ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§1 Понятие функции двух переменных.

Пусть задано множество упорядоченных пар чисел Правило которое каждой паре чисел сопоставляет одно и только одно число R, называется функцией двух переменных, определенной на множестве и записывается в виде

При этом и называются независимыми переменными, а – областью определения функции. В частности, областью определения функции может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями.

Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называют внутренними.

Область, состоящая только из одних внутренних точек, называется открытой.

Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой и обозначается

Область называется ограниченной, если все ее точки принадлежат некоторому кругу радиуса В противном случае область называется замкнутой.

Пример. Найти область определения функции

𝑧=1

√4− 𝑥2 −𝑦 2.

Решение. Данная функция определена при условии, что

или

.

Для нахождения на плоскости множества точек, удовлетворяющих последнему неравенству, построим сначала границу области. Для этого в этом неравенстве поменяем знак «<» на знак «=». Получим:

или

уравнение окружности с центром в точке и радиуса

Очевидно, что неравенству удовлетворяют все точки, лежащие внутри данной окружности.

Графиком функции двух переменных является поверхность, образованная множеством точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

§2 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции.

Пусть задана функция Зафиксируем значение при этом получим функцию одной независимой переменной Придадим переменной приращение , тогда получит приращение, которое называют частным приращением по и обозначается

∆𝑥 𝑧= 𝑓 (𝑥+∆ 𝑥 ; 𝑦 )− 𝑓 (𝑥 ;𝑦 ) .

Аналогично получим частное приращение по

Тогда частной производной первого порядка функции в точке по переменной называется предел (при условии, что он существует):

lim∆ 𝑥❑

→

0

𝑓 (𝑥+∆ 𝑥 ; 𝑦 )− 𝑓 (𝑥 ; 𝑦 )∆𝑥

и обозначается одним из символов:

𝜕𝑧𝜕𝑥

; 𝑧 𝑥′ ;𝜕 𝑓𝜕 𝑥

; 𝑓 𝑥′ .

Аналогично определяется и обозначается частная производная первого порядка функции в точке по переменной

lim∆ 𝑦❑

→

0

𝑓 (𝑥 ;𝑦+∆ 𝑦 )− 𝑓 (𝑥 ; 𝑦 )∆ 𝑦

=𝜕 𝑧𝜕 𝑦 (𝑧𝑦

′ ;𝜕 𝑓𝜕 𝑦

; 𝑓 𝑦′ ) .

Таким образом, частная производная функции двух переменных определяется как производная функции одной переменной при условии постоянства значений другой переменной. Поэтому частные производные функции находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно или считается постоянной величиной).

Например:

Если функция дифференцируема в точке то выражение

(2.1)

называется полным дифференциалом или дифференциалом первого порядка.

Учитывая, что для независимых переменных верны равенства

и выражение (2.1) можно переписать в виде:

𝑑𝑧=𝑧𝑥′ ∙ ∆ 𝑥+𝑧𝑦

′ ∙ ∆ 𝑦 . (2.2)

Пример 1. Найти частные производные первого порядка функции

Решение.

¿𝑐𝑜𝑠𝑥 ( 𝑦2 )𝑦′+𝑒𝑥2 −𝑦 ∙ (𝑥2 −𝑦 )𝑦

′− 0+0=¿𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 2 𝑦+𝑒𝑥2 −𝑦 ∙ ( (𝑥2) 𝑦

′− 𝑦 𝑦

′ )=¿¿𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙2 𝑦+𝑒𝑥2 − 𝑦 ∙ (0 − 1 )=2 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑒𝑥2 −𝑦 .

Пример 2. Найти полный дифференциал функции Решение.

𝑧𝑥′ =( ln (5 𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦 ) )𝑥

′ = [ 𝑦−𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ]=¿

¿1

5𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦∙ (5 𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦 )𝑥

′ =5

5𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦,

𝑧𝑦′ =( ln (5𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦 ) )𝑦

′ =[ 𝑥−𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ]=¿

¿1

5𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦∙ (5 𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦 )𝑦

′ =𝑠𝑖𝑛𝑥

5 𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑦.

Тогда

§3 Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Если поверхность задана уравнением

и –

точка на поверхности, то уравнение касательной плоскости к поверхности в этой точке имеет вид:

(3.1)

а нормаль к поверхности в точке определяется уравнениями

(3.2)

Если поверхность задана уравнением

в неявном виде, то уравнение касательной плоскости имеет вид:

(3.3)

а нормаль к поверхности в той же точке определяется уравнениями:

(3.4)

Пример. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке, для которой Решение. Подставим в данное уравнение поверхности и определим аппликату точки касания:

Следовательно, точкой касания является точка

𝑀 (1 ,−1,2 ) .

Так, как уравнение поверхности разрешено относительно то касательная плоскость определяется уравнением (3.1), а нормаль – уравнениями (3.2). Найдем частные производные и вычислим их значения в точке касания:

Подставим эти значения и координаты точки соответственно в уравнения (3.1) и (3.2), получим уравнение касательной плоскости

или

и уравнения нормали

§4. Полный дифференциал функции. Применение полного дифференциала к приближенным

вычислениям.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки Выражение вида

(4.1)

называется полным приращением функции в точке Если и , то имеет место приближенное равенство:

(4.2)

где (4.3)

полный дифференциал функции С учетом (4.1) и (4.3) равенство (4.2) можно переписать в виде:

или

𝑓 (𝑥0+∆ 𝑥 ; 𝑦0+∆ 𝑦 ) ≈

(4.4)

Формула (4.4) используется для приближенных вычислений. Замечание. Чтобы применить формулу (4.4) к приближенным вычислениям, необходимо:1) указать аналитическое выражение для функции,

приближенное значение которой надо найти;2) выбрать начальную точку так, чтобы значения

функции и ее частных производных в этой точке можно было легко вычислить, но при этом и были достаточно маленькими.

