1

如何在數學課堂如何在數學課堂培養學生的解難能力培養學生的解難能力

鄭振初先生鄭振初先生香港教育學院數社科技學系高級講師香港教育學院數社科技學系高級講師

2

動物也解難動物也解難 不知甚麼時候，一隻想吃硬殼果的猴子，不知甚麼時候，一隻想吃硬殼果的猴子，

把這些果子放在馬路上讓汽車碾過，於是，把這些果子放在馬路上讓汽車碾過，於是，它便不用自己想辦法打開硬殼果。它便不用自己想辦法打開硬殼果。

這是一個最原始的解難過程和要求：用這是一個最原始的解難過程和要求：用 工具和發現。工具和發現。 而發現的最重要動力是動機而發現的最重要動力是動機 (( 例如吃，玩例如吃，玩 ，好奇，好奇 )) 。 。

3

英國 英國 Cockroft Cockroft 報告報告解難需要合適數學問題解難需要合適數學問題老師要數學能力老師要數學能力用不同的教學方法用不同的教學方法

這是這是 19821982 年的報告，接近四份一個世紀。年的報告，接近四份一個世紀。這樣多的奧數比賽，天才數學，世界這樣多的奧數比賽，天才數學，世界 XXXX 數，數，今天座談會還可以談甚麼今天座談會還可以談甚麼 ? ?

4

數學解難的目的是數學能力，體現在以下 數學解難的目的是數學能力，體現在以下 44點點

興趣興趣 數學知識數學知識 (( 不是解題不是解題 )) 數學方法和思考數學方法和思考 數學結構 數學結構

5

Polya Polya 的解難「四步曲」的解難「四步曲」 (1945)(1945) 理解理解 想過程想過程 解決解決 回顧 回顧

6

MasonMason 、、 BurtonBurton 、、 Stacey Stacey 的建議的建議 Entry (Entry ( 特殊和一般化特殊和一般化 )) Attack (Attack ( 說服自己，說服朋友，說服敵人說服自己，說服朋友，說服敵人 )) Review (Review ( 檢查，推演檢查，推演 ) )

7

克魯捷茨基有關克魯捷茨基有關數學能力的四組討論：數學能力的四組討論：1.1. information gathering, information gathering, 理解資料理解資料2.2. information processing, information processing, 處理資料處理資料3.3. information retention, information retention, 存留資料存留資料4.4. typology typology 對應 對應

8

20062006 年的 年的 Fields Medal Fields Medal 得獎者 得獎者 Terrence Tao Terrence Tao

的自述。的自述。

"I don't have any magical ability," he said. "I look at a pr"I don't have any magical ability," he said. "I look at a problem, and it looks something like one I've already donoblem, and it looks something like one I've already done; I think maybe the idea that worked before will work e; I think maybe the idea that worked before will work here. When nothing's working out; then I think of a smahere. When nothing's working out; then I think of a small trick that makes it a little better, but still is not quite rll trick that makes it a little better, but still is not quite right. I play with the problem, and after a while, I figure ight. I play with the problem, and after a while, I figure out what's going on.out what's going on.

9

"It's not about being smart or even fast," Tao "It's not about being smart or even fast," Tao added. "It's like climbing a cliff; if you're very added. "It's like climbing a cliff; if you're very strong and quick and have a lot of rope, it strong and quick and have a lot of rope, it helps, but you need to devise a good route to helps, but you need to devise a good route to get up there. Doing calculations quickly and get up there. Doing calculations quickly and knowing a lot of facts are like a rock climber knowing a lot of facts are like a rock climber with strength, quickness and good tools; you with strength, quickness and good tools; you still need a plan. That's the hard part and you still need a plan. That's the hard part and you have to see the bigger picture." have to see the bigger picture."

10

不是人人都是 不是人人都是 Field Medal Field Medal 得主。一位數學家 得主。一位數學家 Derek Holton Derek Holton 這樣描述他的解題：這樣描述他的解題：

第一步是找一個有趣的問題。第一步是找一個有趣的問題。

第二步是非正或地探究一下問題，不必很有結構。第二步是非正或地探究一下問題，不必很有結構。

第三步是由資料所得的規律，作出猜測和假定。第三步是由資料所得的規律，作出猜測和假定。

第四步是運用一些已知的策略證明或否定這些理論。第四步是運用一些已知的策略證明或否定這些理論。

11

第五步運用技巧解部份問題。第五步運用技巧解部份問題。

第六步是推廣實，看看能學些甚麼。第六步是推廣實，看看能學些甚麼。

第七步是出版。第七步是出版。

第八步是回到第一步。 第八步是回到第一步。

12

數學是非旁觀者的感覺數學是非旁觀者的感覺

數學的最基本要求是思考數學的最基本要求是思考

課堂上的「解難」應該是多探究 課堂上的「解難」應該是多探究

13

數學思考內容有三個可能。數學思考內容有三個可能。

第一個是學生能由一些概念發現新概念或第一個是學生能由一些概念發現新概念或者算式。例如能加法看出兩位的乘法，包者算式。例如能加法看出兩位的乘法，包括解簡單應用題。括解簡單應用題。

第二是能由課程內容探討數學結構。第二是能由課程內容探討數學結構。

14

第三是解難。解難有三個不知道的內容第三是解難。解難有三個不知道的內容~ ~ 第一個不知道的是用甚麼方法。第一個不知道的是用甚麼方法。~ ~ 第二個不知道的是用甚麼數學內容。第二個不知道的是用甚麼數學內容。~ ~ 第三個不知道的是方向和是否有結果。第三個不知道的是方向和是否有結果。

不過一般解難的題目是預定有答案或結果不過一般解難的題目是預定有答案或結果的。的。

15

由左上角由左上角 AA 至右下角至右下角 BB 有多少種不同的行法。有多少種不同的行法。不能回頭，只能向下或向右。不能回頭，只能向下或向右。

答案是答案是

A

這是解題答案，而沒有「解難」。這是解題答案，而沒有「解難」。

8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1(3 × 2 × 1) × (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 56 。

B

16

引導式解難引導式解難

問題問題 11 ：： 問題問題 22 ：： 問題問題 33 ：：

2 2 種方法種方法 2+1 = 3 2+1 = 3 種種 3+1 = 4 3+1 = 4 種種

17

問題 1： 問題 2： 問題 3：

3+3 = 6 種3 種方法 6+4 = 10 種

A

B

A

B

A

BP

18

2 4 6

1 3 5 7

由 由 1 1 至 至 7 7 有多少種不同的行法有多少種不同的行法 ??((每次只能行至相連的六角形每次只能行至相連的六角形 ))

由上題而變題由上題而變題

19

看規律是很多書本提議的解難方式看規律是很多書本提議的解難方式

計算計算1 × 2

1

2 × 3

1

3 × 4

1

100 × 101

1＋ ＋ ＋ ＋…

20

解題過程：解題過程：因為有因為有

1 × 2

1==

2

1。。

2 × 3

1

1 × 2

1++ ==

3

2。。

3 × 4

1

1 × 2

1

2 × 3

1++ ++ ==

12

9==

4

3。。

「猜答案」「猜答案」100

1011 × 2

1

2 × 3

1

3 × 4

1

100 × 101

1＋ ＋ ＋ ＋… ＝

21

用數式分柝的方法找答案用數式分柝的方法找答案

1 × 2

1

2 × 3

1

3 × 4

1

100 × 101

1＋ ＋ ＋ ＋…

100

101＝

( 1 - ) + ( - ) + ( - ) + ( 1 - ) + ( - ) + ( - ) + … + ( - ) + ( - )2

1

2

1

3

1

3

1

4

1

100

1

101

1＝

。

22

分柝還可以考慮以下的結構分柝還可以考慮以下的結構

1 × 3

1

2 × 4

1

3 × 5

1

100 × 102

1＋ ＋ ＋ ＋…

= (1 - ) + ( - ) + ( - ) + = (1 - ) + ( - ) + ( - ) + 2

1

2

1

2

1

3

1

4

1

5

1

2

1

3

1

2

1 1

100

1

101 … + ( - )+ ( - )

= [(1 - ) + ( - ) + ( - ) += [(1 - ) + ( - ) + ( - ) +2

1

3

1

4

1

5

1

2

1

3

1

1

99

1

100

1

101 … + ( - ) + ( - )]+ ( - ) + ( - )]

1

102

23

手表手表 把一隻手表所有的零件組合起來，也不會把一隻手表所有的零件組合起來，也不會保証這是一只會行的手表，更不要說能準保証這是一只會行的手表，更不要說能準確運行。確運行。

把解難的技巧組合不一定得出答案。 把解難的技巧組合不一定得出答案。

24

解難的三個元素解難的三個元素 一般常規解難方法一般常規解難方法 數學內容和表達數學內容和表達 認知之道，認知方法認知之道，認知方法

25

一般 一般 ( ( 常規 常規 ) ) 的解難方法，策略和的解難方法，策略和技巧，分析 技巧，分析 ( ( 所謂 所謂 generic skills )generic skills )

解難的策略可以很多，以下一些可能策略解難的策略可以很多，以下一些可能策略

•試誤試誤•繪圖繪圖•尋找規律尋找規律•由尾做起，倒算由尾做起，倒算•列表，分成不同的情況來考慮列表，分成不同的情況來考慮•運用邏輯推理運用邏輯推理•簡化問題簡化問題•利用方程式利用方程式

•做一個類似的問題做一個類似的問題•以實物模擬以實物模擬•類比類比•歸納歸納•利用極端例子利用極端例子•反証法反証法•一般化一般化•利用對稱，奇偶分利用對稱，奇偶分析析

26

小學生一般用得的方法是小學生一般用得的方法是 試誤試誤 逆算逆算 圖形圖形 規律規律

27

解難方式解難方式 數學能力數學能力

試誤試誤 建立信心，也可以建立規律。建立信心，也可以建立規律。很多猜測也是由試誤而來。很多猜測也是由試誤而來。

規律規律 是一個探究過程，學生由此而是一個探究過程，學生由此而能觀察。能觀察。

逆算逆算 邏輯思考，很多數學結構是和邏輯思考，很多數學結構是和逆算有關，加和減，乘和除，逆算有關，加和減，乘和除，倍數和因數。倍數和因數。

圖形圖形 是抽象學習的必要的過程。是抽象學習的必要的過程。

28

數學知識在解難過程中的關鍵作用數學知識在解難過程中的關鍵作用

一個整數 一個整數 A A 的各個數字之和是 的各個數字之和是 1616 ，另一，另一個整數 個整數 B B 的數字和是 的數字和是 2626 。這兩個數相加。這兩個數相加時會進位 時會進位 3 3 次次。。

A+B A+B 的各個數字和是多少的各個數字和是多少 ??

問題：問題：

29

答案是 答案是 26 + 16 – 9 – 9 – 9 = 1526 + 16 – 9 – 9 – 9 = 15 。。

結構結構每進一次位，數和減少 每進一次位，數和減少 99 。。例如 例如 38 + 27 = 6538 + 27 = 65 。。個位進位時，數和少了 個位進位時，數和少了 1010 ，十位多了 ，十位多了 11 。。所以進一次位數和減少 所以進一次位數和減少 10 – 1 = 910 – 1 = 9 。。進三次位數和便少了進三次位數和便少了 2727 。 。

30

有一個 有一個 5 5 位數，位數， A123BA123B ，它能被 ，它能被 8 8 整除，這個數是多少整除，這個數是多少 ??

以試誤為例，沒有整的數學知識，難以解以下問題：以試誤為例，沒有整的數學知識，難以解以下問題：

問題：問題：

31

問題：問題：填上適當的分數。填上適當的分數。

< < < < 。。8

21

3

7

知識 知識 11

擴分得出擴分得出 ， ， 。 ， ， 。 < < < < 。。33

84

34

84

35

84

8

21

5

12

3

7

32

知識 知識 22把兩個分數的分子相加，分母相加。把兩個分數的分子相加，分母相加。新的分數一定是兩個分數之間。新的分數一定是兩個分數之間。

所以所以 < < < < 。。8

21

3

7

8 + 3

21 + 7 如果沒有分數的如果沒有分數的概念，由試誤不概念，由試誤不能完成問題。能完成問題。

< < < < 。。8

21

3

7

11

28

33

2

3 1

把圓形的兩個數相加，答案寫在方格內。把圓形的兩個數相加，答案寫在方格內。

34

5 7

4

把方格的數字寫成兩個數相加，答案填入圓形內。把方格的數字寫成兩個數相加，答案填入圓形內。

35

A+B A+C

B+C

A

B C

5 7

41 3

4

結構 ( 代數的功能 )

2A = (A+B) + (A+C) – (B+C) 2A = 5 + 7 – 4 = 8

36

在下的 6 個圓形內填入數字 1 至 6 ，要每邊的數和相同。

37

分析 11 至 6之和是 21 。所以角點的 3 個圓形數和一定是 3 的倍數。

分析 2給出左面的答案，可以推出右面的答案。

1

6

2 4

5

3

6

1

5 3

2

4

38

推演問題用 1 至 7 的數字，填入圓內，要每邊數和相同。

39

由於 1 至 7 的數和是 28 。 三個角點的數和應為 8 ， 11 ， 14…

一個答案6

5

2 1

4

7 3

40

推演問題用 1 至 8 的數字，填入圓內，要每邊數和相同。

41

1 至 8 的數和是 36 。所以 3 個角點的數和是 3 的倍數。一個答案

6

1

5

7 4

2

3

8

42

推演問題用 1 至 8 的數字，填入圓內，要每邊數和相同。

43

一個答案

5

8 7

3 1 2 6 4

44

一次過的解難問題

O N E

+ O N E

T W O一個答案

2 3 1

+ 2 3 1

4 6 2

以下每一個英文字母代表一個數目字，找出所有符合這些字母的等式。

45

解題之後，可能再把問題推演

F O U R

+ F I V E

N I N E

一個答案 1 9 5 0

+ 1 2 8 4

3 2 3 4

一次過的解難問題

新問題

46

找出以下的 A 和 B 所代表的字。

A B

+ A B

2 4

A B

+ A B

6 4

A B

+ A B

5 4

(3 ， 2) (1 ， 2) (2 ， 7)

可以找尋規律的解難題

問題：

47

一步推算的問題

問題 1 ： 找出 B 和 C 所代表的數字

B C

+ B C

5 6

問題 2 ：

找出 A ， B 和 C 所代表的數字

A B C

+ A B C

2 5 6

由問題 1 的答案，可以推算答題 2 的答案， A = 1 。

48

問題 2 的答案是問題 1 的 2 倍。

問題 1 ：

找出 A 和 B 所代表的數字

A B

A B

+ A B

3 6

問題 2 ：

找出 A 和 B 所代表的數字

A B

A B

+ A B

7 2

49

問題 1 的答案是 16 。由於 78 比 48 大 30 ，所以問題 2 的答案是 26 。

問題 1 ：

找出 A 和 B 所代表的數字

A B

A B

+ A B

4 8

問題 2 ： 找出 A 和 B 所代表的數字

A B

A B

+ A B

7 8

50

選題原則

多答案的可能。在以下的 A 至 G 中，填入 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7 的數字，使得每個大圓形的數字和 (即是 4 個英文字母的數和 )相同。

A

B CD

E F G

51

因為圖形對稱，我們可以用對稱的想法。例如最小的 3 個數字， 1、 2、 3 應該有「同等」的地位。所以，把它們放在「相同」的位置，例如最外的 3 個地方。

由於 7 是最大的一個數字，所以，它很「特別」，放在最中間。餘下的數字用補償的想法。

1

2 4 3

67

5

52

用「逆思維」。

把最大的 3 個數放在「相同」的位置。把「特別的 1 」放在中間。餘下的 2、 3、 4 用「補償」的方法放入其它位置。得出每個圓的數和答案是 13 。

5

6 2 7

41

3

53

7

5 3 6

24

1

還可以有不同的答案嗎 ?

4 是這 7 個數的中間數，把 4 放在最中央。把 1、 2 和 3 放在共用的位置。然後用補償的方法。有 1 和 2 的數放入 7 ( 最大的數字配最小數字 ) 。 正如下圖 ( 數和是 14) 。

54

同樣的想法，但是把 5、 6、 7 放在共用位置，類似地把 1 放在 6 和 7 之間， 2 放在 5 和 7 之間。得出以下的答案 ( 數和是 18) 。

3

2 7 1

54

6

55

探究問題探究問題最外的 最外的 3 3 個數字有沒有限制？例如最外用數字個數字有沒有限制？例如最外用數字 (1(1 ，， 22 ，， 3)3) ，，我們已有兩個答案。我們已有兩個答案。用 用 11 ，， 22 ，， 44 可不可以？可不可以？這是「世界級」難題，我找不到答案。不過，用 這是「世界級」難題，我找不到答案。不過，用 (1(1 ，， 22 ，， 5)5) 是有答案的。是有答案的。

5

2 7 1

36

4

用 用 (1(1 ，， 33 ，， 5)5) ，， (1(1 ，， 33 ，， 6)6) ，， (1(1 ，， 44 ，， 5)5) ，， (1(1 ，， 44 ，， 6)6) 都有答案。還有呢？都有答案。還有呢？還有呢？是有答案 。還有呢？是有答案 。

56

探究問題探究問題「最中間」的數字「最中間」的數字 DD 有沒有限制？有沒有限制？

答案是沒有，答案是沒有， AA 可以放入任何數字。 可以放入任何數字。

D

57

其它問題。其它問題。共有多少個答案？共有多少個答案？ ((我有我有 1818 個個 )) 。。每個圓最大每個圓最大 (( 最小最小 )) 的數和是多少？的數和是多少？

58

結構

最中間可以放任何數字只要外面的三個數字能出現問案。這 3 個數字放在「半中間」也一定有答案。

59

問題用 1 至 9 填入以下的圖形，要每個圓的和相同。

A B C D

•A+B+C+D 一定是 5 的倍數。•因為 (1+2+3+4+5+6+7+8+9 +A+B+C+D) 一定要被 5 整除。•即是 (45+ A+B+C+D) 一定要被 5 整除。

60

以下是一個答案。還有 3 個。歡迎電郵。

68 9

3 1 4 2

7 5

61

數學進修

香港教育學院進修課程五星期數學教學課程

二年兼讀數學專科教學課程二年兼讀數學教育碩士課程

入學問題2948 6171

數學問題cccheng@ied.edu.hk