ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ТЕТРАЭДРА И

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

Определения

Секущая плоскость тетраэдра (параллелепипеда) - любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда).

Сечение тетраэдра (параллелепипеда) -многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани.

Сечения тетраэдра

Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольникичетырёхугольники.

Сечения параллелепипеда

Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырёхугольники (рис. а), пятиугольники (рис.б),шестиугольники (рис. в).

С

А

В

D E

FG

а)

EА

В

С

D

б)E

А

В

СD

F

в)

Сечения параллелепипеда

На рисунке б) секущая плоскость пересекает две противоположные грани (переднюю и заднюю) по отрезкам AB и CD, а две другие противоположные грани (левую и правую) - по отрезкам DE и BC,

AB || CD и AE || BC.E

А

В

С

D

б)

Сечения параллелепипеда

AB || ED, AF || CD, BC || EF.

E

А

В

СD

F

в)

Построение сечений

Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра (параллелепипеда).

После чего нужно провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

Сечения тетраэдра

Задача 1.

На ребрах AB, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M, N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP. А

ВС

D

M

PN

Сечения тетраэдра

Пусть MNP ∩ ABC = a

M є a (т.к. лежит в обеих плоскостях)

ВС є BDC NP є BDC1) Пусть BC ∩ NP = EE є a (т.к. лежит в

обеих плоскостях)ME = a ME ∩ AC = QMNPQ - сечение

А

ВС

D

M

P

N

E

Q

Сечения тетраэдра

2) BC || NP

ML || NPML ∩ AC = QMNPQ - сечение

А

ВС

D

M

P N

Q

L

Сечения тетраэдра

Задача 2. Точка М лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно грани ABC.

А

ВС

D

M

Сечения тетраэдра

Построим прямую a так что M є aa ∩ DC = P, a ∩ DA = QПостроим прямую b так что P є bb ∩ DB = RТреугольник PQR - искомое сечение. А

ВС

D

M

a

P

Q

bR

Постройте сечения тетраэдра

Постройте сечения

A B

D C

A1

C1D1

MN

K

A B

CD

A1

D1 C1

B1M

B1

Постройте сечение

Построение:1) MN2) NK3) MP ||NK4) KH ||MN5) PH6) MNKHP - искомое

сечение

A B

D C

A1B1

C1D1N

K

M

P

H

Постройте сечение

Построение:1) MN, NK2) MN∩AD=X3) XY ||NK4) XY∩AB=P5) XY∩BC=Q6) MP, PQ7) QH ||MN8) KH9) MNKHQP - искомое

сечениеA

B

D C

A1B1

C1D1

N

K

M

P

H

X

YQ