Пример. Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала Решение. 1)Введем в рассмотрение функцию Тогда можно рассматривать как частное значение этой функции в точке т.е.

Таким образом, имеем

2)Выберем начальную точку т.е. Тогда можно найти и

Найдем частные производные:

Вычислим значения функции и частных производных в начальной точке:

Воспользуемся формулой (4.4):

§5 Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть задана функция Частные производные первого порядка тоже можно рассматривать как функции от

Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они обозначаются и определяются следующим образом:

или или или или

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков. Например:

или Частная производная 2-го или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,

Теорема. Если смешанные частные производные и непрерывны в рассматриваемой точке то (результат не зависит от порядка дифференцирования).

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

Решение.

𝑧𝑥𝑥′ ′ =(𝑧𝑥

′ )𝑥′=( 3√𝑦−15 𝑥2𝑦 2+2𝑥 )𝑥

′=[ 𝑦−𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ]=¿−30 𝑥 𝑦2+2 ,

𝑧𝑥𝑦′ ′ =(𝑧𝑥

′ )𝑦′=( 3√𝑦−15 𝑥2 𝑦2+2𝑥 )𝑦

′=[ 𝑥−𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ]=¿ 1

3𝑦

− 23 − 30𝑥2 𝑦 ,

𝑧𝑦𝑦′ ′ =(𝑥 ∙

13𝑦

− 23 −10 𝑥3 𝑦− 7)

𝑦

′

= [𝑥−𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ]=¿ 𝑥 ∙13

∙(− 23 )𝑦− 5

3 − 10𝑥3=−29𝑥 𝑦

− 53 −10 𝑥3 ,

𝑧𝑦𝑥′ ′ =(𝑥 ∙

13𝑦

− 23 − 10𝑥3 𝑦−7)

𝑥

′

= [ 𝑦−𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ]=¿ 13𝑦

− 23 −30 𝑥2 𝑦 .

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) называется дифференциал от ее полного дифференциала в этой точке:

Если функция в рассматриваемой точке имеет непрерывные частные производные второго порядка, причем и - независимые переменные, то второй дифференциал находят по формуле:

.

§6 Экстремум функции двух переменных.

Пусть функция определена в некоторой области и Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции если существует такая окрестность точки что для каждой точки из этой окрестности выполняется неравенство

.

Значение функции в точке локального максимума (минимума) называется локальным максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами. В области функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума). Если функция в точке имеет локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует.

Точки, в которых обе частные производные первого порядка равны нулю, называются стационарными. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна из них не существует, называются критическими.Равенство нулю является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Для нахождения экстремумов необходимо каждую критическую точку подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема 2 (достаточное условие существования экстремума). Пусть

Обозначим

Тогда:1)если то функция имеет в точке экстремум, а именно

максимум, если минимум, если

2)если то функция в точке экстремума не имеет.В случае экстремум в точке может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Пример. Исследовать функцию

на экстремум.Решение.Найдем стационарные точки функции. Для этого составим и решим систему:

Найдем частные производные.

Тогда

{𝑥2+( 2𝑥 )

2

=5(1)

𝑦=2𝑥

(2)

Решим уравнение (1) системы.

- биквадратное уравнение.Замена:

Обратная замена:

Вернемся к системе. ,

 Таким образом, получили четыре стационарные точки:

Найдем частные производные второго порядка:

Для каждой стационарной точки найдем соответствующее значение и, вычислив сделаем вывод.

1)

экстремума нет;

2)

экстремума нет;

3) экстремум есть, минимум, т.е.

4) экстремум есть, максимум, т.е.

§7 Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Тогда она достигает в некоторых точках этой области своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются функцией внутри или на границе области.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных.1.Изобразить на координатной плоскости указанную область ;2.Найти все критические точки функции, принадлежащие и вычислить значения функции в этих точках;3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;4.Сравнить все полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями Решение.1.Изобразим область

2.Найдем все критические точки функции.

Получили одну критическую точку причем Вычислим значение функции в этой точке:

𝑧 (1 ;3 )=3 ∙1+3 −1 ∙3=3.

3.Исследуем функцию на границе области. Поскольку граница состоит из трех отрезков и задаваемых различными аналитическими выражениями, то задачу нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных на каждом из отрезков можно свести к задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений некоторой функции одной переменной или

а)на отрезке Тогда

критических точек нет. Найдем значения функции на концах отрезка:

𝑔1 (0 )=0=𝑧 (0 ;0 ) ,𝑔1 ( 4 )=4=𝑧 (0 ; 4 ) .

б)на отрезке Тогда

критических точек нет. Найдем значения функции на концах отрезка:

в)на отрезке Тогда

Из множества полученных значений выберем наибольшее и наименьшее: