
BBs t
ms t
165
Closed-loop Modulation (I)
Closed-loop modulation based-on a frequency synthesizer
(or phase-locked loop).
Narrowband (low data rate).
Good frequency accuracy.
No DACs required.
-
VCO
PFD Loop Filter
BBs n
/ 1N N +
ms t
reff
Modulator
SRF=AC cos(ωCt+θ(t))
166
Closed-loop Modulation (II)
Use the compensated filtering to increase the data rate.
-
VCO
PFD Loop Filter
BBs n
/ 1N N +
ms t
reff
Modulator Compensated
Filter
167
Closed-loop Modulation (III)
Use the two-point Δ-Σ modulation to increase the data
rate.
-
Two-point
VCO
PFD Loop Filter
BBs n / 1N N +
ms t
reff
Modulator
DAC
168
Envelope
Detector
Envelope Following/Tracking Transmitter
Dynamically adjusting bias to improve efficiency.
BBA t
ms t
Linear PA
Antenna
Matching
BBA t
I/Q Modulator
Amplitude
Modulator/
Regulator
I t
cos ctsin ct-
Q t
SRF=AC(t) cos(ωCt+θ(t))
169
Polar Transmitter (I)
Envelope Elimination and Restoration (EER) TX,
(Kahn, 1952):
Envelope
Detector BBA t
ms t
Switching-mode
PA
Antenna
Matching
BBA t
I/Q Modulator
Amplitude
Modulator/
Regulator
I t
cos ctsin ct-
Q t
Limiter
170
Polar Transmitter (II)
Polar Transmitter
BBA t
cos ct
ms t
Switching-mode
PA
Antenna
Phase
Modulator Matching
BBA t
BB t
Bas
eban
d
Pro
cess
or
Amplitude
Modulator
2Re c BBj f t t
e +
• Linear modulator to generate PM signal
• Frequency synthesizer or PLL-based PM modulator
171
Polar Transmitter (III)
Hybrid Quadrature and Polar Modulation TX (HQPM-
TX): B
aseb
and
Pro
cess
or
BBA t
ms t
Switching-mode
PA
Antenna
Matching
,BB DSMA t
I/Q Modulator
Amplitude
Modulator/
Class-S
I t
cos ctsin ct-
Q t
172
Quadrature Modulation
Low modulation distortion
but low efficiency
Polar Modulation
Medium high efficiency but
Medium modulation distortion
Hybrid Quadrature Polar
Modulation (HQPM)
Low modulation distortion
& high average efficiency
發射機架構比較 (I) – 摘要
ηSYS =POUT
PDC POUT VOUT
2
OUT OUTSVR
DC CC
P V
P V VOUT
SYS PA SVR
SYS PA S
173
發射機架構比較 (II) – 效率(CW)
Quadrature modulationPolar modulationHQPM
Linear PA Efficiency @ Pmax = 40%
VOUT
2
VOUT
VOUT
0
DC
-to
-RF
Eff
icie
ncy
CW Output Power (dBm)
Switching mode PA Efficiency = 80%
Class-S modulator Efficiency = 80%
64%
80%
40%
174 174/68
發射機架構比較 (III) – 平均效率
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
Probability
00.
250.
50.
751
Nor
mal
ized
Mag
nitu
de
Time
Enve
lop
e
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
Pro
bab
ilit
y0 0.25 0.5 0.75 1
Normalized Magnitude
Quadrature modulationPolar modulationHQPM
DC
-to
-RF
Eff
icie
ncy
Output Power (dBm)
64%
39%
10%
CDMA2000 1x QPSK-modulated
signal @1.2288 Mcps
175
發射機架構比較 (IV) – 比較表
架構 線性度 效率 調制頻寬 複雜度
正交調制
(Quadrature) 優異 低 非常寬 低
波包消除回復
(EER) 中 中 窄 高
極座標
(Polar) 好 中 中 中
混合正交
與極座標
HQPM
好 高 中 中
線性度
177
Outline
Nonlinear Effects on an RF Signal
Analysis of 1-dB-Compression Point (P1dB)
Analysis of Second-Order Intercept Point (IP2)
Analysis of Third-Order Intercept Point (IP3)
Nonlinear Effect of a Cascaded System
Nonlinear Effect on a Digitally-Modulated Signal
2/49
178
Nonlinear Effects
The distortion of an RF transceiver are resulted from
internal interferences and external interferences.
1) The internal interferences are generated from the
nonlinear effect of its own devices.
2) The external interference are from outside the
transceiver and intercepted by the antenna or EM
coupling.
3) Internal distortion is primarily generated from power
amplifier.
3/49
179
Power Amplifier Categories
Linear Amplifier: Class A, B, AB, and C
Classified in terms of current conduction angle
CEv
,maxCEVkneeV QV
,maxCI
Ci
QI
A
AB
B C
Biased Transistor
Input Matching Output Matching
4/49
180
Linear Amplifier
Normalized DSi
A
C B AB
0 2t
Class Duty Cycle Theoretical Efficiency Linearity
A 100% 50% Excellent
B 50% 78.5% Moderate
AB 50~100% 50~78.5% In-Between Class-A and -B
C 0~50% 100% Poor
5/49
181
Amplifier AM/AM and AM/PM Distortion
Modulated Input signal:
Distorted Output signal:
cosin cv t A t t t +
, cos ,out cv t B f A t t f A + +
outP 40
0
40-
80-
20
0
20-
40-
Ou
tpu
t P
ow
er (
dB
m) P
hase S
hift
Input Power (dBm)
10- 5- 0 5 10 15 20 25
Class A
AB
C AB
A
C
AM/AM Distortion AM/PM Distortion inv t outv t
7/49
182
Nonlinear Memoryless Device (I)
An input-output relationship of a nonlinear
memoryless device can be represented as
2 3 4
0 1 2 3 4out in in in inv t v t v t v t v t + + + + +
inv t outv t
inV
outV
linear
nonlinear
small signal
large signal
linear output distorted output
f
f
Perfect sinusoid
Harmonics
8/49
183
Nonlinear Memoryless Device (II)
Coefficients αi are depending on
1) DC bias, RF characteristics of the active device used in the circuit.
2) Magnitude vin of the signal.
3) When Pin < P1dB (linear region), all can be treated as constant.
Assume the input and output impedance of the circuit are ,
and ,respectively. Considering a CW input signal with the
voltage ,the input available power is
inv t outv t
sin 2in in cv t V f t 2 2in c in in cP f V Z f
inZ f
outZ f
2 3 4
0 1 2 3 4out in in in inv t v t v t v t v t + + + + +
9/49
184
Small-signal Power Gain (Linear Gain)
For linear operation
where Pin is the available input power and G1 is the available small-signal
power gain, which equals to
1 1 sin 2out in in cv t v t V t
2 2 2 22 211 1
1 1 1
2 2 2
in cout in in inout in
out out in out out c
Z fV V V ZP P
Z Z Z Z Z f
120log 10log
in c
out in
out c
Z fP P
Z f + + 1 dBmout c in cP f P f G +
1 120log 10log in c
out c
Z fG
Z f +
sin 2in in cv t V f t
2 3 4
0 1 2 3 4out in in in inv t v t v t v t v t + + + + +
inv t outv t
Assume , we have . in c out cZ f Z f 1 120logG
10/49
185
Linear Amplification
dBmin cP f
1G1
1
dBmout cP f
dBmin cP f
1G
dBmout cP f
inP
cf
f
f
1out inP P G +
inv t outv t
11/49
186
Third-order Effect
For a single-tone input signal,
α3 < 0 gives gain compression phenomenon
α3 > 0 gives gain enhancement phenomenon
1cosinv t A t
3 3
1 1 3 1cos cosoutv t A t A t +
3 3
1 3 1 3 1
3 1cos cos3
4 4A A t A t
+ +
Out-of-band Distortion (3rd Harmonic)
3rd-order effect
In-band Distortion
3rd-order effect
Desired Signal
linear effect
inv t outv t
3
1 3out in inv t v t v t +
12/49
187
1 dB-Compression Point (I)
When the input signal becomes stronger, the output
signal will not grow proportionally but with a slower
rate. It is a saturation phenomena.
1 dB
1dBOP
G
1dBIP
out cP f
dBmin cP f
1
1
• When the actual output power is 1 dB less than
the linear extrapolated power, it reaches the 1-
dB gain compression point. At this point, the
input power is called the input 1-dB-
compressed power (IP1dB), the output power is
called the output 1-dB-compressed power
(OP1dB) ,and the gain is called the 1-dB-
compressed gain (G1dB).
3 3
1 3 1 3 1
3 1cos cos3
4 4outv t A A t A t
+ +
α3 < 0
13/49
188
1 dB-Compression Point (II)
1G
dBminP
cf
cf
1out inP P G +
1dB 1 1out in inP P G P G + + -
1out inP P G +
15/49
189
Measurement of P1dB
By network analyzer in the power sweep mode: Obtain small signal gain and .
By spectrum analyzer : Test various input signal power level to measurement the output power
spectral content to obtain output v.s. input power curve.
1 120logG 1dBG
Network Analyzer
Amplifier
Signal Generator
Amplifier
Spectrum Analyzer
16/49
190
Distortion Characterization (I)
Amplifier input-output relation:
If only one signal is present, the undesired components
will be harmonics of the fundamental, but, if there are
more signals at input, signals will be produced with
frequencies that are mathematical combinations of the
frequencies of the input signals, called intermodulation
products (IMPs) or intermods. It is instructive to study the
results when there are two input signals (although we will
eventually consider large numbers of signals).
2 3 4
0 1 2 3 4out in in in inv t v t v t v t v t + + + + +
17/49
191
Distortion Characterization (II)
Characterized by 1-dB gain compression, IPs , 2-tone
intermodulation distortions (IMDs)
1cosinv A t
,1 1cosout ov G A t
,2 2 1cos 2outv A t
,3 3 1cos3outv A t
Single-tone excitation
Nonlinear Harmonics
1ff
1f
f
12 f13 f 14 f
18/49
192
Distortion Characterization (III)
Designed Amplifier
1f 2f
f
1f 2f
f
1 22 f f-2 12 f f-
1f 2f
f
1 22 f f-2 12 f f-
1f 2f
f
1 22 f f-2 12 f f-
IMD from AM/AM distortion
IMD from AM/PM distortion
Two-tone excitation
Nonlinear
IM
Products
Characterized by 1-dB gain compression, IPs , 2-tone
IMDs
19/49
193
Intercept Points
The nonlinear properties can be described by the concept of
intercept points (IPs). The input intercept point (IIPn) is a
fictitious input power where the desired output signal
component equals in amplitude the undesired component.
out nP f
out cP f
dBmin cP fIIPn
1dBIP
OIPn
1dBOP
1 dB
1
1 1
n
Ou
tpu
t P
ow
er (
dB
m)
20/49
194
Second-Order Nonlinear Effect (I)
Single-tone excitation:
For the inclusion of only the linear term and the
second term, the output voltage is
sin 2in cv t A t
2
2in c
in c
AP f
Z f
22
1 2 1 2sin 2 sin 2out in in c cv t v t v t A f t A f t + +
2
221 2sin 2 sin 2
2c c
AA f t A f t
+ -
2 2
2 1 2
1 1sin cos 2
2 2c cA A t A t + -
Out-of-band Distortion
2nd-order effect
DC Offset
2nd-order effect
Desired Signal
linear effect
in cZ f
inv t outv t
cff
0
21/49
195
Second-Order Nonlinear Effect (II)
Two-tone Excitation: 1 2sin sininv t A t B t +
2
1 1 2 2 1 2sin sin sin sinoutv t A t B t A t B t + + +
2 2
2 1 1 1 2
1sin sin
2A B A t B t
+ + +
2 1 2 2 1 2cos cosAB t AB t + - + +
2 2
2 1 2 2
1 1cos 2 cos 2
2 2A t B t
+ - -
2 1f f-0 1f 2f 12 f 22 f1 2f f+
a b
c e
d f g
g : DC term
a, b : linear term
c : IM (down beating)
d : IM (up beating)
e, f : 2nd harmonic
a b g
c d
e f
22/49
196
Linear and 2nd-order Effects
Linear effect:
A superscript (1) of denotes that the power content contributed from the
first-order term (linear term).
2nd-order effect:
1
120log 10login c
out c in c
out c
Z fP f P f
Z f + +
1
1 dBmout c in cP f P f G +
1
outP
Linear Gain
2
22
2 2222 2 2 2
2 2
1
1 1 122
2 2 2 2 2 2 2
in c in c
out c in
out c in c out c out c
AZ f Z fA
P f PZ f Z f Z f Z f
2
220log 3 2 dBm 10log2
in c
in
out c
Z fP
Z f - + +
2
22 2 dBmout c in cP f G P f +
2
2 2 dB 20log 3 10log2
in c
out c
Z fG
Z f - +
Slope of 2
23/49
197
Second-Order Intercept Point
6 dB
6 d
B
IM2
2nd harmonic
Fundamental
Fundamental input power (dBm)
Ou
tpu
t po
wer
(d
Bm
)
6 d
B
6 dB
OIP2H
OIP2IM
IIP2IM IIP2H
6 dB
6 d
B
24/49
198
領 悟
斜率固定的任兩條線,已知交叉點
給任意 yA(或xA) 可求 yB,或相反
交越點讓失真量的推算變成了幾何問題
交越點定義了「小訊號」區的失真量
A 線 B 線
1
1
根據「幾何代數學」,
你會得到一大堆計算失真量(線性度參數)的公式
可以讓你的 paper 看起來
很威!
199
Example
For an amplifier with 21 dB linear gain and the OIP2H
is at 17 dBm, find the output 2nd harmonic power
when the fundamental output signal power is -8 dBm.
12 2 dBmH HOIP IIP G +
OIP2H = 17 dBm
2nd harmonic
Fundamental
Fundamental input power (dBm)
Ou
tpu
t po
wer
(d
Bm
)
IP2H
-8 dBm
25
dB
25
dB
-33 dBm
-29 dBm -4 dBm
(IIP2H )
17 2 21 dBmHIIP +
2 4 dBmHIIP -
2 2 dBmout c out c H out cP f P f OIP P f - -
8 17 8 33 dBm - - + -
25/49
200
Measurement of IP2 (I)
Mixer: use single-tone cw test
2 dBmIFOIP P +
12 2 dBmRFIIP OIP G P - +LOf RFf
RFPLOP
IFP
IFf 2 IFf
dB
Spectrum Analyzer
30/49
201
Measurement of IP2 (II)
Amplifier : use two-tone cw test
, ,
12 dBm
2A B o A o BOIP P P + + +
12 2 dBmIIP OIP G -
,i AP ,i BP
1f 2f
2 1f f-0 1f 2f 12 f 22 f1 2f f+
,o AP
,o BP
AB
Signal Generator
Combiner
DUT
Spectrum Analyzer
31/49
202
Third-Order Nonlinear Effect (I)
Consider only the first-order and the third-order effect
of a nonlinear device, i.e., .
Single-tone excitation: The input signal contains only a sinusoidal signal , where its
available power can be obtained as .
In-band and out-of-band distortions
The output voltage becomes
3
1 3out in inv v v +
1cosiv A t
2 2in inP A Z
3 3
1 1 3 1cos cosoutv A t A t +
3 3
1 3 1 3 1
3 1cos cos3
4 4A A t A t
+ +
1 3 3
1 1 1 3 1cos cos3V V t V t + +
Out-of-band Distortion
3rd-order effect
In-band Distortion
3rd-order effect
Desired Signal
linear effect
3rd harmonic
32/49
203
Third-Order Nonlinear Effect (II)
Gain Compression or Enhancement: At f1, the amplified linear-term signal has been mixed with the third-order term
If α3 < 0 , the linear gain is compressed, otherwise, it is enhanced
3
1 1 3 1
3cos
4outv f A A t
+
3 0
dBmin cP f
3 0
1
1
33/49
204
Third-Order Nonlinear Effect (III)
Two-tone excitation: 1 2 1 2sin sin , inv t A t B t +
i : DC term
a, b : linear term(desired signal)
+inband distortion
c , d : IM3, adjacent band distortion
e, f : 3rd harmonics
g, h : out of band distortion
3
1 3out in inv t v t v t +
2 2 3 3
3 3 1 3 1 1 3 2
3 3 9 9cos cos
2 2 4 4A B AB A A t B B t
+ + + + +
2 2 3 3
3 1 2 3 2 1 3 1 3 2
3 3 1 1cos 2 cos 2 cos3 cos3
4 4 4 4A B t AB t A t B t + - + - + +
2 2
3 1 2 3 1 2
3 3cos 2 cos 2
4 4A B t AB t + + + +
a b i
c d f e
g h
c g
f e d
a b
h
1 22 f f-
0 1f 2f 13 f 23 f
1 22 f f+2 12 f f- 1 22f f+
2-toneIMR 2 3 2 3in outIIP P OIP P - -
34/49
205
Third-order Intercept Point
10 dB
10
dB
IM3
3rd harmonic
Fundamental
Fundamental input power (dBm)
Ou
tpu
t po
wer
(d
Bm
)
4.7
7 d
B
4.77 dB
OIP3H
OIP3IM
IIP3IM IIP3H
4.77 dB
9.5
4 d
B
35/49
206
A 線 B 線
1
2
207
Example
For an amplifier with 9 dB linear gain and the OIP3IM
is at 21 dBm, find the output IM3 power when the
fundamental input signal power for each signal is -4
dBm.
13 3 dBmIM IMOIP IIP G + OIP3IM = 21 dBm
IM3
Fundamental
Fundamental input power in each signal (dBm)
Ou
tpu
t po
wer
(d
Bm
)
IP3IM
5 dBm
16
dB
32
dB
-27 dBm
-4 dBm 12 dBm
(IIP3IM )
21 3 9 dBmIMIIP +
3 12 dBmIMIIP
3 2 3 dBmIM out c IM out cP P f OIP P f - -
5 2 21 5 27 dBm - - -
36/49
208
Measurement of the IP3
Amplifier : use two-tone cw test
, ,
13
2i A i BOIP P P + +
1f 2f
,i AP ,i BP
B
1f 2f1 22 f f-2 12 f f-
A
,o AP,o BP
0
Signal Generator
Combiner
DUT
Spectrum Analyzer
39/49
209
Relationship Between Products
IMs may be predictable from harmonics:
IM2s are 6 dB higher than the 2nd-order harmonics
IM3s are 9.54 dB greater than the 3rd-order harmonics
IP3H exceeds the IP3IM by 4.77 dB
In addition, we may be able to relate the −1-dB
compression level to the IP3:
3
1 1dB 3 1dBdesired+distorted
desired 1 1dB
3
410log 20log 1 dB
A AP
P A
+
- 231dB
1
30.10875
4A
3
3, 1 3, 3 3,
3
4OIP IM IIP IM IIP IMA A A
2 13,
3
4
3IIP IMA
2
1dB 1dB
2
3,
0.10875 9.64 dB3IIP IM IM
A IP
A IIP -
1 3 1 9.64 dB 3 10.64 dBdB IM IMOP IIP G OIP + - - -
P1dB:
very useful result!
OIP3:
40/49
210
Cascaded System (I)
3 1 2 3inC P G G G
3
1 23 2 3 32
13
inP G GI I G G
IIP
2
23 1 2 1
3 3 3 1 2 3
3 2 1
1
3 3 3in
G G GI I I I P G G G
IIP IIP IIP
+ + + +
3 3
1 23 2 3 32
23
inP G GI I G G
IIP
3 3 3 3
2 3 1 2 33 2 2
3 33 3
inC G P G G GI
IIP IIP
3 1 2 3
2 3
1 2 33 2 1 2 1
3 2 1
1
133 3 3
tot in
intot
intot
C C G G G P
P G G GI IG G GP
IIPIIP IIP IIP
+ +
1 2 1
3 2 1
1 1
3 3 3 3tot
G G G
IIP IIP IIP IIP + +
inP 1C 2C 3C
1I 2I 3I
3I 2I
3I
1st stage 2nd stage 3rd stage
44/49
211
Cascaded System (II)
IIP3 of a N-Stage System
The above equation shows that the IIP3 of an inter-
stage is reduced by a factor of the previous stage
subtotal gain. It means, the back-end stage will enter
saturation first.
OIP3 of a N-Stage System
1
1 1 1 2
1 1 2 3
1 1
3 3 3 3 3
n
kNk
ntot n
GG G G
IIP IIP IIP IIP IIP
-
+ + +
1 2 3 2 3 4 3
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3tot T tot T N N N NOIP G IIP G IIP G G G IIP G G G IIP G IIP + + + +
2 3 1 3 4 2 4 5 3
1 1 1 1
3 3 3 3N N N NG G G OIP G G G OIP G G G OIP OIP + + + +
45/49
212
Example
Calculate the cascaded OIP3 of the following stages.
Department of Electronic Engineering, NTUT
21 dBm+ 25 dBm+
10 dB 3 dB- 10 dB
3OIP
Gain
21 dBm+ 25 dBm+
15 dB 3 dB- 10 dB
3OIP
Gain
stage 1 stage 2 stage3
Gain (dB) 10 -3 10
OIP3 (dBm) 21 100 25
IIP3 (dBm) 11 103 15
Gain (linear) 10 0.5011872 10
OIP3(linear, mW) 125.89254 1E+10 316.22777
IIP3(linear, mW) 12.589254 1.995E+10 31.622777
1/IIP3cas (linear) 0.2379221
IIP3cas (linear) 4.2030556
IIP3cas (dBm) 6.2356514
OIP3cas(dBm) 23.235651
stage 1 stage 2 stage3
Gain (dB) 15 -3 10
OIP3 (dBm) 21 100 25
IIP3 (dBm) 6 103 15
Gain (linear) 31.622777 0.5011872 10
OIP3(linear, mW) 125.89254 1E+10 316.22777
IIP3(linear, mW) 3.9810717 1.995E+10 31.622777
1/IIP3cas (linear) 0.7523759
IIP3cas (linear) 1.3291229
IIP3cas (dBm) 1.2356514
OIP3cas(dBm) 23.235651
46/49
213
Spectrum Regrowth
How do we estimate ACPR of a modulated RF signal
from 2-tone measurement
3
2-tone 6 10log dBc4
mACPR IMR
A B
- +
+
where 3 2 mod
2 3 2 2
24 8
m
m m mA
- - +
2 mod2
4
mm
B
-
m denotes number of tones
48/49
214
領 悟
P1dB + Psat:單調測試,描述功率特性
失真交越點:雙調測試,描述失真特性
為什麼要做雙調測試?
用單調估雙調
用雙調估調制
用多調估OFDM
附錄:拉普拉斯轉換
216
傅立葉轉換的問題
Department of Electronic Engineering, NTUT
Fourier Transform:
傅立葉轉換有其分析的缺陷存在
對於多數的訊號x(t),傅立葉積分時常無法收斂。最著名的例子便是對一個弦波執行傅立葉積分:
j tX j x t e dt
-
-
0sinx t t 00
sin j tX j t e dt
-
0 0 00 2 20
0 0
sin cossin
j t j tj t j e t e t
X j t e dt
- -
- - -
-
0 0
2 2
0
sin cosj jj e eX j
- - - - +
-
上式的問題在於: 與 sin cos ?
217
解決方案 (I)
Department of Electronic Engineering, NTUT
Laplace transform 提供了解決方案
想法:如果 x(t) 在時間 t 很大時能夠趨近於0,那麼傅立葉積分
.便可以變得簡單(收斂)。為了達到此目的,我們試著將 x(t)
乘上一個衰減函數(damping function)
0
, t j tX j x t e e dt
- -
00
, sin t j tX j t e e dt
- -
0 0 0
22
0 0
sin cos,
j t j tj e t e t
X jj
- + - +
- + -
+ +
te -
0 0
0 0
2 22 2
0 0
sin cos sin 0 cos0,
j jj e e j e e
X jj j
- + - + - + - - + -
-+ + + +
0
22
0
,X jj
+ +
以 為例 0sinx t t
0
j t j
te e
- + - +
0
218
解決方案 (II)
的傅立葉積分:
因此 的傅立葉積分即套入 條件:
對任何函式x(t),可以先乘上 保證其積分能收斂,最後再令 即可找出 x(t) 之傅立葉轉換結果。
所以,我們又會說
「傅立葉轉換是拉普拉斯轉換的特例」
0
2 2
0
X j
-
- 00 1te e
0
0
22
0
,X jj
+ +0sin tt e -
0sin t
- te
219
Laplace Transform 的定義
Department of Electronic Engineering, NTUT
如同先前所說,將x(t)先乘上 有助於傅立葉積分
定義 ( s 稱為複頻率,complex frequency)
傅立葉轉換即令
s j +
,X j X j X s +
0
stX s x t e dt
- 這正是Laplace轉換的定義
te -
s j
X j X s
0 s j
0
, t j tX j x t e e dt
- -
0,
j tX j x t e dt
- +
220
Historical Points of View (I)
Watt 1736-1819 Coulomb 1736-1806
Ampere 1775-1836 Volta 1745-1827
Ohm 1789-1854
Kirchhoff 1824-1887
1600 1900 1700
Joule 1818-1889
1609
顯微鏡
1752
避雷針
1710
溫度計
1769
蒸汽機
1791
輪船
1800
電池
1804
鐵路機車
1807
蒸汽船
1821
電動機
1826
內燃機
1831
發電機
1824
都卜勒效應
1836
縫紉機
1843
冰淇淋
1801
紡織機
1870
汽油引擎
1877
留聲機
麥克風
1889
汽車
1893
無線電
Lagrange 1736-1813
Newton 1643-1727 Leibniz 1646-1716
Fourier 1768-1830 Laplace 1749-1827
Arbogast 1759-1803
Heaviside 1850-1925
1800
1657
擺鐘
1679
壓力鍋
1643
晴雨表
1609
克卜勒行星運動定律
1610
伽利略提出太陽自轉
1621
斯耐爾
折射定律
1687
牛頓
自然哲學的數學原理
(萬有引力, 三大運動定律)
1690
惠更斯
以太說
1652
富蘭克林
論電與
電氣相同
1685
庫侖定律
221
Historical Points of View (II)
1774-1783
美國獨立戰爭
1774
大陸會議
1776
傑佛遜獨立宣言,
美國成立
1789
美國憲法生效
華盛頓第一任總統
1861
南北戰爭爆發
1865
林肯遇刺身亡
1662-1722 康熙 1795-1908 嘉慶, 道光, 咸豐, 同治, 光緒 1722-35-95 雍正, 乾隆
1754 吳敬梓歿
1763 曹雪芹歿
1796-1804
白蓮教起義
1840-42 第一次鴉片戰爭
1851 洪秀全
成立太平天國
1852 曾國藩成立湘軍
1856-60 第二次鴉片戰爭, 英法
聯軍
1861 慈禧垂簾聽政
1865 李鴻章成立江南製造局
1866 左宗棠成立福州造船廠
1885 劉銘傳任台灣巡撫
1894 中日甲午戰爭
1898 譚嗣同,
康有為戌戊變法
1900 義和團起義
1784 鹿港開港
1863 雞籠開港
1864 打狗開港
1874 牡丹社事件
1884 中法戰爭, 砲轟基隆
1885 台灣脫離福建省, 為台灣省
1887 台灣鐵路
1760 英國工業革命開始
1789-1794 法國大革命
1795 法王路易十六上斷頭台
1799-1814 拿破崙王朝
1871 德意志帝國成立 1889 巴黎艾菲爾鐵塔
1895 馬關條約
1600 1900 1700 1800
-1644 明朝末
1644
吳三桂降清
1644-62 南明
1650
鄭成功居廈門與金門抗清
1661
鄭成功攻台灣逐荷蘭人
1636 大清國
皇太極稱帝
1683
施琅攻台
鄭克塽降清
1600
英國東印度公司
1600~
英法殖民者於北美拓殖
1624 荷蘭占台
222
感謝您的參與!
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